“UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO” ESCUELA DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL
“AGITACIÓN” PROFESOR: ING. ARTEAGA MIAÑO HUBERT.
CURSO: LABORATORIO Nº 5 DE INGENIERÍA DE ALIMENTOS II
ALUMNA: MARTÍNEZ
TRUJILLO‐2011
SALDAÑA, YURICO ELIZABETH
AGITA A GITACIÓN CIÓN I. INTRODUCCIÓN Los agitadores son usados en operaciones para calentamiento de fluidos alimenticios, muy común en la industria de los alimentos en operaciones como: escaldado, cocido y esterilización. El proceso de agitación es uno de los más importantes dentro de la industria alimento porque el éxito de muchas operaciones industriales depende de una agitación y mezcla eficaz. Sin embargo, debido a la complejidad de los fenómenos de transporte involucrados, es uno de los procesos más difíciles de analizar y caracterizar. Las industrias agroalimentarias que fabrican productos estabilizados mediante tratamientos térmicos están sufriendo en los últimos años importantes cambios. Han pasado de ofertar únicamente los productos presentes en el mercado desde los últimos 20 años (presentados la práctica totalidad en envases cilíndricos de hojalata o vidrio) a incluir en su oferta un gran número de referencias en envases plásticos de distintas geometrías que, para ser aceptadas por los consumidores, exigen tratamientos térmicos imposibles de aplicar en los equipos instalados en estas industrias. La exigencia prioritaria de estos productos es conseguir una gran velocidad de transferencia de calor (cualquiera que sea la geometría del envase) que permita tener en cuenta al ajustar el tratamiento térmico, junto con el efecto esterilizador o pasteurizador buscados para conseguir la estabilización del producto, el efecto de cocción que asegure una alta calidad organoléptica acorde con las expectativas de los consumidores. Otra de las dificultades que aparece a la hora de caracterizar la mezcla y agitación es la gran cantidad de sustancias (líquidos y sólidos) que se pueden encontrar en la industria alimentos. Por tanto, el diseño y la optimización de agitadores están confiados en gran medida, a la experimentación. Se debe distinguir entre agitación y mezcla.
II. OBJETIVOS
Correlacionar el número de potencia con el número de Reynolds y el número de Froude. Determinar las constantes a, b y c de la equivalencia adimensional.
III. FUNDAMENTO AGITACIÓN. AGITA CIÓN. Agitación se puede definir como el movimiento circulatorio circulatorio inducido a un fluido dentro de un contenedor, fundamentalmente de forma circular y provocando vértices. El objeto de la agitación puede ser incrementar la transferencia de calor en el fluido o incrementar el transporte de materia, es decir, mezclar. En contraste con la agitación, mezclar es obtener una distribución espacialmente homogénea de dos o más fases inicialmente separadas. Aquí, una de las fases ha de ser un fluido, mientras que la otra puede ser algo tan variado.
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AGITA A GITACIÓN CIÓN I. INTRODUCCIÓN Los agitadores son usados en operaciones para calentamiento de fluidos alimenticios, muy común en la industria de los alimentos en operaciones como: escaldado, cocido y esterilización. El proceso de agitación es uno de los más importantes dentro de la industria alimento porque el éxito de muchas operaciones industriales depende de una agitación y mezcla eficaz. Sin embargo, debido a la complejidad de los fenómenos de transporte involucrados, es uno de los procesos más difíciles de analizar y caracterizar. Las industrias agroalimentarias que fabrican productos estabilizados mediante tratamientos térmicos están sufriendo en los últimos años importantes cambios. Han pasado de ofertar únicamente los productos presentes en el mercado desde los últimos 20 años (presentados la práctica totalidad en envases cilíndricos de hojalata o vidrio) a incluir en su oferta un gran número de referencias en envases plásticos de distintas geometrías que, para ser aceptadas por los consumidores, exigen tratamientos térmicos imposibles de aplicar en los equipos instalados en estas industrias. La exigencia prioritaria de estos productos es conseguir una gran velocidad de transferencia de calor (cualquiera que sea la geometría del envase) que permita tener en cuenta al ajustar el tratamiento térmico, junto con el efecto esterilizador o pasteurizador buscados para conseguir la estabilización del producto, el efecto de cocción que asegure una alta calidad organoléptica acorde con las expectativas de los consumidores. Otra de las dificultades que aparece a la hora de caracterizar la mezcla y agitación es la gran cantidad de sustancias (líquidos y sólidos) que se pueden encontrar en la industria alimentos. Por tanto, el diseño y la optimización de agitadores están confiados en gran medida, a la experimentación. Se debe distinguir entre agitación y mezcla.
II. OBJETIVOS
Correlacionar el número de potencia con el número de Reynolds y el número de Froude. Determinar las constantes a, b y c de la equivalencia adimensional.
III. FUNDAMENTO AGITACIÓN. AGITA CIÓN. Agitación se puede definir como el movimiento circulatorio circulatorio inducido a un fluido dentro de un contenedor, fundamentalmente de forma circular y provocando vértices. El objeto de la agitación puede ser incrementar la transferencia de calor en el fluido o incrementar el transporte de materia, es decir, mezclar. En contraste con la agitación, mezclar es obtener una distribución espacialmente homogénea de dos o más fases inicialmente separadas. Aquí, una de las fases ha de ser un fluido, mientras que la otra puede ser algo tan variado.
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La agitación es una operación unitaria importante en muchos procesos industriales. Se refiere al movimiento inducido de un material de propiedades físicas conocidas, generalmente con un modelo circulatorio dentro de algún tipo de contenedor. La agitación se utiliza en los siguientes casos:
Suspensión de partículas sólidas. Mezclado de líquidos Dispersión de un gas en un líquido en forma de pequeñas burbujas. Dispersión de un segundo líquido, inmiscible con el primero, para formar una emulsión o suspensión de gotas diminutas. Favorecer la transmisión de calor entre líquidos y un serpentín o camisa.
