CORTANTE CORTANTE Y TRACCI TRACCION ON DIAGONAL EN VIGAS
INTRODUCCION
(A) VIGA DE CONCRETO SIMPLE. FALLA FRÁGIL: SE PARTE EN DOS
(B) VIGA DE CONCRETO REFORZADA EN TRACCION POR FLEXION. FALLA FRAGIL POR TRACCION EN PLANO DIAGONAL BC
(C) BARRA DOBLADA (D) ESTRIBO VERTICAL REFUERZO DE CORTE POR TRACCION DIAGONAL
ESTRIBO VERTICAL
(E) VIGA CON REFUERZO POR FLEXION Y CORTE POR TRACCION DIAGONAL
ESFUERZOS DE TRACCIÓN DIAGONAL (ADAPTADO DE DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO - A NILSON, D DARWIN. 12A EDICIÓN. MCGRAW MCGRAW HILL, 2000).Los esfuerzos de tracción, que son de especial interés por la baja resistencia a la tracción del concreto, no están limitados a los esfuerzos horizontales de tracción f causados por flexión pura. Existen esfuerzos de tracción con varias inclinaciones y magnitudes, que resultan del cortante sólo (en el eje neutro) o de la combinación de cortante y flexión, y estos se presentan en toda la viga y pueden afectar su integridad si no se consideran adecuadamente. Por consiguiente, los esfuerzos de tracción inclinados, conocidos como esfuerzos de tracción diagonal, deben tenerse en cuenta de manera cuidadosa en el diseño del concreto reforzado.
Viga Homogénea, Elástica, Isotrópica, No Agrietada.- Diagrama de Esfuerzos Normales (DEN), Diagrama de Esfuerzos Cortantes (DEC).Esfuerzos Principales. A x del apoyo, esfuerzos en 1,2, 3:
Esfuerzos principales en 1, 2, 3:
fc MAX
2
2
ft ft ft 2 v1 ; ft MAX v12 ; 2 2 2 2 ft
C de Mohr
Trayectorias de Tracción Trayectorias Trayectorias de compresión
TRAYECTORIAS DE ESFUERZOS PRINCIPALES
RESISTENCIA A LA TRACCIÓN DIAGONAL DE VIGAS CON REFUERZO LONGITUDINAL POR FLEXIÓN PERO SIN REFUERZO POR TRACCIÓN DIAGONAL.- FORMACIÓN DE GRIETAS DIAGONALES.LOCALIZACIONES CARACTERÍSTICAS DE COMBINACIONES CRITICAS DE CORTANTE Y MOMENTO
AGRIETAMIENTO AGRIETAMIENTO DE TRACCION DIAGONAL EN VIGAS CON REFUERZO LONGITUDINAL POR FLEXION PERO SIN REFUERZO POR TRACCION DIAGONAL.-
Vcr 0.93 f c' bwd bwd
Vcr 0.5 f c' bwd bwd
Vgrande Mpequeño
Vgrande Mgrande
AGRIETAMIENTO AGRIETAMIENTO DE CORTE EN EL ALMA
AGRIETAMIENTO AGRIETAMIENTO DE CORTANTE Y FLEXION
a
b
RESISTENCIA AL CORTANTE PROPORCIONADA POR EL CONCRETO.-
Vu d Vc 0.5 fc fc 176 pw 0.93 f ' c bw d Mu Vc : Resistencia nominal al cortante proporcionada por el concreto Vu : Fuerza cortante amplificada en la sección Mu : Momento amplificado en la sección d
: Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del refuerzo longitudinal en tracción
bw : Ancho del alma pw : Cuantía del área de refuerzo As evaluada sobre el área bw d As : Area de refuerzo longitudinal longitudinal a tracción Vud/Mu 1 Simplificando:
Vc 0.53 f ' c bw d
Sistema
Vcr
**
Vcr
Mks Kg.f/cm2
176 p V d 0.5 0.93 M f ' c f ' c
*
f ' c
0.53
Carga externa
Apoyo continuo
Cortante del alma (TD)
Cortante del alma (TD)
flexión y Flexo-cortante
Apoyo simple y de extremo
flexión y Flexo-cortante
CATEGORIA DE LAS GRIETAS Adaptado de Concreto Reforzado Un Enfoque Básico. E. Nawy 1988
TIPOS DE FALLA SEGÚN ESBELTEZ DE LA VIGA (a/d, Lc/d) carga P
carga w a) Falla por flexión (F) Viga esbelta
b) Falla por tracción diagonal (TD) viga intermedia
c)Falla en compresión por cortante (CC) viga de gran peralte
EFECTO DE LA ESBELTEZ DE LA VIGA EN EL MODO DE FALLA RELACION CATEGORIA DE LA VIGA
MODO DE FALLA
CLARO DE CORTANTE / PERALTE COMO UNA MEDIDA DE ESBELTEZ a CARGA CONCENTRADA
CARGA DISTRIBUIDA
a/d
Lc/d
ESBELTA
FLEXION (F)
> 5.5
> 16
INTERMEDIA
TRACCION DIAGONAL (TD)
2.5 – 5.5
11 – 16b
DE GRAN PERALTE
COMPRESION POR CORTANTE (CC)
1 – 2.5
1 – 5b
a : a = Claro de cortante para Cargas Concentradas Lc : Claro de cortante para Cargas Distribuidas d : Peralte efectivo de la Viga b : Para una carga uniformemente distribuida, se presenta una transición del
6.2 TEORIA BASICA Adaptado de Reinforced Concrete. Mechanics and Design. 5th ed JK K Wight, JG MacGregor 2009 Pearson Prentice Hall)
ESFUERZO DE CORTE PROMEDIO ENTRE GRIETAS.Grietas Verticales de flexión que se inclinan diagonalmente al aumentar la carga:
En la figura: Equilibrio entre dos grietas:
T M j d T T M M j d
T M j d Se sabe: M / x V Entonces: T V x j d
La zona sombreada 1 de la figura anterior se observa más abajo. La Fuerza T del refuerzo de acero se transfiere por esfuerzo cortante a la parte superior de la viga siendo el esfuerzo cortante promedio:
v T bw x Como:
T x V j d v V bw j d Si: q FLUJO DE CORTE
