7 PROPORCIONALIDAD

TEORIA

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Proporcionalidad BASES TEORICAS CIENTIFICAS

Magnitudes Directamente

A

3

B

12 10 6

6

8

Proporcionales (A  b): AB

A B

= constante

1. Señalar la relación en la que M y N no son magnitudes proporcionales:

Gráficamente: B

2. Si A  B2, A 1/ C ; cuando A = 2; B = 2 y C = 8. Hallar “A”, si B = 5 y C = 50.

6

3. Se tiene la siguiente tabla de valores para las magnitudes “A” y “B”. A 144 36 324 9 4 B 3 6 2 12 18

3 1,5

4

A

4

B

3

5

5

8

4. La longitud de la huella que deja la llanta de un automóvil al frenar, es proporcional al cuadrado de la velocidad del automóvil. A una velocidad de 50 km/h un automóvil deja una huella de 6 metros de longitud. ¿A qué velocidad iba un carro que dejó una huella de 24 metros de longitud?

A

8 6

1,5

OBSERVACIONES: A

1°

A  B2



2°

A 1/ C

 A C

3°

A  B3   A 1/  C



= constante

B2

AC B3



= constante 5. Sabiendo que “a” es DP con el factorial de “b” e IP con el factorial de “c”. Si cuando a = 9; b = 19 y c = 17. Hallar “C”; si cuando a = 39; b = 39.

= constante

C

Magnitudes Inversamente Proporcionales (A 1/ b):

Gráficamente:

6. Si “A” es proporcional a la media aritmética y a la media armónica de 2 números. Si A = 8, cuando la media geométrica de dichos números es 4, hallar “A” cuando el producto de los números sea 30.

A 1/ B  A  B = constante B 12

7. Un diamante se parte en 3 pedazos, donde el primero pesa el doble del segundo y éste el triple del tercero. Sabiendo que el valor de todo el diamante es DP al cuadrado de su peso y que su precio original era S/. 10 000. ¿Cuánto se perdió después de partirse?

6

3

6

18

A

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Proporcionalidad 8. El peso de un oso polar es DP a la raíz cuadrada de sus años; sin un oso tuviera 80 kilos de peso, entonces su edad sería 8 años. ¿Cuál sería su peso, si su edad fuera 50 años? 9. Si la presión a la que está sometido un gas es IP al volumen que contiene. ¿Cuál es la presión inicial, si al aumentar está en 4 atmósferas; el volumen varía en un 20%? 10. Se sabe que la alegría de una fiesta juvenil es DP al N° de muchachas asistentes e IP al N° de madres que fueron así como también a la parte que del total de jóvenes, representa la diferencia entre muchachos y muchachas. Determina cómo varía la alegría de una fiesta, a la que asisten 15 muchachos y 12 muchachas. (3 de las cuales no fueron con sus respectivas madres); cuando 3 de las sacrificadas y venerables madres se queden vencidas por el sueño e igual N° de parejas salga a “refrescarse” al jardín. 11. Sean 4 ruedas dentadas: A; B; C y D poseen respectivamente: 5; 10; 20 y 25 dientes. Si “A” da por RPM. Hallar la suma de las RPM que dan entre B; C y D. A

B

C

D

12. Si “A” es DP a “B” y al cuadrado de “C” e IP a “D”. Si cuando A = 8; B = 5; C = 4 y D = 2. ¿Cuál será el valor de “B cuando: A = 2D y D = 4C?

14. El costo por unidad de un artículo es IP a las unidades producidas. Si para cierta producción la venta es de S/. 33 000 ganando el 10%, ¿cuál será el costo de cada artículo para una producción de 150 unidades? 15. Se tienen 2 magnitudes A y B que son inversamente proporcionales para valores de B menores o iguales a 30, pero A es directamente proporcional a B para valores mayores o iguales a 30. Si A = 6 cuando B = 20, ¿cuál será el valor de A cuando B = 60?

1. A es inversamente proporcional a la suma de B y C; además es directamente proporcional a C2. Si A = 12, C = 2 y B = 10, hallar B cuando A = 9 y C = 3. A) 33 B) 22 C) 21 D) 17 E) N.A. 2. Dos engranajes de 25 y 30 dientes están unidos. Cuando uno ha dado 50 vueltas más que el otro, ¿cuántas vueltas habrá dado el engranaje pequeño? A) 100 B) 500 C) 200 D) 400 E) 300 3. Las longitudes de circunferencia de 2 ruedas de un camión son 250 y 425 cm. ¿Qué distancia debe recorrer el camión para que una rueda dé 2 870 vueltas más que la otra? A) 17,425 m

B) 174,25 m 4.