Los líquidos se agitan con más frecuencia en tanques, generalmente de forma cilíndrica. Se puede trabajar a presión atmosférica o mayores presiones. Las dimensiones del tanque y agitador y las condiciones de agitación, dependen de los objetivos del proceso. Generalmente la altura del líquido en el tanque es aproximadamente igual al diámetro del tanque. En una operación de calentamiento la función fundamental de un agitador es asegurar una transmisión de calor producto mayoritariamente por mecanismos conectivos. El coeficiente de transmisión de calor depende del grado de agitación. Se puede aumentar el coeficiente interno de trasmisión de calor aumentando la velocidad de agitación, pero este un incremento implica que los requerimientos de potencia aumentan en una proporción mas grande que el aumento del flujo de calor. Por esa razón se ha de seleccionar un agitador que proporcione un adecuado movimiento del fluido y después cambiar el área de transmisión de calor (variando la cantidad del liquido cambiando el equipo, etc.); el gradiente de temperatura u otras condiciones del proceso para conseguir el resultado deseado
CARACTERÍSTICAS DE LOS AGITADORES. A GITADORES. En la práctica, el diseño de la agitación ha de atender a dos factores: el grado de homogeneidad deseado y el tiempo de agitación. Dado que el resultado de la mezcla nunca es perfecto, el grado de homogeneidad se hace depender de la calidad deseada en el producto final. Finalmente, la potencia requerida en la agitación depende de estos dos factores, así como del rendimiento. La homogeneidad de una mezcla con partículas sólidas puede caracterizarse mediante el porcentaje de suspensión de sólidos, que se calcula como x100 %de suspensión de sólidos en el tanque %de suspensión de sólidos en un punto (2.1) El grado de homogeneidad también se puede caracterizar mediante la altura de suspensión, esto es, la altura del líquido en el tanque a la que se suspenden los sólidos.
Característic Característic as de los agit adores.
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El esquema de un agitador típico puede observarse en la siguiente figura. Generalmente, el tanque de agitación es un recipiente circular, que puede estar cerrado o abierto en su parte superior. Para evitar zonas con bajas velocidades, las esquinas se eliminan empleando un fondo casi esférico. Para aumentar la eficiencia del mezclado, se pueden instalar unos deflectores en la pared del tanque; así se evita que el fluido gire como un sólido rígido y se logra aumentar la vorticidad. El rodete o hélice suele estar acoplado a un eje aproximadamente vertical. La excentricidad e inclinación de este eje se pueden variar para lograr rendimientos mayores.
Figura 1. Esquema de un agitador cilíndrico con fondo cilíndrico.
Principalmente se emplean tres tipos de rodetes (ver figura 2):
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De palas planas, de gran tamaño (50-80% el diámetro del tanque) y con velocidad de trabajo entre 20-150 rpm. Turbinas, de menor diámetro (30-50% el diámetro del tanque) y mayor velocidad de giro. Hélices, cuya misión es enviar fundamentalmente el flujo en dirección axial.
El rodete impone un movimiento al fluido en las tres direcciones del espacio: axial, radial y tangencial. La mezcla originada puede clasificarse de cuatro tipos:
Suspensión prácticamente completa con fileteado. Suspensión con movimiento completo de partículas. Suspensión completa o suspensión fuera del fondo. Suspensión uniforme.
Un número muy importante para caracterizar los tanques de agitación es el número adimensional de potencia, también llamado número de Newton, que se calcula como
Donde ρ es la densidad del fluido, suministrada.
ω
es la velocidad angular del eje y P la potencia
Figura 2. Rodetes de mezcla. (a) hélice marina de tres patas. (b) turbina abierta de palas rectas. (c) turbina de disco con palas. (d) turbina abierta de patas curvas. Los agitadores utilizados en la industria pueden ser de tres clases : aquellos que operan a gran velocidad creando totalmente gradientes de velocidad, obteniéndose un eficiente
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transporte de cantidad de movimiento que transmite la energía desde el agitador hacia los rincones mas lejanos del tanque; aquellos que no pueden contar con transporte de cantidad de movimiento adecuado a causa de los efectos viscosos, y que por eso son grandes con el fin de extenderse hacia los rincones mas lejanos del tanque ; y aquellos que operan lentamente sin crear gradientes altos, pero que cuentan con una excelente capacidad de bombeo como para llegar a cada rincón del tanque. El tipo de flujo que se produce en un tanque agitado, depende del tipo de agitador, de las características del fluido y del tamaño y proporciones del tanque, placas def lectoras y agitador. De las tres componentes de la velocidad del flujo creada en el tanque (figura 3), las componentes longitudinal y radial contribuyen para que se produzca una mezcla. Cuando el eje es vertical y esta puesto en el centro del tanque, la componente tangencial de velocidad es generalmente perjudicial a la mezcla. De este modo aparece uno de los principales problemas en los procesos de agitación, que es la aparición de un vórtice que debido a la circulación en flujo laminar da lugar a una estratificación permanente en diferentes niveles de sustancia sin mezclar, sin que exista flujo longitudinal de un nivel a otro. Si hay partículas solidas, las corrientes circulatorias tienden a lanzar las partículas contra la pared del tanque, debido a la fuerza centrífuga desde donde caen acumulándose en la pared central del fondo del tanque, provocando una concentración en lugar de una mezcla.
Figura 3. Componentes de la velocidad en la agitación de líquidos. A: longitudinal, B: tangencial o rotacional, C: radial. A continuación se describen algunos típicos de agitadores mas utilizados en la industria de alimentos:
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PALAS. En su forma mas sencilla un agitador de palas consta de una pala plana que gira sobre un eje vertical que normalmente esta montada en el centro del tanque. Las palas giran a bajas o moderadas velocidades, produciendo un flujo de liquido radical en el plano de la pala y tangencial o rotativa, sin que haya prácticamente movimiento vertical excepto si las placas están inclinadas. Las corrientes que generan se desplazan hacia fuera hasta la pared del tanque y después hacia arriba o hacia abajo. En tanques profundos se instala varias palas, una sobre otras, en un mismo eje. Los agitadores industriales giran a velocidades comprendidas entre 20 y 150 rpm. La longitudinal total de un agitador de palas mide, en general ½ a ¾ del diámetro del tanque, siendo la anchura de la pala de 1/10 a un sexto de su longitud. Velocidades muy bajas los agitadores de palas generan una agitación muy suave en tanques sin placas deflectoras, las cuales son necesarias para velocidades mas elevadas, pues de lo contraria el liquido se desplaza en bloque alrededor del tanque con velocidad alta, pero con poca mezcla.
