5 GN Trigonometria

Índice UNIDAD I Medir ángulos...¡Qué fácil!. La constante "Pi" Capítulo 1 Sistemas de medición angular........................................................................................................... 5

UNIDAD II Relacionando lados y ángulos Capítulo 1 Razones trigonométricas de ángulos agudos..................................................................................... 14 Capítulo 2 Razones trigonométricas de ángulos notables................................................................................... 21 Capítulo 3 Propiedades de las razones trigonométricas..................................................................................... 30

UNIDAD III Calculando lados y distancias Capítulo 1 Resolución de triángulos rectángulos................................................................................................ 37 Capítulo 2 Ángulos verticales............................................................................................................................. 46

UNIDAD IV Ubicándonos en el plano Capítulo 1 Razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida I.............................................................. 56 Capítulo 2 Razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida II............................................................ 68 Capítulo 3 Repaso.............................................................................................................................................. 77

UNIDAD V Reduciendo es más fácil Capítulo 1 Reducción al primer cuadrante I....................................................................................................... 82 Capítulo 2 Reducción al primer cuadrante II..................................................................................................... 88

UNIDAD VI Conociendo los valores máximos y mínimos Capítulo 1 Circunferencia trigonométrica I........................................................................................................ 95 Capítulo 2 Circunferencia trigonométrica II...................................................................................................... 107

UNIDAD VII Todo ser humano tiene identidad Capítulo 1 Identidades trigonométricas de una variable.................................................................................... 114 Capítulo 2 Expresiones trigonométricas condicionales....................................................................................... 121

Trigonometría Capítulo 3 Identidades trigonométricas auxiliares.............................................................................................. 127 Capítulo 4 Repaso............................................................................................................................................... 132

UNIDAD VIII Sumando y restando variables Capítulo 1 Identidades de la suma y diferencia de variables I............................................................................ 136 Capítulo 2 Identidades de la suma y diferencia de variables II........................................................................... 142

UNIDAD IX Variables múltiples Capítulo 1 Identidades trigonométricas de variable doble.................................................................................. 149 Capítulo 2 Identidades trigonométricas de variable mitad.................................................................................. 153 Capítulo 3 Identidades trigonométricas de variable triple.................................................................................. 159

UNIDAD X Transformando, ¿por qué no? Capítulo 1 Transformaciones trigonométricas I.................................................................................................. 166 Capítulo 2 Transformaciones trigonométricas II................................................................................................. 172 Capítulo 3 Repaso............................................................................................................................................... 178

UNIDAD XI El hombre en función de la tecnología mundial Capítulo 1 Función trigonométrica real de variable real I.................................................................................. 181 Capítulo 2 Función trigonométrica real de variable real II................................................................................. 191 Capítulo 3 Función trigonométrica inversa I....................................................................................................... 199 Capítulo 4 Función trigonométrica inversa II..................................................................................................... 207

UNIDAD XII Verificar la mejor solución Capítulo 1 Ecuaciones trigonométricas............................................................................................................... 217

UNIDAD XIII Triangulación satelital GPS Capítulo 1 Resolución de triángulos oblicuángulos............................................................................................. 228 Capítulo 2 Repaso............................................................................................................................................... 235

UNIDAD I

= 3. 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548

El número p, la relación entre la circunferencia y el diámetro, es una constante que aparece innumerables veces en ecuaciones de la física y matemática. Su valor ha sido calculado empleando variadísimas técnicas. Entre otros resultados tenemos: Sistema binario:

11,00100100001111110110…

Sistema decimal: 3,14159265358979323846…

3+

Fracción continua:

1 7+

1 15 +

1 1+

S

1 292 + O

Medir ángulos... ¡Qué fácil! La constante "Pi"

eguramente al hablar de la constante π muchos solo recuerdan su valor aproximado (3,1416 ó 22/7) ahora como π es el resultado de una división, al inicio se pensó que habrían de existir dos números enteros cuya división diera como resultado su valor exacto, pero el registro más antiguo conocido para π data del año 165 antes de Cristo en el papiro de RHIND, escrito por un egipcio llamado AHMES, cuyos cálculos sugerían que: 256 , que es más o menos 3,14159265358979... p= 81 Ahora se conoce que π es la relación que existe entre la circunferencia y su diámetro, es decir: circunferencia p= diámetro

Comunicación matemática •

Realizar la conversión de un sistema a otro

Análisis y demostración •

Reconocer el sentido positivo y negativo de un ángulo trigonométrico.

•

Relacionar correctamente ángulos en diferentes sistemas.

Resolución de problemas •

Resolver problemas donde se relacionan los tres sistemas de medición de ángulos.

Trigonometría Razonamiento Matemático

Sistemas de medición angular

1

Conceptos básicos Mide: a)

c)

b) A

O

A

A

B

O

B

O

B

Ángulo trigonométrico Es aquel que se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice u origen desde una posición inicial hasta llegar a una posición final (todo en el mismo plano).

A La

do

f

fin

al

O Vértice

Central: 619-8100

¡OJO! El rayo es un conjunto de puntos infinitos y colineales que tiene punto de inicio pero no de fin. Lado inicial

B

Unidad I

5


Veamos los ejemplos gráficos: Definición

Figura

Observaciones B

Un ángulo es positivo si su sentido de giro es contrario a las manecillas del reloj.

Observa que se mide en el sentido que indica la flecha. O O

Un ángulo es negativo si su sentido de giro coincide con las manecillas del reloj.

58° A A

– 47°

Observa que se mide en el sentido que indica la flecha. B

Relación entre los tres sistemas de medición angular Definición Un sistema de medida angular se define como el conjunto de unidades establecidas para medir ángulos. Existen tres sistemas: Sexagesimal (inglés); centesimal (francés) y radial o circular (internacional), los cuales se han definido en base a una división particular de la circunferencia.

Deducimos:

Importante: 1g < 1° < 1 rad Colegios

6

TRILCE

www.trilce.edu.pe


1

Observación: Comparando los tres sistemas de medición angular se concluye: •

180° <> 200g <> p rad

•

9° <> 10g

Unidades para conversión

Nuestro método para la conversión de un sistema a otro: Factor de conversión:

Unidad que quiero Unidad que no quiero

Aplicación: a) 30° a radianes

b) 81° a centesimales

Unidad que quiero a =30° .

p rad 180°

Unidad que quiero

⇒a=

p 6

rad

b = 81° .

Unidad que no quiero

Unidad que no quiero d)

c) 60g a radianes Unidad que quiero q = 60g .

p rad 200g

⇒q=


10g ⇒ b = 90g 9°

p 30

rad a sexagesimales Unidad que quiero

3p rad 10

f=

p 30

rad .

180° p rad

⇒ f = 6°


Síntesis teórica

Central: 619-8100

Unidad I

7


Problemas resueltos 1. Determinar "x" en función de "a" y "b" B

Resolución:

Ordenando el gráfico:

x

b

C

A

Resolución:

En primer lugar se debe tratar que los ángulos presentes aparezcan en el mismo sentido, de preferencia sentido antihorario. Por lo tanto el gráfico queda así: B

A Por lo tanto: – x = b – a ⇒ x= a – b

2. Indicar la relación que se cumple entre "a" y "b". C

A

a

Por lo tanto:

q – a +120°=360° ⇒ q – a=240°

Resolución:

Ordenando el gráfico:

A

a

Por lo tanto: a – b=90°

3. Indicar la relación que se cumple entre "a" y "q" A

q O

–120°

C Colegios

8

TRILCE

64

rad .

180° 45° p ⇒ rad = 16 64 p rad

A continuación dividimos como sigue: 45° 16

780' 16

13° 2° 3

12' 48' 3

13° ·

60' = 780' 1°

12' ·

60" = 720" 1'

Así, se verifica que:

Resolución:

Del enunciado:

x + y = 50°

x + z = 80g

a

p

720" 16 45" 3

p 64

rad = 2° 48' 45"

5. Se tiene tres ángulos, tales que sumados de dos en dos se obtiene respectivamente: 50°, 80g y p/6 rad. Calcular el menor de los ángulos en grados sexagesimales.

O

B

Convertimos:

•

C

Resolución:

•

B –b

p

Observación:

O

C

B

b

120°

–a

–a

b

O

rad en grados, minutos y segundos 64 sexagesimales.

B

4. Expresa

–x C

A

q

a

y+z=

p 6

rad

Luego: Convertimos cada uno de los valores dados al sistema sexagesimal, así: www.trilce.edu.pe


• •

80g .

p 6

9° = 72° 10g 180° = 30° p rad

rad .

De donde:

x + y = 50° ... (1)

x + z = 72° ... (2)

y + z = 30° ... (3)

Sumando miembro a miembro:

2(x + y + z) = 152°

⇒ x + y + z = 76° ... (4)

Finalmente reemplazamos (1) en (4):

50° + z = 76° ⇒ z = 26°

En (2) resulta: x = 46° ∧ en (1) resulta: y = 4°

\ el menor mide: 4°

1

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. Hallar "x"

3. Reducir: A=

20g + 12°

p 36

q

x

rad

4. Reducir:

2. Hallar "x", si:

70° – x 50° + x

M=

3° 20' 10'

5. Calcular (a + b + c)° en radianes, si: 3p abc° = rad 4

Aprende más... 1. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto respecto a los ángulos trigonométricos. B

a O

C

2. En el gráfico mostrado, hallar "x".

b) 180° + a c) 90° + a a) 90° – a d) 180° – a e) a – 90°

q

3. En el gráfico mostrado, hallar "x".

f

C

A

a) q + a + f = 360° b) q + a + f = –360° c) a + f – q = –360° d) a + f – q =360° e) a – f – q = 360°

Central: 619-8100

a

x

B

q

O

x

b) 90° + q a) 90° – q d) 180° – q e) q – 90°

A c) 180° + q

Unidad I

9


4. Calcular: J =

30g + 9°

p 15

a) 1 d) 5 5. Hallar "x", si: a) 10 d) 12

10. Calcular: T =

rad

b) 4 e) 3

a) 60 d) 51

c) 2

b) 8 e) 15

a) 11 d) 14

c) 9

12. Si: 6. Del gráfico mostrado, hallar "x".

a) 15 d) 18

b) 16 e) 19

c) 17

a) 1 d) 4

b) 3 e) 5

c) 2

8. En un triángulo isósceles, los ángulos congruentes miden: (7x + 2)° y (8x)g. Hallar "x". a) 6 d) 10

b) 5 e) 12

c) 8

9. Del gráfico, calcular: M =

3y – 2x 10

5yg

p 17

b) 3 e) 5

a c–b

c) 2

rad = x° y' z''; obtener: M =

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

3

x+y–z

c) 3

14. Si un ángulo se expresa como ab° y también como (a + 1)0g, calcular: a + b. a) 3 d) 8

b) 5 e) 9

15. Calcular: F = a) 9 10 d) 9

a)

b) –6 e) 5

rad = 1a°b0'4c", calcular: J =

c) 7

T° + R° + I° + L° + C° + E° Tg + R g + I g + L g + C g + E g b) 10 9 e) 10

c) 90

16. Un ángulo mide: (x2 + 4x + 9)°; siendo esta medida la menor posible. ¿Cuál es su equivalente en el sistema radial?

3x°

a) 6 d) –3

13

c) 12

13. Siendo "x", "y" y "z" números enteros, que cumplen la igualdad:

7. En un triángulo, sus ángulos interiores miden: g pn (14n)°; c 160n m y rad. Calcular "n". 9 3

p

c) 61

2°55' 3g60m + 40m 25' b) 13 e) 16

a) 1 d) 4

(5x+18)°

120g

b) 71 e) 62

11. Calcular: P =

2p rad = (7x + 2)° 5

5° 5' 5'

c) 3

p rad

10

b)

p rad c) p rad 5

p rad e) p rad d) 36

40

72

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 17. Para sintonizar el canal 4, una antena de conejo de televisión se despliega 50g y para sintonizar el canal 9 se reduce

p

36

rad. En el sistema sexagesimal, ¿con qué ángulo se

sintoniza el canal 9?

18. Al extender un abanico totalmente se forman 120° de extremo y después de cerrarlo se reduce solo a 20g. Determine la diferencia de ambas medidas en radianes. Colegios

10

TRILCE

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1

¡Tú puedes! 1. Si: x° +

3p 17x g = ra d ("x" es positivo), hallar "x". 2x 9

a) 2 2. Si: a)

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

agbm a°b' b° a – = g ; calcular: m b b' a b

1 2

b)

1 3

c)

1 4

d)

1 5

1 6

e)

3. Señale el menor valor de "n", si se cumple: ng = 3' + 6' + 9' + 12' + 15' + ... a) 1

b) 2

c) 4


d) 5

e) 10

10x – 9y . p + 2z z rad yg x°

a)

150

b)

p

600

p

40s 5. Calcular: T = 3 + 1' a) 1,24

500 900 180 c) d) e)

p

p

p

1m 10"

b) 2,24

c) 2,16

d) 2,26

e) 2,40

18:10:45

Practica en casa 1. En el gráfico, señale la relación correcta:

3. Hallar "x": (9 – 2x)°

b

a

a) a + b= 180° c) b – a = 180° e) b – a = 90°

b) b + a = 360° d) a – b = 180°

(x + 3)°

4. Convertir a radianes 80g 5. Convertir a grados sexagesimales

2. Hallar "x" en el gráfico:

6. Convertir a grados centesimales 54°

x

q

7p rad 20

a

Central: 619-8100

Unidad I

11


p rad + 110g + 9°

7. Calcular: E = 6

20g + 8. Calcular: K =

p rad

1°2' 2'

6x°

p rad

18

10. De la figura mostrada, hallar el valor de "x" en grados sexagesimales. x

80g O

11. En un triángulo, sus ángulos interiores miden: (20x)g; (17x)° y

Colegios

12

TRILCE

px rad. Calcular "x".

18

9y – 4x 15

2

9. Calcular "x", si: (3x – 2)° =


15yg

13. Un ángulo mide

p rad, pero en grados sexa-

10 gesimales mide ( 5x – 1 )°. Halle el valor de "x".

14. Si se sabe que 30 grados en un sistema "T" equivalen a 90°, ¿a cuántos radianes equivalen 5 grados "T"? 15. Un alumno al escribir 50° escribió 50g. Determina el error cometido en radianes.

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UNIDAD UNIDADIII II

El "Triángulo egipcio", de medidas 3, 4, 5.

Relacionando lados y ángulos Triángulo sagrado egipcio

E

l triángulo sagrado egipcio o Triángulo egipcio, es el nombre moderno de un triángulo rectángulo cuyos lados tienen las longitudes 3, 4 y 5, o sus medidas guardan dichas proporciones. Es el triángulo rectángulo más fácil de construir y, posiblemente, se utilizó para obtener ángulos rectos en las construcciones arquitectónicas desde la antigüedad. El triángulo rectángulo semejante, de 15, 20, 25 codos egipcios, se empleó en el Antiguo Egipto y fue llamado Isíaco (de la diosa Isis).

Aprendizajes esperados Comunicación matemática •

Operar correctamente situaciones donde se relacionan razones trigonométricas.


Demostrar propiedades con las razones trigonométricas y triángulos rectángulos notables.


Resolver problemas con razones trigonométricas y operar correctamente las propiedades de estas.

•

Analizar y utilizar las propiedades de las razones trigonométricas.

Razones trigonométricas de ángulos agudos

Razones trigonométricas de ángulos agudos Pitágoras Hoy aprenderemos la aplicación del Teorema de Pitágoras y también la manera correcta de obtener las razones trigonométricas de un ángulo agudo. Pitágoras de Samos nació en la isla de Samos en el año 572 a.C. Fundó una secta religiosa llamada "Escuela Pitagórica" donde las matemáticas se enseñaban de manera libre y todo se basaba en la comunidad de bienes, donde la música y las matemáticas tenían un papel importante. Pitágoras fue el primero en cultivar el "amor a la sabiduría". El principal aporte que abordamos en nuestro hermoso curso es su teorema, que emplearemos en los siguientes capítulos.

Conceptos básicos Las razones trigonométricas de un ángulo agudo son los distintos cocientes que se obtienen entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos.

(hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2 Con respecto al ángulo "A" definimos las razones

Con respecto al ángulo "C" definimos las razones

Observación m∠A + m∠C = 90° (" complementarios") h: Hipotenusa (lado mayor)

Colegios

14

TRILCE

c.o.: Cateto opuesto. c.a.: Cateto adyacente.

lados menores

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1

Problemas resueltos 1. En un triángulo rectángulo ABC (m∠B = 90°) reducir: L = senA . cscA + cosA . secA

Resolución: Graficando tenemos: A c B

Reemplazando:

b

L=

a b c b . + . ⇒ L =2 b a b c

C

a

2. En un triángulo rectángulo, los lados mayores miden 13 cm y 12 cm. Calcular el coseno del mayor ángulo agudo.

Resolución: Uno de los lados mayores involucra a la hipotenusa, por lo tanto se puede graficar:

132 = 122 + x2 ⇒ x = 5

b

13

Pitágoras:

x

a

12

Sabemos que al menor lado se opone el menor ángulo y viceversa, por lo tanto el mayor ángulo agudo es "b". c.a. 5 Nos piden entonces: cosb = = H 13

2 3. Siendo "q" un ángulo agudo, tal que: cosq = ; determinar "senq". 3

Resolución: Interpretando la condición: Asumiendo que: c.a. = 2a ∧ h = 3a cosq =

3a

2 c.a. ⇒ = 3 h

x

q

Por Pitágoras: (3a)2 = (2a)2 + x2 ⇒ x = 5 . a senq =

2a

c.o. ⇒ senq = h

5 .a 5 ⇒ senq = 3a 3

4. En un triángulo rectángulo se cumple que la diferencia de las medidas de la hipotenusa con uno de los catetos es 8 y con el otro es 9. Calcular la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo.

Resolución: Sea (a > b) A

q c

b

Del dato: •

c–a=8⇒a=c–8

• •

c–b=9⇒b=c–9 Reemplazando:

B

a

C

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Además sabemos: a2 + b2 = c2

(c – 8)2 + (c – 9)2 = c2 ⇒ c2 – 34c + 145 = 0 (c – 29)(c – 5) = 0 ⇒ c = 29 ∧ a = 21 21 Por lo tanto: b = 20 ⇒ tanq = 20

Factorizando:

Unidad II

15


q

C

5. Calcular "tan " del gráfico: 2

5m+2

q

A

3m –1 B

4m + 3

Resolución: ABC: (5m + 2)2 = (3m – 1)2 + (4m + 3)2 ⇒ m = 3

q

Entonces la figura queda:

2

q 2

q

17

⇒ tanq = 8 = 1

8

17

2

32

4

15

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. En el gráfico, hallar: senq

1

2 4. Siendo "a" agudo, además: tana = , determi3 ne: E = 13 cosa + 1 5. En el gráfico, hallar: tana . tanq C

q

q

2

2. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "C", reducir: E = senA . secB + 2tanA . tanB 3. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "A", reducir: E = cos2B + cos2C

A

a

3

D

B

2

Aprende más... 1. A partir del gráfico, calcular: cosq – senq

1 2. A partir del gráfico, calcular: A = 7tanq + . 3

3

3

q a) 0,1 d) 0,4 Colegios

16

q

4

TRILCE

b) 0,2 e) 0,5

c) 0,3

13

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4 www.trilce.edu.pe


3. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B"), reducir:

1 10. Si: cotq = , calcular: tana 4

E = 3tanA . tanC + 2 a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

1

a

c) 5

2x 4. Si: tanb =

1 ("b" es agudo), calcular: 5

E = 26 senb + cotb a) 1 d) 7

b) 5 e) 9

q

x–3

x–1

7 6 12 a) b) c) 6 7 7 5 e) 1 d) 12

c) 6

2 5. Del gráfico, calcular: C = tana . tanb + . 3 11. Del gráfico, calcular "tanq", si: tanx =

A

a

B

q

2 3

C

x

B

a) 1 1 d) 2

b 1

D

b) 2 1 e) 3

2

C

c) 3

6. En un triángulo rectángulo "ABC" (recto en "B"), reducir: K = sen2A + sen2C – 1. a) –1 d) 2

b) 0 e) 3

2 7. Si: senx = , calcular: J = (x: agudo) 3 a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

2 tanx + 2 3 cosx

b) 3 e) 6

12. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), se traza la ceviana AN ("N" en BC); tal que: CN = 3NB; ACB = a; NAB = q. Calcular: P = ctga . ctgq a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

13. Si "q" es un ángulo agudo, tal que: cosq =

c) 4

9. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 5 y 6. Determinar la suma de los cosenos de sus ángulos agudos. 10 11 14 c) a) b) 61 61 61 16 17 d) e) 61 61 Central: 619-8100

4 3 5 a) b) c) 3 4 3 5 4 d) e) 4 5

c) 4

R = 5 tanB + 6cosC a) 1 d) 5

D

E

c) 1

8. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "A"), se cumple: 3senC = 2cotB, calcular:

A

q

1 5

Calcular: K = tanq . tan + 3 2 a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

14. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "C") se a – 2b = senA – tanB. Calcular: secB verifica: c 1 c) 2 3 a) 2 b) 2 2 3 d) 2 e) 3 Unidad II

17


17. En el gráfico: AP = BC, determine:

15. Del gráfico, calcular: P = tgq + ctgq

5ab

a

b a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

E = 2cosq + cotq ("O" centro) A B

q

P

c) 4

D

O

1 1 b) 3 2 d) 2 e) 3 a)

16. Si: AB = BC, calcular: M = ctga – cscf

q

C c) 1

A

B

5

f O

a) 2

2 d) – 2

a 3

b)

2 2

C c) – 2

e) 1

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 18. Se desata un incendio en un edificio, un bombero coloca una escalera que llega hasta la azotea del mismo, formando un ángulo "q" con el piso. Si la escalera se encuentra a 16 m de la base del 17 edificio y además: cscq = . 15 • Hallar la longitud de la escalera. • Hallar la altura del edificio.

19. Un leñador corta un árbol a 1,5 m del piso; al caer, el extremo del 3 árbol forma con el piso un ángulo "a" (tana = ). Determinar la 4 altura inicial del árbol.

Colegios

18

TRILCE

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1

¡Tú puedes! 1. Del gráfico, hallar: M =

secx + secy + secz , secx – secy + secz

B

R

AQ AR = si: AP = 2 3 11 1 1 c) a) b) 5 3 11 1 1 A d) e) 12 13 2. En el rectángulo ABCD, determinar: tgq + ctgq a2

+ ab ab

3 2 a

b2

3 2 b

a+b + b) c) 3 ab ab a2 + b 2 d) e) a+b ab a)

Q P x

y

z

B

C

q

b

a

A

D C

3. Del gráfico, calcular: tgq + ctgq a) –1 b) 1 5 d) 3 e)

C

q

c) 2

q

A 4. En la figura mostrada: AD = 6 y DC = 3. Calcular "cos2q". 2 2 3 a) b) c) 7 2 3 1 1 d) e) 3 7

B

D B

q

A

q

H

D

C

5. En un cuadrado ABCD, se traza BE y CF ("E" en CD y "F" en AD), tal que: FD=3AF y CE=ED; si: ∠BEC = a y ∠CFD = b. Calcular: J = 2ctga + 3tgb a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6 18:10:45

Practica en casa 1. A partir del gráfico, calcular: secq + tanq.

13

q

Central: 619-8100

2. A partir del gráfico, calcular: 3cos2q – sen2q. 2

5

q

3 Unidad II

19


3. En el triángulo rectángulo ABC (B = 90°), dea b . terminar el valor de: K = – tanA cscC

11. Del gráfico mostrado, determinar el valor de "x"; si: tanq = 4 B 3

4. Si: cosa =

3 ("a" es agudo), calcular: cota. 4 x

q

5. En un triángulo rectángulo ABC (C = 90°), reducir: M = sec2A – cot2B.

6. En el gráfico, hallar: P = tana . cotq

12. Del gráfico mostrado; calcular: L = tga . tgq C

C

a

A

q

4

7. Del gráfico, hallar: E =

A

q

B

D 1

a

A

tana cotq

C

B

D

13. Calcular "tanq" en el gráfico mostrado: A C

q

A

a D

E a B

8. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) se sabe que: cosA = 2cosC, calcular: P = 5cos2A + 1

M

4

2a

3

q

B

C

14. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "C") se a – 2b verifica: = cosB – cotA. Calcular: cscA c 15. Del gráfico, calcular "tanq".

C

2 3 y cosb = ("a" y "b" son agudos), 3 7 6(seca – secb) calcular: M = 5

9. Si cosa =

5 10. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 2 y 5. Determinar la suma de los senos de sus ángulos agudos.

Colegios

20

TRILCE

B

12

q

A

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Razones trigonométricas de ángulos notables F excsc cvs

cot A

sen

csc

tan

sen

q O

2

C senver

cos

1

E

exsec

D

sec

B En este capítulo aprenderemos: •

A trabajar con los triángulos notables más conocidos, además de derivar las razones trigonométricas de sus ángulos agudos.

Conceptos básicos

30° 30° Si cortamos un triángulo equilátero trazando una altura obtenemos dos triángulos notables de 30° y 60°.

