RAZONA M. MATEMA T. IV BIM. TRILCE PRIMARIA
RAZ. MATEMATICO
Índice Pág Pá g .
å
Operadores Operadores Matemático Matemáticoss I...............................99
å
Operadores Operadores Matemático Matemáticoss II............................105
å
Criptoaritmética I...........................................111
å
Criptoaritmética II..........................................117
å
Método Método Inductivo Inductivo I.........................................123 I..................... ....................123
å
Método Método Inductivo Inductivo II........................................129 II............................... .........129
å
Repas Repaso. o.... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ .......1 ...137 37
COLEGIO TRILCE
Página 2
RAZ. MATEMATICO
4
8
+
×
L a s c u la a d i d e e s E s t o s
7
3
=
1 1
9
=
2 4
2 0
a t r o o p e r a c io n e s f u n d a c i ó n , s u s t r a c c i ó n , m u lt i t a s p o s e e u n s í m b o lo q s ím b o lo s : ( , , , )
6
=
5
m
e n t a l e p l ic a c ió n u e r e p r e s o n o p e r
¿Qué es un operador matemático? ____________________________________ ______________________________________________________ __________________________________ ________________ ____________________________________ ______________________________________________________ __________________________________ ________________ ____________________________________ ______________________________________________________ __________________________________ ________________ ____________________________________ ______________________________________________________ __________________________________ ________________ ____________________________________ ______________________________________________________ __________________________________ ________________ ____________________________________ ______________________________________________________ __________________________________ ________________ ____________________________________ ______________________________________________________ __________________________________ ________________ ____________________________________ ______________________________________________________ __________________________________ ________________ Los símbolos (+, ×, -, ÷ ) son conocidos por todos nosotros. En este capítulo vamos a trabajar trabajar con otros símbolos (*, %, ∆, #, etc.), y cada uno de estos va a representar a cierta operación matemática, la cual se define en un problema.
COLEGIO TRILCE
Página 3
RAZ. MATEMATICO
a b 7. Si: a # b calcular el valor de: (2 # 7) - (1 # 3)
m
12. Si:
=
hallar: 6
+
PROBLEMAS PARA LA CLASE 81 . . SS i ise s:emsa sa∆ben qu q=uem: 2m- ♦ n n = mn - 5 hallar hallarelelvalor valorde: de:(23 ♦ 4 + (1 ♦ 7) ∆ 3)
4. Si: p * q = (p2 + q2) × (p - q)
a. b. p 2. Sea Sepa laq opera era4ció ción: a Θ b = 4a + 9b q 9. Si: calcular: 6 Θ 8 calcular el valor de: (6 ♣ 3) (15 ♣ 5)
2
13.. calcular: 13 Se def defin ine: e:3 *p 1= hallar:
p
3
3
3
c. 5. Si se sab sabe que que:: x # y = (x (x - y) y) (x) (x) (x + y) ¿cuál es el valor de (8 # 2)?
3. Sabi Sabien endo do que: que: a @ b = 2a + a2 + b 10. Si se se defin define: e: A • B = 2A 2A + B hallar el valor de: 4 @ 1 calcular: (3 • 5) + (5 • 3)
11. Sea la la opera operació ción: n: x % y = x2 + 3y hallar: (2 % 3) + (4 % 2) COLEGIO TRILCE
Página 4
14.. Si se sabe 14 sabe:: hallar: 0 a. x 6. Se define: 0 b. 2 0 hallar: 0 c.
x
=
2
3+ x
=
RAZ. MATEMATICO
a b
a a
b b
3.
15. Si: hallar: (3 ∆ 2) × (8 ∆ 4)
Si:
x
hallar:
4.
m
n
n
=
2
x
3
Si se sabe que: a3 % b2 = 3b - 2a hallar: 27 % 16
m2 2
1. Se define: calcular: (2 ⊗ 6) + (3 ⊗ 7)
2
2
2. Si: a ♦ b = a + 2ab + b calcular: (4 ♦ 5) - (2 ♦ 3)
COLEGIO TRILCE
Página 5
5.
+2
2 a 6b Si: 3a b calcular: 12 ψ 4
RAZ. MATEMATICO
TAREA DOMICILIARIA COLEGIO TRILCE
Página 6
RAZ. MATEMATICO Desarrolla en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
COLEGIO TRILCE
Página 7
RAZ. MATEMATICO
En esta clase resolveremos más problemas sobre operadores matemáticos y vamos a aprender a "leer" una tabla de doble entrada.