TURBINA. Los agitadores de turbina están compuestos por un componente impulsor con mas de 4 palas cortas montadas sobre el mismo elemento y fijas a un eje rotatorio, montados centralmente en un tanque , que giran a alta velocidad. Las palas pueden ser rectas o curvas, inclinadas o verticales para incrementar el flujo radial o longitudinal y en general son mas pequeñas que las palas, midiendo de 30 a 50% del diámetro del tanque. Cuando se utilizan palas rectas sencilla se producen fuertes corrientes radiales y rotatorias. Los componentes tangenciales inducen la formación de vórtices y remolinos, que deben ser evitados por uso de placas deflectoras para que la agitación sea mas eficaz. Las turbinas son eficaces para un amplio intervalo de viscosidades y se utilizan para procesar un gran número de sustancias: sin embargo, es de costo más alto y posee ciertos riesgos de atascos. En líquidos de baja viscosidad las turbinas generan fuertes corrientes que persisten y destruyen bolsas de fluidos estancados, lo que implica una buena homogenización del contenido del tanque. Cerca del agitador hay una zona de corrientes rápidas, elevada turbulencia e intensa cizalladora
HÉLICE. Son agitadores con elementos impulsores de hojas cortas (generalmente de menos de un cuarto del diámetro del tanque), girando a gran velocidad que puede llegar hasta varios millares de R.P.M. Las corrientes de flujo que produce el agitador son principalmente longitudinal y rotatoria y contínua a través del líquido en una dirección determinada hasta que chocan con el fondo de las paredes del tanque. Debido a la persistencia de estas corrientes
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de flujo, estos agitadores son efectivos en tanques muy grandes. También son los agitadores más efectivos para la agitación de fluidos poco viscosos. Como las palas de la hélice corta y cizalla vigorosamente la sustancia, se les puede utilizar para dispersar solidos y para preparara suspensiones. Los agitadores de hélice mas frecuentes son del tipo hélice marina de palas.
ANCORA . Las ancoras son agitadores tipo palas diseñados de forma que rasquen y limpien las paredes del tanque, de forma que pasan sobre ellas con una holgura muy pequeña. Estos tipos de agitadores son utilizados a fin de promover la transmisión de calor y minimizar la formación de depósitos en los tanques encamisados pero en cambio son malos mezcladores. Son también utilizados para mezclas de líquidos viscosos, generan grandes fuerzas de cizalla y en general provocan un movimiento radial. Así siempre operan conjuntamente con un agitador de alta velocidad que gira en sentido contrario, si bien para calentamiento de purés de frutas, un segundo agitador no afecta significadamente a la transmisión de calor.
VISCOSIDAD Y AGITACIÓN DE LÍQUIDOS. La viscosidad ejerce un papel importante en el procesamiento de alimentos donde ocurre el calentamiento y la agitación de los mismos. El calentamiento siempre provoca una alteración en la viscosidad de cualquier tipo e liquido. Sin embargo, si se trata de agitación de un líquido la viscosidad dependerá del tipo de fluido que se procesa. Cuando se trabaja con fluidos newtonianos la velocidad de agitación empleada en el proceso no provoca variación de la viscosidad, ya que la viscosidad es independiente de la velocidad de deformación. Para fluidos no newtonianos la viscosidad ya no es constante y dependerá de las velocidades de deformación locales puesto que se debe trabajar con el concepto de viscosidad aparente. Los gradientes de velocidad de un tanque agitado varían linealmente de un punto a otro del fluido. La distribución de velocidad es función de la viscosidad y del esfuerzo constante aplicado, lo que provoca cambios en el funcionamiento del agitador cundo el fluido es no newtoniano. También varía linealmente con la velocidad del agitador. En este caso, la velocidad variara de un valor máximo en la zona de contacto con el agitador hasta velocidades más bajas cerca de la pared del tanque y además, si el flujo es pseudoplástico será mas viscoso en regiones lejanas del agitador (próximo a la pared del tanque) que en la región de agitación (próximo al agitador). La disminución de la velocidad de agitación entre la pared del tanque y el agitador es mas pronunciada en fluidos pseudoplástico que en fluidos newtonianos. También se ha comprobado trabajando con fluidos dilatantes, que al intensificar la velocidad de agitación se
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incrementa la viscosidad del fluido situado en contacto con el agitador. Esto produce una mejor agitación debido a que en la práctica aumenta el diámetro del agitador. Diversos autores coinciden en afirmar que existe cierta dificultad para determinar el gradiente de velocidad local cuando se trabaja con un fluido pseudoplástico en tanque agitado. A partir de los valores de la velocidad ( ) aplicados en un viscosímetro, se obtiene un valor medio de velocidad de deformación ( ) en un tanque agitado. Este valor de para el flujo en el interior del tanque agitado se ha encontrado que es linealmente proporcional a la velocidad de agitación de agitador según la expresión:
Siendo:
: Constante de proporcionalidad N: velocidad de agitación.
CORRELACIÓN DE LA POTENCIA PARA TANQUES AGITADOS ENCAMISADOS. El interés en el consumo de potencia durante la agitación de fluidos no es solamente por factores económicos, sino también por el hecho de que los cambios en el par de torsión son indicativos de los cambios en el perfil de velocidades en el tanque. La distribución de velocidad de un líquido en un tanque de formato cilíndrico agitado y encamisado es similar al conocido vórtice combinado de Rankine donde el líquido próximo al centor del tanque gira con la misma velocidad angular del agitador, mientras que el fluido de la parte externa es similar al vórtice libre. El consumo de potencia de un agitador se relaciona estrechamente a este perfil de velocidad del flujo. La energía introducida por un agitador en un sistema en el que se trata un liquido esta determinada por la velocidad de rotación(N), la configuración del agitador (diámetro de )y las propiedades físicas del producto (viscosidad η y densidad ρ). Si las dimensiones lineales, como el diámetro del tanque y la profundidad del líquido en el mismo y el número, dimensión y posición de las palas son proporcionales al valor del diámetro, la potencia del agitador se puede expresar según la siguiente ecuación:
,,,,
En la es la aceleración es la aceleración de la gravedad.
