Unidad 9 “Resistencia al esfuerzo cortante” 6.1. Estado de esfuerzos y deformaciones planas
Introducción a los estados de esfuerzos y deformaciones planos Se dice que un medio continuo está sometido a un estado de esfuerzos plano continuo cuando puede determinarse un plano al que resulten paralelos los segmentos dirigidos representativos de los esfuerzos en todos los puntos de dicho medio. Es decir, los esfuerzos normales y tangenciales paralelos a la normal a ese plano determinado son nulos en todo todos s los los punt puntos os del del medi medio o
σ x =τ zy = τ xz ¿
). Adem Además, ás, los esfuer esfuerzo zos s no
nulos son independientes de la coordenada x. Se dice que un medio continuo está sometido a un estado continuo de defor deformac mació ión n plana plana cuand cuando, o, para para todo todos s los punto puntos s del del medio medio puede puede determinarse un plano en el cual las deformaciones normales asociadas a l sean nulas y cuando, simultáneamente, existen otros dos planos normales al primero y entre s!, en los que las deformaciones angulares asociadas sean tam"in nulas.
Seg#n la $eor!a de la Elasticidad el estado de esfuerzos plano en un punto punto está está de%ni de%nido do cuand cuando o se conoce conocen n los los esfue esfuerzo rzos s en ese punto punto,, asociados a dos planos cualesquiera paralelos al e&e ' y mutuamente perpendiculares. En efecto, considrense conocidos los esfuerzos en (, ligados a los planos ' y '*, cuyas trazas con el plano * son los e&es y *, respectivamente.
+el equili"rio del prisma triangular en la ig. '-/ se deduce0 1
σF y =0 ; Sny −σ y cosα −T yz senα + Yh =0 2
1
σF z =0 ; S nz −σ z senα −T zy cosα + Zh =0 2
1as fuerzas y * son las componentes de las fuerzas de masa en las direcciones de los e&es y *, respectivamente. Si ahora h 2, con lo que δ 34 δ 5 se tiene0 S ny =σ y cosα + T yz senα S nz = σ z senα + T zy cosα
1as componentes normal 6 Sn
σ n
) y tangencial 6
τ n
) del esfuerzo total
, asociado al plano A7, de%nido por el versor 8 6cos a, sen a ) ,
pueden o"tenerse sencillamente tam"in con los productos escalares0 σ n =ŝ n . ñ τ n =ŝ n . m
En $eor!a de la Elasticidad se demuestra que existen planos ortogonales entre s!, llamados principales de esfuerzo, en los que los esfuerzos tangenciales son nulos, existiendo #nicamente esfuerzos normales, denominados principales9 se demuestra tam"in que en un estado de esfuerzos plano, hay dos planos principales, con su correspondiente
esfuerzo principal ligado9 uno de stos es el mayor de todos los esfuerzos normales actuantes en el punto considerado, mientras el otro es el menor.
1levando estos valores a las ecuaciones generales 6:::), se o"tiene0 S n cosα ¿ σ y cosα + τ yz senα S n senα ¿ σ y senα + τ zy cosα
+e donde puede seguirse0 σ
¿ (¿ y − S ¿ ¿ n ) cosα +τ yz senα =0 ¿ ¿ σ
¿
(¿ z − S ¿ ¿ n ) senα +τ zy cosα =0 ¿ ¿
Solución gráca de Mohr Se vio que a cada elemento del con&unto de los versores 8 le co rresponde un elemento del con&unto de pare&as ordenadas 6 ;ohr esta"leció que al construir el plano coordenado6
α n
,
τ n
α n
,
τ n
).
), a cada
versor ñ, que representa un plano a travs del punto P con dirección
de%nida, le corresponde un punto en ese plano coordenado, cuyas coordenadas miden los esfuerzos ligados a dicho plano. Sin em"argo, la rec!proca es falsa9 es decir, existen puntos en el plano 6
α n
,
τ n
) que
no representan esfuerzos actuantes en el punto P. As!, se plantea naturalmente el clásico pro"lema resuelto por ;ohr0 encontrar, en el plano coordenado 6
α n
,
τ n
), el lugar geomtrico de los puntos que
representen esfuerzos actuantes en el punto P.
<ótese que en la ig. '-=, el ángulo / α se ha llevado en el sentido de las manecillas del relo&, que es contrario al que se ha tomado en la ig. '-/. En un estado tridimensional de esfuerzos, los esfuerzos asociados a las distintas direcciones en un punto dado pueden o"tenerse por una extensión de la teor!a presentada en los párrafos anteriores. 1a $eor!a de la Elasticidad demuestra que en el caso más general, existen tres planos normales entre s! en los que no existe esfuerzo cortante, sino esfuerzo normal solamente9 estos planos son principales. En esos estados tridimensionales, si se elige como plano coordenado aquel al que resultan paralelos los segmentos dirigidos representativos de dos de los esfuerzos principales. En el estado tridimensional de esfuerzos se tienen as!, por lo general, tres c!rculos de ;ohr asociados a un punto, los cuales resultan tangentes entre s!, de modo que uno de los c!rculos envuelve a los otros dos. Este queda de%nido por los esfuerzos principales mayor y menor y es el que, por lo general, interesa analizar espec!%camente en ;ecánica de Suelos, de"ido a que la $eor!a de alla más usada en este campo involucra a los esfuerzos normales asociados a los esfuerzos tangenciales máximos que se pueden presentar en el punto considerado. iscusión so!re el signo de los esfuerzos y "eor#a del $olo
En ;ecánica de Suelos se suele esta"lecer la convención de que los esfuerzos normales de compresión son los positivos y, aunque por lo general en la práctica no se requiere un análisis detallado so"re el signo de los esfuerzos cortantes, no de&a de ser conveniente en algunos casos esta"lecer algunas reglas y convenciones a este #ltimo respecto.
