Proporcionalidad y Porcentajes

3 456 a

M

78

9

0

2

1

Tutorial MT-a5

Matemática 2006

Tutorial Nivel Avanzado Proporcionalidad y porcentajes II

Tutorial Tutorial

Proporcionalidad y porcentajes Marco Teórico

1. Proporcionalidad. 1.1 Razón: Cuociente entre 2 cantidades homogéneas. a : antecedente b : consecuente k : valor de la razón

a = k b

1.2 Proporción: Igualdad de 2 razones. a = c b d

ó

a:b=c:d

donde ay d: extremos ; by c: medios 1.3 Teorema fundamental de las proporciones: En toda proporción se verifica qu

el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

c a = b d

⇔

con a,b,c,d ≠ 0

a·d=b·c

1.4 Concepto de proporcionalidad directa:

Dos cantidades son directamente proporcionales, si y solo si, su división es cons x d . p. y⇔ x = k y

1.5 Concepto de proporcionalidad inversa:

Dos cantidades son inversamente proporcionales, si y solo si, su producto es con x i . p. y

⇔

x⋅ y = k

1.6 Serie de razones: es la igualdad de c e a = = = ... = k b d f

a : c : e ... =

2 2

2 o más razones (tiene 2 notaciones)

ó

b : d : f ...

CEPECH Preuniversitario, Edición 2006 CEPECH Preuniversitario, Edición

2006

(a , c , e ... : antecedentes) (b , d , f ... : consecuentes)

1.7 Proporción compuesta: es aquella en que intervienen más de dos variables.

Ejemplo: 5 operarios producen en 7 días 400 unidades de un producto. ¿Cuántas unidade mismo producto pueden producir 14 operarios en 9 días? Nuestras variables son: operarios, días y unidades.

Explicaremos un método muy útil para resolverlo. Siempre es conveniente dejar la incógn medio, que en este caso es unidades. Operarios Unidades

5 14

400 x

Días (Analizamos el tipo de proporcionalidad de cada variable 7 con la incógnita, que en este caso es unidades) 9 (Operarios y unidades son directamente proporcionales, unidades y días son también directamente proporcionales) (Siguiendo el orden de las flechas)

5 ⋅ x ⋅ 7 = 14 ⋅ 400 ⋅ 9 (Despejando x) 14 · 400 · 9 x= (Simplificando) 5·7 x = 1440 ∴1440 unidades pueden producir 14 operarios en 9 días

2. Porcentajes: Corresponde siempre a una proporción directa. Se representa como: a% =

100

a

2.1 Porcentajes más utilizados expresados como fracción:

20 % = 1 , 40 % = 5 25 % = 1 , 75 % = 4

2 60 3 , 80 % = 4 , %= 5 5 5 3 , 33,3 % = % 100= 33 1 % = 1 4 3 3 3

2.2 Porcentajes sucesivos: corresponden a:p% del q% de a

Se resuelve transformando los porcentajes a fracción y la palabra “ de “ por multiplica


3 3

2006

Tutorial Tutorial Ejemplo: Calcular el 20% del 60% del 75% de 25

20 ⋅ 60 ⋅ 75 ⋅ 25 100 100 100 1 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 25 = 9 ⇒ 4 5 5 4 ∴

(Simplificando y multiplicando fracciones)

9 4

El 20% del 60% del 75% de 25 es

2.3 Sean Pv : precio de venta, Pc : precio de costo ó precio de compra, g : ganancia, p : pérdida

Entonces:

(La ganancia ó pérdida, siempre se consideran con respecto al precio de costo, salvo que el ejercicio indique otra cosa)

Pv = Pc + g Pv = Pc – p

2.4 Interés compuesto: C=k(

1+

i ) n donde: C : capital acumulado K : capital inicial n : período i : tasa de interés compuesto

3. Volumen del cubo y la esfera: V cubo = a3

donde:

4 4

V esfera =

π ⋅

r3

r : radio de la esfera

a : arista del cubo


4 3

2006

Ejercicios

1. Un auto consume P litros de bencina cada 1,5 Km, en zona recta y plana. Al entr zona de cuesta pronunciada, consume Q litros de bencina cada 4 Km. Si recorre M Km en zona recta y plana y N Km en zona de cuesta pronunciada, ¿cuánto dinero gastó en este viaje, si el litro de bencina cuesta $ B? A) $ B (2 PM + QN) B) $ C) $ D) $

2 PM QN + 3 4 B

12 B

12

(2 PM + QN) (8 PM + 3 QN)

E) $ B (8 PM + 3 QN)

2. Se tiene un canasto con 250 manzanas, delascuales 120 son rojas y el resto verde manzanas verdes se deben agregar, para que por cada 22 verdes hayan 5 rojas? A) B) C) D) E)

90 120 150 350 398

3. Dos perros y medio en dos días y medio comen dos kilos y medio de alimento. ¿ kilos de alimento come un perro en un día ?

