Descripción: BREVE RESUMEN DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTES CON BIBLIOGRAFÍA
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Un paseo por la obra de Velazquez. El pintor barroco español.Full description
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Descripción: Rivera Velazquez
Descripción: tramites legales para la constitucion de una empresa
los siguientes ejercicios determinando la derivada de las funciones o demostrando las expresiones que mencionan. 1. Calcula las siguientes derivadas: d x 2 − 1
dx x 2 + 1
a. . Usando la regla de la cadena queda
d dx
[√ ] 2
x − 1 2
x + 1
d u du = √ du dx
Siendo 2
x −1 d 1 u= 2 y √ u= 2 √ u x + 1 du
( ) 2
d dx
[√ ] 2
−1 = x + 1
x
d x −1 dx x 2 + 1
2
2
√
2
−1 x + 1
x
2
Usando la regla de la división en
( ) 2
d x −1 dx x 2+ 1
()
d u = dx v
v
du dv −u dx dx 2
v
Siendo
u= x
2
−1 →
du dv =2 x y v = x 2+ 1 → = 2 x dx dx
Queda 2
+1 ¿ ¿ ¿2 ¿ 2 x + 1 ¿ ¿ ¿ 2 2 x + 1 ( 2 x )− x −1 ( 2 x ) ¿ 2 d x −1 =¿ dx x2 + 1 x
[√ ]
x + 4 sen x 2 − 9÷ dx d
b. . cupando la regla de la cadena
( ( ))
d ( senu ) d x+4 = sen 2 dx du x −9 Siendo
u=
x+4 2
x −9
y
d sen u = cos u du
( ( )) ( )( ( ))
+ d x+4 =cos x2 4 sen 2 dx x −9 x −9
d x+4 dx x 2− 9
cupando la regla de la división para d x +4
( )
dx x 2−9
Siendo esta fórmula como
()
d u = dx v Siendo
v
du dv −u dx dx 2
v
u= x + 4 →
( )
du dv =1 y v = x 2− 9 → =2 x dx dx
x − 9 (1 ) −( x + 4 ) 2 x x −9 −2 x ( x + 4 ) d x +4 = = dx x 2−9 ( x 2−9 )2 ( x2 −9 )2 2
2
!uego queda para
( ( )) ( )(
d x +4 sen 2 dx x −9
( ( ))
d x +4 sen 2 dx x −9
+ =cos x2 4 x −9 cos
=
( −) x +4
x
2
9
x
2
− 9−2 x ( x + 4 ) ( x 2−9 )2
( x 2− 9−2 x ( x +4 ) )
( x 2−9 )2 2
( ( ))
d x +4 sen 2 dx x −9
( ( ))
( x −9 −2 x ( x + 4 ) ) cos =
d x+4 = sen 2 dx x −9
)
2
( −) x +4
x
2
2
( x −9 ) −( x 2− 8 x + 9 ) cos ( x 2− 9)2
( −) x+ 4
x
2
9
9
d
( ln ( sen ( x ) + 1) ) dx 2
c. . !a derivada para calcular un logaritmo es:
d ( ¿ u )= u ´ du u u= sen ( x ) + 1 u´ =2 xcos ( x ) 2
Siendo
2
"ntonces
sen ( x ) + 1 2
¿ (¿) ¿ d ¿ dx
d ln ( x
2
dx
+ 1) + x3 ÷ ÷ x +1
d. . cupando la regla del producto
d ( uv )=v du + u dv dx dx dx Siendo
u=
1
√ x + 1
→u ´ =
( )
d 1 da da → a = x + 1 → a ´ = = 1 → da √ a dx dx
( )
( )
−1 −1 d 1 du d 1 da −1 = 3 ∴ → u ´ = = = 3= 3 da √ a dx da √ a dx 2 2 2a 2a 2 ( x + 1 ) 2 3
v = x
+¿ ( x 2 + 1 ) v ´ =
dv 2 x =3 x 2+ 2 dx x + 1
"ntonces
d ( uv )= x 3+¿ ( x 2 + 1 ) ( dx
−1 2 ( x + 1 )
(
)+ 3 2
1
√ x + 1
)
( 3 x2 +
d ( uv )= 1 3 x 2 + 22 x −( x 3 +¿ ( x 2+ 1 ))( dx √ x + 1 x + 1
d ( uv )= dx
3 x
2
2 x
+
2 x + 1 x +¿ ( x + 1 ) − 3 + 1 x √ 2 2 ( x + 1 ) 3
#or lo tanto para finali$ar
x +¿ ( x + 1 ) d ) ( uv )= d ( dx dx √ x + 1 3
2
2
2 x 2
x + 1
)
1 2 ( x + 1 )
3 2
)
"sto implica que
(
)
3 x
)
x (
d x +¿ ( x + 1 ) = dx √ x + 1 3
(
2
d x +¿ ( x + 1 ) = dx √ x + 1 3
2
d
( x e dx
3 4 x
2
+
2 x
2 x + 1 x +¿ ( x + 1 ) − 3 √ x + 1 2 2 ( x + 1 )
2 2
3
+ 3 x )
x + 1 √ x + 1
+ ex
2
cos ( x
2
2
x +¿ ( x + 1 ) 3
−
2
2 ( x + 1 )
3 2
))
e. Utili$ando la regla de la suma
.