Consiste en la asociación de dos elementos de un conjunto dado (no vacío), mediante una regla de correspondencia generando un único resultado. •
•
Ejemplo 1 Sea el conjunto: A = {1; 2; 3} se define la operación adición como:
+
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
•
Sea el conjunto: C = {1; 3; 5; 7} se define la operación * mediante la tabla adjunta.
Ejemplo 2 Sea el conjunto: B = {2; 4; 6} se define la operación multiplicación como:
2
4
6
2
4
8
1 2
4
8
6
1 2 2 4 3 6
*
1
3
5
7
1
7
1
3
5
3
1
3
5
7
5
3
5
7
1
7
5
7
1
3
Hallar el resultado de: (7 * 5) * 3 •
×
Ejemplo 3
1 6 2 4
Ejemplo 4: Si se sabe que el operador "$" se define en el conjunto: A = {1; 2; 3; 4}; mediante la tabla: $
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
1
2
3
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
Hallar: (1 $ 3) + (3 $ 2)
PROBLEMAS PARA LA CLASE COLEGIO TRILCE
Página 8
RAZ. MATEMATICO 1. Se define la operación " J", en el 3. Dada la siguiente tabla:
5.
conjunto:
x
0
1
2
3
A = {1; 2; 3; 4} mediante la siguiente tabla: 2 3 4 7 1
0
0
1
2
3
1
2
3
4
5
5
6
17
82 9
1 3 4 5 6 Sea "ª" la operación definida en: 2 4 5 6 7 A = {a, b, c} 3 5 6 7 8 mediante la tabla: n4 6 a 7 b 8 9c
2 3
a
b
c
b
b
c
a
c
c
a
b
4
1
6
1
hallar el valor de:
2
7
3 3
2
2
1
3
3
3
3
1
(0 u 3) + (2 u 3) - 2(1 u 2)
calcular: (1 J 2) + (4 J 3)
a
*
7. La operación * se define en N: hallar:
hallar: (a ª b) ª (b ª c)
[(1 * 2) * 3] * [(3 * 2) * 1]
2. Considerando la siguiente tabla: # 1 2 3 4
1
1
2
3
4
2
2
3
4
5
3
3
4
5
6
4
4
5
6
7
4. Se define "n", en el conjunto: A = {1; 2; 3; 4} mediante la siguiente tabla:
hallar: (2 # 4) × (3 # 2) + (4 # 3)
s
1
2
3
4
1
2
4
1
3
2
4
1
3
2
6. Si se define el operador "@", en el 3 1 3 2 4 conjunto: A = {2; 3; 4} 4 valores 3 2 de 4 la1 siguiente tabla: 8. Usando los mediante la siguiente tabla: calcular: 2(3 n 2) - 3(4 n 4) @ 2 3 4
2
4
3
2
3
2
4
3
4
3
2
4
hallar: (2 @ 4) @ (3 @ 4)
•
4
6
8
2
2
6
8
2
4
4
8
2
4
6
6
2
4
6
8
8
4
6
8
2
hallar el valor de: COLEGIO TRILCE
Página 9
[(4 • 6) • (8 • 4)] [(4 • 2) • (4 • 4)]
RAZ. MATEMATICO
9. Dada la tabla:
2
3
5
7
5
2
3
7
7
3
5
2
2
5
7
3
•
2
3
4
3
7
2
5
2
4
3
2
(2 7) (3 3) (5 3) (7 2)
3
2
4
3
4
3
2
4
1. Si se define el operador "•", en el conjunto: A = {2; 3; 4} mediante la siguiente tabla:
calcular el valor de:
hallar el valor de "x" en: (2 • x) = (4 • 2)
10. Si se sabe que:
1
2
3
4
2
3
4
1
3
4
1
4
1
1
2
@
2
4
6
8
2
2
4
8
2
6
2
3
4
8
2
6
4
3
4
6
2
6
4
8
8
6
4
8
2
calcular el valor de:
(1 2) (2 4) (3 3) (4 1)
COLEGIO TRILCE
2. Si:
Página 10
hallar el valor de "x" en: 2@8=6@x
RAZ. MATEMATICO
3. Si:
5. Si:
*
3
5
7
x
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
4
1
2
3
3
5
7
3
5
3
5
7
3
1
4
3
2
7
7
3
5
4
3
2
1
4
hallar el valor de "x" en: (2 u x) u (3 u 4) = (4 u 1) u (1 u 3)
hallar el valor de: (3 * 3) * x = 7 * 5
4. Si:
$
1
2
3
4
1
4
1
2
3
2
1
2
3
