razonamiento matematico

Instituto de Educació Educación n Superior Tecnológi ecnológico co Público Pasco Docente CEPRETEC

Lic. Raúl Malpartida Lovatón

Semana:

Razonamiento Logico 1 CURSO : Tema : Razonamiento RAZONAMIENTO MATEMÁTICO En nuestra vida cotidiana encontramos situaciones que nos hacen reflexionar y toma to marr de deci cisi sion ones es a pa part rtir ir de da dato toss establecidos.. Se puede comprobar que establecidos el ra razo zona nami mien ento to pu pued ede e se serr si simp mple le mien mi entr tras as te teng ngam amos os lo loss da dato toss bi bien en claros es por eso que enfocamos en buscar bus car un raz razona onamie miento nto di direc recto to !si !sin n formul for mulas as o mod modelo eloss es estab table lecid cidos" os" el cual nos ayudar# a plantear problemas sobre: E$ercicios con cerillas problemas sobre relaci%n de tiempos relaci rel aci%n %n de par paren entes tesco co sit situa uacio ciones nes diversas problemas sobre mentiras y verdades problemas sobre calendarios orden de informaci%n test de deci cisi sion one es y pro robl ble ema mass so sob bre trasvases& Es una habilidad espec'fica para analizar proposiciones o situaciones comple$as ente en tend nder er la lass re rela laci cion ones es en entr tre e lo loss hechos y encontrar las causas que los produ$eron prever consecuencias y as' pode po derr re reso solv lver er el pr prob oble lema ma de un una a manera coherente tal como lo haces en los $uegos de estrategia& Es el razonamiento no verbal el que se capta a trav(s de la observaci%n de la realidad& En este tipo de razonamiento est# es t# la te tend nden enci cia a a la ut utililiz izac aci% i%n n de pautass !sec pauta !secuenci uencias" as" clas clasifica ificacion ciones es dibu$os o esquemas en el estudio del func fu ncio iona nami mien ento to co comp mpor orta tami mien ento to y comprensi%n de algo) a diferencia del lengua$e hablado o escrito o discutido etc& 1.1 EJERCICIOS CON CERILLAS El ingenio es la predisposici%n para resolver algo en el m'nimo tiempo y con el m'nimo esfuerzo) es solucionar algo sobre la base de la creatividad& Ejemplo: *orr lo me *o meno noss cu cu#n #nto toss pa palilito toss de debe bess mover para que la igualdad se cumpla:

Resolución: Resolución: Es suf sufici icient ente e mov mover er un sol solo o pa palit lito o as':

Es decir + , + - . / 0& 1.2 RO!LE RO!LEMAS MAS SO! SO!RE RE RELA RELACI"N CI"N #E TIEMOS 11

*ara resolver este tipo de problemas aplicaremos un m(todo pr#c pr #ctitico co pa para ra re reem empl plaz azar ar po porr un equivalente num(rico& Ejemplo: Si hoy es $ueves& 23u( d'a es el ayer de pasado ma4ana de ma4ana de ma4ana de anteayer5 Resolución: 6el enunciado: 23u( d'a es el ayer de pasado ma4ana 7+ ,0 de ma ma4a 4ana na de ma ma4a 4ana na de anteayer5

,+ Entonces:

,+

70

*iden: 7+ , 0 , + , + 7 0 \ 8 9 ,+) 8 9 ma4ana \ 8 9 viernes 1.$ RELACI"N #E A ARENTESCOS RENTESCOS uchos problemas de l%gica recreativa nos presentan situacione situacioness de relaciones familiares !parentescos" en los cuales por lo general se aprecian enunciados de dif'cil comprensi%n por lo ;enredado< de su te text xto) o) po porr es este te mo motitivo vo se requiere de una atenci%n adecuada para llevar a cabo el proceso l%gico7

RAZONAMIENTOMATEMATICO

Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN

dedu duct ctiivo que nos co con ndu duzc zca a a la soluci%n& 6ebemos tener presente al momento de realizar la resoluci%n que cada uno de los integrantes de la familia puede desem de sempe4 pe4ar ar en un mis mismo mo pro proble blema ma papeles diferentes) as' por e$emplo una persona puede ser al mismo tiempo y seg=n se indique: padre hi$o hermano cu4ado esposo abuelo etc& > adem#s encontrar el menor numero de personas posibles&

?rbol @amiliar Aatarabuelo Bisabuelo  buelo *adre v Di$o v ieto v Bisnieto v Aataranieto v

Suegro

Suegra

Suegra

Hijo

Ejemplo: Una Un a fa fami mililia a es est# t# co comp mpue uest sta: a: 0 espo es poso sos s F hi hi$a $as s F he herm rman anas as y cada cad a her herman mana a tie tiene ne un her herman mano& o& 2Cu#l es la cantidad de personas que puede integrar esta familia5 Resolución: Construyendo el diagrama respectivo obtenemos:

E!iia

El ob$etivo de este tipo de situaciones es descifrar acerti$os sobre verdades y mentiras a los persona$es que siempre formulan o dice dicen n enu enuncia nciados dos verd verdader aderos os en asu asumir mir una po posib sible le sol soluci uci%n %n correcta y

Esposa =Nuera

Yerno= Yerno= Esposo

Raú

Encontramos e$ercicios de situaciones l%gico7recreativo l%gico7recreativo y en algunos de ellos utilizaras conoci con ocimie miento ntoss ele elemen mental tales es de matem#ticas en otros reflexi%n y persiste ten ncia) el ob$eti tivvo principal es e$ercitar tu poder de an#lisis& Ejemplo: Un gran$ero tiene FHH pollos y se le mu muri rier eron on to todo doss me meno noss 0H 0HH& H& 2Cu#ntos pollos le quedan5 Resolución: Ie quedaron los vivos y los muertos es decir los FHH pollos& 1.( MENTIRAS ) 'ER#A#ES

dem#s: Suegro

1.% SIT&ACIONES #I'ERSAS

JJ

teniendo sus contrarios culpables o mentirosos&

los

Ejemplo:

Cuatro herm Cuatro hermana anass son inte interrog rrogados ados por su madre pues una de ellas us% sus $oy oyas as en una fi fies esta ta si sin n su permiso a lo que contestaron: Kani Ka nina na : Iuzm Iuzmilila a fue& fue& Iuzmila: aritza fue& aritza: yo no fui& Cris"e Susana: yo no fui& Si F de ellas mienten #aro #ein 23ui(n es la culpable5 Resolución: Ldentificamos dos $i%&e"' ( Es'er!anoe+(Cris"e,proposicio proposiciones nes contradictoria contradictorias: s:

#aro*$i%&e"') (Son Sonas as"r "res es'i 'ija jas se e esposos) ( Son ( Raú* aú*E! E!i iia )ia

Como se podr# apreciar en el diagrama son G personas como m'nimo que satisfacen todas estas necesidades&

- Iuzmila: aritza fue ! " - aritza : yo no fui ! " contradicci%n !+ M y + @" 6el dato se sabe que tres de ellas mienten entonces:

- Kanina : Iuzmila fue !@"



dedu duct ctiivo que nos co con ndu duzc zca a a la soluci%n& 6ebemos tener presente al momento de realizar la resoluci%n que cada uno de los integrantes de la familia puede desem de sempe4 pe4ar ar en un mis mismo mo pro proble blema ma papeles diferentes) as' por e$emplo una persona puede ser al mismo tiempo y seg=n se indique: padre hi$o hermano cu4ado esposo abuelo etc& > adem#s encontrar el menor numero de personas posibles&

?rbol @amiliar Aatarabuelo Bisabuelo  buelo *adre v Di$o v ieto v Bisnieto v Aataranieto v

Suegro

Suegra

Suegra

Hijo

Ejemplo: Una Un a fa fami mililia a es est# t# co comp mpue uest sta: a: 0 espo es poso sos s F hi hi$a $as s F he herm rman anas as y cada cad a her herman mana a tie tiene ne un her herman mano& o& 2Cu#l es la cantidad de personas que puede integrar esta familia5 Resolución: Construyendo el diagrama respectivo obtenemos:

E!iia

El ob$etivo de este tipo de situaciones es descifrar acerti$os sobre verdades y mentiras a los persona$es que siempre formulan o dice dicen n enu enuncia nciados dos verd verdader aderos os en asu asumir mir una po posib sible le sol soluci uci%n %n correcta y

Esposa =Nuera

Yerno= Yerno= Esposo

Raú

Encontramos e$ercicios de situaciones l%gico7recreativo l%gico7recreativo y en algunos de ellos utilizaras conoci con ocimie miento ntoss ele elemen mental tales es de matem#ticas en otros reflexi%n y persiste ten ncia) el ob$eti tivvo principal es e$ercitar tu poder de an#lisis& Ejemplo: Un gran$ero tiene FHH pollos y se le mu muri rier eron on to todo doss me meno noss 0H 0HH& H& 2Cu#ntos pollos le quedan5 Resolución: Ie quedaron los vivos y los muertos es decir los FHH pollos& 1.( MENTIRAS ) 'ER#A#ES

dem#s: Suegro

1.% SIT&ACIONES #I'ERSAS

JJ

teniendo sus contrarios culpables o mentirosos&

los

Ejemplo:

Cuatro herm Cuatro hermana anass son inte interrog rrogados ados por su madre pues una de ellas us% sus $oy oyas as en una fi fies esta ta si sin n su permiso a lo que contestaron: Kani Ka nina na : Iuzm Iuzmilila a fue& fue& Iuzmila: aritza fue& aritza: yo no fui& Cris"e Susana: yo no fui& Si F de ellas mienten #aro #ein 23ui(n es la culpable5 Resolución: Ldentificamos dos $i%&e"' ( Es'er!anoe+(Cris"e,proposicio proposiciones nes contradictoria contradictorias: s:

#aro*$i%&e"') (Son Sonas as"r "res es'i 'ija jas se e esposos) ( Son ( Raú* aú*E! E!i iia )ia

Como se podr# apreciar en el diagrama son G personas como m'nimo que satisfacen todas estas necesidades&

- Iuzmila: aritza fue ! " - aritza : yo no fui ! " contradicci%n !+ M y + @" 6el dato se sabe que tres de ellas mienten entonces:

- Kanina : Iuzmila fue !@"



- Susana : yo no fui !@" se dedu de duce ce qu que e Su Susa sana na fue 1.* RO!LEMAS CALEN#ARIOS

se proporcionan datos desordenados los cuales conti co ntiene enen n tod toda a la in infor formac maci% i%n& n& *ara ello utilizaremos lo habilidad mental el orden y la memoria no es necesario tener antecedentes mate ma tem# m#titico cos s so solo lo pe pequ que4 e4as as nociones de l%gica&

SO!RE

NO CO& Consta de FGP d'as !P0 semanas y + d'a" por lo tanto cada a4o com=n avanzamos un d'a& Ejemplo:

1 . +. 1 -ORIZONTAL

Ios problemas de esta parte contienen datos de un mismo tipo se busca ordenarlos de forma creciente o decreciente decreciente los datos se ubican en una manera l%gica

,+ S.&ao

o /o!ing

+ enero 0HH1

+ enero 0HHJ

NO BLSLESAO& El tiempo que demora en dar la vuelta al sol !FGP d'as y G horas aproximadamente" se denomina un a4o& Cada . a4os la fracci%n de hora ho rass no co cons nsid ider erad adas as en lo loss a4 a4os os comunes se acumulan apro ap roxi xima mada dame ment nte e en + d' d'a a y pa para ra incluir este d'a !0Q de febrero" se han esta es tabl blec ecid ido o lo loss a4 a4os os bi bisi sies esto tos& s& *o *or r tanto un a4o bisiesto trae FGG d'as !P0 semanas y 0 d'as" *or lo tanto cada a4o bisiesto avanzamos 0 d'as&

6ato + n

6ato 0 6ato F

Mar"es

Iu's - I

+ enero 0H+0

+ enero 0H+F

6ato . .

. .. . 6ato

Ejemplo: En un ex exam amen en Iu Iu's 's ob obtu tuvo vo men me nos pu pun nto toss que a aro roll Khor Kh ordy dy me meno noss pu punt ntos os qu que e Iu's y aritza m#s puntos que lor l oria ia si l lor oria ia ob obtu tuvo vo m# m#ss punt pu ntos os qu que e a aro rol&l& 23 23ui ui(n (n obtuvo el punta$e m#s alto5 Resolución: Arazamos una recta horizontal para ubicar los dato toss de menos a m#s 6el enunciado planteamos:

,0

/o!ingo

OR#ENAMIENTO

arol -  Khordy -

K aritza - 

loria - 

Ios a4 Ios a4os os bi bisi sies esto tos s so son n lo loss a4 a4os os m=ltiplos de . excepto loa a4os de fin de siglo que son bisiesto si son m=ltiplos de .HH& Ejemplo:

QQ

0

+JJH bisiesto

4+JJH

es

0'or* $u1s $u1s

es

6el gr 6el gr#f #fic ico o se ob obse serv rva a qu que e la qu que e obtuvo mas punta$e es aritza&

0

+QQG bisiesto

4+QQG

0

0H+H 3 40H+H no es bisiesto 1.+ OR#EN #E IN,ORMACI"N qu' los problemas tienen como caracter'stica que en ellos siempre

#aro

2oria

Mari"%a

1.+.2 OR#ENAMIENTO 'ERTICAL Ios dato da toss de dell pr prob oble lema ma se ub ubic ican an de forma vertical en un cuadro o lista de forma que entre ellos exista una rellaci re ci% %n que el enunc nciiado no noss indica& 6ato + 6ato 0



6ato F Ejemplo: Cuatro hermanas viven en un edificio de cuatro pisos Reyna vive en el primer piso Mictoria vive mas aba$o que Iuz y Elizabeth vive en el inmediato superior a Mictoria 2en que piso vive Elizabeth5 Resolución 6el enunciado: .to piso Iuz Fer piso Elizabeth 0do piso Mictoria +er piso Reyna *or lo tanto Elizabeth vive en el tercer piso& 1.+.$ OR#ENAMIENTO CIRC&LAR En estos casos los elementos estar#n ordenados de manera que formen una figura cerrada& 6ebemos tener en cuenta lo siguiente:

415"or

Sa!ue o

/ere5'a

/anie

Caros

I%6uiera E1as

0o&

El que se sienta $unto a la derecha de 6aniel es Samuel& 1.+.% OR#ENAMIENTO EN TA!LAS En estos problemas encontraremos elementos que est#n relacionados ba$o un mismo patr%n pero con diferentes caracter'sticas& 6ebemos tener en cuenta siguiente:

lo

- Ia caracter'stica de ;R< s%lo la tendr# ;R<) no podr# existir otro elemento con la misma caracter'stica&

Ejemplo: lrededor de una mesa circular se sientan G persona ubicadas sim(tricamente& 6aniel no est# a lado de Carlos ni de M'ctor Kob no est# al lado de Samuel ni de M'ctor El'as est# $unto a la derecha de Carlos 23ui(n est# sentado $unto a la derecha de 6aniel5 Resolución: Ordenando los datos tenemos:

Ejemplo: Cuatro amigas: !Kimena Solange Estefany y @lor" tienen cada una de ellas una mascota diferente: gato mono loro y cone$o) aunque no necesariamente en ese orden& Si se sabe que:

- Kimena y la due4a del gato discuten con @lor sobre el me$or cuidado de sus mascotas& - Solange dice su loro es la mascota m#s limpia& - Kimena le gusta tener un cone$o& 23u( mascota tiene Estefany5

+H+H

Resolución:



6ebemos tener en cuenta que los datos nos sirven para diferenciar a las personas& - Este dato nos indica que ni Kimena ni @lor tienen como mascota el gato entonces: ato Kimena

ono

Ioro

O

Cone$

o

Solang e Estefany

@lor

O

Este dato nos indica con mayor precisi%n las mascotas de cada una) donde Solange afirma que su mascota es el loro y Kimena tambi(n manifiesta que su mascota es un cone$o& ato

ono

Ioro

Cone$o

Kimena

O

O

O

SL

Solange

O

O

SL

O

Estefany

SI

O

O

O

@lor

O

SL

O

O

Estefany tiene como mascota y ser# due4a del loro 1. TEST #E #ECISIONES Esto se da cuando se presenta diversos datos que deben ser relacionados entre si) se busca ubicarlos en un cuadro o tabla de doble entrada& Ejemplo: Ares hermanos Elmer) 6aniel y Kazm'n se entretienen con ob$etos diferentes !cartas llavero y globos") donde se sabe que: 6aniel dice al due4o del llavero que el otro hermano tiene las cartas& Elmer le dice al due4o del llavero que su entretenimiento nada tiene que ver con los globos 23u( entretenimiento tiene Elmer y quien se entretiene con los globos5 a" Elmer / globos b" Kazm'n / globos c" 6aniel / globos d" Elmer / Cartas e" Ricardo / globos Resolución: Ilavero Cartas lobos Elmer O SL O 6aniel O O SL Kazm'n SL O O

Rpta& Cartas / 6aniel 1./ RO!LEMAS TRAS'ASES

SO!RE

Se deber# verter l'quido de un recipiente a otro hasta obtener el volumen del l'quido requerido pero con el menor n=mero de traslados& Ia mayor dificultad recide en que los recipientes estar#n graduadas. En los problemas sobre trasvases considere que: Ø o es posible realizar dos a m#s trasvases simult#neos& Ø o se desperdicia l'quidos& Ø En cada trasvase solo es posible llenar un recipiente o vaciar el otro& Ejemplo: Se tiene un recipiente con +F litros de vino del cual solo se requieren +H litros& Si adem#s solo se posee dos recipientes vacios uno de . litros y otro de 1 litros 2Cu#ntos trasvases ser#n necesarios para obtener el volumen deseado5 Considere que los recipientes no tienen marca alguna& Resolución: *ara obtener +H litros de los +F dados debemos separar +F 7+H - F litros y estos se pueden obtener de los recipientes de . y 1 litros !como una diferencia 1 / . - F"& Ios trasvases serian los siguientes:

