Límites Trascendentes .

Taller de aprendizaje guiado Nº4

INACAP Renca

Límites

Aprendizajes Esperados

Límites infinitos y trascendentes

1.

Calcular límites infinitos.

2.

Calcular límites en el infinito.

3.

Calcular límites trigonométricos.

4.

Calcular límites exponenciales.

5.

Calcular límites logarítmicos.

Autores: Ricardo Salinas. Gloria Cancec. Roberto Vásquez.

Límites infinitos Actividad Nº1 ¿Qué es un límite infinito?

 

Si f(x) crece o decrece indefinidamente, cuando x tiende a c, se dice que la función tiende a infinito. En este tipo de límite es importante analizar los límites laterales de la función, ya que por la derecha o por la izquierda pueden tender a infinito positivo e infinito negativo alternadamente.



La función crece o decrece indefinidamente cuando x tiende a c. El límite no existe. El límite no es indeterminado. ¿Qué significa que el límite de una función sea infinito?

límf(x)   xc

¿Cuándo el límite de una función es infinito?

¿Cómo es la gráfica de una función que tiene límite infinito?

Si al evaluar en c se obtiene una forma k f(c)  , entonces lim f(x)  

La gráfica de la función presenta una asíntota vertical en x=c.

xc

0

Observa el siguiente ejemplo…



1 0

límite infinito x 1

Paso 1

lim

1

x1 x  1





x 1

x tiende a 1 por la izquierda x f(x)

0.9 -10

0.99 -100

0.999 -1000

f(x) tiende a

x tiende a 1 por la derecha 1 ?

1.001 1000



1.01 100

f(x) tiende a

1.1 10



Analizar numérica o gráficamente los límites laterales

lim

x1

1 x 1

 

y

lim

x1

1 x 1

Paso 2

 

Escribir el resultado en términos del resultado de los límites laterales

Proyecto de Innovación Pedagógica – INACAP Renca

Paso 3

1

Instrucción: Evalúa los siguientes límites y señala si son o

3

SI NO

2)

x

SI NO

4)

x2  4

SI NO

1) lim

x 2 x  2

x 4

3) lím x4

5) lim

no límites infinitos .

x 2

6)

x 2

lim

1

x 1 1  x

lim

2

x1 (x  1)2

lim

1

x2 (x  2)2

SI NO

SI NO

SI NO

Actividad Nº2 Instrucción: Completa los siguientes desarrollos de límites infinitos y luego

1)

lim

3

x 2 x  2

x f(x)

1.9

1.99

1.999

2 ?

2.001

f(x) tiende a

3

lim

x2

2)

esboza la gráfica.

lim

x 2

2.01

2.1

f(x) tiende a



y

lim

x2

3 x 2



1

x1 1  x

x f(x)

0.9

0.99

0.999

1 ?

1.001

f(x) tiende a

lim



x1

1 1x



1.01

1.1

f(x) tiende a

y

lim



x1

1 1 x




2

3)

2

lim

x1 (x  1)2

x f(x)

0.9

0.99

0.999

1 ?

f(x) tiende a

lim



x1

2 2

(x  1)



1.001

1.01

1.1

f(x) tiende a

y

lim



x1

2 2

(x  1)



Actividad Nº3 Instrucción: Calcula los siguientes límites y esboza su gráfica.

1) lim

2

x 4 x  4

2) lim

1

x 2 (x  2)2


3

3)

1

lim

x2 x  2

4) lim

1

x1 x2

1


4

Límites en el infinito Actividad Nº4 Se entiende por límite en el infinito de una función a la expresión

lim f(x)

x 

ó

lim f (x)

x 

El cálculo de límites en el infinito se rige por las mismas propiedades y fórmulas del límite de sucesiones.

Instrucción: Completa los siguientes cuadros basándote en lo que sabes de límites de sucesiones.

Límites en el infinito límf(x)

x

Cálculo Directo

Cálculo Indirecto

Formas determinadas

Formas Indeterminadas

L lim f(x)   x 

   lim f(x)    x  

Límites básicos: Métodos: lím k 



x

lím x

Funciones racionales con potencias de base x: 1

1 xn



, n0 si k  0

 lím r   x 

si r  1

x

5x2  3

x

  lím k  x   x  n

lím

3x2  2x  1

si k  0

; n0

si r  1





 ......

