LIBRO VII DE EUCLIDES. •
Defniciones.
Defnición 1. Una 1. Una unidad es aquello en virtud de la cual cada una de las cosas que hay, se llama una. Defnición 2. Un 2. Un nmero es una !luralidad com!uesta de unidades. Defnición 3. 3. Un nmero es !arte de un nmero, el menor del mayor, cuando mide al mayor. Defnición 4. 4. "ero !artes cuando no lo mide. Defnición 5. # 5. # el mayor es mlti!lo del menor cuando es medido !or el menor. Defnición 6. Un 6. Un nmero !ar es el que se divide en dos !artes i$uales. Defnición 7. Un 7. Un nmero im!ar es el que no se divide en dos !artes i$uales, o se di%erencia de un nmero !ar en una un a unidad. Defnición 8. Un 8. Un nmero !armente !ar es el medido !or un nmero !ar se$n un nmero !ar. Defnición 9. # 9. # !armente im!ar es el medido !or un u n nmero !ar se$n un nmero im!ar. Defnición 10. Im!armente 10. Im!armente !ar es el medido !or un nmero im!ar se$n un nmero !ar. Defnición 11. Un nmero im!armente im!ar es el medido !or un nmero im!ar se$n un nmero im!ar. Defnición 12. Un 12. Un nmero !rimo es aqu&l que s'lo es medido !or la unidad. u nidad. Defnición 13. (meros 13. (meros !rimos entre s) son los medidos !or la sola unidad como medida comn. Defnición 14. (mero 14. (mero com!uesto es el medido !or al$n nmero. Defnición 15. (meros 15. (meros com!uestos entre s) son los medidos !or al$n nmero como medida comn. Defnición 16. Se 16. Se dice que un nmero multi!lica a un nmero cuando el multi!licado se a*ade a si mismo tantas veces como unidades hay en el otro y resulta un nmero.
Defnición 17. Cuando dos nmeros, al multi!licarse entre s), hacen al$n nmero, el resultado se llama nmero !lano y sus lados son los nmeros que se han multi!licado entre s). Defnición 18. Cuando tres nmeros, al multi!licarse entre s), hacen al$n nmero, el resultado es un nmero s'lido y su s lados son los nmeros que se han multi!licado entre s). Defnición 19. Un nmero cuadrado es el multi!licado !or si mismo el com!rendido !or dos nmeros i$uales. Defnición 20. # un nmero cu+o el multi!licado dos veces !or s) mismo o el com!rendido !or tres nmeros i$uales. Defnición 21. Unos nmeros son !ro!orcionales cuando el !rimer es el mismo mlti!le o la misma !arte o las mismas !artes del se$undo que el tercero del cuarto. Defnición 22. (meros !lanos y s'lidos semeantes son los que tienen los lados !ro!orcionales. Defnición 23. (mero !er%ecto es el que es i$ual a sus !ro!ias !artes. Por ejemplo, el número 28 es un número perfecto porque sus partes (los divisores propiamente dicho) 1, 2, 4, 7 y 14 suman 28 !os cuatro números perfectos m"s peque#os son el $, 28, 4%$ y 8128 & la proposici'n $ del liro *+, uclides nos ofrece una construcci'n de los números perfectos pares -oy en d.a todav.a desconocemos si hay al/ún número perfecto que sea impar
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"ro!osiciones.
Proposición 1. Dados dos nmeros desi$uales y restando sucesivamente el menor del mayor, si el que queda no mide nunca al anterior hasta que quede una unidad, los nmeros iniciales ser-n !rimos entre s). Proposición 2. Dados dos nmeros no !rimos entre s), hallar su medida comn m-ima. Proposición 3. Dados tres nmeros no !rimos entre s), hallar su medida comn m-ima. Proposición 4. /odo nmero es !arte de todo nmero, el menor del mayor. Proposición 5. Si un nmero es !arte de un nmero, y otro es la misma !arte de otro, la suma ser- tam+i&n la misma !arte de la suma que el uno del otro.