d ( u + v ) du dv = + dx dx dx 3
u= x e
4 x
du d ( fg ) = = f dg + g df dx dx dx dx 3
Siendo
f = x →
df dg = f ´ =3 x 2 g =e 4 x → =g ´ = 4 e 4 x dx dx
du =u ´ = 4 x 3 e4 x + 3 x2 e 4 x dx 2 x
v =e cos x
2
dv d ( pq ) dq dp = = p + q dx dx dx dx
Siendo x2
p= e →
dp dq = p ´ =2 xe x q =cos x 2 → =q ´ =−2 xsen x2 dx dx 2
dv = v ´ =−2 x e x senx 2 + 2 x e x cos x2 dx 2
2
#ara finali$ar:
d 3 4 x x ( x e + e cos x 2 ) = du + dv dx dx dx 2
d 3 4 x x ( x e + e cos x 2 ) =4 x 3 e 4 x + 3 x 2 e 4 x + 2 x e x cos x 2−2 x e x sen x2 dx 2
2
2
d 3 4 x x ( x e + e cos x 2 ) = x (2 e x ( cos x 2− sen x 2 )+ e 4 x x ( 4 x + 3 )) dx 2
2
x, y ∈ +
%. &emuestre dados
se tiene que: senh( x + y ) = senh x cosh y + cosh x senh y .
&ebemos mostrar que
senh ( x + y )= senh ( x + y ) '(ora bien con la identidad
senh ( x + y )= senhxcoshy + coshxsenhy &efiniendo las funciones (iperbólicas −a
a
senha =
e −e 2
−a
a
cosha=
e +e 2
'(ora sustitu)endo a por x o por ) queda en nuestra identidad lo siguiente
senh ( x + y )=
(
x
e
)(
)(
)(
−e− x e y ∓ e− y e x + e− x e y −e− y + 2
2
2
2
)
Reali$ando operaciones correspondientes queda lo propuesto a demostrar 1 x + y − x + y + e x − y −e−( x + y ) + e x + y −e− x + y −e x − y − e−( x + y ) ) senh ( x + y )= ( e −e 4
senh ( x + y )=
1 (2 ( e x + y −e−( x + y ) ) ) 4
senh ( x + y )=
e
x + y
−e−( x + y ) 2
senh ( x + y )= senh ( x + y ) x + y ≠ k
x, y ∈ +
*. &emuestre que dados
con
π
2
)
tan ( x + y )
k ∈ ,
se tiene que: tan x + tan y
=
1 − tan x tan y
. Sea definido por las formulas trigonom+tricas tan ( x + y )=
sen ( x + y ) senx + cosy + senycosx = cos ( x + y ) cosxcosy −senxseny
&ividiendo numerador ) denominador por cosxcosy
senx + cosy + senycosx senxcosy senycosx + cosxcosy cosxcosy cosxcosy = tan ( x + y )= cosxcosy − senxseny cosxcosy senxseny − cosxcosy cosxcosy cosxcosy Simplificando
senx seny + cosx cosy tan ( x + y )= … … ( 1) senxseny 1− cosxcosy #ero
senx seny =tanx… ( 2 ) y =tany …. ( 3) cosx cosy Sustitu)endo tan ( x + y )=
( 2 ) y ( 3 )
en
( 1)
tenemos
tanx + tany 1−tanxtany
,. Calcular los siguientes l-mites: 12 + 5 x − 6 x2 + x3 lim x → 4 8 − 6 x − 3 x 2 + x3 a. . Si evaluamos en la función de limite nos quedar-a una indeterminación del tipo
0 0
"ntonces aplicamos la regla del !/opital que significa que derivando la función del numerador ) denominador respectivamente se eval0a despu+s en la función resultante 2
2 5−12 ( 4 )+ 3 ( 4 ) f ( x ) 5−12 x + 3 x =lim = lim =5 lim 2 2 18 x → 4 g ( x ) x → 4 −6 − 6 x + 3 x x → 4 −6 − 6 ( 4 )+ 3 ( 4 )
b.