4
3
2
3
4
1
4
3
4
1
2
COLEGIO TRILCE Página 11 hallar el valor de "x" en: (2 $ 3) $ x = (4 $ 2)
RAZ. MATEMATICO
COLEGIO TRILCE
Página 12
RAZ. MATEMATICO
TAREA DOMICILIARIA Desarrolla en tu cuaderno los siguientes ejercicios: 1. Si:
7. Si:
1
2
3
4
@
2
3
4
1
3
4
1
2
2
4
3
2
2
4
1
2
3
3
2
4
3
3
1
2
3
4
4
3
2
4
4
2
3
4
1
hallar: (3 2. Si:
m2
m#n
4) + (2 n2
hallar: (2 @ 4) @ (3 @ 4)
3)
8. Si: a ∆ b = a2 + b2
;
calcular: 3 # 4
x%y
3y
3. Sabiendo que: hallar: (6 % 2) + (4 % 1)
x 2
calcular: 2 ∆ 3 9. Si se define: x * y = x2 + 2y + 5 calcular:
4. Si:
(3 * 2) + (2 * 3)
#
1
3
5
7
1
7
1
3
5
3
1
3
5
7
5
3
5
7
1
8
2
6
4
7
5
7
1
3
6
4
2
8
2
8
4
6
4
6
8
2
hallar el valor de "x" en: (3 # 5) # x = (7 # 3) 5. Si: 3a ∆ 2b = 5b - 2a; hallar: 6 ∆ 8 6. Si: *
1
2
3
4
1
2
4
1
3
2
4
1
3
2
3
1
3
2
4
4
3
2
4
1
calcular: 2(3 * 2) - 3(4 * 4)
COLEGIO TRILCE
Página 13
10. Si se sabe que: 2 4 6
8
hallar el valor de "x" en: (x ∆ 4) = (6 ∆ 8)
RAZ. MATEMATICO
A
m
ig
u
i t o s
v e a m
3
4
o s
l a
s i g u
+
6 2 ¿ P
u
e d e s
h a l l a r+ e l
v a ?l o r
d e
Como verás, algunas cifras en esta operación están ocultas, nuestra tarea es descubrir el valor de estas, teniendo en cuenta las reglas que se siguen en una operación matemática (adición, sustracción, multiplicación y división), ya conocidas por todos nosotros. Si tenemos una operación, como por ejemplo:
c a 2
+
3 4 c 5
=
b b c
a 0 1 +2 2
3 b
4
c
b
debemos considerar que: a. Cada letra o símbolo (a; b; ; ∆; *; etc.) representa a una cifra (0; 1; . . . .; 8; 9) b. A letras iguales le corresponden valores iguales. c. A letras diferentes le corresponden valores diferentes.
A
h
o r a
la s
i n
c 3 b
COLEGIO TRILCE
Página 14
a 0 4 b
v a m c ó g
o n
5 1
a
it a s
+2
c
s
a 2 b c
e n e
n
= =
_ _ _ _
= =
_ _ _ _
RAZ. MATEMATICO
1. Si a un numeral de dos cifras significativas se le resta el número que resulta de invertir el orden de sus cifras, se obtiene un numeral cuya suma de cifras es 9.
a b x
b a y
x
→
Ejemplo:
8 3
+
y
=
9
3 8 4
5
→
4
+
2. Si a un numeral de tres cifras abc , donde: a > c, se le resta el número que resulta de invertir el orden de sus cifras cba , tendremos:
a c x
b b y
c a z
y x
= +
z
9 9 Ejemplo:
8 5
2 2
te das cuenta siempre se cumple _____________ *
¡Ahora, resuelve tú! Si: abc cb a pm4 ; hallar "p.m"
PROBLEMAS PARA LA CLASE: COLEGIO TRILCE
Página 15
RAZ. MATEMATICO 6. Calcular la suma de cifras halladas en: 1. Indicar la menor cifra encontrada en:
4
0
0 3
9 +
4
6 3
4
2 Rpta.: ________
1. Hallar "A + B", si: A
+4
B
6
3
2
9
6 Rpta.: ________ Rpta.: ________ 2. Hallar "a + b", en: 5 + 3. b Indicar la mayor cifra encontrada en: 5
b a
a 3
9
0
4
7
5
3
9
4
0
+
2
Rpta.: ________
3
8
9
3. Hallar "A + B + C", en Rpta.: ________ A 8 + 7
7
6
2
9
4
5
0
2
0
0
5
3
4
0
0
2
3
5
4
9 Rpta.: 1 6 ________
1
4. Si: A 56 BAB D194 2 8 9 hallar "A + B + D"
8
0
+