1

Funciones racionales con potencias de exponente x: 1

lím

x

2x  3x1 2x1  3x



1

 ......

Límite de un polinomio: lim a n x n    a2x2  a1x  a0



Funciones con diferencia de raíces:

x

 si an  0    si an  0

lím

x






x 1  x 1 

 

 .....

5

Actividad Nº5 Instrucción: Calcula los siguientes límites.

a) lím 2x 4  3x3  5x2  4x  1  x

b) lím

x

4  5x2 1  2x  3x2



c) lím 3x  4  5x2  x

d) lím

x

e) lím

x

5 2

x  4x  4

3x  2x 4x  5x





x

1 f) lím 3x     4  x x4  2  2

3


6

g) lím

2  5x  4x4 2

2x  3x  5

x



32x

 4 h) lím   x  3 

i) lím

x







x4  x 

  4 13x  5 12x     j) lím     3 x   7     

j) lím

x

k) lím

3x  8x1 3x2

2

5

9x  2

x

x

2

x





l) lím  2x2  x  1  x 2  x  1   x






7

Límites de funciones trascendentes Actividad Nº6 Lee atentamente esta definición… Los límites de funciones trascendentes son aquellos donde intervienen funciones trigonométricas , exponenciales y logarítmicas . Instrucción: Indica si los siguientes límites son o no

3) lím

1  cos2x 3x

x 4

3) lím

sen(3x)

x 0

7) lím x64

3

SI NO

5x

SI NO

x 8

SI NO

trascendentes.

4)

lím x 1

5)

lím

x3  8 2 x

ex  1

x 0

8)

x 4

SI NO

SI NO

x

 x  3 lím   x   x  1 

x 3

SI NO

Actividad Nº7 ¿Cuándo aplicar técnicas de cálculo indirecto para límites trascendentes? Cuando el límite no se puede obtener por cálculo directo, es decir aplicando propiedades y fórmulas, se debe recurrir a técnicas de cálculo indirecto. Estas técnicas se aplicarán en el caso en que inicialmente el límite de una forma indeterminada. Este esquema resume los casos.

Límite trascendente lim f(x)  ? xa

Tratar de calcularlo de forma directa evaluando f(a)

El límite es determinado  L ; límite finito lim f(x)   xa  ; límiteinf inito

El límite se resolvió por Cálculo Directo


El límite es indeterminado 0  lim f(x)   0 xa

1 

El límite se debe resolver por métodos Indirectos

8

Instrucción:

Evalúa los siguientes límites de funciones trascendentes y señala si se pueden resolver por cálculo directo o indirecto.

senx  x0 x  1

CÁLCULO DIRECTO CÁLCULO INDIRECTO

1  cos x  3x x0


1) lim 2) lim

1   3) lim  1   2x  x 

4x




1/ x

1   4) lim1     3 x 



x


Cálculo indirecto de límite de funciones trascendentes

límites trigonométricos

Cálculo Indirecto de Límites Trascende ntes

límites exponenciales


¿Cuándo se aplica el cálculo indirecto de límites trascendentes? Consideraremos los casos de funciones que se ajusten a los límites trigonométricos, exponenciales y logarítmicos, planteados en el esquema. En todos los casos es importante verificar que inicialmente la función se indetermina en el valor c.

límites logarítmicos

9

Instrucción: Comprueba

(evaluando la función) que los siguientes límites de funciones trascendentes se resuelven por cálculo indirecto de e indica a que tipo corresponden. f(0) 

1) lim

1  cos x

x0

Tipo: función ______________________________________

3x



2x

2   2) lim  1   3x  x 

sen(x  1) x 1 x1

Tipo: función ______________________________________ f(1) 

3) lim

4) lim

3x  1

x0

2x

Tipo: función ______________________________________ f(0) 

Tipo: función ______________________________________

Límites trigonométricos Consideraremos todos los casos de límites de funciones trigonométricas que se indeterminen en x = c y que se puedan ajustar a alguna de estas formas

senx 1 x x0 lím

cos x  1 0 x x0

tgx 1 x x 0 lím

lím

La posibilidad de ajustar una función a alguna de estas formas tiene relación con transformaciones algebraicas de distinto tipo.

