Ajuste De Curvas: Josue Becerra Rico May 16, 2016

Ajuste De Curvas Josue Becerra Rico May 16, 2016

1

1

´ INTE INTERPO RPOLA LACI CI ON

Abstract Muchas veces al realizar mediciónes ones experimentales, obtenemos datos los cuales nos brindan información on sobre el experimento. Estos datos pueden tener un comportamiento similar al de una función, on, pero ¿Cómo omo saber a que función on se parecen? Con diversos métodos etodos de ajuste de curvas curvas podemos obtener un polinomio polinomio o ecuaci´ ecuaci´ on on que modele estos datos, podemos trabajar más as fácilmente acilmente e incluso hacer predicciones de como se comportará. a.

1

Inte Interpo rpola laci ci´ ´ on on

1.1 1.1

Inte Interpo rpola laci ci´ ´ on on Lineal

La forma más as simple de interpolación on consiste consiste en unir dos puntos puntos con una l´ınea recta. Dicha Dicha técnica ecn ica,, llamad lla madaa interpolaci´ on lineal f 1 (x) − f ( f (x0 ) f ( f (x1 ) − f ( f (x0 ) = x − xo x1 − x0 despejando podemos obtener f 1 (x) = f ( f (x0 ) +

f 1 (x) − f ( f (x0 ) (x − x0 ) x − xo

(1)

que es una f´ notación ón f 1 (x) designa que éste este es un poliormula de interpolaci´ on lineal . La notaci nomio de interpolaci´ interpolaci´ on de primer grado. Observe que además on as de representar la pendiente de la l´ınea que une los puntos, el término ermino [f ( f (x1 )–f )–f ((x0 )]/ )]/(x1 –x0 ) es una aproximación on en diferencia dividida finita a la primer derivada. En general, cuanto menor sea el intervalo entre los datos, mejor será la aproximaci aproximaci´ on. oń. Esto se debe al hecho hecho de que, conforme el intervalo intervalo disminuye, disminuye, una funci´ on on continua estará mejor aproximada por p or una l´ınea recta. 1.2 1.2

Polin olinom omio io de Newt Newton on

El análisis alisis anterior puede generalizarse para ajustar un polinomio de n − ´ esimo grado esimo grado a n + 1 datos. El polinomio de n de n − ´ esimo grado esimo grado es f n (x) = b 0 + b + b1 (x − x0 ) + · · · + bn (x − x0 )(x )(x − x1 ) · · · (x − xn

a1 )

−

(2 )

Los puntos asociados con datos se utilizan para evaluar los coeficientes b0 , b1 , . . . , bn . Para Para un polinomio de n de n − esimo grado e´simo grado se requieren n +1 puntos: [x [x0 , f ( f (x0 )], )], [x1 , f ( f (x1 )], )], · · · , [xn , f ( f (xn )]. Usamos estos datos y las siguientes ecuaciones para evaluar los coeficientes: b0 = f = f ((x0 )

(3)

= f [[x1 , x0 ] b1 = f

(4)

b1 = f [ f [x2 , x1 , x0 ] . ..

(5)

bn = f = f [[xn , xn

1 , · · · , x1 , x0 ]

−

(6) (7)

donde las evaluaciones de la función on colocadas entre par´ pa réntesis entesis son diferencias divididas finitas. Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita en forma general se representa como f [ f [xi , x j ] =

f ( f (xi ) − f ( f (x j ) xi − x j

2

(8)

1.2

Polinomio de Newton

1

´ INTERPOLACION

La segunda diferencia dividida finita, que representa la diferencia de las dos primeras diferencias divididas, se expresa en forma general como f [xi , x j ] − f [ x j , xk ] xi − xk En forma similar, la n − ´ esima diferencia dividida finita es f [xi , x j , xk ] =

f [xn , xn − 1, . . . , x1 , x0 ] =

f [xn , xn

(9)

1 , . . . , x1 ] − f [xn−1 , xn−2 , . . . , x0 ]