\

78i"ros

13L

9 i"ros

: i"ros

0L

(lleno)

13 L

6L

(vacío)

Pasan7L (1º) 6L

(vacío)

0L 7L 3L

0L

Pasan4L (2º)

4L O&"ene!osos7;i"ros

0L 4L



++++

*or lo tanto son necesarios 0 trasvases

RO!LEMAS RES&ELTOS +& Se tienen Q bolas de acero del mismo tama4o y color& Una de las nueve bolas es ligeramente m#s pesada) todas las dem#s pesan lo mismo& Empleando una balanza de dos platillos& 2Cu#l es el n=mero de pesadas necesarias para determinar la bola de peso diferente5

menor n=mero de contratos que firmaron ser#: Resolución: *ara que el n=mero de personas sea m'nimo una persona o m#s deben cumplir un m=ltiple papel !un padre tambi(n es hi$o del abuelo paterno de su hi$o& En el problema deben haber P hermanos donde cada uno debe tener su respectivo hi$o !P hi$os" por lo tanto esos P hermanos ser#n padres y t'os a la vez mientras que los P hi$os ser#n primos y sobrinos&

Resolución: Se dividen las Q bolas de acero en F grupos de F primera pesada: se colocan F en cada platillo&

-

Ia balanza o queda en equilibro o no !ley del medio excluido"

- Si queda en equilibrio entonces la bola de mayor peso se encuentra en el grupo que no ha sido pesado& Si no hay equilibrio entonces se retira y aparta el grupo con la bola m#s pesada& Se dividen las F bolas del grupo m#s pesado& Segunda pesada: se coloca una bola en cada platillo:

- Ia balanza o queda en equilibrio o no !2por qu(5" - Si no hay equilibrio entonces la bola de mayor peso es el que hace que se incline la balanza& Si hay equilibrio entonces la bola de mayor peso es la que no fue colocada en la balanza& Iuego es suficiente 0 pesadas& 0& En la oficina de una compa4'a inera Molc#n se encuentran P hermanos P padres P hi$os P t'os P sobrinos P primos& *ara firmar sus respectivos contratos& El

T 'nimo de contratos - +H F& Se cometi% un asesinato& Se sospecha de Rolando Kuan iguel y Iucio& 6e ser iguel el homicida el delito fue premeditado& Si los autores fueron Kuan o Rolando ocurri% en la noche& Si el asesino es Iucio no ocurri% el d'a domingo& Como cuesti%n de hecho sabemos que el suceso ocurri% el domingo en la tarde& En consecuencia 2Cu#l de los mencionados ser'a el sospechoso principal5 Resolución: 6el enunciado se tiene que si el homicida Es: 7 iguel


7 Iucio
El pintor usa uniforme azul& 23u( oficio tiene Iiberio5 " Cerra$ero B" asfitero C" Carpintero 6" (dico E" *intor .& En la figura distribuir los n=meros P 1 ++ +F +1 +Q y 0F tal que la suma en cada fila sea constante e igual aun n=mero primo& Ø

+0+0

Seg=n el dato: ;El suceso ocurri% el domingo por la tarde< con lo cual se descarta como sospechoso a Kuan y Rolando adem#s de Iucio& Sospechoso principal: iguel

RO!LEMAS RO&ESTOS +& En un edificio de P pisos viven las familias: al partida *adilla Ortiz I%pez y Rufino cada una en pisos diferentes: Si se sabe que los:

- El Rufino viven sobre los *adilla& Ios al partida viven lo m#s le$ano del Ortiz& - El Ortiz ni puede subir las escaleras& - Ios I%pez hubieran preferido vivir en el =ltimo piso& Se deduce que los: " los al partida viven en el segundopiso& B" El Rufino no viven en el segundo piso& C" Ios @lores viven en el segundo piso& 6" El Rufino viven en el segundo piso& E" Ios Ortiz viven en el tercer piso& 0& e preguntaron cu#ntos hermanos tengo yrespond': Aengo +F pero conmigo no somos +. porque somos ++ y somos . y adem#s porque soy el ultimo y el primero& 26e cu#ntas personas se habla5 !no me cuenten a m'" " +F B" ++ C" +P 6"+0 E"+. F& le$andro Ra=l Iiborio y *ablo tiene diferentes oficios: Cerra$ero pintor gasfitero y carpintero) y usan uniformes azul verde marr%n y anaran$ado) se sabe que: Ø Ø Ø

El cerra$ero derrot% a Ra=l en a$edrez& Iiborio y el gasfitero $uegan futbol con el de verde y con el de marr%n& le$andro y el carpintero no se llevan bien con el de marr%n&



6( como respuesta el valor de x& " 1 B" ++ C" +F 6" 0F E" 0Q P& Si ma4ana fuera como ayer el hoy estar'atan distanciado del lunes como el hoy del domingo& 23u( d'a es el ayer del d'a que sigue al pasado ma4ana del anteayer del posterior d'a a hoy5 " S#bado martes 6" $ueves

B" lunes

C"

E" domingo

G& Un lechero se encuentra preocupado porque debe cumplir con un pedido urgente de +F litros de leche: Si tiene un envase de 0H litros de capacidad lleno de leche dos recipientes de P y . litros vac'os y ninguno de los F tiene marca alguna 2Cu#ntos trasvases se tendr#n que realizar como m'nimo para cumplir con el pedido si la leche no se desperdicia5 " P B" J C" Q 6" 1

E" G

1& Se tiene G bolas de billar id(nticas en tama4o y color& Aodas ellas tienen el mismo peso con excepci%n de una que es ligeramente m#s pesada que las dem#s& Si se tiene una balanza de dos platillos 2Cu#ntas veces se tendr# que utilizar como m'nimo la balanza para identificar la bola de billar m#s pesada5 " . B" P C" F 6" 0 E" G



J& Si sabe que 6iana es hi$a de Iourdes quien a su vez es madre de aty quien es hi$a de la hermana de artha& Si Estela es hermana de aty y 6iana no es su madre podemos afirmar: L& 6iana y artha son hermanas& LL& Iourdes es madre de Estela& LLL& artha es t'a de Estela& " L B" LL C" L y LL 6" L y LLL E" LLL

23u( profesi%n tiene malia5 " bogada B" *eriodista C" @armac(utica 6" (dico E" 3u'mica

Ø

++& Ias figuras + y 0 est#n formadas por fichascirculares id(nticas& 2*or lo menos cu#ntas fichas de la figura + deben ser cambiadas de posici%n para formar la figura 05

@ig& 0

+F+F

Q& 23u( fecha ser# el ma4ana del pasado ma4ana de ayer de pasado ma4ana de ayer de pasado ma4ana de ayer de pasado ma4ana tantas veces el ayer de pasado ma4ana como d'as han transcurrido del presente mes hasta hoy 0+ de setiembre5 " ++ de octubre B" +J de octubre C" +. de octubre

6" 00 de octubre

E" FH de octubre +H& malia Betty @ernando y loria tienendiferentes ocupaciones: periodista m(dico farmac(utica y qu'mico y viven en las ciudades * A U y & Se sabe que: Ø @ernando no vive en * ni en A& Ø malia vive en & Ø loria es farmac(utica& Ø El periodista nunca ha emigrado de U& Ø El m(dico vive en *&

>ig?7 " F

B" 1

C" . 6" P

+0& Seis hombres y tres ni4os tienen

quecruzar un r'o en una canoa en cada via$e solo pueden ir dos de los hombres o los tres ni4os pero no un ni4o con un hombre a la vez& 2Cu#l es el menor n=mero de veces que la canoa tendr# que cruzar el rio en cualquier sentido para que todos se trasladen5 B" +P C" +F " Q 6" +. E" ++

N

unc0 consiees el es3uio como un0 o4li50ción sino como un0 opo3uni0 p00 pene30 en el 4ello 6 m007illosos muno el s04e & Al4e3 Eins3ein

Instituto de Educación Superior Tecnológico Público Pasco Docente CEPRETEC Lic. Raúl Malpartida Lovatón Razonamiento

Semana:

Tema : Inductivo RAZONAMIENTO Ias l%gicas inductivas y deductivas representan la base del razonamiento matem#tico pilares sobre los cuales se construye fundamentalmente para resolver situaciones problem#ticas donde esta hermosa disciplina sobre la

E" G

Deductivo

MATEMÁTICO base de la observaci%n y el an#lisis& 2.1 R08on0mien3o Inuc3i7o. Consiste en el an#lisis de casos particulares para conseguir ciertos resultados y llegar a una



conclusi%n para aplicarlo a un caso general& Caso7

R =

8D 8F9 9: 7;9  G8  :G

CONC$@SION CasonB

IN/@CCION

Caso

F& Dallar el valor de:

Caso8

Resolución: Casogenera Sabemos que: !a , b" !a / b" - a 0 / b0

Casos particulares

6#ndole la forma adecuada y luego aplicando una diferencia de cuadrados:

Razonamiento Lnductivo

2.2 R08on0mien3o #euc3i7o& Consiste en analizar un suceso general para aplicarlo a sucesos particulares con caracter'sticas inherentes a ambos&

(3600  28 )(3600 L 28)

R =

(100

 28

2

 7 ) (100 L 7 )  49

Efectuando operaciones se tiene:

Caso7 Caso 2enera

/E/@CCION

Caso

22 2 2 22 Casos R= 3600 LL2849 4928 = 3600100 = par"i5uares 100 2

3600

Caso8

100

.& Calcular la suma de cifras del resultado de: R - !QQQQQV&&QQQ" x !PPPPPV&&PPP"

Ra%ona!ien"o /eu5"io

RO!LEMAS RES&ELTOS

JP cifras

+& Dallar la suma de cifras del resultado de: !+++++++++" 0 Resolución:

K Cifras Caso +: +0 - ++ - +0 Caso 0: !++" 0 +0+. 0 -0 Caso F !+++" 0 - +0F0+ Q - F0 Concluimos que la suma de cifras del resultado de la operaci%n ser'a:

K Cifras -!+++++++++" - J+ - Q 0

Q = 36

0

JP cifras

Resolución: Miendo la ley de formaci%n que presenta cada factor entonces analizaremos la multiplicaci%n para casos m#s simples as' tenemos& Suma de cifras GF=:F G=G(7) 7 5iJ? 7 5iJ

GGFF=F::F

7=G()

 5iJ?  5iJ

GGGFFF=FF:::F

9=G(8)

8 5iJ? 8 5iJ +.+.

0& Calcular: !0H+00H+0"0 7 !0H+00H++" 0 Resolución: Como la regla general de diferencia de cuadrados es: !a , b" !a / b" - a 0 7 b0 *ara el caso particular se aplica: !0H+00H+0,0H+00H++"!0H+00H+0/

0H+00H++"

9%2%%2$; < 1 = %2%%2$

..

....

....

..

Conclusi%n eneral R - QQQQQV&&QQQ x PPPPPV&&PPP JP cifras

JP cifras



el n=mero de c'rculos sin pintar en la ?/aaase5uen5ia +

F



de c'rculos que ocupe el d(cimo lugar +P+P

 1GP - Q x !JP"

>>>>>. Dallar el n=mero de palitos en la figura T QH Resolución: T de palitos en cada figura: F) J ) +P ) 0. ) VVV&&

?(

?+

A)8;7 6" 0.P

)787 E" +0P

C)7;

.& En la siguiente figura hay en total +H0. esferas sombreadas& 2Cu#ntas esferas sin sombrear hay en total5

?/

\T de palitos en la figura T QH F , P , 1 , Q , V - QH 0 / + - JHQQ QH t(rminos G& Dallar el total de palitos de f%sforo en * GH :

.

.

..

..

....... .

P3

P2

P1

. . . ..

.

.

R!s"l#ci$n%

. .

En *+: T palitos - . - 0!+x0" En *0: T palitos - +0 - 0!0xF" En *F: T palitos - 0. - 0!Fx." eneralizando:Tpalitos!*GH" 0!GHxG+" - 1F0H

B" 10Q C" P.H E" +H0.

P& Dalle el valor de:

RO!LEMAS RO&ESTOS

;0HHG t(rminos<

R = 1960 1961 1962 1963 1 1960 x x x L " +QG0 +QGH

+& Calcular: + , 0 , . , J , +G , V

B" 0H+0 E" 00HH1 , +

.

" P+0 6" QG+

\ T palitos *GH - 1F0H

" 00HH0 6" 00HHH 7 +

. . . . . . . . .

B" +QGF E" +QG+

C"

+

6"

G& En la siguiente secuencia determinar el n=metro de circulos sombreados en la C" 00HH1 7 + guranú!ero7?

0& Calcular el valor de:

P = 15 1515  151515  15151515 12

" +H F&

1212

121212

B" +0 C" P 6" +P

En la sucesi%n

siguiente determinar

12121212

U

E" +J

>7 colecci%n

U

U

>

U

>8



" .HG B" .QQ C" FQG 6" .QG E" PQG 1& 26e cuantas maneras se puede leer la palabra ;CO*UA6OR<

" FHH 6" 0P0

" 00H 6" .HH

C

O



*

U

A

O



*

U

A





*

U

A



6

*

U

A



6

O

U

A



6

O

R

.

1

+H

+F

V

F+

A  6 O R B" 0PG C" 01H E" 0QP



1

+H

+F

+G

V

F.

+H

+F

+G

+Q

V

F1

& & 0J

& & F+

& & F.

& & F1

V

& & PP

J& Calcular el m#ximo valor que puede tomar:  ,  , R si:

AMAR  RAMA =9328 " 0G B" 0P C" 0H 6" 0F

E" +Q

Q& Calcular la diferencia entre el n=mero detri#ngulos sombreados y el n=mero de tri#ngulos no sombreados&

+G+G

++& Dallar la suma de todos los n=meros delsiguiente arreglo num(rico: + . 1 +H V 0J

" 01HH B" 0JHH C" 0.HH 6" 0J1H E" +.HH +0& Calcule la suma de cifras del resultado de: (888 … 88

7 7 . . 1

2

555 …55) 2

;;;5iJras

8 . . .

" +J HHH

B" 0H HHH

6" +P HHH

E" +Q HHH

HHH

 

. . .

-

;;;5iJras

7

.

B" 01H C" F0H E" .0H

+F& Calcule la suma de los elementos de la filan=mero 0P&

. . . 99

>>> " QH B" QJ C" +HH 6" +H0E" +PH

100

@ila @ila 0 @ila FP @ila .++ @ila P01 @ila G01

++

8

: G F 7F D 8 F F+ B" +F JQ1

0 F 1 +F 0Q 0+ 0Q

" +F 1Q1 C" +F +H& 2Cu#ntos palitos ser#n necesarios QG1 paraformar la figura de posicion +H 6" +F GQ1 E" +F J10 siguiendo la secuencia mostrada5 +.& 26e cuantas formas distintas se puede leer ;6ECES< en el siguiente arreglo5 6 E E & & C C C E E E E @....      *+ *0 *F      


SS S S S " 0PG

S S

B" P+0 C" +0J 6" G. E" 01H

N


o 06 cienci0 Bue 04le e 0mon0 e l0 n03u0le80 con mDs cl0i0 Bue l0 M03emD3ic0. A&LO CAR&S

Es aquel con$unto ordenado de elementos !n=meros letras o figuras" tal que cada uno ocupa un lugar establecido acorde con una ley de formaci%n o regla de recurrencia& Ejemplos: +) F) P) 1) Q)VV& +0) +J) 0.) FH) FG)VV& P) +H) +G) 0F) F+)VV& ) ) *) S) M)VV& Le6 e ,om0ción. Es el orden matem#tico que relaciona los t(rminos la ley de formaci%n se determina relacionando las operaciones b#sicas o mediante una deducci%n l%gica& TIOS #E S&CESIONES: Entre las m#s importantes tenemos: +& Sucesiones gr#ficas& 0& Sucesiones literales& F& Sucesiones num(ricas&

En los lugares impares est#n ) B) C)V en los lugares pares est#n ) >)V lue5o se5uiD l0 le30 F $.$ S&CIONES N&MGRICAS: Es un con$unto ordenado de n=meros que $ustamente obedecen a un criterio de orden o formaci%n llamada tambi(n ley de recurrencia y pueden ser: 0; Sucesiones Ai3mH3ic0s. Cuando la diferencia entre dos t(rminos consecutivos de la sucesi%n es constante llamada raz%n aritm(tica& Ejemplo: 01) 0.) 0+) +J) +P)V

$.1S&CESIONES RÁ,ICAS& Est#n formados por figuras ordenadas y construidas de acuerdo a ciertos criterios l%gicos estos pueden ser: Criterio de giro criterio de aparici%n yWo desaparici%n de elementos de la figura uni%n yWo intersecci%n de figuras y relaci%n con otras figuras& Ejemplo: 23u( figura no guarda relaci%n con las dem#s5



B

C

7F 7F 7F 7F
6

Ios t(rminos se relacionan por multiplicaci%n) de t(rmino a t(rmino se multiplica por F&

Resolución: Aodas las alternativas muestran una cantidad de puntos m=ltiplos de F excepto la figura C& $.2 S&CIONES LITERALES: Con$unto ordenado de letras que se distribuyen de acuerdo a los siguientes criterios: - Iugar que ocupa la letra en el alfabeto& - Lniciales de las palabras conocidas& @ormaci%n de palabras& Ejemplo: Lndique qu( letra contin=a en la sucesi%n: ) ) B) >) C)V

c; Sucesiones Mi<30s. Cuando las operaciones que generan cada t(rmino combinan las reglas de formaci%n de las aritm(ticas y geom(tricas& Ejemplo: +)