bw
La figura muestra la distribución de esfuerzos de corte horizontal promedio o distribución de esfuerzos de corte vertical promedio v
OBSERVACION.- En el Procedimiento de diseño el ACI y la NTE E060 simplifican el brazo jd por d por lo que el esfuerzo cortante es v = V / ( bw d)
MECANISMO DE VIGA Y MECANISMO DE ARCO.-
MECANISMO DE VIGA.- EN LA VIGA DE SECCION CONSTANTE: M = T jd SIENDO
jd = BRAZO DEL PAR ,
SE TIENE : DERIVANDO:
V = dM / dx = d (T j d ) / dx V = (j d ). d ( T ) / d x + (T) . d (jd) / dx
EN LA TEORIA DE LA VIGA: jd = CONSTANTE, ENTONCES: d (j d ) / d x = 0 POR LO QUE: CON:
V = (j d ). d (T )/dx
d (T) / dx = flujo de corte, ya visto.
MECANISMO DE ARCO.- El otro caso extremo ocurre cuando el flujo de corte no puede ser transmitido. Se debe a que no hay adherencia entre concreto y acero o porque una grieta inclinada, que une la carga con la reacción, impide el flujo de corte. Entonces: V = T . d (jd) / dx = C . d (jd) / dx
Figura 6.6
REFUERZO POR CORTE.Grietas Inclinadas y Refuerzo por Corte.-
(a) Grieta por Flexión
(b) Grieta Inclinada
(c) Refuerzo Inclinado por Corte
(d) Refuerzo Vertical por Corte: Estribos
(c) Los estribos inclinados (y las barras dobladas) no son efectivas en vigas sujetas a inversión de cortante, como ocurre con las cargas de sismo, ya que forman agrietamiento paralelo al refuerzo inclinado haciéndolo inefectivo.
6.3 COMPORTAMIENTO DE VIGAS QUE FALLAN POR CORTANTE El comportamiento de las vigas que fallan por cortante varía ampliamente dependiendo de la contribución relativa del mecanismo de viga y del mecanismo de arco así como de la cantidad de refuerzo por cortante. COMPORTAMIENTO DE VIGAS SIN REFUERZO EN EL ALMA En la figura 6-8a la viga de sección rectangular de ancho b y peralte efectivo d está simplemente apoyada, tiene refuerzo longitudinal por flexión únicamente y soporta dos cargas puntuales verticales V a la distancia a de cada apoyo. La sección transversal permanece constante conforme varía la luz libre de la viga. La distancia a se denomina claro de cortante por ser la parte de la luz total de la viga en la cual el esfuerzo cortante es alto. En las figuras 6-8b y 6-8c se observa momentos y cortantes en el agrietamiento inclinado y en la falla en función de la relación claro de cortante / peralte efectivo (a /d). El máximo momento y cortante que se puede desarrollar corresponde a la capacidad de momento nominal Mn de la sección transversal que está marcado como una línea horizontal en la Fig. 6-8b. En esta figura el área rayada muestra la reducción de resistencia debida al cortante. Para asegurar que la viga alcanza su máxima capacidad en flexión Mn se coloca refuerzo en el alma.
Fig. 6-8
(a) Beam
Fig. 6-8 (b) Moments at cracking and failure.
(c) Shear at cracking and failure. Fig. 6-8: Effect of a/d ratio on shear strength of beams without stirrups
- En la figura 6-8b los claros de cortante se pueden dividir en: corto, esbelto y muy esbelto. Como viga de gran peralte también se conoce a la viga de claro de cortante corto. - En claros de cortante muy cortos (a/d de 0 a 1), se desarrollan grietas inclinadas que unen la carga puntual con el apoyo. Estas grietas destruyen el flujo de corte horizontal desde el refuerzo longitudinal hasta la zona comprimida de la viga y cambian su comportamiento de mecanismo de viga a mecanismo de arco (Fig. 6-6 ó 6-9). En este caso, el refuerzo longitudinal funciona como el tirante en tracción de un arco atirantado que tiene una fuerza de tracción constante entre apoyos. La falla por anclaje (anchorage failure) en los extremos del tirante es el modo de falla más común en estas vigas. - En los claro de cortante cortos (a/d de 1 a 2.5) se desarrollan grietas inclinadas y luego de una redistribución de fuerzas internas la viga está en capacidad de soportar carga adicional debido en parte al mecanismo de arco. La falla final de estas vigas será causada por falla por adherencia (bond failure), falla por separación (splitting failure), o falla por dovela (dowel failure) a lo largo del refuerzo en tracción ( Fig. 6-10a), o por aplastamiento de la zona comprimida por encima de la grieta (Fig. 6-10b). Esta última se conoce como falla en compresión por cortante (shear-compression failure). Como la grieta inclinada generalmente penetra en la viga más arriba que la grieta por flexión, la falla ocurre antes de alcanzar Mn.
