Las Funciones
Módulo 18. Calculo en fenómenos naturales y procesos sociales Unidad I: El movimiento como razón de cambio y la derivada. M18C2G5-012 Semana 1 Equipo 3 Autor: Edgar Roel Acosta Carrillo
Facilitador: Damian Alberto Macedo Reyes
1 Autor: Edgar Roel Acosta Carrillo 14 de julio del 2017
1. Lee y analiza los planteamientos a y b, posteriormente en un archivo de procesador de textos, desarrolla y resuelve cada uno de ellos. a) Una bala se dispara desde el piso formando una trayectoria tipo parábola, donde su ecuación es: y = -x² + 13x – 30. Resuelve: Aquí utilizamos la fórmula de una ecuación cuadrática para compararla con la que me dan, tenemos. y = -x² + 13 x – 30. Y=(x)=ax² + bx+c A = -1
b = 13 c = -30
V = (x, y) V = vértice Para encontrar el valor de x −𝒃 𝒙= 𝟐𝒂
Para encontrar el valor de y 𝟒 𝒂𝒄−𝒃𝟐 𝒚= 𝟒𝒂
Sustituimos
𝒙=
−𝟏𝟑 𝟐(−𝟏)
Sustituimos
=
−𝟏𝟑 −𝟐
= 𝟔. 𝟓
y=
𝟒 (−𝟏)(−𝟑𝟎)−𝟏𝟑𝟐 𝟒(−𝟏)
=
𝟏𝟐𝟎−𝟏𝟔𝟗 −𝟒
= 𝟏𝟐. 𝟐𝟓
V= (6.5, 12.25) Solución con Formula General.
𝒙= X₁=
−𝒃±√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂
−𝟏𝟑+√𝟒𝟗 −𝟐
V= (6.5, 12.25)
=
−𝟏𝟑±√𝟏𝟑𝟐−𝟒(−𝟏)(−𝟑𝟎) 𝟐(−𝟏)
=3
X₂= x₁=3
−𝟏𝟑−√𝟒𝟗 −𝟐
=
−𝟏𝟑±√𝟏𝟔𝟗−𝟏𝟐𝟎 −𝟐
=
−𝟏𝟑±√𝟒𝟗 −𝟐
= 10
X₂=10
¿En qué punto, la bala, alcanzó su altura máxima?
12.25 Determina los puntos desde donde fue lanzada la bala, así como el punto en donde cayó.
Los puntos en x son: x₁=3 y cae en x₂=10
Autor: Edgar Roel Acosta Carrillo
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Reflexiona y describe un ejemplo de la aplicación de este tipo de funciones en la vida cotidiana. La función que utilizamos en la anterior situación fue la cuadrática, toda función cuadrática representa una parábola tal que, su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x2 los coeficientes b y c trasladan la parábola a la izquierda, derecha, arriba y abajo. En la gráfica que estamos presentando a continuación podemos notar que el vértice es el punto más alto lo que ocurre al máximo valor posible de Y como en este caso fue 12.25. Las funciones cuadráticas son más que curiosidades algebraicas — son ampliamente usadas en la ciencia, los negocios, y la ingeniería. La parábola con forma de U puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente y el botar de una pelota, o pueden ser incorporadas en estructuras como reflectores parabólicos que forman la base de los platos satelitales y faros de los carros. Las funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios, graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la determinación de valores mínimos y máximos. Muchos de los objetos que usamos hoy en día, desde los carros hasta los relojes, no existirían si alguien, en alguna parte, no hubiera aplicado funciones cuadráticas para su diseño. Comúnmente usamos ecuaciones cuadráticas en situaciones donde dos cosas se multiplican juntas y ambas dependen de la misma variable. Por ejemplo, cuando trabajamos con un área. Si ambas dimensiones están escritas en términos de la misma variable, usamos una ecuación cuadrática. Porque la cantidad de un producto vendido normalmente depende del precio, a veces usamos una ecuación cuadrática para representar las ganancias como un producto del precio y de la cantidad vendida. Las ecuaciones cuadráticas también son usadas donde se trata con la gravedad, como por ejemplo la trayectoria de una pelota o la forma de los cables en un puente suspendido. X 0 1 2 3 4 5 6.5 7 8 9 10 11 12 13
Y -30 -18 -8 0 6 10 12.25 12 10 6 0 -8 -18 -30
TRAYECTORIA 15
10
10
12.25 12
10
6
5
6
0
0
0
-5
0
2 -8
4
6
8
10