−

(10) xn − x0 Estas diferencias sirven para evaluar los coeficientes en las ecuaciones (27) a (31) los cuales se sustituirán en la ecuación (26) para obtener el polinomio de in- terpolación f n (x) = f (x0 )+(x−x0 )f [x1 , x0 ]+(x−x0 )(x−x1 )f [x2 , x1 , x0 ]+. . .+(x−x0 )(x−x1 )f [xn , xn

1 , · · · ,

−

(11) que se conoce como polinomio de interpolación de Newton en diferencias divididas. Debe observarse que no se requiere que los datos utilizados en la ecuación (35) estén igualmente espaciados o que los valores de la abscisa estén en orden ascendente. Tambi´ en, advierta cómo las ecuaciones (32) a (34) son recursivas (es decir, las diferencias de orden superior se calculan tomando diferencias de orden inferior) 1.2.1

Errores de la interpolaci´ on polinomial de Newton

Observe que la estructura de la ecuación (35) es similar a la expansión de la serie de Taylor en el sentido de que se van agregando t´ erminos en forma secuencial, para mostrar el comportamiento de orden superior de la función. Estos términos son diferencias divididas finitas y, as´ı, representan aproximaciones de las derivadas de orden superior. En consecuencia, como ocurrió con la serie de Taylor, si la función verdadera es un polinomio de n − e´simo grado, entonces el polinomio de interpolaci´ on de n − e´simo grado basado en n + 1 puntos dar´ a resultados exactos. Tambi´ en, como en el caso de la serie de Taylor, es posible obtener una formulación para el error de truncamiento. El error de truncamiento en la serie de Taylor se expresa en forma general como f n+1 (ζ ) (xi+1 − xi )n+1 (12) (n + 1) donde ζ está en alguna parte del intervalo de x i a x i+1 . Para un polinomio de interpolación de n − ´ esimo grado, una expresión an´ aloga para el error es Rn =

f n+1 (ζ ) Rn = (x x0 )(x x1 ) · · · (x xn ) (13) (n + 1) donde ζ está en alguna parte del intervalo que contiene la incógnita y los datos. Para que esta fórmula sea u ´ til, la función en turno debe ser conocida y diferenciable. Por lo com´ un éste no es el caso. Por fortuna, hay una formulaci´ on alternativa que no requiere del conocimiento previo de la función. Utilizándose una diferencia dividida finita para aproximar la (n + 1) − ésima derivada, −

−

−

Rn = f [x, xn , xn − 1, · · · , x0 ](x x0 )(x x1 ) · · · (x xn ) −

−

−

(14)

donde f [x, xn , xn–1 , . . . , x0 ] es la (n + 1) − e´sima diferencia dividida finita. Debido a que la ecuaci´ on (38) contiene la incógnita f (x), no permite obtener el error. Sin embargo, si se tiene un dato más, f (xn + 1), la ecuación () puede usarse para estimar el error como sigue: Rn ∼ = f [xn+1],x

n

,xn −1,··· ,x0 ](x− x0 )(x− x1 )···(x− xn )(15)

3

x0 ]

1.3

Polinomio de Lagrange

1.3

1

´ INTERPOLACION

Polinomio de Lagrange

El polinomio de interpolación de Lagrange es simplemente una reformulación del polinomio de Newton que evita el cálculo de las diferencias divididas, y se representa de manera concisa como f n (x) =ni=0 L i (x)f (xi )

(16)

donde n

Li (x) =



j = 0 j  = i

x − x j xi − x j

(17)

Por ejemplo, la versión lineal (n = 1) es f 1 (x) =

x − x1 x − x0 f (x0 ) + f (x1 ) x0 − x1 x1 − x0

(18)

La ecuación (41) se obtiene de manera directa del polinomio de Newton . Sin embargo, el razonamiento detr´ as de la formulación de Lagrange se comprende directamente al darse cuenta de que cada término Li (x) será 1 en x = xi y 0 en todos los otros puntos. De esta forma, cada producto L i (x)f (xi ) toma el valor de f (xi ) en el punto x i . En consecuencia, la sumatoria de todos los productos en la ecuació n (41) es el único polinomio de n-ésimo grado que pasa exactamente a través de todos los n + 1 puntos, que se tienen como datos. 1.3.1