Fig. 6-9: Modes of failure of deep beams, a/d = 0.5 to 2.0
(a) Shear-tension failure.
(b) Shear compression failure. Fig. 6-10: Modes of failure of short shear spans, a/d = 1.5 to 2.5
- En claros de cortante esbeltos (a/d de 2.5 a 6 aproximadamente), las grietas inclinadas destruyen el equilibrio en tal grado que la viga falla para la carga correspondiente al agrietamiento inclinado ( Fig 6-8b). - Las vigas muy esbeltas (a/d mayor de 6 aproximadamente) fallarán en flexión antes que se formen las grietas inclinadas. - Es importante notar que para vigas con claros de cortante corto y muy corto, una parte considerable de la capacidad de carga luego del agrietamiento inclinado se debe a la carga que transmiten los puntales de compresión (Fig 6-9 y 6-10). Si la viga no estuviese cargada en su parte superior y apoyada en su parte inferior (Fig.6-9), entonces estos puntales de compresión no se formarán, y la falla ocurre en, o cerca de, la carga de agrietamiento inclinado. - Como el momento en el punto donde se aplica la carga es M = V a (Fig. 6-8a), ahora la Fig. 6-8b se puede graficar en función de la capacidad al cortante como en la Fig. 6-8c. En la Fig. 6-8c la línea curva superior representa el cortante correspondiente a la falla por flexión. Si no se coloca estribos, la viga fallará al cortante que indica la línea " falla por cortante" ("shear failure"). Para a/d algo mayor a 2 esta es casi constante. Como antes (Fig 6-8b), el área rayada indica pérdida de capacidad debido al cortante. Notar que para claros de cortante corto y esbelto las cargas de agrietamiento inclinado (inclined cracking loads) son casi constantes. Esto se toma en cuenta en el diseño no considerando la relación a / d en las ecuaciones del cortante por agrietamiento inclinado. En vigas esbeltas, el agrietamiento inclinado provoca la falla inmediata si no se coloca refuerzo en el alma. En vigas muy esbeltas el cortante necesario para el agrietamiento inclinado supera al cortante correspondiente a la falla por flexión por lo que las vigas fallarán en flexión antes que aparezca el agrietamiento inclinado.
AGRIETAMIENTO INCLINADO Antes que se presente la falla por cortante deben haber grietas inclinadas. Las grietas inclinadas se forman de dos maneras distintas (Fig. 6-12). En vigas I de alma delgada, con a/d pequeño, los esfuerzos cortantes en el alma son grandes mientras que los esfuerzos por flexión son bajos. En unos pocos casos extremos, y en algunas vigas pretensadas, los esfuerzos principales de tracción en el eje neutro pueden superar a los que se presentan en las alas inferiores. En este caso aparece una grieta de cortante en el alma (web-shear crack) (Fig. 6-12a). Se puede hallar el corte correspondiente al agrietamiento inclinado como el corte necesario para causar un esfuerzo principal de tracción igual a la resistencia en tracción del concreto en el centroide de la viga. Sin embargo, en la mayoría de las vigas de concreto armado primero aparecen las grietas por flexión que se extienden mas o menos verticalmente dentro de la viga (Fig. 6-12b). Estas grietas modifican el estado de esfuerzos en la viga provocando concentración de esfuerzos cerca de la cabeza de la grieta. A su debido tiempo, puede ocurrir que 1) las grietas por flexión se extiendan transformándose en grietas de flexión-cortante (flexure-shear cracks) (Fig. 6-12b), o 2) se formen grietas de flexión-cortante en la zona no agrietada por encima de las grietas por flexión. El agrietamiento por flexión-cortante no puede predecirse calculando los esfuerzos principales en una viga no agrietada. Por este motivo se han desarrollado ecuaciones experimentales para hallar la carga de agrietamiento por flexión-cortante.
Fig 6-12a Web-shear crack
Fig 6-12b flexure-shear cracks
FUERZAS INTERNAS EN UNA VIGA SIN ESTRIBOS Las fuerzas que transmiten cortante a través de la grieta inclinada de una viga sin estribos se muestran en la Fig. 6-13. El cortante se transmite a lo largo de la línea A-B-C por: V cz ,el cortante en la zona comprimida V ay , la componente vertical del corte transmitido a través de la grieta por trabazón Interna debida al agregado sobre las dos caras de la grieta (aggregate Interlock) V d , fuerza de dovela debida al refuerzo longitudinal (dowel action) Vd y Vay en conjunto contribuyen hasta con 40 % a 60 % del cortante total, inmediatamente después que se presenta el agrietamiento inclinado.
Considerando la porción D-E-F debajo de la grieta y sumando momentos con respecto al punto E del refuerzo, Vd y Va dan momentos que son equilibrados por la fuerza de compresión D-E el equilibrio de fuerzas horizontales da
. En la sección C 1' A-B-
T 1 C 1 ;luego C 1'
' equilibran externo en la sección. T 1 yelC momento C 1 1
Va disminuye conforme se ensancha la grieta, aumentando el cortante que resisten Vcz y Vd. Vd provoca una grieta que separa al concreto a lo largo del refuerzo (Fig.6-10a). Entonces, Vd disminuye hasta casi anularse. Al desaparecer Va y Vd también lo hacen V’cz y C 1' resultando que todo el cortante y la compresión son transmitidos en el ancho A-B encima de la grieta.