Del análisis adimensional, se obtiene una correlación entre los módulos de potencia, Reynolds y Froude:
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Donde:
Módulo de Potencia
Módulo de Reynolds
Módulo de Froude
Siendo a, b, c factores constantes que dependen del sistema y de su geometría. De esta manera:
El concepto del número de potencia es análogo al factor de fricción o aun coeficiente de rozamiento. Así, se puede definir que es proporcional a la relación entre la fuerza de rozamiento que actúa sobre el fluido en una unidad de área del agitador y la fuerza inercial. Esa fuerza inercial esta relacionada con el flujo de cantidad de movimiento correspondiente al movimiento global del fluido. Numerosos investigadores utilizaron esa ecuación para la agitación de líquidos en tanques cilíndricos para correlacionar el número de potencia. El número de Froude representa el coeficiente de fuerzas aplicadas / gravedad. La formación de vórtices es un efecto gravitacional y se suprime o es poco importante puede no tenerse en cuenta en el número de Froude. Cuando el módulo de Reynolds adquiere valores bajos, el modulo de Froude no tiene efectos importantes en la agitación, y suele tomar valores cer canos a la unidad. Si la influencia del número de Froude es despreciables, la ecuación se puede expresar como:
En la que para líquidos newtonianos el flujo laminar b = -1. El parámetro adquiere diferentes valores, dependiendo del tipo de agitador utilizado. En la bibliografía puede encontrarse valores del parámetro para agitadores tipo hélice, palas y turbinas, estando sus valores comprendidos entre 35 y 100. El numero de Reynolds en la agitación esta definido solamente en función de las características del agitador y del líquido y no por las características del tanque. También se utilizan un número de Reynolds modificado que describe todo el sistema de tanque agitado, y que se expresa en la siguiente manera:
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Siendo:
: Profundidad del líquido : Masa del agitador : Diámetro del tanque
La correlación es mejor para fluidos newtonianos y la disminución de correlación.
IV. MATERIALES Y MÉTODOS MATERIALES Biológico: Azúcar Agua
Materiales de Laboratorio: Cucharas Ollas Tanque agitador Hornilla (para calentar las soluciones de mayores ºBrix) Balanza analítica Amperímetro Tacómetro digital (permite medir las revoluciones por minuto) Bolita de acero
MÉTODOS Preparación de la Solució n de Sacarosa
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η aumenta
el desvío de
Se prepararan 4 concentraciones distintas de soluciones de sacarosa, las cuales serán de: 20, 40, 60 y 80 ºBrix (%P/P). Estas soluciones a prepararse calentaremos las soluciones de mas altas concentraciones (60 y 80 ºBrix).
Encontrando N (velocidad de agitación s-1), I (A), P (W), Fr (Froude), Po (Modulo de potencia).
Llenar el tanque con las soluciones de sacarosa a sus distintos ºBrix (20, 40, 60 y 80 ºBrix) hasta una altura igual a su diámetro. situando el agitador hasta una altura equivalente a un tercio del diámetro del tanque. Poner en marcha el agitador, anotando la intensidad (mediante el uso del amperímetro), que consume el motor. Medir la velocidad de agitación N con las que se mueve el agitador en r.p.m. esto se realizará mediante la ayuda del tacómetro digital. Con el regulador variar la potencia del motor, anotando la intensidad y un número de revoluciones para 7 disposiciones distintas del regulador. Repetir el experimento con cada una de las concentraciones de sacarosa. Repetir el proceso de igual manera con otro tipo de agitador. Los agitadores que se usaran serán de turbina y paleta.
Tener cuidado que en la realización de la practica no se forme vórtices, ya que en caso contario no se podrá usar la ecuación
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Figura 4. Tanque típico de proceso de calentamiento de alimentos fluidos.
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V. RESULTADOS Y DISCUSIONES
Tabla 1. Datos en la solución de sacarosa a 20ºBrix con un agitador de Paletas Nº Ensayos
N(rpm)
N(s‐1)
I(A)
P(W)
Fr
Re
Po
Ln Po
Ln Re
Ln Fr
1
150.3
2.505
0.6
132
0.023051112
23.8859037
130280.985
11.7774488
3.1732885
‐3.7700413
2
200.5
3.34166667
0.7
154
0.041020663
31.8637637
64026.7758
11.0670566
3.4614694
‐3.1936794
3
260.6
4.34333333
0.8
176
0.069298327
41.4149467
33325.2546
10.4140708
3.7236418
‐2.6693345
4
309.1
5.15166667
0.9
198
0.097492663
49.1226402
22467.369
10.0198193
3.89432
‐2.3279782
5
348.5
5.80833333
1
220
0.123930867
55.3841479
17418.0036
9.76525964
4.0142934
‐2.0880314
6
448
7.46666667
1.1
242
0.2048
71.1968386
9019.14495
9.10710481
4.2654484
‐1.5857214
7
524.9
8.74833333
1.2
264
0.281142867
81.2990492
6117.27847
8.71887258
4.3981343
‐1.2688923
Ln Re vs Ln Po (paleta) 14 12 y = ‐2.4655x + 19.61 R² = 0.9992
10 ) o P ( n L
8 6 4 2 0 0
1
2
3
4
Ln(Re)
Figura 5. Ln Re vs Ln Po en Paletas.
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5
Tabla 2. Con análisis de datos tenemos las estadísticas de regresión para Paleta a 20ºBrix.