Rpta.: ________ 8. Si se sabe que: Rpta.: ________
a 3 + 9. Si: (a b+ b +8 c)2 = 169 hallar: aabb ccaa bbcc c a hallar "a + b + c"
Rpta.: ________ 9. Hallar "A + B + D" en: 10. Si: (a + b)2 = 49 A ab 5ba+ aa bb hallar:
B
3 6
Rpta.: ________ Rpta.: ________ 5. Indicar la menor cifra encontrada en: 5. Si: m 0+ n 0+ p 2= 21; 6 hallar:
9 3
5
1
9
10. Hallar "x + y + z", si:
z "A 4 + B + C", si 1. Hallar B
1 A y7
A y+ A
C
x
9
Rpta.: ________ Rpta.: ________
Rpta.: ________ Rpta.: ________ 6. Si: a + b + c = 16 hallar: aabc bcab
cbca
COLEGIO TRILCERpta.: ________ Página 16
Rpta.: ________ Rpta.: ________
5 8
A
D
n+
m p
Rpta.: ________
8. Si: a + b + c = 17 4 5 6 hallar: 2abc 8bca 5cab
B
4. 1 Hallar 3 Clas cifras que faltan en:
m p n
7
0
Rpta.: ________ 7. Si: a + b = 9 hallar: 1ab ab1 b1a 7. Calcular la suma de cifras del minuendo en:
2. Calcular la suma de cifras halladas en: 5 B 0 0 4 + A 0 8 8 1
2
2. Hallar "A + B + C + D", si: 8
A
A
4
C
B
D
B
B
Rpta.: ________
RAZ. MATEMATICO
3. Si: a + b + c = 14, hallar la suma de 4. Hallar "x + y", si: abc cba 3xy cifras del resultado de:
abc
bca
cab Rpta.: ________ 5. Hallar "p × q", si:
COLEGIO TRILCE
Página 17
Rpta.: ________
abc
cb a 2pq
Rpta.: ________
RAZ. MATEMATICO
TAREA DOMICILIARIA Desarrolla en tu cuaderno los siguientes ejercicios: 1. Si: 0 7 a 5 + 4. Calcular la suma de cifras de la diferencia en: a 3 b
1
c
b
0
2
hallar: a + b + c 8
2
0
0
4
2
3
6
7
2. Si:
a c 3
7 c a
b 1 c
2 b 8
5. Si: a + b + c = 18 hallar:
abc
hallar: a + b + c 3. Si: aba hallar:
abb
aa
cc
bb
COLEGIO TRILCE
ca77
Página 18
bca
cab
RAZ. MATEMATICO
E
n
e l
c a p
ít u
c o r r e s p o n d in E
t e r v i e n l
d
ía
p r o e s t a
d
e
b l e m
v e z
in
l o
a n
i e n
t e s
e n
e n
h o y a s c l u
t e r io r a u
t e
la s
n
v
a
v a s
s o b r e y e n
h
d o
a
e
c r i p t a
la
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Hallar la menor cifra encontrada en: 0 0 0 ×
4. Hallar el producto de la mayor y menor cifra encontrada en: 0 0 0 ×
4 2
5
9
2
4
3
3
Rpta.: _____ 2. Hallar el multiplicando de: 5 0 0 × 7 6
Rpta.: _____ 5. Calcular el multiplicando multiplicador en:
ab 23
3
más
m66
Rpta.: _____ 3. Indicar la suma de cifras halladas en: 6 0 3 × Rpta.: _______ 5
0
1
Rpta.: _____
COLEGIO TRILCE
Página 19
el
RAZ. MATEMATICO
6. Hallar la cifra que falta en el cociente: 9
0
3
9. Reconstruir: 6
0
0
4
0
0
8
2 1
-
4
2
9 2
-
2
-
2
4
-
-
Rpta.: ______ 7. Hallar la suma de cifras del dividendo: 2
0
-
4
0
2
Rpta.: ______ 10. Hallar la suma del cociente más el divisor, si: 7
0
2 -
1
4
2 -
3
Rpta.: ______ Rpta.: ______ 8. Calcular la suma del dividendo más el divisor de: 0
0
0
0 -
0
+
1. Hallar
2
0
3 3
0
7
-
4
1
, si: ×
Rpta.: ______ Rpta.: ______
COLEGIO TRILCE
Página 20
RAZ. MATEMATICO
7. Si:
2. Hallar "a + c", si: a 6 × 4 1
0
m np p mnp
n
2736 2280
m np m 1824
hallar m np pn m , dar como respuesta la suma de sus cifras.