Fig 6-13 Internal forces in a cracked beam without stirrups
En esta etapa de la vida de la viga, la sección A - B es tan chica para resistir las fuerzas de compresión necesarias para el equilibrio que se ' C aplasta o pandea. También se debe observar que si 1 = 0, entonces
T2 = T1
, y
T2 = C1.
Es decir, la grieta inclinada hace que la fuerza de
tracción en el punto C dependa del momento en la sección A- B- D-E .
Este cambio en la fuerza de tracción debe ser considerado en el diseño al especificar los puntos de corte de la varilla y el anclaje de las barras de refuerzo. La falla por corte de una viga esbelta sin estribos es repentina y dramática.
FACTORES QUE AFECTAN LA RESISTENCIA AL CORTANTE DE VIGAS SIN REFUERZO EN EL ALMA Las vigas sin refuerzo en el alma fallarán cuando se presente el agrietamiento inclinado o poco después. Por este motivo, su capacidad al corte es considerada igual al cortante por agrietamiento inclinado. La carga de agrietamiento inclinado de una viga depende de cinco variables principales, algunas incluidas en las ecuaciones de diseño pero otras no.
1. RESISTENCIA A LA TRACCION DEL CONCRETO.- La carga correspondiente al agrietamiento inclinado depende de f ct que es la resistencia a la tracción del concreto. En el alma de una viga el estado biaxial de esfuerzos comprende los esfuerzos principales de tracción y compresión. En forma similar se presenta el estado biaxial de esfuerzos en el ensayo de tracción indirecta, y la carga correspondiente al agrietamiento inclinado es frecuentemente relacionada con la resistencia de esta prueba. Como se expuso anteriormente, el agrietamiento por flexión previo al agrietamiento inclinado destruye el campo de esfuerzos elásticos a tal grado que se presenta el agrietamiento inclinado a un esfuerzo principal de tracción del orden de 0.5 f ct de la sección no agrietada.
2. CUANTIA DEL REFUERZO LONGITUDINAL ( p w ).- La Fig. 6-14 muestra la capacidad al cortante ( en psi) de vigas simplemente apoyadas sin estribos en función de la cuantía pw = As / (bw d ). El rango práctico de la cuantía pw de vigas que desarrollan fallas por cortante está entre 0.0075 y 0.025. En este rango la resistencia al cortante es aproximadamente
V c 2 f ' c bw d o, en SIU
V c f ' c bw d / 6
En MKS
V c 0.53 f ' c bw d
lb 6 8a N 6 8 Ma kgf
como está marcado por la línea segmentada horizontal en la Fig 6-14. Esta ecuación tiende a sobreestimar Vc para vigas con bajas cuantías de acero. Cuando pw es pequeño las grietas por flexión alcanzan una mayor altura dentro de la viga y se abren más que si pw es alto. Un aumento del ancho de la grieta, hace que disminuyan los valores máximos de las componentes Vd y Vay del cortante que son transferidas a través de las grietas inclinadas por acción de dovela o por esfuerzos cortantes sobre las superficies de la grieta. Ocasionalmente, la resistencia al deslizamiento a lo largo de la grieta Vci = V ay + Vd, cae por debajo de lo requerido para resistir las cargas provocando la falla de la viga por cortante. En una viga sin estribos, la falla es repentina.
Fig 6-14 Effect of reinforcement ratio, w, on shear capacity, Vc, of beams without stirrups. 6-7
3. RELACION CLARO DE CORTANTE A PERALTE ( a / d ).- La relación a / d o M d / V afecta a los cortantes por agrietamiento inclinado y cortantes últimos de claros de cortante con a / d menores
de 2 , como está indicado en la Fig. 6-8c, que corresponden a claros de cortante de vigas de gran peralte. Para valores mayores de claros de cortante, tiene poco efecto la relación a/ d sobre el cortante de agrietamiento inclinado (Fig. 6-8c) y puede ser despreciado.
4. CONCRETO LIVIANO.- A igual resistencia a la compresión f'c, el concreto de agregado de peso liviano resiste menos en tracción que el concreto de agregado de peso normal. Como la resistencia al cortante de un miembro de concreto sin refuerzo en el alma está en relación directa con la resistencia en tracción del concreto, las ecuaciones para Vc similares a la (6-8a) deben modificarse para elementos construidos con concreto liviano. El Reglamento del ACI lo considera con la introducción del factor que toma en cuenta la diferencia en la resistencia en tracción del concreto liviano. Vc 2 f ' c bw d
o, en SIU
Vc f ' c bw d / 6
(6-8b) (6-8bM )
= 0.85 concreto liviano de arena de peso normal = 0.75 otros concretos livianos
Alternativamente: si fct = resistencia del ensayo indirecto de tracción del concreto liviano fct / 6.7 f ' c 1.0
5. TAMAÑO DE LA VIGA.- Un aumento en la altura total de una viga con muy poco (o sin) refuerzo en el alma resulta en una disminución del cortante en la falla, para f’c, pw, a / d dados. El ancho de una grieta inclinada depende del producto de la deformación unitaria en el refuerzo que cruza la grieta y del espaciamiento de las grietas. Con el aumento de la altura de la viga, los espaciamientos de grietas y los anchos de grieta tienden a aumentar. Esto lleva a una reducción del esfuerzo de corte máximo, VCiMAX, que puede ser transferido a través de la grieta por trabazón interna del agregado. Se produce una situación inestable cuando los esfuerzos cortantes transferidos a través de la grieta superan la resistencia al cortante, V CiMAX. Cuando esto ocurre, las caras de la grieta se deslizan una con respecto a la otra. La Fig. 6-15 muestra una disminución significativa en las resistencias al cortante de vigas geométricamente similares, uniformemente cargadas, con peraltes efectivos d que varían entre 4 “ y 118", fabricadas con tamaño máximo de agregado grueso de 0.1", 0.4" y 1".