Estadísticas de la regresión
Coeficiente de correlación múltiple
0.999858516
Coeficiente de determinación R^2
0.999717052
R^2 ajustado
0.999575578
Error típico
0.022021132
Observaciones
7
Tabla 3. Análisis de Varianza para Paleta a 20ºBrix. Grados de libertad
Suma de cuadrados
Promedio de los cuadrados
F
Valor crítico de F
Regresión
2
6.85345694
3.42672847
7066.43601
8.00596E‐08
Residuos
4
0.00193972
0.00048493
Total
6
6.85539666
Tabla 4. Determinación de los valores de a, b y c por Análisis de Datos en Excel de Paleta. Coeficientes
Intercepción
3.721205892
X2 (ln (Fr))
‐1.556768632
X1 (ln(Re))
0.687176589 lnPo ln a a b c
Po= a(Re^b)(Fr^c) ln Po=ln a + b ln Re + c ln Fr
Y 3.72120589 41.3141845 0.68717659 ‐1.55676863
Tabla 5. Determinación de los valores de a, b y c por Statistica para paleta a 20ºBrix Agitador
paleta
Brix/constantes
a
b
c
20
1.90
1.27
‐1.86
14
Tabla 6. Datos en solución de sacarosa a 20ºBrix con un agitador de Turbina. Nº Ensayos 1
N(rpm)
N(s‐1)
I(A)
P(W)
Fr
Re
Po
Ln Fr
Ln Re
Ln Po
81.4
1.35666667
0.5
110
0.011832071
39.6171471
41640.2444
‐4.4369415
3.679262
10.6368224
2
116.5
1.94166667
0.6
132
0.024236161
56.7002167
17044.7233
‐3.7199095
4.037778
9.74359595
3
197.9
3.29833333
0.7
154
0.069936446
96.3173638
4056.73966
‐2.6601684
4.5676486
8.30813489
4
235.9
3.93166667
0.8
176
0.099372875
114.811855
2737.30156
‐2.3088761
4.7432947
7.91472788
5
268.7
4.47833333
0.9
198
0.128928018
130.775521
2083.79979
‐2.048501
4.8734823
7.64194833
6
305.2
5.08666667
1
220
0.166334
148.539967
1580.02112
‐1.7937575
5.0008541
7.36519349
7
409.9
6.83166667
1.2
264
0.300032161
199.497157
782.643479
‐1.2038656
5.2958
6.66267727
Ln Re vs. Ln Po (turbina) 12 10 ) o P ( n L
y = ‐2.473x + 19.79 R² = 0.998
8 6 4 2 0 0
1
2
3 Ln(Re)
4
5
6
Figur a 6. Ln Re vs Ln Po en turbina. Tabla 7. Con análisis de datos tenemos las estadísticas de regresión para turbina a 20ºBrix. Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple
0.999187821
Coeficiente de determinación R^2
0.998376301
R^2 ajustado
0.798051561
Error típico
0.061578183
Observaciones
7
Tabla 8. Análisis de Varianza para turbina a 20ºBrix. Grados de
Suma de
Promedio de los
libertad
cuadrados
cuadrados
F
Regresión
2 11.65768999
5.828844995 3074.38859
Residuos
5 0.018959363
0.003791873
Total
7 11.67664935
15
Valor crítico de F
4.22647E‐07
Tabla 9. Determinación de los valores de a, b y c por Análisis de Datos en Excel de Turbina. Coeficientes
Intercepción X2 (ln (Fr))
5.113814222 ‐1.236868612
X1 (ln(Re))
0
Y 5.113814222 166.303465 0 ‐1.23686861
lnPo
Po= a(Re^b)(Fr^c) ln Po=ln a + b ln Re + c ln Fr
ln a a b c
Tabla 10. Determinación de los valores de a, b y c por Statistica para Turbina a 20ºBrix.
Agitador
turbina
Brix/constantes
a
b
c
20
11.79
1.72
‐2.15
Tabla 11. Datos en solución de sacarosa a 40ºBrix con un agitador de Turbina.
Tipo de paleta
TURBINA
Muestras N (rpm)
N(s‐1)
I(A)
P(W)
Fr
Re
Po
Y (ln(Po))
X1 (ln(Re))
X2 (ln (Fr))
1
149.4
2.49
0.5
110
0.039857786
70.8648583
6152.06677
8.72454337
4.26077466
‐3.22243752
2
210
3.5
0.7
154
0.07875
99.6092386
3101.29433
8.03957483
4.60125492
‐2.541477
3
248.45
4.14083
0.8
176
0.110227504
117.847216
2140.30572
7.66870396
4.769389
‐2.20520883
4
285
4.75
0.9
198
0.145044643
135.183967
1595.1839
7.37474431
4.90663657
‐1.9307137
5
334.95
5.5825
1
220
0.200341969
158.876736
1091.84976
6.99562856
5.06812865
‐1.60772953
6
395.45
6.59083
1.2
264
0.279251254
187.573683
796.176464
6.67982085
5.23417174
‐1.27564335
7
493.35
8.2225
1.4
308
0.43463254 234.010561 478.371686 6.17038802
5.45536625
‐
16
0.83325434
10 9 8 7 o P n L
y = ‐2.1432x + 17.88 R² = 0.9995
6 5 4 3 2 1 0 0
1
2
3
4
5
6
Ln Re
Figura 7. Ln Re vs Ln Po en solución de sacarosa a 40ºBrix con agitador de Turbina. Tabla 12. Con análisis de datos tenemos las estadísticas de regresión para Turbina a 20ºBrix. Estadísticas de la regresión
Coeficiente de correlación múltiple Coeficiente de determinación R^2 R^2 ajustado Error típico
0.999734467 0.999469004 0.799362804 0.021683691
Observaciones
7
Tabla 13. Análisis de Varianza para Turbina a 40ºBrix. Grados de libertad
Suma de cuadrados
Promedio de los cuadrados
F
Regresión
2 4.425009679
2.212504839 9411.26065
Residuos
5 0.002350912
0.000470182
Total
7 4.427360591
17
Valor crítico de F
4.51419E‐08
Tabla 14. Determinación de los valores de a, b y c por Análisis de Datos en Excel de Turbinaa 40ºbrix. Coeficientes
Intercepción X1 (ln(Re))
5.294536394 0
X2 (ln (Fr))
‐1.071618068 Y 5.294536394 199.2452333 0 ‐1.071618068
lnPo
Po= a(Re^b)(Fr^c) ln Po=ln a + b ln Re + c ln Fr
ln a a b c
Tabla 15. Determinación de los valores de a, b y c por Statistica para Turbina a 40ºBrix Agitador
turbina
Brix/constantes
a
b
c
40
1.67
0.83
‐1.46
Tabla 16. Datos en solución de sacarosa a 40ºBrix con un agitador de paleta.