2 Kilos 5 2 Kilos B) 3 A)

C) 1 Kilo D)

3 Kilos 2

E) Ninguno de ellos


5 5

2006

Tutorial Tutorial

4. 3 hermanos se deben repartir una herencia de $ 5.600.000, de modo que menor con el del medio estén en la razón de 2 : 3 y el del medio con el mayor en de 4 : 5. ¿Cuánto recibe cada uno? Mayor A) B) C) D) E)

Medio

$ 3.600.000 $ 2.600.000 $ 2.400.00 $ 1.280.000 Ninguno de

Menor

$ 1.200.000 $ 1.800.000 $ 1.920.000 $ 1.920.000 ellos

$ 800.000 $ 1.200.000 $ 1.280.000 $ 2.400.000

5. Pedro tiene 13 años más que Juan, si en 4 años más, la razón entre sus edad edad tienen ambos? A) B) C) D) E)

20 y 7 años 25 y 12 años 30 y 17 años 35 y 22 años 39 y 26 años

6. La cantidad de un antibiótico, debe ser administrada a ciertos pacientes en fo

proporcional a su peso e inversamente proporcional a su edad. Si a un paciente de peso y B años de edad se le prescribió 50 mg de antibiótico, entonces, ¿cuál es la ca de antibiótico para una persona de C años que pesa D Kg. ?

6 6

A)

AD mg 50 BC

B)

AC mg 50 BD

C)

50 BC

D)

50 AD

E)

50 BD

AD BC AC

mg mg mg


2006

7. La suma, la diferencia positiva y el producto de 2 números son entre sí como 2 : 1 son los números? A) B) C) D) E)

18 y 6 17 y 3 9y3 3y2

No se puede determinar

8. Si el lado de un cuadrado aumenta en un 60%, entonces, ¿en qué porcentaje área?

A) 36 % B) 60 % C) 136 % D) 156 % E) 160 %

9. El radio de una esfera aumenta en un 20 %. ¿En qué porcentaje aumenta su volum A) B) C) D) E)

20 % 44 % 72,8 % 144 %

Ninguno de ellos

10. El volumen de un cubo es 1.728 cm3. ¿En qué porcentaje se debe aumentar la aris su volumen sea 4.096 cm3? A) 23,68 % B) 33,3 % C) 66,6 %

133 % E) 133,3 % D)


7 7

2006

Tutorial Tutorial

11. Si el precio de un artículo aumenta en un 10 % y luego se le hace un descu Su precio : A) B) C) D) E)

No varía Aumenta en un 1 % Disminuye en un 1 % Aumenta en un 10 % Disminuye en un 10 %

12. Un artículo tiene marcado el precio para la venta de $ 12.000 con IVA incl comerciante una ganancia del 5 %. ¿Cuál es el precio de costo, aproximadament (IVA: 19%) A) $ 5.218 B) $ 5.580 C) $ 9.580 D) $ 9.604 E) $ 9.720

13. Si un artículo cuesta $ 5.693, se le hace un descuento del 20 %, luego al se le recarga un 40 % y finalmente a este último precio se le hace un descuento entonces, podemos afirmar que :

A) B) C) D) E)

El precio final comparado con el precio inicial, tiene un descuento del 20 % El precio final comparado con el precio inicial, tiene un descuento del 32,8 El precio final comparado con el precio inicial, tiene un descuento del 67,2 El artículo finalmente cuesta $ 4.554 aproximadamente Ninguna de ellas

14. ¿Cuál es la tasa de interés compuesto que permite acumular un capital cabo de 3 meses, siendo el capital inicial de $ 1.000.000? A) B) C) D) E) 8 8

5% 7% 10 % 12 % 15 %


2006

15. El 70 % de los animales de una granja son mamíferos, y de ellos el 25 % se ut trabajar. Además, el 15 % de los mamíferos se utilizan para la alimentación de los habitan

de la granja. ¿Qué porcentaje de los animales de la granja, son mamíferos, pero no se utiliz para trabajar ni para la alimentación de los habitantes de la granja? A) B) C) D) E)

30 % 42 % 52 % 60 % 70 %

Respuestas Preg.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Alternativa

D E A C D E A D C B C D B C B


9 9

2006

Solucionario Solucionario

Solucionario 1. La alternativa correcta es la letra D)

