PROPORCIONALIDAD Para comprender el concepto de proporcionalidad, di recta o inversa, debemos comenzar por comprender el concepto de razón.
Razón y proporción numérica Razón entre dos números La Razón entre dos números nos estaremos refiriendo al cociente cociente entre ellos. Entonces: Razón entre dos números a y b es el cociente entre
Por ejemplo la razón entre !" y # es $ ya %ue
& la razón entre los números "!$ y "' es
PROPI(DAD() D( LA) RA*ON() +(O,-.RICA) Propiedad ! : si el antecedente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón ueda multiplicada o dividida por el mismo número. E!emplo: sea la razón "#$% & ' "# ( ) & #' & * % %
"# : ' & % & " % %
Propied Pro piedad ad # : +i el consecuente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón ueda dividida o multiplicada por el mismo número E!emplo: +ea la razón )*$ & # )* & )* & ' (' "-
)* & )* & "' :) )
Propied Pro piedad ad ' : +i ambos términos de una razón geométrica se multiplican o dividen por un mismo número, la razón no altera. E!emplo: sea la razón "- & ) * "- ( # & %' & ) * ( # '#
"- : ' & & ) *:' )
PROPORCI/N N0,-RICA /ora, cuando se nos presentan presentan dos razones para ser comparadas comparadas entre s0, para ver cómo cómo se comportan entre ellas, ellas, estaremos /ablando de una proporción numérica. Entonces: Los números a b c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma ue entre c y d. Es decir +e lee 1a es a b como c es a d1
Los números #, "2 y "', )2 forman una proporción, ya ue la razón entre # y "2 es la misma ue la razón entre "' y )2.
# & "' "2 )2
Es decir
3ay cuatro términos4 a y d se llaman e2tremos, c y b se llaman medios3
En la proporción
La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción el producto de los e2tremos es i4ual al
de los medios3
s0, en la proporción anterior
# & "' "2 )2
+e cumple ue el producto de los e(tremos nos da # ( )2 & "'2 y el producto de los medios nos da "2 ( "' & "'2
5isto lo anterior, podemos decir ue: Las dos magnitudes pueden subir o ba!ar 6aumentar o disminuir7 o bien si una de las magnitudes sube la otra ba!o y viceversa. ".
+i ocurre, como en el primer caso, ue las dos magnitudes ue se comparan o relacionan pueden subir o ba!ar en igual cantidad, /ablaremos de magnitudes directamente proporcionales. +i ocurre como en el segundo caso, en ue si una magnitud sube la otra ba!a en la misma cantidad, /ablaremos de 8agnitudes inversamente proporcionales.
'.
,A+NI.0D() DIR(C.A,(N.( PROPORCIONAL() +i la primera magnitud se le dobla, triplica99. una cantidad y la segunda magnitud también se dobla, triplica99 la otra cantidad, entonces se dice la son magnitudes directamente proporcionales.
(jemplo 0n saco de camotes pesa 5" 643 7Cu8nto pesan ' sacos9 0n car4amento de papas pesa $#" 64 7Cu8ntos sacos de #" :4 se podr8n ;acer9 úmero de sacos
"
'
)
...
'*
...
Peso en ;g
#2
-2
"'2
...
"2#2
...
Las magnitudes número de sacos y peso en 64 son directamente proporcionales . La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a ;g es #2. Esta manera de funcionar de las proporciones nos permite adentrarnos en lo ue llamaremos Regla de tres y ue nos servir< para resolver una gran cantidad de problemas matem
PROPI(DAD() D( LA) PROPORCION() Propiedad !: en toda proporción la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su consecuente, como la suma o diferencia entre el antecedente y elconsecuente de la segunda razón es a su consecuente. a& c = a>b &c>d b d b d a& c = a?b & c?d b d b d
Propiedad # : en toda proporción , la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su antecedente , como la suma o diferencia entre el antecedente y elconsecuente de la segunda razón es a su antecedente . a& c = a>b&c>d b d a c a& c = a?b& c?d b d a c
Propiedad ' : en toda proporción, la suma entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a la diferencia entre los mismos , como la suma entre el antecedente y el consecuentede la segunda razón es a la diferencia de los mismos . a& c = a>b & c>d b d a-b c - d
)erie de razones i4uales : una serie de razones iguales es una igualdad entre dos o m
Propiedad 5 : en toda serie de razones iguales la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes , como uno de los antecedentes es a su consecuente . a & c & e & m & a > c > e> m b d f n b+ d + f+ n
(jercicio ! 3allar los valores desconocidos de la siguiente serie de razones iguales. 4 b
< $< ! d
5& " d 3 4 b
3
= A. ) & ". d = d < !$
< $< ! d
@ # & " = # . ) & b. " = b < !# b 3
3
=
5 < $ < ! 12
15
3
(jercicio # 3 Aplicar las propiedades de las proporciones3 a> a? b < @ a B b < ! B # a& c = a>b &c>d b d b d
& " > ' = & ) = . ' & ) .b = b & . ' & * b 2 b 2 3 a+b=9 a>*&@a&?*=a&)
b> a b < # a B b < 5 B' a& c = a?b& c?d b d a c ' & # ? ) = ' & " = ' . # & a. " = a & '. # & a 4 a 4 1 a?b&' 8 - b = 2 ↔ b = 8 - 2 = 6
Resoler a7 a > b & A y la razón es ",A b 7 a ? b & ? " y la razón entre ellos 2,-%A
solución 2 y 3 solución 7 y 8