Obtenci´ on del polinomio de Lagrange directamente a partir del polinomio de interpolaci´ on de Newton

El polinomio de interpolación de Lagrange se obtiene de manera directa a partir de la formulaci´ o n del polinomio de Newton. Haremos esto u ´ nicamente en el caso del polinomio de primer grado[ecuaci´ on (25)]. Para obtener la forma de Lagrange, reformulamos las diferencias divididas. Por ejemplo, la primera diferencia dividida, f (x1 ) − f (x0 ) x1 − x0

(19)

f (x1 ) f (x0 ) + x1 − x0 x0 − x1

(20)

f [x1 , x0 ] = se reformula como f [x1 , x0 ] =

conocida como la forma simétrica. Al sustituir la ecuación (44) en la (25) se obtiene f 1 (x) = f (x0 ) +

x − x0 x − x0 f (x1 ) + (f (x0 ) x1 − x0 x0 − x1

Por u ´ltimo, al agrupar términos semejantes y simplificar se obtiene la forma del polinomio de Lagrange, f 1 (x) =

x − x1 x − x0 f (x0 ) + f (x1 ) x0 − x1 x1 − x0

Por inspección tenemos que (42) y (45) son iguales más general del polinomio de Newton.

4

∴

(21)

el polinomio de Lagrange en una forma

1.4

Trazadores

1.4

1

´ INTERPOLACION

Trazadores

Los trazadores no es má s que la unió n más simple entre dos puntos es una l´ınea recta. Los trazadores de primer grado para un grupo de datos ordenados pueden definirse como un conjunto de funciones lineales, f (x) = f (x0 ) + m0 (x − x0 )

x0 ≤ x ≤ x 1

f (x) = f (x1 ) + m1 (x − x1 )

x1 ≤ x ≤ x 2

.. . f (x) = f (xn

1 ) + mn−1 (x

−

− xn−1 )

xn

1 ≤ x ≤ x n

−

donde m i es la pendiente de la l´ınea recta que une los puntos: f (xi + 1)–f (xi ) (22) xi+1 –xi Estas ecuaciones se pueden usar para evaluar la función en cualquier punto entre x0 y xn localizando primero el intervalo dentro del cual está el punto. Después se usa la ecuación adecuada para determinar el valor de la función dentro del intervalo. El método es obviamente idéntico al de la interpolación lineal. En esencia, en los puntos donde se encuentran dos trazadores (llamado nodo), la pendiente cambia de forma abrupta. Formalmente, la primer derivada de la funci´ on es discontinua en esos puntos. Esta deficiencia se resuelve usando trazadores polinomiales de grado superior, que aseguren suavidad en los nodos al igualar las derivadas en esos puntos. mi =

1.4.1

Tazadores (splines) C´ ubicos

El objetivo en los trazadores cúbicos es obtener un polinomio de tercer grado para cada intervalo entre los nodos: f i (x) = a i x3 + bi x2 + ci x + d

(23)

As´ı, para n+1 datos (i = 0, 1, 2, . . . , n), existen n intervalos y, en consecuencia, 4n incógnitas a evaluar. Como con los trazadores cuadr´ aticos, se requieren 4n condiciones para evaluar las ´ incógnitas. Estas son: • Los valores de la función deben ser iguales en los nodos interiores (2n–2 condiciones).

´ ltima función deben pasar a través de los puntos extremos (2 condiciones). • La primera y u • Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n–1 condiciones). • Las segundas derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n–1 condiciones). • Las segundas derivadas en los nodos extremos son cero (2 condiciones).

La interpretaci´ on visual de la condición 5 es que la función se vuelve una l´ınea recta en los nodos extremos. La especificaci´ on de una condición tal en los extremos nos lleva a lo que se denomina trazador “natural”.Si el valor de la segunda derivada en los nodos extremos no es cero (es decir, existe alguna curvatura), es posible utilizar esta información de manera alternativa para tener las dos condiciones finales. Los cinco tipos de condiciones anteriores proporcionan el total de las 4n ecuaciones requeridas para encontrar los 4n coeficientes. Mientras es posible desarrollar trazadores c´ ubicos de esta forma, presentaremos una técnica alternativa que requiere la solución de sólo n–1 ecuaciones. 5