Actividad Nº8 Instrucción: observa los siguientes ejemplos y completa los desarrollos.




Se Factoriza por 1/3 y luego se multiplica por 4/4 para que el argumento de seno y el denominador sean iguales.

0 0

sen(4x) 1 sen4x 4 4 sen4x lim   lim    lim 3x 3 x0 x 4 3 x0 4x x0 Se podría ajustar a lím x 0

senx x

1

4 3

 1 

4 3

Ahora la función tiene la forma lím x 0

senx x


1

10

1) lim

x0

2) lim

senx 2x

senx

 lim



1  cos2x

tg(2x) x









 lim



x0

1 1  cos2x

 lim

x0

5x

1



x

x0

3x

x0

 lim

x0

2tg(2x)

x0

3) lim

1



x



tg(2x)







x

 lim



x0

1  cos2x







x




Ahora la función tiene la forma

Se multiplica cada parte de la fracción por 1/x ya que se necesita que la tangente este partida por x.

0 0

tgx

lím x0

x

1 1

tg(3x) 3tg(3x) 1 tg(3x) 3 tg(3x) tg(3x) x 3 3 3x lim  lim   lim x  3  lim 3x   lim  2 x0 tg(2x) 1 2 x0 tg(2x) x0 tg(2x) 1 x0 tg(2x) 2 x0 2tg(2x) x x 2 2x 2x Se podría ajustar a lím x 0

Se multiplica por 3/3 en el numerador y 2/2 en el denominador para que los argumentos de las tangentes sean iguales a los de sus denominadores

tgx x

1 4) lim

sen4x

x0 sen3x

 lim

sen4x

x0 sen3x



1

sen4x

 lim

x0

sen4x

sen4x



sen3x

x

 lim

x0

sen3x

 lim

x



x 0

sen3x

x 1 5) lim

x0

3sen(2x) 4tg(3x)

 lim

3 sen(2x)

x 0 4



tg(3x)



1

x0

1  cos2x senx

 lim

x0

1  cos2x senx



1

3

x0 4



tg(3x)

1  cos2x

1 6) lim

x

 lim

x0

senx


sen(2x)

sen(2x)

sen(2x)

 lim





 lim

3

x 0 4

 tg(3x)

 lim

x 0 4

 lim

x 0

senx





 tg(3x)

1  cos2x

(1  cos2x)



3



 lim

x 0

 senx

11

Observa el siguiente ejemplo… Ahora la función tiene la forma



0 Se Factoriza el denominador

0

lim

lím

1  cos(x  2) x2  4

x2

 lim

1  cos(x  2)

x2 (x  2)(x  2)

Se podría ajustar a lím

x

7) lim

x1

8) lim

x3

4sen(x  1) 3x  3

 lim

5x  tg(x  3) x2  9

1

 lim

x2 x  2



x

1

1  cos(x  2)

0

(x  2)

1

 0  0 4

Se separa en un producto en donde uno de los factores tiene la forma del límite trigonométrico buscado

1  cos x

x0

x0

tgx

x1

 lim

4sen(x  1)



x

5x

x3 x 







 lim

tg(x  3) x

sen(x  1) x

x1

 lim

5x

x3 x 








5





12

Límites exponenciales Consideraremos todos los casos de límites de funciones que se indeterminen en x = c y que se puedan ajustar a alguna de estas formas x

1  lím  1    e x x 

1/x

lím 1  x 

e

x0



Observa el siguiente ejemplo… Ahora la función tiene la forma x

1  lím  1    e x x 



1

 x 

lim  1 

2x

1



x

2

x  1   lim  1     e2 x  x   

Se reescribe la expresión como

Se podría ajustar a 1  lím  1   x x  

m

 

potencia de potencia a n

x

 1   lim  1   x x  

   



 1  1 4  2) lim  1    lim  1   x x x  x  

   

e

3x

1  1) lim  1   x x 

3x

3/x

3) lim 1  x  x0

  lim  1  x  x 0 

/x 



 a nm



e




13

Observa el siguiente ejemplo… Reescribir el exponente para que quede un factor igual al denominador x/2