L 60° L 2

L

L 3 2

L 3 2

L 60° L 2

45° L 2

L

45°

Central: 619-8100

L

Y si lo hacemos con un cuadrado, obtenemos otro triángulo notable, el de 45°.

L Unidad II

21

Razones trigonométricas de ángulos notables

Triángulos notables Son aquellos triángulos rectángulos, cuya proposición entre sus lados se conoce a partir de la medida de sus ángulos agudos. Entre los ángulos notables más comunes tenemos: 8° , 15° , 16° , 30° , 37° , 45° , 53° , 60° , 74° , 75° , 82° , etc. Una combinación adecuada de estos ángulos, por suma o diferencia, permite calcular razones trigonométricas de algunos ángulos no notables. •

Entre los triángulos rectángulos notables más comunes tenemos: 53°

45° k 2

k

2k

45°

5k

k 3

60° k

k

30°

37°

3k

4k

El primero es un triángulo rectángulo isósceles, el segundo, se obtiene de dividir un triángulo equilátero y el tercero, es el famoso triángulo rectángulo pitagórico, cuyos lados son proporcionales a tres números naturales consecutivos.

•

Entre los menos comunes tenemos:

5 2k

53°/2 2k 75°

( 6 – 2 )k

7k

4k 15°

k

k 10 37°/2 3k

( 6 + 2 )k

25k

8°

5k

k

16°

24k

k 74° 7k

Tabla resumen R.T.

30°

60°

45°

37°

53°

16°

74°

Sen

1 2

2 2

Cos

3 2

3 2 1 2

Tan

3 3

3

1

Ctg

3

3 3

1

Sec

2 3 3

2

2

Csc

2

2 3 3

2

3 5 4 5 3 4 4 3 5 4 5 3

4 5 3 5 4 3 3 4 5 3 5 4

7 25 24 25 7 24 24 7 25 24 25 7

24 25 7 25 24 7 7 24 25 7 25 24

Colegios

22

TRILCE

2 2

37° 2

53° 2

10 10

5 5

3 10 10 1 3

2 5 5 1 2

3

2

10 3

5 2

10

5

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2

Síntesis teórica

Problemas resueltos 1. Si: f(x; y) = 4cosx + 3tgy + 2 3senx . ctgy, calcular: f(60°; 45°)

Resolución:

Reemplazando los correspondientes valores de "x" e "y" en la expresión dada, se obtiene:

f(60°; 45°) = 4cos60° + 3tg45° + 2 3sen60° . ctg45° = 4

\ f(60°; 45°) = 8

1 + 3(1) + 2 3 3 . (1) = 2 + 3 + 3 2 2

2. Si: tanq = csc30° – sen260°, calcula: senq

Resolución:

Reemplazando los valores correspondientes:

tanq = 2 –

3 2

2

⇒ tanq = 2 –

3 5 ⇒ tanq = 4 4

Dibujamos el triángulo rectángulo de la derecha: ⇒ senq = 5 41

41

5

q 4

3. Resolver: 3x . tan53° – 2tan45° = x + sec60° – 2sen30°

Resolución:

Se reemplaza cada razón trigonométrica de los ángulos notables por su valor numérico.

3x .

4 1 –2(1) = x + 2 – 2 ⇒ 4x – 2=x+2 – 1 → 3x=3 → x = 1 3 2

Central: 619-8100

Unidad II

23


4. En el gráfico mostrado, hallar: tanq. B 135°

2 2

6

q

A

Resolución:

Prolongamos CB y trazamos la perpendicular AQ.

C

Q

2 B 45° 2 135° 2 2

6

q

A

AQC: tanq =

Del gráfico:

2 1 ⇒ tanq = 8 4

C

5. Si: AM = MC, calcular: senx . cscy B y

x

53°

A

30°

M

C

Resolución: B P 6a A

y

x

N

b

5

8a

53° 10a

37°

5a M

3a 30°

10a

C

Hacemos AM= MC = 10a, trazamos MN ⊥ BC y MP ⊥ AB, determinándose dos triángulos rectángulos notables, de la misma forma hacemos BM = b. En los triángulos rectángulos BPM y BNM, calculamos:

senx . cscy =

8 8a b . ⇒ senx . csc y = b 5a 5

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. Determine si los siguientes enunciados son verdaderos (V) ó falsos (F):

sen30° > sen37° tan53° > sec60°

( (

5. En el gráfico, hallar: tanb

b

) )

37°

2. Calcular: E = 3 csc60° + tan45° 3. Calcular: P = [tan60°]sec60° – [8cos60°]sen30°

45°

4. Si: tana = sen30°, calcular: 5 seca – 1 Colegios

24

TRILCE

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2

Aprende más... 1. Calcular el valor de: sec60° + csc30° 3 a) 2 3 b) d) 4 e) 0

8. Del gráfico, hallar "x"

c) 2

2. Calcular el valor de:

60°

x 30°

E = sen45° –

csc45° (tan30° + 2) 2

a) 1 d) 2

b) – 1 e) – 2

6 3

a) 10 d) 8

c) 0

b) 6 e) 16

c) 12

9. En el gráfico mostrado, calcular "tanq". 3. Calcular el valor de:

8

M = tg45° + 7ctg45° + 5csc30° a) 16 d) 19

b) 17 e) 20

c) 18

a)

4. Hallar "x" en:

3x . sec53° – tan45° = sec245° – x + cot45° 3 2 1 d) 6

a)

q

b) 1

c)

e) 3

p

15

4 11

b)

3 3 11

e)

d)

p

b) 21 e) 22

17 2 23 d) 2

19 3 25 e) 2 b)

c) 23

c)

21 2

7. Siendo "q" un ángulo agudo, tal que: tanq = 2sen37° + sen53°

P 2

a)

3 2

b)

3 7

e)

d)

c)

3 4

3 11

2 3 A

a) 5 d) 20

d)

Central: 619-8100

3 3

C

11. Del gráfico mostrado, obtenga "tanq". B

a)

c) 15

q

A

5 Calcular: M = 2csc2q + sec2q 2 b) 10 e) 25

2 3 11

3

p

6. Sabiendo que "a" es agudo y además: tana = sen45°, calcular: A = 4sec2a + sen2a a)

c)

2 3 10. Del gráfico, obtenga "tanq", si el triángulo ABC es equilátero. B

Calcular: f(2) a) 20 d) 24

4 3 11

11 4

5. Si: f(x) = csc + tan + 2cos 3x 2x x+1

60°

150°

4

q

C

3 7

b)

2 3 9

e)

3 5

c)

2 3 7

3 6 Unidad II

25


12. Del gráfico mostrado, calcula "tanq"

15. Calcular "cotq", a partir del gráfico mostrado ("O" centro).

53°

1 45°

2

q

2 a) 7 5 d) 7

3 b) 7 6 e) 7

a)

13. Si ABCD es un cuadrado, calcula "tanx". F A B E

q

A

4 c) 7

3 3

3 d) 2 3

O b)

3

B

c) 2 3

e) 1

16. En el gráfico, calcular "tanx", si "O" es centro de la semicircunferencia. D x C

x

37°

D

C 11 13 9 a) b) c) 9 16 11 13 16 d) e) 6 13

A

37° O

B

3 a) 2 b) 1 c) 3 1 d) e) 4 2

14. En el gráfico mostrado, calcula "tanq"

37°

1 6 6 d) 17

a)

1 17 17 e) 6 b)

q c)

2 3

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 17. Un alumno de Trilce le hace la siguiente pregunta a su profesor de trigonometría: Si la pizarra tiene forma rectangular, trazamos la diagonal y dividimos al ángulo recto en dos ángulos de 37° y 53° y su diagonal mide 3,5 m. Calcule: ¿cuánto mide el área de la región rectangular?

Colegios

26

TRILCE

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18. La Torre de Pisa es el campanario de la catedral de París. Fue construida para que permaneciera en posición vertical pero comenzó a inclinarse tan pronto como se inició su construcción en agosto de 1173. La inclinación que registra es de 4° con respecto a la vertical y su altura es aproximadamente 60m. Si la inclinación se duplica, determine la proyección de la torre en el piso.

2

¡Tú puedes! 3 1. En un triángulo isósceles ABC (AB = AC) se tiene: cosA = . Calcular: tanB. 5 1 2 3 a) b) c) 2 d) 5 5 2 2. Del gráfico, calcular: M = 2 3 cotb – 5tana, si: CD se B dibuja con centro en "E". b) 5 e) 10

C

a

c) 7 P 60°

A

3. Si "M" es punto medio del arco AB y "O" es centro, obtener el valor de A "tanq". 6 + 2 a) 3 + 3 b) d) 3 6 + 2 e) 2 – 3

b

c) 3 + 6

M

q

O

N

4. Si el triángulo ABC es equilátero, "M", "N" y "P" son puntos medios de AB, BC y AC respectivamente; además: NQ = 2QP. Calcular: b) 4 e) 14

b

c) 6

M

N Q

A

Central: 619-8100

B

B

K = (5tanq + 7tana)cotb. a) 3 d) 8

D

E

30°

a) 3 d) 8

Q

e) 3

a

P

q

C

Unidad II

27


5. Si ABCD es un cuadrado, calcular: tanx . coty b) 6 e) 16

c) 9

C

y

x

37 °

a) 3 d) 12

E

B

A

D 18:10:45

Practica en casa 1. Calcular: P = [(sen30°)cos60°]2 3 tan30°

10. Del gráfico, calcular "tanq".

2. Calcular:

q

M = (4sen45° + 8sec45°)3cos60°+sen30°

2cos53°

sen230° + cos260° 3. Reducir: E = 5tan45°

2tan37°

4. Calcular:

M = (5sen37° + 4tan37°)sen245°

5. Calcular "x", si: 37x. tan230° – 5x . sec230° = 7tan45° + 5sec60°

11. Del gráfico, obtenga "tanq"; si el triángulo ABC es equilátero. B

6. Si "q" es un ángulo agudo y además: tanq = tan230°, calcular: csc2q.

7 D 4

7. Siendo "b" un ángulo agudo, tal que: 1 senb = cos60°, calcular: 2cot2b + 1. 2

8. Del gráfico, hallar "x".

12. En el gráfico mostrado, calcular "cotq". B

A

q

C

6 x

2 3

60°

A

q

30° 15 3

C

13. Hallar "x" del gráfico: B

9. En el gráfico, hallar "tanq"

C

C

q

8 2 3

A

Colegios

28

TRILCE

45° 2

D

B

A

E

x

D www.trilce.edu.pe


14. En el gráfico mostrado, hallar "x", si: DC=10 B

15. Calcular "tanq" del gráfico: C

23

º

D

A

Central: 619-8100

53º

x 37º

C

2

A

q

N

M B

Unidad II

29

Propiedades de las razones trigonométricas

Propiedades de las razones trigonométricas ABC = 56

0

100

110

0 12

90

80

70

60

50

0

80

90

100 1 10

0

20

C

0

30 20 10

170 180

B

10

160

0

13

0

160

0

15

170

12

0 14

40

15

70

30

50

60

40

14 0

13

180

A

En este capítulo aprenderemos: •

A utilizar las propiedades de las razones trigonométricas en diferentes problemas y demostraciones.

•

Una aplicación del programa Descartes, el Applet referido a la modificación de los lados o de los ángulos de un triángulo rectángulo.

•

Que si se mantienen constantes los ángulos se puede modificar la longitud de los lados donde el valor de las razones trigonométricas se mantiene constante.

Conceptos básicos Razones trigonométricas recíprocas Una razón trigonométrica es recíproca de otra si su valor es el recíproco (inverso) de aquel. Sea x una razón y y trigonométrica, entonces su recíproca es , tal que: x x .y =1 y x Aplicando esta definición en cualquier triángulo rectángulo, tal como el de la B figura adjunta, se cumple: a C Colegios

30

TRILCE

c

b

a

A

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Estas relaciones nos permiten plantear la siguiente propiedad general:

3

Observación Los ángulos deben ser iguales.

Ejemplos:

Las siguientes son aplicaciones de las razones recíprocas:

sen20° . csc20° = 1

cos32° . sec32° = 1

tan48° . cot48° = 1

Razones trigonométricas de ángulos complementarios Para las razones trigonométricas seno, tangente, secante, se definen respectivamente, sus co–razones: coseno, cotangente, cosecante, una de ellas es la razón trigonométrica de un ángulo y la otra es la co–razón del ángulo complementario. Se verifica que la razón de un ángulo y la co–razón del ángulo complementario tienen valores iguales. Podemos visualizar esta relación en el siguiente triángulo rectángulo. C

b b

a B

c

a

A

Razón(a) = Co–razón(b) sena = cosb = a b sena = cosb tana = cotb = a ⇒ Si: a + b = 90° ⇒ c tga = ctgb seca = cscb = b seca = cscb c

Ejemplos:

Las siguientes son pares de razones trigonométricas complementarias:

sen25° = cos65° tan42° = cot48°

sec(40° + q) = csc(50° – q)

Observación Observa que en todos los casos, la suma de los ángulos es 90°.

Síntesis teórica

Central: 619-8100

Unidad II

31


Problemas resueltos 1. Determine: J = tan40°. cot40° +

5sen44° . csc44° cos47° . sec47°

Resolución:

Recordar las propiedades de R.T. recíprocas. 1 6447448 5sen44° . csc44° J = tan40° . cot40° + ⇒J=1+5→J=6 cos47° . sec47° 1442443 1442443 1 1 3

3

2. Simplificar la expresión: E = tan25° . tan65° + sen40° . sec50°

Resolución:

Transformamos cada razón a su co–razón:

tan65° = cot25° sec50° = csc40°

Reemplazamos en la expresión: 3

3

E = tan25° . cot25° + sen40°. csc40° = 1 + 1 ⇒ E = 2 1442443 1442443 1 1 3. Si: senx = cos56°, calcular el valor de: Q = 3tan2(x – 4°) – sec(x + 26°)

Resolución:

De: senx = cos56°

Se cumple: x + 56° = 90° ⇒ x = 34°

Reemplazamos el valor de "x" en la expresión:

2 Q = 3tan2(x – 4°) – sec(x + 26°) = 3tan230° – sec60° = 3 3 – 2 ⇒ Q = –1 3

4. Reducir: M =

sec70°cos25°sen50° csc20°sen65°cos40°

Resolución: Aplicando razones trigonométricas de ángulos complementarios. • sec70° = csc20°

Por lo tanto: M =

•

cos25° = sen65°

•

sen50° = cos40°

csc20° sen65° cos40° ___________________ ⇒M=1 csc20° sen65° cos40°

5. Si: seca = csc2f, calcula: R = tan

a + f + sec(330° – 3a – 6f) 2

Resolución: seca = csc2f ⇒ a +2f = 90° Ordenando y reemplazando: R = tan

a + 2f + sec(330° – 3(a + 2f)) = tan 90° + sec(330° – 3(90°)) 2

2

R = tan45° + sec60° ⇒ R = 3 Colegios

32

TRILCE

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10 x 5 50

3

Aplica lo comprendido 4. Hallar "q", si: tan(5q + 20°) = ctg(q – 50°)

1. Reducir:

E = sen40° . sec50° + 2tan10° . tan80°

2. Reducir: M=(sec25° + csc65°) cos25°

5. Si: cosx = seny, calcular:

E = tan

x+y x+y + csc 2 3

3. Hallar "x", si: sen(3x + 10°) = cos(20° – x)

Aprende más... 1. Hallar "x", si: cos4x . sec(2x + 16°) = 1 a) 4° d) 12°

b) 8° e) 16°

c) 6°

8. Si:

sen4x . csc(y + 45°) = 1 tan3x . cot2y = 1

Calcular: M = sen(x + y – 15°)

2. Si: tan3x . cot(x+20°) = 1, calcular:

a) 1 b) 2 c)

d) 2,5

T = tan6x . tan(4x + 5°) a) 2 b) 3 c) d) 3

3 3

e) 1

3. Calcular "x", si: sen4x = cos(x + 10°) a) 2° d) 24°

b) 8° e) 30°

a) 4 d) 7

b) 5 e) 3

9. Si: tan7x = cot(2x + 9°) sen4x . csc3y=1

c) 6

10. Si: sen20° . cos4x = cos70°.sen5x

b) 2 e) 5

c) 3

T = (4csc40°+3sec50°)sen40° a) 12 d) 6

b) 8 e) 10

Calcular: 2x – 5y a) 40° d) 32° Central: 619-8100

b) 20° e) 36°

e) 3

c) 24°

4sen3a 5sen3b + cos3b cos3a

a) 4 d) 11

c) 7

7. Si: tan(2x + y) . cot40° = 1 sen(x – y) = cos70°

3 3

b) 3 c) 3 4

11. Si: sen(2a + b) = cos(a + 2b), calcular:

6. Determine:

d)

E = sen42° . csc42° + 2tan70° . tan20° a) 1 d) 4

Calcular: tan6x a) 1

5. Determine:

Calcular: J = cos5x.tan(3y + x) 3 a) 1 b) 2 c) d) 3 e) 2 2 2

c) 16°

4. Si: sen3x = cos2x, calcular: K = 4tan(2x + 1°)

e) 1 2

3 2

b) 7 e) 12

c) 9

12. Si: sen4x . sec6y = 1; calcular el valor de:

E=

cos(3x + 2y) tan(5x + y) + sen(x + 4y) cot(5y – x)

a) 0,5 d) 2

b) 1 e) 2,5

c) 1,5

Unidad II

33


15. Siendo: sen(40° – x) . sec(5x+10°)=1.

13. Si se cumple que:

tan3x = sen(x + 50°) . sec(40° – x)

Calcular el valor de la siguiente expresión:

A = sec4x + ctg22x a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

Calcular: E =

c) 4

tan(kx)

16. Siendo "x" un ángulo, tal que:

tan(50° – x) = tan(y + 20°) . cot(x + 40°)

Calcular el valor de:

sec(35° + y)tan(x + y + 50°) cot(y – x – 10°) b) 2 d) 3 e) 2 2

k=1

3 a) 1 b) 2 c) 2 d) e) 3

14. Si se cumple:

a) 1

8

P

tan(x – 15°) =

89

P

k=1

cotk°

x 3x Calcula el valor de: A = sen + tan + secx 2 4

a) 1,5 d) 4,5

c) 2

17. Si: sen

b) 2,5 e) 6,5

c) 3,5

ap p bp = 3 tanp . sec – 3 2 3 6

Además: a = cscq . csca y b = secq . seca

q+a calcular el valor de: 2 sec 2 a) 4 d) 8

b) 2 e) 10

c) 6

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 18. Se tiene un jardín de forma triangular donde los ángulos internos son "a", "b" y "q". Si se cumple: sen(2q + a) = cos(q – a – 90°) tg(a – 50° + b) . cot(70° – a + b) = 1

Se desea saber qué tipo de triángulo tiene este jardín triangular.

¡Tú puedes! 1. Siendo: tanx . tany = sec245° – 2sen30°, calcular: M = cot a) 2 + 3

b) 2 3 + 1

c) 3 + 2 3

2. Si en el gráfico: tan(3q – 10°) . tan(2q + 20°)=1. Calcular: tanf. 2 3 3 a) b) c) 3 2 8 3 1 e) d) 6 16 Colegios

34

TRILCE

x+y x+y x+y cot cot 2 3 6

3+1 d) 1 + 2 3 e) C °

1 3q –

f

2

A

2q – 2°

D

M

B

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3. Siendo: sen(2x + y)sen(x – y + 10°) = cos(x + 2y)cos(80° – x + y), calcular:

J = ctg(x + y) ctg(5x – 2y) ctg(5y – 2x) a) 1 b) 2 c) 3 d)

4. Si:

e) 3 3

cos(x + y) + cos(4y – 10°) =2 sen(100° – 4y)

Calcular: P =

sec2(x + 10°) + sec23y cos(x + y – 10°)

a) 4

b) 8

5. Sabiendo que:

c) 16

d) 24

e) 32

tan(40° + x) sen(50° – x) = cos(10° + x)

3

tg(x +10°) + tg(y + 10°) = ctg(x + 10°) + ctg(y + 10°)

3

tan(2x – 5°) tany = tan1° tan2° tan3° ... tan89°

Calcule: J =

sec2(2x

a) 3

+ 5°) + tan2(y + 5°) + csc2(y – x – 5°)

b) 5

c) 7

d) 9

e) 11

18:10:45

Practica en casa 1. Si: sen5x . csc80° = 1, determinar "x". 2. Si: tan42° . cot7x = 1, hallar: cos10x 3. Si: tan3q = cot(2q + 40°), hallar "q" 4. Si: sec(2x + 15°) = csc(3x + 25°)

Hallar: sen(x + 20°)

5. Relacione correctamente las razones que tienen el mismo valor: sen36°

sen22°

sen13°

cos54°

cos68°

cot49°

tan41°

cos77°

6. Reducir: P =

sen24° tan50° +5 cos66° cot40°

7. Simplificar: J =

cos42° + 3tan25° . cot65° sen48°

8. Reducir: M=

cos40°+sen50° 3tan44°+2cot46° + sen50° tan44°

Central: 619-8100

9. Si: tan(5x – 12°) . cot(x+16°)=1

tan(3y – 40°) = cot(2y + 10°)

Hallar "y – x"

10. Reducir: Q = (7cos42° + 3sen48°)sec42° 11. Calcular "x" (agudo)

tan

9x + 1° x + 7° . cot =1 5 2

12. Reducir: M=

sen1° sen2° sen3° ... sen89° + 8tan1° . cot1° cos1° cos2° cos3° ... cos89°

13. Hallar "x", si:

tan26° . sen3x = cot64° . cos(x + 10°)

14. Si se cumple que: tanx . tany = 1

Calcular: P = sec

x+y x+y . tan 2 3

15. Sabiendo que: sen(2a + b) . sec(12° – 2c) = cos(a – 2b) . csc(78° + 2c)

Calcular: M = tan(2a + b + c) . tan(a – 2b – c) Unidad II

35

UNIDAD III

Calculando lados y distancias

E

Teodolito moderno

l teodolito es un instrumento de medición mecánico – óptico universal que sirve para medir ángulos verticales y, sobre todo, horizontales, ámbito en el cual tiene una precisión elevada. Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles. Es portátil y manual; está hecho para fines topográficos e ingenieros, sobre todo en las triangulaciones. Con ayuda de una mira y mediante la taquimetría, puede medir distancias. Un equipo más moderno y sofisticado es el teodolito electrónico, y otro instrumento más sofisticado es la estación total. Básicamente, el teodolito actual es un telescopio montado sobre un trípode, con dos círculos graduados, uno vertical y otro horizontal, para medir los ángulos con ayuda de lentes.

Aprendizajes esperados Comunicación matemática •

Graficar correctamente situaciones con ángulos verticales.


Reconocer las posiciones de un lado con respecto a un ángulo agudo.


Resolver problemas de aplicación con ayuda de triángulos rectángulos.


Resolución de triángulos rectángulos

1

Triángulos En este capítulo aprenderás a encontrar los elementos de un triángulo rectángulo (lados y ángulos) en función de otros elementos dados.

Central: 619-8100

Unidad III

37


Conceptos básicos Cálculo de lados Es el procedimiento mediante el cual se determinan los lados desconocidos de un triángulo rectángulo, en función de un lado conocido y un ángulo agudo también conocido.

Se conoce la hipotenusa y un ángulo agudo.

Se conoce un ángulo agudo y su cateto adyacente

Se conoce un ángulo agudo y su cateto opuesto

Se cumple

Se cumple

Se cumple

Observación Para hallar el lado desconocido, solo hay que dividir:

Lo que quiero = Rt(ángulo conocido) Lo que tengo

Área de un triángulo B

El área de un triángulo cualquiera se puede calcular como el semiproducto de dos de sus lados, multiplicados por el seno del ángulo que forman dichos lados.

c A

S b

S = bc senA 2 S = ac senB 2

a C

S = ab senC 2

Problemas resueltos 1. En la circunferencia de radio "R", calcula el lado desigual del triángulo isósceles, en términos de "q" y "R". A

q R B

C

Colegios

38

TRILCE

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Resolución:

A

Introduciendo los datos dados en el gráfico original y trabajando en el triángulo rectángulo OMC.

q

Del gráfico: MC = R senq (por ser cateto opuesto).

O

Finalmente: BC = 2MC = 2Rsenq →\ BC = 2Rsenq

q B

M

q

1

R C

2q 2. En un rectángulo, la diagonal de longitud "d" forma con la base un ángulo "q". Calcular el área de dicha región rectangular.