−6 + 13 x − 7 x2 − x3 + x4 lim x →1 20 − 31 x + 3x 2 + 7 x 3 + x 4
.
Si evaluamos en la función de limite nos quedar-a una indeterminación del tipo
0 0
"ntonces aplicamos la regla del !/opital que significa que derivando la función del numerador ) denominador respectivamente se eval0a despu+s en la función resultante 2
3
2 3 f ( x ) 13−14 ( 1)− 3 ( 1 ) + 4 ( 1) 13 −14 x −3 x + 4 x 0 =lim = lim = lim 2 3 2 3 0 x→ 1 g ( x ) x→ 1 −31 + 6 x + 21 x + 4 x x → 1 −31 + 6 ( 1 )+ 21( 1) + 4 ( 1 )
tra ve$ quedo indeterminado entonces volvemos a derivar otra ve$ seg0n la regla entonces:
f ( x ) + 4 x 3 −14 −6 x + 12 x 2 = lim = lim lim 2 3 2 x→ 1 −31+ 6 x + 21 x + 4 x x → 1 g ( x ) x → 1 6 + 42 x + 12 x 13 −14 x −3 x
f ( b ) − f ( a ) = f ( c ) ( b −a ) → 0=3 c − 4 ( 4 ) → 0 =12 c −16 2
Resolviendo la ecuación queda 4
−12 c 2=−16 → c2 = → c =± 3
√
4 3
2
=±
2
√ 3
x, y ∈ +
5. &emuestre que para cuales quiera
se cumple:
x + y cos x − y ÷ ÷ 2 2
sen x + sen y = 2sen
Si
α y β son dos 6ngulos de la forma
α = x + y y β = x − y
.
que satisface
Resolviendo el sistema de ecuaciones
α = x + y β = x − y 7enemos 1 1 α = ( x + y ) y β = ( x − y ) 2 2 Considerando la suma de senos
sen ( x + y )= senxcosy + senycosx…… ( 1 ) sen ( x − y )= senxcosy− senycosx … … ( 2 ) Sumando 314 ) 3%4 tenemos sen ( x + y ) + sen ( x − y )=2 senxcosy
x + y , x − y , x , y resulta
Sustitu)endo los valores resulta
senx + seny = 2 sen "s decir
senx + seny = 2 sen
1 ( x + y ) cos 1 ( x − y ) 2 2
( ) ( ) x + y 2
cos
f ( x) = x 2
x − y 2
8. &ada la función
definida en
f (5) − f (1) = f '(c ) ( 5 − 1)
. Si
f ( x )= x − 4 x → f ( x )=2 x − 4 2
"valuando f3b4 ) f3a4 respectivamente
f ( b ) = f ( 5 ) =5 − 4 ( 5 )=25 −20 =5 2
f ( a ) = f ( 1 )=1 −4 ( 1 ) =1−4 =−3 2
"valuando la derivada en
x =c
f ( x )=2 x − 4 → f ( c )=2 c − 4 Restando
b −a =5−1= 4
'(ora evaluando en la ecuación f ( 5 ) −f ( 1 )= f ( c ) ( 5 −1 ) → 5− (− 3 ) = 2 c −4 ( 4 ) 5
+ 3 =8 c −16 → 8=8 c −16 →−8 c =−16 −8
Resolviendo la ecuación queda
−8 c =−24 → ∴ c =3
c ∈ ( a, b )
[ 1,5]
− 4x
(allar
que satisface la relación
9. &emostrar las siguientes identidades:
x = ÷ 2
cos
#ara toda
x en
[ ] 0,
1 + cos x 2
)
x = ÷ 2
sen
1 − cos x 2
#ara todo
π 2
se cumple las identidades en % casos
Caso 1 Consideremos
x a=
2
cos2 a =2cos a−1 siendo
2
Sustitu)endo queda ) despejando queda por tanto cos2
( )= x
2
2cos
2
x 2
−1 →cosx=2 cos x −1 → ∴ 2
2
cos
2
x 2
1 + cosx 2
=
"s decir cos
x 2
=
√
1+ cosx 2
Caso % Consideremos
2
cos2 a =1−2 sen a siendo
x a=
2
Sustitu)endo queda ) despejando queda por tanto cos2