Este ejercicio corresponde a una proporción directa, ya que a mayor cantidad de consumo de bencina. Nuestras variables son : Litros y Km Recta plana: Litros

Km

P

1,5

x

M

(Como es proporción directa se multiplica cruzad

1,5 ⋅ x = P ⋅ M x= x=

x=

(Despejando x)

P·M

(Transformando 1,5 a fracción)

1,5

P·M

(Simplificando y dividiendo fracciones)

15 10

2 PM litros 3

Cuesta pronunciada: Litros

Km

Q

4

y

N

(Como es proporción directa se multiplica cruzad

4 ⋅ y = Q⋅ N y= ⇒

Q·N

4

(Despejando y)

litros

2 PM litros y consumo de bencina Consumo de bencina en zona recta y plana es Q·N

zona de cuesta pronunciada es litros.

4

10 10


2006

3

Además el litro de bencina cuesta $ B ⇒

El gasto del viaje es B

3

2 +PM B⋅

B

( 23PM+

B

(

B

12 ∴

⋅

QN

4

Q·N

4

)

8 PM + 3 QN 12

)

(Factorizando) (Sumando fracciones) (Expresando de otra forma)

(8 PM + 3 QN)

Gastó en el viaje $

12

B (8 PM + 3 QN)

2. La alternativa correcta es la letra E) Hay 250 manzanas, de las cuales 120 son rojas ⇒ 130 son verdes Sea x: manzanas verdes que se deben agregar y deben estar en la razón de 22 : 5 ⇒

130 + x = 22 120 5

(Aplicando Teorema fundamental de las proporciones)

5 (130 + x ) = 22 ⋅ 120

(Distribuyendo y multiplicando)

650 + 5x = 2640

(Despejando x)

x= x= ∴

1990 5 398

Se deben agregar 398 manzanas verdes


1 11 1

2006

Solucionario Solucionario 3. La alternativa correcta es la letra A) Este ejercicio corresponde a una proporción compuesta. Nuestras variables son: perros, días y kilos. Perros 2,5

Kg. 2,5

1

x

Días 2,5

1

(Analizamos el tipo de proporcionalidad de cada vari con la incógnita, que en este caso es kilos) (Perros y kilos son directamente proporcionales, ki y días son también directamente proporcionales (Siguiendo el orden de las flechas)

2,5 ⋅ x ⋅ 2,5 = 1⋅ 2,5 ⋅ 1

(Despejando x)

x=

2,5 2,5 · 2,5

(Simplificando)

x=

1 2,5

(Transformando 2,5 a fracción)

1 25 10

x=

2 5

x= ∴

(Simplificando y dividiendo fracciones)

Un perro en un día come

2 kilos de alimento. 5

4. La alternativa correcta es la letra C) Sea x: menor, y: medio, z: mayor x+y+z =

5.600.000

a) x : y = 2 : 3 x

2 x

2 12 12

=

y

3

(Utilizando la otra notación) (Separando en razones)

=k

(Despejando x)

=k


2006

x= y

2k

3

=k

y=

3k

(Despejando y)

b) y : z = 4 : 5 y

4 4

=k

y

y= z

5

5

=k

(Despejando y)

4k (Despejando z)

5k

De a) y b) tenemos:

x = 2k y = 3k x = 2k / ⋅ 4 y = 3k / ⋅ 4 ⇒

(Separando en razones)

=k

z= ⇒

z

=

(Utilizando la otra notación)

x=

8k,

y=

y = 4k (Como y tiene z = 5k y = 4k / ⋅ 3 z = 5k / ⋅ 3

12k,

z=

2 valores distintos, debemos igualarlos)

15k

Como x + y + z = 5.600.000 (Reemplazamos x, y, z) 8k + 12k + 15k = 5.600.000 (Reduciendo términos semejantes) 35k = 5.600.000 (Despejando k)

5600000 35 k = 160000

k=

x = 8k x = 1.280.000 y = 12k y = 1.920.000 z = 15k z = 2.400.000 ∴

(Simplificando)

(Reemplazando k) (Reemplazando k) (Reemplazando k)

El mayor recibe $ 2.400.000, el del medio $ 1.920.000 y el menor $ 1.280.000


13 13

2006

Solucionario Solucionario 5. La alternativa correcta es la letra D)

Si Pedro tiene 13 años más que Juan, entonces, la diferencia entre ambas edades Si P: Pedro, J: Juan ⇒ P – J = 13 Si en 4 años más, la razón entre sus edades es 3 : 2 ⇒

∴

P+

4 : J + 4 = 3 :2

1) P – J = 13 2) P + 4 : J + 4 = 3 : 2

Utilizando el método de sustitución: P–J= P=

13

(De la ecuación 1), despejamos P)