+)

7 ,0

+1+1

F)

8 ,0

+P)

+HP)

F

9

,0,

Q.P

G ,0

THmino enHsimo 93n;. Se llama t(rmino en(simo o general aquel que representa a cualquiera de los t(rminos de la sucesi%n. =mero Ordinal: +X 0 XF XV n X



n n(3 L1)

A(rmino de Sucesi%n: t + t0 tF  tn

+) P) +0) 00) FP)V

tn -

2

THmino enHsimo e un0 sucesión 0i3mH3ic0 t+

t0

tF

; Sucesión olinomi0l 9Sucesi%n ritm(tica de mayor orden" t + ) t0) tF ) t. ) VVVV& ;n< t(rminos

 tn

,r ,r tn - t+ , !n / +" r

a

THmino enHsimo eomH3ic0 t+

t0 xr

tF

e

un0

sucesión

&

5

!

n ,r

 tn



p ,r

6iferencias sucesivas donde:

xr

tn= t 1 ( 1)nL1 a n( 1)(L L1.2n 2)m n( 1)( 2)

tn - t+ r n7+

( 3)L

L Ln1.2.3n

r

; Sucesiones Especi0les

- #e los nmeos pimos 0 F P 1 ++ +F +1 V - #e ,i4on0cci +) +) 0) F) P) J) +F) 0+) V& !Ia suma de dos t(rminos consecutivos te da el que sigue" - #e ,ein4e5 9Ti4on0cci; + + 0 . 1 +F 0. V !Ia suma de dos t(rminos consecutivos te da el que sigue" - #e Luc0s + F

RO!LEMAS RES&ELTOS +& Dalle el tn y el trig(simo sucesi%n: 1)

0@

7+ V&

1)

F

- #e los nmeos n03u0les +) 0) F) .) P) G) 1)V tn - n - #e los nmeos p0es 0) .) G) J) +H) +0) V tn - 0n - #e los nmeos imp0es +) F) P) 1) Q) ++) V tn - 0n / + - #e los nmeos cu00os +) .) Q) +G) 0P) FG) && tn - n0 - #e los nmeos cu4os +) J) 01) G.) +0P)VV tn - nF - #e los nmeos 3i0n5ul0es

+G )

G

0Q )

78

.G ) VV

79

,. ,. ,. a - .W0 - 0 b - P / 0 - F) c - 0 t n 0n0 , Fn , 0

\ tFH = 2(30)

2

 3(30)  2 = 1800  90  2 = 1892

0& Lndicar el t(rmino que en la siguiente sucesi%n: !

n(n1) +P) V

.G ) VV&&

Sabemos que t n - an0 , bn , c

e; Sucesiones No304les

+) F) G) +H)

0Q )

de la

Resolución:

. 1 ++ +J 0Q .1 1G V

- Oscil0n3e + 7+ + 7+ +

+G )

t(rmino

!

!

Resolución: - Observamos dos sucesiones: + ) F ) G ) +H ) x

tn 2

- #e los nmeos pen305on0les

+J+J

,0 ,F < x - +P

,.

,P

continua

! .......

- P+ )

FJ )

01 ) +J ) y

G& Lndicar el t(rmino que contin=a en a siguiente sucesi%n: +0H+0H RAZONAMIENTOMATEMATICO


15  11 \=

V  =: $uegose"iene+=

*

7+F 7++ 7Q 71 < y - ++ F& Dallar el t(rmino en(simo y el t(rmino delugar FH en: P ) ++ ) +1 ) 0F ) V&& Resolución: nalizando la raz%n se deduce que es una progresi%n aritm(tica&

) Q0.H ) J.H )+0H ) 0. ) J ) Resolución: Esquematizando la sucesi%n: +0H+0H ) Q0.H ) J.H ) +0H ) 0. ) J ) V

V13 V11 V7 V5V3V2 "#$e%os &%'$os +Q+Q

0F ) V&&

L7

FU

77 U


79U

+& Calcule el vig(simo t(rmino de: . ) Q ) +J ) F+ ) .J ) GQ ) VV

G

,G ,G ,G < r-G An - Gn 7 + < A0H - G!FH" / + - +1Q

" G0P

.& 23u( letra continua: B ) 6 ) C ) @ ) 6 ) VV&&5 Resolución: B ) 6 ) C ) @ ) 6 ) VV&&5

 ,0

:

8

D

:

7+

,F

70

,.



Ia letra buscada: - P& 6ar el

!

!

!...

Resolución: nalizando los numeradores y denominadores tratando de hallar una ley de formaci%n& - En el numerador: + ) . ) 01 ) 0PG ) V&) en(simo FF

..

nn

- En el denominador: F ) G ) Q ) +0 ) V& ) En(simo Fx+

Fx0

\ =T n

+ ) 0 ) Q ) 0J ) GP ) +0G ) VVV&& " 0H B" 0J C" +Q 6" 0P E" 01

F ) +. ) .1 ) ++. ) !

00

0& En la siguiente sucesi%n halle la suma de cifras del pentag(simo t(rmino:

F& Dalle el trig(simo termino de:

t(rmino en(simo en:

++

B" QHH C" 1JF 6" JPHE" 10H

FxF

Fx.

Fxn nn

001 ) VVVV

" PF0+0 B" P0H+0 C" P0++0 6" PF+H0 E" PF++0 .& Lndicar el t(rmino que continua en la siguiente sucesi%n:

+

L1 5

1

! 025! 2 ! ! 1 !  64 0 " +PH B" 0PH 6" +0P E" +0H

C" +1P

P& Si la siguiente sucesi%n:

3n ! ! ! .........

!

!


tiene FH t(rminos& 6eterminar la diferencia de los t(rminos de la =ltima fracci%n& " Q. B" JG C" +H. 6" QH E" 1. G& Si la siguiente sucesi%n:


11 19 29 41 55 ! ! ! ! !... 4 9 16 25 36

Aiene FH t(rminos& 6eterminar la diferencia de los t(rminos de la =ltima fracci%n& " Q. B" JG C" J. 6" QH E" 1.

1& 6ada

las siguientes sucesiones:

" n0 7 + B" n0 , +

1 ) +0 )

+1 )

00 ) VVV& ) 0Q1 . )

++ )

+J )

0P ) VVV&&

6 C)

S)

O)

6" n0 , F

70 ) 0 ) +J ) P0 ) ++H ) 5 " +GP B" +JP 6" 0PP E" +QJ

6 ) VVVVV&&

Calcular cu#ntos t(rminos son comunes a ambas sucesiones& B" Q

6" R

E" +H

J& Dallar

el

la

siguiente sucesi%n: !a , F") !a , 1"F ) !a , ++"P) &) !a , ++J / n"n " FJ

B" FP C" FG

6" FQ

E" PF

F0 ) 0Q) 0G ) 0F )VV&&& B" 711 C" 71H

6" 7P1

E" 7.1

1 !

2 x  3

6

9

+G& 6eterminar el decimo octavo t(rmino de lasucesi%n:

1 !

11 3 12

+.& 6ada la sucesi%n: ! ! ! !...  partir de qu( lugar los t(rminos son menores que H1P5 " +P vo& B" +F vo& C" +. vo& 6" +1 vo& E" F+ vo&

+H&Ia siguiente es una arm%nica: 1

9

+P& Lndique la alternativa que contin=a correctamente en la siguiente sucesi%n: G) +P) FG) QF) 0PJ) V " F1F B" .JQ C" G0+ 6" 1.1E" +HHP

Q& Dalle el trig(simo quinto t(rmino en: " 7GQ

E" 6 57

valor de ;n< en

C" 0HP

+F&23u( letracontinua en la siguiente sucesi%n5 "  B" * C" @

C"+H

6" +0

E" 0n0 7 +

+0& Lndique la alternativa que continua en laserie:

0H0H

" J

C" 0n0 , +

!

1 !

!

! !... 339

! ..........

x  8 3 x 1 y

"

B"

519

C"

Calcule el valor de x , y& 1

1 !

2 x  3

1

1

!

!

6"

! ..........

x  8 3 x 1 y

" +G

B" +J

6" 0P

C" 0H

E" +1

++& Dalle el t(rmino en(simo de la sucesi%n: 0) P )

+H )

+1 )

0G ) VVV&

E"

+1& Se divide el con$unto de n=meros naturalesen grupos de modo que cada uno de ellos termina en un n=mero par resultando la sucesi%n: !+)0" !0)F)." !F).P)G" !.)P)G)1)J" ) V Dalle la suma de los n=meros correspondientes al t(rmino FP&

L



" +JQH B" +GQH C" 0HQH 6" +GFH E" +1QH 0 M03emD3ic0 es un0 cienci0

poeos0 6 4ell0K po4lem03i80 0l

mismo 3iempo l0 0mon0 i7in0 el

Ia ley de formaci%n est# dada por la relaci%n entre los n=meros mediante operaciones b#sicas& Son grupos de n=meros distribuidos en fila !horizontales" y columnas !verticales" cuya relaci%n puede establecerse entre filas y columnas sin que la inc%gnita sea necesariamente el n=mero central

&ni7eso 6 l0 50ne80 el espi3u um0no.

Ejemplo

,. OMES TEIFEIRA Analogías y Distriuciones

+: 23u( n=mero falta en5 1 +P G +F J 5 0H 0F +.

!um"ricas

! 0+0+

%.1 ANALOAS N&MGRICAS: Son un grupo de n=meros distribuidos en l'neas horizontales !filas"& Ia primera fila contiene tres n=meros y el que ocupa la posici%n central es el resultado de efectuar ciertas operaciones con los que ocupan los extremos& Ejemplos: +& 23u( numero falta5 !0H" !QQ" ! P " ! 1 " ! 5 " !+F" Resolución: Se multiplican los extremos de la +ra fila 0H x P - +HH l resultado le restamos la unidad +HH / + - QQ Iuego realizamos la misma operaci%n en la 0da fila ultiplicamos los extremos 1 x +F - Q+ Ie restamos la unidad Q+ 7+ - QH 0& 23u( numero falta5 !." !0H" ! Q " !J" !+." ! P " !+H" !5" !F" Resolución: 6e la +ras filas extraemos la regla de formaci%n siguiente +ra fila !. V 0" , 0 !Q" - 0H 0da fila !J V 0" , 0!P" - +. Iuego realizamos la misma operaci%n en la Fra fila!+H V 0" , 0 !F" - ++ %.2 #ISTRI!&CIONES N&MGRICAS: Es un arreglo de n=meros dispuesto en forma geom(trica que guardan entre si una ley de formaci%n&

Resolución: nalizamos los n=meros de manera vertical +ra columna 1 , +F - 0H 0da columna +P , J - 0F Entonces Fra columna G , 5 - +. 5 - +. 7 G - J& %.$ #ISTRI!&CIONES RÁ,ICAS Es la distribuci%n de n=meros que se van a relacionar dentro de una o varias figuras geom(tricas mediante una ley de formaci%n se debe considerar la forma de la figura al solucionar el problema& Ejemplo: Dallar ;x< : D: : 8

8



F7



F 8

Resolución: @ila + : .F - G. @ila 0 : 0P - F0 @ila F : JF - P+0

EJERCICIOS RES&ELTOS +& Dallar ;x< en: .

!."

0J

+1

!P"

FF

+0H

!x"

JH

Resolución: Ia regla de formaci%n ser#:

+ra

:= :  7988= F @ila:Iuego:  7;; =10 

@ila: 0da Fra @ila: x

F G J " FF 6" .0

0

1

= 1

2

= 2!

2

3

*or lo tanto: x 43=64

: F

8 :

8

7

F 8

:

D;

A)7;

7;

8 )7 E" +.

+P

0+H

00P

++

x

+0+

G C)77

C)8

.P

7



: )7:

E" +J

!+. P0" !+J H." ! x "

0F F0

6eterminar el valor de ;x< en la siguiente 73

0J B" +1.H

6" E" ++GH +H.H 23u( J&1& n=mero falta5

C" 95 +FG " +. H C" +J

*

P0F ! x " .QQ

F& 6etermine el valor de x en el cuadro: 5 8 22

7

85

B" +P

Dallar ;x< en la siguiente analog'a: GHF!++PG" PGQ +0J!.J."

60

14

6" 0H E" 0+

C)7F

4



" ++Q B" +++ C" ++P 6" ++1 E" ++H

analog 'a:

" +0.H

7

D;

A)78 6" +G

G& G. P1

W

); E)7G

G



88 : 8



0& Dallar ;x<

6" +G

E" G.



+& Encontrar el valor que falta:



C" FJ

la siguiente distribuci%n:


7;

J. 1J x

P& Se4ale la alternativa que contiene el valor de x teniendo en cuenta el siguiente cuadro: F G Q

=9

A)7 /)7

+0 G F B" FG

.&Eli$a la alternativa que complete correctamente

0& 23u( n=mero falta en el siguiente cuadro: + + 0 F 0 0 F .+ 0 Q x Resolución: nalizando para encontrar la relaci%n se observa: En la segunda fila se encuentran n=meros que elevados a los n=meros de la primera fila dan como resultado los n=meros de la Fra fila& 1

. 1 .

+HG



" ..+

B" P0Q

6" G0P

C" .J.



E" P1G PPP

FFF



Sus%acc'n

V

/ul'&l'cac'n

Q& Dalle el n=mero que falta: JJJ

+,'c'n

'v's'n

GGG

a,'cac'n

o

oa%'$ac'n



QQG

J0P

+1+

F.0

alo% asoluo

5

G

.

J

/'$o ene%o

" 0

B" .

6" J

E" +H

Su$ao%'a

+H&6e la secuencia dada en el cuadro halleel n=mero faltante: + 0 . 1 1 J +0 0+ 0+ 00 FH P1 P1 PJ 1. 5 " +H0 B" +F0 C " +.. 6" +0+ E" +PP

L

a sabiduría es un adorno en la prosperidad y un refugio en la adversidad. Aristóteles

#$eradores Matem%ticos "

(.1

Ope0ción m03emD3ic0. Es aquel procedimiento que transforma una o m#s cantidades en otra cantidad llamada resultado ba$o ciertas reglas yWo condiciones convenidas& Aoda operaci%n matem#tica tiene un s'mbolo que la representa llamado operador matem#tico&

(.2 Ope0o m03emD3ico. S'mbolo su$eto a reglas o leyes que representa una determinada operaci%n matem#tica& Operación Matemática

Operador Matemático

'$

[

'$'es

C" G

K

Ine%ac'n

El operador matem#tico tambi(n puede ser cualquier s'mbolo !incluso figuras geom(tricas" como por e$emplo:  

] ^ _ O / ` X    6 TY Z[









\ ] ^ 5 5 etc& Ias reglas de definici%n se basar#n en las operaciones matem#ticas ya definidas& (.$ OERACI"N !INARIA Operaci%n que involucra a 0 cantidades parao&"enero"ra?  ra aX&=a  a?& 7 5o!ponen"e Operaorinario

RegaeJor!a5in a 5o!ponen"e

PROPI'DAD' 1. Cl0usu0 o ce0u0. Si al tomar un par de elementos cualesquiera del con$unto  y se realiza con ellos la operaci%n definida si el resultado de dicha operaci%n pertenece al con$unto  entonces se dice que la operaci%n es cerrada en el con$unto & a  A a  A  b <  b

0F0F

2. Conmu303i70. Se dice que una operaci%n es conmutativa si para todo elemento del con$unto  el orden de dichos elementos en la operaci%n !_" no altera resultado& a  A b < a   a =  $. Elemen3o neu3o 9 e ;. Se dice que ! e " es el elemento neutro o elemento de identidad con respecto a ;X; c be A : b
%.

Elemen3o in7eso901;. Se dice que a 7+ es el electo inverso o sim(trico de 0< con respecto a ; X<

__- F!+" , + - .

< - F!." , +- +F

(. Asoci03i70. a  c A b < a  c(  )= (  )a  c #E,INICI"N #E OERACIONES ME#IANTE TA!LAS En este tipo de problemas la regla de definici%n no aparece en forma explicita por el contrario nos indica los elementos que ha sido operados y colocados en una tabla de doble entrada veamos: >iaeen"raa Operaor Ma"e!a"i5o



a

+

a Cou!nae + en"raa c

c * a +

* a + c

*

c a + c

* + c *

*

a

*iden: R - 1 , +F - 0H

+&

RO!LEMAS RO&ESTOS Se define: a  a  6 =  22

dem#s: $ &/ 4)6 /(4 5)6 " FJPH 6" FPPH 0& 6ado:



RO!LEMAS RES&ELTOS

B" F1PH E" F.PH

1



Dalle:

2 R-,,,V 3

" .JH B" +0H 4 C" +JH 6" 0.H E" FGH F& Se define las siguientes operaciones:

+& Resolver:

-x0,x

2 7 10

a\b-0 a )calcular 1\ Q Resolución:



7 9

a\b-0

-x,G



,

= 8

Haareaor nB en+ 1\Q-0 7 9 1\Q-0x. 1\Q-J 0& Si se cumple: - Fx , +



7 :

7

_- F!0" , + - 1

=FF

C"J E" G

.& Se define: 3

Resolución:



B" F

6" P

Dalle: R -

 

n LG " .

(3

C" FGPH

-0x,F)

Cuerpoe a"a&a

Ee!en"os6ue'an par"i5ipaoena opera5in

=4 $&L550 & Calcule: M =

m ^ =n mn

3

nLm

20

,



Calcule x en la siguiente ecuaci%n: " +QWFQ 6" +PW0Q

B" +PW+1 E" 0+W0Q

C" 0HW01

" a

B"

6" aaL1

a1

C" a

aa E"

0.0.

