7 Esfuerzo Cortante y Traccion Diagonal

Concreto Armado

145

V. Esfuerzo Cortante y Tracción Diagonal 5.1. INTRODUCC INTRODUCCIÓN IÓN(42): El estudio del efecto de la ffuerza uerza cortante en los elementos de concreto armado se remonta a más de 75 años y ha tomado mayor fuerza desde 1946 hasta la fecha. Este Este fenó fenóme meno no es suma sumame ment ntee comp comple lejo jo y en el entr entran an en jueg juegoo nume numero rosa sass variables. Se han desarrollado modelos matemáticos que buscan explicarlo, sin embar embargo, go, no se ha conse consegui guido do un plante planteami amien ento to teóric teóricoo que sea totalm totalment entee compatible con lo observado experimentalmente. Por ello, la mayoría de códigos en el mundo basan sus requerimientos para diseño en parámetros semi-empíricos. La transmisión de cortante en vigas de concreto armado se apoya fuertemente en la resistencia a la tracción y compresión del concreto,y tiene como característica primordial un tipo de falla que no es dúctil.En dúctil.En las estructuras estructuras resistentes a sismos sismos se pone gran atención atención a la capacidad de incursionar incursionar en el régimen plástico plástico (ductilidad) y por este motivo el diseñador debe asegurar que no ocurra una falla por cortante,si no buscar la falla por flexión,por eso la resistencia a cortante del elemento debe ser algo mayor que la resistenc resistencia ia máxima a flexión que se pueda desarrollar. desarrollar. En la mayoría de los casos, los elementos de concreto armado se dimensionan para resistir las solicitaciones de flexión y posteriormente se verifica su resistencia al corte. En caso que la sección no resista el corte aplicado, se le refuerza con acero transversal. Solo en el caso de vigas cortas, en las que predomina el peralte a la luz libre, las dimensiones del elemento se definen en función a las solicitaciones de corte. En ellas, los esfuerzos originados por la flexión no dominan el diseño.

5.2. COMPORTAMIENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO SOMETIDOS A CORTANTE(43).

El concreto armado, antes de presentar alguna grieta, se comporta como un material homogéneo. Aunque esta etapa es muy corta, es conveniente analizarla con detalle ya que permite comprender el mecanismo de formación de grietas y el fenómeno de tracción diagonal. Si el elemento no tiene refuerzo transversal en el alma, se puede observar el siguiente comportamiento. Ante ntes de apare arecer las las prim primeeras ras fisu fisura rass de trac traccción ión por fle flexión ión, el comportamiento es esencialmente elástico, y al aumentarse las cargas, la fuerza cortante cortante pued puedee originar originar esfuerzos esfuerzos principales principales que sobrepase sobrepasenn la resistenc resistencia ia en tracción del concreto, produciéndose fisuras inclinadas a una altura aproximada de medio peralte. (Fig. V −1). Estas fisuras pueden aparecer en puntos donde no existe una fisura por flexión o, frecuentemente, pueden presentarse como una continuación de una fisura en flexión, que cambia gradualmente de dirección, inclinándose. (44) BLANCO B.Antonio B.Antonio . Estructuración Estructuración y diseño de de edificaciones de de concreto armado.pág.256-258 armado.pág.256-258 y 263.

146

Ing°S.Ch Ing° S.Chávez ávez C. Al aparecer la fisura diagonal y extenderse hacia el bloque comprimido, causa el colapso del elemento obteniéndose la denominada falla por tracción diagonal; puede ocurrir también que la falla sea por aplastamiento del bloque de concreto comprimido, pues éste se reduce al prolongarse la fisura, denominándose este tipo como compresión por cortante.

flexión y cortante por flexión

cortante en el alma

flexión y cortante por flexión

cortante en el alma

Fig. V−1: Tipos de agrietamiento en vigas de concreto. En regiones de fuerza cortante alta y momento flector pequeño, se presentan grietas en zonas cercanas al eje neutro y luego, progresan hacia arriba y hacia abajo, a medida que aumenta la carga externa; a este tipo de grietas se denomina "grietas inclinadas de corte en el alma". Se ha comprobado experimentalmente que aparecen cuando: vuc

=

Vcr bw d

= .53

fc'

Donde: Vcr = fuerza cortante en la sección en el instante en que aparece la grieta. En las secciones donde existe la fuerza cortante, pero el momento flector tiene un valor relativamente grande, las grietas diagonales comienzan a formarse en la parte superior de las grietas verticales (grietas de flexión), a este tipo de grietas se deno denomi mina na "gri "griet etas as incl inclin inad adas as de cort cortee por por flex flexió ión" n".. Se ha comp compro roba bado do experimentalmente experimentalmente que aparecen cuando: vuc

=

Vcr bw d

= 0,5

fc'

Si el elemento tiene refuerzo transversal en el alma (estribos por ejemplo), se tiene un comportamiento inicial muy parecido al caso anterior, con la diferencia que las primeras fisuras que tienden a aparecer son controladas en su espesor por el refuerzo transversal. La cantidad de refuerzo transversal no contribuye en forma apreciable a resistir los esfuerzos inclinados de tracción hasta que se forman las primeras fisuras inclinadas inclinadas (de muy pequeño pequeño espesor). espesor). En ensayos de laboratorio se ha observado que la resistencia a los efectos de fuerza cortante de un elemento con refuerzo transversal es igual a su resistencia al agrietamiento inclinado más la contribución del refuerzo transversal. tr ansversal. Se debe debe señala señalarr que para que el refuer refuerzo zo transv transvers ersal al sea efectivo efectivo,, debe debe coloc colocars arsee a espac espaciam iamien ientos tos tales tales que cualqu cualquier ier fisura fisura inclin inclinad adaa potenc potencial ial,, sea atravesada o cruzada por una varilla de refuerzo en el alma.