Las líneas segmentadas en la Fig.6-15 muestran la variación en los ensayos de la fuerza cortante de vigas sin estribos. Como se muestra las vigas fueron cargadas uniformemente y están simplemente apoyadas. Cada punto circular negro en la figura corresponde a la resistencia de una viga cuya sección está debajo del mismo. Hay muy buena correlación entre los cortantes en la falla y las líneas segmentadas en la Fig. 6-15. La línea horizontal en Vu f ' c bw d 2.0 muestra el cortante Vc que el ACI 318 asume es tomado por el concreto. La Fig. 6-15 muestra muy fuerte dependencia con el tamaño de vigas cargadas uniformemente sin refuerzo en el alma. En vigas con al menos el refuerzo del alma mínimo requerido, este refuerzo del alma mantiene juntas las caras de la grieta para que la transferencia del corte a través de las grietas debido a la trabazón del agregado no se pierda. Como resultado la reducción de la resistencia al cortante debida al tamaño, mostrada en la Fig. 6-15, no se observó en vigas con refuerzo en el alma.
Fig 6-15 Effect of beam depth, d, on failure shear for beams of various sizes. From 6-8
6. FUERZAS AXIALES.- Las fuerzas axiales de tracción tienden a disminuir la carga de agrietamiento inclinado, mientras que las fuerzas axiales de compresión tienden a aumentarla (Fig. 6-16 ). Conforme la fuerza de compresión axial es aumentada, el comienzo del agrietamiento por flexión se posterga y las grietas por flexión no penetran tanto en la viga. Las fuerzas de tracción axial aumentan los esfuerzos y las deformaciones unitarias en el refuerzo longitudinal. Esto provoca aumento en el ancho de la grieta inclinada que, a su vez, provoca una disminución en el esfuerzo cortante máximo, V CiMAX, que puede ser trasferido a través de la grieta reduciendo la carga de falla por cortante. Lo opuesto ocurre con cargas de compresión axial. En vigas de concreto pretensado se observó un incremento similar. La compresión debida al pretensado disminuye la deformación unitaria longitudinal por lo que la carga de falla es mayor.
Fig 6-16 Effect of axial loads on inclined cracking shear. From 6-7
7. TAMAÑO DEL AGREGADO GRUESO.- Conforme el tamaño (diámetro) del agregado grueso aumenta, la rugosidad de las superficies de la grieta aumenta, permitiendo transferir mayores esfuerzos de corte a través de las grietas. Como se mostró en la Fig.6-15, una viga con
agregado grueso de 1" y peralte efectivo de 40" falló aproximadamente al 150% de la carga de falla de una viga con d = 40" y tamaño máximo de agregado de 0.1". En vigas de concreto de alta resistencia y en
varias vigas de concreto liviano, las grietas penetraron pedazos de agregado en lugar de ir alrededor de ellos, resultando una superficie agrietada más suave. Esto disminuye el corte transferido por la trabazón interna del agregado a lo largo de las grietas, con lo que disminuye Vc.
COMPORTAMIENTO DE VIGAS CON REFUERZO EN EL ALMA El agrietamiento inclinado hace que la resistencia al cortante de las vigas caiga por debajo de la capacidad resistente a flexión (Figs. 6-8b y c). El refuerzo del alma tiene como objetivo asegurar el desarrollo de toda la capacidad resistente a flexión. Antes del agrietamiento inclinado la deformación unitaria de los estribos es igual a la correspondiente deformación unitaria del concreto. Como el concreto se agrieta a una deformación unitaria muy pequeña, el esfuerzo en los estribos antes del agrietamiento inclinado no excederá de 3 a 6 ksi. Los estribos, pues, no impiden la formación de las grietas inclinadas; ellos participan sólo después que las grietas se han formado.
En la Fig.6-17 están mostradas las fuerzas en una viga con estribos y con una grieta inclinada. La terminología es la misma que en la Fig.6-13. Vs, el cortante transmitido por tracción en los estribos, no desaparece cuando la grieta se abre más, por lo que siempre estarán presentes la fuerza de compresión C 1' y la fuerza cortante V’cz debajo de la grieta de la viga. Entonces, T 2 será menor que T 1, dependiendo la diferencia de la cantidad de refuerzo en el alma. Sin embargo, T 2 será mayor que la fuerza de tracción por flexión T = M / ( j d ) correspondiente al momento en C. El historial de carga en esta viga está mostrado cualitativamente en la Fig. 6-18. Los componentes del cortante interno resistente deben igualar al cortante aplicado indicado por la línea superior a 45 °. Antes del agrietamiento por flexión, todo el cortante es soportado por el concreto no agrietado. Entre el agrietamiento por flexión y el inclinado, el cortante externo es resistido por V cz, V ay, y Vd. Ocasionalmente, fluyen
Figura 6-17
Figura 6-18
los estribos que están cruzando la grieta, y Vs permanece constante para cortantes aplicados mayores. Una vez que fluyen los estribos la grieta inclinada se abre más rápidamente. Conforme la grieta inclinada se ensancha, V ay disminuye más, forzando a que Vd y Vcz aumenten a paso acelerado, hasta que se presenta una falla por separación (dovela) (splitting (dowel) failure), la zona comprimida se aplasta por una combinación de cortante y compresión, o el alma se aplasta. Con excepción de Vs los otros componentes de este proceso tienen respuesta carga vs deflexión frágil. En consecuencia, es difícil cuantificar las contribuciones de V cz , V d , y V ay. En el diseño están agrupados como Vc, que es descrito, algo incorrectamente, como " el cortante que toma el concreto". Entonces, V n , la resistencia nominal al cortante, es asumida como : Vn
=
Vc + Vs
(6-9 )
Tradicionalmente en la práctica de diseño en Estados Unidos de América, V c es considerado igual a la falla de una viga sin estribos que, a su vez, se hace igual al cortante del agrietamiento inclinado como es sugerido por la línea que indica agrietamiento inclinado y falla (inclined cracking and failure) para a / d de 2.5 a 6.5 en la Fig. 6-8c.