13. Se sabe que el trabajo hecho por un hombre en una hora es proporcional a su pago por hora e IP a la raíz cuadrada del número de horas que trabaja por día. Si puede terminar un trabajo en 8 días, cuando trabaja 9 horas diarias a razón de 50 soles la hora, ¿cuántos días empleará para hacer el mismo trabajo, cuando trabaje 16 horas diarias a razón de 60 soles la hora?

C) 1742,5 m

E) N.A.

D) 17 425 m

Una rueda A de 90 dientes engrana con otra B de 60 dientes. Fija el eje de B hay otra rueda C, de 25 dientes, que engrana con una cuarta rueda D, de 45 dientes. Sabiendo que la rueda A da 110 RPM, ¿cuántas revoluciones dará la rueda D en 3 minutos?

A) 125

B) 175

C) 225

D) 250

E) 275

5. Se tienen dos magnitudes A y B que son inversamente proporcionales para valores de B menores o iguales a 30, pero A es directamente proporcional a B para valores mayores o iguales


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Proporcionalidad a 30. Si A = 6 cuando B = 20, ¿cuál será el valor de A cuando B = 60? A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 120 6. El volumen de un cono varía proporcionalmente al cuadrado del radio de su base cuando la altura es constante, y proporcionalmente a la altura cuando la base es constante. Si el radio de la base es 7 m y su altura 15 m, su volumen es 770 m3. Hallar la altura de un cono cuyo volumen es 132 m3 y cuya base tiene un radio de 3 m. A) 8 m C) 12 m E) 16 m B) 10 m D) 14 m 7. La figura muestra la gráfica de los valores que toman dos magnitudes “A” y “B”. Calcular “a + b”. A 8 a B B 12 18 36 a 8 b 12

A) 12

B) 14

18

C) 16

36

D) 18

E) 20

8. El valor de una joya depende de determinadas condiciones de proporcionalidad. Si para un peso de 13 g su valor es de 2 535 nuevos soles y si el peso fuera de 17 g su valor sería de 4 335 nuevos soles. ¿Cuál es el valor de la joya si su peso es de 25 g? A) S/. 7 500 C) S/. 8 725 E) S/. 8 725 B) S/. 9 375 D) S/. 7 225 9. Si una tubería de 36 cm de diámetro arroja un

A) 8E B) 4E

C) 16E D) No varía

E) 2E

11. El peso de un disco varía proporcionalmente a su espesor y al cuadrado de su radio. Dos discos cuyos espesores están en la relación de 9 a 2, además el primero pesa el doble del segundo, determinar la relación de sus radios. A) 1/4 B) 2/5 C) 5/3 D) 4/3 E) 2/3 12. Dos engranajes de 24 y 45 dientes están concatenados, cuando funcionan 4 minutos; uno ha dado 70 vueltas más que el otro. ¿Cuál es la velocidad del engranaje pequeño en RPM? A) 20 B) 22,5 C) 40 D) 37,5 E) 42,5 13. A y C son DP con B, que sucede con A cuando C aumenta en 1/2 de su valor y B disminuye en 1/4 de su valor. A) no varía. B) aumenta en su mitad. C) se duplica. D) se reduce a su mitad. E) se reduce a su cuarta parte. 14. Se sabe que la deformación de un resorte es DP a la fuerza que se le aplica. Si a un resorte de 80 cm de longitud se le aplica una fuerza de “N” newtons, su longitud aumenta en 25%. ¿Cuál será su longitud total, si se le aplica una fuerza de “2N” newtons? A) 100 B) 105 C) 120 D) 125 E) 150

caudal de 810  por minuto; hallar el diámetro de la tubería que arroja un caudal de 1 440  por minuto. A) 48 cm C) 32 cm E) 96 cm B) 40 cm D) 65 cm 10. “E” es DP al producto de “N  M” e IP al cuadrado de “C”. ¿Cuál será el nuevo valor de “C”, cuando “N” se cuadruplique, “M” se octuplique y “C” se duplique?

