9.Presforzado en Vigas Continuas

CONCEPTOS BASICOS DEL CONCRETO PRESFORZADO CON APLICACIONES EN EDIFICIOS

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9. PRESFORZADO EN VIGAS CONTINUAS El uso de vigas continuas con respecto a vigas simplemente apoyadas tiene sus ventajas y desventajas, ya sean de concreto reforzado o presforzadas. Las vigas pretensadas son generalmente prefabricadas por permitir un mejor control de calidad en la construcción, menos equipo para cimbra y soportes y mano de obra menos costosa; por esta razón el uso de vigas simplemente apoyadas es el más apropiado. Las vigas continuas generalmente serán postensadas con el inconveniente económico que los tendones de presfuerzo se calculan para el momento máximo resultando una sección constante en toda la longitud, pero además desde el punto de vista del trabajo del diseño estructural requiere mayor estudio del comportamiento ya que como el tensionamiento excéntrico tiende a curvar hacia arriba a la viga, los apoyos intermedio lo impedirán dando lugar a unas reacciones negativas con efectos secundarios o mejor adicionales de gran importancia, como se mostrará a continuación. Tampoco se debe olvidar que en las vigas de concreto reforzado el área de refuerzo se puede variar apropiadamente acorde con la variación de los momentos, situación que, como se anotó arriba, no es fácil de conseguir en el sistema de presforzado. De igual manera, las pérdidas por fricción en sistemas postensionados aumentarán por los cambios de curvatura del trazado de los cables en una viga continua. Si el peralte de la viga es pequeño comparado con las luces, como ocurre en losas de entrepisos, entonces las curvaturas serán pequeñas y las pérdidas por fricción también. Hasta ahora solamente se han anotado las desventajas del presforzado en vigas continuas. Las ventajas son muchas, a saber: Los sistemas continuos son más rígidos, permitiendo secciones de menor inercia en los centros de la luz con deflexiones menores; también la magnitud de los momentos positivos disminuyen y desde el punto de vista estético se logran efectos de diseño muy atractivos. Estructuralmente los sistemas continuos son más estables tanto para resistir cargas verticales como fuerzas laterales (vientos y sismos) 9.1. FUNDAMENTOS DE DISEÑO

Para vigas simplemente apoyadas se estableció que el perfil o trazado del tendón debe seguir la misma ley que el diagrama de momentos para la carga de diseño correspondiente, de tal manera que los momentos generados por el tendón se contrapongan y en algunos casos balanceen perfectamente a los momentos flectores debido a cargas. Para vigas continuas esta premisa sigue teniendo validez y el método de la carga balanceada es el método más eficaz para el análisis de vigas continuas presforzadas. En sistemas isostáticos las fuerzas de presforzados constituyen un sistema autoequilibrante, es decir, no producen efectos secundarios como reacciones (La viga se comba hacia arriba pero no tiene restricción a dicho movimiento); en los sistemas hiperestáticos sí.


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Figura 9.1. COMPORTAMIENTO DE UNA VIGA CONTINUA

Para entender esta afirmación, considérese una viga continua de dos luces iguales a la cual se le aplica un presfuerzo mediante un tendón con excentricidad constante, como se muestra en la figura (9.1-a) Debido a la excentricidad se produce un momento negativo que tiende a curvar la viga con concavidad hacia abajo (Fig 9.1-b), sin embargo, el apoyo intermedio le restringe el desplazamiento vertical obligándola a tomar la configuración mostrada en (Fig 9.1-c) Para que esta configuración se dé necesariamente habrá una reacción dirigida hacia abajo en el apoyo intermedio por la aplicación del presfuerzo (Fig 9.1-b). Esta reacción a su vez determina reacciones en los apoyos extremos las cuales originan fuerzas cortantes y momentos flectores. El cálculo de la reacción se puede efectuar por los métodos de superposición convencionales de la Resistencia de materiales Estos efectos se denominan secundarios sin que este término indique que los efectos sean menores o despreciables, ya que pueden ser tan importantes como los producidos por las cargas externas. En resumen, el análisis estructural de vigas continuas presforzadas requiere el análisis complementario de los efectos secundarios, pero puede seguir utilizándose el perfil del tendón acorde con el tipo de carga de servicio aplicada.


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Figura 9.2-a,b. EQUILIBRIO EN UNA SECCION PR4ESFORZADA

Un aspecto muy importante que resta anotar es que en una viga simplemente apoyada la línea de acción del punto de aplicación de la fuerza de presfuerzo y la resultante de las fuerzas de compresión C en el concreto en una sección determinada coinciden (Fig 9.2-a), pero, como se observa en la fig 9.2-b, la aparición de una reacción en los apoyos en vigas continuas da lugar a un momento M 2 = R.X que para ser equilibrado obliga a que C (C=Px ≈P) se desplace paralelamente a la línea de acción una distancia Y tal que M2 = R.X = PY, de donde se deriva que

Y=

M2 P

,

(9.1)

Y es la distancia vertical del centroide del acero de presfuerzo al punto de aplicación de la resultante de las fuerzas de compresión C, conocido como centro de empuje. Como M2 proviene de reacciones aplicadas únicamente en los apoyos de la viga, su variación es lineal, lo que hace que Y también varíe linealmente y además al variar P desde el tensado inicial Pi hasta un valor Pe, después de las pérdidas, la relación Y =

M2 P

se

mantiene constante. Los esfuerzos finales en el concreto como efecto de la combinación Momento primario y Momento secundario se obtienen con las mismas fórmulas ya descritas pero debe remplazarse la excentricidad e por la distancia del centro de empujes al centroide del concreto, denominada por e*. e* = Y ± e (9.2). El signo es + si se calcula en los apoyos y es – si es calculado en la luz. e* es la “nueva” excentricidad medida del centro de empujes al centroide de la sección del concreto.


⎛ c1e * ⎞ Mo f 1i = - ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ ≤ f ti Ac ⎝ S1 r ⎠ Pi ⎛ c 2 e * ⎞ M o ≥ f ci f 2i = - ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ + Ac ⎝ r ⎠ S 2 Pe ⎛ c e * ⎞ Mt ⎜⎜1 − 1 2 ⎟⎟ f 1s = ≤ f cs Ac ⎝ S1 r ⎠ Pe ⎛ c 2 e * ⎞ M t f 2s = - ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ + < f ts Ac ⎝ r ⎠ S 2 Pi

i

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(9.3-a) (9.3-b) (9.3-c) (9.3-d)

e* es negativo si la línea de empujes está por encima del eje neutro de la sección. Para el ejemplo de la viga continua de dos luces iguales con carga uniformemente distribuida q, el momento máximo en el apoyo central es qL 2/8 y en la mitad de las luces 1 es exactamente la mitad qL 2/16 . Por tanto se puede seleccionar un tendón con curva parabólica con excentricidad máxima eMAX en el apoyo central y la mitad de esa excentricidad eMAX /2 en el centro de la luz. Por razones prácticas constructivas, el tendón en el apoyo central debe tener una curva suave de transición que facilite el tensado, a menos que se decida usar dos tendones independientes. La longitud de la curva de transición depende del ancho del soporte y la flexibilidad del ducto y el cable. Como se estudió previamente, el método de la carga balanceada parte del hecho de que la curvatura del cable da lugar a la aparición de una fuerza transversal que se contrapone a las cargas de servicio. Entonces configurando el cable apropiadamente se puede conseguir siempre una carga equivalente que equilibre las cargas externas a lo largo de toda la viga. Para este caso Qb = P

8 f L2

. La viga se analiza para esta carga

equivalente, obteniendo las reacciones totales y con estas se puede elaborar el diagrama de momentos como se muestra en la figura (9.3) Configurar apropiadamente el cable simplemente equivale a elegir un trazado que siga la línea de momentos flectores producida por el sistema de cargas externas en estudio. De esta manera se tienen en cuenta simultáneamente los efectos primarios y secundarios debidos al presfuerzo.

