Lógica matemática-Proporcionalidad 𝑎 𝑐 𝑎−𝑐 − = 𝑏 𝑏 𝑏
1. PROPORCIONALIDAD1 La proporcionalidad es una relación razón constante entre magnitudes medibles.
o
(𝑒𝑐. 5)
Las fracciones tienen diferente denominador, en este caso se opera así:
1.1 Fracciones2 Fracción da nombre a un proceso basado en dividir algo en partes. La fracción es una expresión que marca una división. Por ejemplo: 3/4, que se lee como tres cuartos, señala tres partes sobre cuatro totales, y también se puede expresar como el 75%. Propiedades de las fracciones
Fracciones Equivalentes 𝑎 𝑐 = 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑎 ∗ 𝑑 = 𝑐 ∗ 𝑑 𝑏 𝑑
Regla de signos −𝑎 𝑎 𝑎 = =− 𝑏 −𝑏 𝑏
(𝑒𝑐. 1)
(𝑒𝑐. 2)
(𝑒𝑐. 3)
Las fracciones como cualquier otro conjunto de números pueden ser operados como se muestra a continuación: Suma y resta de fracciones Cuando se suman o restan fracciones se pueden presentar los siguientes casos: Las fracciones tienen el mismo denominador, en este caso se deja el mismo denominador y se suman o restan, según sea el caso, los numeradores de cada fracción. 𝑎 𝑐 𝑎+𝑐 + = 𝑏 𝑏 𝑏
2
https://es.wikipedia.org/wiki/Proporcionalidad http://definicion.de/fraccion/
(𝑒𝑐. 6)
(𝑒𝑐. 7)
Finalmente cabe destacar que, en cualquiera de los dos casos anteriores, después de realizar la operación se puede simplificar la fracción cuando sea posible. Multiplicación y división de fracciones Cuando se quiere multiplicar dos fracciones, lo que se hace es, multiplicar los numeradores, multiplicar los denominadores y luego simplificar la fracción si es posible. 𝑎 𝑐 𝑎∗𝑐 ∗ = 𝑏 𝑑 𝑏∗𝑑
Operaciones con fracciones
1
(𝑎 ∗ 𝑑 ) − (𝑏 ∗ 𝑐 ) 𝑎 𝑐 − = 𝑏 𝑑 𝑏∗𝑑
Cancelativa o simplificación 𝑎∗𝑐 𝑎 = 𝑏∗𝑐 𝑏
(𝑎 ∗ 𝑑 ) + (𝑏 ∗ 𝑐) 𝑎 𝑐 + = 𝑏 𝑑 𝑏∗𝑑
(𝑒𝑐. 8)
Cuando se quiere dividir dos fracciones, lo que se hace es, multiplicar el numerador de la fracción que está en el numerador de la división con el denominador de la fracción que está en el denominador de la división, luego se multiplica el denominador de la fracción que se encuentra en el numerador de la división con el numerador de la fracción que se encuentra en el denominador de la división, tal como se muestra a continuación: 𝑎⁄ 𝑏 𝑎∗𝑑 𝑐⁄ = 𝑏 ∗ 𝑐 𝑑
(𝑒𝑐. 9)
Finalmente se simplifica la fracción cuando sea posible. Ejemplos:
Comprobar si las fracciones 1⁄3 y 5⁄15 son equivalentes.
(𝑒𝑐. 4) Para saber si las dos fracciones son equivalentes realizamos la siguiente operación: (1*15) = (3*5)
Lógica matemática-Proporcionalidad
15 = 15 Vemos que la igualdad se cumple por lo tanto se concluye que las dos fracciones son equivalentes.
Sumar las fracciones 1⁄2 y 2⁄5. 1 2 (1 ∗ 5) + (2 ∗ 2) 5 + 4 9 + = = = 2 5 5∗2 10 10
Multiplicar las fracciones 2⁄7 𝑦 8⁄3. 2 8 2∗8 16 ∗ = = 7 3 7∗3 21
Realizar la división de 7⁄15 entre 4⁄3. 7⁄ 15 = 7 ∗ 3 = 21 4⁄ 4 ∗ 15 60 3
una relación de linealidad (proporcionalidad) entre los valores involucrados. 1.3.1
En la regla de tres directa las cantidades que intervienen en el problema son directamente proporcionales. 1.3.2
1.3.3
Ejemplos:
(𝑒𝑐. 10)
Proporcionalidad directa
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una, aumenta la otra en la misma proporción.
1.3 Regla de tres3 La regla de tres es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres o más valores conocidos y una incógnita. En ella se establece
3
2 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_tres
→ 18 𝑇𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠
3 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 →
Proporcionalidad inversa
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, disminuye la otra en la misma proporción.