Tipo de Muestras paleta
PALETA
N (rpm)
N(s‐1)
I(A)
P(W)
1
218.25
3.6375
0.1
22
2
299.15 4.985833333
0.2
3
456.3
4 5
X1 (ln(Re))
X2 (ln (Fr))
0.048605166 33.8032518 6477.84146 8.77614263
3.52055701
‐
44
0.091317064 46.3333003 5031.02003 8.52337803
3.83586093
0.4
88
0.212458867 70.6731904 2835.31723 7.94990911
4.2580663
‐
575.15 9.585833333 637.6 10.62666667
0.6 0.8
132 176
0.337548492 89.0810552 2123.73806 7.66093305 0.414830367 98.7535091 2078.44307 7.63937437
1.54900687 4.48954669 ‐1.0860461 4.59262694 ‐0.8798856
6
669.4
11.15666667
0.9
198
0.457241184 103.678794
7.61114542
4.6412976
‐
7
674.65 11.24416667
0.9
198
0.464441452 104.491931 1973.78574 7.58770867
4.64910985
7.605
Fr
Re
18
Po
2020.5912
Y (ln(Po))
3.02402546
‐ 2.39341761
0.78254427
‐ 0.76691977
9 8.8 8.6 8.4 o P n L
y = ‐1.0959x + 12.659 R² = 0.9893
8.2 8 7.8 7.6 7.4 0
1
2
3
4
5
Ln Re
Figura 8. Ln Re vs Ln Po en Paleta a 40ºBrix en solución de sacarosa. Tabla 17. Con análisis de datos tenemos las estadísticas de regresión para Paleta a 40ºBrix. Estadísticas de la regresión
Coeficiente de correlación múltiple Coeficiente de determinación R^2 R^2 ajustado Error típico Observaciones
0.99463282 0.98929445 0.78715334 0.05544958 7
Tabla 18. Análisis de Varianza para Paleta a 40ºBrix.
Grados de libertad
Suma de cuadrados
Promedio de los cuadrados
Regresión Residuos
2 5
1.42063754 0.71031877 0.01537328 0.00307466
Total
7
1.43601082
19
F
Valor crítico de F
462.047573 1.85753E‐05
Tabla 19. Determinación de los valores de a, b y c por Análisis de Datos en Excel de Paleta a 40ºbrix. Coeficientes
Intercepción X1 (ln(Re))
7.14355664 0
‐ X2 (ln (Fr))
0.54796597
Y 7.14355664 1265.92283 0 ‐0.54796597
lnPo ln a a b c
Po= a(Re^b)(Fr^c) ln Po=ln a + b ln Re + c ln Fr
Tabla 20. Determinación de los valores de a, b y c por Statistica para paleta a 40ºBrix
Agitador
paleta
Brix/constantes
a
b
c
40
3.12
1.20
‐1.14
Tabla 21. Datos en solución de sacarosa a 60ºBrix con un agitador de Turbina. Tipo de N Paleta Muestras promedio
N(s‐1)
I(A)
P(W)
3.525
0.5
110
Fr
Re
Po
Y (ln(Po))
X1 (ln(Re))
X2 (ln (Fr))
‐ 1
211.5
0.079879018 89.4509418
2008.36215 7.60507482 4.49369034 2.52724207
‐ 2
245.1
4.085
0.7
154
0.107275018 103.6615879 1806.63844 7.49922318 4.64113163 2.23235948
‐ 3 Turbina
333.5
5.558333333
0.9
198
0.198611161 141.049121
922.057775 6.82660788 4.94910821 1.61640633
‐ 4
352.3
5.871666667
1
220
0.221634446 149.0003158 869.090915 6.76744774 5.00394843 1.50672589
‐ 5
451.3
7.521666667
1.2
264
0.363699446 190.8709694 496.121885 6.20682163 5.25159765 1.01142745
6
501.4
8.356666667
1.4
308
0.448932071 212.0600578 422.063879 6.04515668 5.35686953 0.80088369
‐ ‐ 7
521.6
8.693333333
1.5
330
0.485833143 220.6033628 401.681334 5.99565907 5.39636635 0.72189004
20
9 8 7
y = ‐1.8914x + 16.189 R² = 0.9926
6 o P
5
N L
4 3 2 1 0 0
1
2
3
4
5
6
LN Re
Figura 9. Ln Re vs Ln Po en solución de sacarosa a 60ºBrix con un agitador de Turbina. Tabla 22. Con análisis de datos tenemos las estadísticas de regresión para Turbinaa 60ºBrix. Estadísticas de la regresión
Coeficiente de correlación múltiple Coeficiente de determinación R^2 R^2 ajustado Error típico
0.99629581 0.99260533 0.7911264 0.06256001
Observaciones
7
Tabla 23. Análisis de Varianza para Turbina 60ºBrix con un agitador de Turbina. Grados de libertad
Promedio de los cuadrados
Suma de cuadrados
F
Valor crítico de F
Regresión
2
2.626766761
1.313383381 671.162909 8.8271E‐06
Residuos
5
0.019568772
0.003913754
Total
7
2.646335533
Tabla 24. Determinación de los valores de a, b y c por Análisis de Datos en Excel con un agitador de Turbina. Coeficientes
Intercepción X1 (ln(Re)) X2 (ln (Fr))
5.29925075 0 ‐0.94569427
Po= a(Re^b)(Fr^c)
21
Y 5.299250751 200.1867641 0 ‐0.945694275
lnPo ln a a b c
ln Po=ln a + b ln Re + c ln Fr
Tabla 25. Determinación de los valores de
a, b y c
por Statistica para turbina a 60ºBrix. Agitador
turbina
Brix/constantes
a
b
c
60
1.67
0.85
‐1.32
Tabla 25. Datos en solución de sacarosa a 60ºBrix con un agitador de Paleta. Tipo N de Muestras promedio Paleta
N(s‐1)
I(A) P(W)
Fr
Re
Po
Y (ln(Po))
X1 (ln(Re))
X2 (ln (Fr))
‐ 1
205.1
3.418333333
0.5
110
0.0429245 28.32462108 36146.5129 10.4953358 3.34373143 3.14831252
‐ 2
338.2
5.636666667
0.7
154
0.11671351 46.70593296 11286.7944
3
447.7
7.461666667
0.9
198
0.204525806 61.82804904 6255.68122
9.33138868
3.8438712 2.14803298
‐ 8.74124532 4.12435713 1.58706112
Paleta
‐ 4
494.5
8.241666667
1
220
0.249520663 68.29120003 5158.15627
8.54833448 4.22378092 1.38821355
‐ 5
592.6
9.876666667
1.2
264
0.358341592 81.83895882 3596.57969
6
679.7
11.32833333
1.4
308
0.4714205 93.86760093 2780.79907
7
702.5
11.70833333
1.5
330
0.503577806 108.8065956 2698.64437
8.18773859
4.4047534 1.02626858
7.9304936 4.54188529
7.90050484 4.68957195 0.68601705
12 10
y = ‐2.0047x + 17.088 R² = 0.9845
8 o P n L
6 4 2 0 0
1
2
3
4
5
Ln Re
Figura 10. Ln Re vs Ln Po en solución de sacarosa a 60ºBrix con un agitador de Paleta.