1

No es el momento máximo positivo. Este está localizado a 3L/8 de los apoyos extremos y vale 9qL 2 /128


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Figura 9.3. CARGA EQUIVALENTE Y DIAGRAMA DE MOMENTO TOTAL

La figura 9.3.muestra el diagrama total de momentos que incluye efectos primarios y secundarios; el diagrama de momentos primarios se construye con la fuerza de presforzado y las excentricidades y el diagrama de momentos secundarios se obtendrá por diferencia del total con el primario. Las reacciones secundarias debidas al presforzado se calculan de manera indirecta del diagrama de Momentos secundarios. La localización de la línea de empujes para cada punto será Y=M 2 P Finalmente debe aclararse que si se balancea la carga muerta o cargas permanentes, en la viga solamente actuarán los esfuerzos netos de compresión debido al presfuerzo más los efectos por carga viva, cuya combinación se compara con los esfuerzos permisibles en el concreto. Si son superados los esfuerzos permisibles se calcula el refuerzo adicional de acero como concreto reforzado, en cuyo caso se tiene una viga parcialmente presforzada. De esta manera, el método de la carga balanceada o equivalente se constituye en una herramienta muy útil en el diseño presforzado de vigas continuas. 9.2. RESISTENCIA PARA CARGAS ÚLTIMAS El método de la carga balanceada parte de la premisa de comportamiento elástico para cargas de servicio para usar el método de superposición; por tanto para cargas últimas no es válida la premisa ya que se entra al rango plástico. Por otra parte, supone el método de la carga balanceada que la fuerza de presfuerzo después de todas las pérdidas Pe es constante, lo cual no es cierto para sobrecargas ya que a medida que se incrementan las cargas hasta la falla los esfuerzos en los cables también aumentan como ocurre en vigas de concreto reforzado. En resumen el método de la carga equivalente no debe ser usado para diseño por resistencia última. Durante mucho tiempo en el análisis por resistencia última se permitía despreciar los efectos por los momentos secundarios inducidos por el presfuerzo ya que se suponía


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que para las cargas de falla se habrán formado rótulas plásticas y la viga se comporta isostáticamente. Sin embargo sobre ese tópico no hay consenso general. A partir del año 1987 el ACI requiere tomarlos en consideración. Como los momentos secundarios pueden incrementar los momentos por cargas de gravedad en unas secciones pero disminuirlos en otras, podría adoptarse el criterio de tomarlos en cuenta solamente en los casos en que se incrementan. 9.3. METODOLOGIA DE DISEÑO

Como metodología para el diseño presforzado de vigas continuas se propone la siguiente rutina:

• Predimensionar la viga usando el método de los esfuerzos admisibles con lo que se obtendrán dos módulos de sección y con ellos la sección transversal de la viga y demás propiedades geométricas y elásticas. • Usando el método de la Carga Equivalente. escoger la magnitud de la carga a balancear (por ejemplo, toda la carga muerta) y con ella determinar la magnitud de la fuerza de presfuerzo, seleccionándose el tipo y número de tendones. • Calcular los momentos totales, primarios y con ellos los secundarios para obtener las excentricidades e* y con los momentos de diseño en los puntos de interés se calculan y revisan los esfuerzos normales de flexión en el concreto comparándolos con los esfuerzos permisibles. • Con las cargas mayoradas obtener los momentos últimos de diseños a lo largo de la viga. Se calcula el refuerzo requerido como refuerzo convencional por los métodos de diseño de resistencia última A st. Luego se calcula el área de acero equivalente correspondiente al presfuerzo, es decir, Aep=Ap*(f yp/f y). La cantidad de acero convencional adicional que debe usarse es la diferencia ∆ As= Aep=Ap*(f yp/f y) - A st, con lo que se consigue un diseño de presforzado parcial, en el caso que Aep sea mayor que Ast. • Controlar deflexiones producidas por las cargas de servicio no balanceadas. • Diseñar el refuerzo transversal por cortante. • Calcular el trazado de los cables. En cualquiera de estas fases puede ser necesario rediseñar la sección transversal o el área de cables a usar. 9.4. EJEMPLO DE DISEÑO DE UNA VIGA CONTINUA

Se presenta el diseño completo de la viga. Se selecciona la sección, la fuerza de presforzado y la excentricidad por el método de los Esfuerzos Admisibles, pero luego se continúa el diseño por el método de la Carga Balanceada. 1. ESPECIFICACIONES Losa armada en una dirección aligerada con casetones de madera no recuperables Luz vigueta 8,00 m Use b h Altura vigueta L/25 0,32 m 0,15 0,35


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Figura 9.4. SECCION TIPICA PLACA

2. ANALISIS DE CARGAS VERTICALES PLACA TIPO ht=0,35 m Separación entre viguetas S 1,00 Peso Propio Viguetas 0,15 0,35 24 Placa Superior 0,05 24 Casetón de Madera No recuperable Pañete inferior en mortero 0,03 22 Peso pro pio Viguetas después de fundida Pp Mortero de Nivelación e=2.5 cm 0,025 22 Acabado Piso en Baldosa Cerámica 0,025 23 Muros Divisorios en ladrillo #4 incluye pañete Carga Muerta CM Total carga muerta

1,080 1,200 0,400 0,660 3,340 3,340 0,550 0,575 2,000 3,125 3,125

CMt=Pp+CM Carga Viva

CM+CV

4,925 Kn/m2 4,925 kN/ml

Qu=1.4CM+1.7CV

12,111 Kn/m2 12,11 kN/ml

3, ANAL ISIS ESTRUCTURAL q

q

L=8.00 TIPO DE CARGA

MAGNITUD

Pp CM

3,340 3,125

6,465 1,800 Kn/m2 1,800 kN/ml

CV Suma

L=8.00

CUADRO 9.1. ANALISIS ESTRUCTURAL UNIDAD CORTANTE UNIDAD CORTANTE EXT 3QL/8 INT 5QL/8

Kn/ml Kn/ml

Kn/m2 Kn/m2 Kn/m2 Kn/m2 Kn/m2 kN/ml Kn/m2 Kn/m2 Kn/m2 Kn/m2 kN/ml

10,02 9,38

Kn Kn

16,70 15,63

UNIDAD

MOM INT QL^2/8

UNIDAD

MOM POS 9QL^2/128

Kn Kn

26,72 25,00

Kn-m Kn-m

15,03 14,06


1,800 4,925 8,265 12,111

CV CM+CV Pp+CM+CV 1,4CM+1,7CV

Kn/ml Kn/ml Kn/ml Kn/ml

5,40 14,78 24,80 36,33

Kn Kn Kn Kn

9,00 24,63 41,33 60,56

Kn Kn Kn Kn

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14,40 39,40 66,12 96,89

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Kn-m Kn-m Kn-m Kn-m

4, MATERIALES Y ESFUERZOS ADMISIBLES Concreto fć (Mpa) 42,00 Resistencia del concreto a la compresión a los 28 días. fći=0,7fć 29,40 A los tres días f ci≤ 0.60fći f ti ≤

