La derivada y su función Funciones
Módulo 18. Calculo en fenómenos naturales y procesos sociales Unidad I: El movimiento como razón de cambio y la derivada. M18C2G5-012 Semana 2 Equipo 3 Autor: Edgar Roel Acosta Carrillo
Facilitador: Damian Alberto Macedo Reyes
1 Autor: Edgar Roel Acosta Carrillo 19 de julio del 2017
1. Lee con atención la siguiente situación: Supongamos que el costo de la producción en pesos de x toneladas de jitomate está dada por la siguiente función: c (x) = 2x2 - 6x Es decir, para producir 500 toneladas de jitomate se necesitan c (500) = 2 (500)2 - 6(500) = 497,000 (cuatrocientos noventa y siete mil pesos). Si queremos saber cuánto se deberá pagar si se incrementa la producción a 30 toneladas más, hay que derivar la ecuación de la producción total y así obtener el costo del incremento de la producción. Para ello, se puede realizar el sigu iente proceso: Se deriva la función del costo de producción c(x)= 2x2- 6x Para derivarla se utiliza la siguiente fórmula, que es para realizar una derivada de un polinomio:
〖 dx 〗 ^n/dx= 〖 nx 〗 ^(n-1) a. El resultado o la derivada de la función de producción total es: (d[ 〖 2x 〗 ^2-6x]) /dx=4x-6 2. ¿Cuánto deberá pagarse por aumentar a 30 toneladas la producción, es decir, por producir 530 toneladas de jitomate? Al producirse 500 toneladas el coste es: c (500) = 2 (500)2- 6(500) = 497,000 d(i)= [4(500)-6] (30) d(i)= (2,000-6) (30) d(i)= (1,994) (30) d(i)= 59,820 c(t) = 497,000 + 59,820 c(t) = 556,820
Autor: Edgar Roel Acosta Carrillo
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• En esta situación ¿para qué se aplicó la derivada de la función de producción total? En este caso se resolvió una ecuación para encontrar el valor del costo por tonelada del incremento de la producción del jitomate, por medio del cálculo de la derivada se puede saber la relación que existe entre las dos magnitudes, es decir que la producci ón y el costo inicial con estos datos se calcula la derivada que es cuanto representa en costo total, el incremento de producción, ahora sé que la derivada d una función mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie e l valor de su variable independiente. Es importante recordar que donde la función es creciente su derivada tiene que ser positiva y donde es decreciente la derivada deberá ser negativa. En este caso s una función creciente ya que las variables aumentan, vemos el incremento en la producción y al mismo tiempo sabemos cómo se incrementa el costo, podemos ver que el costo se eleva demasiado en las ultimas 30 toneladas. La derivada permite ver, a través de la pendiente en todo punto de la curva, la evolución o el cambio de muchos fenómenos físicos, permite calcular los puntos clave ahí donde la pendiente es O (máximos y mínimos) para buscar donde se presentan los cambios en la curva. Permite hacer otros muchos cálculos asociados a este hecho de la pendiente de la tangente en cada punto de la curva.
Autor: Edgar Roel Acosta Carrillo
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