-8
12
14
-10 -18
-15
-18
-20 -25
-30
-30
-30 -35
Autor: Edgar Roel Acosta Carrillo
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b) En condiciones ideales, una colonia de bacterias se cuadruplica cada tres horas, supóngase que haya (Número Natural) cantidad de bacterias: Resuelve: Obtén la función que modela el comportamiento de la colonia y justifica el porqué de esta elección. F(t)= b*4 ˆ(t/3) b = a bacterias Suponiendo que la cantidad a las cero horas es una bacteria, esta cantidad se cuadruplicará cada tres horas, el tiempo transcurrido deberá dividirse entre las dichas tres horas para conocer la cantidad de bacterias nueva. a) ¿Cuál es el tamaño de la población después de 12 horas? F (12) = b*4ˆ(t/3) = b*4 ˆ (12/3) = 4b ˆ (4) = 256 b b) ¿Cuál es el tamaño de la población después de t horas? 15 horas = F (15) = b*4ˆ(t/3) = b*4 ˆ (15/3) = 4b ˆ (5) = 1,024 b c) Da un aproximado de la población después de 48 horas. F (48) = b*4ˆ(t/3) = b*4 ˆ (48/3) = 4b ˆ (16) = 4,294,967,296 b
Propón un número de bacterias para replantear los incisos anteriores. Suponiendo que la cantidad a las cero horas son seis bacterias, esta cantidad se cuadruplicará cada tres horas, el tiempo transcurrido deberá dividirse entre las dichas tres horas para conocer la cantidad de bacterias nueva. F(t)= 6b*4 ˆ(t/3) a) ¿Cuál es el tamaño de la población después de 12 horas? F (12) = 6b*4ˆ(t/3) = 6b*4 ˆ (12/3) = 6b*4 ˆ (4) = 1,536 b b) ¿Cuál es el tamaño de la población después de t horas? F (15) = 6b*4ˆ(t/3) = 6b*4 ˆ (15/3) = 6b*4 ˆ (5) = 6,144 b c) Da un aproximado de la población después de 48 horas. F (48) = 6b*4ˆ(t/3) = 6b*4 ˆ (48/3) = 6b*4 ˆ (16) = 25769803776 b
Autor: Edgar Roel Acosta Carrillo
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Reflexiona y describe un ejemplo de la aplicación de este tipo de funciones en la vida cotidiana.
Esta es una función exponencial donde el número de integrantes de estudio de integrantes de estudio depende del tiempo en que se triplica o duplica la población, se puede aplicar en cualquier estudio de crecimiento exponencial de población ya se de bacterias, animales, como en el caso de los conejos o personas en una población donde su crecimiento este determinado o relacionado con el tiempo. La regla de cálculo, hoy desplazada por las calculadoras electrónicas, se basaba en ellos. Los logaritmos varían muy lentamente, lo que les hace ser escala numérica adecuada para medir fenómenos naturales que implican números muy grandes, tales como la intensidad del sonido, la de los movimientos sísmicos, la datación de restos arqueológicos, etc. También se puede aplicar en la economía, en la aplicación de investigaciones policiales, en la medicina,
Tiempo 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48
Bacterias 6 24 96 384 1536 6144 24576 98304 393216 1572864 6291456 25165824 100663296 402653184 1610612736 6442450944 25769803776
Tiempo / 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Bacterias 30000000000 25000000000 20000000000 15000000000 10000000000 5000000000 0 0 3 6 9 12151821242730333639424548
Referencias Cuadráticas, A. d. (16 de 7 de 2017). Aplicaciones de las Funciones Cuadráticas. Obtenido de http://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U10_L2_T1 _text_final_es.html exponenciales, F. L. (16 de 7 de 2017). FUNCIONES EXPONENCIALES EN LA VIDA COTIDIANA. Obtenido de http://fjsanchez1983.blogspot.mx/p/utilidad.html
Autor: Edgar Roel Acosta Carrillo
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