17,64

Esfuerzo admisible a compresión después de Pi

1,36

Esfuerzo admisible a tensión después de Pi

18,9

Esfuerzo a c ompresión después de las pérdidas con cargas permanentes

1,62

Esfuerzo a tensión después de las pérdidas con cargas permanentes

25,20

Esfuerzo a compresión debido a cargas totales.

f´ c i 4

f cs = 0.45fć f ts =

fć 4

f cu = 0.60fć

5, MODULOS DE SECCION NECESARIOS Y SELECCIÓN DE LA SECCION DE LA VIGA El diseño se hará para las máximas fuerzas externas que se presentan en el apoyo central Manteniendo una fuerza constante P en toda la viga, se variará la excentricidad en el centro de la luz para mantener los esfuerzos en el concreto dentro de los límites permisibles. Pérdida totales supuesta para el tendón presforz Eficiencia del presfuerzo Pi/Pe

Dp R

15 0,85

%

Para este caso, aunque ya se tienen unas dim ensiones tomadas por es pecificaciones de losa, para

efectos didáctic os se calcularán los módulos de sección necesarios.

S1 ≥ S2 ≥

(1 - R)Mo R f ti (1 - R)Mo

+ Md + Ml - fcs

+ Md + Ml

0,00216 M3 0,0026

Siendo:

Mo

Md+Ml

26,72

39,40

M3

f ts - R f ci Usando un módulo sección promedio 0,0024 c1 S2 = 0,55 Luego, la sección no debería ser simétrica h S1 + S2 Sin embargo se tomará una sección rectangular h=(6S/b)^0,5 Para sección rectangular S=bh^2/6 0,05 0,12 0,20 0,25 b 0,15 0,54 0,35 0,27 0,24 h 0,3091 Use una sección rectangular de 15x35 b h Ac C1 0,15 0,35 0,0525 0,175

C2 0,175

I S1 S2 r^2 0,00054 0,0031 0,00306 0,010

8,10 22,16 37,19 54,50


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6, SELECCIÓN DEL TENDON DE PRESFUERZO Esfuerzo a compresión del concreto en el eje neutro. 8,14 Mpa < 17,64 f ci≤ 0.60fći Bien f cc= f ti +f ci c1 −f ti h Fuerza pretensora inicial 427 Kn Pi = f cc Ac f pu 1,89 kN/mm2 fp=0,7 f pu 1,323 k N/mm2 Us ando acero Grado 270 Area requerida de acero Ap=Pi/f p 323,10 mm2 Apo 98,69 mm2 se requieren Si se us an tendones 1/2" n=Ap/Apo 3,27 Con el cuadro abajo se muestran varias opciones de selección DIAM NOM

3/8" 7/16" 1/2" 5/8"

. CUADRO 9.2 CABLES DE SIETE ALAMBRES SIN REVESTIMIENTO Pn=Af pu AREA GRADO 270 Pulg2 mm2 f pu (kN/mm2) fp=0,7fpu kN

0,085 54,83 0,115 74,18 0,153 98,69 0,217 139,97

DIAM NOM

3/8" 7/16" 1/2"

DIAM NOM

#4 #5

AREA Pulg2

mm2

0,085 0,115 0,153

54,83 74,18 98,69

n 2 1

Area 98,69 139,97

1,89 1,89 1,89 1,89

1,323 1,323 1,323 1,323

GRADO 250 fpu (kN/mm2) fp=0,7fpu

1,68 1,68 1,68 Area total 197,37 139,965 337,335

Excentricidad en el apoyo central S Mo 0,131 m e = ( f ti-f cc ) 1 + Pi Pi

1,176 1,176 1,176

72,53 98,13 130,56 185,17

Pu kN 427 427 427 427

n 5,89 4,36 3,27 2,31

Pn=Af pu

Pu

n

Kip

kN

64,47 87,23 116,05

427 427 427

6,63 4,90 3,68

P=f py Ap 261,12 185,17 446,29

h/2

0,175 m

Obsérvese que como el momento positivo máximo de una viga simplemente apoyada es igual al momento negativo en el apoyo intermedio de una viga continua de dos luces iguales para carga uniformemente repartida, los cálculos hechos para la viga simplemente apoyada serán iguales para la viga continua. Para el momento en el centro de la luz de la viga continua se escogería una excentricidad igual a la mitad de la calculada en el apoyo con el fin de mantener los esfuerzos dentro de los rangos permisibles, aunque el diseño resultante no es económico. El método balanceado usa la flecha que se ve incrementada con la excentricidad en el apoyo resultando en un diseño más eficiente, como se muestra a continuación.


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7. METODO DE LA CARGA BALANCEADA

Figura 9.5. CALCULO DE FLECHA

Pe =

q b L 2 8 f

Criterio: Balancear carga permanente L 8,00 R 0,85 Para h 0,35 h/2 0,175

Pp CM Qb

3.34 3.13 6,47

Recubrimiento

Excentricidad en el apoyo central:máx: e2

0,125

Excentricidad máx en la mitad de la luz: e1

0,125

Entonces la flecha es f = e2/2 + e1

0,1875

Kn/ml Kn/ml Kn/ml 0,05

f Qb Pe Pi=Pe/R 6,47 0,1875 276 324 Con Pi se seleccionan los cables. Véase que este valor de Pi=324 kN por carga balanceada es menor que Pi=427 kN calculado por el método de los esfuerzos admisibles. DIAM NOM

1/2" 5/8"

CABLES DE SIETE ALAMBRES SIN REVESTIMIENTO Pn=Af pu Pu AREA GRADO 270 Pulg2 mm2 f pu (kN/mm2) f p=0,7f pu kN kN

0,153 98,69 0,217 139,97

1,89 1,89

1,323 1,323

130,56 185,17

324,52 324,52 Use

8. MOMENTOS TOTALES, PRIMARIOS Y SECUNDARIOS

n

Use n

2,49 1,75 ∑n Ap

1 1 2 238,65

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Tal como se analizó en el artículo 9.1, el presforzado aplicado a vigas continuas genera esfuerzos secundarios que deben ser tenidos en cuenta en el diseño al momento de calcular los esfuerzos en el concreto. El método de la carga balanceada permite obtener los momentos totales, como se muestra a continuación 2

Figura 9.6.MOMENTOS PRIMARIOS MOMENTOS TOTALES (Ver figura arriba) Cortante en los apoyos extremos V=3qL/8=3*6.47*8.00/8=19.41 kN Cortante en el apoyo central V=5qL/8=32.35 kN Momento en el centro de la luz M=qL2/16=6.47*8.002/16=25.88 kN-m Momento en el apoyo central M=qL2/8=51.76 kN-m MOMENTOS PRIMARIOS M1 Con Pe=276 kN , e1=0.125 en el centro y e2=0.125 en el apoyo central, los momentos primarios correspondientes son M1= Pe*e= 276*0.125=34.5 kN-m y M2=34.5 kN-m MOMENTOS SECUNDARIOS M2 Se obtienen restando de los momentos totales los primarios, así: M2CENTRO LUZ =25.88 – 34.5 = - 8.62 y M2APOYO= 51.76 – 34.5 = 17.26 kN-m REACCIONES SECUNDARIAS

2

Para este caso de viga continua con dos luces iguales y carga uniformente repartida los momentos y cortantes se obtienen con fórmulas como aparece en la figura arriba. Para otros casos, mas de dos luces o luces desiguales podría usarse un método de análisis como el de Distribución de Momentos o Método de Cross.