(45) UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA- FIC.Diseño de estructuras de concreto armado.Curso armado.Curso de actualización-89-I actualización-89-I

Concreto Armado

147

5.2.1. 5.2.1. Contribuci Contribución ón del concreto concreto en la resistenci resistenciaa del corte. El código ACI da una expresión simplificada para la determinación de la fuerza cortante que aporta el concreto. Vc = v uc bwd

Donde: vuc = esfuerzo cortante del concreto * vuc = 0,53 fc' (Kg./cm2.) (obtenido en laboratorio). Para cálculos más detallados: Vud   vuc =  0,5 fc' + 176 ρ w  ≤ 0,93 fc' kg / cm 2 Mu   Por lo tanto la fuerza cortante que resiste al concreto será: Vud   Vc = 0,53 fc ' bw d ó Vc =  0,5 fc' +176 ρ w  bw d Mu   ρ w

=

As bw d

, cuantía del refuerzo de tracción por flexión.

Vu = fuerza cortante actuante en la sección considerada. considerada. Mu = Momento actuante en la sección considerada. considerada. Vud Mu

≤ 1,0 , si es mayor se toma igual a 1

5.2.2. 5.2.2. Consider Consideracio aciones nes de de diseño diseño:: La fuerza cortante externa ( Vu) puede evaluarse: −

Analíticamente, o sea hacer un análisis preciso y obtener los diagramas de corte.

−

Por coeficientes del ACI, esto se puede utilizar aproximadamente para vigas y losas, siempre y cuando cumplan los mismos requisitos de diseño para flexión. Estos Estos coeficientes son: son:

* Fuerza cortante en el tramo exterior en la cara del primer apoyo interior = 1,15 Wu ln/2 * Fuerza Fuerza corta cortante nte en los apo apoyos yos restan restantes tes = Wu ln/2

.5

.575

.5

.5

.575

.5

Según la Norma Peruana especifica que Vc, debe multiplicarse por el factor φ: φ Vc φ Vc = φ v φ vuc bwd donde: φ = .85 El diseño de las secciones transversales de los elementos sujetos a fuerza cortante deberá basarse según lo indicado en la norma peruana, en la siguiente expresión: φ Vc φ Vc ≥ Vu ≥ Vu

≥ Vu/ φ = φ = Vn ó Vc ≥ Vu/

Donde Vu es la resistencia requerida por corte en la sección analizada y Vn es la resistencia externa incrementada. (44) BLANCO B.Antonio B.Antonio . Estructuración Estructuración y diseño de de edificaciones de de concreto armado.pág.256-258 armado.pág.256-258 y 263.

148

Ing°S.Ch Ing° S.Chávez ávez C. La resistencia ( Vn) estará conformada por la contribución del concreto Vc y por la contribución del acero Vu' de tal forma que: Vn = Vc + Vu' −

Si la reacción del apoyo induce compresión al elemento y no existe carga concentrada entre la cara del apoyo y una sección ubicada a " d " de ella, entonces este tramo se diseñará para un cortante último que corresponde a la sección ubicada a " d " de la cara del apoyo. Esta sección se denomina sección crítica y es la que se encuentra sometida al mayor cortante de diseño del elemento. Vu

Vu > ϕVc

ϕVc

Vu ϕ

Necesitamos de refuerzo

d

Vu ' =

Cara de apoyo

−

ó

Vu ϕ

>Vc ⇒

algún en el

−Vc

Si la reacción del apoyo induce tracción al elemento, la sección crítica se encuentra en la cara del apoyo. Si existiese una carga concentrada dentro de la distancia " d ", ", la sección crítica también se ubica en la cara del apoyo.

T

P

L' h d Sección crítica

Sección crítica

Sección crític críticaa

Si: −

El refuerzo en el alma, por tracción diagonal que, debe ser colocado entre la cara del apoyo y la sección crítica del cortante será el mismo que el requerido para la sección crítica. d

Sección crítica

−

En las secciones T o I, el diseño por cortante no tendrá en cuenta la b de las alas. b presencia

bw (45) UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA- FIC.Diseño de estructuras de concreto armado.Curso armado.Curso de actualización-89-I actualización-89-I

tipo alma:

Concreto Armado

149

Vc = vuc bwd

−

En losas aligeradas, nervadas, macizas y zapatas, no debe llevar refuerzo por corte, pero se hace un chequeo chequeo por corte. corte.

−

Si

Vu ϕ

> V c, c, entonces diseñaremos algún tipo de refuerzo transversal,

cuyo espaciamiento debe ser: i Vc

Vc

a

cc

a a a

M

jd

a a

cc

α

θ s

Vd

s

s

T

T

s

P

Vd = Fuerza cortante que toma el

acero longitudinal, se desprecia porque

el aporte es pequeño. Σ Fy = 0:

Vu = Vc +Vu ' ϕ

θ = Ángulo que hace la grieta con la horizontal. α = Ángulo que hace el refuerzo transversal con la horizontal. i = Longitud de la grieta por cortante. cortante. a = Espaciamiento del refuerzo transversal en la dirección inclinada. s = Espaciamiento horizontal del refuerzo transversal inclinado. P = Proyección horizontal de la grieta, P = i cos θ.

Por equilibrio:

Vu = Vc + Av fy ϕ

sen α, Av = área de cada estribo fy = esfuerzo del refuerzo transversal

x

Av fy

α

x Av fy

= sen α → x = Av fy sen α

Si existen " n" estribos inclinados dentro de la grieta, entonces: Vu ϕ

= Vc + n Av fy sen α ....... (1), siendo: n =

i a

...... (2)

Además: i =

p

cos θ (44) BLANCO B.Antonio B.Antonio . Estructuración Estructuración y diseño de de edificaciones de de concreto armado.pág.256-258 armado.pág.256-258 y 263.