1.4

Trazadores

1.4.2

1

´ INTERPOLACION

Obtenci´ on de trazadores c´ ubicos

El primer paso en la obtención (Cheney y Kincaid, 1985) se considera la observació n de cómo cada par de nodos está unida por una c´ ubica; la segunda derivada dentro de cada intervalo es una l´ınea recta. La ecuación (47) se puede derivar dos veces para verificar esta observación. Con esta base, la segunda derivada se representa mediante un polinomio de interpolació n de Lagrange de primer grado [ecuaci´ on (42)]: 

f 1 (x) = f i (xi

1)

−

x − xi x − xi + f i (xi ) xi 1 − xi xi − xi 

−

1

−

(24)

1

−



donde f i (x) es el valor de la segunda derivada en cualquier punto x dentro del i − ésimo intervalo. As´ı, esta ecuación es una l´ınea recta, que une la segunda derivada en el primer nodo f (xi–1 ) con la segunda derivada en el segundo nodo f (xi ). Después, la ecuación (48) se integra dos veces para obtener una expresión para f i (x). Sin embargo, esta expresi´ on contendr´ a dos constantes de integración desconocidas. Dichas constantes se evalúan tomando las condiciones de igualdad de las funciones [f (x) debe ser igual a f (xi–1 ) en x i–1 y f (x) debe ser igual a f (xi ) en x i )]. Al realizar estas evaluaciones, se tiene la siguiente ecuación c´ ubica: 







f i (xi1 ) f (xi ) (xi x)3 + i (xxi 6(xi xi1 ) 6(xi xi1 )





f (xi 1 f i (xi (xi xi1 )) f (xi 1 f i (xi (xi xi1 )) ](xi x)[ ](x−xi − − xi xi1 6 xi xi1 6 (25) Observe que contiene sólo dos “coeficientes” desconocidos; es decir, las segundas derivadas al inicio y al final del intervalo: f (xi–1 ) y f (xi ). De esta forma, si podemos determinar la segunda derivada en cada nodo, la ecuación (49) es un polinomio de tercer grado que se utiliza para interpolar dentro del intervalo. Las segundas derivadas se eval´ uan tomando la condición de que las primeras derivadas deben ser continuas en los nodos: f i (x) =

3 1 ) +[

−

−

−



1)

−







f i–1 (xi ) = f i (xi )

(26)

La ecuación (49) se deriva para ofrecer una expresi´ on de la primera derivada. Si se hace esto tanto para el (i–1) − ´ esimo, como para i − ´ esimo intervalos, y los dos resultados se igualan de acuerdo con la ecuación (50), se llega a la siguiente relación: (x − xi







1 )f (xi−1 ) + 2(xi+1 − xi−1 )f (xi ) + (xi+1 − xi−1 )f (xi+1 ) 6 [f (xi+1 ) − f (xi )] + (xi −6xi−1 ) [f (xi−1 ) − f (xi )] xi+1−xi

−

=

(27)

Si la ecuación (51) se escribe para todos los nodos interiores, se obtienen n–1 ecuaciones simult´ aneas con n + 1 segundas derivadas desconocidas. Sin embargo, como ésta es un trazador cúbico natural, las segundas derivadas en los nodos extremos son cero y el problema se reduce a n–1 ecuaciones con n–1 incógnitas. Adem´ as, observe que el sistema de ecuaciones será tridiagonal. As´ı, no s´ olo se redujo el n´ umero de ecuaciones, sino que las organizamos en una forma extremadamente fácil de resolver. Por inspección (se deja la demostración al lector) obtenemos: 

f i (x) =



f i (xi1 ) f (xi ) (xi x)3 + i (xxi 6(xi xi1 ) 6(xi xi1 )

3 1 ) +[

−





f (xi 1 f i (xi (xi xi1 )) f (xi 1 f i (xi (xi xi1 )) − − ](xi x)[ ](x−xi xi xi1 6 xi xi1 6 (28) −

6

−

1)