Calcule: ' =



1

 Q



^ L 2  ^ L( 3) 6

" + 6" F

F ?Seene +



=

L7 Ca5ue+ " G 6" + G&

 =

  L7 L  8

7

B" 7P C" 7+ E" 0 -3

Se define- x , G Calcula el valor de -

; " .J

B" PG C" G. 6" 10

E" .H

1& Sobre el con$unto  - `+ ) 0 ) F ) . se define la operaci%n T mediante la tabla ajun"a+ , 4 3 2 1 3 2 1 1 4 2 1 4 3 2 3 3 2 1 4 4 4 3 2 1 6etermine ;x< si se cumple que: !F T ." T !x T ."- + T !0 T 0" T F " . B" P C" + 6" 0

B" 0

C" H E" .1

Q& Si definimos a   = (a  1)(a a )

F

E" F

J& En el con$unto  - `+ ) 0 ) F ) . se define la operaci%n _ de acuerdo a la siguiente "a&a+  1 2 3 4 2 3 1 4 1 1 2 3 4 2 3 2 3 4 1 4 3 4 1 2

=

1(((32) )4) (12) x

(a1)(1)

aL1

 calcular:

(43)

Planteo de 'cuaciones #

Lenguaje Formal

Enunciado

Simbólica #einición. Una ecuaci%n es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que se denominan miembros de la ecuaci%n& Es decir lasu$a igualdad s%lo para ciertos valores que toman sus a ,e ,osse verifica n#$e%os inc%gnitas& 1 consecu'vos 1 Ejemplo: a su$a ,e %es n#$e%os Gx , F - FF se verifica s%lo para x P El plantear una ecuaci%n significa que el enunciado de 2 consecu'vos es 63 (1)(2)=63 cualquier problema que se tenga hay que interpretarlo entenderlo y una vez comprendido hay que El &%o,uco ,os n#$e%os al problema planteado& expresarlo en una ecuaci%n matem#tica lo cual,edar# soluci%n 3 consecu'vos () . ( el1)mayor n=mero de aplicaciones como Ia ecuaci%n que es la parte sustantiva de las matem#ticas tiene herramienta de resoluci%n de problemas& *lantear una ecuaci%n significa traducir adecuadamente el a e,a, ,e +%u%o es ,os veces la enunciado de un problema a una expresi%n matem#tica mediante una o m#s ecuaciones& Una de las 4 e,a, uís + = 2 habilidades m#s importantes en la resoluci%n de problemas es la destreza para traducir un problema eno la $'a, ,e lo ue u 'enes dado en nuestro idioma al lengua$eComatem#tico& Mer el siguiente esquema:

@ el 'ene el %'&le ,e lo ue u

Co =  D#,e= una 2! o va%'as $ane%as el esu,'ane ,ee% acua% ;na <%ase u o%ac'n &ue,e se% %e&%esena,a s'$l'ca$ene 5 'enes. l = 6 ,e acue%,o a los %eue%'$'enos ,e ca,a &%ole$a en &a%'cula%. >a%a &lanea% un &%ole$a es '$&o%ane ene% en cuena las s'u'enes sue%enc'as? El %'&le ,e un n#$e%o au$ena,o en

S&ERENCIAS

ARA LANTEAR &NA EC&ACI"N3  15 6 15

El %'&le ,e un n#$e%o au$ena,o en  continuaci%n veamos algunos7 e$emplos de fragmentos de 3( enunciados y su respectiva representaci%n 15  15) matem#tica& El 8

cua,%a,o ,e la su$a ,e

,os (  @)2

n#$e%os

1%o.

ee% el &%ole$a e 9 os n#$e%os su$an 18 ',en'<'ca% la 'ncn'a cu@o 10 En una %eun'n ha@ anos va%ones 0. Io que le sobra a  paravalo% B ,ee$os  / B -encon%a% .H 2,o. Encon%a% las %elac'ones en%e co$o esa 'ncn'a el ,ole @,el n#$e%o ,e es cuarenta los o%os ,aos ,el &%ole$a $uFe%es 0P n=meros enteros ue x x,+%e&%esena x,0 3%o.Ares >lanea% la ecuac'n las 11 /a%'Ba 'ene S:.150 $s ue %elac'ones ane%'o%es. consecutivos 4o. ecuac'n &a%a encon%a% el valo% ,e 0G  y Besolve% est#n enlarelaci%n como WB -A%'sel ++W+P la 'ncn'a 12 El uínu&lo cua,%a,o ,e un ++ es a +P 5o. Ao$&%oa% el %esula,o ve% s' la %es&uesa ,el es 01 ast% los FWP de lo que no ast%FWP x %aBonale. n#$e%o

gasto

o gast% - x

Suma de los cuadrados de 0J dos n=meros 0Q FH

a cua%a &a%e 14 / B,'s$'nu',o - +. en %es

El exceso de  sobre B es +. Ia ra'z cuadrada de n=mero disminuido en 1

a cua%a &a%e 0 x013, y,'s$'nu',o en %es

un

Ia mitad de los  de lo que F+ tienes

a cua%a &a%e 15 7 ,'s$'nu',o en %es 1

,e un

El

n=mero

de

A = ! / =   150

52

( G 3):4 ,e un

n#$e%o :4 - 3

,e un

n#$e%o

x

H( G 3)

El cua,%a,o ,e la ,'
( - @)2

+

17.

x + es el ,ole ,e 

mangos 19/ *+-es+0 ,os $s ue 

excede al de pi4as en +0

 =  ! / = 2

n#$e%o

018 4+ es ,os veces $s ue  F0

  @ = 18

+ = 2  = ! +=2 = 3 +=2

20

+ es ,os $enos ue 

+=-2

21

+ es el ,ole ,e  $s 12

+ = 2  12

22

+ ece,e en 20 a 

+ G 20 = 

23 o

ue le
es  G + = 40

0P0P



Ia inversa o el reciproco de FF un n=mero +Wx

RO!LEMAS RES&ELTOS +& Con 1. monedas en total unas de P soles y otras de 0 soles se quiere pagar una deuda de 0PH soles& 2Cu#ntas monedas de cada clase se tiene respectivamente5 Resolución: Sea el n=mero de monedas 1. tenemos:

9: !oneas  Cdu?Sd?

9:L Cdu?Sd?F

Como la deuda total es 0PH soles se tiene: 0!x" , P!1.7x" - 0PH 0x , F1H 7 Px - 0PH Fx - +0H < x - .H Iuego se tiene:  mone0s e SP. 2 = %  monedas de SW& P - 1. / x - 1. / .H - F. Se tiene .H monedas de SW& 0 y F. monedas de SW&P 0& En una gran$a se tiene cone$os patos y gallinas& Sin contar los cone$os tenemos Q animales sin contar los patos se tendr# 1 0G0G

animales y sin contar las gallinas tenemos +. animales& 2Cu#ntos cone$os hay5 Resolución: Sea: C : T de cerdos& * : T de patos&  : T de gallinas& l no contar los cerdos estamos considerando los patos y las gallinas an#logamente entenderemos lo dem#s luego: * ,  - Q C

,

 - 1

C

,

* - +.

0* , 0 , 0C - FH * ,  , C - +P !6ato" Q , C - +P  C - G Day G cone$os&

RO!LEMAS RO&ESTOS +&

Dallar un n=mero entero y positivo quesumado con ++ resulta mayor que el triple de (l disminuido en 1 y que sumado con P resulta menor que el doble de (l disminuido en 0&

" G

B" 1

C" J 6" Q

E" +0

0&

Una persona sube una escalera de 0 en 0 gradas y desciende de F en F dando un total de +PH pasos& 2Cu#ntos escalones tiene la escalera5 " +JH B" +Q0 C" 0.H 6" 00P E" F0H

F&

Si Cristel tuviese Q a4os menos el tiempo que hubiera permanecido durmiendo ser'a la quinta parte del tiempo que hubiese permanecido despierto si es que tuviese Q a4os m#s& Si en el transcurso de su vida duerme J horas diarias& 2Cu#ntos a4os lleva durmiendo5 " J B" 00 C" +P 6" 1 E" +H

.&

Un examen de admisi%n consta de 1H preguntas por cada respuesta correcta se le bonifica . puntos y por cada respuesta incorrecta le restan un punto& 2Cu#ntas preguntas respondi% acertadamente un alumno si despu(s de responder todo el examen obtuvo +1H puntos5 " P0 B" .J C" FJ 6" .G E" 00 P& l pregunt#rsele a un postulante del CE*REAEC 0H+F qu( parte del examen ha resuelto (ste responde he contestado los .WP de lo que no contest(& 23u( parte del examen ha contestado5 " PWQ B" .WQ C" WWQ 6" +WP E" 0WP G&

Un ni4o ten'a 0H bolas unas ro$as otras azules& Si pierde . bolas de cada color entonces el triple del n=mero de bolas azules equivaldr'a al n=mero de bolas ro$as& 2Cu#ntas bolas ro$as ten'a5 " J B" 1 C" +0 6" +F E" Q

1&

Io que cobra y gasta un profesor sumanGHH lo que gasta y lo que cobra est#n en relaci%n de 0 a F& 2En cu#nto tiene que disminuir el gasto para que dicha relaci%n sea de F a P5 " 0H B" 0J C" 0. 6" FG E" +G J& Emilia y arol dedican J.H d%lares cada una para socorrer a cierto n=mero de pobres arol socorre a +1H pobres m#s que Emilia pero (sta da a cada pobre +1 d%lares m#s que arol&2Cu#ntos pobres son socorridos por arol5& " +.H B" +JH C" +QH 6" 0+H E" +1P Q&

Un comerciante compr% cierto n=mero de pelotas por un valor de SW& GH& Se le extraviaron F de ellas y vendi% las que le quedaron en SW& 0 m#s de lo que le hab'a costado cada una ganando en total SW& F& 2Cu#nto le costo la decena de pelotas5 " SW& GH B" SW& PH C" SW& .P 6" SW& .H E" SW& PP

+H& Un caminante ha recorrido +HHH metrosunas veces avanzando otras retrocediendo& Si s%lo ha avanzado FPH metros 2Cu#ntos metros recorri% retrocediendo5 " FHH m B" .0P m C" F1P m 6" FPH m E" F0P m ++& Si t= me dieras 0 de tus canicas tendr'amos la misma cantidad) en cambio si yo te diera F de las m'as t= tendr'as el doble de lo que a mi me quedar'a& 2Cu#ntas canicas tenemos entre los dos5 " 0P B" 0J C"FH



6" FG

E" .0

0101

+0& Ia familia alpartida la familia *adilla y elmatrimonio Ro$as almorzaron en la poller'a ;Sol de Oro< Ios alpartida comieron P anticuchadas . parrilladas J gaseosas y gastaron SW& J1& Ios *adilla comieron Q anticuchadas 1 parrilladas +P gaseosas y gastaron SW& +PG& 2Cu#nto gastaron los Ro$as quienes comieron + anticuchada + parrillada y + gaseosa5 " SW& 0. B" SW& +G C" SW& 0H 6" SW& +J E" SW& +. +F& adeleine entra a una iglesia donde est# San Kudas un santo muy milagroso cada vez que entra a la iglesia le duplica el dinero que lleva con la condici%n que cada vez que le hace un milagro le de$e una limosna de SW& +G& Un d'a queriendo volverse rica adeleine realiza . visitas pero fue tan grande su sorpresa porque se qued% sin un sol& 2Cu#nto llevaba adeleine al inicio5 " SW& +G B" SW& 1 C" SW& 0P 6" SW& FP E" SW& +P +.& *ara envasar +P HHH litros de aceite sedisponen de botellas de  litro + litro y P litros& *or cada botella de P litros hay +H de un litro y 0H de medio litro& l terminar de envasar el aceite no sobr% ninguna botella vac'a& 2Cu#ntas botellas hab'a en total5 " +J GHH B" 01 HHH C" +G HHH 6" +. GHH E" 0. 0HH +P& Se sabe que en un campeonato uerrerometi% cinco goles m#s que *izarro& Ios goles de Reyna excedi% en dos a los de uerrero y fue excedido por un gol de *olo quien a su vez hizo la misma cantidad de goles que @arf#n& Si hubo un total de PF goles& 2Cu#ntos meti% *olo5

" +J

B" +F C" ++ 6" +.

E" +H

L0s le6es e l0 N03u0le80 son sólo pens0mien3os m03emD3icos e #ios.

QELER. Ios problemas de edades en su mayor'a se pueden resolver utilizando ;planteo de ecuaciones< aunque existen problemas con inecuaciones y numeraci%n . En estos problemas se relacionan su$etos edades y tiempos !pasado presente futuro" Suje3os. Son los protagonistas del problema a quienes corresponden las edades y que intervienen en el problema& E0es& Ia edad es un lapso de tiempo perteneciente a la existencia de un su$eto& Tiempos. *ueden ser pasados presente y futuro& *asado *resente @uturo

>o Auve Aengo ten'a tienes tuviste A= Aen'as Aienes El Aen'a Aiene Casos que se presentan:

Aendr#s tendr( Aendr#s Aendr#

+& Cu0no in3e7iene l0 e0 e un0 sol0 peson0& Se resuelve haciendo uso de un diagrama lineal en el cual se representar# al transcurso del tiempo& Ho* "engo

Ha5e &B afos



L& Pasao

/en"roe aB afos

(L)

Presen"e

a

()

>u"uro

Ejemplo: 6entro de GP a4os tendr( G veces la edad que ten'a hace +H a4os& 2Cu#ntos a4os me faltan para cumplir GH a4os& Resolución: *or condici%n del problema: x , GP - G!x / +H" DF=DLD; =F /en"roe Ha5e7;afos L7; Pasao

DF afos

 Presen"e

DF >u"uro

0J0J

Aiene 0P a4os actualmente para cumplir GH a4os le falta: GH / 0P - FP a4os 0& Cu0no in3e7ienen l0s e0es e os omDs peson0s. En este caso es apropiado emplear un cuadro de doble entrada donde los datos deben estar correctamente ubicados en su tiempo respectivo& Cuando se desarrolla la soluci%n de un problema donde intervienen las edades de dos o m#s personas hay que tener en cuenta lo siguiente: - Ia diferencia de edades de dos personas en el transcurso del tiempo es constante& - Ia suma en forma de aspa !x" de valores extremos sim(tricos son iguales&

P a4os

Q a4os



Se observa que: - En el presente la edad de 6o es J a4os m#s que la edad de 3 y lo mismo sucede hace P a4os y ocurrir# dentro de Q a4os) es decir la diferencia de edades es la misma en el pasado presente y futuro& 0P / +1 - FH / 00 - FQ 7 F+ - Ias sumas en aspa de valores colocados sim(tricamente son iguales: 9p0s0o  pesen3e;: 0P , 00 - +1 , FH - .1 9pesen3e  u3uo; : FH , F+ - 00 , FQ - G+ 9p0s0o  u3uo; : 0P , F+ - +1 , FQ - PG Ejemplo: F& Dace . a4os la edad de Beatriz era el cu#druplo de la edad de le$andro pero dentro de P a4os ser# el triple& Dallar la suma de las edades actuales& Resolución:

6e la =ltima condici%n se tiene: .x , Q - F!x , Q" < x - +J Edades actuales: Beatriz: .x , . - .!+J" , . - 1G le$andro: x , . - +J , . - 00 \ Suma: 1G , 00 - QJ a4os RO!LEMAS RES&ELTOS +& Si al triple de tu edad se le quita F1 a4os seobtiene lo que te falta para tener Q+ a4os& 23u( edad tendr#s actualmente se hubieras nacido +H a4os antes5 Resolución: Sea x a4os la edad actual l triple de tu edad se le quita F1 a4os: Fx / F1 Io que falta para tener Q+ a4os: Q+ / x *or condici%n: Fx / F1 - Q+ / x .x - +0J < x - F0 Si hubieras nacido +H a4os antes tendr'as +H a4os m#s es decir: F0 , +H - .0 a4os 0& 6entro de P a4os tendr( el qu'ntuplo de la edad que ten'a hace P a4os menos PH a4os& 23u( edad tendr( dentro de P a4os5 Resolución: Seg=n el diagrama F  LF Dace P a4os

en%o ,e 5 aJos E,a, acual

*lanteamos la siguiente ecuaci%n: x , P - P !x 7 P" / PH
Ia edad dentro de P a4os ser#: 0H , P - 0P a4os RO!LEMAS RO&ESTOS +& le$andro lleva en el sindicato el triple de a4os que Kuvenal& Dace cinco a4os llevaba el qu'ntuple de a4os& 2Cu#ntos a4os lleva cada uno en el sindicato5 " J y 0. B" +P y 0P C" FG y +0 6" 0+ y 1 E" FH y +H +& Si tuviera +P a4os m#s de la edad que tengo entonces lo que me faltar'a para cumplir 11 a4os ser'a los tres quintos de la edad que ten'a hace G a4os& 26entro de +0 a4os que edad tendr(5 " P0 a4os B" P. a4os C" PF a4os 6" PG a4os E" PJ a4os F& >o tengo el cu#druple de la edad que t= ten'as cuando yo ten'a la edad que t= 0Q0Q

tienes pero cuando tengas la edad que yo tengo la suma de nuestras edades ser# de QP a4os& Dallar la suma de las edades actuales& " G0 a4os B" 1H a4os C" PP a4os 6" GP a4os E" 1P a4os .&  una persona se le pregunta por su edad y(sta contesta: ;Aoma tres veces los a4os que tendr( dentro de F a4os r(stales tres veces los a4os que ten'a hace tres a4os y resultar# exactamente los a4os que tengo ahora<& 2Cu#ntos a4os tiene la persona5 " +J a4os B" 0. a4os C" FH a4os 6" 0J a4os E" 0P a4os P&  una persona en el a4o +QGP se le pregunt% por su edad y contest%: ;Aengo en a4os las dos terceras partes del n=mero que forma las dos ultimas cifras del a4o de mi nacimiento<& Dallar la suma de las cifras de su edad en dicho a4o& " Q B" J C" +H 6" +0 E" +F G& Dace G a4os la edad de un t'o es J veces lade su sobrino) pero dentro de . a4os ser# el triple& Calcular la suma de sus edades& " FJ a4os B" .0 a4os C" FP a4os 6" .J a4os E" PH a4os 1& i edad es el doble de la edad que t= ten'as cuando yo ten'a el triple de la edad que tuviste cuando yo tuve 0H a4os y cuando t= tengas mi edad nuestras edades sumar#n 1P a4os& " F0 a4os B" 0Q a4os C" FH a4os 6" FP a4os E" .P a4os J& Ia edad actual de un hi$o es los .WQ de la edad de su padre& Si dentro de P a4os la mitad de la edad del padre ser# igual a la edad que el hi$o tendr#& 2Cu#l es la edad del padre5 " .J a4os B" FH a4os C" PP a4os 6" .P a4os E" FP a4os