150

Ing°S.Ch Ing° S.Chávez ávez C. n = Número de

refuerzos transversales.,

Analizando el espaciamiento de refuerzo transversal y horizontal, tenemos: a

sen α sen [180 − (α +θ ) ]

1 80 - (α+ θ)

a

s

=

sen [180 − (α + θ ) ] = sen(α + θ )

α

θ

s a s s = = sen α sen (α +θ ) sen α cos θ +cos α sen θ

a=

a=

    s . sen α s  sen α +sen α  = cos θ cosθ sen α +cos α sen θ sen θ  cos θ  sen α   sen α   s senθ ( ctg θ +ctg α )

i

En (2): n = n=

a

......... (3)

p / cos θ s

=

= p tg θ ( ctg θ + ctg α ) s

sen θ ( ctg θ + ctg α ) p s

p

( tg θ . ctg θ +tg θ .ctg α ) = (1 +tg θ .ctg α ) s

Para el instante en que se produce la grieta, se asume que En

(1) Vu ϕ

tenemos:

Vn

=

d 1 +tg θ.ctg α .Avfy sen α , θ =45º s

=Vc +

(

)

cos α  d    Avfy sen 1+  s  sen α  

Vn – Vc =

s =

⇒

d

p = jd

= Vc +

θ=45º

d s

(sen

α +cos α ) Avfy

Avfy d ( sen α +cos α ) Vn −Vc

, Vn =

Vu ϕ

El refu refuer erzo zo en el alma alma pued pueden en ser ser estr estrib ibos os perp perpen endi dicu cula lare ress al refu refuer erzo zo longit longitudi udinal nal,, inclin inclinado adoss con un áng ángulo ulo α , o en form formaa de barra arrass dob doblad ladas; considerando que este ultimo los 3/4 centrales de dicha barra doblada absorben tracción diagonal. −

8 3/4 x

VERTICALES

INCLINADOS CON α=45º

BARRAS DOBLADAS

Si se utilizan estribos perpendiculares perpendiculares al refuerzo longitudinal

α=50º


Concreto Armado

151

Av fy d s = Vu '

,

Vu' =

Vu φ

- Vc

Si se utilizan estribos inclinados al refuerzo longitudinal s= −

1.41 Av fy d Vu '

Cuando

Vu φ

α=45º

, No recomendable para diseño sísmico. Vc

≤

2

, entonces no se necesita ningún tipo de refuerzo

transversal. −

Cuando

Vu φ

Vc

>

2

, ento entonc nces es debe deberá rá colo coloca cars rsee un área área míni mínima ma de

refuerzo transversal, de acuerdo a la siguiente formula: Av =3.5

bw s fy

, donde s ≤

d 2

∧ s ≤ 60 cm. → escoger el menor

Se excluyen de este requisito los siguientes elementos estructurales: estructurales: a) Lozas y zapatas b) Lozas nervadas nervadas y/o aligerados aligerados c) Vigas con un peralte que no exceda exceda 25 cm. −

La resistencia al cortante proporcionada por cualquiera de los tipos de refuerzo transversal ( Vu') no deberá ser mayor que: Vu' ≤2,1 fc ' bwd Si Vu' >2,1 fc ' bwd ⇒ - Cambiar la sección - Mejorar la calidad del concreto.

−

El espa espaci ciam amie ient ntoo máxi máximo mo del del refu refuer erzo zo tran transv sver ersa sall es nece necesa sari rioo considerar que cada fisura diagonal potencial debe ser atravesada por lo menos por una varilla de acero, el código ACI, recomienda r ecomienda:: a) El espaciami espaciamiento ento del refuerz refuerzoo por corte coloca colocado do perpendicu perpendicularme larmente nte al eje del elemento no deberá ser mayor de (0.5d) ó 60 cm., el que sea menor, si: 1.1 Vu ' ≤ fc ' bwd ⇒ Smáx = d /2 /2 ó 60 cm. b) Cuando el Vu' exceda de 1.1 fc' bwd , el espaciamiento máximo deberá reducirse a la mitad; así: Vu' > 1.1 fc ' bwd ⇒ Smáx = d/4 ó 30 cm.

−

−

≥ 6db ≥ 6,5 cm

El primer estribo se colocará a s/2 de la cara de apoyo. Por facilidad en la ≥ 12db db 6db construcción se considera Smin = 10 cm. db

db

ó 12db

El espaciamiento de estribo por confinamiento del refuerzo longitudinal (o sea donde no se necesita refuerzo transversal), es: b, 30 cm ó 16 φL, el que sea menor. Los estribos pueden ser:

(44) BLANCO B.Antonio B.Antonio . Estructuración Estructuración y diseño de de edificaciones de de concreto armado.pág.256-258 armado.pág.256-258 y 263.

152

Ing°S.Ch Ing° S.Chávez ávez C.

ϕ3/8" → Av = 2×0,71=1,42 cm2

6db → ϕL; #3, #4, #5 12db → ϕL: #6, #7, #8

ϕ1/2" → Av = 2×1,27 + 2×0,71 = 3,96 cm 2 ϕ3/8"

Diseñar por corte la viga que se muestra en la figura adjunta. Las viga está sometida a una carga uniformemente repartida w D=3,8 t/m y w L=1,5 t/m (Refuerzo de flexión son varillas de 1", en una sola capa). Utilizar estribo de 3/8''; fc' = 210kg/cm 2, fy = 4200kg/cm2.

Ejemplo 01:

wu = 7,87 tn/m v

0 ,3 0 m

6 ,6 0 m

6,60m

0,30m

A

B

0,30m

C

v − 301 (0,30 × 0,60) Solución: wu = 1,4 × 3,8 + 1,7 × 1,5 = 7,87 t/m

M(-)

M (−) = 1/8 wu  2 = 1/8 × 7,87 × 6,902 = 46,84 tn V A = R A = V B = R B =

wu  Meje 7,87 ×6,90 46,84 − = − = 20,36tn 2 2 6,90  7 ,87 × 6,90 46,84 + = 33,94 tn 2 6,90

Vu A cara

=

Vu B cara

=

apoyo apoyo

20,36 − 7,87 × 0,15 = 19,19 tn

33,94 − 7,87 × 0,15 = 32,76 tn

x

= ( x + y )19,18 = 2,44 m

y

=

19,18 Cara de apoyo

51,94 ( x + y )32,76

(19,18 + 32,76)