−

2

2

CAP´ ITULO 17. CHAPRA

Cap´ıtulo 17. Chapra

2.1

Problema 17.1

Dados los datos 8.8 9.4 10.0 9.8 10.1 9.5 10.1 10.4 10.5 9.5 9.8 9.2 7.9 8.9 9.6 9.4 11.3 10.4 8.8 10.2 10.0 9.4 9.8 10.6 8.9. Determine: a) la media b) la desviación estándar c) la varianza d) el coeficiente de variación e) el intervalo de confianza del 95% para la media. 2.1.1

Soluci´ on

Utilizando las fórmulas dadas en el libro de Métodos Numéricos Para Ingenieros, Chapra. Se calculó cada uno de los incisos anteriores con ayuda del programa LibreOffice Calc, obteniendo los siguentes resultados. Resultados a) 9.65200043 b) 0.689181446 c) 0.475294587 d) 7.135569122 ∗ 10

2

−

e) (8.18545723 : 11.1185436) 2.2

Problema 17.4

Utilice la regresión por m´ınimos cuadrados para ajustar una l´ınea recta a x y

0 5

2 6

4 7

6 6

9 9

11 8

12 7

15 10

17 12

19 12

Además de la pendiente y la intersección, calcule el error está n- dar de la estimació n y el coeficiente de correlación. Haga una gr´ afica de los datos y la l´ınea de regresión. Después repita el problema, pero ahora efect´ ue la regresión de x versus y, es decir, intercambie las variables. Interprete sus resultados. Soluci´ on La regresión de m´ınimos cuadrados se realizó con el algoritmo proporcionado en el libro de Métodos Numéricos Para Ingenieros, Chapra. Mediente el uso del programa LibreOffice Calc y se obtuvo la siguiente ecuación de recta, y se realizó la gr´ afica con el programa Octave. y = 4.851515 + 0.352470x

7

(29)

2.2

Problema 17.4

2


Figure 1: Ajuste de los datos del problema 17.4

El error est´ andar de la aproximación resultó ser:1.065. Y el coeficiente de correlaci´ o n es de: 0.836 Al intercambiar variables se obtiene la siguiente ecuaci´ on: − 9.967 + 2.374x

Con los siguientes resultados b) Coeficiente de correlaci´ on =−0.836 a) Error est´ andar = 1.065

8

(30)

2.3

Problema 17.5

2


Figure 2: Ajuste de los datos del problema 17.4 con las variables invertidas

2.3

Problema 17.5

Use la regresión por m´ınimos cuadrados para ajustar una l´ınea recta a: x y

6 29

7 21

11 29

15 14

17 21

21 15

23 7

29 7

29 13

37 0

39 3

Además de la pendiente y la intersección, calcule el error estándar de la estimación y el coeficiente de correlació n. Haga una gr´ afica de los datos y la l´ınea de regresión. ¿Si otra persona hiciera una medición adicional de x = 10, y = 10, usted pensar´ıa, con base en una evaluaci´ on visual y el error estándar, que la medición era válida o inválida? Justifique su conclusión. Soluci´ on Para este conjunto de datos se obtuvieron los siguientes resultados a) y = 31.7859 − 0.83071x b) Error est´ andar = 4.4763 c) Coeficiente de correlaci´ o n = 0.4921 No es válida, porque se aleja demasiado de la desviación estándar.

9

2.4

Problema 17.8

2


Figure 3: Ajuste de los datos del problema 17.5

2.4

Problema 17.8

Ajuste los datos siguientes con: a) un modelo de tasa de crecimiento de saturación b) una ecuación de potencias c)una par´ abola En cada caso, haga una gr´ afica de los datos y la ecuación. x y

0.75 1.2

2 1.95

3 2

4 2.4

6 2.4

8 2.7

8.5 2.6

Modelo de tasa de crecimiento de saturación Para hacer este modelo se propone la siguiente ecuación. k = k max

f K + f

Donde f es la cantidad de recursos k tasa de crecimiento K es la cantidad de recursos para la cual k = 21 kmax Para encontrar los valores de k max y K se hace el cambio de variable y = y x =

10

1 k

1 f

(31)

2.4

Problema 17.8

2


Con lo que obtenemos la siguiente ecuación: y =

K kmax

x +

1 kmax

(32)