6
Rpta.: _______ 3. Hallar el valor de: "A + B + C + m + p"; si: A
B
×C
8. Reconstruir
p
p
7
0
7
2
-
Rpta.: _______ 4. Si:
la
siguiente
indicar el valor de:
9 m
Rpta.: ______
m pq a
37 2
m pq b
86 8
9
5
1
9
5
1
9
2
-
-
hallar: m pq ab
5. Si:
abc
a b
hallar: abc
+
9. Calcular el dividendo más el cociente en: 3
978
0
0
0
4
652
1
aab
0
0
2
8
0 6 -
9 4
Rpta.: _______ 6. Si:
abc abc abc
a b c
-
8
1071
Rpta.: ______
1785 2499 2
hallar " (abc ) " y dar como respuesta la suma de las cifras del resultado. Rpta.: _______
COLEGIO TRILCE
e
Rpta.: ______
Rpta.: _______ abc
+
división
Página 21
RAZ. MATEMATICO
10. Si cada ( ) representa una cifra, hallar el3. Hallar "A + B + C", si: 1 E D × dividendo en: 0
0
0
0
3
7
E
2 -
D
C
3 -
8 -
Rpta.: _____
-
Rpta.: _______
4. Reconstruye la división y dar como respuesta la suma del divisor más el cociente. 8
0
0 1
3
1. Hallar: "A + B + C", si:
B
6
A × 6
C
5
Rpta.: _____
2
5. Hallar la suma de cifras del dividendo: 7
a
4
×b
8
0
0
7 0
1
5 4
5
Rpta.: _______ 2. Hallar "a + b + c + d", si:
0
-
3 1 -
4
3
c 5
8
d
Rpta.: _____
Rpta.: _______
COLEGIO TRILCE
Página 22
RAZ. MATEMATICO
TAREA DOMICILIARIA Desarrolla en tu cuaderno los siguientes ejercicios: 1. Hallar la suma de cifras del producto. m
u l t i p 0 l i c0 a 0 n * d *o
*
m
u l t i p l i c a d ao ra
a
*
*
*
p r o d u c t o s p a r c i a l e2 s *
4
*
*
9
*
*
p r o d u c t o
*
*
*
*
*
×
pq r r *
502
pqr q 1255
0
hallar: pqr
4. Si:
2. Si: a + b + c + d = 23
MAMA
25 1 2
P
MAMA A
hallar:
abcd
3. Si: pqr p
bcda
cdab
dabc
11615
6969
hallar: MAMA PAPA
e indicar la
suma de cifras del resultado.
COLEGIO TRILCE
Página 23
RAZ. MATEMATICO
A
m
ig u it o s p a r a e n t e n v e a m o s e l s ig u ie n
l
i l
Si se tiene que: 1
=
2
2
2
=
4
2
3
=
6
2
4
=
8
2
. . .
-
-
¿Cuál es el valor de 5 , 6 , 1 0 , 2 0 y 3 9? Por lo visto en los 4 casos iniciales, podemos "INDUCIR" que: 5 6
1 0 2 0 3 9
= ___________________________________________________________ = ___________________________________________________________ = ___________________________________________________________ = ___________________________________________________________ = ___________________________________________________________
Entonces; ¿qué es inducción? Induccción es definido como un modo de razonar que consiste en sacar de los hechos particulares (casos particulares), una conclusión general.
COLEGIO TRILCE
Página 24
i
RAZ. MATEMATICO
1. Si se observa que: 1
=
2
=
3
=
4
=
3
5 8
hallar:
4 3 3 4 3 3
5 4
4 3 3
5 4
+
6 5
8 3
2. ¿Cuántas esferas habrá en la figura 25?
f ig #
d
e
.
1
f ig
.
2
f ig
.
3
f ig
.
4
e _s f_ e _ r _a _s _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _
Por lo tanto en la figura 25 hay: _____ 2. ¿Cuántos triángulos habrá en la figura 8?
a #
d
f ig e
.
1
f ig
.
t r i á _ n _ g _ u _ l o_ s _ __ __ _ _ _
Por lo tanto en la figura 8 hay: ________________
COLEGIO TRILCE
2
Página 25
f ig _ _ _ __
.
3
_ _ _
_ _
RAZ. MATEMATICO
4. Si:
1 1 1 1
1
2
=
1
2
1 =
1
2
2
=1
1
2
1= 1
1
2
2
1
hallar el resultado de: 1111111 2 Podemos inducir que el resultado es: _______________________ 5. Si se tiene que: f 1
1 2 3 4 1
5
f 2
2 3 4 5 1
11
f 3
3 4 5 6 1
19
hallar el valor de: f 97 f 97 = _______________________ 6. ¿Cuántos triángulos habrá en la figura 20?