Q& Iucho y Mictoria se casaron cuando ambosten'an 01 a4os de edad y luego de + a4o naci% *epe Iucho& Si cuando *epe lucho se cas% su edad fue la cuarta parte de la suma de las edades de sus padres 2a que edad se cas% pepe Iucho5 " FJ a4os B" FH a4os C" 0J a4os 6" .H a4os E" 0Q a4os Relo$ es una maquina =til para la medici%n del tiempo y divide el d'a en horas minutos y segundos: Estos instrumentos que nos sirven para medir el tiempo transcurrido se llaman relo$es los primeros relo$es que el hombre us% fueron los relo$es solares& 6ivid'an el d'a en intervalos que la sombra de una estaca hacia sobre la tierra& Un relo$ te permite saber cuando tienes que salir de casa para realizar una actividad de tu inter(s& Un calendario te muestra por e$emplo el d'a de tu cumplea4os& *ara un me$or aprendiza$e lo clasificaremos del siguiente modo: .1 RO!LEMAS SO!RE CAMANA#AS En este grupo de problemas se ver#n los casos en los cuales involucran a relo$es que se4alan las horas mediante campanadas& Meamos el siguiente esquema:

1º-

2º-

3º



4º

8 in"eraos Aiempo total: Ft - Se observa que entre campanada y campanada hay un intervalo de tiempo !t" constante& - Seg=n el gr#fico: T de campanadas - . T de intervalos - F Conclusiones:

T ,e 'ne%valos = T campanada 7+ T ,e Aa$&ana,as = T intervalos ,+ D'e$&o oal = T de intervalos x 6uraci%n del tiempo

.2 RO!LEMAS SO!RE TIEMO TRANSC&RRI#O ) TIEMO &E ,ALTA TRANSC&RRIR En este tipo de problema desarrollaremos aquellos casos en los que se involucran el transcurrir del t iempo y por consiguiente tambi(n al tiempo que falta transcurrir ya sea en un d'a una semana una hora etc& Horaea5"a Tie!po"rans5urrio

Tie!po6ueJa"a "rans5urir

.$ RO!LEMAS SO!RE A#ELANTOS ) ATRASOS Es posible determinar la hora correcta conociendo alguna alteraci%n constante en un relo$ defectuoso por lo general la resoluci%n a este tipo de problemas se logra estableciendo una proporcionalidad o planteando una regla de tres simple& Horaini5aapor unreoja"rasao

A"raso

Horaea5"a

Horaini5aa porunreoj5on aean"o

Aean"o

dem#s se debe tener en cuenta que: - Si un relo$ est# atrasado: Ko%a 'n,'ca,a = Ko%a %eal -D'e$&o ,e a%aso

-

Siunreojes".aean"ao Horaini5aa=HorareaTie!poeaean"o

.% RO!LEMAS SO!RE AN&LOS &E ,ORMAN EL MIN&TERO ) EL -ORARIO Ios que relacionan la hora marcada en el #ngulo formado por las agu$as del relo$&

. . .

. . . 

h

. . .

. . .

D : Dorario m : minutero ] : #ngulo convexo !8 de +JHX"  : #ngulo c%ncavo !+JHX 8  8 FGHX" FHFH

Consie0ciones: - Ia circunferencia del relo$ presenta GH divisiones que equivalen a FGHX es decir: GH div 8 9 GH min 8 9 FGHX + div 8 9 + min 8 9 GX - Iuego entre dos marcas horarias consecutivas hay P divisiones por lo tanto si relacionamos con los grados formados se tiene: P x GX - FHX& - Ia relaci%n de recorrido entre el horario !D" y el minutero !m" es:

(

5div

= m

1

= 60div

12

MGTO#O RÁCTICO ARA EL CÁLC&LO #EL AN&LO U ENTRE EL -ORARIO ) EL MIN&TERO

- Cuando el horario adelanta al minutero a = 30 ( L m - Cuando el minutero adelanta al horario& a = D - Doras m - minutos RO!LEMAS RES&ELTOS

m L30 (



+& Un relo$ se adelanta +H minutos cada horasi es las J a&m& 23u( hora marcara el relo$ a las 0 p&m&5 Resolución: Aiempo transcurrido: J a&m& a 0 p&m& - G h + h < +H min& adelanto G h < x min adelanto x - !G h x +H min"W+h - GH min de adelanto total delanto total - GH min - + h Dora indicada - Dora real , delanto Dora indicada - 0 p&m& , + h - F p&m& 0& Un campanario emplea G segundos para tocar . para tocar G campanadas5 Resolución: nalizando en un grafico se tiene:

1º-

2º-

3º-

tiempo

emplear#

4º-

2/

2/

campanadas& 2Cu#nto

2/

8 in"eraos Tie!po"o"a+D B F+F+

1º-

2º2/

2/

º-

4º-

3º2/

2/

6º-

2/

F in"eraos A - P!0<" - +H seg Emplear# +H segundos& F& 2Cu#l es el menor #ngulo que forman las manecillas del relo$ a las 0+ h F0 min&5

7

77

.

.

7; G 

. . .

.

7 

. . 

9

.

. . D

.

8 :

F

El horario adelanta al minutero 0+: F0 8 9 Q: F0 p&m& *or dato:

D Q )

 - F0 Se tiene:

6 = 30 ( L

11

M

6 = 30(9) L (32)  - 01HX 7 +1GX - Q.X *or lo tanto el menor #ngulo es Q.X

RO!LEMAS RO&ESTOS +& 6os campanas  y B empiezan tocando simult#neamente y cada una toca a intervalos iguales adem#s  da G campanadas en FP horas y B da G en +P horas& 2Cu#ntas horas transcurren hasta que vuelven a tocar simult#neamente5 " 00 B" 0. C" 0J 6" FG E" 0+


0& Un relo$ se adelanta FG minutos cada 0 horas y otro se atrasa FH minutos cada P horas& 26entro de cuantos d'as volver#n a marcar la misma hora5 " +H B" +P C" FH 6" + +W.

E" 0 +WF


F0F0

est# marcando adem#s este mismo relo$ da F campanadas en J segundos entonces 2 qu( hora exactamente terminar# el relo$ de anunciar las 0+ horas5 " 0+ h F0 s B" 00 h . s C" 0+ h 0J s 6" 00 h 0J s E" 0+ h +H s

F& Un relo$ se retrasa J minutos cada 0. horas& Si (ste marca la hora correcta 1 a&m& el 0 de mayo 2qu( hora marcar# a la + p&m& del 1 de Q& Kanina le pregunta la hora a Ra=l y (l mayo5 leresponde: ;*ara saber la hora debes " +0 h& +J min& B" ++ h& J min C" +0 h& .0 min& sumar la mitad del tiempo que falta para acavar el d'a con los 0WF del 6" +0 h& FJ min& tiempo que ha transcurrido desde que E" +0 h& +J min& se inicio<& 23u( hora es5 " 0:0. p&m& B" F:0H p&m& .& Son m#s de las 0 sin ser las F de C" .:FH p&m& 6" G:PF p&m& estamadrugada pero dentro de .H minutos E" 0:.H p&m& faltar#n para las . a&m& el mismo tiempo que transcurri% desde la + hasta hace .H +H& >a pasaron las F:HH p&m& pero minutos& 23u( hora es5 todav'ano son las .:HH p&m& de esta " F:.Ha&m& B" 0:FH a&m& tarde& Si hubieran pasado 0P minutos m#s faltar'a para las P:HH p&m& los C ".:PH a&m& 6" .: FH a&m& mismos minutos que pasaron desde las E" J:HH a&m& F:HH p&m& hasta hace +P minutos) 2qu( hora es5 " F:0. p&m& B" 0:0H p&m& P& Un relo$ indica la hora con tantas campanadas como el n=mero de horas C" .:FH p&m& 6" F:PP p&m& transcurridas hasta ese instante& Sabemos que para tocar tantas campanadas como el E" F:.H p&m& triple del tiempo que demor% entre campanada y campanada tard% 1H ++& Se construye un relo$ que tiene el segundos 2Cu#ntas campanadas dar# en horario m#s grande que el minutero .H segundos5 cuando una persona ve la hora " J B" Q C" +H 6" 1 E" G G& Se construye un relo$ que tiene el horariom#s grande que el minutero cuando una persona ve la hora anuncia: ;son las Q:0Q<& 23u( hora es en realidad5 " P:.J B" G:FH C" .:FJ 6" G:0J E" P:.H 1& Un relo$ se atrasa un cuarto de minutodurante la ma4ana y se adelanta un tercio de minuto durante la noche al cabo de cuantas noches como m'nimo habr# adelantado F minutos sabiendo que hoy al atardecer marc% la hora exacta& " +H B" 0H C" FG 6" FF E" GH J& Un relo$ anuncia las horas con un n=merode campanadas igual a las horas que

anuncia: ;Son las Q y 0Q<& 23u( hora es en realidad5 C" .: .J 6" P: " P: .P B" G: PH .J E" G: P0 +0& En un relo$ los minutos marcados

sonen valor num(rico equivalentes al #ngulo formado por el minutero y el horario adem#s son menos de las .& 23u( hora es5 C" 0: .H 6" 0: " F: 0P B" F: 0H FP E" +: PH +F& En una tarde soleada un poste de J

mde longitud proyecta una sombra

de G m de largo& 23u( hora es en ese preciso instante5

" 0: +. B" 0: +Q

6" 0: FH

C" 0: 0J E" 0: HP

Instituto de Educación Superior Tecnológico Público Pasco Docente CEPRETEC Lic. Raúl Malpartida Lovatón Conteo y

Tema : Trazado de)iguras MATEMÁTICO

Semana: $

CURSO :

RAZONAMIENTO

Ia imaginaci%n es una facultad maravillosa c. Con3eo po Inucción. Se utiliza en con la cual las matem#ticas han logrado casos donde la cantidad de figuras a niveles insospechados) as' la imaginaci%n contar sean grandes& $uega un papel importante como facultad Aambi(n consiste en analizar casos mental) porque nos permite relacionar el plano particulares para luego generalizar este real con el abstracto donde la concentraci%n y m(todo se utiliza con f%rmulas ya el uso adecuado del sentido de la vista son establecidas en algunos casos primordiales de esta manera te indicamos particulares& practicar cuidadosamente y leer las nociones ,ORM&LAS ARA CASOS previas antes de estudiar los m(todos de ARTIC&LARES conteo de figuras& /.1 CONTEO #E ,I&RAS

1. Se5men3os so4e un0 ec30

Aiene por ob$eto hallar la m#xima cantidad de geom(tricas !tri#ngulos cuadrados cuadril#teros #ngulos sectores 2. TiDn5ulos so4e un0 ec30 circulares c'rculos etc&" que se encuentran en una figura dada& MGTO#O #E CONTEO: 0. Con3eo 'isu0l #iec3o. Requiere de agudeza visual y sobre todo pr#ctica& E$emplo: cuantos tri#ngulos hay en la figura dada& $. Nmeo e Cu0ilD3eos: -P 4.

MH3oo NumHico. Consiste en poner d'gitos o s'mbolos a las figuras que nos interesa contar y luego se realiza el conteo ordenado de las figuras iniciando con un n=mero dos n=meros tres n=meros y sucesivamente& E$emplo: hallar el T de tri#ngulos en la siguiente figura: %. Nmeo e Dn5ulos:

figuras



n n( 1) 2

Resoluci%n :

enumeramos la figura dada&

00 c00 c0so l0 ómul0 seD (. Nmeo e Cu0ilD3eos:

/ de + T - + 0 F -F / de 0 T - +0 0F F. .+ / de F T - no existe / de . T - +0F. TOTAL

-. -H -+ = FFFF

Lcuadrilateros=

(n1) xm(m1) n 2 2

*. Nmeo e Cu00os

El n=mero de cuadrados estar# dado por la siguiente serie: L cuadrados=

    12

22

32

.......n 2

42

L cuadrados= (n1)(2n1)

n

6

Ejemplos: +& Dallar el n=mero total de segmentos en: E

S

D

;



I

+



Resolución: (todo pr#ctico 7.8

=mero de Segmentos -

= 28 2

0& Dallar el n=mero de cuadril#teros en Ia figura mostrada:

Resolución: 1

2

3

19

20

(todo practico =mero de cuadril#teros /.2 TRAZA#OS #E ,I&RAS

= 190

El ob$etivo es verificar si una figura se puede dibu$ar de un trazo continuo sin pasar dos veces por una misma l'nea para lo cual se debe considerar lo siguiente: #E,INICIONES RE'IAS 0; un3o p0. Ilamado tambi(n v(rtice n=mero par de l'neas rectas o curvas&

par

es

aquel donde concurren un

F.F.

4; un3o imp0. Ilamado tambi(n v(rtice impar es aquel donde concurren un n=mero impar de l'neas rectas o curvas& M(rtice impar !concurren F l'neas"

I

I

I M(rtice par !concurren . l'neas

Re5l0 1&7 Si en una gr#fica todos sus *untos son pares se puede 6ibu$ar de un solo trazo sin Ievantar el l#piz del papel !admite un recorrido euleriano" >

P Aodos los puntos son pares *ara dibu$ar la figura de un solo trazo debemos empezar en cualquier punto par y notaremos que al terminar de dibu$ar la figura llegaremos al punto inicial&



Re5l0 2.Aoda gr#fica admite un recorrido euleriano si presenta como m#ximo dos puntos impares) siempre y cuando se empiece de uno de los puntos impares y se termine en el otro&

II

0 puntos impares *ara dibu$ar la figura debemos empezar en uno de los puntos impares y al terminar llegaremos al otro punto impar& Re5l0 $. Si la figura presenta m#s de 0 puntos impares es imposible dibu$ar de un solo trazo& I

I

I

I

I I

Estas figuras nunca se podr#n dibu$ar de un solo trazo porque poseen m#s de 0 puntos impares&

+&

Calcule el n=mero total de cuadril#teros:

6" 0F .JP G&

" PH 6" PG 0&

B" PP

2Cu#ntos tri#ngulos hay en total5

C" GH

E" 1H

2Cu#ntos sectores circulares existen en lafigura mostrada5

r

" JH F&

E" F+ GJP

A)GF )7;9 6" +HH E" +HF 1& 2Cu#ntos tri#ngulo existen en la mostrada5

r

B" Q0 C" J0 6" QF

C)7;F figura

E" Q.

2Cu#ntos tri#ngulos existir#n en cuyo interior se encuentre por lo menos un as"eris5oW " +GQ 6" +P+

B" +PQ

C" +FJ

E" +G+

J&

" .H 6" .0 .&

B" FQ

2cu#ntos hex#gonos hay en la siguientefigura5 " .GP B" .HG C" .0+ 6" .FP E" F1J Q& 2Cu#ntos tri#ngulos que poseen al menos un asterisco se pueden contar en total en 6" .+ E" FQ

C" .+

E" .F

2Cu#ntos cuadril#teros hay en la siguientefigura5

+H& 6eterminar el n=mero total de pir#mides de base cuadrada que se pueden contar&



R!la4. Siunagurapresen"a IB pun"os i!pares(I),parai&ujarase repe"ir.5o!o!1ni!o+



PROL'MAPROP'TO " .J B" .0 C" P0 6" .G E" GH

asiguien"eguraW

X X B"X GH

2Cu#ntos segmentos hay en total en la figura ad$unta5 FPFP

+ " 0+ GJP

F

P &&&&&& QQ B" 0+1JP

C" 00 JJP

7;;

A  C /

I L  $1neas 

P&

: ?????? G

" 1H 6" .P

8; G  9

C" GP

? E"? PH ? ? ? ? ? ? ? X? ? ? ? ? ? ? ? ?

X

8;G9

X

:8

 7



++&2Cu#les de las siguientes figuras se pueden dibu$ar sin levantar el l#piz del papel ni pasar 0 veces por la misma l'nea5

A)79 6" +0

III I

B" LL y LLL E" S%lo LLL

C)7G

+G& Dallar el n=mero total de oct#gonos en: FH&&1 G P . F 0 + + 0 F . P G 1 &&FH

II

" S%lo L 6" todos

)7 E" +.