6.5 ANALISIS Y DISEÑO POR CORTE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO - CODIGO ACI.Según el ACI (y NTE E060), la ecuación básica de diseño por capacidad al corte de vigas esbeltas de concreto armado es
V n Vu Vu = fuerza cortante amplificada en la sección
= factor de reducción de resistencia al corte = 0.85 (NTE E060) Vn = resistencia nominal a cortante = Vc + Vs Vc = resistencia nominal al cortante proporcionada por el concreto Vs = resistencia nominal a cortante proporcionada por los estribos
Estados límite de falla por corte : vigas sin refuerzo por corte. Las vigas esbeltas sin refuerzo en el alma fallarán cuando ocurre el agrietamiento inclinado o un poco después. Por esta razón, la resistencia al corte de estos miembros es tomada igual al cortante para agrietamiento inclinado. Los factores que afectan la carga correspondiente al agrietamiento inclinado se vieron en la sección 6.3. Ecuaciones de diseño para resistencia al corte de miembros sin refuerzo en el alma.Ecuación para el cálculo del corte correspondiente al agrietamiento inclinado en vigas sin refuerzo en el alma:
Vc 1.9 f ' c 2500 pw Vu d / Mu bw d
Vc 0.50 f ' c 176 pw Vu d / Mu bw d Simplificando: Vc 2 f ' c bw d
Vc 0.53 f ' c bw d
6.15 ACI NTE MKS
6.8b ACI NTE ( MKS )
Estados límite de falla por corte: vigas con refuerzo en el alma.1. Falla por fluencia de los estribos.- En la Fig. 6.17, el corte fué transmitido a través de la sección A-B-C por el corte Vcy de la zona comprimida del concreto, por el corte Vay de la componente vertical de la trabazón del agregado, por Vd de la acción de dowel ( resistencia transversal) del refuerzo longitudinal y por Vs de los estribos. En el código ACI, Vcy, Vay, Vd están agrupados como Vc, al cual se refiere como " el corte que toma el concreto". Entonces: Vn = Vc + Vs El código ACI asume, además, que Vc es igual a la resistencia al corte de una viga sin estribos lo que, a su vez, es considerado igual a la carga de agrietamiento inclinado, ecuaciones 6.8b y 6.15. Debería ser recalcado que hacer Vc igual al corte correspondiente al agrietamiento inclinado es una observación experimental de los ensayos, lo cual es cercano a la verdad si se asume que la proyección horizontal de la grieta inclinada es d, como se ve en la Fig. 6-26. Si es considerada una grieta más horizontal, de modo que j d cotg sea mayor que d , se deberá usar un Vc menor. Para cercano a 30° en el modelo de la armadura plástica, Vc se aproxima a cero, tal como se asume en ese modelo.
La Fig. 6-26 a muestra el diagrama de cuerpo libre entre el extremo de una viga y la grieta inclinada. La proyección horizontal de la grieta es considerada como d , sugiriendo que la grieta forma un ángulo algo menor de 45°. Si s es el espaciamiento del estribo, el número de estribos que corta la grieta es d / s . Asumiendo que todos los estribos fluyen en la falla, el corte resistido por los estribos es Vs = Av fyt d / s
(6-18)
Si los estribos están inclinados un ángulo con la horizontal, como en la Fig. 6-26 b, el número de estribos que cruzan la grieta es aproximadamente d (1 + cotg) / s, donde s es el espaciamiento horizontal de los estribos. La fuerza inclinada es F = Av fyt d ( 1 + f cotg) / s
(6-19)
El corte resistido por los estribos, Vs, es la componente vertical de F, la cual es Fsen, o sea que Vs = Av fyt (sen + cos) d / s
(6-20)
Las figuras 6-26 y 6-17 también muestran que el agrietamiento inclinado influye en la fuerza de tracción longitudinal, T, haciéndola más grande de lo que sugeriría el diagrama de momento flector.
(a) Vertical stirrups.
(b) Inclined stirrups.
Fig 6-26 Shear resisted by stirrups
Si Vu supera Vc, deben ser colocados estribos de modo que Vu Vn
(6-14)
donde Vn está dado por la Ec. (6-9). En el diseño Vs Vu - Vc
ó Vs Vu / - Vc
Con la Ec. (6.18) da el espaciamiento del estribo s = Av fyt d / (Vu / - Vc) Esta ecuación se aplica sólo para estribos verticales.