0 # d
0 t r iá n á n
d o
f ig
.
1
f ig
.
2
f ig
.
3
g : u _l o _ s _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _
l e : l a _ _ f o_ r_ m _
_a _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _
Por lo tanto, el número de triángulos en f 20 es: ___________; en f 30 es __________; en f 99 es ___________
COLEGIO TRILCE
Página 26
RAZ. MATEMATICO
7. Hallar la suma de las cifras del resultado en la fila 20. 2
F i la
1
3
=
F i la
2
3 23
F i la
3
3 32 3
F i la
4
3 3
F i la
5
3 3
F i la
2 0 3 3
9 =
2
=
.
" . . . . "
∴
2
_ _
_ _ _
_ _
1 1
0 8 8 9
_ _
_ _ _
_ _
1
1 1 0 8
8 8 9 _ _
_ _ _
_ _
_. _. _ . _ . _
_ _
.
.
.
.
.
.
.
3
3 3
.
.
=
_ . _ . _ . _ . _ ._ _.
s
La suma de cifras del resultado en la fila 20 es: ________
8. Si se observa que: G1 = 1 + 2 - 3 G2 = 2 + 3 - 4 G3 = 3 + 4 - 5 G4 = 4 + 5 - 6 hallar: G71 + G101
1
=
2
2
=
4
3
=
8
4 = . .. Hallar:
5
10. Si: f1 = 2 + 4 f 2 = 2 + 4 + 6 f 3 = 2 + 4 + 6 + 8
hallar: f 4 + f 8 + f 19
1 6
+
COLEGIO TRILCE
6
_________
Página 27
d
9
c i f r a
9. Si:
a
_ _
=
.
m
_ _ _
=
32 3 3
u
_ _ 1 0 8
3 3
3
S
RAZ. MATEMATICO
TAREA DOMICILIARIA Desarrolla en tu cuaderno los siguientes ejercicios: 1. Si: 1
=
2
2
=
4
3
=
6
4 . . .
=
8
2
2
2
2
+ 2
+ -
3. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 10?
1
3 4
f i g
Hallar: 5
+
8
2 3
f 2 = 111 = 12321 f 3 = 1111 = 1234321
5. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 15? ;
COLEGIO TRILCE
.
Fila 3 → 6662 = 443556 Fila 4 → 66662 = 44435556
hallar: f 4 + f 6
f 2
2 f ig
Fila 2 → 662 = 4356
2
f 1
.
Fila 1 → 62 = 36
2
;
1 f ig
; f 3
3
4. Hallar la suma de cifras del resultado en la fila 10.
f1 = 112 = 121
2. Si:
.
. . . . . . . f 1
Página 28
RAZ. MATEMATICO
¿Puedes averiguar el número total de palitos de fósforo que se han utilizado en el siguiente arreglo?
a.
101
b. 98
c.
97
d. 100
e.
99
Tu respuesta es: _____ A
m
ig
u it o s
t o d o
s
s a b e
e l c o n t e o s e h a c e m á q u e s e t e n g a u n a r r e
Si observamos bien el arreglo dado, notarás que en la última fila hay 10 palitos verticales. Ahora imagina contar palitos en un arreglo de mayor tamaño y que tenga en su última fila 30 palitos verticales. Para resolver ejercicios dificultosos como el que hemos visto anteriormente haremos uso del "Método inductivo"
COLEGIO TRILCE
Página 29
RAZ. MATEMATICO
Ahora vamos a resolver el ejercicio anterior.
" H
1
3 c a s o s s e n c il lo s
1
1
COLEGIO TRILCE
2
3
a r t
p
a li t o s
= _ _ _ _ _ _
#
p
a li t o s
= _ _ _ _ _ _
#
p
a li t o s
= _ _ _ _ _ _
3
3
4
r r e g lo d a d o
1
p
#
" C A
o s
2
2
2
e c h
8
Página 30
9
1
0
o n
c l u
s ió
n
RAZ. MATEMATICO
¡Veamos otro ejemplo! Hallar el número total de triángulos en la siguiente figura:
Por inducción:
COLEGIO TRILCE
Página 31
RAZ. MATEMATICO 1
#
t r iá n
g
u l o _s _ = _ _ _ _ _ __
_
#
t r iá n
g
u l o _s _ = _ _ _ _ _ __
_
#
t r iá n
g
u l o _s _ = _ _ _ _ _ __
_
1 1 2
3
c a s o s 1 2 p a r t ic u l a r e s 1 2 3 1
2
3
1
2
3
1 2 3 4
G
r á f ic o 5 d a d o 6 7 8 4
5
6
7
8
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. ¿Cuántas esferitas hay en la figura 20?