C" L y LLL

+0& Una persona debe recorrer todas las calles de la ciudad mostrada de una sola intenci%n pasando solo una vez por cada calle& 2*or cu#l de las cinco puertas saldr# al terminar5

E

/ A)8D; /)8G;

):8F E)8;

C):DF

C

A A)C

L

0 M03emD3ic0K e un moo 5ene0lK es un0men30lmen3e l0 cienci0 e l0s cos0s Bue son e7ien3es po s mism0s. ,ELIF QLEIN

 )A

C) FGFG

6" E

E" 6

+F& 2Cu#ntos rombos se cuentan en total en asiguien"eguraW

" FH

B" F0 C" FG 6" FP

E" FQ

+.&6eterminar la m#xima cantidad de tri#ngulos de la figura ad$unta:

A)8; /)89

)8F E)8

C)8D

+P& En la figura se muestran P cubos igualesagrupados sobre un p#tio& Si se desea pintar Ia parte exterior& Dallar el n=mero de caras que se deben pintar

Instituto de Educación Superior Tecnológico Público Pasco Docente Es la medida de la extensi%n de una superficie& Ia unidad de #rea del Sistema Lnternacional es el metro cuadrado con sus

CEPRETEC Lic. Raúl Malpartida Lovatón

Semana: Tema : Perímetros y*reas +omreadas 1% NOCIONES !ÁSICAS REION LANA Es una parte del plano limitado por una l'nea cerrada ya sea recta o curva

F1F1

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO CURSO :

m=ltiplos y subm=ltiplos& Aambi(n se puede AREA #E &NA REI"N LANA Es la medida de su extensi%n indicada por un n=mero real positivo acompa4ado de una unidad adecuada& 7u 7u A=7u

7u +u

+u

+u

?rea de la regi%n - G ! + u 0" - G u 0 ERIMETROS Es la medida del borde o contorno de una regi%n& Es decir es la suma de los lados de una figura geom(trica& 6onde: 0p - per'metro de una regi%n p semiper'metro de una regi%n

expresar por unidades cuadradas !

u2 "

ÁREA #E LAS REIONES OLIONALES. Ilamamos regi%n poligonal a la porci%n de plano limitado por un pol'gono& *odemos medir la extensi%n de una regi%n poligonal empleando el concepto de #rea& AREAS SOM!REA#AS& *ara solucionar problemas sobre #reas sombreadas es necesario conocer algunas formulas de #reas de algunas figuras para lo cual te presentamos una lista de figuras con sus respectivas f%rmulas para luego solo ponernos a aplicar dichas f%rmulas& CÁLC&LO #E ÁREAS: ÁREAS #E REIONES C&A#RAN&LARES

Áe0 el Cu00o

-I0

d2

*

A=

5!a*!lR!cn#l"

2

L 9

A=&?'

& 5!a*!lR"8+"

/ EL ÁREA

*



6 - 6iagonal mayor d diagonal menor



D x d A=

& 5 sena A= ? ? 

2 Áe0 el 00lelo50mo

Por6ue+ H =5 ? sena

a

c :

a

A + TRI5N;LO'<IL5T'RO

' b

'

 - b & h Áe0 el T0pecio

& M

-

' 8 A= 8

ROIE#A#ES IMORTANTES _

l trazar cualquier ceviana

_

l trazar una mediana

N

' 

M! = ediana

A= ( ,  -

A M! -= .

)

2 Áe0s e e5iones 3i0n5ul0es Áe0 el 3iDn5ulo _Con tres medianas _ l unir los puntos de un

< ,"RM&LA #E -ER"N

''

' &

&

& A=

&' ?

=*=k=% FJFJ

,"RM&LA TRIONOMGTRICA

tri#ngulo

A / + = 6

A/ + = 4



Áe0 el Cculo 6 Lon5i3u e l0 A =Cicuneenci0 2 p 

R !c"-ic#la %

FQFQ

?rea de un segmento circular

Áe0 el Cculo

jr 0&]

lreaeunseg!en"o5ir5uar

?rea / -

FGH /one+

Ta=!ci"-ic#la +

ROIE#A#ES IMORTANTES: opie0 el 40icen3o 9;. Lon5i3u e l0 Cicuneenci0

r - radio del  a - #ngulo central 2 2

pam( R r L ) /one+

360m

: *unto de intersecci%n de las medianas

R - radio del mayor r - radio del menor

En Cicuneenci0s se cumple Bue: ?rea de una curva circular ?rea de un sector circular GS - S BC

S-

+ A,C 6 Consecuenci0 e l0 popie0:

S BC S-



+0

&nión e en

los pun3os un cu0ilD3eo.

meios



+ S- A,CD 2

En un 30pecio&

4;

8is8a!a.

S7?S

S=

-"ns!c#!ncias. a) S=

S AC/ 

S=

S AC/ 

+ S- A,CD 5

L0s e5iones som4e00s S S3ienen l0 BC6

0H



En un p00lelo50mo.

4; S S- BC6

En un p00lelo50mo 0H a"

S S-

+

BC6

S- A,CD 20

.

En un cuadrado 0;

+

S S-

S- A,CD 5

BC6

+0 b"

.H.H

RO!LEMASRO&ESTOS Dalla el per'metro de la regi%n sombreada& Dalla el #rea de la regi%n sombreada&

+& 0&

A) 8 a  7 C) a  7 E) a D

) /)



:!

A)  ! ) 8 ! 7D!



a

F& 

a

6et ermi na el #rea

A) 78(8 pL ) )7(p 7) C) 7;(p L) /)77(p L7) E)7(p 7)

D

7

/) D: ! :!

E) : ! !

.&

sombreada&

C) 7D !

Enla figura que se muestra a continuaci%n BC es un cuadrante de radio igual a . cm& 6etermina el #rea de la superficie sombreada& " pW0



P&

B" p C" 0p 6" FpW0 E" .p Dallar el #rea de regi%n sombreada el lado del cuadrado OR mide .m&

M

D"

la si

E a" 0

J&

O

a0

Calcula el #rea de la regi%n sombreada: Si C= A =7D!?

A



" P!1H 7 +0p" B" 1!10 7 ++p" C" Q!1F 7 +Fp"

:

" 2p$2

D

B" 4p$2 C" 5p$

2

6" 3p$

2

/

6" G!1+ 7 +Hp" E" .!10 7 +Fp"

E" 6p$2

Q& Sea el / *3R equil#tero hallar el #rea sombreada&



A

C



.+.+

G&

4

Dallar el #rea de la regi%n sombreada: " " " " " " " +G !p 7 0"

4 4

B" J!p 7 ." 44

6" . !p 7 0" E" F !p 7 0

 R> 8

A

R

C

8;5!

"

75(p  3 3 )

B"

75(p 

8 8 4

C"

)

5(p - 3 3 ) ) 75(p

3

)

+H& Si BC6 es un cuadrado cuyo lado mide.u y CE6 es un tri#ngulo equil#tero calcular el #rea de la regi%n sombreada&

1& Dalla el #rea de la regi%n sombreada& F 0 A a" B a"0

P C a"

8;5!

P

- 3 3 ) E) 75(p  3

C" J!p 7 0"

+0

8;5!





C

B" !G , . 3 "u0 C" !G , 0 3 "u0 6" !J , . 3 "u0 E" !. , F 3 "u0 " !J , 0 3 "u0



6

Instituto de Educación Superior Tecnológico Público Pasco Docente CEPRETEC Lic. Raúl Malpartida Lovatón

Semana: Tema : Psicot"cnico MATEMÁTICO

RAZONAMIENTO

CURSO :

11 Ia creatividad est# relacionada con el ingenio& En esta parte usted& tendr# que descubrir relaciones en cuanto a n=meros letras o figuras utilizando su habilidad&

si una relaci%n y una tercera figura deber# guardar la misma relaci%n con otra&

11.1 SEC&ENCIAS RÁ,ICAS

M :N M es 0 N

Son secuencias de figuras que guardan entre ellas una ley de formaci%n& Ias figuras est#n relacionadas seg=n determinadas caracter'sticas) son iguales se complementan forman un todo etc& *ara solucionar los problemas se requiere de una habilidad perceptiva que permita encontrar una relaci%n coherente entre las figuras) por medio de cambio de posiciones !giros") aumento o disminuci%n de tama4o y partes) alternancia de #reas y sectores sombreados etc& 1. VuH i5u0 con3inu0W

A

-

D

'

Respuesta ;E< 2. VuH i5u0 con3inu0W

A

T :W T es 0 VW

como

.0.0

Ejemplo:

55

7

7

Es a

7

7

como

5 es a 5 Resolución: Ia cara !contorno" %valo horizontal se debe convertir en rect#ngulo vertical& Ias ore$as deben pasar de cuadrados a circulares. Ios o$os nariz y boca !formas interiores" se deben invertir& *or lo tanto la respuesta ser#:

W

W

W

Resolución:

R!s"l#ci$n% Respuesta: ;6<

::

-

D

'

11.2 ANALOAS RÁ,ICAS Se presentan dos primeras figuras que guardan entre

11.$ RAZONAMIENTO A!STRACTO Ia prueba de Razonamiento abstracto es una medida no verbal de la capacidad de raciocinio& Ios elementos de esta prueba consisten en una serie de figuras y diagramas que siguen una secuencia con base en una relaci%n discernible& El Razonamiento bstracto es importante en todas aquellas actividades donde se requieren entender los patrones de relaci%n que los ob$etos guardan entre s' como son la dimensi%n la forma la posici%n que ocupan en el espacio y sus atributos esenciales&



En estas situaciones siguientes se mostraran un con$unto de P s'mbolos en los cuales se deben identificar a uno de ellos que no comparte la misma caracter'stica de las dem#s o rompe cierta ley de formaci%n& Ejemplos. +& 23u( figura no corresponde al grupo5



A

C

/

E



B

C

6

E

Resolución: Se alteran las l'neas verticales oblicuas y horizontales& dem#s la figura cruzada que corresponde es un cuadril#tero luego la figura que falta es la C&

Resolución: l buscar una caracter'stica com=n RO!LEMAS RO&ESTOS encontramos que todas las figuras est#n divididas en F partes a excepci%n de la +& 23u( figura completa la relaci%n5 ;C< 0&& Se4ale la figura que no tiene relaci%n con los dem#s&



B

C

6

.F.F

E

Resolución: l girar la figura en sentido horario ! " o anti horario ! "todas podr'an tomar la posici%n de  a excepci%n de la B& F& 23u( s'mbolo no corresponde al grupo5



B

C

0& Dallar la cumpla anaog1a?

A

6

E

cuarta figura que la

D

+

++

+ W

Resolución: l partir verticalmente por la mitad a cada s'mbolo se obtiene un n=mero a excepci%n de la ;<

A



-

D

'

11.% #ISTRI!&CIONES RÁ,ICAS F& 23u( figura contin=a5 Se da un con$unto de figuras generalmente nueve distribuidas en tres bloques& Se analiza cada bloque y se extrae ley de formaci%n que nos permite hallar la figura faltante en el tercer bloque& Ejemplo:  B C 6 E Lndicar la figura que debe ocupar .& 2Cu#l de las figuras completa la sucesi%n el casillero vac'o& de la izquierda5

-



B

C

6

E

12.1 #einición e Es30s3ic0 Ia estad'stica es la ciencia que nos proporciona un con$unto de m(todos t(cnicas o procedimientos para: recopilar organizar presentar y analizar datos con el fin de describirlos o de realizar generalizaciones v#lidas& 12.2 Cl0siic0ción e l0 Es30s3ic0 12.2.1 Es30s3ic0 #escip3i70. Es aquella parte de la Estad'stica que describe y analiza una poblaci%n sin pretender sacar conclusiones de tipo general& Es decir las conclusiones obtenidas son validas s%lo para dicha poblaci%n& 12.2.2 Es30s3ic0 Ineenci0l. Es el con$unto de m(todos o t(cnicas que posibilitan la generalizaci%n o toma de las decisiones en base a una informaci%n parcial obtenida mediante t(cnicas descriptivas& Un estudio estad'stico se considera inferencial cuando se pretende inferir o predecir conclusiones que ata4en a toda la fuente de informaci%n de donde provienen los datos& 12.$ Nomencl03u0 Es30s3ic0 Existe un con$unto de t(rminos que se usan frecuentemente en la Estad'stica conviene precisar el significado de algunos de ellos: &ni0 e 0nDlisis. Es el ob$eto o elemento indivisible que ser# estudiado en una poblaci%n sobre la cual se va obtener datos& Ia unidad de an#lisis no es el fen%meno investigado sino el que genera el fen%meno y proporciona datos concretos& '0i04le. Es una caracter'stica que puede tomar diferentes valores& Ias variables son caracter'sticas observables susceptibles de adoptar distintos valores o ser expresadas en varias categor'as& #03o. Es el valor o respuesta que adquiere la variable en cada unidad de an#lisis& Es30s3ic0s. Se tomar# como sin%nimo de datos estad'sticos servir# para designar a toda colecci%n sistem#tica de

datos referentes a un determinado fen%meno& Es30s3ico. Es la persona que se dedica al estudio de la estad'stica es el profesional que analiza estad'sticas desarrolla m(todos y modelos estad'sticos y contribuye a

....

-

-

-

la evoluci%n de la ciencia estad'stica& Inom0ción. Es el resultado de los datos procesados de acuerdo a ciertos ob$etivos& o hay informaci%n sin datos& Inic0oes. Son elementos caracter'sticos que describen una situaci%n permitiendo su an#lisis& Ia validez y confiabilidad del indicador depende de la validez de los datos utilizados y de la l%gica de su relaci%n o construcci%n& Es3050o. Es cualquier funci%n de datos emp'ricos que se usan con fines descriptivos o anal'ticos) son medidas de resumen estad'stico de un con$unto de datos&

12.% o4l0ción 6 mues30. 12.%.1 o4l0ción. Se entiende por poblaci%n o universo un con$unto grande de elementos o unidades de investigaci%n de los cuales se estudia una o varias caracter'sticas comunes& Ejemplos: a" *lacas de los autom%viles que circulan en un pa's& b" El numero de estudiantes del Lnstituto de Educaci%n Superior Aecnol%gico *=blico *asco& c" Ias edades de los alumnos del sistema universitario peruano& a" o4l0ción ,ini30. Es cuando tiene un n=mero determinado de elementos es decir se conoce el tama4o de la poblaci%n& Ejemplos: - El n=mero de profesores de atem#tica de la provincia de *asco 0H++& - El n=mero de estudiantes del L&E& 6aniel lcides Carri%n&


b" o4l0ción Inini30. Es cuando est# constituido por un n=mero indeterminado de elementos& Ejemplos: - Ia cantidad de ni4os desnutridos& - otas de todos los alumnos del nivel secundario en el pasado y el presente& 12.%.2 Mues30. Es una parte o subcon$unto representativo de la poblaci%n& Cuya selecci%n se hace al azar& T0m0Xo e l0 Mues30. Es el n=mero de elementos que constituyen una muestra puede variar desde + hasta la totalidad de la poblaci%n& Ejemplo: Si una poblaci%n tiene G HHH habitantes y de ellos encuestamos a GHH decimos que tenemos una muestra cuyo tama4o es +H Z o un decimo de la poblaci%n& b&+ Mues30 0l 080 o 0le03oi0.Se denomina cuando todos los elementos o datos de la poblaci%n sometidos a muestreo tienen igual oportunidad de ser seleccionado& b&0 Mues30 ses500 o 7ici00.Una muestra es sesgada cuando los elementos de una poblaci%n sometida al muestreo han sido seleccionados mediante criterios sub$etivos&

12.( 0Dme3os 6 es3050os 12.(.1 0Dme3os. son medidas que describen num(ricamente una caracter'stica de la poblaci%n tales como: la media aritm(tica la varianza el coeficiente de variaci%n etc& Una poblaci%n puede tener varias caracter'sticas y por lo tanto varios par#metros& 12.(.2 Es3050os o es30s3ic0s.son medidas que describen num(ricamente una caracter'stica de la muestra) as' como los par#metros lo hacen en una poblaci%n igual los estad'grafos lo hacen para la muestra tales como: la media aritm(tica la varianza el coeficiente de variaci%n etc& 12.* '0i04les. Una variable es cualquier caracter'stica o propiedad de una poblaci%n o de una muestra susceptible de asumir distintos valores o modalidades& E$emplo: Edad sexo y


peso de los estudiantes del LESA**asco& Una misma caracter'stica puede generar constantes % variables depende del marco muestral& CONSTANTE: Si el registro de la caracter'stica toma un s%lo valor en todas las unidades elementales& Son muchos datos pero iguales& E$emplo: Sexo de las pacientes en el Servicio de Urolog'a .P.P

A'tulo profesional de los miembros del Colegio de Lngenieros del *er= Ias constantes no son inter(s en Estad'stica puesto que ella se ocupa del estudio de la variabilidad de los datos& MRLBIE: Si el registro de la caracter'stica toma diversos valores en las unidades elementales& E$emplo: Edad sexo y peso de los pacientes de una Cl'nica Una misma caracter'stica puede generar constantes % variables depende del marco muestral& 12.*.1 Se5n l0 n03u0le80 e l0 70i04le. 0; '0i04les cu0li303i70s o es30s3ic0s e 03i4u3os. Ias variables cualitativas son las que no permiten construir una serie num(rica definida) los atributos o caracter'sticas que toman son distintas modalidades observadas cualitativamente& Son variables cualitativas el color la profesi%n el estado civil lugar de nacimiento actividad econ%mica causas de accidentes etc& 4; '0i04les cu0n3i303i70sIas variables cuantitativas son aquellas que permiten una escala num(rica de medici%n toman distintos valores observados cuantitativamente mediante una medida y una escala de medidas& Son variables cuantitativas n=mero de hi$os por familia niveles de desempleo el peso el salario el n=mero de art'culos producidos en un mes&