13 + J

(Reemplazando P en la segunda ecuación)

13 + J + 4 : J + 4 = 3 : 2 17 + J = 3 J+4 2

(Utilizando la otra notación)

(Aplicando Teorema fundamental de las proporcion

2 ( 17 + J ) = 3 ( J + 4 ) 34 + 2J = 3J + 12 J = 22 P= P= ∴

(Distribuyendo) (Despejando J)

13 + J 35

(Reemplazando J)

Las edades son 35 y 22 años

6. La alternativa correcta es la letra E) Cantidad directamente proporcional al peso ⇒ peso

cantidad =k

Cantidad inversamente proporcional a la edad ⇒ cantidad ⋅ edad = k ∴

cantidad peso

∙ edad = k

50 ∙ B = k A

14 14


2006

cantidad ∙C=k D

(Reemplazando k)

cantidad ∙ C = 50B D A 50BD cantidad = AC ∴

(Despejando cantidad)

La cantidad de antibiótico que se necesita para una persona de C años y que pe

50BD

es

AC

mg

7. La alternativa correcta es la letra A) Sean x e y los números. x + y : x – y : xy = x+y

2

a)

x+y

2

=

1

=

xy

9

x-y

1

(Separando en razones) (Separando en proporciones) (Aplicando Teorema fundamental de las proporciones)

x+y=

2(x–y)

(Distribuyendo)

x+y=

2x – 2y

(Despejando x)

x=

b)

x-y

=

2 :1 :9

x-y

1

3y =

xy

9

9 ( x – y ) = xy 9x – 9y = xy 9 ⋅ 3y – 9y = 3y ⋅ y 27y – 9y = 3y2 18y = 3y2 3y2 – 18y = 0 y2 –6y = 0 y(y–6)=0

(Aplicando Teorema fundamental de las proporciones) (Distribuyendo) (Reemplazando x por 3y) (Multiplicando) (Reduciendo términos semejantes) (Igualando a 0) (Dividiendo por 3) (Factorizando)


15 15

2006

Solucionario Solucionario y1 =

0ó

y=

∴

6

6

y2 =

⇒

(La solución y = 0, queda descartada, ya que en el caso de proporciones, todos sus componentes deben ser distintos de 0)

x=3⋅6 x = 18

Los números son 18 y 6

8. La alternativa correcta es la letra D) Sea a: lado del cuadrado.

Lado aumentado en un 60% : a + 60% de(Transformando a el porcentaje a fracción) a+

3 a 5 8 a 5

(Sumando fracciones)

Entonces, el área del cuadrado inicial es el 100% y el área del cuadrado resultante su lado en un 60% es x%. Como es una proporción directa: Cantidad

100

a2

(

8 5

a2 x = x= ⇒

∴

16 16

%

a

)

2

x

64 2 a ⋅ 100 25

(Despejando x y simplificando)

256

La nueva área es 256% El porcentaje en que aumenta su área es 156% (256% - 100%)


2006

9. La alternativa correcta es la letra C) Sea r : radio de la esfera. El radio aumentado en un 20% : r + 20%(Transformando de r el porcentaje a fracción) r+

1 r 5 6 r 5


Entonces, el volumen de la esfera inicial es el 100% y el volumen de la esfera resulta aumentar su radio en un 20% es x%.

4 3

V esfera =

π ⋅

r3

Como es una proporción directa: Cantidad

4 3 4 3

π ⋅

r3

π ⋅

4 3

(

6 5

%

100 3

)

r

x

4 π⋅ 6 r 3 (Despejando x y resolviendo potencias) 3 ( 5 )⋅ 100 4 π ⋅ 216 3 3 x= (Simplificando) r · 100 · 3 125 4π ⋅ r3 216 · 4 x= (Multiplicando y dividiendo) 5 x= ⇒

∴

π ⋅

r3 x =

172,8

El nuevo volumen es 172,8% El porcentaje en que aumenta su volumen es 72,8% (172,8% - 100%)


17 17

2006

Solucionario Solucionario 10. La alternativa correcta es la letra B) V cubo = (arista)3

1728 a3 = 1728 3/ √a 3 a = √1728 a = 12

4096 b3 = 40963 / √a 3 b = √4096 b = 16

V1 cubo =

V2 cubo =

Si la arista inicial es 12 cm, entonces,para que el volumen sea 4096, la arista deb cm, es decir, debe aumentar en 4 unidades. Para determinar en qué porcentaje debe aumentar la arista, 12 es el 100% y 4 Como es proporción directa: Cantidad