0 #
0 d
d á n
e d o
f ig
.
1
f ig .
f ig
.
3
e s: _f e _ r _ i t _ a _ s _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_
l e: _ f _ o _ r _m _ a _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_
En la figura 20 hay: _____ = _____ esferitas. 2. Hallar el número de cuadrados en la figura 10. COLEGIO TRILCE
2
Página 32
RAZ. MATEMATICO
;
;
f 1
f 2
_ _
_ _ _ ; _
;
. . . . . . . .
f 3 _ _
f 1
;_ _
_ _
; Rpta.: ________
3. ¿Cuántos puntos de corte habrá en la figura 25?
;
;
f 1
;
f 2
_ _
. . . . . . . .
f 3
_ _ _ __ _; _ _ _
f 2
_ _ ; _ _ _ _
_ ;
.
.
. Rpta.: ________
4. ¿Cuántos palitos habrá en total en la figura 40?
;
;
f 1 _ _
;
f 2
f 3
;
. . . . . . . . . .
f 4
f 4
_ _ __ _; _ _ _ _ _ ; _ _ _ _ ; _
_ _ _
;
.
.
. Rpta.: ________
5. Hallar la suma de cifras del resultado de: 1111111112. R 1
2
e s u lt a d
o
S
u m
a
d
=
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ __ _
1 21
=
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ __ _
1 12 1
=
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ __ _
1 1 21 1
=
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ __ _
1 1 1 1 21 1 =1 1 _1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ __ _
6. Hallar: f20 . f 1
⇒ 1
=
f 2
⇒ 1+2
=
COLEGIO TRILCE
Página 33
RAZ. MATEMATICO f 3
⇒ 1+2+3
=
f 4
⇒ 1+2+3+4
=
f 5
⇒ 1+2+3+4+5 =
f 20 ⇒ 7. Hallar: f10 . f 1
⇒ 1
=
f 2
⇒ 1+3
=
f 3
⇒ 1+3+5
=
f 4
⇒ 1+3+5+7
=
f 5
⇒ 1+3+5+7+9 =
f 10 ⇒
9. Si se tiene que: S1 = 1
8. Hallar: f10 . f 1
⇒ 2
=
S2 = 3 + 5
f 2
⇒ 2+4
=
S3 = 7 + 9 + 11
f 3
⇒ 2+4+6
=
S4 = 13 + 15 + 17 + 19
f 4
⇒ 2+4+6+8
=
f 5
⇒ 2 + 4 + 6 + 8 + 10 =
f 10 ⇒
10. Hallar la suma total en la figura 9.
COLEGIO TRILCE
Página 34
hallar: S20 =
RAZ. MATEMATICO f1
f2
f3
f9
=
=
=
=
1
1
+
2
2
+
3
1
+
2
+
3
2
+
3
+
4
3
+
4
+
5
1
+
2
+
3
+
4
2
+
3
+
4
+
5
3
+
4
+
5
+
6
4
+
5
+
6
+
7
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
6
+
7
+
8
+
2
+
3
+
4
+
5
+
6
+
7
+
8
+
9
+
3
+
4
+
5
+
6
+
7
+
8
+
9
+
1
4
+
5
+
6
+
7
+
8
+
9
+
1
0 +
5
+
6
+
7
+
8
+
9
+
1
0 +
1
6
+
7
+
8
+
9
+
1
0 +
1
1 +
7
+
8
+
9
+
1
0 +
1
1 +
1
8
+
9
+
1
0 +
1
1 +
1
2 +
9
+
1
0 +
1
1 +
1
2 +
1
0 +
1
1 +
1
2 +
1
3 +
1
9
+
1
0
1
0 +
1
1
0 +
1
1 +
1
2
1
1 +
1
2 +
1
3
1 +
1
2 +
1
3 +
1
4
1
2 +
1
3 +
1
4 +
1
5
2 +
1
3 +
1
4 +
1
5 +
1
6
1
3 +
1
4 +
1
5 +
1
6 +
1
7
3 +
1
4 +
1
5 +
1
6 +
1
7 +
1
8
4 +
1
5 +
1
6 +
1
7 +
1
8 +
1
9
TAREA DOMICILIARIA Desarrolla en tu cuaderno los siguientes ejercicios: 1. Hallar la suma total en: Q = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 2. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? 1 2 3 4 5 6
1 COLEGIO TRILCE
2 Página 35
3
4
5
6
7
8
7
8
RAZ. MATEMATICO
3. Hallar la suma total de: N =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ......... + 80 4. Hallar la suma total de: B = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 5. Hallar la suma total de: P = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + .......... + 55 6. ¿Cuántas esferitas hay en total?