= 4,16 m

y = 4,16 m x = 2,44 m Cara de apoyo (45) UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA- FIC.Diseño FIC.Diseño de estructuras de concreto concreto armado.Curso armado.Curso de actualización-89-I 6,60 m

32,76

Concreto Armado

153

dc = 4 + 0,95 + 1,27 = 6,22 → d = 53,78 cm

* Cortante de diseño en el apoyo B. − wud = 32,76 − 7,87 × 0,5378 = 28,53 tn V ud = V u cara − w V u d

=

ϕ

28,53 0,85

= 33,56 tn

Cortante que aporta el concreto . V C C = 0,53 V C C

210

×30 ×53,78 =12,39

V u d

=12,39 tn <

tn

= 33,56 tn → hay que diseñar algún tipo de refuerzo

ϕ

transversal. V u ' =

V u d φ

−V C = 33,56 −12,39 = 21,17 tn

V u' = 21,17 tn

Que será absorbido por el refuerzo transversal. transversal.

Cortante remanente máximo. V umáx umáx = 2,1

fc '

bd = 2,1

210

×30 ×53,78 = 49,10 tn

〉vu' = 21,17 tn

Espaciamiento máximo . 1,1

fc '

bd = 1,1

1,1

fc '

bd =

210

25,72 tn

×30 ×53,78 = 25,72 tn 〉V u' =

21,17 tn → smáx =

d / 2 = 27 cm 60 cm

〉 s

27 cm.

Cálculo de " S " para el cortante critico . S =

Av fy d V u '

1,42 ×4200 ×53,78

=

21,170

=15,15 ≈ 15 → S = 15 cm

Usar estribo @ 0,15.

33,56

d s=0,15 x0 .pág.256-258 y 263. (44) BLANCO B.Antonio B.Antonio . Estructuración Estructuración y diseño de de edificaciones de desconcreto armado.pág.256-258 armado 0

máx

=

154

Ing°S.Ch Ing° S.Chávez ávez C. V u φ

=38,54

tn Se establece: s0 = 20 cm → Vs0 =

Av fy d s 0

1,42 × 4200 ×53,78

=

20

=16,04 tn

Vno = Vs0 + Vc = 16,04 + 12,39 = 28,43 tn wu x 0

Vno = 38,54 → Nº

=

φ

= 28,43 → xo = 1,09 m

1,09 −0,05 0,14

= 7,4 ≈ 7 → ϕ3/8": [email protected],[email protected]→ L = 1,10

m

Area de acero mínimo : Avmí =

3,5bws fy

⇒ s =

1,42 ×4200 3,5 ×30

= 56,8 cm

s = d /2 /2 = 27 cm ó 60 cm

Establecemos nuestro siguiente espaciamiento: 1,42 × 4200 × 53,78 s1 = 27 cm → vs1 = = 11,88 tn 27

Vn1 = 11,88 + 12,39 = 24,27 tn Vn1 = 38,54 −

7,87 × X 1 φ

= 24,27 ⇒ x1 = 1,54 m

Ldisp. = 1,54 − 1,10 = 0,44 m ⇒

0,44 0,20

= 2,2 2,2 = 2 @.2 @.20 = .40 .40 m

L = 1,10 + .40 = 1,50 m (acumulado) V 12,39 Se colocarán hasta: Vn = c = 2 2

38,54 −

7,87 x .85

= 6,20 tn

= 6,20 n ⇒ x = 3,49m Long. hasta donde se necesitan

@27

Longitud disponible para @.27: Ldisp = 3,49 − 1,50 = 1,99 ⇒

1,99 .27

= 7,4 ≈ 7 @.27

ESTRIBOS ϕ3/8"; [email protected], [email protected], [email protected], [email protected] •

CORTANTE DE DISEÑO EN EL APOYO A Vud = 18,18 − 7,87 × .5378 = 14,95 tn

⇒

Vud 14,95 = .85 ϕ

= 17,59 tn

Cortante que aporta el concreto V C C = 12.39 tn <

Vud ϕ

= 17,59 tn ⇒ Vu' = 5,2 tn

Cortante remanente máximo V u máx = 49,10 tn >> V u' u' = 5,2 tn

Espaciamiento máximo 1,1

fc'

bd = 25,72 tn > V u' u' ⇒ S máx máx = 27 cm


Concreto Armado

155 S =

Avfy.d

1,42 × 4200 ×53,78 = 5200

=

Vu '

61,68 cm > S máx máx.⇒ Usar:

@.27 Se colocarán estribos hasta V n = V c/2 = 6,20 tn 22,56 − Nº =

7,87x .85

= 6,20 ⇒ x = 1,77 m

1,77 −0,05 0,27

=6,4

≈6

@.27

ESTRIBOS ϕ5/8": 1@ .05, [email protected] ϕ3/8”: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]

ϕ3/8”: 3/8”:[email protected], [email protected], 6 @.27

ϕ3/8”: 3/8”:[email protected], [email protected], 6 @.27

6,60

0,30

6,60

0, 30

0, 30

V − 301 (0.30 × 0.60) Diseñar por fuerza cortante la viga en el voladizo que se muestra en la figura adjunta. La viga soporta una carga uniformemente repartida de W D=2,0 t/m y WL=1,2 t/m, fc' =210 =210 kg/cm2 y fy = 4200 kg/cm2.

Ejemplo 02:

6ϕ1”

Wu=4,84 t/m

ϕ3/8”

50

3ϕ1”

3,50 m 25

SECCIÓN DE LA VIGA

Solución:

W U =1.40 W D+1.70W L=4.84 tn/m dc =

6, 22 × 20, 4 +11,30 ×10, 20 = 7,91 cm ⇒ 30,60

d = 42,09 cm

Cortante en la cara del apoyo : V u cara = W u Lv = 4,84 × 3,50 = 16,94 tn Cortante de diseño : − W ud = 16,94 − 4,84 × 0,4209 = 14,90 tn V ud = V u cara − W V u d 14,90 V u d = = 17,53 tn → =17 ,53 tn φ

0,85

φ

Cortante que aporta el concreto : V C C = 0,53 V C C

210

= 8,08 tn <

× 25 × 42,09 = 8,08 tn V u d φ

= 17,53 tn ⇒ Hay que diseñar algún tipo de

refuerzo transversal. (44) BLANCO B.Antonio B.Antonio . Estructuración Estructuración y diseño de de edificaciones de de concreto armado.pág.256-258 armado.pág.256-258 y 263.