Resolución: En la figura, aplicando el primer teorema de resolución, calculamos: d

q

m = dcosq ∧ n = d senq

n

m

Entonces: A

= m . n = d cosq . d senq

A

= d2 senq cosq

3. En la siguiente figura, calcular "OB", si: OA = 2 3 y AC =

27 . 16

A

C

q F

q q

O

q

q

E

D

B

Resolución:

Si hacemos: OA = m y aplicamos sucesivamente el teorema (1) de resolución en cada triángulo numerado, obtendremos: C

A (5) m

O

q

=

2

q

3

(4)

F

q (1)

(3)

(2)

q

q B

E

En el

(1): AB = msenq

En el

(2): AD = AB senq ⇒ AD = m sen2q

En el

(3): AE = AD senq ⇒ AE = m sen3q

En el

(4): AF = AE senq ⇒ AF = m sen4q

En el

(5): AC = AF senq ⇒ AC = m sen5q

D

Reemplazando datos:

27 = 2 3 sen5q ⇒ senq = 3 ⇒ q = 60° 16 2 1 Luego: OB = mcosq = 2 3 cos60° = 2 3 . ⇒ OB = 3 2

Central: 619-8100

Unidad III

39


4. Del gráfico, calcular "OB", si: OA = x ∧ AC = y C

Resolución:

C

Reemplazando los valores de OA y AC en el gráfico y construyendo el ODA y el CEA, tendremos:

q y

ODA: OD = xcosq

B

AEC: AE = ysenq ∧ AE = DB

D

Y como: OB = OD + DB = OD + AE O

q

q

O

\ OB = x cosq + y senq

A

B E

A

x

5. Calcular la longitud "AB" en términos de "a". A

A Sec tan a a

a B

Resolución:

1

Trabajando en el gráfico, tendremos: AB = AO – OB ⇒ AB = seca – tana

O

a B

1

O tana

10 x 5 50

Aplica lo comprendido De los gráficos, determinar el valor de "x":

4.

1.

4 m

x

20°

x

q 5.

2. x

b

3

a

50°

x

3. b

q

Colegios

40

TRILCE

x

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1

Aprende más... 1. En el gráfico, determine "x"

7. En un triángulo isósceles, los lados congruentes miden "m" y el ángulo desigual mide "q". Halle el lado desigual.

4

x

a) msen

q

a) 4senq d) 4cscq

q 2

d) 2msenq b) 4cosq c) 4secq e) 4(senq + cosq)

q

b) 2msen 2 e) 2mcos

a) msen2a c) msena . cosa e) mcsc2a

b) 7csca c) 7tana e) 7sena . cosa

3. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se sabe que: BC = n y ∠BAC = a. Hallar el área del triángulo. n2 n2 n2 cosa a) b) sena c) ctga 2 2 2 n2 n2 d) tga e) seca 2 2 4. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se sabe que: AB = m y ∠CAB = q. Hallar el perímetro del triángulo.

5. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se sabe que: AB = n y ∠ACB = b. Hallar el perímetro del triángulo. a) n(senb + cosb + 1) b) n(cosb + secb + 1) c) n(ctgb + secb + 1) d) n(ctgb + cscb + 1) e) n(tgb + ctgb + 1) 6. En un triángulo isósceles, los lados congruentes miden "L" y los ángulos congruentes miden "a". Halle la medida del lado desigual. L b) Lcosa c) cosa a) 2Lcosa 2 d) 2Lseca e) Lseca

b) mcos2a d) msec2a

9. En el gráfico, determine "x"

b b

x

m

a) mcos2b c) mcscb . secb e) msenb . cosb

b) msen2b d) mcsc2b

10. En el gráfico, hallar "x"

a) m(senq + cosq + 1) b) m(secq + tgq + 1) c) m(cscq + ctgq + 1) d) m(cosq + tgq + 1) e) m(senq + tgq + 1)

Central: 619-8100

2

x

a a) 7seca d) 7cota

2

aa x

m

q

q


2. En el gráfico, determine "x" 7

c) 3msen

q 5 x

a) 5senq d) 5cotq

b) 5cosq c) 5tanq e) 5secq . cscq

11. En el gráfico, hallar "x" m

x q

a) 2msenq d)

m cosq 2

b) 2mcosq e)

c)

m senq . cosq 2

m senq 2

Unidad III

41


12. En el gráfico, hallar "x" q

14. Del gráfico, hallar "AB", si el lado del cuadrado PQRS es "L". Además: BQ = BR B

m

Q

L

R

x

a) msenq d) msecq

b) mcosq e) mctgq

c) mtgq

m

a

a) msena . cotq c) mtana . tanq e) mseca . cotq

q b) mcota . tanq d) msena . tanq

S

P

L a) Lsenq + cosq 2 L c) Lsecq + cscq 2 L e) Ltanq + cotq 2

13. Del gráfico, hallar "x" x

A q

C

L senq + Lcosq 2 L d) secq + Lcscq 2

b)

15. Del gráfico, hallar "tanf" en función de "q" A

f B

2secq – senq cosq 2cscq – senq c) cosq 2cotq – cosq e) senq

a)

M

q

C

2secq – cosq senq 2cscq – cosq d) senq b)

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. Un pintor coloca su escalera de longitud "L" apoyada en una pared formando un ángulo "q" con esta. Determine la distancia del pie de la escalera a la base de la pared.

17. Desde el punto de penal (a 12 m aproximadamente del arco) se dispara el balón con tal fuerza que describe una trayectoria recta y choca con el travezaño. Si el ángulo formado por esta trayectoria y el piso es "a", hallar la altura del arco.

Colegios

42

TRILCE

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1

¡Tú puedes! 1. En la figura mostrada, calcular: E = tanx . coty; si: AB = AD = 1 y DC = 2 1 1 a) b) c) 2 2 3 1 e) 1 d) 4

B

x y

A

2. Del gráfico adjunto, hallar "tgq + ctgq", si PQRS es un cuadrado de lado 1 a) 7 d) 6

b) 8 e) 5

B

3. De la figura; determinar el valor de: b) 8 e) 25

P

9

q

S

C

D

37

A

P = 25tan2q + 24tanq, si: OA = OB a) 7 d) 16

R

Q

c) 9

A

C

D

°

C

c) 9

q B

O

4. En la semicircunferencia mostrada, halle: T = sen2α sen2β 1 1 a) 1 b) c) 3 2 1 d) 4 e) 4

Q 3

A

a

C 1 B

b O

5. En la figura, hallar "x" a) msec5qsenq c) msec5qsenq e) mtanqcos6q

b) mcotqsec7q d) msec6qtanq

x

q m

Central: 619-8100

Unidad III

43


18:10:45

Practica en casa 1. En el gráfico, determine "x".

8. Del gráfico, determine "x"

m

q

m

x

2. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), donde: AB = m y CAB = a, calcular "BC"

x

a a


3. Determine el perímetro del triángulo rectángulo mostrado.

q m

m

4. Del gráfico, determine "x".

a

x

10. Determine el lado del cuadrado ABCD. B A

x

m

a

q

m

q

5. En el gráfico, hallar "x".

m

a

D

q

11. En el gráfico, determine "x".

x

C

m

6. Hallar "x"

q x 4

b x

7. Del gráfico, determine "x"

q

12. Si la figura inscrita es un cuadrado de lado "L", hallar la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC. B

a

a

C

x Colegios

44

A

TRILCE

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13. Del gráfico, hallar "x"

15. En el gráfico, hallar: AC B h

1

r

q

a x

A

2q

2a

C

14. Hallar "x" A

q

q d

B

Central: 619-8100

D

x

C

Unidad III

45

Ángulos verticales

Ángulos verticales En este capítulo aprenderás a calcular alturas y distancias utilizando razones trigonométricas. ¿Te imaginas? Solo con trigonometría poder calcular la distancia entre el lugar donde estamos y cualquier parte. Por ejemplo, desde New York hasta la estatua de la libertad. ¡Sí se puede!

Conceptos básicos Los ángulos verticales: son aquellos ángulos agudos, que se caracterizan porque uno de sus lados se ubica sobre la línea horizontal y el otro lado, llamado línea visual, en el mismo plano vertical. Cuando la línea visual se ubica por encima o por debajo de la horizontal, forma ángulos que se llamarán ángulos de elevación o ángulos de depresión, respectivamente. En las figuras se presentan tres casos de ángulos verticales.

Colegios

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TRILCE

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1. Ángulo de elevación

2. Ángulo de depresión

2

b Línea horizontal l

ua

is av

e Lín

Lín

ea

vis

a Línea horizontal

ua

l

3. Ángulo de observación

ea

Lín

Observación

l

a visu

a: es la medida del ángulo de elevación b: es la medida del ángulo de depresión q: es la medida del ángulo de observación

q Línea

visual

Por ejemplo, si una persona de estatura 2 m divisa lo alto de un edificio de altura “H” con un ángulo de elevación de 20°, estando a 40m de su base, el gráfico sería:

20° H

2m

40 m

Otro ejemplo: desde lo alto de una torre de 40 m se divisa un punto en el suelo con un ángulo de depresión de 40°.

Central: 619-8100

40 m

40°

Unidad III

47

Ángulos verticales

Síntesis teórica

Problemas resueltos 1. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste de 20 m de altura con un ángulo de elevación igual a 24°. ¿Cuál es la distancia a la que se encuentra el punto de observación de la base del poste? (cot24° = 2,246)

Resolución: Graficando:

x = 20cot24° ⇒ x = 20(2,246) ⇒ x = 44,92m

20 m 24° x

2. Desde lo alto de un edificio, se ve dos objetos en tierra a un mismo lado del edificio, con ángulos de depresión "a" y "b" (a > b). Si la altura del edificio es "H", halle la distancia que separa a los objetos. Resolución:

b

a Del gráfico:

H

Hcotb – Hcota = x ⇒ x = H(cotb – cota)

a Hcota Colegios

48

TRILCE

b Hcotb

x

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3. Desde la base y la parte superior de una torre se observa la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación de 60° y 30° respectivamente. Si la torre mide 36 m, calcula la altura del edificio.

Resolución:

Elaboramos la gráfica del problema indicado, según los datos: x 3 3

Del gráfico:

x 3

30° x

2

x 3–

36 m

x 3 = 36 ⇒ x = 18 3 3

Luego: h=altura del edificio = (18 3 )( 3 )=54 m

60° x

4. Un topógrafo puede medir el ancho de un río emplazando su tránsito en un punto “C” en un borde del río y visualizando un punto “A” situado en el otro borde (véase la figura). Después de girar un ángulo de 90° en “C”, se desplaza 200 metros hasta el punto “B”. Aquí mide el ángulo de 20°, ¿cuál es el ancho del río? (Usar: tan20° = 0,36397). Resolución: Buscamos la longitud “b”: tanB =

Reemplazamos los datos, tenemos:

tan20° =

b

C

b a

A

20° a = 200 m

B

b ⇒ b = 200tan20° 200

b = 200(0,36397) = 72,794 m ⇒ el ancho es 72,794 m

5. A 20 m de la base de una torre, un hombre observa la parte superior de la torre con un ángulo de elevación "a". Se aleja en línea recta otros 20 m y ahora la ve con un ángulo de elevación "b".

Si: tana + tanb = 0,75 y el hombre mide 1,7 m; calcula la altura de la torre.

Resolución:

Graficando el enunciado, tendremos: Altura de la torre: x + 1,7 m x

1,7 m

20 m

Central: 619-8100

tana + tanb = 0,75 ⇒

a 20 m

1,7 m

b

Pero, además sabemos que: x x 3 + = = ⇒ x = 10 20 40 4

Finalmente: Altura de la torre = 10 m + 1,7 m = 11,7 m

Unidad III

49

Ángulos verticales

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. Graficar: un alumno Trilce observa un edificio de altura "H", con un ángulo de elevación "q". Además la altura del alumno es "h".

4. Del gráfico, calcular “tanq”

2. Graficar: desde lo alto de un edificio de altura 15 m, se observa un punto en tierra con un ángulo de depresión 70°.

14,5 m

q 1,5 m

3. Del gráfico, calcular la longitud de la línea visual.

8m

30°

5m

2m

5. Desde un punto en el suelo se observa lo alto de un poste de altura 20 m con un ángulo de elevación de 53°. Calcular la distancia del punto al pie del poste.

Aprende más... 1. Desde un punto en tierra se observa lo alto de una torre de 40 m, con un ángulo de elevación de 45°. Determina la distancia de la línea visual. b) 40 2 e) 44 2

a) 40 m d) 45 2

4. Determinar el ángulo de depresión en el gráfico:

f

c) 50 2 36

2. Desde lo alto de un edificio de 36 m de altura se observa un punto en tierra con un ángulo de depresión de 37°. Determinar la distancia de separación del punto al pie del edificio. a) 24 m d) 96

b) 48 e) 12

c) 36

3. Determinar el ángulo de elevación "b" en el gráfico.

48 a) 30° d) 60°

b) 37° e) 45°

c) 53°

5. Determinar el ángulo de elevación "f" del gráfico.

2m

7m

27 m

b

f

45° 17 m

25 a) 30° d) 37° Colegios

50

TRILCE

b) 45° e) 53°

c) 60°

a) 16° d) 15°

b) 30° e) 32°

c) 37°

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6. Desde el piso se observa con un ángulo de elevación "q" la parte alta de un poste. Si la visual mide "k", hallar la altura del poste. a) ksenq d) ksecq

b) kcosq e) kcscq

c) ktanq

7. Desde lo alto de un acantilado de altura "h" se observa una embarcación con un ángulo de depresión "b". ¿A qué distancia se encuentra la embarcación del acantilado? a) hsecb d) hcotb

b) hcscb c) htanb e) hsenb . cosb

8. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste de altura "h" con un ángulo de elevación "a". Si nos acercamos una distancia "D" el ángulo de elevación es "b". Hallar "D" a) h(tanb – tana) c) h(cosa – cosb) e) h(secb – seca)

b) h(cota – cotb) d) h(senb – sena)

9. Desde lo alto de un faro se ven dos barcos en direcciones opuestas con ángulos de depresión "a" y "b". Si la altura del faro es "h", halle la distancia que separa los barcos. a) h(cosa+cosb) c) h(tana+tanb) e) h(seca+secb)

b) h(sena+senb) d) h(cota+cotb)

10. Desde lo alto de un muro de 9 m de altura se ve las partes alta y baja de un edificio con ángulos de elevación y depresión de 45° y 37° respectivamente. ¿Cuál es la altura del edificio? a) 19 m d) 23

b) 20 e) 29

c) 21

11. Desde lo alto de una torre se ve la parte alta y baja de un muro con ángulos de depresión de 37° y 45° respectivamente. Si la torre mide 16 m, ¿cuánto mide el muro? a) 2 m d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

12. Desde un punto en tierra se observa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación "q". Si nos acercamos una distancia igual a la altura del edificio, el alto del edificio se observa nuevamente pero con un ángulo de elevación de 45°. Calcular: secq.

2

5 c) 5 3 2 5 5 d) e) 4 7 a) 5 b)

13. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste con un ángulo de elevación "a". Nos alejamos una distancia igual a la altura del poste y el ángulo de elevación es "90° – a". Calcular: K = tan2a + cot2a a) 1 d) 4

b) 2 e) 8

c) 3

14. Desde lo alto de un faro se divisa dos barcos con ángulos de depresión "a" y "90° – a"; a distancias de su base iguales a 90 m y 40 m respectivamente. Calcule "tana". 1 3 3 d) 2

a)

b) 3 e)

4 3

c)

2 3

15. Un niño de 1 m de estatura divisa los ojos de su padre, de 1,8 m de estatura con un ángulo de elevación "a" y divisa sus pies con un ángulo de depresión "b". Calcular: P = tana . cotb a) 0,2 d) 0,8

b) 0,4 e) 0,9

c) 0,6

16. Un turista observa la parte más alta de la catedral de Lima con un ángulo de elevación "q". Al avanzar una distancia igual al doble de la altura de la catedral en dirección a ésta, observa el punto anterior con un ángulo de elevación "a". Calcular: M = cotq – cota a) 0,5 d) 2

b) 1 e) 3

c) 1,5

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 17. El frontón, también conocido como la Isla del Muerto, fue usada por los nativos, españoles y piratas pero en menor grado que San Lorenzo. En su etapa republicana ha sido usada principalmente como presidio. Ahí se encontraban ladrones, criminales avezados, presos políticos y otros. Famosos presos del penal del frontón fueron el ex–presidente del Perú, Fernando Belaunde Terry; el ya fallecido Pedro G. Beltrán quien fuera director del ya desaparecido diario LA PRENSA; el desaparecido literato Sebastián Salazar Bondy; y el ya fallecido Guido Monteverde, personalidad de la televisión y farándula peruana. Central: 619-8100

Unidad III

51

Ángulos verticales

El penal ha sido clausurado y reabierto varias veces. Luego de los motines de junio de 1986, el penal fue definitivamente clausurado. En ese entonces la vigilancia del penal era realizada por helicópteros a 900m sobre el nivel del mar y con ángulos de depresión de 45° y 37° respectivamente al puerto del Callao y el frontón. Determinar la distancia de separación del Puerto y el Frontón

18. El Cerro San Cristóbal está ubicado a 400 m sobre el nivel del mar y brinda a sus visitantes la posibilidad de contemplar Lima de una sola mirada. De noche impresiona la cruz iluminada de 20 m de altura que, imponente, custodia a los limeños hace 71 años. Desde este mirador maravilloso podemos ver las playas de Chorrillos ubicadas a 20 km aproximadamente con un ángulo de depresión “a”. Determinar la medida aproximada de “a”.

¡Tú puedes! 1. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación "a". Nos acercamos una distancia "x" y el ángulo de elevación es ahora de 45°, pero si nos acercamos una distancia "y" x adicional, el ángulo de elevación es ahora el complemento de "a". Hallar: y a) tana

b) cota

c) tan2a

d) cot2a

e) seca . csca

2. Se tiene un terreno en forma de un triángulo rectángulo. Si denotamos los vértices por "A", "B" y "C" (B = 90°), se observa que desde "A", "M" y "C" (AM = MC) los ángulos de elevación para un poste cot2a + cot2q vertical levantado en "B" son "a", "b" y "q, respectivamente. Calcular: L = ; si: "A", "M" cot2b y "C" son colineales. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 16 3. Desde un punto del suelo se divisa lo alto de una torre con un ángulo de elevación "90° – a". De esa ubicación nos alejamos subiendo una pendiente de 45°, hasta ubicarnos a una altura "h" del suelo; de donde divisamos lo alto de la torre con un ángulo de elevación " a". Si la altura de h la torre es "H"; hallar: . H a) 1 + tana

b) 1 – tana

c) 1 + cota

d) cota – 1

e) cota + tana

4. Una hormiga ubicada en el suelo de un cuarto de forma paralelepípeda divisa las partes superiores de una de las paredes con ángulos de elevación "q" y "90° – q"; notándose además que las horizontales trazadas para dichas observaciones forman un ángulo "f". Si la base de la pared es 2 veces la altura tanq + cotq de la pared, hallar: L = 2 + cosf . a) 2 Colegios

52

TRILCE

b) 2

c) 2 2 d)

2 2

e) 4 www.trilce.edu.pe


5. Se tienen dos postes AB y CD ("A" y "C" en el piso) y una persona entre ellos, divisa "B" y "D" con ángulos de elevación complementarios y "A" y "C" con ángulos de depresión "a" y "b", respectivamente. Si el ángulo de elevación de la persona hasta "B" es "q" y además AB = b, CD = c y la persona mide "a", hallar: L = (cota + cotq)(cotb + tanq) 2 2 a) ab b) ac c) bc d) bc2 e) b c c b a a a

2

18:10:45

Practica en casa

2. Desde lo alto de una torre de 24 m de altura se divisa un punto en tierra con un ángulo de depresión de 45°. Determinar la distancia de separación del punto al pie de la torre.

8. Desde lo alto de un faro se ven dos barcos en las mismas direcciones, con ángulos de depresión "a" y "b". Si la altura del faro es "h", halle la distancia que separa a los barcos.

3. Determinar el ángulo de elevación en el gráfico.

9. Desde un helicóptero que se encuentra a una altura "H" se observan dos puntos en tierra, "A" y "B" con ángulos de depresión "a" y "b" respectivamente. Determinar la distancia entre "A" y "B", si además dichos puntos están a distintos lados respecto al helicóptero, pero en el mismo plano vertical.

45 ec 2s

2tan45°

7. Desde lo alto de un acantilado de altura "H", se observa una embarcación con un ángulo de depresión "b". ¿A qué distancia se encuentra la embarcación del acantilado?

°

1. Desde un punto en tierra se observa lo alto de un poste de 15 m de altura, con un ángulo de elevación de 37°. Determinar la distancia de la línea visual.

10. Determinar el ángulo de depresión del gráfico.

q

f

4. Determinar el ángulo de depresión en el gráfico.

b

24

45 m 25 60 m

5. Desde lo alto de un muro de 3,6 m se ve lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 53° y luego se ve su parte baja con un ángulo de depresión de 37°. ¿Cuál es la altura del poste? 6. Desde lo alto de un edificio se ve la parte alta y baja de un árbol con ángulos de depresión de 45° y 53° respectivamente. Si la altura del edificio es 24 m, calcular la altura del árbol. Central: 619-8100

11. Un nadador se dirige hacia un faro y lo observa con un ángulo de elevación de 30°. Al avanzar 10 m, el nuevo ángulo de elevación se duplica. Hallar la altura del faro. 12. Dos edificios de alturas "H" y "h" (H > h) están separados una distancia "d". Desde el punto más alto del edificio de altura "H", se observa la parte más alta y más baja del otro edificio con ángulos de depresión de 30° y 60°, respectivaH+h mente. Halle: H–h Unidad III

53

Ángulos verticales

13. Desde lo alto de un poste se ve un móvil, a un lado de él con un ángulo de depresión "a"; después de que el móvil recorrió "L" está ubicado al otro lado del poste y ahora el ángulo de depresión es "b". Hallar la altura del poste.

Colegios

54

TRILCE

14. Desde un punto en tierra se observa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 37°. Al avanzar una distancia igual a su altura nuevamente se observa al edificio con un ángulo de elevación 45° y si avanzamos ahora 2/3 de la altura del edificio por última vez se observa al edificio con un ángulo de elevación "q". Calcular "tanq".

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UNIDAD IV

Ubicándonos en el plano

R

René Descartes

ené Descartes (La Haye, Francia 1596–Estocolmo, Suecia 1650) Escritor, matemático y filósofo del famoso “Discurso del método”. Es quien en forma definitiva introduce el empleo de las últimas letras del alfabeto (x, y, z) para representar las incógnitas, y las primeras letras del alfabeto (a, b, c, ...) para representar las cantidades conocidas, en su inmortal “Geometría” (1637). En este libro considera ya el uso de los exponentes como índices superiores. Pero hay otra contribución invalorable, que ha dado a Descartes, una magnitud muy especial en la construcción del edificio matemático: El plano cartesiano empleado para representar puntos, funciones y demás paradigmas matemáticos de gran importancia como las funciones trigonométricas.


Reconocer la ubicación de un ángulo en un determinado cuadrante e identificar los signos de las razones trigonométricas en los diferentes cuadrantes.


Demostrar el modo de calcular las razones trigonométricas de ángulos en posición normal y cuadrantales.


Resolver problemas con pares ordenados y situaciones con signos en los cuadrantes.

Razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida I


En este capítulo aprenderás a ubicar ángulos en diferentes cuadrantes y trabajos con el signo y valor numérico de sus razones trigonométricas.

Signos más y menos Los signos más (+) y menos (−) son usados para identificar números positivos o negativos, respectivamente. Además son los que representan la adición y la sustracción. Más proviene de maes, y menos del latín minus.

Historia Aunque los signos son similares al alfabeto o a los números hindo–arábicos, no son de gran antigüedad. Por ejemplo, los signos de adición y sustracción de los jeroglíficos egipcios eran similares a dos piernas. El símbolo al revés indicaba sustracción:

o Por otro lado, durante el siglo XV eran utilizados en Europa las letras P y M (por los términos en latín plus y minus). Colegios

56

TRILCE

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Los inicios de los símbolos actuales provienen, al parecer, del libro "Behende und hüpscheenung auff allen Kauffmanschafft" (Aritmética Mercantil) escrito por Johannes Widmann en 1489, utilizado para indicar excesos y déficit, aunque de acuerdo al sitio web Earliest Uses of Various Mathematical Symbols (Los usos más tempranos de varios símbolos matemáticos, en inglés), un libro publicado en 1518 por Henricus Grammateus usaría por primera vez los signos + y −.

1

El + es una simplificación del latín "et" (comparable con &), mientras, se cree, que el − proviene del tilde que era escrito sobre la letra m al utilizar muchas veces este símbolo para indicar sustracción. Robert Recorde, el creador del signo igual, introdujo los signos más y menos a Reino Unido en 1517 por medio de su libro The Whetstone of Witte, donde escribió: "Hay otros dos signos que pueden ser usados: +, utilizado en la adición, y −, ocupado en la sustracción"

Sabías que... Las operaciones que se realizan con el signo (+ ó –) tienen muchas observaciones y a veces debemos cuidarnos de no equivocarnos, aunque sus operaciones parecen tan simples, lo más conocido de estas operaciones son: (+) . (+) = (+) (–) . (–) = (+) (+) . (–) = (–) (–) . (+) = (–) (+) + (+) = (+) (–) + (–) = (–) (+) + (–) = ?

Observamos que al multiplicar números de un mismo signo el resultado siempre es positivo pero si tienen diferentes signos el resultado siempre es negativo.

¿Podrías decir qué sucede en estos casos? ¿Cómo podríamos determinar el signo en el último caso?

Conceptos básicos Razones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitud I Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera se puede determinar de forma aproximada, dibujando el ángulo en una posición tal que su vértice esté en el origen de coordenadas y uno de sus lados coincida con el eje de abscisas positivas. Esta posición se llama normal y para dibujarla solo se requiere utilizar una regla, un compás y un transportador. En virtud al concepto de un ángulo en posición normal, la trigonometría se anexa al cálculo superior.