22
‐0.7520048 ‐
Tabla 26. Con análisis de datos tenemos las estadísticas de regresión para Paleta a 60ºBrix. Estadísticas de la regresión
Coeficiente de correlación múltiple Coeficiente de determinación R^2 R^2 ajustado Error típico
0.999198588 0.998397818 0.997596726 0.04534066
Observaciones
7
Tabla 27. Análisis de Varianza para Paleta a 60ºBrix. Grados de libertad
Suma de cuadrados
Promedio de los cuadrados
Regresión Residuos
2 4
5.124214972 0.008223102
Total
6
5.132438074
F
Valor crítico de F
2.562107486 1246.2973 0.002055775
2.56699E‐06
Tabla 28. Determinación de los valores de a, b y c por Análisis de Datos en Excel de Paleta a 60ºbrix. Coeficientes
Intercepción
3.309820772
X1 (ln(Re))
0.766116061
X2 (ln (Fr))
‐1.454668918
Y
lnPo ln a a b c
Po= a(Re^b)(Fr^c) ln Po=ln a + b ln Re + c ln Fr
3.309820772 1.19689404 0.766116061 ‐1.454668918
Tabla 29. Determinación de los valores de a, b y c por Statistica para paleta a 60ºBrix. Agitador
paleta
Brix/constantes
a
b
c
60
2.89
1.20
‐1.72
23
Tabla 30. Datos en solución de sacarosa a 80ºBrix con un agitador de Turbina. Tipo de paleta
TURBINA
ENSAYOS
N (rpm)
N(s‐1)
I(A)
P(W)
Fr
Re
Po
Y (ln(Po))
X1 (ln(Re))
X2 (ln (Fr))
1
6.2
0.103333333
0.8
176
6.86429E‐05
0.023836725
113716508
18.5492191
‐3.73652783
‐9.58659348
2
9.5
0.158333333
1
220
0.000161161
0.036524014
39512797.8
17.4921352
‐3.30978532
‐8.73310847
3
13.9
0.231666667
1.2
264
0.000345018
0.053440399
15137196.3
16.5326656
‐2.92918828
‐7.97191438
4
20.8
0.346666667
1.3
286
0.000772571
0.079968367
4893977.24
15.4035159
‐2.52612414
‐7.16578609
5
25.3
0.421666667
1.5
330
0.001143018
0.097269215
3137894.18
14.9590625
‐2.33027273
‐6.77408327
6
25.8
0.43
1.6
352
0.001188643
0.099191532
3156235.95
14.9648907
‐2.31070263
‐6.73494308
7
28.9
0.481666667
1.8
396
0.001491446
0.111109894
2526315.43
14.7422724
‐2.19723553
‐6.50800887
8
31.2
0.52
1.9
418
0.001738286
0.11995255
2119329.17
14.5666102
‐2.12065903
‐6.35485587
20 18 y = ‐2.5028x + 9.1873 R² = 0.9984
16 14 12
o P
10
N L
8 6 4 2 0
‐4
‐3.5
‐3
‐2.5
‐2
‐1.5
‐1
‐0.5
0
ln Re
Figura 11. Ln Re vs Ln Po de solución de sacarosa 80ºbrix en turbina . Tabla 31. Con análisis de datos tenemos las estadísticas de regresión para Turbina a 80ºBrix. Estadísticas de la regresión
Coeficiente de correlación múltiple Coeficiente de determinación R^2 R^2 ajustado Error típico Observaciones
0.99920526 0.99841115 0.83147967 0.0631886 8
24
Tabla 32. Análisis de Varianza para Turbina a 80ºBrix.
Grados de libertad
Promedio de los cuadrados
Suma de cuadrados
Valor crítico de F
F
Regresión Residuos
2 6
15.05410276 7.527051382 3770.31312 0.023956794 0.003992799
Total
8
15.07805956
1.1303E‐08
Tabla 33. Determinación de los valores de a, b y c por Análisis de Datos en Excel de Turbina a 80ºbrix. Coeficientes
Intercepción
6.54239047
X1 (ln(Re))
0
X2 (ln (Fr))
‐1.25141454 Y 6.542390474 1.878302615 0 ‐1.25141454
lnPo ln a a b Determinación de los valores de a, b y c por c
Po= a(Re^b)(Fr^c) ln Po=ln a + b ln Re + c ln Fr
Tabla 34.
Statistica para paleta a 20ºBrix Agitador
Tabla 35. Tipo de paleta
PALETA
turbina
Brix/constantes
a
b
80
0.82
0.94
c
‐0.99 Datos en solución de sacarosa a 80ºBrix con un agitador de Paleta.
ENSAYOS
N (rpm)
N(s‐1)
I(A)
P(W)
1
24.5
0.408333333
0.5
110
2
43.2
0.72
0.7
3
52.3
0.871666667
4
80.9
5
Fr
Re
Po
Y (ln(Po))
X1 (ln(Re))
0.0006125
0.030757064
154
0.001904327
0.8
176
1.348333333
1.1
110.3
1.838333333
6
118.6
7 8
18904734.9
16.754923
‐3.48163558 ‐7.39796162
0.054232864
4827759.65
15.3898931
‐2.9144682 ‐6.26362686
0.002791112
0.065656917
3109451.32
14.9499568
‐2.72331233 ‐5.88131511
242
0.006678378
0.101561081
1155170.16
13.9597582
‐2.28709488
‐5.0088802
1.3
286
0.012414378
0.138469558
538661.153
13.196842
‐1.97710477
‐4.3889
1.976666667
1.4
308
0.01435302
0.148889298
466630.165
13.0532923
‐1.90455221 ‐4.24379488
148.4
2.473333333
1.6
352
0.022472
0.186299932
272218.177
12.5143591
‐1.68039737 ‐3.79548519
164
2.733333333
1.8
396
0.027444898
0.205884021
226902.772
12.3322769
‐1.58044227 ‐3.59557499
25
X2 (ln (Fr))
18 16 14 12 y = ‐2.3335x + 8.6085 R² = 0.9998
o P n L
10 8 6 4 2 0
‐4
‐3.5
‐3
‐2.5
‐2
‐1.5
‐1
‐0.5
0
Ln Re
Figura
12. Ln Re vs Ln Po en solución de sacarosa a 80ºBrix con un agitador de Paleta.
Tabla 36. Con análisis de datos tenemos las estadísticas de regresión para Paleta a 80ºBrix.