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Teniendo el momento secundario una variación lineal de 0 a17.26 kN-m la fuerza cortante que la origina en el apoyo extremo es V/L=17.26/8=2.16 kN y en el centro R= - 2*2.16= - 4.32 kN

Figura 9.7. LINEA DE EMPUJES Tiene una variación lineal dada por Y*P=M2, entonces en el centro Yb=M2/Pe=17.26/276=0.0623m siendo e*=Y+e=0.0623+0.125=0.187 m. De forma directa se puede calcular e*=Mt/P=51.76/276=0.187 m En el centro, Yc=8.62/276=0.03 y e*=e-Yc=0.125-0.03=0.093 m. De forma directa, e*=25.86/276=0 .093m 9. REVISION DE ESFUERZOS MÁXIMOS PARA MOMENTO EN EL APOYO CENTRAL Al balancear las cargas permanentes solamente quedarán actuando la fuerza axial de presfuerzo y la flexión por carga viva Esfuerzo axial debido al presfuerzo Pe 276 kN Ac 0,0525 m2 f p = Pe / Ac -5.26 Mpa Compresión Esfuerzo debido a la flexión por carga viva En la fibra superior fCV = MCV/S1 Mcv 14,40 kN-m En el apoyo central S1 0,003063 m3 S2 0,003063 m3 f CV = MCV/S1 4,70 Mpa Tensión En la fibra inferior f CV = MCV/S2 -4,70 Compresión Esfuerzo neto en la fibra superior Esfuerzo neto en la fibra inferior

fp + f CV f p + f CV

-0.56 -9.96

Mpa Mpa

Obsérvese que se produce compresión en la zona de tensión

< fts < fcs

1.62 -18.69

BIEN BIEN


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10. REVISION DE ESFUERZOS MÁXIMOS EN EL CENTRO DE LA LUZ Al balancear las cargas permanentes solamente quedarán actuando la fuer za axial de presfuerzo y la flexión por carga viva Esfuerzo axial debido al presfuerzo Pe 276 kN Ac 0,0525 m2 f p = Pe / Ac -5.26 Mpa Compresión Esfuerzo debido a la flexión por carga viva En la fibra superior f CV = MCV/S1 Mcv 8.10 kN-m En el centro de la luz. S1 0,003063 m3 S2 0,003063 m3 f CV = MCV/S1 -2.64 Mpa Compresión En la fibra inferior f CV = MCV/S2 2.64 Compresión Esfuerzo neto en la fibra superior Esfuerzo neto en la fibra inferior

f p + f CV f p + f CV

-7.90 -2.62

Mpa Mpa

< fcs < fts

-18.69 1.62

BIEN BIEN

Obsérvese que se produce compresión en la zona de tensión Posiblemente el lector se habrá dado cuenta que los cálculos de los esfuerzos se han hecho sin tomar en cuenta los efectos secundarios, es decir, usando la excentricidad e y no e*. Usando ahora los valores de e* Pe

⎛ c1e * ⎞ Mt ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ f 1s = ≤ f cs Ac ⎝ S1 r ⎠ Pe ⎛ c 2 e * ⎞ M t f 2s = - ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ + < f ts Ac ⎝ r ⎠ S 2 i

(9.3-c) (9.3-d)

*

Para el apoyo central, Mt = 66.12 kN-m e 2 = - 0.187 (Negativo por estar por encima del EN) b h Ac C1 C2 I S1 S2 r^2 0,15 0,35 0,0525 0,175 0,175 0,000536 0,00306 0,003063 0,01021 Pe ⎛ c e * ⎞ M f 1s = - i ⎜⎜1 − 1 2 ⎟⎟ + t Esfuerzo neto en la fibra superior para Momento negativo Ac ⎝ S1 r ⎠

f 1s = -

276

⎛ 1 + 0.175 * 0.187 ⎞ /1000 + ⎜ ⎟ 0.0525 ⎝ 0.010 ⎠ i

66.12 0.00306

/ 1000 =-22.46+21.61=.85≤ f ts =1.62


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⎛ c 2 e * ⎞ M t f 2s = - ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ Esfuerzo neto en la fibra inferior para momento negativo Ac ⎝ r ⎠ S 2 276 ⎛ 0.175 * 0.187 ⎞ 66.12 / 1000 =11.95 - 21.61= - 9.66 ≤ f cs = -18.69 f 2s = ⎜1 − ⎟ /1000 0.0525 ⎝ 0.010 0.00306 ⎠ Pe

i

*

En el centro de la luz, Mt = 37.19 kN-m e 1 = 0.0.93 b h Ac C1 C2 I S1 S2 r^2 0,15 0,35 0,0525 0,175 0,175 0,000536 0,00306 0,003063 0,01021 Pe ⎛ c e * ⎞ M f 1s = - i ⎜⎜1 − 1 2 ⎟⎟ - t Esfuerzo neto en la fibra superior para Momento positivo Ac ⎝ S1 r ⎠

f 1s = -

276

⎛ 1 − 0.175 * 0.093 ⎞ /1000 ⎜ ⎟ 0.0525 ⎝ 0.010 ⎠ i

37.19 0.00306

/ 1000 =

3.30-12.5=-8.85≤ f cs =-18.69

⎛ c 2 e * ⎞ M t f 2s = - ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ + Esfuerzo neto en la fibra inferior para momento positivo Ac ⎝ r ⎠ S 2 276 ⎛ 0.175 * 0.093 ⎞ 37.19 f 2s = / 1000 =-13.81 + 12.15= - 1.66 ≤ f ts = 1.62 ⎜1 + ⎟ /1000 + 0.0525 ⎝ 0.010 0.00306 ⎠ Pe

i

De la misma manera puede hacerse la revisión para Pi. 11. DISEÑO POR RESISTENCIA ULTIMA PARA MOMENTO NEGATIVO Mu

96,89 kN-m Concreto fć (Mpa) 42,00

Acero convencional fy 420

Acero presforzado PROPIEDADES DE CABLES DE SIETE ALAMBRONES SIN RE VESTIMIENTO (ASTM A 41 6) f pu GRADO 250 f py (1%Elongación) f pu GRADO 270 f py (1%Elongación) Psi MPa Psi MPa Psi MPa Psi MPa 250000 17500 212500 1487 270000 1890 229500 1606.5