7. ¿Cuántos palitos se necesitan para construir la figura 20?
; 1
;
2
1
f 1
2
3
f 2
; 1
2
3
. . . . . . . .
4
f 3
f 2
8. Hallar la suma de términos de f 10, si: s u m f1
=1
f2
=
f3
3
.. .. .. .. .
f1
0
1
2
2
3
1
2
3
=2
3
4
4
5
=
9. Hallar el número de triángulos en la figura 20.
COLEGIO TRILCE
Página 36
a
d e
t é
RAZ. MATEMATICO
; f 1
; f 2
;
. . . . . . . .
f 3
f 2
10. Hallar el resultado de la figura 40. f 1
=
12 + 2 × 3
f 2
=
22 + 3 × 4
f 3
=
32 + 4 × 3
f 40
E n la c la s e d e h o y v h e c h o s e n e s t e b i m a t u p r o f e s o r ( a ) q u e n o h a y a s e n t e
COLEGIO TRILCE
Página 37
a m o s e s t r e , y p r e g n d id o
RAZ. MATEMATICO 3a b 2 1. Si: hallar: (4 # 2) + (3 # 5) a# b
2
3
4
5
2
4
5
2
3
2. Si: m3 % n5 = 2n2 -3 2m 4 hallar: (5 % 4) (2 % 3)
4
2
3
4
5
5
3
4
5
2
5. Si:
hallar:
(4 * 5) (5 * 5) 3. Si:
hallar:
2
=
1
2
x
+
4
6
2
6
4
4
2
6
@
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
3
4
1
3
3
4
1
2
4
14
21
32
3
hallar el valor 2 de 1 "x" 3 en: (x @ 3) @ (4 @ 3) = 1 @ 3
(3 * 5) * (2 * 5) x
2
4 6 2 8. Si: hallar: 3(2 © 4) - 2(4 © 2)
6. Si se sabe que:
*
4. Si:
3
2
1
1
3
2
hallar: (1 ª 1) ª (3 ª 2)
3
9. Si se tiene que:
0 A B C D E C
F
7. Si:
$
1
3
5
G
F
1
5
1
3
I C H D
F
3
3
5
1
5
1
3
5
+
además: B = 6; E = 8 hallar: D + C + H + I + F + A
hallar el valor de "x" en: (3 $ x) = (1 $ 5)
10. Si: PARE 99 hallar: P + R + E
COLEGIO TRILCE
Página 38
...... 1403
RAZ. MATEMATICO
11. Si: CHAT × 99 = . . . . 1245 Hallar: CH + A - T 13. Si:
1
=
1
+
3
2
=
1
+
3
+
3
=
1
+
3
+
4
=
1
+
3
+
.. .. 12. Hallar la suma de cifras del dividendo en: cuál es el valor de:
8 2
0
8
0
0
0 3
-
8 -
5 COLEGIO TRILCE -
Página 39
-
+
9
RAZ. MATEMATICO
14. ¿Cuántos cuadrados, hay en la figura 5?
f ig .
1f i g
.
2
f ig .
3 ..
.
15. Hallar la suma de términos de la figura 7, si:
COLEGIO TRILCE
Página 40
RAZ. MATEMATICO
f1
f2
f3
f7
1
+
3
3
+
5
1
+
3
+
5
=3
+
5
+
7
5
+
7
+
9
1
+
3
+
5
+
7
3
+
5
+
7
+
9
5
+
7
+
9
+ 1 1
7
+
9
+ 1 1+ 1 3
1
+
3
+
5
+
7
+
3
+
5
+
7
+
9
+ 1 1+ 1 3+ 1 5+ 1 7
5
+
7
+
9
+ 1 1+ 1 3+ 1 5+ 1 7+ 1 9
7
+
9
+ 1 1+ 1 3+ 1 5+ 1 7+ 1 9+ 2 1
9
+ 1 1+ 1 3+ 1 5+ 1 7+ 1 9+ 2 1+ 2 3
=
=
=
9
+ 1 1+ 1 3+ 1 5
1 1+ 1 3+ 1 5+ 1 7+ 1 9+ 2 1+ 2 3+ 2 5 1 3+ 1 5+ 1 7+ 1 9+ 2 1+ 2 3+ 2 5+ 2 7 1 5+ 1 7+ 1 9+ 2 1+ 2 3+ 2 5+ 2 7+ 2 9
COLEGIO TRILCE
Página 41