Posición de un punto en un plano cartesiano Un punto se determina en el plano cartesiano mediante dos valores (x;y) que son distintos a los ejes. Las distancias se conocen hoy con el nombre de coordenadas rectangulares. Las dos rectas perpendiculares entre sí reciben el nombre de ejes. Al eje horizontal se le conoce como eje “X”, al eje vertical como eje “Y” y su punto de intersección como origen. Dichos ejes dividen al plano en cuatro cuadrantes.

Central: 619-8100

y

Cuadrante II

Cuadrante I

x

O Cuadrante III

Cuadrante IV

Unidad IV

57


Observación Los cuadrantes se enumeran siempre en el sentido antihorario. y abscisa de P abscisa de Q

ordenada de P

Las medidas se consideran negativas cuando se toman hacia la izquierda del eje horizontal o hacia abajo del eje vertical.

P

R

ordenada de S

Q

ordenada de R

•

Las medidas se consideran positivas cuando se toman hacia la derecha del eje horizontal o hacia arriba del eje vertical.

ordenada de Q

•

abscisa de S

x

S

abscisa de R

En un sistema de coordenadas rectangulares el origen es el punto de intersección de los ejes. •

En la siguiente figura se muestra un sistema de coordenadas rectangulares en donde se visualizan las rectas "x" e "y", que definen un plano geométrico de puntos. y

y

y

4 3 2 –2 –1

1

1

2

3

0 –1

–2

abscisa P(x; y)

4

ordenada

2

(2; 4) (4; 2)

4 x

x

0

2

4 x

origen

Radio vector El radio vector se define como el segmento de recta que tiene por extremos al origen "O" y un punto "P" del plano cartesiano.

Colegios

58

r2 = x 2 + y 2 r

O

TRILCE

P(x; y)

y

x

⇒ r = x2 + y 2

y x

(r > 0)

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Ejemplo:

•

1

Calcular la longitud del radio vector del punto A(–2; 3). Resolución: rA =

(–2)2

+

32

y

⇒ rA = 13

3

A(–2; 3)

rA x

–2

Ubicación de un ángulo en posición normal (canónico o estándar) – Su lado inicial coincide con el semi–eje positivo de abscisas. – Todo ángulo en posición normal está ubicado en el cuadrante donde se posiciona su lado final. lado final de "a" y a ∈ IIC

a Lado final de "b" b ∈ IIIC

lado inicial x

b

•

El lado final de "a" se posiciona en el IIC por lo tanto "a" también se ubica en el segundo cuadrante.

•

El lado final de "b" se posiciona en el IIIC por lo tanto "b" también se ubica en el tercer cuadrante.

Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal Sea "q" un ángulo trigonométrico en posición normal, (x; y) un punto de su lado final y "r" (r > 0) la longitud de su radio vector, entonces las razones trigonométricas de "q"; se definen como sigue: y (x; y)

y

r

y r

cscq =

r y

cosq =

x r

secq =

r x

tanq =

y x

cotq =

x y

q x

Central: 619-8100

senq =

x

Unidad IV

59


Ejemplo:

•

A partir del gráfico, calculemos todas las R.T. de "q". y

(–5; 12)

x

(–5; 12) 13

y

y r

q

q x

x

•

senq =

y 12 = 13 r

•

cotq =

5 x =– 12 y

•

cosq =

5 x =– 13 r

•

secq =

13 r =– 5 x

•

tanq =

12 y =– 5 x

•

cscq =

13 r = y 12

Signos de las razones trigonométricas Un estudio de las distintas combinaciones de signos entre la abscisa "X" y la ordenada "Y" para determinar las razones trigonométricas de los ángulos en posición normal, permite descubrir un conjunto de regularidades. –+ (x; y)

y + r

+ r

x – – (x; y)

+ r

+ r

y

++ (x; y) sen; csc (+)

Todas las R.T. (+)

tan; cot (+)

cos; sec (+)

x

+– (x; y)

IC IIC IIIC IVC

sen cos tan cot sec csc + + + + + + + – – – – + – – + + – – – + – – + –

Analizando este cuadro se puede comprobar que la R.T. y su R.T. recíproca poseen signos iguales en un mismo cuadrante. Ejemplos:

1. Determinemos los signos de algunas razones trigonométricas de los siguientes ángulos: a) 40° ∈ IC ⇒ cos40° es (+)

b) 100° ∈ IIC ⇒ tan100° es (–)

c) 250° ∈ IIIC ⇒ cot250° es (+)

d) 310° ∈ IVC ⇒ sec310° es (+)

sen111° . cos222° ? tan333°

2. ¿Qué signo tiene M = • sen111° es (+)

Reemplazando: M =

Colegios

60

TRILCE

• cos 222° es (–)

• tan 333° es (–)

(+) . (–) =+ (–)

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1

Síntesis teórica

Problemas resueltos 1. Si el punto P(–3; 2) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal "q", calcular: A = senq . cosq

Resolución: Graficando: Se observa que:

y 2

P(–3; 2) r

x = –3 y=2

q

⇒A= –3

x

2 13

⇒ r = 13 –3 ⇒A= –6 13 13

2. Si: senb > 0 ∧ cosb < 0; entonces "b" pertenece al:

Resolución:

senb > 0 ∧ cosb < 0 ↓ ↓ (+) (–) ↓ ↓ b ∈ IC ó IIC ∩ b ∈ IIC ó IIIC

Central: 619-8100

⇒ b ∈ IIC Unidad IV

61


3. Si: cosb =

Resolución: cosb =

1 ("b" ∈ IVC), calcular: tanb. 3

Por lo tanto: tanb =

x=1 ⇒ y = –2 2 r=3

y 2 =–2 = –2 2 1 x

4. Señala el signo de: Q =

x (+) y (–) ⇒ r (+)

1 x = ("b" ∈ IVC) 3 r

tan200° . tan280° sen190° . cot350°

Resolución: i) 200° ∈ IIIC ⇒ tan200° es (+) ii) 280° ∈ IVC ⇒ tan280° es (–) iii) 190° ∈ IIIC ⇒ sen190° es (–) iv) 350° ∈ IVC ⇒ cot350° es (–) Por lo tanto: Q =

(+)(–) → ∴ Q= (–) (–)(–)

5. Si: tanq = 2 + 2 + 2 + ... (p < q <

3p ), calcular: K = 5 secq + tanq 2

Resolución:

En la condición: tanq = 2 + 2 + 2 + ... : tan2q = 2 + 2 + 2 + ... ⇒ tan2q – tanq – 2 = 0 1442443 tanq

Eliminando el 1er.

(tanq – 2)(tanq + 1) = 0

Pero: q ∈ p;

i) tanq = 2 ii) tanq = –1

–2 y 3p ⇒ q ∈ IIIC ∧ tanq es (+) ⇒ tanq = 2 = = –1 x 2

Graficando: y

y=–2

x=–1

Colegios

62

TRILCE

q

5

x

Nos piden: K = 5 secq + tanq = 5

5 +2→K=–5+2⇒K=–3 –1

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10 x 5 50

1

Aplica lo comprendido 1. Del gráfico, calcula "senq"

3. Del gráfico, calcula "tanq" y

y

(–3; 6)

q

x

q (5; –1)

2. Del gráfico, calcula "cosq"

x 4. Del gráfico, calcula "cotb" y

y

(4; 7) x

b

q

x

(–3; –4)

5. Indica a qué cuadrante pertenece cada ángulo: •

Si: cosq > 0 ∧ senq < 0

q∈

•

Si: secb > 0 ∧ cscb > 0

b∈

Aprende más... 1. Del gráfico mostrado, calcular: E = csca + cota

2. Del gráfico mostrado, calcular: E = secq + tanq y

y

a x

(x; 5) 13

q x

(–7; –24)

3 4 4 d) – 3

a)

Central: 619-8100

3 b) – 4 3 e) – 2

c)

4 3

3 2 3 d) – 4

a)

3 b) – 2 4 e) – 3

c)

3 4

Unidad IV

63


3. Si el punto P(– 4; 1) pertenece al lado final de un ángulo canónico "q", calcular: M = 17 senq + 8tanq. a) 1 d) 2

b) – 1 e) 4

q

b) 0 e) –2

(k + 1; –3)

a) –5 d) –4

b) –7 e) –6

c) –9

c) –4 9. Señale el signo de:

25 a) –1 b) –2 c) – 24 25 7 e) – d) 24 7

a) (+) d) (+) y ( – )

sen140° – cos200° tan110°

b) ( – ) c) (+) ó ( – ) e) No se puede precisar

11. Señala el signo de:

2

a 0

b) (–) c) (+) y (–) e) No se puede determinar

10. Señala el signo de: J =

6. Del gráfico, halle: M = 13 cosa – 6tana. y

M = sen140° . cos224° cot 340° a) (+) d) (+) ó (–)

J = (tanq + cotq) senq

–3

x

(k + 3; –2)

5. Si el punto P(– 24; 7) pertenece al lado final de un ángulo canónico "q", calcular:

y

c) – 2

4. Si el lado final de un ángulo positivo en posición normal "q" pasa por el punto M(– 1; 2), hallar el valor de: E = 5 senq + tanq a) 4 d) 2

8. Del gráfico mostrado, calcula “k”

P=

sen112° . cos325° tan44° . sen448° + tan348° cot102°

a) + d) (–) y (+)

x

b) – c) (+) ó (–) e) No se puede determinar

a) 0 d) –2

b) –1 e) 2

c) 1

7. Del gráfico mostrado, calcular: tanq + cotq y

a) IC d) IVC

2 5

q x 5 2 3 d) – 2

Colegios

64

TRILCE

5 b) – 2 1 e) – 2

c)

a) IC d) IVC

b) IIC c) IIIC e) Es cuadrantal

13. Si: tanq < 0 y cosq > 0, ¿en qué cuadrante está “q”?

(a + 1; 1 – a)

a)

12. Si: cscq > 0 y secq < 0, ¿en qué cuadrante está "q"?

3 2

b) IIC c) IIIC e) Es cuadrantal

14. Si "q" pertenece al tercer cuadrante y "a" pertenece al cuarto cuadrante, determinar el signo csc θ sec θ ctgα de: senα + tgα a) (+) d) (+) y (–)

b) (–) e) Absurdo

c) (+) ó (–)

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15. En el gráfico: AB = BC, calcula "cota" y

16. Del gráfico, ABCD es un cuadrado. Calcular: tanq + cotb.

q B

C

A

a

b x

B

a) tan2q d) tanq + 1

y

D

A

C

b) 1 – tanq e) –1 – cotq

1

c) 1 + cotq

a) –1 1 d) 2

x

q

b) 2 1 e) – 2

c) –2

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 17. Las medidas de la cancha del Estadio Monumental son de 70 m × 105 m. Si lo llevamos a un plano cartesiano y trazamos un ángulo canónico que pase por el punto del córner de la tribuna norte llamado “q”, hallar: tanq

Norte y

q x

Sur 18. Un profesor en su trabajo de investigación invita a trabajar a Danielito el alumno más aplicado y le dice que vaya avanzando con el siguiente esquema. Coloca en los recuadros de la izquierda en qué cuadrantes la expresión es menor que cero, y a la derecha en que cuadrantes la expresión es mayor que cero. A lo cual Danielito acató. Llenar el siguiente recuadro tal y como lo hizo Danielito.

Cuadrante

Expresión

Cuadrante

senx(1 – cosx)

¡Tú puedes! 1. Siendo "q" un ángulo en posición normal del IIC, calcular el valor de: P = 2senq – 3 secq, sabiendo que se cumple: 3 1 –1,5secq = + 2 1 4+ 1 3+ 1 4+  3+ (∞ términos) a) –2 Central: 619-8100

b) –3

c) 2

d) 3

e) 4 Unidad IV

65


2. Si: (cosq)– 1 = – 3,6666... y cotq > 0, hallar el valor de: M = 3tanq + 11senq 2 11 a) 0 b) 1 c) d) e) 4 7 3 3 3. Con los datos de la figura, calcular: cot–1b – csca. y

(–8; 6)

b x

a

a) –4

b) 2

c) 3

d) –5

1 2

e)

4. Sabiendo que en la condición: tanf = tanq + 4cotq (q ∈ IIC), "tanf" adopta su máximo valor posible (f ∈ IVC), calcular el valor de: L = 17senf – 5 senq. a) 4

b) –4

c) 6

d) –6

e) –8

5. Del gráfico, calcular: M = tana – tanb + tana . tanb y

a

b

x

a) 1

b) –1

c) 2

d) –2

e) – 2 18:10:45

Practica en casa 1. Indica qué ángulo se encuentra en posición normal. y I.

y x

y III.

Colegios

66

TRILCE

x

II.

2. Si el punto (– 1; 3) pertenece al lado final del ángulo canónico "a", calcular:

x

M = 10 seca – tana

3. Si el punto (6; – 8) pertenece al lado final del ángulo canónico "a", calcular el valor de: E = 5cosa + 6 tana. 4. Si el lado final de un ángulo canónico "q" pasa por el punto (–3; 5), calcular: J = 5cotq + 34 cosq www.trilce.edu.pe


5. Si el punto P(– 1; – 7) pertenece al lado final del ángulo en posición normal "a", calcular:

Q = sena . tana . seca

6. Del gráfico mostrado, calcule el valor de: W = senq . cosq y

q

0

x 6 (a; –a 2)

7. Del gráfico mostrado, calcular: M = secb – tanb y

10. Señala el signo de:

M = sen140° . cos220° – tan190°

11. Si "q" pertenece al tercer cuadrante y "a" pertenece al cuarto cuadrante, determinar el signo senθ cos θ tgα de: csc α + ctgα 12. Si: secq > 0 ∧ tanq < 0, ¿en qué cuadrante está "q"? 13. Si: senq < 0 ∧ ctgq < 0, ¿en qué cuadrante está "q"? 14. Del gráfico, calcular: tanq (AB = BC). y A

b

C 45°

x 15 (a; – 9)

8. Señale el signo de:

M=

B

y

sen340° . cot124° cos316° 37°

A = (tan250° – cos100°)csc340°

Central: 619-8100

x

q

15. Del gráfico mostrado, calcule "tanq"

9. Señale el signo de:

1

q

x

Unidad IV

67

Razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida II


En este capítulo aprenderás a trabajar con ángulos múltiplos de 90° llamados cuadrantales y también con ángulos coterminales.

Operaciones matemáticas con el cero El cero se representa en matemáticas con el símbolo "0". Desde el siglo XX, con el desarrollo de la informática, es frecuente que el 0 aparezca borrado, es decir, con una raya que lo cruza para evitar confundirlo con la letra "o". Por contrapartida, cuando la letra "o" se escribe entre números es pertinente acentuarla: "ó", para evitar confundirla con el signo del número 0. En el conjunto de los enteros Z, el 0 es un número par. Tradicionalmente está considerado uno de los cinco números más importantes de las matemáticas, junto con los números 1, π, i, e. Estos números quedan relacionados por la llamada identidad de Euler: e ip + 1 = 0

Cero en la suma En la suma, el cero es el elemento neutro; es decir, cualquier número sumado con 0 resulta el mismo número. Ejemplo: 25 + 0 = 25

Cero en la multiplicación En el producto, el cero es el elemento «absorbente»; cualquier número operado con 0 da 0. Colegios

68

TRILCE

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Ejemplo: 25 × 0 = 0

2

División por cero En matemática la división por cero es aquella en la que el divisor es igual a cero. En aritmética y en álgebra, es considerada una indefinición que puede originar paradojas matemáticas. En los números naturales, enteros y reales, la división por cero no posee valor definido, debido a que para todo número "n", el producto n . 0 = 0, por lo que el 0 no tiene inverso multiplicativo. En otros cuerpos matemáticos, pueden existir divisores de cero, sin embargo, estos aparecen cuando el cero es el dividendo, no el divisor. El problema empezó en la India allá por los años 650, cuando se popularizó el uso del cero, y los números negativos. El primero en aproximarse al planteamiento de este problema fue el matemático indio Bhaskara, n quien escribió en el siglo VII que = ∞. 0 •

¿El cero tiene inverso multiplicativo?

•

¿Quién fue el matemático que escribió:

n = ∞? 0

Conceptos básicos Ángulo cuadrantal El ángulo cuadrantal es un ángulo trigonométrico en posición normal cuyo lado final coincide con un semieje. Por definición un ángulo cuadrantal no pertenece a cuadrante alguno. Además, la medida de un ángulo cuadrantal es un múltiplo de la medida de un ángulo recto (90°). Si "q" es cuadrantal ⇒ q = 90°.n; "n" ∈ y

y

0°

x

x

–9

0° 36

0°

0 +9

0°

°

–63

–36

80

°

x

–1

270

0°

0°

7

–2

° 90

°

0 18

y

Observación Los ángulos cuadrantales pueden ser positivos, negativos o de más de una vuelta. En cualquiera de estos casos las medidas de los ángulos verifican la relación anterior.

Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales Las razones trigonométricas de ángulos cuadrantales tienen valores característicos como cero, uno o indeterminado (no determinado = ND), independiente de la longitud del radio vector. Central: 619-8100

Unidad IV

69


Ejemplos:

1. Calculemos las R.T. de 90° y por simplicidad haremos que el radio vector mida 1. El siguiente gráfico muestra un punto perteneciente al lado final del ángulo cuadrantal. y •

(x; y) = (0; 1)

•

r=1

•

x

y 1 = =1 • r 1 x 0 • cos90° = = = 0 r 1 y 1 No tan90° = = = • definido x 0

r 1 No = = definido x 0 r 1 csc90° = = = 1 y 1 x 0 cot90° = = = 0 y 1

sen90° =

sec90° =

Análogamente, se calculan las R.T. de los ángulos cuadrantales cuyas medidas son 0°, 180°, 270° y 360°. Tales valores se muestran en la siguiente tabla: 0°

2. Calculemos el valor de: E =

90° 180° 270° 360°

sen

0

1

0

–1

0

cos

1

0

–1

0

1

tan

0

ND

0

ND

0

cot

ND

0

ND

0

ND

sec

1

ND

–1

ND

1

csc

ND

1

ND

–1

ND

2sen90° – cos180° tan360° – csc270°

Utilizando la tabla anterior, tenemos: E =

2(1) – (–1) 3 = =3 0 – (–1) 1

Ángulos coterminales Dos ángulos en posición normal se llamarán coterminales o cofinales, si sus lados finales coinciden. Ejemplos:

y

y

b

q x

a

"a" y "b" son coterminales

x

"f" y "q" son coterminales y

y

120°

50° x 410° 410° y 50° son coterminales

Colegios

70

TRILCE

f

–240°

x

120° y –240° son coterminales www.trilce.edu.pe


Propiedad

2

La diferencia de las medidas de dos ángulos coterminales siempre nos dará como resultado un número entero positivo de vueltas. Si: "a" y "b" son coterminales tal que: a > b entonces se cumple:

a – b = 360.k; "k" ∈ Ejemplos:

1. 750° y 30° son coterminales porque: 750° – 30° = 720° = 2 vueltas 3 2. 2200° y 40° son coterminales porque: 2200° – 40° = 2160° = 4 vueltas 3 3. 500° y (–90°) no son coterminales porque: 500° – (–90°) = 590° ≠ # vueltas 7

Razones trigonométricas de ángulos coterminales Si "a" y "b" son coterminales, entonces se cumple: y y • sena = ∧ senb = ⇒ sena = senb r r •

cosa =

x x ∧ cosb = ⇒ cosa = cosb r r

•

tana =

y y ∧ tanb = ⇒ tana = tanb x x

Análogamente: •

ctga = ctgb

•

seca = secb

•

csca = cscb

Ejemplos:

1. 750° y 30° son coterminales ⇒ sen750° = sen30° 2. 80° y −1000° son coterminales ⇒ cot80° = cot(–1000°) 3. 400° y 20° no son coterminales ⇒ sec400° ≠ sec20° Propiedad Si "a" y "b" son coterminales se cumple que: Rt(a) = Rt(b)

también

Rt(360º.k + b) = Rt(b)

Ejemplos:

•

sen1845° = sen(1800° + 45°) = sen45° = 2 2

•

tan900° = tan(720° + 180°) = tan180° = 0

•

sen125p = sen(124p + p) = senp = 0

Central: 619-8100

Unidad IV

71


Síntesis teórica

Problemas resueltos 1. Calcular el valor de: E = (cos270°)sen90° –

tan360° + (sec180°)cot270° cos0°

Resolución:

Aplicando las razones trigonométricas de ángulos cuadrantales. 0 E = (0)1 – + (– 1)0 ⇒ E = 1 1

2. Calcular el valor de: M = tan sen cos

p 2

– cos(tan(senp))

Resolución:

Aplicando las razones trigonométricas de ángulos cuadrantales.

M = tan[sen0°] – cos[tan0°] = tan0° – cos0° ⇒ M = 0 – 1 ⇒ M = – 1

3. Hallar el mayor de dos ángulos coterminales, si la suma de ambos es 2480° y el menor de ellos está comprendido entre 304° y 430°.

Resolución:

Como son ángulos coterminales, entonces: a – b = 360°n por condición.

a + b = 2480° ..... (1) a – b = 360°n . ..... (2)

Entonces: 304° < 1240° – 180°n < 430° ⇒

Reemplazando en (1) y (2): a = 2140° Colegios

72

restando: 2b = 2480° – 360°n ⇒ b = 1240° – 180°n

TRILCE

– 810° – 936°
www.trilce.edu.pe


10 x 5 50

2

Aplica lo comprendido 4. ¿A qué es igual: 4cos90° + 5sen90°?

1. Asocie mediante flechas:

sen90°

0

cos90°

1

5. ¿A qué es igual: 7sec360° + 8cos180°? •


sen180°

0

cos180°

–1


tan360°

0

csc90°

1

Indica en cada caso si son ángulos coterminales, indicando verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

6. 120° ∧ 450°........................................... (

)

7. 720° ∧ 120°........................................... (

)

8. 1286° ∧ 566°......................................... (

)

Aprende más... 1. Determine el valor de:


T = 5sen90° – 2cos180° + 3tan0° a) 3 d) 9

b) 5 e) 10

c) 7


M=

(4cos60°. 3tan60° ) 3 (sen270°)

a) 1 d) – 2

b) 0 e) 2

– csc270°

c) – 1

a) 2 d) 1

a) –1 d) –3

(a + b)2sen90° + (a – b)2cos3180° ab.sen270°

a) 1 d) – 4

b) – 1 e) – ab

2 2 M = a2 cos0° + 2ab.sen90° + b 2sec360° a tan45° – 2ab.csc270° – b cos180°

N = acos90° – bsen180° 1 a) 1 b) 2 d) 0 e) 2

Central: 619-8100

b) 0 e) – 2tan1

b) –2 e) 0

c) 2

a) 0 d) 2

b) – 2 e) 1

c) –1

9. Según el gráfico, calcular: sena M= – tana . cotq senq y

c) – 1

q

5. Calcular: P = tan[cos(senp)] − tan1 a) 1 d) 2tan1

c) – 2

8. Si: 1 – cosa + cosa – 1 = senf + 1, hallar el valor de: E = tana + ctgf

c) 4

4. Calcular "M – N", si:

b) 0 e) – 1

7. La expresión: R = a – 1 + 2 – a es real, hallar el valor de: M = cosa – sena – ctga, cuando "a" es un ángulo cuadrantal.

3. Reducir: P=

J = sen tan cos p – cos[tan(senp)] 2

c) tan1

x

a

a) 0 d) 2

b) – 1 e) – 2

c) 1

Unidad IV

73


13. Se tienen dos ángulos coterminales cuyo cociente es igual a 1/7 y la suma de estos no es mayor que 500° ni menor que 400°. Calcular la suma de las tangentes de dichos ángulos, siendo el menor un ángulo notable.