Una vez que hacemos el cambio de variable obtenemos la siguiente recta: y = 0.3415 + 0.3693x ∴

kmax = 2.927 K = 1.08

Figure 4: Ajuste de los datos con modelo de tasa de saturación

Ecuaci´ on de potencias Para este ajuste se propone una ecuación de la forma: y = ax b

(33)

Para hacer este ajuste, primero se aplica el loaritmo a ambos lados para obtener una ecuación lineal que posteriormente es ajustada por m´ınimos cuadrados. Se tiene que: lny = lna + blnx 

y = c + bx

11



2.4

Problema 17.8

2


Despu´ es de aplicar e logaritmo se obtiene la siguiente recta de m´ınimos cuadrados 

y = 0.3529 + 0.3114x



∴

a = 1.423 b = 0.3114 y = 1.423x.3114

Figure 5: Ajuste de los datos con modelo de potencia

Parábola Mediante el programa LibreOffice Calc, se empleó el algoritmo de regresión polinomial y se obtuvo un polinomio de segundo orden mediante la siguiente ecuación de segundo grado: y = 0.9434 + 0.4499x − 0.0307x2

12

(34)

3


Figure 6: Ajuste de los datos con una par´ abola

3 3.1

Cap´ıtulo 18. Chapra Problema 18.1

Estime Estime el logaritmo natural de 10 por medio de interpolación lineal. a) Interpole entre log 8 = 0.9030900 y log 12 = 1.0791812. b) Interpole entre log 9 = 0.9542425 y log 11 = 1.0413927. Para cada una de las interpolaciones calcule el error relativo porcentual con base en el valor verdadero. La fórmula de la interpolaci´ on lineal es: y =

x − x1 (y2 − y1 ) + y1 x2 − x1

a) Al aplicar con esta fórmula con y1 = log8, y2 = log12, x1 = 8 y x2 = 12. Se obtiene: log10 = .9911, valor que tiene un error porcentual de 0.88% b) Al aplicar con esta fórmula con y1 = log9, y2 = log11, x1 = 9 y x2 = 11. Se obtiene: log10 = .9978176, valor que tiene un error porcentual de 0.21% 3.2

Problema 18.2

Ajuste un polinomio de interpolación de Newton de segundo orden para estimar el log 10, con los datos del problema 18.1 en x = 8, 9 y 11. Calcule el error relativo porcentual verdadero. Soluci´ on Para construir el polinomio de Newton, se utilizo el software LibreOffice Calc. Se elaboró un polinomio de orden 2 con los datos (8,log8) y (11,log11). El polinomio obtenido es el siguiente: f (x) = 0.90308 + 0.0461(x − 8) − 0.00607(x − 11)(x − 8) Evaluando se obtiene: f (10) = 1.0074 el cual tiene error relativo porcentual verdadero de 0.7% 13

3.3

Problema 18.3

3.3

3


Problema 18.3

Ajuste un polinomio de interpolación de Newton de tercer orden para estimar log 10 con los datos del problema 18.1. Ajuste un polinomio de interpolación de Newton de tercer orden para estimar log 10 con los datos del problema 18.1. Soluci´ on Se eligieron los datos (8,log8), (9,log9) y (12,log12). Se obtuvo el siguiente ploinomio f (x) = .90308 + .0511(x − 8) − .002376(x − 9)(x − 8) + .000373(x − 9)(x − 8)(x − 12) Al evaluar, se obtiene f (10) = .999 lo cual tiene un error porcentual de 0.1% 3.4

Problema 18.4

Dados los datos x f(x)

1.6 2

2 8

2.5 14

3.2 15

4 8

4.5 2

a) Calcule f(2.8) con el uso de polinomios de interpolación de Newton de órdenes 1 a 3. Elija la secuencia de puntos más apropiada para alcanzar la mayor exactitud posible para sus estimaciones. b) Utilice la ecuación (18.18) para estimar el error de cada predicción. Soluci´ on 3.4.1

Orden 1

Tomando el punto (2.5, 14) se obtiene la siguiente ecuación: f (x) = 14 + 5.599(x − 2.5) f (2.8) = 15.6797 La ecuación 18.18 establece que: Rn  f [xn+1, xn , xn