Estadísticas de la regresión
Coeficiente de correlación múltiple Coeficiente de determinación R^2 R^2 ajustado Error típico
0.999899545 0.9997991 0.83309895 0.023824788
Observaciones
8
Tabla 36. Análisis de Varianza para Paleta a 80ºBrix.
Grados de libertad
Suma de cuadrados
Promedio de los cuadrados
F
Regresión Residuos
2 6
16.94892094 8.474460469 29859.5982 0.003405723 0.000567621
Total
8
16.95232666
26
Valor crítico de F
6.41282E‐11
Tabla 37. Determinación de los valores de a, b y c por Análisis de Datos en Excel de Paleta. Coeficientes
Intercepción X1 (ln(Re))
8.101325525 0
X2 (ln (Fr))
‐1.16672997 Y 8.101325525 2.092027693 0 ‐1.16672997
lnPo ln a a b
Po= a(Re^b)(Fr^c) ln Po=ln a + b ln Re + c ln Fr
c
Tabla 38. Determinación de los valores de a, b y c por Statistica para paleta a 80ºBrix Agitador
paleta
Brix/constantes
a
b
c
80
1.15
0.92
‐0.42
Según Mc Cabe, et al (1993); las curvas de potencia se pueden distinguir zonas debido a los rangos que se encuentran los números de Reynolds , es así que para rangos viscosos el numero de Reynolds es bajo donde dominan las fuerzas viscosas y la curva sigue una relación lineal. Al incrementarse el Reynolds el sistema entra en un régimen el cual se transmite suficiente energía al liquido para formar un vórtice, pero la presencia de bafles suele evitar este fenómeno y solo se tiene dependencia con numero de Reynolds. Si los Reynolds son relativamente altos, el flujo se torna completamente turbulento y la curva de potencia se vuelve horizontal, independiente de varios números de Reynolds y Froude. Comparando lo dicho por Mc Cabe, et al; vemos que las curvas de potencia van a depender del Número de Reynolds donde observamos en las figuras 11 y 12 que la curva sigue una relación lineal, por lo tanto en estas soluciones dominan las fuerzas viscosas en este caso serán las de soluciones de azúcar a sus distintos grados Brix. Esto nos dio debido a que sacamos Ln de Reynolds. Pero en las Tablas 11, 21, vemos que los números de Reynolds son altos resultando de este modo en la práctica la formación de un vórtice, donde el mayor número de Reynolds se dio a 60ºBrix ya que su valor máximo es de 220.603.
Según Ibartz, (2005); cuando el módulo de Reynolds adquiere valores bajos el modulo de Froude no tiene efectos importantes en la agitación y suele tomar valores cercanos a la unidad. Si la influencia del numero de Froude es despreciable la potencia en líquidos newtonianos en
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flujo laminar donde b= -1 el parámetro “a” adquiere diferentes valores dependiendo del tipo de agitador utilizado. Estos valores de “a” están dentro de los rangos de 35 y 100 para agitadores tipo hélice, palas y turbinas. Comparando lo dicho por Ibartz, et al; observamos en la Tabla 4 a 20ºBrix vemos que el valor de c= -1.557 entonces el número de Froude no es despreciable, porque el b no es -1 ya que para este calculo usamos el agitador de paletas. Pero mediante el empleo de statistica los valores arrojados en un agitador de Paleta fueron a=1.9; b=1.27; c= -1.86 y comparándolos con los valores obtenidos en el Excel donde el a=41.314; b=0.6871y c= -1.556 vemos que los valores de b y c son casi cercanos pero con el valor de a no es el caso puesto que los valores de este son muy lejanos, para nuestro caso mediante el Excel con el análisis de regresión tanto en la Tabla 4, 9, 14 y 24 vemos que los valores obtenidos están dentro del rango para el uso de agitadores como palas y turbinas la cual están en distintos grados Brix, pero a la vez observamos que estos valores permitidos para “a” están a bajos grados brix y que a mayores grados brix el “a” es menor. Según Mott (2006), el número de Froude interviene cuando se forma aun vórtice y solamente para números de Reynolds superiores a 300. En tanques con placas deflectoras con agitadores de hélices introducidos lateramente o para número de Reynolds inferiores a 300 no se forma vórtice y número de Froude deja de ser una variable. Comparando lo dicho por Mott; observamos que el número de Froude (c) en ºbrix mayores (60 y 80); sus valores son pequeños, esto se observa en las tablas 33, 34, 37 y 38 en la cual se puede despreciar. Según Geankoplis (1998); para número de Reynolds menores a 10 y mayores que 100 los líquidos consumen una potencia menor que los líquidos newtonianos. En nuestro caso la solución de sacarosa es un fluido newtoniano lo cual en tabla 1, 16, 25, 30 y 35 (con valores muy bajo de Reynolds) consumirán potencias elevadas.
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Fuente: Geankoplis 1998.
VI. CONCLUSIONES
Se logró correlacionar el número de potencia con el número de Reynolds y número de Froude a sus distintos ªbrix, lo cual dependerá de su tipo de agitador si es de paleta o turbina. Se determinó las constantes a, b y c de la equivalencia adimensional. Se determinó mediante el uso de dos métodos: método de análisis de datos y método statistica lo cual los valores de b y c casi fueron cercanos pero los valores de “a” no.
VII. RECOMENDACIONES
Pesar correctamente las muestars a analizar, tomar correctamente los datos de intenisdad, potencia y N. Emplera ocrrectamente y medinate asesoramiento respectivo el uso de métodos para encontrar los valores de a, b y c.
VIII. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Mc Cabe. W. Smith, L. Harriot,P. (1993). Unit operations of Chemical Engineering. Quinta edicion. New york. Geankoplis C.(1988). Procesos de transporte y Operaciones unitarias. Tercera edición, México, 1988.
Mott, R. (2006). Mecánica de fluidos.pearson educación. 626pgs.
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