10. Del gráfico mostrado, hallar el valor de:

M = tana + tanb – tan(a – b) y (– 20; 21)

d) 4 3

b

x

b) – 2,1 e) 0

b) 1200° e) 1800°

M = (3cosa +|cosb|) secb y

c) 4,1

a

11. Halle el mayor de dos ángulos coterminales, si su suma es 1520° y el menor está comprendido entre 200° y 250° a) 1100° d) 1750°

c) 2 3

14. Del gráfico, calcular:

a) 2,1 d) – 4,1

3 2 e) – 2 3

a) 3 b)

a

a) 1 d) –2

c) 1300°

x

b b) 2 e) –3

c) 3

15. Del gráfico, calcular:

12. Hallar el menor de dos ángulos coterminales, si la suma de ambos es 1320° y el mayor de ellos está comprendido entre 900° y 1200° a) 240° d) 320°

b) 260° e) 340°

T = (5seca + 3|secb|) (2cosa + |cosb|) y x

a

c) 300°

b

a) 1 d) –1

b) 2 e) 0

c) –2

¡Tú puedes! 1. En el gráfico, hallar "tanq". SI: OP = PQ y

Q(a; b)

O

x

P

q a)

a+b a–b

Colegios

74

TRILCE

b)

b a–b

c)

a a + b

d)

b–a b + a

a–b a+b

e)

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2. Sabiendo que "a", "b" y "q" son ángulos canónicos positivos, cuadrantales, menores que 1 vuelta, tales que: sena = cosb (a > b > q), calcular: L = sen a) 2 b) 1 c)

a

3

+ cos

3 2

d)

b

3

+ sen

2

q

3

1 2

e) 3

3. De la figura, calcular: cotb – cscb y (–8; 6)

x

b

a) – 4

b) 2

4. Del gráfico, calcular: K =

c) 3

d) –5

e) –3

(4sena + |senq|)(2|csca| + cscq) (3|tanb| + tanf)(3|cotf|+ 2cotb) y

a q

b

x

f

a) 1

b) 1,5

c) –1

5. Si "a" es agudo y "b" ∈ IIIC; también: sena =

d) –1,5

e) –2

tanb , además "sena" asume su máximo valor. tan2b + 2

Calcular: K = cot2a – 3 secb a) – 3

b) – 2

c) 3

d) 4

e) 10

18:10:45

Practica en casa 1. Indica si son verdaderos (V) o falsos (F) las siguientes proposiciones: •

sen180° = – 1.................................. (

)

•

cos90° = 0 ...................................... (

)

•

tan2p = 1.......................................... (

)

•

csc270° = – 1.................................. (

2. Calcular: R = Central: 619-8100

sen90° – cos180° + 2sec0° cos360°

)

sec2p – sen 3. Calcular: R =

4. Si: x =

p 2

p

3p + cos0° 2

tan – cosp 4

rad, hallar: M = 3sen3x + 4cos2x

5. Calcular: J =

cos360° + sen90° – 0,5sen270° sen270° – cos270° + 4cos90° Unidad IV

75


6. Reducir:

M=

(a +

b)2sec360°

b)2cos180°

+ (a – 2ab.csc270°

7. ¿Cuántos ángulos cuadrantales hay en el intervalo de 1020° a 2150°?

12. Sabiendo que "a" y "b" son coterminales, simplificar: senb + cotb . tana R= sen(360° + a) 13. Del gráfico, calcular: cos a – b + 5sena 2 y

8. Señale el valor de: 3π 2 π 2 `2 cos π - sen 2 j + `3 cos π - sen 2 j Q= 2senπ - cos 2π

a

9. Si: f(x) = cos4x – sen2x + sec8x

b

calcular: f( p ) 4

10. Dos ángulos coterminales suman 960°, siendo positivos, determine el mayor valor que puede tomar uno de ellos, si es menor de una vuelta. 11. Del gráfico, hallar el valor de:

x

P = cota – cotb – cot a – b 4

(– 3;– 4)

14. Si "a" y "b" son ángulos coterminales que están en la relación de 6 a 4 y que el mayor ángulo está comprendido entre 1600° y 2500°, calcular el menor ángulo. 15. Calcular: M = senx + cosx – 1

y

(-12; 5)

a x

b

Colegios

76

TRILCE

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Repaso

3

Aprende más... 1. De acuerdo al gráfico, calcule "x"

6. Sabiendo que: (7x + 7)g = 7x°, calcule:

C = sen5x° . tan8x° . tan2x° a) 1

a

x

d)

q

a) 90° – a – q c) – 90° – a – q e) 90°+a+q

b) 90°+a – q d) – 90°+a – q

b)

2 2

1 2

e)

c)

3 2

6

7. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "C"), se cumple que: tanA = 4tanB. Calcular el coseno del mayor ángulo agudo de dicho triángulo. 5 b) 2 2 5 1 1 d) e) 2 4

2. De acuerdo al gráfico, calcule: tan(2x – 3y)°

c) 1 5

a)

5yg 8. Si: sec37° + tan260° = 2secq

3x°

a) 1 b) –1 d) – 3 e) 3 3 3. Determine: sen 1 2 d) 3 2

a)

p

c) 3

1 2 a) b) 3 3 4 5 e) d) 3 3

rad + 10g

5

b) 1

calcular: P = cscq + cotq

c)

3 5

2 2

9. Del gráfico, calcular: tanx . tany D

e)

y

4. Determine: tan 2p rad + 2° + 20g 9 a)

b) 1

3

24 d) 7

c)

4 3

7

e)

b) 3 c) 3

Central: 619-8100

e) 2 –

C

3 3

5. Sabiendo que: (x + 1)° = (x + 2)g, calcule: tan(2x – 1)° a) 1 d) 2 +

c) 1

3 3

A

x

a) 15 b) 15 e) d) 2 15 15

3 5 5 15 3

B c) 2 5 5

3 Unidad IV

77

Repaso

•

10. En el gráfico, hallar "x"

Completar:

14. Se denomina ángulo cuadrantal a aquel ángulo en cuyo lado final se eny se escribe de la forma cuentra en donde "K" ∈ .

m

15. La diferencia de dos ángulos coterminales es siempre de la forma x

q

a) m tanq senq c) m tanq secq e) m senq cosq •

16. El seno y el coseno tienen el mismo signo en y .

b) m cotq cosq d) m cotq cscq

17. Según el gráfico, podemos afirmar:

Indicar si el siguiente enunciado es verdadero (V) o falso (F), según lo siguiente:

•

sena=

•

a – b=

•

cota – cotb= y

11. x – y = m(secq – cscq) ...........................( )

b x

a m

x

q

y

12. El área del triángulo mostrado es:

S=

18. Complete para un ángulo en posición normal "g" que pasa por el punto Q(x; y)

m2 tanq ............................................ ( ) 2

q m

•

seng=

•

tang=

•

secg=

19. Demostrar que: cota = –

b a

y 13. Desde un punto en tierra se divisa lo alto del piso 8 de un edificio con un ángulo de elevación "a"; mientras que la parte baja del piso 5 es divisada con un ángulo de elevación "90° – a". Calcular: tana. 2 a) 1 b) 2 c) 3 2 d) e) 2 3

a x (a; b)

20. Demostrar que:

m2Senp + 2mnCos3p – n2Cscp 2 2 2 mCos0° + mnTgp + nSecp

Colegios

78

TRILCE

=m+n

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3

¡Tú puedes! 1. Del gráfico, hallar "x", en función de "L" y "q" B

q x 45°

A

D

C

L

a) L (senq + cosq)–1 2

b) L (senq + cosq)–1 2

d) L(senq + cosq)–1

e) L 2(senq + cosq)–1

c) L (senq - cosq)–1 2

S 2. Del gráfico, hallar 1 , en función de "q" S2

C S1

q q

A

a) sen2q

b) cos2q

D S2

c) tg2q

B

d) ctg2q

e) sec2q

3. Determinar el signo de "S" en cada uno de los cuadrantes (I, II, III, IV). S = cotx + senx – cscx.

IC

IIC

IIIC

IVC

a)

+

+

+

+

b)

+

–

+

+

c)

+

–

+

–

d)

–

+

–

+

e)

+

+

–

–

p2 – q 2 4. Dado: cosx = – 2 (p > q > 0). p + q2

Calcular "tanx", estando "x" en el segundo cuadrante. 2pq a) – 2 q – p2

b)

2pq 2 2 q –p

2 pq c) – 2 q + p 2

d)

2 pq q2 + p 2

q2 – p 2 2 2 q +p

e)

5. Si "a" es un ángulo del tercer cuadrante, tal que: 1 + cot2a = 8, calcular: (8seca)3. a) 83 63

Central: 619-8100

b) –

83 83 c) 63 63

d) –

83 3 63

e) –

84 63 63 Unidad IV

79

Repaso

18:10:45

Practica en casa 9. Hallar "x", si: tan(3q + 10°) = cot(2q + 5°)

p rad + 100g + 720° 1. Reducir: P =

2

p rad – 6° 5

2. Reducir: N =

20 x

5a°2a' 4a'

3. Del gráfico, calcular: J = 5cosf + 6cosb

q

10. Hallar "x" en el gráfico:

5

6

m A

b

a x

f 9

b

4. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "C"), ¿a qué es igual: E = a.tanB + b.secA – c.cosA? 5. Se tiene un triángulo rectángulo ABC (B = 90°). Calcular: P = a . tanC – c . senA . cscC + a 6. Hallar la tangente del mayor ángulo agudo. 2x

x

+

7. Dado que: senq =

2

tan45° ∧ q ∈ 〈0°; 90°〉. 2

Calcular: M = 2cosq + 3 8. De la figura tanq + 3tana.

a

Colegios

TRILCE

que

C

11. Si el punto P(– 5; 12) pertenece al lado final del ángulo canónico "q"; calcular: K = secq – tanq 3 (f ∈ IIC), calcular: 5 K = secf + tanf

12. Si: senf =

13. En un triángulo isósceles, el inradio es "r" y los ángulos congruentes miden "q" cada uno. Halle uno de los lados congruentes.

3x – 2

80

B

se

muestra,

45°

q

calcular:

14. Hallar las medidas de dos ángulos coterminales, que están en la relación de 2 a 7, si su diferencia está comprendida entre 1200° y 1500° 15. Subiendo por una colina inclinada un ángulo "a" respecto a la horizontal se divisa lo alto de una torre de altura "h" con un ángulo de elevación "2a". Si avanzamos una distancia "2h" y el ángulo de elevación es "3a", hallar "sena"

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UNIDAD UNIDADIII V

¡Reduciendo es más fácil...! Al comparar un taxi y un bus se observa que el tamaño es importante para facilitar un buen desplazamiento. Si se reduce el parque automotor sería más fácil evitar la congestión vehicular en las principales avenidas de Lima. De igual modo, al reducir la magnitud de los ángulos es más fácil encontrar el valor de sus razones trigonométricas. Comunicación matemática •

Reconocer y relacionar los valores numéricos de las R.T. de ángulos no agudos.


Resolver problemas donde se aplican todos los casos de reducción.

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas •

Demostrar expresiones donde se debe reducir ángulos al primer cuadrante.

Reducción al primer cuadrante I

Reducción al primer cuadrante I Conceptos básicos Definición Es el procedimiento mediante el cual se determinan las razones trigonométricas de un ángulo no agudo, en función de un agudo. R.T.(a) "a": no agudo

R.T.(b) "b": agudo

Casos 1. Ángulos positivos mayores de 90º y menores que 360º

Si tenemos que calcular: R.T.(q), usamos el siguiente criterio: Si: q ∈ IIC ⇒ R.T.(q) = ± R.T.(180º – q) Si: q ∈ IIIC ⇒ R.T.(q) = ± R.T.(q – 180º) Si: q ∈ IVC ⇒ R.T.(q) = ± R.T.(360º – q) El signo (±) dependerá del ángulo original "q" y de la R.T. pedida. Por ejemplo, calculemos: •

⇒ sen120° = 3 sen 120º 123 = + sen(180º – 120º) = sen60º 2 IIC

•

3 tan 240º 123 = + tan(240º – 180º) = tan60º ⇒ tan240° = IIIC

•

3 tan 300º 123 = – tan(360º – 300º) = – tan60º ⇒ tan300° = – IVC

•

1 sen 210º 123 = – sen(210º – 180º) = –sen30º ⇒ sen210° = – 2 IIIC

•

3 cos 150º 123 = – cos(180º – 150º) = –cos30º ⇒ cos150° = – 2 IIC

•

2 sec 225º 123 = – sec(225º – 180º) = – sec45º ⇒ sec225° = – IIIC

•

cos 315º 123 = + cos(360º – 315º) = cos45º IVC

⇒ cos315° = 2 2

2. Ángulos mayores que 360º

Si tenemos que calcular: R.T. (q) > 360º, usamos el siguiente criterio: R.T.(q)

R.T.(a)

q

α

↓

Residuo: a

Esto es posible porque "q" y "a" van a resultar ángulos coterminales. Colegios

82

360° q

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Por ejemplo, calculemos: •

sen 1500º = ?? 1500° 360° 1440° 4 60°

•

1

sen1500º = sen60º ⇒ sen1500° = 3 2

cos1200º = ?? 1200° 1080° 120°

360° 3

cos 1200° = cos120º = – cos(180º – 120°) 1 ⇒ cos 1200° = – cos60° ⇒ cos 1200° = – 2

3. Ángulos negativos En este caso aplicamos:

sen(–q) = – senq

csc(–q) = – cscq

cos(–q) = cosq

sec(–q) = secq

tg(–q) = –tgq

ctg(–q) = – ctgq

Por ejemplo: 1 2

•

cos(– 60°) = cos60° =

•

sen(– 30°) = – sen30° = –

•

tan(– 45°) = – tan45° = –1

1 2

Síntesis teórica

Central: 619-8100

Unidad V

83


Problemas resueltos 1. Calcular el valor de: E =

sen300° tan315°

Resolución: IVC 678 sen 300° = – sen(360º – 300º) = – sen60° = – 3 2

Además:

IVC 678 tan315º = – tan(360º – 315º) = – tan45º = – 1

– 3 2 ⇒E= 3 Reemplazando: E = –1 2

2. Si: cos10º = a, ¿a qué es igual: E = sen100º.cos190º?

Resolución: IIC sen 100° = sen(180º – 100º) = sen80° = cos10° = a 678

IIIC cos 190° = –cos(190º – 180º) = – cos10° = – a 678

Reemplazando: E = (cos10º)(– cos10º) ⇒ E = – a2

3. Simplificar: E = (k – 1) sen450º + (k + 1)cos900º

Resolución: 450° 360°

360° 1

90° Residuo

⇒ sen450º = sen90º = 1 Reemplazando en "E":

E = (k – 1)(1) + (k +1)(–1) ⇒ E = k – 1 – k – 1 ⇒ E = – 2

360° 2

180°

Residuo

⇒ cos900º = cos180º = – 1

4. Calcular: E =

900° 720°

sen(– 120°) tan(– 135°)

Resolución: IIC sen(– 120°) = – sen 120° = – sen(180º – 120º) = – (+ sen60°) = – 3 2 678

IIC tan(– 135°) = – tan 135° = – tan(180º – 135º) = – (– tan45°) = + 1 678

– 3 2 ⇒E=– 3 Reemplazando: E = 1 2 Colegios

84

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10 x 5 50

1

Aplica lo comprendido 1. Calcular: sen150º

4. Calcular: sen1830º

2. Calcular: cos240º

5. Hallar "x" en:

3. Calcular: C = 2sec(– 60º) . csc(– 53º)

3x.sec233º + tan315º=x.cot(– 45º) + 3 sec1860º

Aprende más... 7. Calcular: cos2400º

1. Calcular: sen150º 1 a) 2 d) – 3 2

1 3 b) – c) 2 2 e) 1

3 b) – 3 c) 3 e) –1

3. Señala el valor de: K = tan315º . sec300º 1 1 a) b) – c) 2 2 2 d) – 2 e) 2 2 4. Señala el valor de: K = tan150º . sen315º 6 4 d) – 6 6

a)

5. Calcular: E = a) 0 d) 2

1 d) – 2

1 b) – 3 c) 2 2 3 e) 2

8. Calcular: D = sec1860º . tan3645º

2. Calcular: tan300º a) 3 3 d) – 3

a) 1

b) – 6 4 e) – 2 4

c) 6 6

sen120° + cos240° + tan150° cot240° – sen210° – cos330° b) 1 e) – 2

c) –1

a) 0 d) 2

b) 1 e) –2

c) –1

9. Calcular: sec(–30º) a) 2

b) – 2

d) – 3 3 2

e) – 2 3 3

c) 2 3 3

10. Calcular: M = tan(– 45º) + sec(– 60º) a) 0 d) 2

b) 1 e) – 2

c) – 1

11. Calcular: L = tan(– 120º) . cos(– 300º) a) 3 2 d) – 3 2 12. Calcular: E = 3 2 d) – 3 2 a) –

1 1 b) – c) 2 2 e) – 2 2 cos240° + sen150° – tan217° tan120° – cot(– 30°) – sen300° b) 1

c) –1

e) –2

6. Calcular: tan1485º a) 1 d) –

1 2

Central: 619-8100

b) –1 2 2

e)

c)

1 13. Si: cos20º = a, ¿a qué es igual "P"? 2 P = cos200º . sen290º a) a d) – a2

b) – a e) – 2a2

c) a2 Unidad V

85


14. Simplificar: sen(– 120°).cos(– 210°) + sec(– 300°) E= tan(– 135°) + sec(– 225°) + sec(– 315°) a) –2 d) 2,75

b) –3 e) –1

H = cos

p 30

+ cos

a) –2 d) 2

c) 1

2p 3p 29p + cos + ... + cos 30 30 30

b) 0 e) –1

c) 1

18. Calcular:

15. Reducir: F = cos(cos40º + cos140º) + sen(sen70º + sen290º) a) 1 1 d) 2

17. Calcular:

b) –1 1 e) – 2

c) 0

H = sen

p 30

+ sen

a) –2 d) 2

2p 3p 59p + sen + ... + sen 30 30 30

b) 0 e) –1

c) 1

16. Reducir: F = cos(cos20º + cos160º) + sec(tan20º + tan160º) a) 1 d) 2

b) –1 e) –2

c) 0

¡Tú puedes! 1. Señala el equivalente de tan2001º, utilizando un ángulo del IVC. a) tan321º

b) tan339º

c) – tan339º

d) tan(– 39º)

e) tan291º

2. Calcular: E = cos51º + cos52º + cos53º + ... + cos5179º + cos5180º 1 a) 1 b) 0 c) –1 d) – 2

1 2

e)

2014

3. Calcular: C = S {sen(– 1)kq} k=1

a) 2010

b) 2010senq

c) 2014senq

d) – 2014senq

a–b + sena + senb 3 4. Del gráfico, determine: P = a–b + cosa + cosb 6cos 6

e) 0 y

3sen

b

a) –

1 2

b) –

1 3

c) –

1 4

d)

1 2

a

x

1 3

e)

f 5. Si: f(n) = sen40nº . cos60nº + tan20nº, determine: (3) f(6) a)

1 2

Colegios

86

TRILCE

b) –

1 2

c)

1 3

1 d) – 3

1 e) – 6 www.trilce.edu.pe


18:10:45

1

Practica en casa 1. Calcular: csc210º

10. Calcular el valor de: M =

2. Calcular: cot330°

11. Simplificar: sec(– 120°).sen(– 210°) + sec(– 240°) E= cot(– 135°) + sen(– 225°) + sen(– 135°)

3. Calcular: sen1830º 4. Calcular: cot3990º

12. Calcular: tan1920° . cot36135º

5. Calcular: cos(–45º) 6. Calcular: tan(–240°) 7. Calcular el valor de: E =

sen(– 120°) tan(– 135°)

8. Calcular el valor de: E = sec135º . csc150º 9. Calcular el valor de: E = cos150º – sen240º + tan300º

Central: 619-8100

2cos300° – sen2120° 2tan135°

13. Si: cos50º = k, ¿a qué es igual "E"? sen140°cos130° E= csc320° 4

14. Reducir: P= S {n.cos[(– 1)nq]} n=1

7

15. Hallar: L = S {sen[(– 1)nq]} n=1

Unidad V

87

Reducción al primer cuadrante II

Reducción al primer cuadrante II Conceptos básicos Definición En este capítulo se resolverán casos más genéricos que en los capítulos anteriores, en los que solo nos limitamos a calcular valores en los diferentes cuadrantes. 1. Reducción de: R.T. ap ; a > 2b b

Se procede de la siguiente manera: Residuo ap R.T. b

R.T. a r

↓ rp b

2b q

↓ Residuo

Ejemplos:

Calculemos: •

sen

1743p 2 1743 14 23 3

•

cos

4 435

3273p 4 3273 73 1

1743p 3p sen = sen =–1 2 2

cos

8 409

3273p 1p = cos = 2 4 4 2

2. Reducción de: R.T. (90º . n ± q), n ∈ .

Vamos a distinguir cuatro situaciones básicas: • •

n = 1: R.T. (90º ± q) n = 3: R.T. (270º ± q)

• •

n = 2: R.T. (180º ± q) n = 4: R.T. (360º ± q)

Apliquemos el siguiente criterio: 90°

R.T.(270° ± q) = ± Co – R.T.(q)

180°

R.T.(360° ± q) = ± R.T.(q)

El signo ( ± ) dependerá de la R.T. pedida y del cuadrante al que pertenece el ángulo original. Colegios

88

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Ejemplos:

•

sen (90º + q) = + cosq 14243 IIC

•

cos (180º – q) = – cosq 14243 IIC

•

tan (270º + q) = – cotq 14243 IVC

•

cot (360º – q) = – cotq 14243 IVC

•

sec (270º – q) = – cscq 14243 IIIC

•

sen (360º + q) = + senq 14243 IC

•

cot (90º + q) = – tanq 14243 IIC

•

csc (p + q) = – cscq 123 IIIC

•

tan

•

tan (180º + q) = + tanq 14243 IIIC

p

2

¡Ojo!: siendo "q" agudo

+ q = – cotq 2 123 IIC

90º + q 180º – q 180º + q 270º – q

90º – q 360º + q 270º + q 360º – q

Problemas resueltos 1. Simplificar: E =

tan(270° + x) cot(180° + x)

Resolución: tan (270º + x) = – cotx; además: cot (180º + x) = + cotx 14243 14243 IVC IIIC

Reemplazando: E = tan

2. Simplificar: A =

– cotx ⇒E=–1 + cotx

p 2

– x sec(p – x)sen

3p +x 2

cot(2p – x)

Resolución:

Recordar que: p <> 180º

Luego: tan

p

– x = + cotx 2 123 IC 3p + x = – cosx sen 2 123 IVC Central: 619-8100

sec (p – x) = – secx 123 IIC cot (2p – x) = – cotx 123 IVC Unidad V

89


Reemplazando:

1 6447448 (cotx)(– secx)(– cosx) (cotx)(– secx)(– cosx) A= ⇒ E = –1 = (– cotx) – cotx

3. En un triángulo ABC, reducir: E = tan(A + 2B + C).cot(A + C)

Resolución:

Por ser triángulo ABC ⇒ A + B + C = 180º

Luego: tan(A + 2B + C) = tan(A + B + C + B) = tan(180º + B) = + tanB

cot(A + C) = cot(A + B + C – B) = cot(180º – B) = – cotB

Reemplazando: E = (+ tanB) (– cotB) ⇒ E = – 1

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. Hallar el equivalente de: sen(180° + q)

4. Reducir: M = tan(180° – x) . sen(90° + x)

2. Hallar el equivalente de: tan(270° – x)

5. Si: a + q = p, simplificar: A = sena . cscq

3. Reducir: E = sen(180° + x) + sen(180° – x) + tan(90° + x)

Aprende más... 1. Calcular: sen a)

1 2

d) – 2 2

47p 4 b) –

5. Reducir: E = sen(180° + x) + cos(270° + x) 1 2

c)

2 2

1 2

d) – 3 2

1 2 2 e) 2

b) –

a) 1 d) – tan2x c)

3 2

3. Señale el equivalente de: sen(360° – x). a) – secx d) senx

b) secx e) – cosx

c) –senx

4. Señale el equivalente de: cot(90° + x). a) – cotx d) – tanx Colegios

90

TRILCE

b) cotx e) cosx

b) 2senx e) 2cosx

6. Simplificar: M =

e) 1

209p 2. Calcular: cos 6 a)

a) – 2senx d) – 2cosx

c) tanx

c) 0

tan(p + x) . cos(p – x) sen(2p – x)

b) – 1 e) cot2x

c) tan2x

7. Reducir: sec(180° + q) sen(270° + f) M= + csc(90° + q) cos(360° – f) a) – 2 d) 1

b) 2 e) – 1

8. Simplificar: Q = a) 0 d) tanx

c) 0

sen(270° + x) + cos(90° + x) cos(360° + x) + sen(180° – x)

b) – 1 e) cotx

c) 1

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14. Del gráfico, calcular: tana

9. Reducir:

2

K = tan(180º + q) . cot(270º + q) . tan(360º – q) a) tanq d) – tan3q

b) – tanq e) – tan2q

c) tan3q

10. Si: x + y = 180º; y + z = 270º (y ≠ 90°; z ≠ 90°) senx tany Calcular: A = + seny cotz a) 0 d) 2

b) 1 e) – 2

c) – 1

11. Si: x + y = 180° (x ≠ p; y ≠ p), simplificar: senx 3csc2y D= + seny csc2x a) 4 d) – 2

b) 1 e) – 1

c) 2

45º 1

a) 3 d) –

b) –1 e) –2

c) 0

13. En un triángulo ABC, reducir:

E = senA + sen(B + C) + sen(A + B + C) a) 0 d) – 1

b) 2senA e) 1

c) – 2senA

b) –3

3 2

e) –

2 3

2 c)

3 2

15. Del gráfico, hallar: tanq. (ABCD es un cuadrado) A B

q

12. En un triángulo ABC, simplificar: sen(A + B) D= + tan(A + B + 2C).cot(A + B) senC a) 1 d) 2

a

D

1 a) 2 1 d) 4

37º b) 4

C 1 c) – 4

e) – 4

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. Un profesor de trigonometría realiza una sana competencia entre sus seis alumnos más destacados y les pide a cada uno que sume las razones trigonométricas de los ángulos (90º + x), (180º + x), (270º + x) y (360º + x). Al primer alumno le pidió sumar los senos, al segundo los cosenos, al tercero las tangentes y así sucesivamente.

¿Obtuvieron los mismos resultados?

¿Cuántos no obtuvieron el mismo resultado?