Una empresa de transporte cuenta con 2 camiones que pueden transportar una carga total de 18 toneladas. Si la empresa decide adquirir un nuevo camión ¿Cuál será la nueva capacidad total de carga? Para empezar a resolver este ejercicio, debemos analizar que el número de camiones tiene una relación directa con la capacidad total de carga, es decir, a mayor número de camiones, mayor capacidad total de carga y viceversa. Por lo tanto, vamos a plantear una regla de tres directa como se detalla a continuación:
Una proporción es una igualdad entre dos razones
1.2.2
Regla de tres compuesta
La regla de tres compuesta involucra varias relaciones de proporcionalidad que pueden ser directas o inversas.
1.2 Proporción
1.2.1
Regla de tres inversa
En la regla de tres inversa las cantidades que intervienen en el problema son inversamente proporcionales
Finalmente, si sacamos la tercera parte al numerador y al denominador de la fracción, la repuesta es 7⁄20.
𝑎 𝑐 = 𝑏 𝑑
Regla de tres directa
𝑥=
𝑥
3 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 ∗ 18 𝑇𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 = 27 𝑇𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 2 𝐶𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
Una empresa de alimentos necesita transportar al día una carga total de 24 toneladas hasta una bodega, para ello dispone de 3 camiones que demoran exactamente 8 horas en llevar la carga total hasta la bodega. Sí la empresa decide adquirir dos camiones adicionales ¿Cuál será el tiempo que demorarán los camiones
Lógica matemática-Proporcionalidad en entregar la carga total diaria a la bodega? En este caso, se puede detallar que el número de camiones y el tiempo que demoran en entregar la carga, tiene una relación inversa, es decir a mayor número de camiones, menor será el tiempo de entrega. Para esto vamos a plantear una regla de tres inversa de la siguiente manera: 3 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
→ 8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
4 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 →
𝑋=
Ejercicios5
𝑥
8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 ∗ 3 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 24 = ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 6 ℎ𝑜𝑟𝑎 4 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 4
1.4 Porcentajes4 El porcentaje es un número asociado a una razón, que representa una cantidad dada como una fracción en 100 partes. También se le llama comúnmente tanto por ciento, donde por ciento significa «de cada cien unidades». El porcentaje se denota utilizando el símbolo. Ejemplo:
Un empleado gana 500000 COP al mes, sin embargo, de su sueldo se le descuenta el 8% para pagar su seguro de salud ¿A cuantos pesos equivale dicho porcentaje? Para resolver este ejercicio es necesario plantear una regla de tres directa de la siguiente manera:
100 % 8% 𝑥=
→ 500000 𝐶𝑂𝑃 →
𝑥
8 % ∗ 500000 𝐶𝑂𝑃 = 40000 𝐶𝑂𝑃 100 %
Hace unos años Luis tenía 20 años, que representan los 2/3 de su edad actual. ¿Qué edad tiene Pedro? De una pieza de tela de 52 m se cortan 3/4. ¿Cuántos metros mide el trozo restante? Una moto cuyo precio era de 3.600.000 COP, cuesta en la actualidad 4.100.000 COP más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento? Al adquirir un carro cuyo precio es de 35.000.000 COP, nos hacen un descuento del 12%. ¿Cuánto hay que pagar por el carro? Se vende un artículo perdiendo el 16% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150.000COP. De los 1200 estudiantes de un colegio, han salido de viaje 900. ¿Qué porcentaje de estudiantes ha salido de viaje? Si 4 cuadernos cuestan 16000, ¿Cuánto costarán 3 docenas de cuadernos? Los 2/5 de capacidad de un tanque de agua son 1500 litros. ¿Cuál será la capacidad de los 3/5 del mismo tanque de agua? 7 personas pueden hacer una obra en 5 días. ¿Cuántas personas más harían falta para hacer la obra en un día? Un panadero hornea 1000 panes trabajando 8 horas. Al día siguiente su ayudante trabaja con él al mismo ritmo, pero sólo durante 6 horas. ¿El número de panes que hornean es? Mario que debe 3.000.000 COP conviene con sus acreedores en pagar 0.60 por cada COP. ¿Cuánto tiene que pagar? Dos números están en relación de 5 a 3. Si el mayor es 755 ¿Cuál es el menor? Un carpintero compra 220 palos de cedro con la condición de recibir 12 por cada 11 que compre, ¿Cuántos palos debe recibir? En una tienda en la que todo está rebajado el 25% he comprado un pantalón por el que he pagado 102.000 COP. ¿Cuál era el precio antes de la rebaja?
Como se puede ver al empleado se le descuentan 4.000 COP de su sueldo para pagar su seguro de salud.
4
http://www.ematematicas.net/
5
https://matematicasiesoja.files.wordpress.com/
Lógica matemática-Proporcionalidad Desafíos6 1. En el momento en que a un tanque le falta llenar el 25 % de su capacidad contiene 1200 litros de agua más que cuando estaba lleno al 25 % de su capacidad. La capacidad total del estanque, en litros es: a. b. c. d.