156

Ing°S.Ch Ing° S.Chávez ávez C. V u d

V u' u' =

− V C C = 17,53 − 8,08 = 9,45 tn, V u' u' = 9,45 tn

φ

Cortante remanente máximo : V u'u' máx = 2,1

210

× 25 × 42,09 = 32,02 tn > V u' u' = 9,45 tn

Espaciamiento máximo : 1,1

bd = 1,1

fc '

210

×25×42,09 =

16,77 16,77 tn > V u' u' = 9,45 tn

⇒ S máx máx = d/2 = 21,0

= 60 cm

⇒ S máx máx = 21 cm

Cálculo de " S " para el cortante crítico : S =

Avfyd V u '

⇒ usar ;

1,42 × 4200 × 42,09

=

9,450

= 26,56 cm > S máx máx = 21,0 cm

ϕ3/8"@.21

Sección de refuerzo mínimo: Vn0 = V u

cara

φ

−

ω ux φ

= Vn 0

⇒

V C 2

19,93 −

=

8,08 2

4,84x 0,85

= 4,04 tn

= 4,04 ⇒ x = 2,79 m

Area de acero mínimo : Av mín =

Nº

÷

3,5bwS 1,42 ×4200 ⇒ S = 3,5 ×25 fy 2,79 −0,05 0,21

= 68,16 cm > S máx máx = 21,0 cm

= 13,05 = 13 estribos

USAR: ϕ3/8": [email protected], 13@,21, L = 2,78 m

ϕ 3/ 8”: [email protected], [email protected] 3,50

5.2.3. Diseño de refuerzo transversal en zonas sísmicas (44). Al encontrar las fuerzas actuantes que representan los efectos sísmicos, se ha supuesto supuesto que la estructura estructura tiene la capacida capacidadd de disipar energía en el rango inelástico de respuesta (reducción por ductilidad). Para que esto ocurra será necesario que los elementos sismo-resistentes de esta estructura tengan una ductilidad adecuada. Para lograr este objetivo se deberá evitar las fallas frágiles y por el contrario buscar que se generen fallas dúctiles. dúctiles. (45) UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA- FIC.Diseño de estructuras de concreto armado.Curso armado.Curso de actualización-89-I actualización-89-I

Concreto Armado

157

Es por este motivo que un criterio básico de diseño sismo-resistente sismo-resistente es que la resistencia a cortante de un elemento sea siempre mayor que su resistencia a flexión. Se indican a continuación los requerimientos dados en la norma peruana para el refuerzo transversal transversal en elementos estructurales estructurales A flexión. − La calidad del acero no podrá se mayor de 4200 Kg/cm 2. − Se exige que los estribos serán cerrados con ganchos estándar a 135º.

La fuerza cortante ( V u) de los elementos en flexión deberá determinarse a partir de la suma de las fuerzas cortantes asociadas con el desarrollo de las resistencias nominales en flexión ( M n) en los extremos de la luz libre del elemento y la fuerza isostática calculada para las cargas permanentes. Así por ejemplo, para una viga con carga distribuida: V ui ui =

M ni + M nd Wu Ln + (Ver Fig. V−2) Ln 2

En esta expresión M nini y Mnd

son los momentos nominales reales a flexión que tiene la viga (con los refuerzos de acero que realmente se especificaron en el diseño).

Ln Wu(t/m) Mn d

M ni

Vn =

M ni + Mnd Wu Ln + Ln 2

Fig. V − 2: Cortante de diseño para elementos sismo-resistentes sismo-resistentes en flexión. Estará constituido por estribos cerrados de diámetro mínimo 3/8". El primer estribo deberá ubicarse a la mitad del espaciamiento S 0 ó 5 cm (el menor). − El espaciamiento máximo (en zona de confinamiento) no debe ser mayor de d/4, ocho veces el diámetro de la barra longitudinal de menor diámetro, ni de 30 cm. Siendo la zona de confinamiento igual a 2d, medida a partir de la cara del apoyo hacia el centro de la luz. − El espaciamiento de los estribos fuera de la zona Sded/4 ,confinamiento, S S 8 db,30cm S d/2 deben espaciarse espaciarse a no más d/2 (Fig. V − 3). − −

O

O

O

O

(44) BLANCO B.Antonio B.Antonio . Estructuración Estructuración y diseño de de edificaciones de de concreto armado.pág.256-258 armado.pág.256-258 y 263. Zona de confinamiento

5 cm ó S O/2

2d

Zona de confinamiento 2d

158


Fig. V-3: Espaciamiento del refuerzo transversal. −

Los momentos en los extremos deben considerarse en las dos direcciones, actuando ambos en el mismo sentido y la carga será correspondiente a la hipótesis de sismo (Wu = 1,25(W D + WL)).

Diseñar por corte la viga que se detalla a continuación, considerando los requisitos para elementos sismo −resistentes.