¡Tú puedes! p

1. Simplificar: C =

a) 1 Central: 619-8100

sen(133p + q)cot 145 – q 2

p

tan(321p + q)cos 1351 + q 2 b) –1

c) senq

d) tan2q

e) – tan2q Unidad V

91


2. Siendo: x – y = p; reducir: C = a) 1

1 + sen(senx) + sen(seny) 1 – cos(cosx) + cos(cosy)

b) 0

3. Reducir: C =

4

c) –1

d) 2

e)

1 2

p

nsen n + q 2 n=1

S

a) senq + cosq

b) 2(senq + cosq) c) 2(senq – cosq) d) 4(senq – cosq) e) 0

n 5 np 4. En el análisis matemático se define: P ak = a1. a2 . a3 ... . an . Reducir: C = P ntan 2 + x k=1 n=1

a) 120

b) 120tanx

c) – 120tanx

d) 120cotx

5. Si se sabe que el área "S" de un triángulo está determinado por: mn senq S= 2

e) – 120cotx

B m A

S

q

n

En el cuadrado ABCD, señala el equivalente de: senb J= senq

C

A

B

a

b

q

C

D a) sena

b) –sena

c) cosa

d) –cosa

e) csca

18:10:45

Practica en casa 1. Calcular: tan251p 3 2. Calcular: sec5417p

6. Señale el equivalente de: cos(270° + x) 7. Señale el equivalente de:

C = 2sen(270º + x) + cos(180º – x)

3. Calcular: cos327p 4

8. Reducir: M = cos(90° – x) . csc(180° + x)

4. Señale el equivalente de: sen(360° + x)

9. Reducir: M =

sen(180° + x) tan(360° – x) + cos(270° + x) cot(90° – x)

5. Señale el equivalente de: sec(360° – x)

Colegios

92

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10. Reducir:

14. En un triángulo ABC, simplifique:

A = sen(90° + b) . sec(180° + b) . tan(270° – b)

11. Simplificar: E =

tan(270° + x) + cot(90° + x) cot(180° + x) + tan(360° + x)

M=

2

senA + sen(B + C) csc(2A + B + C) cos(B + C)

15. Del gráfico, calcular: tanq C


E = tgA + tg(B + C) + tg(A + B + C)

13. Si: x + y = 180º, reducir:

A = senx.cscx + 4 tanx.coty

A

Central: 619-8100

37º 3

1

q

B

Unidad V

93

UNIDAD VI III

Conociendo los valores máximos y mínimos Padre de la Trigonometría moderna y creador de la circunferencia trigonométrica. Leonhard Euler (1707–1783), matemático suizo, fundó la trigonometría moderna e introdujo la notación actual de las funciones trigonométricas. También popularizó el uso de la letra griega p, introdujo el uso de la función exponencial y descubrió su relación con las funciones trigonométricas, demostrando de una manera muy simple las propiedades básicas de la trigonometría. Comunicación matemática •

Reconocer el valor máximo y mínimo valor de las líneas trigonométricas.


Resolver problemas en la circunferencia trigonométrica y demostrar expresiones con las líneas trigonométricas.


Representar las líneas trigonométricas en la circunferencia trigonométrica.


Circunferencia trigonométrica

1

Conceptos básicos Conceptos previos 1. Arco orientado

Es la trayectoria descrita por un punto al desplazarse sobre una curva, en un determinado sentido. Estos arcos poseen un origen y un extremo. Q

b P

A

a B Para "a": B ⇒ origen A ⇒ extremo

P ⇒ origen Para "b": Q ⇒ extremo

2. Circunferencia canónica

Es aquella circunferencia cuyo centro es el origen del sistema cartesiano. Estas circunferencias, en la geometría analítica, poseen una ecuación de la forma: x2 + y 2 = r 2

Donde "r" es el radio de la circunferencia. Ejemplos:

•

Completar:

y

y (0; 3)

( ; )

3 (3; 0)

(–3; 0)

x

( ; )

( ; )

x

2 ( ; )

(0; –3) x2 + y 2 = 9

x2 + y 2 = 4

3. Arco en posición normal

Son arcos orientados determinados en una circunferencia canónica; con origen en el semieje positivo de las abscisas como el punto "A", mostrado en el gráfico adjunto. Los arcos en posición normal pueden ser generados en sentido antihorario (positivos) o en sentido horario (negativos). Central: 619-8100

Unidad VI

95

Circunferencia trigonométrica I

Ejemplo:

M

• "a": positivo; "q": negativo.

B

a

"a" ∧ "q" son arcos en posición normal.

•

y

"M" y "N": extremos de los arcos "a" y " q", respectivamente.

• A

A' r

x

q N

B'

Circunferencia trigonométrica Es aquella circunferencia canónica cuyo radio es igual a la unidad del sistema. Se pueden notar las siguientes características: y B(0; 1)

C.T.

M

M ∧ N: Extremos de arcos

q (– 1; 0) A'

O

q rad

A: Origen de arcos

A(1; 0)

x

a N B' (0; – 1)

θ: (+ ) ) α: (−)

B: Origen de complementos de arcos

A': Origen de suplementos de arcos

B': Anónimo.

Además; se cumple que: ∠AOM (en rad) = AM (numéricamente); y debido a esta observación se cumple: R.T.(q rad) = R.T.(q)

p

p

sen rad = sen 2 2 tan2rad = tan2

Es decir, con esta propiedad fundamental es posible calcular las razones trigonométricas de cualquier número real, siempre y cuando esta se encuentre definida.

Líneas trigonométricas Son segmentos de medida positiva o negativa que van a representar el valor numérico de una razón trigonométrica. 1. L. T. Seno

Es el segmento determinado por la perpendicular trazada desde el extremo del arco considerado hacia el eje de abscisas. Colegios

96

TRILCE

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En el gráfico, tenemos que: y

b

MR = sena (+) B

NT = senb (+) M

N A'

PS = senq (–)

a S

O

T

1

A

R

x

Debe notarse además que la L.T. seno puede ser trazada para cualquier arco "q", verificándose así que: – 1 ≤ senq ≤ 1

q

C.T.

(senq)máx = 1

P

B'

(senq)mín = – 1

2. L. T. Coseno

Es el segmento determinado por la perpendicular trazada desde el extremo del arco considerado hacia el eje de ordenadas.

En el gráfico, tenemos que: y

b N

MS = cosa (+) B

NR = cosb (–)

R

A'

PT = cosq (–)

M

S

a A

O

x

Debe notarse además que la L.T. coseno puede ser trazada para cualquier arco "q", verificándose así que: – 1 ≤ cosq ≤ 1

C.T. P

(cosq)máx = 1

T B'

q

(cosq)mín = – 1

Observación: En algunos casos habrá necesidad de ubicar arcos cuya medida sea un número entero y se recomienda, en esos casos, tener en cuenta la siguiente C.T.:

También, si queremos representar de manera genérica los arcos que se ubican en "A", "B", A' o B' tendremos: y p B (4n + 1) 2

y 2

1,57 1

3 3,14

x 0 6,28

(2n + 1)p A'

A 2np

6

4

B' 4,71

5

(4n + 3)

x

p 2

Ubicados en: ("n" ∈ ) A: 2np B: (4n + 1)

Central: 619-8100

p 2

A': (2n+1)p B': (4n + 3)

p 2 Unidad VI

97


Ejemplo:

Si nos preguntasen para que valor de "q" se cumple senq = 0; tendríamos que decir: y B Para que: senq = 0

q

senq A'

A

x

"q" debe ser arco en posición normal ubicando su posición terminal en A o en A', luego:

q = np, (n ∈ ) B' 3. L. T. Tangente

Para determinar la línea trigonométrica tangente se traza una recta numérica tangente a la C.T. justo en el origen de arcos, luego se prolonga el radio que pasa por el extremo del arco considerado hasta que se corte con la recta anterior. El segmento que va desde "A" hasta el punto de corte anterior, se llama tangente del arco considerado.

En el gráfico, tenemos que: AT = tanq(+) AS = tana(–) AQ= tanb (–)

y

b

B M T

q

A'

a

A S

B'

Q

Note que para arcos con extremos en B' y B la L.T. tangente no está definida; por eso la tangente no se define para arcos de la forma:

p

x

(2n + 1) ; n ∈ 2 Además: – ∞< tanq < + ∞ No tiene máximo ni mínimo conocido.

Colegios

98

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1

Síntesis teórica

y B

T M

q

C

A'

O

A

S

x

B'

MS = sena

CM = cosq

AT = tanq

[– 1; 1]

[– 1; 1]

IR

Problemas resueltos 1. Con la ayuda de una circunferencia trigonométrica, señala la expresión de mayor valor: a) sen50º

b) sen70º

c) sen140º

d) sen210º

Resolución: Graficamos una C.T. y ubicamos en ella los arcos mencionados; luego trazamos la línea trigonométrica seno correspondiente a cada uno de ellos y notamos que:

e) sen300º y

140º

70º 50º

x

sen210º y sen300º: (–) sen 50º; sen70º y sen140º: (+) Como piden el mayor, solo comparamos entre los positivos (el ¿por qué? es obvio), y notamos que el mayor es sen70º. Central: 619-8100

210º C.T.

300º

Unidad VI

99


2. Con la ayuda de una C.T., señala la expresión de menor valor: a) sen20º

b) sen110º

c) sen220º

d) sen250º

e) sen340º

Resolución:

Graficamos una C.T. y ubicamos los arcos mencionados, luego trazamos la línea trigonométrica seno correspondiente a cada uno y notamos que:

sen20º y sen110º: (+)

sen220º; sen250º y sen340º: (–)

Como piden el menor, comparamos entre los negativos; y notamos que el más negativo es "sen250º", por lo tanto el menor es: sen250º. y 110º 20º x

220º

Observación: note que sen110º con sen250º; y sen20º con sen340º son simétricamente opuestos.

340º

250º

3. Señala la expresión de mayor valor entre: a) cos10º

b) cos50º

c) cos140º

d) cos240º

e) cos300º

Resolución:

Graficando en la C.T. y ubicando los arcos correspondientes, notamos que las líneas trigonométricas coseno de estos arcos cumplen: cos10º; cos50º y cos300º: (+)

cos140º y cos240º: (–)

Comparando entre los positivos, notamos que el mayor es: cos10º y

140º

50º 10º A

240º

Colegios

100

TRILCE

Observación: note que x simétricamente opuestos.

cos240º

y

cos300º

son

300º

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4. Señala la expresión de menor valor entre: a) cos70º

b) cos130º

c) cos160º

d) cos220º

1

e) cos310º

Resolución: Graficando en la C.T. los arcos mencionados, trazamos las líneas trigonométricas coseno correspondiente y notamos que:

y 70º

130º

cos70º y cos310º: (+) cos130º; cos160º y cos220º: (–) Comparando entre los negativos, notamos que el más negativo, es decir, el menor es: cos160º.

160º A 220º

x

310º

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 4. Hallar: AP

1. Representar: sen140º y

y

B

q

A'

A'

A

B'

5. Hallar: BQ

2. Representar: cos220º y

y

B A

A'

B

A'

A x

x

B'

a

Q

C.T.

C.T.

x

C.T.

B'

A

P

x C.T.

B

B'

6. Hallar: MN

3. Representar: tan310º y

y

B

A'

C.T.

B

A'

A

A x

x C.T.

Central: 619-8100

M B'

q

B'

N

Unidad VI

101


Aprende más... 1. Indica si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

7. Indica si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

I. sen40° < sen100° II. sen200° > sen290° a) VV d) FF

I. |cos200º| > |sen200°| II. |sen100º| > |cos100º| III. |cos300º| = |sen300º|

b) VF c) FV e) No se puede precisar

2. Indica si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

a) VVV d) FVF

3p , indique si es verdadero 2 (V) o falso (F) según corresponda. I. senx1 > senx2 II. cosx1 > cosx2 III. tanx1 < tanx2


a) VVV d) FFV

3. Indica si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. tan40° > tan260° II. tan160° < tan330° a) VV d) FF

b) VFV e) VFF

y


M

q

B P A x

A’

I. sen10º > cos10º II. sen200º > cos200º b) VF c) FV e) No se puede precisar

B’ a) 1 + senq b) 1 – senq d) 2senq – 1 e) 1 – cosq


B

b) FF c) VF e) F; no se puede precisar

6. Indica con "V" lo verdadero y con "F" lo falso, según corresponda: I. |sen200º| > |sen290º| II. |cos100º| > |cos250º| III. |tan100º| < |tan340º| a) VVV d) FFV Colegios

102

TRILCE

b) VFV e) FFF

c) senq – 1

10. En la C.T. mostrada, hallar: PA'

I. sen160º – cos160º < 0 II. sen160º + cos160º > 0 a) VV d) FV

c) FVF

9. En la C.T. mostrada, hallar: PB.


a) VV d) FF

c) VVF

8. Si: p < x1 < x2 <

I. cos70° > cos340° II. cos100° < cos190° a) VV d) FF

b) VFF e) FFF

c) VFF

A’

y

P

q

A

x

B’

a) 1 – cosq d) 1 + senq

b) 1 + cosq c) cosq – 1 e) 1 – senq www.trilce.edu.pe


11. En la C.T. mostrada, calcular el área del triángulo sombreado. y

a

14. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. y B

1

q O

A x

A’

x

B’

a) sena 2 d) – cosa 2

1 1 senq(1 + cosq) a) senq(1 – cosq) b) 2 2 1 1 d) – cosq(1 – senq) c) cosq(1 – senq) 2 2 1 e) – senqcosq 2

b) – sena c) cosa 2 2 sen a + cos a e) 2

12. En la C.T. mostrada, hallar el área sombreada. B

15. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. y B q M

A

A’

A x

A’

q B’ a) – d)

3 senq 2

b) –

3 3 senq c) cosq 4 2

senq 1 senq 1 senq b) c) 2 1 + cosq 2 1 – cosq 1 + cosq senq – cosq e) d) 1 – cosq 1 + secq a)

3 3 (cosq – senq) cosq e) 4 2

13. En la C.T. mostrada, hallar el área sombreada.

q

y B

q

B’ 1 1 a) senq(1 + 2cosq) b) senq(1 + cosq) 2 2 1 1 c) senq(1 – 2cosq) d) senq(1 – cosq) 2 2

Central: 619-8100

16. En la C.T. mostrada, hallar el área sombreada. y B

A’

A x

A’

1 e) senq(cosq – 1) 2

B’

O

B’

A

x

T

a) senq – tanq b) cosq – tanq c) senq + tanq 2 2 2 cos q + tan q sen q + cos q – tan q e) d) 2 2 17. Señale la expresión de menor valor: a) sen1 d) sen4

b) sen2 e) sen5

c) sen3

Unidad VI

103


Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 18. En una exposición sobre la circunferencia trigonométrica un alumno expuso acerca de la representación de la línea seno y otro sobre la línea coseno. Al escuchar la explicación y el análisis de los alumnos, el profesor quedó impresionado y los premió con 20 de nota. Pero en ese instante, un alumno llamado "Starky" formuló dos preguntas: • •

¿En qué cuadrante el seno y el coseno tienen el mismo signo? ¿En qué cuadrante el seno y el coseno son crecientes?, justifícala.

¡Tú puedes! 1. Señala verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. cos(cos20º) > cos(cos50º) II. cos(cos100º) > cos(cos130º) a) VV b) VF c) FV d) FF e) No se puede determinar 2. En la C.T. mostrada, hallar: B'Q. a) 1 + senq – cosq c) 1 – senq + cosq e) senq – cosq

q

b) 1 – senq – cosq d) 1 + senq + cosq

y B

45º x

A

A’

Q

B’

3. Señala "V" o "F", según corresponda: I. Si:

1 1 1 1 < a < b < ⇒ sen > sen 3 2 a b

II. Si: –

p 2

III. Si: 0 < a < a) FFF

|

< a < b < 0 ⇒ cos |a|+

p 4

p > |cos |b|+ | | 2 2

p

⇒ |sena – cosa| = cosa – sena b) VVV

c) FVF

d) FVV

4. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada: a) senq(1 – cosq) b) senq(1 – cosq) 2 cos q (1 – sen q ) c) cosq(1 + senq) d) 2 A’ cos q (1 + sen q ) e) 2

e) FFV y B N A

x

q B’

Colegios

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18:10:45

1

Practica en casa 1. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. sen20º > sen70º II. sen200º > sen250º

9. En la C.T. mostrada, hallar BP. y B

2. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

A

A’

I. cos10º > cos50º II. cos230º < cos260º

P

3. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. tan70º > tan50º II. tan140º > tan160º

B’

q

I. sen20º > cos20º II. cos250º < sen250º

B

A x

A'



q

10. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. y


I. sen100º < cos100º II. cos300º > sen300º

x

B' 11. En la C.T. mostrada, calcular el área del triángulo sombreado. y

I. sen290º – cos290º > 0 II. sen290º + cos290º < 0 7. Si: 3p < x1 < x2 < 2p, indique si es verdadera 2 (V) o falsa (F) según corresponda: I. senx1 > senx2 II. cosx1 < cosx2 III. tanx1 < tanx2

12. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. y B

8. En la C.T. mostrada, hallar PA. y B

A'

P

a

Central: 619-8100

x

b

A

A'

x

A x

b B'

B'

Unidad VI

105


13. En la C.T. mostrada, calcular la longitud del segmento "PD". y P

a

14. ¿Cuál es el menor número?

sen1; sen2; sen3; sen4; sen5

15. ¿Cuál es el mayor número?

cos1; cos2; cos3; cos4; cos5

O

D

Colegios

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Circunferencia trigonométrica II

2

Conceptos básicos Resumen teórico (representación de las líneas seno y coseno) y

y

B

q2

B M

1

q1

senq

A’

q2

A

P

A'

x

Q

M

cosq

–1

q1 A

1

x

–1

q3 q3

q4

q4

B’

B'

MP = senq

MQ = cosq

Variaciones q→

0→

p

p

2

2

→π

p→

3p 2

3p → 2p 2

senq

0→1

1→0

0→–1

–1→0

cosq

1→0

0→–1

–1→0

0→1

De donde: –1 ≤ senq ≤ 1 ∧ –1 ≤ cosq ≤ 1

–1 Central: 619-8100

0

1

x Unidad VI

107


Problemas resueltos 1. Señale la variación de: C = 2senx + 3 (x ∈ a) [1; 5]

)

c) [1; 5〉 d) 〈1; 5〉 e) 〈1; 5]

b) [2; 6]

Resolución:

En este caso, notamos que x ∈

: – 1 ≤ senx ≤ 1, tratemos de formar la expresión: C = 2senx + 3

Como:

– 1 ≤ senx ≤ 1

– 2 ≤ 2senx ≤ 2

(multiplicando × 2)

1 ≤ 2senx + 3 ≤ 5 14243 C

(sumando 3)

\ 1 ≤ C ≤ 5 ó C ∈ [1; 5] 2. Señale la extensión de: C = 4 – 3cos b (b ∈ b) 〈1; 7]

a) [1; 8]

)

c) [1; 5]

d) [1; 7]

e) 〈0; 6]

Resolución: En la expresión: C = – 3cosb + 4 Como: – 1 ≤ cosb

3 ≥

– 3cosb

≤ 1

(b ∈

≥ – 3

(multiplicando × (– 3))

7 ≥ – 3cosb + 4 ≥ 1 14243 C

)

(sumando 4)

\ C ∈ [1; 7] 3. Sabiendo que: q ∈ IIC; señale la variación de: L = 3senq – 1 a) 〈0; 3〉 b) 〈– 1; 3〉 c) 〈– 1; 2〉 d) 〈0; 2〉 e) 〈– 1; 1〉 Resolución: y

Como:

q ∈ IIC

1 0

x

⇒ 0 <

senq

<1

0 <

3senq

< 3


⇒ 0 – 1 < 3senq – 1 < 3 – 1 (restando 1) 14243 L

\–1
Colegios

108

TRILCE

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4. Sabiendo que: q ∈ IIIC; señale la variación de: M = 2 – 3cosq.

2

a) 〈2; 6〉 b) 〈3; 5〉 c) 〈2; 5〉 d) 〈1; 6〉 e) 〈2; 4〉 Resolución: Como:

y

q ∈ IIIC ⇒ – 1 <

–1

x

(– 3)(– 1) >

3 >

<0

– 3cosq > –3(0) – 3cosq > 0

2 + 3 > 2 – 3cosq > 2 + 0 14243 M

0

cosq

5 >

M

>2

\2
e) 〈2; 5]

Resolución: Trabajando en el intervalo correspondiente a "a", tenemos: y

0

0 < sena ≤ 1

p 1

1 2

Mayor valor (sena) = 1 Menor valor (sena) = 0 (no lo toma)

0 < 4sena ≤ 4

6 x

0 + 1 < 4sena + 1 ≤ 4 + 1 14243 L 1
\ L ∈ 〈1; 5]

10 x 5 50

Aplica lo comprendido •

Siendo a ∈

, hallar la variación de:

1. T = 3sena – 1 2. R = 4cosa + 3

4. Si: q ∈ IIC, determine la variación de: A = 2senq – 3 5. Si: b ∈ , hallar la suma entre el máximo y mínimo valor de: D = 5cosb + 2

3. J = 1 – 2sena

Central: 619-8100

Unidad VI

109


Aprende más... 1. Señale la variación de: C=7sena + 1 (a ∈ a) [– 6; 8] d) [– 7; 9]

b) [– 7; 7] e) [– 5; 9]

c) [– 5; 8]

b) [– 2; 7] e) [– 4; 7]

b) [– 6; 3] e) [– 3; 9]

c) [– 3; 6]

4. Señale la variación de: M=3 – 2cosa (a ∈ a) [1; 5] d) [4; 5]

b) [2; 5] e) [5; 5]

)

b) 0 e) 5

senq =

2 – 5k 3

a) 1 d)

1 5

a) 〈– 3; 5] d) [1; 7〉

1 3 1 e) – 5

c)

c) [– 1; 2]

b) 〈– 1; 3] e) [– 1; 3〉

c) 〈1; 7〉

13. Si: q ∈ p ; 4p ; señale la variación de: 3 3

A = 4cosq + 3 a) [– 1; 5[ d) [– 3; 1[

b)

b) [1; 3] e) 〈– 1; 3]

12. Si: q ∈ p; p ; señale la variación de: 3 C = 3 – 4cosq

c) 4

6. Calcular el mínimo valor de "k" para que la igualdad exista:

A = 4senq – 1 a) [1; 2] d) [– 1; 3]

)

5. Sume el máximo y mínimo valor de: F = 3sena + 2 (a ∈ ) a) 2 d) – 5

11. Si: q ∈ p ; p ; señale la variación de: 4

c) [3; 5]

E = 7senq – 5 2 a) {– 3; – 4} b) {– 4; – 5} c) {– 3; – 4; – 5} d) {– 3; – 5} e) {– 2; – 3; – 4; – 5}

)

c) [–2; 8]

3. Señale la variación de: N=6cosq – 3 (q ∈ a) [– 6; 6] d) [– 9; 3]

10. Si: q ∈ IIIC, calcular todos los valores enteros de "E" para que la siguiente igualdad sea posible:

2. Señale la variación de: M=3–5sena (a ∈ a) [– 3; 5] d) [– 7; 3]

)

b) [1; 3[ e) [– 4; 3[

c) [–2; 3[

1 2 14. Señale la variación de: H = 3sen2x – 2

7. Si: f ∈ IIIC; señale la extensión de: E = 3cosf + 1 a) 〈– 1; 2〉 b) 〈1; 2〉 c) 〈– 2; 3〉 d) 〈– 2; 1〉 e) 〈2; 3〉

a) [2; 1] d) [– 3; 1]

b) [– 2; 1] e) [– 2; – 1]

c) [– 1; 3]

15. Señale la variación de: H = 5 – 4cos2x a) [1; 2] d) [1; 5]

b) [1; 3] e) [1; 6]

c) [1; 4]

8. Si: f ∈ IVC; señale la extensión de:

E = 2senf + 3 a) 〈– 3; 2〉 b) 〈1; 3〉 c) 〈– 2; 3〉 d) 〈– 1; 1〉 e) 〈0; 5〉

9. Si: b ∈ IIC; señale la extensión de: E=3 – senb. a) 〈2; 3〉 b) 〈– 5; 7〉 c) 〈– 5; 1〉 d) 〈2; 5〉 e) 〈– 6; 4〉 Colegios

110

TRILCE

16. Señale la extensión de: B = cos2x – 6 cosx a) [– 5; 7] d) [– 7; 3]

b) [– 7; 5] e) [– 5; 3]

c) [– 3; 7]

17. Señale la extensión de: B = sen2x + 4senx. a) [– 1; 5] d) [– 5; 3]

b) [– 2; 5] e) [– 5; 2]

c) [– 3; 5]

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Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas

2

18. En una competencia deportiva, alumnos de la UNI, San Marcos y Católica, demostraron sus cualidades en varias disciplinas, y obtienen promedios regidos bajo las siguientes leyes: UNI: A(x) =(3 sen x + 20)% San Marcos: B(x) = (25cos2x – 3)% Católica: C(x) = (sen2x + 2senx + 3)2% Si los tres obtuvieron puntajes máximos: a) ¿Quién ganó la competencia? b) ¿Qué equipo quedó último? c) ¿Cuál es la diferencia porcentual entre el 1º y el 2º puesto?