15. En un edificio el volumen de agua que se lleva a cierto piso es IP a Tn, donde “T” es el tiempo que se demora en llegar al piso “n”, si cuando se lleva 80 litros al segundo piso, la demora es de 4 segundos. ¿Cuántos segundos demorarán en llegar 5 litros al cuarto piso? A) 4 B) 2 C) 8 D) 12 E) 16


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Proporcionalidad 16. En un sistema de 5 ruedas dentadas: A; B; C; D y E; se conoce que A, B y C tienen eje común; además “B” engrana con “D” y este a su vez engrana con “E”. Si “A” da 10 RPM y “B” tiene 30 dientes. Hallar cuántos dientes tiene “E”, si da 20 RPM. A) 12 B) 10 C) 18 D) 24 E) 15

22. Si una tubería de 36 cm de diámetro arroja un caudal de 810 litros por minuto. Hallar el diámetro de la tubería que arroja un caudal de 1 440 litros por minuto. A) 48 cm C) 32 cm E) 96 cm B) 40 cm D) 64 cm

17. Si “A” es DP a “B” e IP a “C”; así como también “

23. Un contratista dice que puede terminar un tramo de autopista en “D” días, si se le proporciona cierta cantidad de máquinas: pero con A máquinas adicionales del mismo tipo, puede hacer el trabajo en “d” días (d < D). Suponiendo que el rendimiento de las máquinas es el mismo. ¿En cuántos días hará el trabajo con una sola máquina?

”. Si cuando A = 8, B = 6, C = 2 y D = 4. Hallar “D”, cuando A = 4, B = 3 y C = 8. A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/5 E) 1/6 D

18. “A” es IP a la suma de “B” y “C”; además es DP a “C2”; si cuando A = 12, C = 2 y B = 10. Hallar “B” cuando A = 9 y C = 3. A) 21 B) 36 C) 32 D) 27 E) 33

A) 19. En una empresa el sueldo de un empleado es proporcional al cuadrado de su N° años de servicio. Si un empleado tiene actualmente 15 años de servicio. ¿Dentro de cuántos años cuadruplicará su sueldo? A) 10 B) 12 C) 18 D) 16 E) 15

B)

Ad

C)

Dd ADd

D)

Dd

21. En un proceso de producción se descubre que dicha producción es DP al número de máquinas e IP a la raíz cuadrada de la antigüedad de ellas. Inicialmente habían 15 máquinas con 9 años de uso, si se consiguen 8 máquinas más con 4 años de uso cada una. Determinar la relación de lo producido actualmente con lo producido actualmente. A) 2/5 B) 7/5 C) 2/7 D) 4/7 E) N.A.

Dd

E)

Ad Dd



AD Ad

AD Dd

24. Si A es IP a B y cuando A = a; B = b y si A aumenta 1 unidad, B disminuye 1. Además se cumple que:

20. El valor de una joya depende de determinadas condiciones de proporcionalidad. Si para un peso de 13 gr su valor es de S/. 2 535 y si el peso fuera de 17 gr su valor sería de S/. 4 335. ¿Cuál es el valor de la joya si su peso es de 25 gr? A) S/. 7 500 C) S/. 8 725 E) S/. 11 875 B) S/. 9 378 D) S/. 7 225

ADd

A) 1

a 1 12b

B) 1/2

=

x 8



y 19

C) 2

. Hallar: x + y. D) 3/2

E) 3

25. Un padre dispuso en su testamento que la fortuna que dejara se repartiría entre sus dos hijos en partes DP a las edades de éstos e IP a los sueldos que disfrutan. Al morir el padre uno de ellos tenía 30 años y ganaba un sueldo de S/. 30 000 y el otro tenía 20 años y ganaba S/. 20 000. Les dejó una fortuna. ¿Qué parte de ella le tocó al mayor? A) La mitad D) La quinta parte B) La cuarta parte E) Los 5/6 de la fortuna C) La tercera


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Proporcionalidad 26. Tres personas se repartieron una suma de dinero en forma IP a los números

1 n2

; n y

1 n2

respectivamente. Al primero le correspondió S/. 1 200 y al tercero S/. 800. Dígase cuánto le correspondió al segundo. A) S/. 10 C) S/. 1 000 E) S/. 400 B) S/. 100 D) S/. 600 27. El precio de los pasajes es inversamente proporcional al número de pasajeros. Si el pasaje es de S/. 7 cuando viajan 30 pasajeros, ¿cuántos deben viajar para que el pasaje disminuya en S/. 2? A) Entre 40 y 50 D) Más de 60 B) Entre 50 y 60 E) Entre 30 y 40 C) Menos de 40 28. Si B es proporcional a A2 y C es IP a B . Cuando C aumenta en 8%, ¿en cuánto disminuye A? A) 7,41% C) 7,40% E) 7,42% B) 8,09% D) 7,71% 29. La resistencia eléctrica de un conductor es proporcional a su longitud L e inversamente proporcional al cuadrado de su diámetro D. ¿Qué sucede con la resistencia si L disminuye en su cuarta parte y D se hace la mitad? A) No varía D) Se triplica B) Se hace la mitad E) Disminuye C) Se duplica 30. El voltaje debido a una esfera conductora con una carga Q, en un punto fuera de la esfera y a una distancia d del centro de la esfera, es directamente proporcional a Q pero inversamente proporcional a d. ¿Qué sucede con el voltaje, si Q se duplica y d se hace la mitad? A) Se duplica D) Se cuadruplica B) Se hace la mitad E) N.A. C) No varía