1 ,...,x 0 ](x

−

− x0 )(x − x1 )...(x − xn )

(35)

Al aplicarla al polinomio de orden 1 se obtiene que el error es de aproximadamente 1 .6797 Al aplicar (7) polinomio de orden 2 se obtiene que el error es de aproximadamente 0.156 3.4.2

Orden 2

Tomando los puntos (2.5, 14) y (3.2, 15) se obtiene la siguiente ecuación 14 + 1.4286(x − 2.5) − 1.3036(x − 3.2)(x − 2.5) 3.5

Problema 18.5

Dados los datos x f(x)

1 3

2 6

19

3 99

4 291

4 444

Calcule f(4) con el uso de polinomios de interpolació n de Newton de ó rdenes 1 a 4. Elija los puntos base para obtener una buena exactitud. ¿Qu´ e indican los resultados en relación con el orden del polinomio que se emplea para generar los datos de la tabla? 14

4

EJERCICIOS 3.4. FIRES & BURDEN

Figure 7: Polinomio de Newton de orden 1

4 4.1

Ejercicios 3.4. Fires & Burden Ejercicio 1

Determine el trazador cúbico libre S que interpola los datos f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 2. Soluci´ on S (x) = x en [0, 2]. 4.2

Ejercicio 2

Determine el trazador c´ ubico sujeto s que interpola los datos f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 2 y que satisface s (0) = s (2) = 1. s(x) = x en [0, 2]. 

4.3



Ejercicio 3

Construya el trazador c´ ubico libre de los siguentes datos. x a) 8.3 8.6 x b) 0.8 1.0

f(x) 17.56429 18.50515 f(x) 0.22363362 0.65809197

15

4.3

Ejercicio 3

4


x -0.5 c) -0.25 0

f(x) -0.02475000 0.3349375 1.1010000

x 0.1 d) 0.2 0.3 0.4

f(x) -0.62049958 -0.28398668 0.00660095 0.24842440

Soluci´ on Usando el código 1 de Octave del Anexo obtenemos los coeficientes de cada inciso.

a) a0 b0 c0 d0

17.56492000 3.13410000 0.00000000 0.00000000

a0 b0 c0 d0

0.22363362 2.17229175 0.00000000 0.00000000

a0 b0 c0 d0 a1 b1 c1 d1

-0.02475000 1.03237500 0.00000000 6.50200000 0.33493750 2.25150000 4.87650000 -6.50200000

b)

c)

16

4.4

Ejercicio 4


4

d) a0 b0 c0 d0 a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 4.4

-0.62049958 3.45508693 0.00000000 -8.9957933 -0.28398668 3.18521313 -2.69873800 -0.94630333 0.00660095 2.16707643 -2.98262900 9.942096600

Ejercicio 4

Los datos del ejercicio 3 se generaron usando las siguentes funciones. Utilice los trazadores cúbicos construidos en el ejercicio 3 para el valor dado de x, a fin de aproximar f (x) y f (x). También calcule el error real. a.f (x) = xlnx; aproxime f (8.5) y f (8.4). b.f (x) = sin(ex − 2); aproxime f (0.9) y f (0.9). c.f (x) = x 3 + 4.001x2 + 4.002x + 1.101; aproxime f (− 13 ) y f (− 13 ). d.f (x) = xcosx − 2x2 + 3x − 1; aproxime f (0.25) y f (0.25). 









Soluci´ on Las ecuaciones de los trazadores c´ ubicos de a) y b) son: S 0 (x) = a 0 + b0 (x − x0 ) + c0 (x − x0 )2 + d0 (x − x0 )3 En c) S(x)=

− x0 ) + c0 (x − x0 )2 + d0 (x − x0 )3 , en [x0 , x1 ]. S 1 (x) = a 1 + b1 (x − x1 ) + c1 (x − x1 )2 + d1 (x − x1 )3 , en [x0 , x1 ].