¡Tú puedes! 1. ¿Cuál es el máximo valor de: K = sen(2cosx + 1)? a) sen1 b) cos1 c) sen2 d) sen3 e) 1 2. Señale la variación de: T = 3senx + 1 senx + 2 a) 3; 2 5

b) –2; 2 5

c) –3; 3 5

d) –3; 4 7

e) 2; 4 3

d) [0; 4]

e) [1; 3]

3. Señale la extensión de: M = 2senx + |senx| + 1 a) [0; 1]

b) [0; 2]

c) [0;3]

4. En la C.T. mostrada: q ∈ 2p; 5p , ¿cuál es la variación del área de la 3 6 región sombreada? a)

3 2+ 3 ; 4 4

b)

4 3+ 3 ; 2 3

e)

d)

4 5+ 3 ; 4 3

c)

4 2+ 3 ; 2 3

q

O

A’

4 3+ 5 ; 2 3

1 3 ; 2 3

1 3 d) ; 4 4

Central: 619-8100

b)

3 3 ; 3

3 3 ; e) 6 2

A x

B’

5. En la C.T. mostrada; señale la variación del área de la región sombreada: q ∈ – 5p; – 2p 6 3 a)

y B

c)

3 3 ; 2

y B

O

A’

q

T

A x

B’

Unidad VI

111


18:10:45

Practica en casa 1. Señale la variación de: C = 3senf + 1 (f ∈ 2. Señale la variación de: C=7sena – 5 (a ∈

) )

3. Señale la variación de: N = 5cosq – 1 (q ∈

).

4. Señale la variación de: M = 3 – 2cosb (b ∈

)

5. Sume el máximo y mínimo valor de:

G = 8 – 5senb (b ∈

)

6. Calcular el máximo valor de "a" para que la igualdad sea posible:

cosa =

4a – 3 7

7. Señale la extensión de: C = 4cosf + 1 (f ∈ IIC) 8. Si: b ∈ IIC; señale la extensión de: E = 5 – 4cosb 9. Si: q ∈ IC, señale la extensión de: A = 4senq – 1.

Colegios

112

TRILCE

10. Si: q ∈ IVC, calcular todos los valores enteros de "E" para que la siguiente igualdad exista:

E = 6cosq + 7 3

11. Si: f ∈ p ; p , señale la variación de: 3 C = 4senf + 1. 12. Si: a ∈ 〈30°; 120º〉, señale la extensión de:

P = 3sena + 5

13. Si: 37º < q <60º, calcular la extensión de:

E = 20cosq + 7

14. Si: 120º < q <240º, calcular el mínimo valor de: E = 2cosq + 5 15. Si: 300º < a < 330º ⇒ a < cosa < b, calcular el valor de (a – b)

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UNIDAD UNIDADVII III

Todo ser humano tiene identidad El amor es una expresión matemática y no solo un complemento perfecto.


sen2x + cos2x = 1 Si se compara a una familia común se deduce que sen2x representa a la madre y el cos2x representa al padre y que la unión siempre debe ser la unidad perfecta del amor.

Reconocer y utilizar las fórmulas de las identidades fundamentales y auxiliares.


Resolver problemas y demostrar las identidades trigonométricas.

que

•

Utilizar las identidades fundamentales y auxiliares.

Toda familia está representada por los padres e hijos. ¿Existirá forma de representar a los hijos en una expresión trigonométrica?

•

Identificar las fórmulas y estrategias para la resolución de problemas.

¿Existirán más expresiones represente el amor perfecto?

matemáticas


Definir las identidades e identificar los diferentes tipos de problemas de condición y demostración.

Identidades trigonométricas de una variable

Identidades trigonométricas de una variable Conceptos básicos Expresión trigonométrica Llamamos expresión trigonométrica a la expresión matemática que contiene términos como: senx; cosb; tanq; ...; etc..; en donde las letras "x"; "b" y "q" se llaman variables. Ejemplo:

Las siguientes son expresiones trigonométricas:

tanx + senx;

cotq + senq ; 1 + cosb ; sec2x – tan2x; cota . cotd + 1; 2sen2x – 1 secq cota – cotd

Identidad Se llama identidad a la igualdad entre dos expresiones matemáticas que se cumple para todo valor que se asigne a sus variables para las que están definidas. Ejemplos:

Son identidades las siguientes expresiones matemáticas:

∀x∈ • ∀ x ∈ •

•

∀x∈

se cumple: x2 – 1 = (x + 1)(x – 1) x3 – 1 = x2 + x + 1 se cumple: x–1 se cumple: x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)

Identidades trigonométricas Se llama identidad trigonométrica a la igualdad formada por expresiones trigonométricas que se verifican para todos los valores admitidos de su variable. Ejemplos:

Las siguientes expresiones son identidades trigonométricas. •

∀x∈

•

∀ x ≠ np; n ∈ , se cumple: cotx = cosx

se cumple: sen2x = 1 – cos2x senx

Identidades trigonométricas fundamentales Las identidades trigonométricas fundamentales o básicas son un grupo de identidades que muestran a las razones trigonométricas de un mismo ángulo, relacionados mediante operaciones elementales de adición, multiplicación o potencia natural. Las identidades fundamentales son 8 y entre ellas tenemos las recíprocas, las de cociente y las pitagóricas, que permiten obtener la mayoría de las identidades trigonométricas. Colegios

114

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Identidades recíprocas senx . cscx = 1; ∀ x ≠ np; n ∈

⇒ cscx = 1

senx

cosx . secx = 1; ∀ x ≠ (2n + 1)p ; n ∈ 2 tanx . cotx = 1; ∀ x ≠ np ; n ∈ 2

1

⇒ secx = 1

cosx

⇒ cotx = 1

tanx

Identidades por cociente tanx =

senx ; ∀ x ≠ (2n + 1)p ; n ∈ cosx 2

cotx =

cosx ; ∀ x ≠ np; n ∈ senx

Identidades pitagóricas sen2x + cos2x = 1; ∀ x ∈

1 + tan2x = sec2x; ∀ x ≠ (2n + 1)p ; n ∈ 2

1+

cot2x

=

csc2x;

∀ x ≠ np; n ∈

sen2x = 1 – cos2x cos2x = 1 – sen2x sec2x – tan2x = 1 tan2x = sec2x – 1 csc2x – cot2x = 1 cot2x = csc2x – 1

Los problemas presentados, son de demostración, simplificación, condicionales y eliminación de variables; pero lo más importante es el manejo adecuado de las igualdades ya conocidas, para obtener la solución del problema.

Síntesis teórica

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Unidad VII

115


Problemas resueltos 1. Demostrar que: tan2x . cosx . cscx = tanx

Resolución:

En este problema la idea es reducir el miembro de la igualdad más complicado y obtener el resultado igual al otro miembro. Uno de los criterios más utilizados, es el colocar la expresión a reducir, en términos de senos y/o cosenos; y para ello es bueno recordar:

cscx =

1 1 senx cosx ; secx = ; tanx = ; cotx = senx cosx cosx senx

En el problema: tan2x . cosx . cscx = tanx; note que: tan2x =

sen2x 1 senx = tanx ⇒ Reduciendo: Luego: . cosx . = tanx cos2x senx cosx 123 tanx

\ tanx = tanx

2. Demuestre que:

cosq cosq – = 2tanq 1 – senq 1 + senq

Resolución: Efectuamos:

cosq(1 + senq) – cosq(1 – senq) = 2tanq (1 + senq)(1 – senq)

cosq + cosqsenq – cosq + cosqsenq = 2tanq 1 – sen2q

2cosqsenq = 2tanq cos2q

2senq = 2tanq cosq

\ 2tanq = 2tanq

3. Demuestre que:

1 1 – = 2cot2x secx – 1 secx + 1

Resolución:

Efectuamos la parte más compleja y obtenemos: secx + 1 – secx + 1 = 2cot2x (secx – 1)(secx + 1)

2

sec2x

–1

= 2cot2x

Pero, como sabemos: sec2x – 1 = tan2x Luego:

2 = 2cot2x tan2x

2

1 = 2cot2x tan2x

\ 2cot2x = 2cot2x

Colegios

116

sen2x cos2x

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4. Demuestre que: cot2x – cos2x = cot2x . cos2x

Resolución:

Convirtiendo a senos y cosenos, tendremos: cos2x – cos2x = cot2x . cos2x sen2x

Efectuando:

1

cos2x – cos2x sen2x = cot2x . cos2x sen2x

Factorizando "cos2x" en el numerador, obtendremos: Luego:

cos2x(1 – sen2x) = cot2x . cos2x sen2x

cos2x cos2x= cot2x . cos2x sen2x

↓

\ cot2x . cos2x = cot2x . cos2x

5. Demuestre que: senq (1 + tanq) + cosq(1 + cotq) = secq + cscq

Resolución:

Pasando todo a senos y cosenos el primer miembro:

senq

senq 1 +

senq cosq + cosq 1 + cosq senq

cosq + senq senq + cosq + cosq cosq senq

sen2q(cosq + senq) + cos2q(cosq + senq) cosqsenq

Factorizando: cosq + senq

(cosq + senq)(sen2q + cos2q) cosqsenq cosq + senq = cscq + secq cosqsenq

Haciendo la división parcial:

cosq senq + = cscq + secq cosqsenq cosq senq

1 1 + = cscq + secq senq cosq

Finalmente:

cscq + secq = cscq + secq

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. Reducir: C = 6cosx . tanx + senx 2. Reducir: M =

1 – cos2x cos2x

4. Demostrar que: sec2x . cosx . senx = tanx 5. Demostrar que: (2senx . cosx . secx)2 + (2senx . cosx . cscx)2 = 4

3. Demostrar: tanx + cotx = secx . cscx Central: 619-8100

Unidad VII

117


Aprende más... 10. Reducir:

1. Reducir:

M = tanx . cosx . csc2x a) 1 d) secx

b) senx e) cscx

c) cosx

3. Reducir: M = sen3x (1 + cot2x) – (1 – cos2x) cscx b) 2 e) 2cosx

c) 2senx

Q=

1– – tan2x 1 – sen2x b) cosx e) 0

c) tanx

b) cosx e) cotx

c) 1

b) cosx e) 1

M=

c) tanx

7. Simplificar: A = (secx – cosx) ctgx – senx a) 2senx d) secx

b) 1 e) cscx

9. Simplificar: J= a) 1 d) secx Colegios

118

TRILCE

b) cotx e) 1

c)

1 2

b) 2 e) 5

c) 3

15. Efectúa:

N=2+ a) sec2x d) tg2x

c) secx

tanx – senx 1 – cosx b) tanx e) cscx

tan2x secx + 1

sen4x + cos4x sen2x cos2x

b) csc2x e) ctg2x

c) sec2x.csc2x

16. Simplificar:

P = secx – senx cscx – cosx a) tanx d) cscx

1 5 e) 2

b)

c) 0

1 1 1 1 + + + 2 2 2 1 + sen x 1 + csc x 1 + cos x 1 + sec2x a) 1 d) 4

c) 0

8. Simplificar:

b) tg2x e) 1 + tanx

14. Simplificar:

A = (secx – cosx)(cscx – senx) secx a) senx d) cotx

c) cotx

1 1 tanx + + 1 + tan2x 1 + cot2x cotx

d) 1

6. Reducir:

M=

a) – 1

P = (tanx + cotx)sen2x a) senx d) tanx

b) tan2x e) 1

13. Simplificar: J = cosx 1 +

5. Reducir:

tanx – senx 1 – senx cotx – cosx 1 – cosx

a) secx d) sec2x

cos2x

a) senx d) cscx

c) 2cosx

12. Simplificar:

4. Reducir:

Q=

a) tanx d) cot2x

a) 1 d) 0

b) 2senx e) 2cscx

11. Simplificar:

P = sen2x . cotx + cos2x . tanx a) senx . cosx b) 2senx . cosx c) 1 d) 2 e) secx.cscx

1 + cosx senx + senx 1 + cosx

a) 1 d) 2secx

2. Reducir:

V=

R= a) tanx d) 2

tg2 x + ctg2 x - 2 -2 tgx + ctgx - 2

b) cotx e) – 2

c) tanx + cotx

17. Simplificar: tan4x.sec2x – tan2x.sec2x + tan2x c) ctgx

a) 1 d) tan6x

b) 0 e) sec6x

c) tan4x

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1

18. Un profesor de trigonometría elabora un plano para hacerle una casa a su mascota "Rex" pero su duda es, ¿qué altura va a tener la casa? sus posibilidades son las siguientes: Altura

"sen2q + cos2q" y "sec2x – tan2x"

Ese momento va a evaluar a los alumnos Pepito y Jaimito y le pide, quiero encontrar la altura bajo las condiciones que pueden tomar las variables angulares: {0°; 45°; 60°; 180°}

Pepito dice: "Las alturas son diferentes."

Jaimito dice: "Las alturas son iguales."

¿Quién da la respuesta correcta?

¡Tú puedes! tgx 1. Reducir: M = c 1 + cos x + csc x + tgx + tg3 x m tgx a) csc4x

b) sec4x

c) ctg4x

2. Hallar los valores que puede tomar la expresión: Y = sen2x a) [–1; 1]

〈– 1; 1〉 – {0} b) 〈– 1; 1〉 c)

3. Simplifique la expresión: E =

d) 1

e) 2

cos6x – cos4x sen6x – sen4x d) [– 1; 1] – {0}

+ senx – 1 e) {–1; 0; 1}

tan2q . sen2q tan2q + cos2q – 6 – secq + cosq + 2 secq + cosq + 3

a) 2 b) 1 c) –1 d) 3 e) –2

4. Simplificar la expresión: K = a) – 2

1 - cos x + 1 - senx

1 + cos x , si: p < x < 3 2p 1 + senx

2 secx d) 2 cosx b) – 2 secx c)

5. Calcular el valor de "k" para que la siguiente expresión sea una identidad:

e) – 2 cosx 1 - sen 4 q = 2k - 1 sec 4 q sec2 q

1 a) 1 b) 3 c) 2 d) –1 e) 2

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Unidad VII

119


18:10:45

Practica en casa 1. Reducir: M = cotx . sen2x . secx

9. Reducir: M = (1 + tan2x) cosx – tanx . cscx

2. Reducir: P = senx . cosx . tanx + senx . cosx . cotx

10. Reduce la expresión: E = senx 1 +

3. Simplificar: M = tanx(1 + cosx) – sen2x . cscx 11. Reducir: J = 4. Reducir: A = (tanx + cotx)cos2x 5. Reducir: B = secx – senx . tanx

12. Simplificar: W =

tanx + secx + 1 cotx + cscx + 1

1 – sen2x +1 1 – cos2x

13. Simplificar: csc2x) sen2x – tan2x + 1

7. Reducir: P =

cscx – senx secx – cosx

14. Simplificar: V =

Colegios

120

tan2x + 1 cot2x . secx . senx 1 + cot2x

6. Reducir: A =

8. Reducir: P =

TRILCE

sec2x – 1 + 1 csc2x – 1

cot2x cscx + 1

R = (sec2x +

secx(cosx + senx) – 1 cscx(senx + cosx) – 1

15. Simplificar: R = (1 – 2sen2x)2+4sen2x cos2x

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Expresiones trigonométricas condicionales

2

Conceptos básicos Definición Se llama expresión trigonométrica condicional a aquella en que las variables o coeficientes están relacionadas de un modo específico. A continuación, citaremos ejemplos que ilustran el cálculo de expresiones trigonométricas a partir de una condición dada, que establece una relación entre otras expresiones trigonométricas.

Problemas resueltos 1. Si: secq – cosq = 8; calculemos el valor de: M = sec2q + cos2q

Resolución:

Elevamos al cuadrado la condición, así: secq – cosq = 8 ⇒ (secq – cosq)2 = 82 Operando: sec2q + cos2q – 2secqcosq = 64 14243 1

Finalmente obtenemos la expresión que nos piden calcular: sec2q + cos2q = 66 ⇒ M = 66

2. Si: tanx + cotx = 5, calcular: tan3x + cot3x

Resolución:

Recordando la identidad algebraica de la suma tendremos: a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

Entonces: tan3x + cot3x = (tanx + cotx)(tan2x – tanx . cotx + cot2x) 14243 1

Sustituyendo la condición: = 5(tan2x + cot2x – 1)

Asimismo: (tanx + cotx)2 = 52

tan2x + cot2x + 2tanxcotx = 25 ⇒ tan2x + cot2x = 23 14243 1

Finalmente:

tan3x + cot3x = 5(23 – 1) ⇒ tan3x + cot3x = 110

E + E5 3. Si: En = secn – 3x – tann – 3x, ¿a qué es igual: M = 7 ? E7 – E 5 Resolución: •

Para: n = 7 ⇒ E7 = sec4x – tan4x

Aplicando diferencia de cuadrados: E7 = (sec2x + tan2x)(sec2x – tan2x) 1442443 1

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Entonces: E7 = sec2x + tan2x Unidad VII

121


• Para: n = 5 ⇒ E5 = sec2x – tan2x ⇒ E5 = 1 1442443 1 sec2x + tan2x + 1 Luego reemplazando en "M": M= sec2x + tan2x – 1 Recordar: tan2x + 1 = sec2x sec2x + sec2x 2sec2x = Luego reemplazando convenientemente: M = 1 + tan2x + tan2x – 1 2tan2x 1 1 cos2x = ⇒ M = csc2x Pasando a senos y cosenos: M= sen2x sen2x cos2x sen4x – cos4y 5 4. Si: sen2x + cos2y = , hallar el valor de: E = 4 sen4y – cos4x

Resolución:

Utilizando las identidades algebraicas en la expresión dada para "E", tendremos: a2 – b2 = (a + b)(a – b) E=

(sen2x – cos2y)(sen2x + cos2y) (sen2y – cos2x)(sen2y + cos2x)

Recordar: sen2q = 1 – cos2q Luego: E =

;

cos2q = 1 – sen2q

(sen2x – cos2y)(sen2x + cos2y) sen2x + cos2y = (1 – cos2y – 1 + sen2x)(1 – cos2y + 1 – sen2x) 2 – (sen2x + cos2y)

Reemplazando finalmente el dato del problema en (*): E =

5 4 5 2– 4

... (*)

5

⇒E=3

Eliminación de expresiones trigonométricas Eliminar expresiones trigonométricas de una expresión matemática es un proceso cuyo propósito es independizar la expresión de toda razón trigonométrica. Resulta útil prescindir de las expresiones trigonométricas para determinados fines de cálculo.

Problemas resueltos 1. Eliminar "q" de:

a b c = = tanq secq cotq

Resolución: a b c = = =k tanq secq cotq

Luego:

a = ktanq ...... (1)

b = ksecq ...... (2)

c = kcotq ...... (3)

De: (2)2 – (1)2: b2 – a2 = k2(sec2q – tan2q) ⇒ b2 – a2 = k2.............................. (4) 14243 1 Colegios

122

TRILCE

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De: (1) . (3):

a . c = k2(tanqcotq) 123 1

De: (5) en (4):

b2 – a2 = ac

→

a . c = k2.............................. (5)

2

2. Eliminar "a" de las ecuaciones:

tana + sena = a .............................. (1)

tana – sena = b............................... (2)

Resolución: Resolviendo (1) y (2), obtendremos: tana= De donde es fácil deducir que: cota =

a+b a–b y sena = 2 2

2 2 y csca = a+b a–b

Recordar: csc2a – cot2a = 1 2 2 2 2 =1 – a–b a+b Operando: 4(a + b)2 – 4(a – b)2 = (a2 – b2)2 ⇒ 4(4ab) = (a2 – b2)2 ⇒ 16ab = (a2 – b2)2 3. Eliminar "q" y "f" de las ecuaciones:

p = acosq cosf ... (1)

q = bcosq senf ... (2)

r = c senq ... (3)

Resolución: De (1): De (2):

p = cosq cosf a

q = cosq senf b

Elevando al cuadrado las expresiones, tendremos: 2 2 p2 q2 = cos2q(cos2f + sen2f) 2q = p + q ................................................................ (4) + ⇒ cos 1442443 a2 b2 a2 b2 1

r De (3): senq = . ........................................................................................................................ (5) c Recordar: sen2q + cos2q = 1 r2 p2 q2 Reemplazando (4) y (5) en la ecuación anterior: ⇒ 2 + 2 + 2 = 1 c a b

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. Si: cotx . senx =

2 ⇒ secx = .............. 3

2. Si: senx – cosx = 3 , determinar: senx . cosx 3. Si: tanx + cotx = 5, determinar: senx . cosx Central: 619-8100

En los siguientes problemas, eliminar "x". 4. Si: senx = m ∧ cscx = n 1 5. Si: cosx = p2 ∧ secx = 2 q

Unidad VII

123


Aprende más... 1. Si: tanx + cotx = 5, calcular: tan2x + cot2x a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25 5 , calcular: senx . cosx 6 b) 1 c) 1 4 12 1 e) 16

2. Si: senx – cosx = a) 1 3 d) 1 15

3 3. Si: senq + cosq = , calcular: senq . cosq 5 a) – 1 b) – 1 c) – 1 4 3 5 1 1 d) – e) – 6 7 4. Sabiendo que se cumple la siguiente condición: 8cosq – 1 = tan2q

Hallar el valor de: M = a) 12 b) 4 d) 8 e) 15

tan6q

–

tan4q

tan2q

– c) 6

5. Si: acos2x + bsen2x = c Calcular: asen2x + bcos2x a) a + b + c b) a + b – c c) a – b – c d) a + c – b e) (a – b + c)2 6. Si: msec2x + ncsc2x = r Calcular: mtan2x + ncot2x a) r + m + n b) r – m + n c) r – m – n d) r + m – n e) m + n – r 7. Si se cumple: 3senx + cos2x = 2 Hallar: J = csc2x + sen2x a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 8. Si se cumple: 4cosx + sen2x = 2 Hallar: J = sec2x + cos2x a) 6 b) 16 c) 8 d) 14 e) 7 9. Hallar una relación entre "m" y "n" independientemente de la variable angular "q", si: • senq + cosq = m • senq . cosq = n a) 1 + n = m b) 1 + n2 = m2 2 c) 1 + 2n = m d) 1 – 2n = m2 e) 1 + 2m = n2 Colegios

124

TRILCE

10. Hallar una relación entre "a" y "b" independientemente de la variable angular "x", si: • •

senx – cosx = a senx . cosx = b

a) 1 – 2b = a c) 1 + a2 = 2b e) 1 + 2b = a2

b) 1 – 2b = a2 d) 1 – 2a = 2b2

11. Eliminar la variable angular "q", a partir de: • •

acotq + 1=cscq bcotq – 1 = cscq

a) a + b = 1 d) a – b = 1

b) a2 + b2 = 1 c) ab = 1 e) 2ab = 1

12. Eliminar "x" de: • •

asecx + btanx = c atanx + bsecx = d

b) a2 + c2 = b2 + d2 a) a2 + c2 = bd 2 2 2 2 c) a + b = c + d d) a2 + d2 = b2 + c2 e) ab = cd 13. Eliminar "x" de: • •

sec4x – tan4x = 1 + a + b csc4x – cot4x = 1 + b – a

a) a2 – b2 = 2 c) a2 + b2 = 1 e) b2 – a2 = 4

b) a2 – b2 = 4 d) b2 – a2 = 2

14. Eliminar la variable angular "x" a partir de: • •

mtanx + 1 = secx ntanx – 1 =secx

a) m + n = 1 c) m2 + n2 = 1 e) m = n

b) m – n = 1 d) mn = 1

15. Eliminar "q" de: • •

mcscq + nctgq = r mctgq + ncscq = s

a) m2 + n2 = r2 + s2 b) m2 + s2 = n2 + r2 c) m2 + s2 = n2 – r2 d) m2 + n2 = r . s e) s2 – m2 = r2 – n2

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2

¡Tú puedes! 1. Si: cotx = 2 + cosx, hallar el valor de: M = a) – 4

b) 4

4(secx + tanx) (secx – tanx) – cosx tanx sec2x

c) 2

d) – 2

e) 1

2. Eliminar "q" a partir de: • •

a sen2q + bcscq = a a cos2q + csecq = a

a) b2 + c2 = a2 d) (b2 + c2)3 = (abc)3

b) b2 + c2 = abc e) b2 + c2 = 3abc

3. Si: 2sec4x – 3sec2x + 2 = a)

c) (b2 + c2)2 = abc

cos2x , hallar la expresión equivalente de: M = 2tan4x + 3tan2x + 2. cos2q

tan2x sec2x tan2q c) tan2q d) sec2q e) b) 2 2 2 2 tan x sec x tan x tan q tan2q

4. Si: tan2x + cot2x = 7; x ∈ 0; p , calcular: M = tan4x – tan2x + cot2x – cot4x. 4 a) 18 5

b) – 18

5. Si: sec2x = ntanx, hallar:

c) – 18 5

d) 20

e) 18

sen3x + cos3x (senx + cosx)3

n - 2 c) n - 1 d) n + 2 e) n+2 a) n + 1 b) n+2 n+2 n+1 n-1 n-1

18:10:45

Practica en casa 1. Si: tanx – cotx = 3 , calcular:

C = tan2x + cot2x.