Ejemplo:

2ϕ 3/4 ”+2ϕ2ϕ3 /4”

2ϕ 3/4 ”+ ”+2ϕ5/8 ” A

B

2ϕ3/4 ” 2ϕ 3/4 ”

A

B 5,5 0

4ϕ3/4 ” 2ϕ3/4 ”

2ϕ 3/4 ” A- A

C 5,5 0

4ϕ3/4 ” 2ϕ 5/8 ”

4ϕ3/4 ”

C

2ϕ3/4 ”

2ϕ3/4 ”

2ϕ3/4 ”

2ϕ 3/4 ”

2ϕ3/4 ” B- B

C- C

2,0 0

Columnas: 30 × 40 cm Viga: 30 × 55 cm fc' = 210 Kg/cm 2 fy = 4200 Kg/cm 2 WD = 2,6 t/m, WL = 1,8 t/m

Solución:

Mn = As fy (d − d − a a/2); a =

As. fy 0,85 fc' b

= 0,7843 As

Primer apoyo: As sup = 4ϕ3/4" = 11,36 cm 2, dc = 5,50 ⇒ d = 49,10 cm Asinf = 2ϕ3/4" = 5,68 cm 2, dc = 5,90 ⇒ d = 49,10 cm Mn sup = 11,36 × 4200 (49,10 − 8,91/2) = 21,30 t −m Mninf = 5,68 × 4200 (49,10 − 4,45/2) = 11,18 t −m

Segundo apoyo : As sup = 4ϕ3/4'' + 2ϕ5/8'' = 15,36 cm 2 , dc = 7,02 → d = 47,98 cm As sup = 2ϕ3/4'' = 5,68 cm2 Mn sup = 15,36 × 4200 ( 47,98 −12.05 / 2 ) =27,07 t −m Mninf = 5,68 × 4200 ( 49,10 4,45 / 2) =11,18 t −m (45) UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA- FIC.Diseño de estructuras de concreto armado.Curso armado.Curso de actualización-89-I actualización-89-I

Concreto Armado

159

Tercer apoyo : As sup= 6ϕ3/4'' = 17,04 cm 2 , dc = 7,30 → d = 47,61 cm Asinf = 2ϕ3/4'' = 5,68 cm 2 Mn sup = 17,04 ×4200 ( 47,61 −13,36 / 2) 29,25 t −m Mninf = 5,68 × 4200 ( 49,10−4,45 / 2) =11,18 t −m

CALCULO DE LOS CORTANTES DE DISEÑO: Wu = 1,25 (W D + WL) =1,25(2,6+18)=Wu =1,25(2,6+18)=Wu = 5,50 t/m

Cortante isostático : R=

Wu Ln 2

1º TRAMO

2º TRAMO

Wu = 5,50 t/m

Wu = 5,50 t/m Ln=5,50

Ln=5,50 RA =1 =15, 5,12 12 tn tn

RB=15 =15,,12 tn

RB=15 =15,1 ,122 tn

Cortante debido al refuerzo colocado :

V=

RC=15 =15,1 ,122 tn

Mni + Mnd Ln

Momentos antihorarios 21,30 t-m

5,90 tn

11,18 t-m

5,90 tn

27,07 t-m

6,95 tn

11,18 t-m

6,95 tn

Momentos horarios

CORTANTES FINALES: Primer Tramo * Debi Debido do a mome moment ntos os ant antih ihor orar ario ios: s: − APOYO IZQUIERDO: Vu final = 15,12 + 5,90 = 21,02 tn − APOYO DERECHO: Vu final = 15,12 − 5,90 = 9,22 tn * De Debi bido do a mome moment ntos os hora horari rios os.. − APOYO IZQUIERDO: Vu final = 15,12 − 6,95 = 8,17 tn − APOYO DERECHO: Vu final = 15,12 + 6,95 = 22,07 tn (44) BLANCO B.Antonio B.Antonio . Estructuración Estructuración y diseño de de edificaciones de de concreto armado.pág.256-258 armado.pág.256-258 y 263.

160


Segundo Tramo: * Debi Debido do a mome moment ntos os ant antih ihor orar ario ios. s. − APOYO IZQUIERDO: Vu final = 15,12 + 6,95 = 22,07 tn − APOYO DERECHO: Vu final = 15,12 − 6,95 = 8,17 tn Debido a momentos horarios.

•

− APOYO IZQUIERDO: Vu final = 15,12 − 7,36 = 7,76 tn − APOYO DERECHO: Vu final = 15,12 + 7,36 = 22,48 tn

Envolvente de cortante: 21,02

22,07

8,17

7,76

9,22

Primer tramo

22,07

8,17

Segundo Tramo

22,48

* Co Como mo los corta cortant ntes es en el prim primer er tramo tramo y segu segund ndoo tramo tramo son parec parecid idos os,, diseñaremos con el cortante Vu=22,48 tn, para los dos tramos. tr amos. 7.76 y=4.09 x

y

=

5,50(7,76)

=

30,24

x=1.41

= 1,41 m

5,50(22,48) 30,24

d=49.10

Vud = 4,09

22.48

m

Cortante de diseño : − Wud = 22,48 − 5,50 × 0,4910 = 19,78 tn Vud = Vu cara − Wud Vud φ

=

19,78 = 23, 27 tn 0,85

Cortante que resiste el concreto : Vc = 0,53 Vc

210

= 11,31 tn <

× 30 × 49,10 = 11,31 tn Vud φ

= 23,27 tn ⇒ Hay que diseñar algún tipo de refuerzo

transversal Vu =

Vud φ

− Vc = 23,27 − 11,31 = 11,96 tn →

Vn' = 11,96 tn

Cortante remanente máximo : Vn' máx máx = 2,1

fc '

bd = 2,1

210

× 30 × 49,10

= 44,83 tn > Vn'


Concreto Armado

161

Espaciamiento máximo (2d) = 2 × 49,10 = 98,2 cm

 0,25d = 0,25 × 49,10 = 12,28 S =  8db = 8 × 1,59 = 12,72  30 cm

S máx máx = 12 cm

Cálculo de “S” para el cortante crítico . S =

Avfyd Vu '

⇒ Usar

=

1,42 × 4200 × 49,10 11,960

= 24, 48 cm

> S máx máx

ϕ3/8"@.10 < Smáx.