Proposición 6. Si un nmero es !artes de un nmero y otro nmero es las mismas !artes de otro nmero, la suma ser- tam+i&n las mismas !artes de la suma que el uno del otro. Proposición 7. Si un nmero es la misma !arte de un nmero que un nmero restado de un nmero restado, el resto ser- la misma !arte del resto que el total del total. Proposición 8. Si un nmero es las mismas !artes de un nmero que un nmero restado de un nmero restado, el resto ser- las mismas !artes del resto que el total del total. Proposición 9. Si un nmero es !arte de un nmero y otro nmero es la misma !arte de otro, tam+i&n, !or alternancia, la !arte o !artes que el !rimero es del tercero, la misma !arte o !artes ser- el se$undo del cuarto. Proposición 10. Si un nmero es !artes de un nmero y otro nmero es las mismas !artes de otro, tam+i&n, !or alternancia, las !artes o !arte que el !rimer es del tercero, las mismas !artes o la misma !arte ser- el se$undo del cuarto. Proposición 11. Si de la misma %orma que un todo es a un todo, tam+i&n un nmero restado es a un nmero restado, tam+i&n el resto ser- al resto de la misma %orma que el todo es altodo. Proposición 12. Si unos nmeros, tantos como se quiera, %ueran !ro!orcionales, como uno de los antecedentes es a uno de los consecuentes, de la misma %orma todos los antecedentes ser-n a todos los consecuentes. Proposición 13. Si cuatro nmeros son !ro!orcionales, tam+i&n !or alternancia ser-n !ro!orcionales. Proposición 14. Si hay unos nmeros, tantos como se quiera, y otros i$uales a ellos en cantidad que, tomados de dos en dos $uardan la misma ra0'n, tam+i&n !or i$ualdad $uardar-n la misma ra0'n. Proposición 15. Si una unidad mide a un nmero cualquiera, y un se$undo nmero mide el mismo nmero de veces a otro numero cualquiera, !or alternancia, la unidad medir- tam+i&n al tercer nmero el mismo nmero de veces que el se$undo al cuarto. Proposición 16. Si dos nmeros, al multi!licarse entre s), hacen ciertos nmeros, los nmeros resultantes ser-n i$uales entre s). Proposición 17. Si un nmero, al multi!licar a dos nmeros, hace ciertos nmeros, los nmeros resultantes $uardar-n la misma ra0'n que los multi!licados.
Proposición 18. Si dos nmeros, al multi!licar a un nmero cualquiera, hacen ciertos nmeros, los resultantes $uardar-n la misma ra0'n que los multi!licados. Proposición 19. Si cuatro nmeros son !ro!orcionales, el !roducto del !rimero y el cuarto ser- i$ual al del se$undo y el tercero1 y si el !roducto del !rimero y el cuarto es i$ual al !roducto del se$undo y el tercero, los cuatro nmeros ser-n !ro!orcionales. Proposición 20. Los nmeros menores de aquellos que $uardan la misma ra0'n que ellos, miden a los que $uardan la misma ra0'n el mismo nmero de veces, el mayor al mayor y el menor al menor. Proposición 21. Los nmeros !rimos entre s) son los menores de aquellos que $uardan la misma ra0'n que ellos. Proposición 22. Los nmeros menores de aquellos que $uardan la misma ra0'n que ellos son nmeros !rimos entre s). Proposición 23. Si dos nmeros son !rimos entre s), el nmero que mide a uno de ellos ser- nmero !rimo res!ecto del que queda. Proposición 24. Si dos nmeros son !rimos res!ecto a otro nmero, tam+i&n el !roducto ser- nmero !rimo res!ecto al mismo nmero. Proposición 25. Si dos nmeros son nmeros !rimos entre s), el !roducto de uno de ellos multi!licado !or s) mismo ser- nmero !rimo res!ecto del que queda. Proposición 26. Si dos nmeros son !rimos res!ecto a dos nmeros, uno y otro con cada uno de ellos, sus !roductos tam+i&n ser-n n meros !rimos entre s). Proposición 27. Si dos nmeros son !rimos entre s) y al multi!licarse cada uno a s) mismo hacen al$n otro nmero, sus !roductos ser-n nmeros !rimos entre s), y si los nmeros iniciales, al multi!licar a los !roductos, hacen ciertos nmeros, tam+i&n ellos ser-n nmeros !rimos entre s). # siem!re sucede esto con los etremos. Proposición 28. Si dos nmeros son !rimos entre s), su suma tam+i&n ser- un nmero !rimo res!ecto a cada uno de ellos1 y si la suma de am+os es un nmero !rimo res!ecto a uno cualquiera de ellos, tam+i&n los nmeros iniciales ser-n nmeros !rimos entre s). Proposición 29. /odo nmero !rimo es !rimo res!ecto a todo nmero al que no mide.
Proposición 30. Si dos nmeros, al multi!licarse entre s), hacen al$n nmero y al$n nmero !rimo mide a su !roducto, tam+i&n medir- a uno de los nmeros iniciales. Proposición 31. /odo nmero com!uesto es medido !or al$n nmero !rimo. Proposición 32. /odo nmero o +ien es nmero !rimo o es medido !or al$n nmero !rimo. Proposición 33. Dados tantos nmeros como se quiera, h allar los menores de aquellos que $uardan la misma ra0'n que ellos. Proposición 34. Dados dos nmeros, hallar el menor nmero al que miden. Proposición 35. Si dos nmeros miden a al$n nmero, el nmero menor medido !or ellos tam+i&n medir- al mismo nmero. Proposición 36. Dados tres nmeros, hallar el nmero menor al que miden. Proposición 37. Si un nmero es medido !or al$n nmero, el nmero medido tendr- una !arte hom'nima del nmero que lo mide. Proposición 38. Si un nmero tiene una !arte cualquiera, ser- medido !or un nmero hom'nimo de la !arte. Proposición 39. 2allar un nmero que sea el menor que ten$a unas !artes dadas.