Ias va vari ria abl ble es cua uan nti tita tati tiva vass pue ued den clasifica clas ificarse rse en cuan cuantitati titativas vas conti continuas nuas y cuanti cua ntitati tativas vas discret discretas& as& 41; Cu0 Cu0n3i n3i303 303i70 i70 con3in0. Cuan Cu ando do la va vari riab able le es su susc scep eptitibl ble e de medirse su valor se obtiene por medici%n

o co comp mpar arac aci% i%n n co con n un una a un unid idad ad o patr%n de medida& Se expresa por cualquier n=mero real& *or e$emplo #rea #r ea de pa parc rcel ela a pe peso so es esta tatu tura ra tiempo



de servicios horas traba$adas temperatura a" #03os e ni7el oin0l. Son aquellas etc& variables que implican orden entre sus categor'as est#n referidas a un orden 42; Cu0n3i303i70 isce30& de $er erar arq qu'a 'a do dond nde e la cat ate ego gor' r'a a Cuand ndo o el va vallor de la va vari ria abl ble e expres exp resa a una po posic sici%n i%n de ord orden& en& *or resulta de la operaci%n de contar su e$emplo grado de desnutrici%n grado valo va lorr es est# t# re repr pres esen enta tado do s% s%lo lo po por r de instrucci%n clases sociales grado n=mer n= meros os na natur turale ales& s& *or e$ e$emp emplo lo de merito etc& nume nu mero ro de hi hi$o $oss po porr fa fami mililia a el n=me mero ro de em emp ple lead ado os de una b" #03os e ni7el in3e70lo. Son empr em pres esa a el n= n=me mero ro de ar art'c t'cul ulos os aquellas que ponen a la vez orden o producidos el n=mero de grados de distancias iguales entre las accide acc idente ntess por d'a d'a pob poblac laci% i%n n por diversas categor'as pero no tiene un distrito etc& origen natural sino convencional tiene 12.*.1 Se5n l0 el0ción en3e 70i04les. un ce cero ro re rela latitivo vo qu que e no re repr pres esen enta ta a" '0i04les epenien3es. Son aquellas ;vacio< ;vaci o< o ;nin ;ningun guno< o< como como:: coef coeficie iciente nte que se explican por otras variables son de inteligencia temperatu turra de los efectos o resultados respecto a los puntua pun tuaci% ci%n n ob obten tenid ida a en un una a esc escala ala cual cu ales es ha hayy qu que e bu busc scar ar su mo motitivo vo determinada& causa o raz%n de ser& b" '0 0i0 i04l 4les es in ine epen penie ien3 n3es es.. So Son n la lass c" #03os e ni7el e 08ón. variab var iable less exp explilicat cativa ivass o pre predic dictiv tivas as Estas variables comprenden a la vez cuya asociaci%n relaci%n o influencia a todos los casos anteriores en la variable dependiente se pretende distinci dist inci%n %n orde orden n dista distancia ncia y orig origen en descubrir en la investigaci% investigaci%n& n& =nico natural) el valor se expresa con c" '0i04les in3e7inien3es o su n=mero real un cero absoluto& *or in3eeen3es. Son aquellas que e$emplo: coparticipan con la variable ccidentes de tr#nsito edad peso ind nde epe pend ndiien ente te con co ndi diccion ona ando el ingresos n=mero de hi$os etc& comportamiento de la variable 12.+ IN'ESTIACI"N ESTA ESTA#STICA #STICA dependiente& V&G ES IN V&G IN' 'EST STI IA ACI CI"N "NW W Es de descu scubri brir r 12.*.$ Se5n l0 esc0l0 e meición. resp re spue uesta stass a de dete term rmin inad adas as in inte terr rrog ogan ante tess Ios dato toss se pue ued den cl cla asi sifi fica carr de atrav( atr av(ss de la ap aplic licaci aci%n %n de pro proced cedimi imient entos os acuerdo con los niveles de medici%n& Ios cient'ficos& El punto de partida de la niveles de medici%n de los datos indican investigaci%n es la exigencia de un problema con frecuencia qu( c#lculos se pueden que qu e ha habr br# # qu que e de defifini nir r ex exam amin inar ar va valo lora rarr y realizar para resumir y presentar los datos analizar cr'ticamente para poder luego formular y qu( pr pru ueba bass esta tad' d'ssti tica cass pu pued ede en y entender su soluci%n& llevarse a cabo& Aambi(n podemos decir que ;la Day cuatro niveles de medici%n: nominal investigaci%n< es un proceso de ordinal de intervalo y de raz%n& El nivel de producci% prod ucci%n n de cono conocimi cimientos entos cien cient'fico t'ficos s medici%n k m#s ba$ok o m#s primitivo es el es un proceso sistem#tico a trav(s del nominal& El m#s alto o el que nos da m#s cual se recogen datos e informaci%n de la informaci%n acerca de la observaci%n es realidad ob$etiva para poder dar el nivel de medici%n de raz%n& respu res puest estas as a las inter interrog rogan antes tes que se 0; #03os e ni7el nomin0l. Son aquellas plantean) no hay investigaci%n grande o variables que establecen la distinci%n peque4a simplemente investigar e buscar de los respuestas para plantear soluciones& EA*S 6E I LMESALCL .G.G *laneamiento o preparaci%n& Recopilaci%n Recopilaci %n de los datos& elemen ele mentos tos en div divers ersas as cat categ egor' or'as as Organizaci%n Organizaci% n y presentaci% presentaci%n n de datos& n#lisis bas#ndose en uno o m#s atributos o e interpretaci%n de los datos& propiedades observadas sin implicar @ormulaci%n de conclusi%n y preparaci%n del alg=n orden entre ellas& informe& 6istribuye a la unidad de an#lisis en dos o m#s cat catego egor'a r'ass com como: o: sex sexo o esta es tado do ci civi vill pr pr#c #ctitica ca de de depo port rtes es 12. RECOLECCI"N #E #ATOS profesiones lugar de nacimiento etc&



Ia recopilaci%n o recolecci%n de datos es el momento en el cual el investigador se pon one e en co cont nta act cto o co con n los ob ob$e $eto toss o elemen ele mentos tos som someti etidos dos a est estudi udio o con el prop%sito de obtener los datos o respuestas de las variables consideradas&  partir de estos datos se prepara la info in form rmac aci% i%n n es esta tad' d'st stic ica a se ca calc lcul ulan an medidas de resumen e indicadores para el an#lisis estad'stico& 12..1LAS ,&ENTES #E #ATOS Ia fuente de datos es el lugar la instituci%n las personas o elementos donde est#n o poseen los datos que se necesitan para pa ra ca cada da un una a de la lass va vari riab able less o aspectos de la investigaci%n o estudio se dispone de cinco tipos de fuentes de datos& Ias oficinas de Estad'stica& rchivos o registros registros administrativos& administrativos& 6ocumentos& Encuestas y censos& Ios elementos o su$etos de una poblaci%n sometida a estudio& #E RECOLECCI"N #E 12..2 TGCNICAS #ATOS

Ias t(cnicas de recolecci%n de datos son diversas y depende de la naturaleza del ob$eto de estudio de las posibilidades de acceso o contacto con los elementos investigados del tama4o de la poblaci%n o muestra de los recursos y de la oportunidad de obtener los

- Ia ob obse serv rvac aci% i%n n es estru truct ctur urad ada a si sist stem em#t #tic ica a o regulada& 4; L0 3Hcnic0 #ocumen30l. Es un tipo de observaci%n que recopila o busca sus datos da tos en doc docume umento ntos s fue fuente ntess esc escrit ritas as o graficas de todo tipo& Entre los documentos se tienen: - 6ocumentos acad(micos& - ctas e informes& - 6ocumentos personales& - @otograf'as planos videos etc& c; L0 en3e7is30. Es una situaci%n de interrelaci%n o dialogo entre personas es una un a t(c t(cni nica ca don donde de un una a per person sona a lla llamad mada a entrevistador encuestador o empadronador solilici so cita ta al en entr trev evis ista tado do le pr prop opor orci cion ona a algunos datos o informaci%n& Ia entrevista tiene diversas modalidades como: - Ia entrevista asistem#tica o libre& - Entrevista estructurada& - Entrevista focalizada& - Entrevista simult#nea&

; El cues3ion0io. Es un instrumento consti con stitui tuido do po porr un con con$un $unto to de pre pregu gunta ntass sist si stem em#t #tic icam amen ente te el elab abor orad adas as qu que e se formulan al encuestado o entrevistado con el pr prop op%s %sitito o de ob obte tene nerr lo loss da dato toss de la lass vari va riab able less co cons nsid ider erad adas as en el es estu tudi dio& o& Ci3eios

.1.1

datos& Entre las t(cnicas m#s frecuentes se tiene: 0; O4se70ción. Es el proceso de investigaci%n es la acci%n de mirar con rigor en forma sistem#tica y profunda con el inter(s de descubrir la importancia de aquellos que se observa& Existen los siguientes tipos de observaci%n: Se5n el lu50 o Dm4i3o one se encuen30 los 03os: - Observaci%n documental& e5 n como se - Observaci%n de campo& Se5 el0cion0 el in7es3i50o con el o4je3o e es3uio& es3uio& - Ob Obse serv rvac aci% i%n n di dire rect cta a - Observaci%n indirecta& - Observaci%n no participante participante&& participante o activa& - Observaci%n Se5n los meios u3ili80osK se 3ienen: bser ervvac aci% i%n n no estr estru uctu tura rad da - Ia obs asis as iste tem# m#titica ca y libr libre& e&

p00 pep00 el cues3ion0io 6 el omul0io. a" Ob Ob$e $etiv tivos os de la in inve vest stig igac aci% i%n& n& b" Sis iste tema ma de va vari riab able less& c" Ca Cara ract cter' er'st stic icas as de dell in infor forma mant nte& e& d" Ai Aiem empo po di disp spon onib ible le pa para ra ef efec ectu tuar ar la recolecci%n& e" A( A(cn cnic icas as de re reco cole lecc cci% i%n& n& f"*rocedimiento de elaboraci%n& C00c3es3ic0s om0les el cues3ion0io 6 el omul0io a" b" c" d"

@orma @orm a y tama tama4o 4o del del for formul mular ario io&& Calida Cal idad d del del pap papel el del for formula mulario rio&& Aipo Ai po y col color or de la im impr pres esi% i%n& n& ,om m0s 0s 6 cl cl0se 0sess e Aipo de a rc rchivo& ,o

pe5un30s. a" b" c" d" e"

*re reg guntas ab abiertas& *reg *r egun unta tass cerr cerrad adas as dic dicot ot%m %mic icas as&& *reg *r egun unta tass cer cerra rada dass de de ele elecc cci% i%n n m=l m=ltitipl ple& e& *re reg guntas lit litera ralles& *re reg gunt ntas as co con n res respu pues esttas en grados de

intensidad&

e; L0 encues30. Es un una a t( t(cn cnic ica a de recolecci%n de datos donde se obtiene la informaci%n tal como se necesita preparada con ob$etividad estad'stico& Day . maneras de obtener los datos& a" Con una en entre trevis vista ta o dial dialogo ogo&& b" *o *orr empad empadro rona nami mien ento to&& c" *or co correo& d" *o *orr tel tel(f (fon ono o o fa fax& x&



12./ RELA #E RE#ON#EO 0; Cuando el n=mero que se quiere redondear le sigue una cifra mayor que P este tomar# el valor inmediato superior& .PJ  .G !redondear al entero" 0H.G  0HP !redondear a 0 decimales" 4; Cuando al n=mero que se quiere redondear le sigue una cifra menor que P se quedar# en el mismo valor& 1FF  1F !redondear al entero" +0P.  +0P !redondear a 0 decimales"

.J.J

c; Cuando al n=mero que se quiere redondear le sigue una cifra igual que P se tomar# dos criterios: + c1; Si l0 ci0 es p0K Bue sin 0l3e0. 0G&P  0G !redondear al entero" 0.QP  0.Q !redondear a 0 decimales" c2; Si l0 ci0 es imp0K p0s0 0l inmei03o supeio. 11P  1J !redondear al entero" 00+P  000 !redondear a 0 decimales" 12.1

C&A#ROS ESTA#STICOS El cuadro estad'stico es el arreglo ordenado de columnas y filas de datos estad'sticos y caracter'sticas relacionados con el ob$eto de ofrecer informaci%n estad'stica de f#cil lectura comparaci%n e interpretaci%n& Un cuadro estad'stico es el resultado de traba$os previos !planeamiento recopilaci%n tabulaci%n c#lculos etc" estos cuadros constituyen los llamados cuadros de an#lisis que se incluyen frecuentemente en el cuerpo de los estudios de las investigaciones o de los informes& 03es pincip0les e un cu0o es30s3ico a" =mero del cuadro& b" Aitulo& c" Concepto o encabezamiento& d" Cuerpo del cuadro& e" ota de pie o llamadas& f" @uente& g" ota de unidad de medida& h" Elaboraci%n&

12.11RA,ICAS ESTA#ISTICAS Un gr#fico es una representaci%n mediante figuras geom(tricas u otros elementos que proporcionan visualmente

un resumen de la informaci%n que interesa destacar& o hay una regla =nica b#sica mediante la cual se pueda construir una gr#fica efectiva e interesante& 03es pincip0les e un 5Dico es30s3ico& a" Aitulo& b" Escalas& c" @uente& d" Cuerpo o gr#fico en si& 0; #IARAMAS #E !ARRAS Ias modalidades si el car#cter es cualitativo& Iosvalores si la variable es no agrupada Sobre ellos se levantan barras o rect#ngulos de igual base !que no se solapen" cuya altura sea proporcional a sus frecuencias& Aambi(n se suelen utilizar para series cronol%gicas y pueden asimismo representarse horizontalmente intercambiando los e$es&



Realicemos los diagramas de barras asociados a 4; -ISTORAMAS #E ,REC&ENCIAS Se utiliza con variables agrupadas en intervalos representando en el e$e  los intervalos de clase y levantando rect#ngulos contiguos de base la longitud de los distintos intervalos y de altura tal que el #rea sea proporcional a las frecuencias representadas& Si son frecuencias acumuladas ser#n proporcionales a las alturas aunque los

ac#8#la*as

@!c#!nciasa+s"l#as

7F

: L7; 7;L7D 7DL L L8: 8:L:; :;L:D

7; F

7

F; @!c#!nciasa+s.

7 ;

77

: L7; 7;L7D 7DL L L8: 8:L:; :;L:D

:;

D

F

8

88

8;



; 7; ;

8 :;

In!?al"s

7

:

7;

In!?al"s

los e$emplos X + y X 0:

intervalos sean de distinta amplitud& En el e$emplo F hemos agrupado los datos intervalos& *or tanto

en .Q.Q

podemos realizar los histogramas utilizando las frecuencias absolutas y las frecuencias absolutas acumuladas& En este caso todos los intervalos son de la misma longitud por lo que la altura de cada rect#ngulo coincide con la frecuencia& Cuando se realizan representaciones correspondientes a edades de poblaci%n cambiamos el e$e > por el e$e  para obtener las llamadas piDmies e po4l0ción que no son m#s que 0 histogramas a izquierda y derecha para hombres y mu$eres& Meamos un e$emplo:



representa la marcha anual de las temperaturas y de las lluvias medias sobre un mismo sistema de coordenadas& Meamos un e$emplo: c; OLONOS #E ,REC&ENCIAS Son gr#ficos lineales que se utilizan en el caso de una variable cuantitativa& *ara realizar estos pol'gonos unimos los puntos medios de las bases superiores del diagrama de barras o del histograma seg=n la variable sea agrupada o no agrupada& Mamos a realizar los pol'gonos de frecuencia asociados a los e$emplos 0 y F&

PHPH

En el caso de representar las frecuencias acumuladas se unen los puntos medios de las bases superiores del diagrama de barras si la variable es no agrupada y los v(rtices superiores derechos de los rect#ngulos si se trata de una variable agrupada& ; #IARAMA #E SECTORESSon gr#ficos en los que a cada valor o modalidad se reasigna un sector circular de #rea proporcional a la frecuencia que representan& Se utilizan si el car#cter es cualitativo o cuantitativo discreto no agrupado Realicemos el diagrama de sectores del e$emplo +& ;#="s san#in!"s : :

::



A  O A

e; OTROS RÁ,ICOS Otras representaciones gr#ficas que nos podemos encontrar son an#logas al diagrama de barras en las que en lugar de levantar rect#ngulos se asocian a cada valor pir#mides cilindros etc& 12.12 ME#I#AS #E TEN#ENCIA CENTRAL Ias medidas de tendencia central son la media la mediana y la moda media geom(trica media arm%nica media cuadr#tica de los cuales las tres primeras son las mas importantes&

Un caso particular de aplicaci%n de los histogramas y los pol'gonos de frecuencias es el climograma que 12.12.1 L0 mei0. es la suma de los o decreciente el valor que divide en valores de los elementos dividida por

dos partes la muestra&

*ara calcular la mediana debemos



la cantidad de (stos& Es conocida tener en cuenta si la variable es tambi(n como promedio o media discreta o continua& aritm(tica& C#lculo de la mediana en el caso @%rmula de la media: discreto: n Aendremos en cuenta el tama4o de la edia

K x

i

muestra&

!=

*oblacional

n

i=1

el t(rminoSi N es Imp0K . ! hay un t(rmino central 1

ser# el valor

- sumatoria

2

- media

de la mediana& n - n=mero de elementos Si N es 0K hay dos t(rminos  - valores o datos centrales .