Nº estribo =

0,982 − 0,05 0,10

= 9,32 ≈ 9 : 1@. [email protected] 05,, 9@. [email protected] 10,, L = 0,9 0,955

Fuera de la zona de confinamiento el espaciamiento máximo será: S = d /2 /2 =

49,10 2

= 24,55 ≈ 25 cm

∴ Usar ϕ3/8": [email protected], [email protected], resto @.25

Cortante en el volado : (Se analiza bajo cargas de gravedad). Wu = 1,4 × 2,6 + 1,7 × 1,8 = 6,7 tn/m Vu = Wu Lv = 6,7 × 2 = 13,4 tn

Cortante de diseño , de = 47,61 cm − Wud = 13,4 − 6,7 × 0,4761 = 10,21 tn Vud = Vn − Wud Vud φ

=

10,21 0,85

= 12,01 tn

Cortante que resiste el cº Vc = 0,53

210

× 30 × 47,61 = 10,97 tn

<

Vud φ

⇒ Vu' = 1,04 tn

Cortante remanente máximo = Vu máx >> Vn' Espaciamiento máximo : 1,1

fc '

bd > Vn' ⇒ Vn' ⇒ S máx /2 = 24 máx = d /2

S máx máx = 24 cm

= 60 cálculo de " S " para el cortante crítico : S =

1,42 × 4200 × 47,61 = 273,02 1040

>> S máx máx.

Sección de refuerzo mínimo: Vno = Vc/2 = (10,97)/2 = 5,49 tn (44) BLANCO B.Antonio B.Antonio . Estructuración Estructuración y diseño de de edificaciones de de concreto armado.pág.256-258 armado.pág.256-258 y 263.

162

Ing°S.Ch Ing° S.Chávez ávez C. Vu cara φ

− 6,7 x = Vno

φ 6,7 x 15,76 − 0,85

= 5,49 ⇒ x = 1,30 m

Area de acero mínimo : S = ⇒

1,42 ×4200 3,5 ×30 1,30 −0,05 0,20

Usar:

= 56,8 cm > S máx máx.

= 56,25 ≈ 6

ϕ3/8": 1@0,05, 6@0,20, resto @0,25 2

 3/4"+2  5 /8"

2

2 3/4"

2 3/4"

2 3/4"

2 3/4"

2 3/4"

2 3/4"

 3/8": [email protected],[email protected],resto @0.25 c/e

0.40

 3/4"+2  3/4"

 3/8": [email protected],[email protected],resto @0.25 c/e

5.50

0.40

5.50

 3/8": [email protected],[email protected],resto @0.25

0.40

2.00

5.2.3 Diseño en zonas de alto riesgo sísmico. (45) Debe diseñarse para la fuerza cortante que se presente en la viga, cuando las secciones extremas alcanzan un esfuerzo en el acero = αfy y la correspondiente a las cargas de gravedad. fs fs = αfy = 1 .25fy ( có código digo ACI)

 

Mn = α As fy  d −

fy

a=

a 



2 

Asfy α 0.85 fc ' b

fs

El cortante de diseño crítico será el correspondiente al de la cara del apoyo. Vu cara ⇒ Vu =

Vu cara φ

; Vn = Vc + V'u

* Hasta "2d ", ", el Vc = 0 ⇒ S =

Avfyd Vn

* Para > "2d ", ", se toma en cuenta la presencia o aporte del concreto Vc. ⇒ S =

Avfyd Vu '

,

Vu ' =

Vu

φ

−Vc


Concreto Armado

163 (-)

(-)

As A

As B

As mí

As A( + )

As(-) 2

Considerando Considerando la dirección del sismo

As mí

As B( + )

Ln

s.

SISMO: M A( -) M A( + ) VA

VB

VA=

WuLn  M A ( + ) + M B ( −)  −  2 Ln  

VB =

WuLn 2

Ln

M A ( +) + M B ( −)   Ln 

−   

SISMO: M ( −) + M B ( +)  +   A  Ln   WuLn  M A ( −) + M B ( +)  −  VB = 2 Ln  

VA =

WuLn 2

Ejemplo: Para una viga "dúctil especial" que se muestra en la figura, diseñar por

fuerza cortante.


164


1φ 3/4 ”

2φ 3/4 ”

2φ 3/4 ”

2φ 1” 0.50

0.50 5.00 5.0 0m B

A

V − 101(0.25 × 0.45) Considerar: Wu = 5.8 t/m , fc' = 350 kg/cm 2 , fy = 4200 kg/cm 2 , = φ3/8'' Solucion

Mn = α As fy(d-a/2)

a=

Asfy α

= 0.7059 As

0.85 fc ' b

APOYO A. As sup = 3φ3/4 = 8.52 cm 2 Asinf = 2φ1'' = 10.20 cm 2 Mn sup = 1.25×8.52×4200 (39.10 – 6.01/2) = 16.14 t −m. Mninf = 1.25 × 10.20 × 4200 (38.78 − 7.20/2) = 18.84 t −m APOYO B. As sup = 4φ3/4" = 11.36 cm 2 Asinf = 2φ1" = 10.20 cm 2 Mn sup = 1.25 × 11.36 × 4200 (39.10 − 8.02/2) = 20.93 t −m Mninf = 1.25 × 10.20 × 4200 (38.78 − 7.20/2) = 18.84 t −m

CÁLCULO DE LOS CORTANTES DE DISEÑO.

Cortante isostático : R =

WuLn 2

Wu=5.8 t/m

5.00 RA =14.5 tn

RB=14 14..5 tn

Cortante debido al refuerzo colocado : V =

Momento antihorario

Mni + Mnd Ln

Momento horario


Concreto Armado

165

16.14 t-m

18.84 tt- m

20.93 t-m

18.84 t-m

Ln=5.00

Ln=5.00

7.0 0 tn

7 . 0 0 tn

7.9 5 tn

CORTANTES FINALES.

7.9 5 tn

* Debido Debido al momen momento to antiho antihorar rario io (tramo) (tramo).. APOYO A. Vn = 14.50 + 7.00 = 21.50 tn

APOYO B. Vn = 14.50 − 7.00 = 7.50 tn

* Debi Debido do al al mome moment ntoo hora horari rioo (tra (tramo mo). ). APOYO A Vn = 14.50 − 7.95 = 6.55 tn

APOYO B Vn = 14.50 + 7.95 = 22.45 tn

Envolvente de cortante. 21.50 6.55

7.50 22.44

CORTANTE DE DISEÑO: Vu = 22.44 tn ⇒

Vn φ

=

22 .44 0.85

= 26.40 tn

Espaciamiento máximo .

 d / 4 = 30.10 / 4 = 9.76 S =  8φ L = 8 × 1.91 = 15.28  30

S máx máx = 10 cm

Cálculo de "S" para el cortante crítico . S =

−)

Avfyd Vn

1.42 × 4200 × 39.10 26.400

= 8.83 ≈ 9.0 cm < S máx máx.