TABLA No1
1 4
3600 3800 2400 4200
3. En unas elecciones JAL uno de los candidatos obtuvo el 55 % de los votos y sacó 1200 votos más que el otro candidato. Entonces el número de votos fue: 13000 12000 13500 14500
?
7. Gustavo compró un Smartphone y le dieron el 20% de descuento sobre el precio inicial. Él desea venderlo por el precio inicial que le dieron. El porcentaje en el que debe incrementar el precio al que lo compró para alcanzar dicho valor es de:
64/10 54/10 74/10 84/10
a. b. c. d.
5. Camila desea llenar la tabla No 1 con los números del 1 al 5, de tal forma que ninguna fila, columna o diagonal de cinco cuadros use el mismo número más de una vez. ¿Cuál número debe colocar en el signo de interrogación?
Ejercicios tomados y modificados del semillero de matemática de ciencias exactas de la Universidad de Antioquia y de exámenes de admisión anteriores.
5
a. 20 b. 24 c. 26 d. 21 e. 22
4. En un terreno varios hombres realizaron una obra en 8 días. En otro terreno existe una relación en dificultad con respecto al anterior de 4 a 5. ¿Cuántos días llevará realizar la misma obra en el nuevo terreno?
6
4
6. Había 60 pájaros distribuidos en tres árboles. En cierto momento, 6 pájaros se fueron del primer árbol, 8 pájaros se fueron del segundo árbol y 4 pájaros se fueron del tercer árbol. Luego de esto, quedó el mismo número de pájaros en cada uno de los tres árboles. ¿Cuántos pájaros había inicialmente en el segundo árbol?7
a. 10800 b. 11200 c. 12600 d. 11600
a. b. c. d.
3 1 4 2 5
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4
2. Si el 20 % de un número n es igual al 60 % de 3600, entonces el valor de n es:
a. b. c. d.
2
15 % 20 % 25 % 30 %
8. En una óptica realizan una promoción, unas gafas tuvieron un descuento inicial del 20% y posteriormente sobre este último precio un descuento adicional del 25%. Si al finalizar la promoción el precio de las gafas aumentó en un 50% del precio que tenía después del último descuento entonces, con respecto al precio inicial que tenían antes de la
7
http://ciencias.udea.edu.co
Lógica matemática-Proporcionalidad promoción y de este último precio se puede concluir que: a. Se aumentó en un 10 % b. Se aumentó en un 5 % c. Se disminuyó en un 10 % d. Se disminuyó en un 5 % 9. Un campesino tiene un cultivo de lulo, y vende el lulo a un intermediario quien lo vende en la central de abastos. El intermediario y la central de abastos venden el lulo con un 10 % más del valor al que lo compraron. El porcentaje en el que se incrementa el valor del lulo, cuando es comprado por un cliente de la central de abastos, respecto al precio del campesino es: a. 25 % c. 30 %
b. 20 % d. 21 %
10. En un preuniversitario se sabe que 7/12 de los estudiantes desean presentarse a ingenierías, 1/3 se desea presentar a licenciaturas y 1/8 quiere ambas carreras. Si el restante son 15 estudiantes, y aún no deciden a que carrera presentarse, el número total de estudiantes es: a. 63 c. 90
b. 72 d. 84
11. En una empresa de marketing el 70% de las empleadas ahorra para viajar a fin de año y el 40% de los empleados también. Si el total de empleados ahorradores es el 50%, podemos afirmar que: a. b. c. d.
Las mujeres son el doble de los hombres Las mujeres son el triple de los hombres Los hombres son el doble de las mujeres Los hombres son menos que las mujeres
12. María Camila compra una bufanda y deberían haberle hecho el 20% de descuento, y a Luisa debieron haberle hecho el 10 % de descuento por la compra de un cinturón. Por equivocación realizan el descuento al revés, por lo cual Luisa paga $ 5 dólares menos y María Camila $ 2 dólares más. ¿Qué cantidad de dinero pagaron María Camila y Luisa?
a. b. c. d.
$ 72 dólares $ 60 dólares $ 58 dólares $ 70 dólares
13. Carlos compra un televisor LCD en X pesos colombianos ¿Por cuánto debe vender el televisor si el quiere ganar i % del precio de venta? a. b. c. d. e.
100X/(100+i) COP 100Xi/(100-i) COP 100X/(100-i) COP X(100-i) /100 COP X(100+i) /100 COP
14. Juan Camilo gasta el 40 % del dinero que tiene, realiza un negocio en el cual gana el 38 % de lo que le quedó, por lo que perdió 5160 COP. ¿Con cuánto dinero quedó Juan Camilo? a. b. c. d.
31.000 COP 32.000 COP 25.000 COP 28.000 COP
15. En una fábrica de calzado el 25 % de los empleados son mujeres; sabiendo que el total de empleados es de 3600 ¿Cuantos hombres deben salir para aumentar en un 15 % el porcentaje de mujeres? a. 1800 b. 1250 c. 1350 d. 1530 e. 900