. ! ! ! 1 la

mediana Ejemplo: Calcule la media de los

2

2

ser# la media de esos dos valores siguientes n=meros: +0

Meamos un e$emplo& X par X impar +.G1JQ+0+G0H 0.0P01

7Sumar las cantidades: +H , ++ , +0 , +0 , +F - PJ 76ividir la suma por la cantidad 6e elementos: PJWP 7El resultado es la media: ++G

-+0

+H ++  +0  +.G1JQ+0+G0H0  +F .0P01FH -+F

A(rminos centrales A(rmino el GX y 1X Q y +0 Central el 1X  +0

*or lo tanto la media de los

Pe - +0 Me == 105 n=meros es ++G& ote que la media resulta un n=mero que est# entre el rango de elementos) en este caso CDlculo e l0 mei0n0 en el c0so ++G est# entre +H ++ +0 y +F& con3ino: edia aritm(tica para datos Si la variable es continua la tabla agrupados: vendr# en intervalos por lo que se Sean i 0 F & & & i las marcas de calcula de la siguiente forma: clase y n+ n0 nF & & & & ni os vamos a apoyar en un gr#fico de las recuencias absolutas& un acumuladas& histograma de frecuencias 6onde: n - n=mero de intervalos de clase n

n

K Knx f x ii

ii

. =nx1 11n x   2 2n2 nn x33 3... ...ni

= iK=1n ni = i=1n n i=1

n - n=mero de datos& Aambi(n se puede utilizar: n

. =K- xi i i=1

6onde: h+ h0 & & & h son las frecuencias relativas

nxi i



12.12.2 Mei0n0: Ia mediana es el valor central de la variable es creciente

P+P+

decir supuesta

la muestra ordenada en orden



6e donde la

mediana

vale: qn :

2 L ! iL1 

Me = Li  t

fMe ú/

6onde: Ii: l'mite inferior de la clase mediana : ancho de clase o amplitud del intervalo de la clase mediana& n: n=mero total de datos i 7+: @recuencia absoluta acumulada de la clase que precede a la clase mediana& fe: @recuencia absoluta de la clase mediana

Me#moslo por medio de un e$emplo& Supongamos los pesos de un grupo de PH personas se distribuyen de la siguiente forma:

12.12.$ L0 mo0. es el valor que se presenta el mayor n=mero de veces& Mo0 p00 03os no 05up0os: Ejemplo: Dalla la moda de: P  +0  Q  P  J  1  + Como la moda es el n=mero que m#s se repite la moda es P& Ejemplo: Dalla la moda de: +. +G +J +G +P +0 +. +. +G +J  0H  +G  +G El +. se repite F veces& El +J se repite 0 veces& El +G se repite P veces& *or lo tanto la moda es +G& Ejemplo: Dalla la moda de: 0F FP .P FF  .1 F+ 0Q  00 Como ning=n n=mero se repite no tiene moda& Mo0 p00 03os 05up0os: 6onde: Io - I'mite inferior de la clase modal

Mo = Li /o

d 1  d 2 Q

o - mplitud del intervalo de la clase modal d+ - 6iferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase anterior& d+ - no 7 nH 7 + d0 - 6iferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase siguiente& d0 - no 7 nH , + 12.1$ Mei0s e Loc0li80ción o cu0n3iles 1.1$.1 Cu03iles edida de localizaci%n que divide la poblaci%n o muestra en cuatro partes iguales& - 3+- Malor de la variable que de$a a la izquierda el 0PZ de la distribuci%n& - 30- Malor de la variable que de$a a la izquierda el PHZ de la distribuci%n& - 3F- Malor de la variable que de$a a la izquierda el 1PZ de la distribuci%n& l igual que ocurre con el c#lculo de la mediana el c#lculo de estos estad'sticos depende del tipo de variable& C0so I: Mariable cuantitativa discreta: En este caso tendremos que observar el tama4o de la muestra:  y para calcular 3 + o 3F procederemos como si tuvi(semos que calcular la mediana de la correspondiente mitad de la muestra& C0so II: Mariable cuantitativa contin=a: En este caso el c#lculo es m#s simple: sea la distribuci%n que sigue: Siendo el intervalo coloreado donde se encuentra el Cuartil correspondiente:

0 L1= iL1 qn ! L iL1ú/y 0 L3= iL1 q3n ! :4L iL1ú/ :4 t ! ! i L iL1 ú t ! ! i L iL1 ú 12.1$.2 #eciles& edida de localizaci%n que divide la poblaci%n o muestra en +H partes iguales o tiene mucho sentido calcularlas para de la distribuci%n& Lntervalo donde se encuentra el 6ecil correspondiente:

P0P0

En este caso lo hallamos por la siguiente f%rmula

 d 1 

variables cualitativas discretas& *or lo que lo vamos a ver s%lo para las variables continuas& d - 6ecil i7simo es aquel valor de la variable que de$a a su izquierda el i+H Z



( .

qi n. :10 L ! iL1 ú / ! i=12...9 t ! i L ! iL1 Di = LiL1  ú

A

= . , =15)

Si calculamos las medias de los dos grupos se observa que ambas son iguales y sin embargo las distribuciones de calificaciones en  y B son bien distintas tal y como se recoge en los gr#ficos + y 0&

12.1$.$ecen3iles: edida de localizaci%n que divide la poblaci%n o muestra en +HH partes iguales o tiene mucho sentido calcularlas para variables cualitativas discretas& *or lo que lo vamos a ver s%lo para las variables continuas& p - *ercentil 7simo es aquel valor de la variable que de$a a su izquierda el i Z de la distribuci%n& Lntervalo donde se encuentra el percentil correspondiente:

qi n. :100 L ! iL1 ú / ! i=12...99 t ! i L P i = LiL1  ! iL1 ú 12.1% ME#I#AS #E #ISERSI"N Ias medidas de tendencia central estudiadas ten'an como finalidad sistematizar la informaci%n contenida en un con$unto de datos& Sin embargo la utilizaci%n exclusiva de (stas medidas no es suficiente para resumir toda informaci%n presente en los datos como se pone de manifiesto en los e$emplos siguientes: EJEMLO 1& Ias calificaciones de estad'stica de dos grupos distintos de alumnos del mismo curso son: > deseamos estudiar que diferencias existen entre los resultados de los dos PFPF

grupos&

K x n 5

ii

. A = i=15 == 15

Kn

i

i=1

K x n 6

i

i

. , = i=16 == 15 i=1

Kn

i

En efecto en  la nota media es la m#s representativa ya que todos los valores est#n muy concentrados en torno a ella& *or el contrario en B la media aritm(tica puede ofrecer una imagen err%nea del grupo ya que es el resultado de promediar valores muy distantes& Este e$emplo sugiere la necesidad de acompa4ar a las medidas de tendencia central con otras que eval=en su representatividad y que se conocen con el nombre de medidas de dispersi%n a cuyo estudio vamos ha dedicar el presente tema& Ias medidas de dispersi%n eval=an en que medida la variable toma valores muy pr%ximos o por el contrario presenta valores muy distantes&



DM =

Ejemplo2. Kanina y Cristel discuten sobre sus promedios anuales en matem#ticas el cuadro siguiente muestra sus notas: +X 0X FX .X *ROE6LO Kanina +H

++

+F

+.

+0

Cristel

G

+1

+H

+0

+P

4

DM =

'ARIANZA 9Y2;: Es la media de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media aritm(tica&

Ias notas bimestrales se acercan o se ale$an del promedio y una forma de medir esto es empleando las medidas de dispersi%n estas son:

1

1

s2=i=1 L x 2 n #ES'IACI"N TIICA 9Y;: Es la ra'z cuadrada positiva de la varianza

C2 =

K . L . f i

x v100

para la poblaci%n: C2 = s

n

s para la muestra:

v100 !

Ejemplo:

6onde:

 continuaci%n se presentan las tarifas !en unidades monetarias" de dos laboratorios de an#lisis cl'nicos& El laboratorio L tiene sus tarifas en soles y el laboratorio LL en d%lares 2Cu#l de ellos tiene un plan tarifario m#s homog(neo o estable5& L04o03oio I 9soles; .H1HGH.JP0GPPJ

MM

.i L . -

s= +I+"N+

EL COE,ICIENTE #E 'ARIACI"N Es una medida relativa de variabilidad de los datos& *ermite comparar la variabilidad de dos o m#s con$untos de datos expresados en unidades diferentes !peso: g& y libras"& a" C#lculos a partir de datos no agrupados

datos no agrupados datos agrupados n MM n MM

DM = i=1 DM = i=1 n

i

1 K xi2

+H 7+0 - 0

i

i= 1

Una f%rmula equivalente a la anterior es:

#ES'IACI"N ME#IA 9#M;: Es la media aritm(tica de los valores absolutos de todas las desviaciones:

L .

s 2=

Es decir:

una desviaci%n: x xi L = +. 7+0 - 0 Kudith en el cuarto bimestre !.X B"

i

2

i= 1

#ES'IACI"N: Ia desviaci%n de un dato respecto a la media !o promedio" es la diferencia entre ese dato y la media& Expresa la ;separaci%n< o ;ale$amiento< respecto a la media& Iiz en el cuarto bimestre !.X B" tienen

K .

K( . . L ) n=Kn i

RANO O RECORRI#O: Es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una serie& El rango de las notas de Kanina es: +. / +H - . El rango de las notas de Cristel es: +1 / G - ++

tiene una desviaci%n xi L = x

=15

Malor absoluto

i - Observaci%n o dato . - media aritm(tica n - n=mero total de datos fi frecuencia absoluta ! s%lo para datos agrupados" Calculemos la 6 de las notas de Iiz: 10L  L  L  L 12 11

L04o03oio II 9ól0es; 1HFP+PH+.HJ0++H+.H+0H Calculamos la media y desviaci%n est#ndar por cada una de los laboratorios n

12 13 12 14 12

F:F:

=

K i

i=7

n

= 8G8= FD?7: 9 RAZONAMIENTOMATEMATICO


Si S0 tiende a 7F la distribuci%n es asim(trica a la izquierda o asimetr'a negativa& En distribuciones sim(tricas no existe sesgo es decir S+- H& En la pr#ctica el coeficiente de simetr'a de *earson var'a entre 7+ y ,+ n

C4 = S v 7;; 

S'

K (

n

K i

:9

x = i=1 n

= 8 =105.87

S=

=

n

K ( i L )

i=7

n L7

= 7789,  L7

40.30

C2 = C2 =

S

v100 x v100 = 3006

El Iaboratorio LL presenta una mayor variabilidad en el plan tarifario. ME#I#AS #E ASIMETRIA O SESO Coeicien3e e Asime30 Es un indicador del grado de asimetr'a que presenta una distribuci%n& Ias medidas de la asimetr'a al igual que la curtosis van a ser medidas de la forma de la distribuci%n es frecuente que los valores de una distribuci%n tiendan a ser similares a ambos lados de las medidas de centralizaci%n& Ia simetr'a es importante para saber si los valores de la variable se concentran en una determinada zona del recorrido de la variable& . MoL 3( . Md L )

A+ 1 =!

7FPJ1

FP

71HJ1

+P H +. H J0

..+F F.+F

+0JGGPG Q PH00PPG Q +Q.1.PG Q ++G.JPGQ

70FJ1

PGQ11GQ

L

++H

.+F

+1HPGQ

x

+. H +0 H

F.+F

++G.JPGQ

+.+F

+QQGPGQ

i

K(Oi L = x) 004

) 2

= 1 1 3 7 2 . 8 8 i = 1

A+ 2 =

+ + wL3 asimetría negativa A+ 1 = 1 x3 asimetría $ositiva Malores posibles Si S+ tiende a F la distribuci%n es asim(trica hacia la derecha o asimetr'a positiva&

(Oi L x)

1H

O

v100 =18.29 KO = 847

C2 =

Oi L xP

PPPP

2



RÁ,ICO #E ASIMETRA apuntalamiento de una distribuci%n es mayor que el de la distribuci%n normal& y HP

Coeicien3e e Cu3ósis "Calcular e interpretar la asimetr'a de la distribuci%n B" Calcular e interpretar la curtosis de la distribuci%n&

Es una medida del grado de

PGPG

apuntamiento generalmente comparada con el apuntalamiento de la distribuci%n normal&

*ara medir la asimetr'a se puede realizar atendiendo b#sicamente a dos criterios: - Comparando la edia y la oda& - Comparando los valores de la variable con la media& Comparando la edia y la oda:

Malores posibles a" Ieptoc=rtica !concentraci%n al centro": Si el grado de b" esoc=rtica !distribuidos sim(tricamente": Si el grado de apuntalamiento de una distribuci%n es igual que el de la distribuci%n normal&  y H0P

Si la diferencia x Mo L es positiva diremos que hay asimetr'a positiva o a la derecha en el caso de que sea negativa diremos que hay asimetr'a negativa o a la izquierda& o obstante esta medida es poco operativa al no ser una medida relativa ya que esta influida por la unidad en que se mida la variable por lo que se define el coeficiente de simetr'a como:

c" *latic=rtica !aplanada"&Si el grado de apuntalamiento de una distribuci%n es menor que el de la distribuci%n normal& H -   -H0P

xL Mo As

= s x Esta medida es muy f#cil de calcular pero menos precisa que el coeficiente de asimetr'a de *earson& El coeficiente de asimetr'a de *earson se basa en la comparaci%n con la media de todos los valores de la variable as' que es una medida que se basar# en las diferencias xi L x  como vimos en el caso de la dispersi%n si medimos la media de esas desviaciones ser'a nulas si las elevamos al cuadrado ser'an siempre positivas por lo que tampoco servir'an por lo tanto precisamos elevar esas diferencias al cubo&

05( P 075L P 025) 3 1 =

1u=

0

P L P 09

01

P L P 90

10

Como podemos observar el coeficiente de curtosis nos mide el grado de puntamiento de la distribuci%n& Este coeficiente lo vamos a denotar por Q y se calcula Ejemplo: Ia tabla muestra la edad !en a4os" de 1H pacientes atendidos en el servicio de emergencia de un hospital local& . F P G 1

G1 JP G 1 1

+J +P +G +1 +P

+P +P +P +G +1

++ +. +F +H G

F P 1 J +0

0. 0G 0+ 00 +1



0P +F 0 . P

+H +0 +P +G +1

+F +F +. 0H +.

+1 +F +. +G +1

edia aritmetica 6esviacion estandar ediana Cuartil + Cuartil F *ercentil QH *ercentil+H

. J +. +J 0H

+G Q Q +P +0

+.&01 ++&.0 +F&PH 1&HH +1&HH 0F&HH .&HH

A+ 2 = 1 u =

+P +1 +J 0H 0+

Ø

Ocupaci%n de los padres de familia de una Lnstituci%n EducativaVVV& Respuestas correctas en un examen de 0H preguntasVVVVVVVVV&

.& Encuentre la media mediana y moda en cada uno de los siguientes datos: " +H J G H J F 0 0 J H& B" + F F P P P 1 1 Q& P& En cada uno de los par(ntesis coloque verdadero !M" o falso !@" seg=n corresponda: Ia suma de todas las frecuencias absolutas es igual al tama4o de la muestra& ! "

= 0202 05(1700 L 700) = 0263 2300 L 400

RO!LEMAS RO&ESTOS +& Si en un an#lisis estad'stico se estudia a toda la poblaci%n entonces se realiza un: " uestreo B" Censo C" Cuestionario6" 6ise4o experimental E" 6ise4o de encuesta 0& Ia caracter'stica ;tiempo de servicios< puede clasificarse como: " Mariable cualitativa B" Mariable cuantitativa C" muestra 6" tributo E" Mariable cuantitativa discreta F& Ldentifique en cada enunciado el tipo de variable: Ø *orcenta$e de deserci%n escolar infantilVVVVVVVVVVVVV de los alumnos Ø Opini%n de LESA*7 *asco sobre sus autoridadesVVV&&

Ia ultima frecuencia absoluta es igual a +&

!"

Ia amplitud es el punto medio del intervalo que representa a una clase& ! " Ia suma total de las frecuencias bsolutas siempre es igual a +& ! " Ia suma de todas frecuencias relativas es igual al tama4o de la muestra& !" Ia marca de clase es siempre positiva&! " G& Ia definici%n: ;es el cociente de una frecuencia absoluta dada entre el tama4o de la muestra< corresponde a la: a" secuencia relativa b" @recuencia absoluta c" arca de clase d" @recuencia absoluta acumulada e" @recuencia relativa acumulada& 1& Si tenemos .0 datos y un rango de .P1 seg=n la regla de Sturges& 2Cu#ntos intervalos de clase se debe considerar5 " . B" P C" GP 6" 1 E" J

E

uc0 no es 0 c0e0 p00 7i7iK sino 3empl0 el 0lm0 p00 l0s iicul30es e l0 7i0. i3D5o0s IIQR+I+

IL?RR *RE6ES ois(s: ;Razonamiento atem#tico< rupo Editorial agabyte +ra edici%n 0HHG Iima RUBLNOS AORRES Iuis : ;Razonamiento atem#tico< Ediciones Rubi4os ueva edici%n 0H+0 Iima& *OMLS ME dolfo: ;Razonamiento atem#tico< Editorial oshera S&R&I& Fra edici%n 0H+0 Iima& C6EL 6UL : ;Razonamiento atem#tico< Iumbreras Editores Iima& ILRES CRRLIIO Iuis : ;Razonamiento atem#tico< Editorial ;lfa raf< S&& +ra edici%n 0HHF& LR6 URL artin : ;ptitud atem#tica< Editora ;ano< +ra edici%n 0HHP Iima COMENS 3ULCDE anuel : ;Razonamiento atem#tico< Editorial ;Cove4as<.ta edici%n 0HHF Iima&

razonamiento matematico

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