Usando el método aproximado para calcular f ps b h d dp f pu 0,15 0,35 0,30 0,275 1890

f ps

⎛ λ ⎡ f ⎤ ⎞ d = f pu ⎜1 − p ⎢ ρ p pu + (ω − ω ´)⎥ ⎟ ⎜ β 1 ⎢⎣ fć d p ⎥⎦ ⎠⎟ ⎝ Para f py/f pu=

0,85

λ p

β1

0,4 0,75

Para presforzado total, As=A’s=0 fp=0,7fpu fpy Ap As 1323 1606,5 238,65 0,00

A´s 0,00


β1 = 0.85

EMEL MULET

126

si fć ≤

28 f' c - 28

β1 = 0.85 – 0.05 β1 = 0.65 ρ =

ρ ´ =

si fć>56

As bd

A´s bd

Entonces f ps

a =

;

7

si 28
A p f ps 0.85fć b

0,00

0,00

1627,57 Mpa

0,073

ω

= ρ s

fy

0,00

fć fy ω ´= ρ ´ s fć

ω p = ρ p

0,00

f ps fć

0,224

<0,36β1 Falla dúctil

0,27

φ Mn = φ A spf sp (d p − a/2) 83.45

Este momento resistente es un poco menor que el requerido Mu=96.89 kN-m Por tanto debe suministrarse un refuerzo adicional convencional. Para ello se calcula el área de acero convencional Ast para el momento Mu=96.89 , concreto f’c=42 y acero fy=420, obteniéndose Mu f y ⎡ ⎤ = 11.76 = 7176.89 ρ = 1 1 − 1 − 2mK = 0,021776 K = m 2 ⎢ ⎥ bd 0.85f ' c m⎢ φ f y ⎥

⎣

⎦

Ap Ast=ρbd 979,91 mm2 As equiv=Astxfy/fp 252,87 mm2 238,65 calculado As=As equiv - Ap = 14,22 mm2 0,14 cm2 Si se revisa el esfuerzo en la fibra superior para cargas de servicio se observa que el esfuerzo resultante es de tensión pero dentro de lo permisible, lo que indica que no se requiere refuerzo adicional. Siendo el Momento positivo casi la mitad del positivo y como el cable de presfuerzo es constante en toda la longitud de la viga, no se requiere tampoco refuerzo convencional adicional


EMEL MULET

12. CALCUL O DE DEFLEXIONES ( a ) Deflexiones por presfuerzo efectivo y carga permanente. 4

Por CM

δ cm =

qL

0,51

385EI

6,47 kN/m 8,00 m Ec=3900 fć 25274,89 Mpa I 0,000536 m4 Deflexión debido al presfuerzo 5P e L2 -1,70 cms δ p = 48EI

cms

Qb L

fć (Mpa)

42,00

Pe 275,84 kN e 0,125 m R 0,85 Véase que la flecha por carga permanente es menor que la producida por el presfuerzo Sin embargo faltaría evaluar el efecto por flujo plástico ( b ) Deflexiones por presfuerzo inicial y peso propio Por peso propio

δ o

=

qL4

0,26

385EI

El peso propio realmente incluye Peso Propio Viguetas Placa Superior Casetón de Madera No recuperab Pañete inferior en mortero

1,080 kN/m 1,200 0,400 0,660 3,340

PESO PROPIO

L

8,00 Ec=3900 fć 25274,89 I 0,000536 e Pi=P /R 324,52 Por fuerza inicial Pi δ

cms

m Mpa m4 kN

=

Queda una contraflecha de

5 PeL

fć (Mpa)

2

42,00

-2,00 cms

48 EI

-1,73

cms

Para evitar esta contraflecha que puede ser perjudicial, podría hacerse el tensado por etapas.

127


EMEL MULET

128

13. DISEÑO PARA FUERZA CORTANTE DATOS DE DISEÑO PROPIEDADES GEOMETRICAS Y ELASTICAS b 0,15 m C1 h 0,35 m C2

dp Pe

emax fć f yv

0,26 275,84 0,125 42,00 420

m kN m Mpa Mpa

Ac I S1 S2 r^2

0,175 0,175 0,0525 0,000536 0,003063 0,003063 0,010208

m m m2 m4 m3 m3 m

Ancho del apoyo Luz de la viga

0,30 8,00

RESULTADOS DE ANALISIS ESTRUCTURAL

Conviene calcular la fuerza cortante y el momento debido a peso propio en la sección crítica, esto es, a h/2 de la cara del apoyo y en otras posiciones de la viga, por lo cual es recomendable plantear las ecuaciones V(x) = V-qX M(x) = V*X - qX^2/2 CUADRO 9.3. CALCULO DE LA RESISTENCIA A CORTANTE DEL CONCRETO

X m 0,00 0,325 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00

Qo kN/m 3,34 3,34 3,34 3,34 3,34 3,34 3,34 3,34 3,34 3,34

V kN 10,02 8,93 6,68 3,34 0,00 -3,34 -6,68 -10,02 -13,36 -16,70

M kN-m 0,00 3,08 8,35 13,36 15,03 13,36 8,35 0,00 -11,69 -26,72

ex

dp

m 0,000 -0,010 -0,020 -0,040 -0,050 -0,040 -0,010 0,040 0,111 0,175

m 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28

Tan θ

0,031 0,015 0,020 0,010 0,010 0,030 0,050 0,070 0,064 0,022

Vpy kN 8,487 4,087 5,606 2,776 2,776 8,328 13,880 19,432 17,754 6,034

CUADRO 9.4. RESISTENCIA A CORTANTE DEL CONCRETO POR FLEXO-CORTANTE

fo Mpa 0,00 1,01 2,73 4,36 4,91 4,36 2,73 0,00 3,82 8,72

f p2 Mpa 5,25 4,35 3,45 1,62 0,72 1,62 4,34 8,87 15,22 21,02

Mcr kN-m 26,01 20,18 12,15 1,53 -2,91 1,53 14,87 37,10 44,84 47,57

Vc flexocort

kN 32,12 71,56 22,02 6,51 2,78 4,62 -4,68 9,41 55,66 19,08

f cc Mpa 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25

Vc Alma kN 156,35 151,95 153,46 150,63 150,63 156,19 161,74 167,29 165,61 153,89

Vc Diseño kN 32,12 71,56 22,02 6,51 2,78 4,62 -4,68 9,41 55,66 19,08


EMEL MULET

129

RESISTENCIA A CORTANTE DEL CONCRETO POR FLEXION-CORTANTE

Vc = Siendo

fć 20

b w d +

M cr

+ Vo + V py (a) M/V Mcr = S 2 ( fć /2 + f p2 - f o )

Pe ⎛ c 2e ⎞ 4,35 Mpa ⎜1 + ⎟ Ac⎝ r 2 ⎠ Entonces Mcr 20,18 kN-m

f 2p = -

f o=Mo/S2

1,01 Mpa

Vpy = P e Tan θ Tan θ Pendiente de la curva del cabl dy =

Componente vertical de la fuerza del cable

Por tanto V py = 4,09 kN Vo 8,93 kN Remplazando en (a) se obtiene la resistencia del concreto a flexion y cortante Vc 71,56 kN Rige

dx

Y X

2 2

− Y1 − X 1

RESISTENCIA DEL CONCRETO POR CORTANTE EN EL ALMA

0.3( f´ + f cc ) bwd + V py 151,95 kN Vc = 6,48 Mpa Contribución del concreto fć f cc =Pe/Ac 5,25 Mpa Contribución del presfuerzo Véase cómo el presfuerzo contribuye con el 52% a la resistencia a cortante en el alma. Se toma el menor de los dos valores obtenidos para Vc