 S (x) = a + b (x 0

0

0

En d)

 S (x) = a + b (x S(x)= = a + b (x  S S (x) (x) = a + b (x 0

0

0

1

1

1

2

2

2

− x0 ) + c0 (x − x0 )2 + d0 (x − x0 )3 , en [x0 , x1 ]. − x1 ) + c1 (x − x1 )2 + d1 (x − x1 )3 , en [x1 , x2 ]. − x2 ) + c2 (x − x2 )2 + d2 (x − x2 )3 , en [x2 , x3 ].

Sustituyendo las funciones y utilizando el codigo 1 de Octave del anexo, obtenemos los siguientes coeficientes:

a) a0 b0 c0 d0

1.00000000 3.43656000 0.00000000 0.00000000

17

4.5

Ejercicio 7

4


b) a0 b0 c0 d0

1.33203000 -1.06249800 0.00000000 0.00000000

a0 b0 c0 d0 a1 b1 c1 d1

-0.029004996 -2.75128630 0.00000000 4.38125000 -0.56079734 -2.61984880 1.31437500 -4.38125000

a0 b0 c0 d0 a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2

c)

d)

4.5

0.86199480 0.17563785 0.00000000 0.06565093 0.95802009 0.22487604 0.09847639 0.02828072 1.09861230 0.34456298 0.14089747 -0.09393165

Ejercicio 7

Un trazador c´ ubico natural S en [0,2] está definido por: f(x)=

− x3 , si 0 ≤ x < 1. 2 3 S 1 = 2 + b(x − 1) + c(x − 1) + d(x − 1) , si 1 ≤ x ≤ 2.

 S = 1 + 2x 0

Obtenga b, c y d. Soluci´ on Introduciendo S 1 (x) = 2+b(x − 1)+c(x − 1)2 +d(x − 1)3 en el programa utilizado anteriormente, obtenemos las siguentes constantes: b = − 1 c = − 3 d = 1

18

5

5 5.1

Anexo C´ odigo 1

[a_inter] = cubic_spline(xi,a,inter) if length(xi) ~= length(a) erro(’los vectores xi deben tener el mismo tama~ no’); end % Graficamos puntos entre los que queremos interpolar: grid on; hold on; title(’Cubic Spline Interpolation’); plot(xi,a,’or’); n = length(xi); % Vector h con subintervalos: h = zeros(n-1,1); for j = 1:n-1 h(j) = xi(j+1) - xi(j); end % coeficiente de la matriz A: A = zeros(n); %condiciones del trazador natural: A(1,1)= 1; A(n,n) = 1; for i = 2:n-1 A(i,i-1) = h(i-1); A(i,i) = 2*(h(i-1)+h(i)); A(i,i+1) = h(i); end % Vector b: b = zeros(n,1); for i = 2:n-1 b(i) = (3/h(i))*(a(i+1)-a(i)) - (3/h(i-1))*(a(i)-a(i-1)); end % Coeficiente cj = A\b;

vector cj:

% Coeficient vector bj: bj = zeros(n-1,1); for i = 1:n-1 bj(i) = (1/h(i))*(a(i+1)-a(i)) - (1/3*h(i))*(2*cj(i)+cj(i+1)); end

19

ANEXO

5.1

C´ odigo 1

5

ANEXO

% Coeficiente vector dj: dj = zeros(n-1,1); for i = 1:n-1 dj(i) = (1/(3*h(i))) * (cj(i+1)-cj(i)); end % Matriz P con todos los polinomios P = zeros(n-1,4); for i = 1:n-1 P(i,1) = dj(i); P(i,2) = cj(i); P(i,3) = bj(i); P(i,4) = a(i); end % Graficamos el resultado: resolution = 100; for i = 1:n-1 f = @(x) a(i) + bj(i).*(x-xi(i)) + cj(i).*(x-xi(i)).^2 + dj(i).*(x-xi(i)).^3; xf = linspace(xi(i),xi(i+1),resolution); plot(xf,f(xf),’b’); end jl = 1; ju = n; while (ju - jl > 1) jm = ceil((jl + ju)/2); if (inter < xi(jm)) ju = jm; else jl = jm; end end plot(inter, a_inter, ’og’);

20

Ajuste De Curvas: Josue Becerra Rico May 16, 2016

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