(6-21)
Los estribos no resisten corte a menos que los cruce una grieta inclinada. Por esta razón, el Art. 11.4.5.1 del ACI fija el espaciamiento máximo de estribos verticales como el menor de d/2 ó 24", de modo que cada grieta a 45 ° será interceptada como mínimo por un estribo ( Fig.627 a). El espaciamiento máximo de estribos inclinados es tal que una grieta a 45° que se extienda desde la mitad de la altura del miembro hasta el refuerzo en tracción interceptará por lo menos un estribo, como en la Fig 6-27 b. Si Vu / - Vc = Vs supera 4 f ' c bw d 1.1 f ' c bwd en kgf y cm, MKS , los máximos espaciamientos permitidos de estribos son reducidos a la mitad de los que se acaba de indicar. Para estribos verticales, el máximo espaciamiento es el menor de d/4 ó 12". Esto se hace por dos razones. El menor espaciamiento de estribos da lugar a grietas inclinadas más angostas y proporciona un mejor anclaje para los extremos inferiores de las diagonales de compresión.
(a) Vertical stirrups.
(b) Inclined stirrups.
Fig 6-27 Maximum spacing of stirrups.
En vigas anchas con estribos alrededor del perímetro, la diagonal en compresión en el alma tiende a ser soportada por el refuerzo longitudinal en las esquinas de los estribos, como en la Fig.6-28 a. Esta situación mejora si hay más de dos ramas de estribo, como en la Fig.6-28 b. El Comentario R 11.4.7 del ACI sugiere que el espaciamiento transversal de las ramas del estribo en vigas anchas debería estar limitado a una fracción del ancho colocando varios estribos que se traslapen. El Código Modelo 1990 CEB-FIP sugiere que el espaciamiento transversal máximo de las ramas del estribo debería estar limitado al menor de 2 d / 3 ó 800 mm (32").
(a) Widely spaced stirrup legs
(b) Closely spaced stirrup legs
Fig 6-28 Flow of diagonal compression force in the cross sections of beams with stirrups
2. Falla por corte iniciada por la falla de los anclajes del estribo.- Las ecuaciones (6-21) y (6-18) están basadas en el supuesto que los estribos fluirán en la carga última. Esto será cierto sólo si los estribos están bien anclados. Generalmente, el extremo superior de una grieta inclinada llega muy cerca de la cara en compresión de la viga, como en las Fig. 6-4,6-28 y 6-22. En la carga última, el esfuerzo en los estribos alcanza o iguala la resistencia de fluencia, fyt, en cada punto donde una grieta inclinada intercepta un estribo. Entonces, las porciones de estribos mostradas oscuras en la Fig.6-29 deben ser capaces de anclar fyt. Por esta razón la Sección 12.3.1 del ACI requiere que los estribos lleguen lo más cerca posible a las caras de compresión y tracción que lo permitan los requisitos de recubrimiento y espaciamiento de barras y, además, especifica ciertos tipos de ganchos para anclar los estribos.
Section A-A
3. Falla en servicio debido a anchos de grieta excesivos en cargas de servicio.- En las vigas las grietas inclinadas anchas son feas y pueden permitir que el agua penetre la viga, posiblemente causando corrosión de los estribos. En su Sección 11.4.7.9 el ACI pretende proteger contra anchos excesivos de grieta limitando el corte máximo que pueden transmitir los estribos a
Vsmax 8 f ' c bw d 2.2 f ' c bw d en kgf y cm MKS
. En una
viga con Vs (max), el esfuerzo en el estribo será 34 ksi en cargas de servicio, lo que corresponde a un ancho de grieta máximo de alrededor de 0.014" (0.35 mm). Aunque este límite generalmente da anchos de grieta satisfactorios, el uso de estribos espaciados a corta distancia y de refuerzo horizontal cerca de las caras del alma de la viga es también efectivo para reducir los anchos de grieta.
4. Falla por corte debido al aplastamiento del alma.- El límite del Código ACI sobre Vs para controlar el agrietamiento
Vsmax 8
f ' c bw d 2.2 f ' c bw d en kgf y cm MKS
da una adecuada seguridad contra el aplastamiento del alma en vigas de concreto armado.
5. Falla por corte iniciada por la falla de la cuerda en tracción.- Las Fig. 6-13 y 6-17 muestran que la fuerza en el refuerzo de tracción longitudinal en un punto dado del claro de cortante es una función del momento en una sección localizada aproximadamente una distancia d más cerca de la sección de máximo momento. En parte por esta razón, la Sección 12.10.3 del ACI requiere que el refuerzo por flexión se extienda una distancia d ó 12 diámetros de la barra, la mayor, más allá del punto donde ya no se necesita (excepto en los apoyos de vigas simplemente apoyadas en los extremos de voladizos).
Refuerzo mínimo en el alma.Debido a que la falla por corte de una viga sin refuerzo en el alma es repentina y frágil, y porque las cargas de falla por corte varían ampliamente alrededor de los valores dados por las ecuaciones de diseño, la Sección 11.4.6.1 del ACI requiere una cantidad mínima de refuerzo en el alma que se debe colocar si la fuerza cortante aplicada, Vu, supera la mitad del corte por agrietamiento inclinado (0.5 Vc), excepto en : 1. zapatas y losas macizas; 2. losas nervadas definidas en la Sección 8.13 del ACI; 3. elementos alveolares con una altura total, sin incluir el afinado de piso, no mayor de 12.5" (315 mm) y unidades alveolares donde Vu no es mayor de 0.5 Vcw ; 4. vigas aisladas con h no mayor de 10" ; 5. vigas integrales con losas con h no mayor de 24" (600 mm) y h no mayor que el mayor de 2.5 veces el espesor del ala, ó 0.5 veces el ancho del alma; y 6. vigas construidas de fibra de acero reforzado, concreto de peso normal con f’c no mayor a 6 000 psi, h no mayor de 24" y Vu no mayor que 2 f ' c bw d
Las primeras dos excepciones representan un tipo de miembro de un sistema estructural donde pueden ocurrir redistribuciones de carga en la dirección transversal. Las siguientes tres excepciones se relacionan con el efecto del tamaño tratado anteriormente. La excepción final para vigas construidas con concreto reforzado con fibras de acero fue tratada al final de la Sección 6.3.