Usar estribos en 2d = 2 × 39.10 = 28.2 cm. @.09. Nº =

−)

=

0.782 − 0.05 0.09

= 8.13

⇒ Usar: [email protected], [email protected];

L = 0.77 m

En zona 2d, considerando la contribución del Cº.


166

Ing°S.Ch Ing° S.Chávez ávez C. Vu = Vu cara − Wu(2d) = 22.44 − 5.8 × 2 × 0.3910 = 17.90 tn ⇒

Vu 17 .90 = = 21.06 tn 0.85 φ

Cortante que absorbe el cº. Vc = 0.53

350

×25 × 39.10 = 9.69 tn <

Vu ⇒ φ

Vu' = 21.06 − 9.69 = 11.37 tn → Vu' = 11.37 tn S =

Avfyd Vu '

=

1.42 × 4200 × 39.10

= 20.51 cm ≈ 20.0 cm

11.370

S máx ≤ d/2 = 39.10/2 = 19.55 ⇒ S máx

∴ Usar:

= 20 cm. φ3/8": [email protected], [email protected], resto @.20

1φ 3/4 ”

2φ 3 /4 ”

2φ 3/4 ”

2φ 1”

φ3/8” [email protected], [email protected], resto @.20 C/E

0 .5 0

0 .5 0 5.00 5. 00 m

5.3. DISEÑO DE SISTEMA DE PISOS: En losas unidireccionales, no se diseña el refuerzo transversal por corte, lo que se hace es simplemente chequeo por corte, así tenemos:

A. LOSA LOSA LLEN LLENA A O MACIZA MACIZA.. W D = 0.5 0.50 t/ t/m m L = 5 .5 0 V IG IG AS A S : 3 0 × 50

W L = 0.2 0.255 t/m t/m L = 5 .50

30× 50

3 0× 5 0

Esta losa ha sido diseñada por flexión, utilizando los coeficientes del ACI, e=17 cm., fc' =210 =210 Kg./cm2; fy = 4200 Kg./cm. Solución:

Wu = 1.4 × 0.50 + 1.7 × 0.25 ⇒ Wu = 1.12 t/m


Concreto Armado

167 Wu = 1.12 t/m Ln = 5.20

Ln = 5.20 B

A

Coef. 0.5 Vu 2.91 φ 3.42 Vu/ φ

C

0.575 0.575 3.35 3.35 3.94 3.94

0.5 2.91 3.42

Cortantes críticos de diseño. TRAMO AB = BC − Wud = 2.91 − 1.12 × 0.14 = 2.75 tn ⇒ APOYO A:Vud = Vu cara − Wud

APOYO B:Vud = Vu

− Wud = 2.91 −

cara

Vud

1.12 × 0.14 = 3.19 tn ⇒

φ

= 3.24 tn

Vud φ

= 3.75

tn

Cortante que aporta el concreto. Vc = 0.53

fc '

∴ Vc = 10.75 tn

bd = 0.53

>

Vud φ

210

× 100 × 14 = 10.75 tn

(3.24, 3.75 tn) ........... O.K.

O sea que la losa no fallará por fuerza cortante. Si Vc <

Vud φ

⇒ podemos mejorar la calidad del concreto ó aumentar el espesor

de la losa. Aumentando el espesor: Vc = 0.53

fc '

bd =

Vud ⇒ d = .............. ⇒ e = d + dc φ

B. LOSA LOSA ALIG ALIGER ERAD ADA. A. Wu = 0.4 .48 8 t/m×v

A

Ln = 5.20 Ln = 5.50

VIGA GAS: S: 30×50

B

Ln = 5.20 Ln = 5.50

30×50

C 30×50

Esta losa aligerada ha sido diseñada por flexión, utilizando los coeficientes del ACI, e=20 cm, fc'=210 Kg./cm2, fy = 4200 Kg./cm 2. Solución:

Wu = 0.48 t/mxv L n = 5.20 A

Coef. 0.5 Vu 1.25

L n = 5 .2 0 B

0.575 0.575 1.44 1.44


C

0.5 1.25

168

Ing°S.Ch Ing° S.Chávez ávez C. φ Vu/ φ

1.47

1.69

1.69

1.47

Cortantes críticos de diseño. TRAMO AB = BC APOYO A: Vud = 1.25 − 0.48 × 0.17 = 1.17 tn ⇒ APOYO B:Vud = 1.44 − 0.48 × 0.17 = 1.36 ⇒

Vud φ

Vud φ

= 1.38 tn

= 1.60 tn

Cortante que resiste el cº. El código ACI recomienda que tratándose de losas aligeradas y nervadas la fuerza cortante del concreto debe incrementarse en un 10%. Vc = 1.10 × 0.53 Vc

= 1.44 >

fc '

Vud φ

bwd = 1.10 × 0.53

210

× 10 × 17 = 1.44 tn

= 1.38 tn ........ O. K., pero Vc < Vud/Φ=1.60 tn;entonces

podemos solucionar solucionar el problema :

 − Mejorar la calidad del C   − Aumentar el peralte o  − Ensanchar la vigueta 

º

Optemos por ensanchar la vigueta: Vc = 1.10 × 0.53

210

× bω × 17 =

Vud φ

= 1600

bω = 11.14 cm ≈ 11.0 Vu / φ −Vc Vu Xv = , φ : en la cada del apoyo =

Wu 1.69 −1.44 0.48

= 0.52 m, Xv = 0.52 m

Ensanche en apoyo B: b ω =0 =0.10 .10

0.11 0.52


7 Esfuerzo Cortante y Traccion Diagonal

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