1as nuevas ecuaciones son0 σ =
τ =
σ 1+ σ 3 σ 1−σ 3 2
σ 1−σ 3 2
+
2
cos 2 θ
sen 2 θ
Si > ? @2, como en la ig. '-B,
τ resulta positivo9 el ángulo
δ que
mide la desviación entre el esfuerzo normal y el resultante en el elemento triangular, se genera, as!, en el sentido de las manecillas del relo&, sentido que se considera positivo por corresponder a un valor positivo del esfuerzo cortante
τ .
C"srvese que en ese c!rculo de ;ohr los valores positivos del ángulo δ aparecen hacia arri"a a partir del e&e horizontal y que el ángulo 2 θ se genera a partir de dicho e&e horizontal, en sentido contrario al de
las manecillas del relo&. En un caso más general, si los esfuerzos principales no son horizontales y verticales, respectivamente, el c!rculo de ;ohr puede servir para encontrar los esfuerzos actuantes en cualquier dirección y ligados a un puntoconsiderado de la masa de suelo, siempre y cuando se conozcan las magnitudes y las direcciones de los esfuerzos principales. El procedimiento para ello es esencialmente el mismo visto antes. En la ig. '-D se ilustra la construcción. Sea un punto de una masa de suelo, su&eto a esfuerzos principales actuantes seg#n las direcciones d x y d t. Se trata de determinar los esfuerzos en ese punto, ligados a una dirección AA', que forma un ángulo
θ con la dirección
d3 .
En el c!rculo de ;ohr se o"serva que para diferentes puntos tales como el D, correspondientes a diferentes inclinaciones del plano en que se miden los esfuerzos, la magnitud de stos var!a. 1a ig. '-F muestra la variación relativa de los esfuerzos normales y tangenciales al tomar > diferentes valores.
Relaciones de esfuerzos principales Gesulta de utilidad para estudios que se detallan en lo que sigue, principalmente referentes a esta"ilidad de masas de tierra, esta"lecer la relación entre los esfuerzos principales actuantes en un punto de la masa, supuesta en estado de falla incipiente. +entro de las teor!as de falla más importantes en el estado actual de la ;ecánica de Suelos, %gura una, seg#n la cual el material falla cuando el esfuerzo cortante en cualquier sección adquiere un valor
S , que
depende del esfuerzo normal actuante en dicha sección. τ =S =σ tan ∅
1a inclinación del plano en que act#an dichos esfuerzos respecto al plano en que act#a vi, el esfuerzo principal mayor, queda medida por el θ , que ahora vale, seg#n se desprende de la geometr!a de la
ángulo
misma ig. '-@. θ= 45 +
∅
2
(or lo tanto en de%nitiva queda0 σ 1 σ 3
=cotan
2
(
45
∅
) ( + )=
− = tan 2
2
45
∅
2
N
∅
$rue!a directa de resistencia al esfuerzo cortante 1a prue"a directa de resistencia al esfuerzo cortante fue prácticamente la #nica usada para la determinación de la resistencia de los suelos9 hoy, aun cuando conserva inters práctico de"ido a su simplicidad, ha sido sustituida en "uena parte por las prue"as de compresión triaxial. En sta, como en todas las prue"as de resistencia de suelos, ca"en dos posi"ilidades de realización0 el mtodo de esfuerzo controlado y el de deformación controlada. En el primero la prue"a se lleva a efecto aplicando valores %&os de la fuerza tangencial al aparato de modo que el esfuerzo aplicado tiene en todo momento un valor pre%&ado9 en el segundo tipo, la máquina act#a con una velocidad de deformación cons tante y la fuerza actuante so"re el espcimen se lee en la "áscula de la máquina que la aplica.
Es sa"ido que cuando un material falla en una prue"a de resistencia su curva esfuerzodeformación será seme&ante a alguno de los dos arque tipos que aparecen en la ig. '--B.
1a curva llena, de 6a) es representativa de materiales llamados de Hfalla frágilH y se caracteriza porque despus de llegar el esfuerzo a un
máximo "ien de%nido 6resistencia) desciende rápidamente, al aumentar la deformación. 1a curva 6") corresponde a materiales de Hfalla plásticaH en los que la falla se produce a un esfuerzo que se sostiene aunque la deformación aumente9 la falla no está "ien de%nida, ha"iendo en realidad lo que suele denominarse un Iu&o del material, "a&o esfuerzo constante. $rue!a %in situ% por medio de la &eleta 1a prue"a de la veleta es una contri"ución relativamente moderna al estudio de la resistencia al esfuerzo cortante de los suelos HcohesivosH. 1a prue"a presenta, en principio, una venta&a considera"le0 la de realizarse directamente so"re los suelos Hin situH, es decir, no so"re muestras extra!das con mayor o menor grado de altera"ilidad, sino so"re los materiales en el lugar en que se depositaron en la naturaleza. 1a alteración de los suelos su&etos a la prue"a dista, sin em"argo, de ser nula, pues la veleta ha de hincarse en el estrato en el cual vayan a realizarse las determinaciones y esta operación e&erce siempre inIuencia negativa. 1a prue"a guarda cierta similitud, desde un punto de vista interpretativo de sus resultados, con la prue"a directa de resistencia ya mencionada y está afectada por algunas de sus limitaciones.