31. La potencia disipada como calor de una resistencia es directamente proporcional al cuadrado de la tensión e inversamente proporcional al valor de la resistencia. Si cuando la tensión es 1 500 voltios y la resistencia 500 ohmios, la potencia vale 1 800 kcal/seg. ¿Cuánto vale la resistencia cuando la tensión es 3 000 voltios y la potencia 800 kcal/seg? A) 4 500 C) 1 200 E) N.A. B) 1 500 D) 600 32. Si A varía proporcionalmente al cuadrado de B, a D, e inversamente proporcional al cubo de C. Si A es 1/2 cuando B es 1/3, C es 2 y D es 3, hallar el valor de C cuando A sea el doble de D y B sea 6C. A) F.D. B) 6 C) 18 D) 12 E) N.A. 33. Si dos magnitudes son inversamente proporcionales, ¿es exacto afirmar que cuando una de ellas aumenta en su cuarta, quinta y sexta parte, la otra disminuye en su cuarta, quinta y sexta parte respectivamente?. A) Si C) No se sabe E) Depende B) No D) Hay veces 34. Si la fuerza de atracción entre 2 cuerpos es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas, ¿qué pasará si la distancia se triplica? A) La fuerza se triplica. B) La fuerza se divide entre 3. C) La fuerza se divide entre 9. D) No pasa nada. E) Ninguna de las anteriores 35. Suponiendo que el costo de los terrenos es directamente proporcional a su área e inversamente proporcional a la distancia que lo separa de Lima, se conoce que un terreno de forma cuadrada ubicado a 28 Km al sur de Lima está valorizado en $ 60 000. ¿Qué precio tendrá


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Proporcionalidad un terreno de forma cuadrada cuyo perímetro sea los 3/4 del anterior y está ubicado a 7 Km de Lima? A) 270 000 C) 45 000 E) N.A. B) 135 000 D) 90 000 36. En cierta empresa el sueldo es directamente proporcional a los años de servicio, al cubo del nivel de conocimientos e inversamente proporcional al cuadrado de la categoría. - Alfonso, empleado de segunda categoría, con 12 años de servicio y un nivel de conocimientos como 4 tiene un sueldo de 288 000 pesos. - Diego tiene un nivel de conocimientos como 3, es empleado de tercera categoría y gana 40 500 pesos. ¿Cuántos años después de Alfonso ingresó a trabajar Diego? A) 2 B) 3 C) 6 D) 5 E) N.A. 37. Un tendero hurta en el peso empleando una balanza de brazos desiguales que miden 22 cm y 20 cm. Una mujer compra 4,4 Kg de azúcar y el tendero pone las pesas sobre el platillo correspondiente al brazo menor de la balanza. La mujer compra otros 4,4 Kg del mismo artículo y obliga al comerciante a poner las pesas en el otro platillo. En los 8,8 Kg, ¿cuánto dio de más o de menos el tendero? A) 40 gr. más D) 30 gr. menos B) 30 gr. más E) No dio más ni menos C) 40 gr. menos

39. El precio de los diamantes varía proporcionalmente al cuadrado de su peso. Si un diamante que se compró en S/. 3 600 se rompe en los pedazos, de los cuales uno es los 2/3 del otro. ¿Cuál sería la pérdida sufrida al romperse el diamante? A) 1 200 C) 1 728 E) N.A. B) 576 D) 1 296 40. La polución ambiental depende proporcionalmente del número de fábricas, de la superficie de áreas verdes y de la cantidad de vehículos que transitan en promedio por determinada zona. ¿Cómo es la polución ambiental de la zona B con respecto a la zona A si tiene un 30% más de fábricas, 20% más de superficie de áreas verdes y 25% menos cantidad de vehículos que transitan? A) 25% mayor D) 18,75% menor B) 17% mayor E) N.A. C) 15% menor

38. Se ha descubierto que el trabajo hecho por un hombre en una hora varía en razón de su salario por hora e inversamente a la raíz cuadrada del número de horas que trabaja por día. Si puede acabar un artículo en 6 días cuando trabaja 9 horas diarias a S/. 30 por hora. ¿Cuántos días tardará en terminar el mismo artículo cuando trabaja 16 horas diarias a S/. 45 por hora? A) 9 B) 6 C) 3 D) 8 E) N.A.


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