71,56 kN

Vc

CORTANTE ULTIMO DE DISEÑO

X m 0,00 0,325 1,00 2,00

Qo kN/m 3,34 3,34 3,34 3,34

Vo kN 13,36 12,275 10,02 6,68

QCM kN/m 3,13 3,13 3,13 3,13

VCM kN 12,50 11,48 9,38 6,25

Vu=1,4(Vo+VCM)+1,7Vcv 44,51

kN

φvc/2

kN

Vu > pero Vu<

30,41

QCV kN/m 1,80 1,80 1,80 1,80

Vcv kN 7,20 6,62 5,40 3,60

φvc/2 φvc

Por tanto la vigueta requiere refuerzo por cortante, pero mínimo.


EMEL MULET

130

14.TRAZADO DEL CABLE Para cada uno de los límites a tensión o compresión del concreto debe trazarse una curva y luego seleccionar una sola que satisfaga los requisitos de esfuerzos permisibles.

LIMITES INFERIORES PARA e e(x)  . f ti S1 S1 M o ( x )

+

P1

e(x)  −

Ac

f ci S 2 P1

−

+

Pi

S2 Ac

+

M o ( x ) Pi

LIMITES SUPERIORES PARA e

e(x) ≥

f cs S1 Pe

+

S1 Ac

+

M(x) = V o*X-qX^2/2

(a¨)

M t ( x ) Pe

.

. ( b´) M(x) = Vt*X-qX^2/2

e(x) ≥ −

f ts S 2 Pe

−

S2 Ac

+

M t ( x ) Pe

.

Para facilidad de referencia se repiten los datos obtenidos a la presente que sirven de base para obtener la trayectoria del cable.

Concreto fć (Mpa) fći=0,7fć

42,00 29,40

PROPIEDADES GEOM Ac 0,0525 m2 Ap 337,34 mm2 S1 0,0030625 m3

f ci≤ 0.60fći

-17,64

S2

0,0030625

m3

1,36

C1 C2

0,175 0,175

m Pg

0,01020833

m2

Pi

CARGAS 325

kN

R Pe Qo Qcm Qcv Qt

0,85 275,84 3,34 3,125 1,80 8,27

kN kN/m kN/m kN/m kN/m

f t i ≤

f´ c i 4

f cs = 0.45fć f t s =

fć

-18,9 1,62

4

f cu = 0.60fć

r

-25,20

Se observa que la ecuación del cable tiene la misma forma de la ecuación de momentos a las cargas externas.


Límite inferior por Tensión en la fibra superior

e(x) 

f ti S1 P1

e(x)=

+

S1 Ac

+

M o ( x )

0,0711

L

8,00

M(x) = V O*X-qX^2/2 Vo 10,02

Pi

EMEL MULET

+

10,02 X

f 1i = -

m

kN -1,6700

X^2

⎛ c 1e ⎞ M o ⎜1 − 2 ⎟ Ac ⎝ r ⎠ S1 Pi

Cuadro 9.5. Límite inferior por tensión en la fibra superior f 1i X (m) Mo Mo/Pi e1(x) 0,00 0,00 0,0000 -0,071 1,36 0,50 4,59 0,0142 -0,085 1,36 1,00 8,35 0,0257 -0,097 1,36 1,50 11,27 0,0347 -0,106 1,36 2,00 13,36 0,0412 -0,112 1,36 2,50 14,61 0,0450 -0,116 1,36 3,00 15,03 0,0463 -0,117 1,36 3,50 14,61 0,0450 -0,116 1,36 4,00 13,36 0,0412 -0,112 1,36 4,50 11,27 0,0347 -0,106 1,36 5,00 8,35 0,0257 -0,097 1,36 5,50 4,59 0,0142 -0,085 1,36 6,00 0,00 0,0000 -0,071 1,36 6,50 -5,43 -0,0167 -0,054 1,36 7,00 -11,69 -0,0360 -0,035 1,36 7,50 -18,79 -0,0579 -0,013 1,36 8,00 -26,72 -0,0823 0,011 1,36 Véase como los esfuerzos se mantienen constantes en todo el trazado.

e(x)  − e(x)=

f ci S 2 P1

−

S2 Ac

0,1081

+

M o ( x ) Pi

. ( b´)

+

f 2i = -

M(x) = VO*X-qX^2/2 10,02

Pi Ac

⎛ ⎜1 + ⎝

X

c 2 e ⎞ r

2

⎟+ ⎠

Cuadro 9.6. L{imite inferior por compresión en la fibra inferior f 2i X (m) Mo Mo/Pi e2(x) 0,00 0,00 0,0000 -0,108 -17,64 0,50 4,59 0,0142 -0,122 -17,64 1,00 8,35 0,0257 -0,134 -17,64 1,50 11,27 0,0347 -0,143 -17,64 2,00 13,36 0,0412 -0,149 -17,64 2,50 14,61 0,0450 -0,153 -17,64

-1,6700

Mo S2

≥ fci

X^2

131


3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 6,50 7,00 7,50 8,00

15,03 14,61 13,36 11,27 8,35 4,59 0,00 -5,43 -11,69 -18,79 -26,72

0,0463 0,0450 0,0412 0,0347 0,0257 0,0142 0,0000 -0,0167 -0,0360 -0,0579 -0,0823

-0,154 -0,153 -0,149 -0,143 -0,134 -0,122 -0,108 -0,091 -0,072 -0,050 -0,026

EMEL MULET

132

-17,64 -17,64 -17,64 -17,64 -17,64 -17,64 -17,64 -17,64 -17,64 -17,64 -17,64

Se muestran a continuación las dos gráficas correspondientes Figura 9.8. Curvas l{imites inferiores LIMITES INFERIORES 0,050 m ( 0,000 D 0,00 A D I -0,050 C I R T -0,100 N E C X -0,150 E

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00

-0,200

ABSCISAS (m )

e1(x)

e2(x)

Límite superior por Compresión en la fibra superior

e(x) ≥

e(x)=

f cs S1 Pe

+

S1 Ac

+

M t ( x ) Pe

-0,1515

.