Donde sea requerido, el refuerzo mínimo en el alma será A v, min 0.75 f ' c bw s / fyt 50 psi bw s / fyt 6 24 & 6 25 A v, min 0.2 f ' c bw s / fyt 3.5 bw s / fyt
NTE E 060 : kg f y cm. MKS
En regiones sísmicas, la mayoría de las vigas requieren refuerzo de alma porque Vc se hace cero cuando el corte por sismo supera la mitad del corte total.
Ubicación del corte máximo para el diseño de vigas.En una viga cargada en la parte superior del ala y apoyada en su parte inferior como en la Fig.6-32 a, las grietas inclinadas más cercanas que pueden ocurrir adyacentes a los apoyos se extenderán desde los apoyos hacia fuera aproximadamente a 45 °. En esta viga las cargas aplicadas dentro de una distancia d desde el apoyo serán conducidas directamente al apoyo por el abanico de compresión encima de las grietas a 45 ° y no afectará los esfuerzos en los estribos que cruzan las grietas mostradas en la Fig. 6-32. Entonces, la Sección 11.1.3.1 del ACI expresa:
Para miembros no pretensados, las secciones localizadas a menos de la distancia d de la cara del apoyo pueden ser diseñadas para el mismo corte, Vu, que el calculado a la distancia d.
Esto sólo es permitido cuando 1. la reacción en el apoyo, en la dirección del corte aplicado, produce compresión dentro de las zonas extremas de un miembro, 2. las cargas están aplicadas en la parte superior de la viga o cerca, y 3. no hay cargas concentradas dentro de la distancia d desde la cara del apoyo Así, pues, para la viga de la Fig. 6-32 a, los valores de Vu usados en el diseño son los mostrados rayados en el diagrama de fuerza cortante de la Fig. 6-32 b.
(a) Beam
Fig. 6-32 Shear force diagram for design.
(b) Shear force diagram.
Esta concesión debe ser aplicada cuidadosamente porque no se aplica en todos los casos. La Fig.6-33 muestra otros cinco casos típicos que surgen en el diseño. Si la viga de la Fig.6-32 fuese cargada en el ala inferior, como en la Fig. 6-33 a, la sección crítica de diseño sería en la cara del apoyo, porque las cargas aplicadas dentro de la distancia d del apoyo deben ser trasladadas a través de la grieta inclinada antes de llegar al apoyo. En la Fig.6-33 b se muestra una unión viga-columna típica. Aquí la sección crítica de diseño está a la distancia d de la cara de la columna. Si la viga está soportada por otra viga esencialmente del mismo peralte, como en la Fig. 6-33 c, los abanicos de compresión que se forman en las vigas soportadas tenderán a desfondar la viga en que se apoyan. Las secciones críticas de diseño por corte en las vigas soportadas normalmente están en la cara de la viga en que se apoyan.
La sección crítica puede ser tomada a d del extremo de la viga si se añade estribo(s) de suspensión para soportar las reacciones de los abanicos de compresión. Su diseño se ve en la Sección 6-7.
En general, si la viga está soportada por fuerzas de tracción en lugar de fuerzas de compresión, la sección crítica será en la cara del apoyo, y la unión debe ser cuidadosamente detallada, porque las grietas de corte ingresarán en la unión, como en la Fig.6-33 d. A veces, una parte considerable del corte en el extremo de la viga será debido a una carga concentrada ubicada a una distancia menor de d de la cara de la columna, como en la Fig. 6-33 e. En este caso, la sección crítica es la cara del apoyo.
Ejemplo.- La losa maciza continua de tres tramos se diseñó por flexión con el Método Resistencia Requerida (U). Continuar con el cortante. S.-
Como:
Vn Vc Vs Vu f ' c 210 kg f / cm2, bw 100 cm, d 9 cm, 0.85, Vc 0.53 f ' c bw d , Vs 0
Vn Vc 0.85 0.53 210 100 9 5875 kgf Vud Vu wu d 1523 883 0.09 1444 kgf
Vn Vc 5875 kg f Vud 1444 kgf
PASA
Ejemplo.- La losa aligerada continua de dos tramos se diseñó por flexión con el Método Resistencia Requerida (U). Continuar con el cortante. S.-
Como:
Vn Vc Vs Vu f ' c 210 kg f / cm2, bw 10 cm, d 22 cm, 0.85, Vs 0
1.1 Vc 1.1 0.53 f ' c bw d losa nervada 1.1 Vc 1.1 0.85 0.53 210 10 22 1580 kgf Vud Vu wu d 1678 512 0.22 1566 kgf 1.1 Vc 1580 kg f Vud 1566 kgf PASA
METODO SIMPLIFICADO DE COEFICIENTES
wu 7,446 kgf / m Ejemplo.- Diseñar la viga V1 por flexión y corte. Considerar: f’c = 175 kg f/cm2,
fy = 4200 kg f/cm2 (refuerzo longitudinal), fy = 2800 kg f/cm2 (refuerzo transversal). NTE E 060 (V2009).