12 4

%

100 x

12x = 4 ⋅ 100 100 x= 3 ∴

(Despejando x y simplificando)

33,3 % % es ó 100 El porcentaje en que debe aumentar la arista 3

11. La alternativa correcta es la letra C) Sea x : precio del artículo.

Si x se aumenta en un 10% : x + 10% de x(Transformando el porcentaje a fracción) x+

1 10 11 10

x


x

11 x se le descuenta en un 10% 10 11 x – 10% de 11x (Transformando el porcentaje a fracción 10 10

Luego, a

18 18


2006

11 x - 1 ∙ 11 x 10 10 10 11 x - 11 x 10 100 110x - 11x 100 99 10

x

(Multiplicando fracciones) (Restando fracciones) (Restando)

El precio final es el 99% de x

⇒

El precio final disminuye en un 1%

∴

(100% - 99%)

12. La alternativa correcta es la letra D) Pv =(Pc + g) + IVA

donde: Pv: precio de venta, Pc: precio de costo, g: ganancia con respecto al precio de costo

12000 = (Pc + 5% de fracción)

Pc) +

19% de (Pc + 5% de

12000 = Pc + 5 Pc + 19 ( Pc + 5 100 100 100 12000 = Pc + 1Pc + 19 (Pc + 1 20 100 20

Pc) (Transformando los porcentaj

Pc) (Simplificando)

Pc)

(Distribuyendo)

12000 = Pc + 1Pc + 19 Pc + 19 Pc (Sumando fracciones) 20 100 2000 12000 = 2000Pc + 100Pc + 380Pc + 19Pc(Reduciendo términos semejantes) 2000 2499Pc 2000 12000 · 2000 Pc = 2499

12000 =

Pc =

9603,84

Pc =

9604 ∴

(Despejando Pc) (Multiplicando y dividiendo) (Aproximando)

El precio de costo es aproximadamente $ 9.604


19 19

2006

Solucionario Solucionario 13. La alternativa correcta es la letra B) Sea x : precio del artículo

(El precio del artículo $ 5.693, no lo consideraremos)

Si x se descuenta en un 20% : x – 20% de x (Transformando el porcentaje a fracción x-

1 5

x

4x 5

(Restando fracciones) (Este precio se recarga en un 40%)

4 x + 40% de 4 x 5 5

(Transformando el porcentaje a fracción

4x + 2 ∙ 4x 5 5 5

(Multiplicando fracciones)

4x + 8 x 25 5


20x + 8x 25

(Reduciendo términos semejantes)

28x 25 28x - 40% de 28x 25 25 28x - 2 ∙ 28x 25 5 25 28x - 56x 25 125 140x - 56x 125 84x 125 0,672 x

(Este precio se descuenta en un 40%)

(Transformando el porcentaje a fracción (Multiplicando fracciones) (Restando fracciones) (Reduciendo términos semejantes) (Dividiendo) (Transformando a porcentaje)

67,2% x ∴

20 20

El porcentaje real de descuento es 100% - 67,2% = 32,8 %


2006

14. La alternativa correcta es la letra C) C=k(

1+

i )n

K : capital inicial donde: C : capital acumulado n : período i : tasa de interés compuesto

1331000 = 1000000 ( 1 + i )3

(Despejando (1 + i )3 )

1331000 = ( 1 + i )3 1000000

(Simplificando)

1331 = ( 1 + i )3 /3 √a 1000 3

1331 =1+i 1000

(Aplicando propiedad de raíces)

1331 =1+i 3 1000 3

11= 1 + i 10

(Despejando i)

11 - 1 = i 10

(Restando fracciones)

1 =i 10 i=

10% ∴

La tasa de interés compuesto es 10%

15. La alternativa correcta es la letra B) Sea x: animales de la granja. El 70% de los animales de la granja son mamíferos : 70% de x. El 25% de los mamíferos se utilizan para trabajar : 25 % del 70% de x. El 15% de los mamíferos se utilizan para alimentación : 15% del 70% de x.


2 21 1

2006

Solucionario Solucionario

El 25% del 70% de x , más el 15% del 70% de x: se utilizan para tra alimentación.

⇒

Lo que equivale a: 40% del 70% de x.

El 60% del 70% de x : no se utilizan para trabajar ni para alimentación. (Tr los % a decimal)

∴

0,6 ∙ 0,7 x

(Multiplicando)

0,42 x

(Transformando a porcentaje)

42% x El % de los animales de la granja que no se utilizan para trabajar ni para 42 % ∴

22 22


2006

Mis notas


23 23

2006

Proporcionalidad y Porcentajes

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