L

Mt(x) = Vt

+

24,80 X

8,00

m

Vt*X-qX^2/2 24,80 kN -4,1325 X^2

c e ⎞ f 1 s = - Pe ⎛ ⎜1 − 12 ⎟ Ac ⎝ r ⎠ Cuadro 9.7. Límite superior por compresi+on en la fibra superior X (m) 0,00 0,50

Mt 0,00 11,36

Mt/P e 0,0000 0,0412

e1(x)

f 1s

0,15 0,11

-18,90 -18,90

Mt S1

≥ f cs


1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 6,50 7,00 7,50 8,00

e(x) ≥ − e(x)=

20,66 27,89 33,06 36,16 37,19 36,16 33,06 27,89 20,66 11,36 0,00 -13,43 -28,93 -46,49 -66,12

f ts S 2 Pe

−

S2 Ac

0,0749 0,1011 0,1199 0,1311 0,1348 0,1311 0,1199 0,1011 0,0749 0,0412 0,0000 -0,0487 -0,1049 -0,1685 -0,2397

+

-0,0763

M t ( x )

0,08 0,05 0,03 0,02 0,02 0,02 0,03 0,05 0,08 0,11 0,15 0,20 0,26 0,32 0,39

-18,90 -18,90 -18,90 -18,90 -18,90 -18,90 -18,90 -18,90 -18,90 -18,90 -18,90 -18,90 -18,90 -18,90 -18,90

Mt(x) = Vt*X-qX^2/2 Vt 24,80 kN

Pe +

24,80 X

c e ⎞ f 2s = - Pe ⎛ ⎜1 -+ 22 ⎟ + Ac ⎝ r ⎠ Cuadro 9.8. Límite superior por tensión en la fibra inferior X (m) 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 6,50 7,00 7,50 8,00

Mt 0,00 11,36 20,66 27,89 33,06 36,16 37,19 36,16 33,06 27,89 20,66 11,36 0,00 -13,43 -28,93 -46,49 -66,12

EMEL MULET

Mt/Pe 0,0000 0,0412 0,0749 0,1011 0,1199 0,1311 0,1348 0,1311 0,1199 0,1011 0,0749 0,0412 0,0000 -0,0487 -0,1049 -0,1685 -0,2397

e2(x) 0,076 0,035 0,001 -0,025 -0,044 -0,055 -0,059 -0,055 -0,044 -0,025 0,001 0,035 0,076 0,125 0,181 0,245 0,316

f 2s 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62

-4,1325 X^2

Mt S2

< fts

133


EMEL MULET

134

CURVA DEL CABLE LIM SUPERIOR e(x) 0,45 0,40 0,35 ( e D A D I C I R T N E C X E

0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0,00 -0,05

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00

-0,10

DISTANCIA DEL ORIGEN (m )

e1(x) e2(x)

Figura 9.9 . Curvas de límite superior

TRAZADO FINAL DEL CABLE Conocidos los límites superiores e inferiores para el cable se procede a realizar el trazado final el cual debe mantenerse más o menos en la media como se ilustra abajo. Esto implica hacer ajustes manuales como es iniciar con excentricidad cero en los apoyos simples. Para el resto puede optarse por un promedio pero cuidando siempre que los esfuerzos queden dentro de los valores permisibles. Si el diseño se hubiera hecho totalmente por el método de los esfuerzos permisibles, sin lugar a dudas el trazado del cable hubiera sido tal que automáticamente se cumplían estos requisitos, pero el diseño resultaría un poco mas costoso. Al hacer el diseño complementando con carga balanceada, este método solamente proporciona los valores máximos de excentricidades y no cómo debe variar el trazado para el resto de la luz. Esto obliga a hacer ajustes manuales; véase en el cuadro 9.9 cómo muchos valores de esfuerzos superan los permisibles en el concreto. Por tanto este cuadro debe reajustarse. También se han graficado los esfuerzos en el concreto para toda la viga, observándose el cumplimiento de los requisitos de esfuerzos admisibles (Tensión positivo, Compresión negativo).


X (m) 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 6,50 7,00 7,50 8,00

EMEL MULET

Cuadro 9.9. Trazado final y esfuerzos finales e inf(x) e sup TRAZ FIN Mo Mt fti fci fcs -0,071 0,152 0,00 0,00 -8,14 -8,14 -6,92 0,000 -0,085 0,110 4,59 11,36 -8,25 -8,04 -9,45 -0,010 -0,097 0,077 8,35 20,66 -8,08 -8,21 -11,29 -0,020 -0,106 0,050 11,27 27,89 -7,95 -8,33 -12,74 -0,028 -0,112 0,032 13,36 33,06 -6,88 -9,41 -12,93 -0,040 -0,116 0,020 14,61 36,16 -6,23 -10,05 -13,05 -0,048 -0,117 0,017 15,03 37,19 -6,02 -10,27 -13,09 -0,050 -0,116 0,020 14,61 36,16 -6,23 -10,05 -13,05 -0,048 -0,112 0,032 13,36 33,06 -6,88 -9,41 -12,93 -0,040 -0,106 0,050 11,27 27,89 -7,95 -8,33 -12,74 -0,028 -0,097 0,077 8,35 20,66 -9,45 -6,83 -12,47 -0,010 -0,085 0,110 4,59 11,36 -11,39 -4,90 -12,12 0,013 -0,071 0,152 0,00 0,00 -13,75 -2,53 -11,69 0,040 -0,054 0,200 -5,43 -13,43 -16,54 0,26 -11,18 0,073 -0,035 0,256 -11,69 -28,93 -19,77 3,48 -10,60 0,111 -0,013 0,320 -18,79 -46,49 -22,94 6,66 -9,54 0,150 0,011 0,391 -26,72 -66,12 -23,84 7,56 -6,09 0,175

135

fts -6,92 -4,40 -2,55 -1,10 -0,91 -0,79 -0,75 -0,79 -0,91 -1,10 -1,38 -1,73 -2,15 -2,66 -3,24 -4,30 -7,75

CURVAS SUP MEDIA E INFERIOR DE e(x)

0,500 0,400

x ( e D A D I C I R T N E C X E

0,300 0,200 0,100 0,000 0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

-0,100 -0,200

DISTANCIA AL APOYO IZQ (m )

e inf(x)

e sup

TRAZ FIN

Figura 9.10. trazado final de la curva del cable

7,00

8,00

9,00


EMEL MULET

136

ESFUERZOS EN EL CONCRETO 10,00

5,00

0,00

) 0,00 a P -5,00 M (

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00

S O-10,00 Z R E U-15,00 F S E -20,00

-25,00

-30,00

DISTANCIA (m) fti

fci

fcs

fts

Figura 9.11. Esfuerzos en el concreto TRAZADO CABLE 0,200 ) m (

0,150

D 0,100 A D I C 0,050 I R T N E 0,000 C 0,00 X E

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00

-0,050 -0,100

X (m)

Figura 9.12. Trazado del cable

10,00

11,00

12,00

13,00

14,00

15,00

16,00

17,00


EMEL MULET

137

CALCULO DE LAS PERDIDAS 1. PERDIDAS INMEDIATAS

a. Por deslizamiento de los anclajes. ∆σ =

 = ∆L/L Datos

fć

L (m) 16,00 Ep (Mpa) 189000,00 Ec (Mpa) 21.146 Ap (mm2) 245,29 ∆L

(mm)

5

∆L L

∆Fd = ∆

E p

42,00 fpu Ac e r^2

σ

A p =

fći=0,7fć

29,4

1890 0,0525 0,125 0,010208333

Mpa m2 m m2

∆L L

E p A p

Ec = 3900 fći 21146,49

en la mitad de la luz

Dato obteni do de la práctic a

Entonces se obtiene

 = ∆L/L

∆σ =

∆L L

∆Fd =

0,00031 mm/mm

E p A p

∆ σ

59,06

Mpa

14,49

kN

Pi 325 kN %Pérdida 4,46 % Esta pérdida es ahora menor que la obtenida para una viga de una luz de 8 metros