1

3x

 x 

lim  1 

3x

2



x

   1   lim  1   x  x   2  

Se podría ajustar a  x 

lím  1 

1  x

x

 2  1   lim  1   x  x     2  

6

6

x  2     1   6  lim  1    e x  x      2     

Invertir la fracción de modo que quede 1 partido por un término con x

x

Ahora la función tiene la forma  x 

lím  1 

2x

2x

5  4) lim  1   x x 

    1   lim  1  x   x    

  1  3 5) lim  1    lim  1  x x x  x     x

x

    1   lim  1  x   x     

x

      lim  1  1 x  x      

5x

5x

2   6) lim  1   3x  x 

    1   lim  1  3x  x     

    1   lim  1  3x  x     




x

 e

x

x       1   lim  1  x   x        



     

1



3x

x





3

       

   1  lim  1  x x      

3x          1    lim  1  3x   x           

e

     



x

       



 e

3

e

3



e

14

Observa el siguiente ejemplo… Reescribir el numerador como una suma o resta donde uno de los términos sea i ual al denominador

Transformar el exponente en una suma o resta donde uno de los términos es el del denominador

Separar y simplificar una de las fracciones que quedará igual a 1

x x x  x33  x 3 1  1  1   x4  x 31   lim      lim  1    lim    lim   lim 1  x  3  x 3 x  3 x  x  3  x  x  3  x   x  3 x  x   x

0  x3  1  1    lim  1  1   x 3 x 3   x 



Se podría ajustar a 1  lím  1   x x  

x

3

 e 1  e



Separar en producto de potencias donde uno de los factores es un límite del tipo

x

1  lím  1    e x x 

x  x 1  x 2 7) lim  lim    x  x  1  x   x 1

x

x

x

  x 1      lim lim 1 lim 1              x  1  x  1  x   x  x    x 1 x 1  

0  x1      lim  1  1    x 1 x  1  x   



 e



x

x  x  2  x  8) lim  lim    x  x  2  x   x2

x

  x2     lim   x 2   x x 2    

x 1          1     lim  1  x 1  x            

x

        1 1   lim  1    lim  1  x 1  x 1  x  x           

2

  1  1   x 1   


 x1

 0    



x 1



 e2 



15

 2

Límites logarítmicos Consideraremos todos los casos de límites de funciones que se indeterminen en x = c y que se puedan ajustar a la forma

lím

cx  1

x0

,c  

 lnc

x



Observa el siguiente ejemplo… Ahora la función tiene la forma



0

 x 

lím  1 

0 3x

lim

x0

4

1

1

  lim

3x

4

5 x 0

5x

1

x

1

  lim

c 1 x

2) lim

x0

1 5

4x

4 1 3 3    lim

x

5 x0

3

 e

x

1

ln4

3

  ln4

3x

5

ln

3x  1 1 3x  1   lim 1) lim x x0 2x x0

2x

3x

x

Se multiplica por 3/3 para que el denominador sea igual al exponente del número 4

x

x0

4

5 x 0

Se podría ajustar a lím

3x

1



1

 lim

x0

2x

5



1

x



1

1

 ln

 lim

x0

2x

5

1

x






 lim

x0

2x

5

1 x

ln



 ln

16

Actividad Nº11 Instrucción: Calcula los siguientes límites.

a) lím x0

b) lím

1  cos x 3x

=

1  cos(3x)

x0

x

c) lím x0

2tg(2x) 3x

=

=

2x

d) lím = x0 3tg(3x)

3sen(2x)

e) lím = x0 4tg(3x)

f) lím x1

4sen(1  x) 3x  3

1  g) lím  1   x x 

4x

2/x

h) lím  1  x  x0

1  i) lím  1   x x 

=

=

=

x/2

=


17

2x

3  j) lím  1   x x 

=

2x

 1 k) lím  1   = x x 

x

 x 2 l) lím   = x  x  1 

6x

3   m) lím  1   = 4x  x 

x

3 1

n) lím = x0 2x

ñ) lím

x0

1  23x x

=

1  43x

o) lím x0 5x

=


18

Límites Trascendentes .

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