( b ) PERDIDA POR ACORTAMIENTO ELASTICO DEL CONCRETO nPo

A p

AT = Ac + nAp n=Ep/Eci 8,94 AT 0,0547 m2 fc=P/Ac 6,18 13,01 kN ∆P %Pérdid 4,01 % Obsérvese que debe usarse el módulo de elasticidad para fći=0,7fć ∆P = A T

Calculando el esfuerzo en el concreto al nivel del tendón en el centro f c = - Pi ⎛ e 2 ⎞ 15,64 Mpa ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ Ac ⎝ r ⎠ 34,29 kN 10,6 % Véase que este valor es igual al valor promedio fc=P/Ac incrementando por el 2 ⎛ efecto de la excentricidad e ⎞ ∆P= n f c A p

⎜⎜ 1 + ⎝

r

2

⎟⎟ ⎠

pero sería válido solamente para el centro de la luz, donde el momento es máximo. Por eso creemos que es mas representativo tomar el valor del esfuerzo en el centroide. Por último, si la viga es postensada y se tensan los tres cables simultáneamente, la pérdida por acortamiento elástico es nula.

c) Pérdidas por Fricción. Como se trata de una viga continua la curvatura variará y por tanto deben hacerse los cálculos en secuencia de segmentos.


-(Kx+uA)

Px = Po e ∆Pf =Po

A=

EMEL MULET

138

8f L

– Px

Se especificaron cables de siete alambres en ductos metálicos inyectados con lechada Despreciando la curva de transición en el apoyo intermedio y usando la simetría de curvatura De la tabla 6.1. se puede tomar K X=L Angulo A 0,004 0,2 8,00 0,188 TRAZADO CABLE

0,200

0,150

m ( D A D I C I R T N E C X E

0,100

0,050

0,000 0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00 10,00 11,00 12,00 13,00 14,00 15,00 16,00 17,00

-0,050

-0,100 X (m)

Figura 9.13. TRAZADO DEL CABLE Cuadro 9.10. CALCULO DE PERDIDAS POR FRICCION TRAMO

LONGITUD

KL

f

A=8f/L

AB BC CD

7,00 2,00 7,00

0,028 0,008 0,028

0,056 0,039 0,056

0,064 0,156 0,064

Pi 325

K 0,004

u 0,2

uA

KL+uA

0,0128 0,041 0,0312 0,039 0,0128 0,041

Σ (KL+uA)

0,0408 0,0800 0,1208

%Pi total 11,38

TOTAL DE PERDIDAS INMEDIATAS Por deslizamientos de los anclajes Por Acortamiento del concreto Por fricción TOTAL

kN 14,49 10,57 11,38 36,43

%Po 4,46 0,00 11,38 15,84

Pi NETO

288,08

-(KL+uA)

e 0,9600 0,9231 0,8862

Pj=Pi e-(KΣLj+uΣ Aj) PERDIDA

311,54 299,57 287,59

%Pi 12,97 4,00 24,95 7,69 36,93 11,38


EMEL MULET

PERDIDAS DIFERIDAS O A LARGO PLAZO Estas se calculan después que han ocurrido las pérdidas inmediatas, o sea, para Pi= ∆sh = E p sh =  b Ke sh ( d ) RETRACCION DE FRAGUADO  b

0,0004 suponiendo exposición al aire libre (Tabla 6.2)

Para Ac

0,0525

m2

Entonces

a

105

mm

1,00

m

con lo que

Ke

1,05

(Tabla)

Perímetro S

2(b+h) b

h

0,15

0,35

Por tanto

sh =  b Ke

Pérdida

∆sh =

0,0004

E p sh ∆P=∆sh*Ap %Pi

79,38 19,47 6,76

Mpa kN %

( e ) PERDIDA POR RELAJACION DEL ACERO DE PRESFUERZO 1-

f p = f pi (

log T f pi ( − 0 .55 )) 45 f py

Tomando un tiempo igual a

5

años

T Pi Ap f pi fpy f py/f pu f p

43800 288 245,29 1174 1606,5 0,73 1152,53

Horas kN mm2 MPa Mpa >0,55 MPa

= f pi – f p ∆P= ∆f A p %P

21,93 5,38 1,87

MPa kN %

Entonces el esfuerzo resultante por relajación es ∆f

( f ) PERDIDA POR FLUJO PLASTICO

f c = - P i Ac

⎛ ⎜⎜ 1 + ⎝

f cp = C u n p f c Cu np f cp =C u n p f c ∆ p = A p f cp

%P

e 2+ ⎞

⎟ 2 r ⎠⎟ 2 8,94 -203,30 49,87 17,31

M te I

(Ver 6.2.3) Mpa kN %

-11,37

Mpa

Mt

I

37,19

0,00054

139

288,08 kN

a=

A S/


EMEL MULET

140

Cuadro 9.11. RESUMEN DE LAS PERDIDAS TIPO DE PERDIDAS Deslizamiento anclajes Acortamiento del concreto Fricción Retracción de fraguado Relajación del acero Flujo plástico TOTAL Pi Po Ap f pi

324,52 288 245,29 1174,47

kN 14,49

PERDIDA Mpa 59,06

%Pi 4,46

310,03

13,01 11,38 19,47 5,38 49,87 113,59

53,03 46,39 79,38 21,93 203,30 463,09

4,01 3,51 6,76 1,87 17,31 37,92

297,02 285,64 266,17 260,79 210,93 210,93

kN mm2 Mpa

Pe

Pe

210,93

f pe

859,91

Cuadro 9.13. PERDIDAS EN CONCRETO PRETENSADO TIPO DE PERDIDAS PERDIDA kN Mpa %Pi Deslizamiento anclajes 14,49 59,06 4,46 Acortamiento del concreto 13,01 53,03 4,01 Fricción 0,00 0,00 Retracción de fraguado 19,47 79,38 6,76 Relajación del acero 5,38 21,93 1,87 Flujo plástico 49,87 203,30 17,31 TOTAL 102,21 416,70 34,41

Pe 310,03 297,02 297,02 277,55 272,17 222,30 222,30

Sobretensionando la pérdida por deslizamiento puede reducirse casi a cero, con lo que la pérdida total sería 29,94 % Cuadro 9.14. PERDIDAS EN CONCRETO POSTENSADO TIPO DE PERDIDAS PERDIDA kN Mpa %Pi Deslizamiento anclajes 0,00 Acortamiento del concreto 0,00 Fricción 11,38 46,39 3,51 Retracción de fraguado 19,47 79,38 6,76 Relajación del acero 5,38 21,93 1,87 Flujo plástico 49,87 203,30 17,31 TOTAL 86,10 351,00 29,44 Pérdida total

29,44

Pe

285,64 277,55 272,17 222,30 222,30

%

Estas pérdidas son altas y debe buscarse la forma de disminuirlas. Además debe tenerse presente que se partió suponiendo una pérdida del 15%. Si en realidad son mayores debe revisarse el diseño.


EMEL MULET

141

9.Presforzado en Vigas Continuas

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