7. Si: cscx + ctgx = 2, calcular: cscx 8. Si: 3senx + 4cosx = 5, calcular:

2. Si: senx + cos x =

5 , calcular: A = senx . cosx 3

3. Si: senx - cos x =

3 , calcular: U=senx . cosx 4

9. Si: senx + 3 cosx = 2, calcular:

4. Si: tanx + cotx = 3, calcular:

D = (senx + 2cosx)2 + (2senx + cosx)2

C = 2senx + cosx

L = 2cos2x + sen2x

10. Siendo: secx – cosx = m; cscx – senx = n

Hallar: tanx

5. Si: sen4x + cos4x = 5, calcular: A = senx . cosx 8

11. Eliminar "x" en:

6. Si: secx + tanx = 3, calcular: secx

Central: 619-8100

tanx + cotx = a ∧ sec2x + csc2x = b Unidad VII

125


12. Eliminar "x" a partir de: • •

senx = n cosx = m

13. Eliminar "x" a partir de: • •

Colegios

126

tanx + cotx = a tanx – cotx = b

TRILCE

14. Eliminar "q" de: • •

cos2q = a3senq sen2q = b3cosq

15. Eliminar "x" en: • •

tanx + senx = m tanx – senx = n

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Identidades trigonométricas auxiliares de una variable

3

Conceptos básicos Es un conjunto de identidades trigonométricas que se obtienen por la aplicación de las identidades fundamentales. 1. sen4x + cos4x = 1 – 2sen2x . cos2x

11.

senx 1 – cosx = 1 + cosx senx

12.

cosx 1 – senx = 1 + senx cosx

2. sen6x + cos6x = 1 – 3sen2x . cos2x 3.

sen4x

–

cos4x

=

sen2x

–

cos2x

4. tanx + cotx = secx . cscx 5. sec2x + csc2x = sec2x . csc2x 6. (1 ± senx ± cosx)2 = 2(1 ± senx)(1 ± cosx) 7. (senx ± cosx)2=1 ± 2senx . cosx 8. (senx + cosx + 1)(senx + cosx –1) = 2senx . cosx 9.

tan2x

–

sen2x

=

tan2x

.

sen2x

10. cot2x – cos2x = cot2x . cos2x Central: 619-8100

13. sec4x + tan4x = 1 + 2tan2x . sec2x 14. csc4x + cot4x = 1 + 2cot2x . csc2x 15. Si: secx + tanx = m ⇒ secx – tanx = 16. Si: cscx + cotx = n ⇒ cscx – cotx =

1 m

1 n

17. vers x = 1 – cos x 18. covx = 1 – senx 19. exsecx = secx –1 Unidad VII

127


Síntesis teórica

Problemas resueltos 1. Calcular "k" para que la expresión "E" sea independiente de "x": E=2(sen4x+cos4x)+k(sen6x+cos6x)

Resolución:

Utilizando las identidades auxiliares:

sen4x + cos4x = 1 – 2sen2x cos2x

sen6x + cos6x = 1 – 3sen2x cos2x

E = 2(1 – 2sen2x cos2x)+ k(1 – 3sen2x cos2x)

Reemplazamos en la expresión "E":

E = 2 – 4sen2x cos2x + k – 3ksen2x cos2x

E = (k+2) – (4sen2x cos2x + 3ksen2x cos2x)

Agrupamos convenientemente:

E = (k + 2) – sen2x cos2x (4 + 3k)

Para que la expresión "E" no dependa de "x" observa que (4 + 3k) debe ser cero, es decir:

\k=–4 3

2. Si: 3(1 + senx – cosx)2 = A(1 + senx)(1 – cosx), hallar "A"

Resolución:

Recordar: (1+senx – cosx)2 = 2(1 + senx)(1 – cosx)

Reemplazando dicho equivalente en la condición inicial, tendremos: 3 . 2(1 + senx) (1 – cosx)

Simplificando y comparando ambas expresiones obtendremos: A = 6 Colegios

128

TRILCE

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3. Si: x ∈ 0; p , simplificar: E = 1 + 2 senx cosx + 1 – 2 senx cosx 4

Resolución:

Reemplazando por su equivalente, se tendrá:

3

B

E = 1 + 2 senx cosx + 1 – 2 senx cosx 1442443 1442443 (senx – cosx)2 (senx + cosx)2

x senx A

cosx

E = (senx + cosx)2 + (senx – cosx)2 E = senx + cosx + senx – cosx 1442443 1442443 + –

A'

O

Del gráfico, vemos que: cosx > senx 123 123 (+) (–)

B'

Efectuando: E = senx + cosx – senx + cosx ⇒ E = 2cosx

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. Completar: secx . cscx = .................

•

2. Reducir: A = secx . cscx – tanx

sen4x + cos4x= 1 – 2sen

x . cos

x

4. Reducir: P = 3sen4x + 3cos4x – 2sen6x – 2cos6x

3. Completar: •

sen6x + cos6x= 1 – 3sen

x . cos

x

5. Reducir: B = (secx . cscx – 2tanx)tanx – 1

Aprende más... 1. Simplificar: P = (secx . cscx – cotx) . cscx a) 1 d) sec2x

b) cosx e) secx

c) senx

2. Simplificar: M = sec2x . csc2x – cot2x – tan2x a) 1 b) 2 c) d) – 2

e) – 1

3. Simplificar: M = a) tan2x d) cot6x

a) 1 d) cscx

c) tan6x

a) 3 d) 7

b) cosx e) senx

b) 4 e) 9

6. Simplificar: P = 2 3 14 d) 3

a)

Central: 619-8100

sec2x . csc2x – cot2x secx + cosx c) secx

secx . cscx + tanx 3 1 5. Si: = secx . cscx + cotx 4 2 Calcular: M = 5tan2x + 2cot2x

secx . cscx – tanx cot4x secx . cscx – cotx

b) cot2x e) cos4x

4. Simplificar: L =

c) 6

7(sen4x + cos4x) + 21 sen6x + cos6x + 5

7 3 5 e) 3

b)

c)

28 3

Unidad VII

129


7. Siendo: senx – cosx = n

Hallar: P = secx – cscx n 2n 2n b) 2 c) a) 2 n –1 1–n n2 – 1 n 2n2 d) e) 1 – n2 1 – n2

1 13. Si: senx + cosx = , calcular: 3

4 9 1 d) 3

M = (senx + cosx)2 1 2 4 c) a) b) 3 3 3 5 d) 2 e) 3

9. Si: tanx + cotx = 5 , calcular: L=sen4x + cos4x a) 0,2 d) 0,5

b) 0,3 e) 0,6

c) 0,4

2 3 4 e) 3

a)

8. Siendo: tanx + cotx = 6, calcular:

M = (1 – senx)(1 – cosx) b)

c)

2 9

14. Si: secx + tanx = 3, calcular: cosx a) 0,3 d) 0,8

b) 0,4 e) 0,96

c) 0,6

15. Si: 3senx + 2cosx = 13

Calcular: J = 2tanx + 3cotx a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

10. Si: tanq + cotq = 5

16. Eliminar "x" de:

calcular: P = sen2q . tanq + cos2q . cotq a) 3 d)

23 5

23 b) 4 2 e) 3

• •

c) 4

a) a – b = 1 c) 3a + 2b = 1 e) 3a – 2b = 1


P = sen4x . tanx + cos4x . cotx a) 3 b) 2 4 2 d) e) 3 3

12. Simplificar: Q = a) 1 d) –2

sec4x

b) –1 1 e) – 2

sen4x + cos4x = a sen6x + cos6x = b b) 3a – b = 1 d) a – 2b = 1

17. Siendo: tanx + cotx = 3 c) 4

+ csc4x – sec4x . sen–2x + cos–2x

csc4x

c) 2

calcular: S =

sen7x – cos7x senx – cosx

13 27 15 d) 27 a)

19 27 31 e) 27 b)

c)

29 27

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 18. En un avión viajan un ingeniero peruano y un entrenador de fútbol extranjero. Se hacen amigos pero polemizan sobre fútbol, conversaron bastante y el entrenador da las formaciones de un equipo ideal de fútbol luego, el peruano le pregunta: "¿sabes matemáticas?" el entrenador asiente, y agrega que el curso en el que mas rendía era Trigonometría.

El ingeniero da los datos de un problema: si la edad de "Kaká" es "m" y está representado por la exsen4x + cos4x y además la edad de "Ronaldo" es "n" y está representado por la expresión: presión: 64–1 sen6x + cos6x , también se sabe que la edad del sobrino de "Kaká" está representado por la expresión: 64–1 sen2x . cos2x. El ingeniero le pregunta al D.T.: ¿qué edad tiene el sobrino de "Kaká"? Colegios

130

TRILCE

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3

¡Tú puedes! 1. Si: n = tanx + cotx (n ≠ – 2); el valor de: Q = a)

1 n + 2

b)

n–2 n + 2

c)

sen3x + cos3x es: (senx + cosx)3

n+1 n + 2

d)

n–1 n + 2

n n + 2

e)

2. Indica la extensión de: M = (1 + sen4x + cos4x)(2 + sen6x + cos6x) + 3 + sen8x + cos8x (x ∈ a) [1; 20]

b) [10; 20]

21 c) 10; 2

d)

)

11 13 ; 12 e) ; 10 2 2

3. Si: seca – csca = – 3 , calcular: M = tana – cota a) 3

d) – 5 e) ± 5

5 b) – 3 c)

7 4. Si: p < q < p y sen4q + cos4q = , calcular: senq – cosq. 9 4 2 5 a) 3 b)

c) – 3 3

d)

2 3

e)

d)

1 16

e)

3 3

5. Maximizar: F(x) = sen6x . cos2x + sen2x . cos6x a)

1 8

b)

1 4

c)

3 8

3 4

18:10:45

Practica en casa 1. Reducir: M = (secx . cscx – tanx)secx 2. Reducir: A = sec2x . csc2x – tan2x – 1 3. Reducir:

C = (secx . cscx – tanx)(secx . cscx – cotx)

sen4x + cos4x – 1 4. Reducir: C = sen6x + cos6x – 1 5. Simplificar: C =

3(sen4x + cos4x) + 5 sen6x + cos6x + 3

6. Reducir: M = (secx . cscx + 2 tanx)tanx – 1

9. Si: (1 + senx)(1 + cosx)=

Calcular: K = 1 + cosx + senx

10. Si: cscx – cotx = 2, calcular: cotx. 11. Si: 3 sen x + 4 cos x = 5

Calcular: C = 2 sen x + cos x

12. Siendo: secx + tanx = 3, calcular:

K = secx . tanx

13. Siendo: f(tanx+cotx) = secx + cscx, calcular: f2(3)

7. Siendo: senx + cosx = n, hallar:

P = tanx + cotx

14. Simplificar: Q =

tan3x + cot3x – sec3x.csc3x tanx + cotx

15. Si: f(senx – cosx) =

sen4x + cos4x, calcular: f sen6x + cos6x

8. Siendo: tanx + cotx = 4, calcular:

P = (senx – cosx)2

Central: 619-8100

5 6

2 3

Unidad VII

131

Repaso

Repaso Aprende más... 8. Señalar el equivalente de:

1. Reducir al primer cuadrante: sen340º a) sen10º d) – sen20º

b) – sen10º e) – sen70º

c) sen20º

a) tanx d) – cotx

2. Calcular: cot300º 3 a) – 3 b) d) – 3 2

c) – 3 3

I. sen(– x) = senx II. cos(– x) = – cosx III. sen(p – x) = senx

4. Reducir: C =

a) 1 d) 2

b) FFV e) VFF

c) VVF

C = sen(90º + b).sec(180º + b).tan(270º – b) a) tanb d) – cotb

b) cotb e) – secb

6. Simplificar: C =

b) sen70º e) sen160º

a) cos50º d) cos120º

b) cos40º e) cos200º

a) VVV d) FVV

b) VFV e) VFF

B

O

A’

tan(321p + q).cos 135p + q

Colegios

132

TRILCE

b) senB e) – cosA

c) VVF

12. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. y

c) – tanb

A x

M

c) senq

q B’

7. Si: A + B + C = 180°, indica el equivalente de: sen(B + C) a) senA d) – senA

c) cos340º

I. sen140º > sen160º II. sen200º < sen250º III. |sen200º| > |cos200º|

sen(133p + q).cot 145p – q 2

b) – 1 e) – tan2q

c) sen100º

11. Señale si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda en:

2

a) 1 d) tan2q

c) cotx

10. Señale la expresión de mayor valor:

c) –1

5. Reducir:

a) sen10º d) sen120º

sen(p + x) + tan(2p – x) cos 3p + x cot 3p – x 2 2 b) 0 e) – 2

b) – tanx e) tan2x

9. ¿Cuál de los siguientes valores es mayor?

e) – 2 3

3. Indica si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

a) FVF d) VFV

C = tan(x – 180º).tan(x – 90º).tan(x – 270º)

c) cosA

1 a) – senq 2 d) – cosq

1 b) – cosq 2 e) – 2senq

c) – senq

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13. Sabiendo que "a" ∈ IIC, señale la extensión de:

C = 3cosa + 2 a) [2; 3] d) [–1; 2]

b) 〈2; 3〉 c) 〈– 1; 2〉 e) [1; 5]

14. Si: q ∈ IIIC y senq =

5k – 3 . 9

1 1 b) – ; 5 5 3 2 e) – ; 5 5

a) cos2x d) csc2x

R= a)

b) 〈1; 3〉

b) 6 e) 12

c) 7

3 tg3 x + cot x2 2 1 + tg x 1 + ctg x

4 3

5 3 7 e) 3 b)

d) 3

e) 〈2; 3〉 16. Reducir: M = (secx – cosx) (cscx – senx) tanx b) cos2x e) tan2x

c) sec2x


c) 〈1; 2 3 + 1〉 d) 〈1; 2 3 + 1]

a) sen2x d) csc2x

b) cot2x e) tan2x

E = tanx(1 + tanx) + cotx(1 + cotx) a) 5 d) 10

1 1 c) – ; 5 5

15. Sabiendo que: 30º < a < 120º; señale la extensión de: C = 4sena – 1 a) 〈1; 3]

tan2x – sen2x = a.sen2x


Entonces la extensión de "k" es: 6 3 a) – ; 5 5 6 3 d) – ; 5 5

17. Hallar "a" para que la siguiente igualdad sea posible:

4

c) sec2x

c) 2

20. Si: 4cos2a + 4cos2a . cosq – 1 = 0, calcular:

S=

sec2x + cos2q – cosq

a) 3 d) 7

b) 2 e) 9

c) 5 18:10:45

Practica en casa 1. Reducir al primer cuadrante: tan2433º

6. Señala si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda en:

2. Relacionar según corresponda: I. sen(p + x)

a. senx

II. cos(p – x)

b. – tanx

III. tan(p – x)

c. – senx

2

I. cos320º > cos340º II. cos100º < cos160º III. |cos200º| < |cos140º| 7. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada.

3. Simplificar: sen(180º – a) + cos(90° – a) B

4. Reducir:

y

C=tan(180º + q) . cot(270º + q) . tan(360º – q) 5. Indica si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

A

A’

O

I. sen40° > sen130º II. sen260°> sen300º III. sen160° > sen260º

x

q M

B’ Central: 619-8100

Unidad VII

133

Repaso

8. Si: q ∈ IIIC y cosq =

11. Ordenar en forma creciente:

3k + 2 7

Entonces la extensión de "k" es:

12. Siendo: x – y = p, reducir:

9. En la C.T. mostrada, calcular la longitud del segmento A'P y

C=

1 + sen(senx) + sen(seny) 1 + cos(cosx) - cos(cosy)

13. Indica si es verdadero (V) o falso (F)

B

b A’

cos80°; cos100°; cos250°; cos280°

P

Si: p < x1 < x2 < p 2 I. cosx1 = cosx2 II. cosx1 > cosx2

A x

III. cosx1 < cosx2 14. Si: 3senx + 4cosx = 5

B’

15. Sabiendo que: tanx =

10. Si "A" es el máximo valor y "B" es el mínimo valor de la función: Y = 2 – 3senx, hallar: A – B

Colegios

134

Calcular: E = 3senx – 4cosx

C.T.

TRILCE

Calcular: R =

3 7

7senx – 3cosx 3senx + 7 cosx

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UNIDAD VIII

D

H

Sumando y restando variables Debemos tener mucho cuidado al operar sumas en variables afectadas por operadores trigonométricos puesto que no es como sumar o multiplicar cualquier variable algebraica, por ejemplo es fácil operar esto: A(X + Y) = A . X + A . Y; pero en variables afectadas por operadores trigonométricos no es posible esto: sen(X + Y) = sen X + senY, esta operación es incorrecta puesto que el operador "sen" indica una determinada operación a realizar que no es la multiplicación por sus variables, así en este capítulo encontraremos fórmulas especiales para este tipo de expresiones. Comunicación matemática •

Identificar la aplicación de fórmulas especiales para suma de variables.


Demostrar expresiones de sumas y diferencia de variables.


Resolver problemas de simplificación sobre suma y diferencia de variables.


Identidades de la suma y diferencia de variables I Conceptos básicos Fórmulas básicas 1. Para la suma de variables

sen(x + y) = senx . cosy + seny . cosx

cos(x + y)=cosx . cosy – senx . seny

tan(x + y) =

tanx + tany 1 – tanx . tany

Ejemplos:

Completa las fórmulas siguientes: •

sen(a + b) = sena . cosb +

•

sen(70° + a) = sen70° . cosa +

•

cos(20° + a) = cos20° . cosa –

•

cos(a + 10°) =

•

tan(a + 10°) = tana + 1–

•

tan(45° + b) =

2. Para la diferencia de variables

sen(x – y) = senx . cosy – seny . cosx

tan(x – y) =

cos(x – y)=cosx . cosy + senx . seny

tanx – tany 1 + tanx . tany

Ejemplos:

Completa las fórmulas siguientes: •

sen(a – b) = sena . cosb –

•

sen(20° – q) =

•

cos(70° – x) = cos70° . cosx +

•

cos(30° – x) = cos30° . cosx +

•

tan(x – 20°) =

•

tan(60° – b) = __________________

Problemas resueltos 1. Demostrar que:

sen(a – b) = tana – tanb cosa . cosb

Resolución: Desarrollando en el primer miembro: sen(a – b) = tana – tanb cosa . cosb Colegios

136

TRILCE

⇒

sena . cosb – senb . cosa = tana – tanb cosa . cosb www.trilce.edu.pe


Desdoblando en fracciones homogéneas:

1

sena . cosb senb . cosa – = tana – tanb cosa . cosb cosa . cosb

sena senb Reduciendo: – cosa cosb 123 123 demostrado: tana – tanb

= tana – tanb = tana – tanb

2. Reducir: C = cos(60° + x) + cos(60° – x) Resolución: Desarrollando los dos miembros: C = cos(60° + x) + cos(60° – x) = cos60° . cosx – sen60° . senx + cos60° . cosx + sen60° . senx Reduciendo: C = 2cos60° . cosx → pero: cos60° = 1 2 C=2

1 . cosx ⇒ C = cosx 2

3. Reducir: C = tana + tanb + tana . tanb; si: a + b = 45° Resolución:

a + b = 45° ⇒ tan(a + b) = tan45° tana + tanb Desarrollando: = 1 → tana + tanb = 1 – tana . tanb 1 – tana . tanb

Como:

tana + tanb + tana . tanb = 1 ⇒ C = 1

Trasladando términos:

4. Siendo: sena = 3 ∧ senq = 2 ("a" y "q" agudos), calcular: tan(a – q) 10 5 Resolución: Como:

sena = 3 10

3

10

senq = 2 5

⇒ tana = 3

1 Entonces: tan(a – q) =

⇒ tanq = 2

q

a

2

5

1

tana – tanq ⇒ tan(a – q) = 3 – 2 ⇒ tan(a – q) = 1 1+3.2 7 1 + tana . tanq

5. Del gráfico mostrado, calcular "tanq". A

1 B

q

4

D

Central: 619-8100

5

C Unidad I

137


Resolución: Luego: q = x + y ... (prop. geométrica)

Del gráfico: 1 A x B

tanq = tan(x + y) ⇒ tanq =

q

4

D

5

y

C

Sea: ABD = x; ACD = y

DAB:

tanx = 4

ADC:

tany =

tanx + tany . ..... (1) 1 – tanx . tany

4 5

4 24 5 5 24 En(1): tanq = = 4 11 ⇒ tanq = – 11 1–4. – 5 5 4+

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. Reducir: M =

sen(x + y) – senx . cosy cosx . cosy

2. Si: tanx = 5 ∧ tany=3, calcular: tan(x – y) 3. Simplificar:

E = sen20° . cos25° + sen25° . cos20°

4. ¿A qué es igual:

P = cos40°. cos20° – sen40°. sen20° ?

5. Reducir: M = sen4x – cos3x . senx sen3x

Aprende más... 1. Reducir:

4. Si: senx + cosx = 3 , calcular: 4

sen(a + b) – senb . cosa cosa . cosb

P=

a) tanb d) cotb

b) tana e) 1

6 2 d) 3 8

c) cota

a)

2. Reducir:

M=

sen(a – q) + senq . cosa cos(a – q) – cosa . cosq

a) tanb d) cotq

b) tanq e) 1

J=

c) cota

Colegios

138

TRILCE

b) 2 2 e) 2 2 cotx

c) cotx

c)

3 4

c)

1 4

1 4

Calcular: A = sen(x – 60°) 3 8 1 d) 2

a)

cos(45° + x) + cos(45° – x) senx

a) 2 d) 2 cotx

6 4 e) 6 8 b)

5. Si: senx – 3cosx =

3. Reducir:

A = sen(45° + x)

6. Reducir: J =

3 4 1 e) 8 b)

sen(x + y) sen(z – x) + cosx . cosy cosz . cosx

a) tanx b) tanz c) tany d) tanz – tany e) tanz+tany www.trilce.edu.pe


7. Reducir:

J=

sen(x – y) sen(y – z) sen(z – x) + + cosx . cosy cosy . cosz cosz . cosx

a) 1 c) 0 e) tanx . tany . tanz

14. Del gráfico, calcular "tanf" B

b) tan2x e) tan5x

c) 1

2

5

5 13 12 d) 13

b)

c)

f

cos7x . cos4x + sen7x . sen4x A= sen4x . cosx – senx . cos4x a) cotx d) tan3x

b) tanx e) 1

c) cot3x

A

M B

N

9 13 7 d) 13

5 13 8 e) 13

a)

10. Si "a" y "b" son ángulos agudos; tales que:

11 13

15. Del gráfico, calcular "tanf", si: AB = 6 y BC = 4 C

9. Simplificar:

D

E 1

9 13 7 e) 13

a)

sen5x . cos3x – sen3x . cos5x cos4x . cos2x + sen4x . sen2x

a) tanx d) tan3x

A

8. Simplificar A=

C

f

b) 2 d) tanx + tany + tanz

1

b)

c)

6 13

csca = 10 ∧ cscb = 13 , calcular: tan(a + b) 2 7 9 9 d) 7

a)

5 9 4 e) 3 b)

16. Del gráfico, calcular "tanf", si ABCD es un cuadrado: BQ = QN; BN = NC ; AP = 3PD y AM=MB 9 c) Q N 5 B C

f M

11. Si "a" y "b" son ángulos agudos; tales que: seca = 5 ∧ secb = 17

Calcular: tan(b – a) 1 9 4 d) 9

a)

1 3 5 e) 9 b)

c)

2 9

Calcular: C = tanx . coty a) 1 1 d) 2

b) 2 1 e) 3

Central: 619-8100

b) 0,4 e) 0,8

d) – 2

c) 5

a

121 37 141 d) 37

c) 0,6

F

D

A a)

Calcular: C = tanx . tany a) 0,2 d) 0,7

b) – 3 5 e) 3

c) 3

13. Si: cos(x – y) = 4cos(x + y)

a) 3

D

P

17. Del gráfico, calcular "tana", si ABCD es un cuadrado y además: BC = 3CE. C E B

12. Si: sen(x + y) = 3sen(x – y)

A

81 37 156 e) 37 b)

c)

136 31

Unidad I

139


¡Tú puedes! 1. Siendo:

senx + seny = senz

cosx + cosy = cosz

Calcular: cos(x – y) a)

1 2

b)

1 c) – 2

3 2

d) – 3 2

e) – 2 2

5

5

5

5

i=1

i=1

i=1

i=1

1 2

e) –

2. Sabiendo que: S senqi = 0 ; S cosqi = 0 , determine: C = S sen(qi + x) + S cos(qi + x) a) 2

b) –1

c) 0

d)

3. En el gráfico mostrado, hallar el área del trapecio ABCD. a) sen(q + a) . sen(q – a) c) sen(q + a) . cos(q – a) e) 2sen(q + a) . cos(q – a)

A

b) cos(q + a) . cos(q – a) d) sen(q – a) . cos(q + a)

a q

1 2

2 D

B

C

P

4. Si: x + y + z = 90°, hallar el equivalente de: T = (cotx – tany)(coty – tanx)(cotx – tanz) a) senx . seny . senz d) secx . secy . secz

b) cosx . cosy . cosz e) – secx . secy . secz

c) cscx . cscy . cscz

BY M a

5. En la circunferencia trigonométrica mostrada, hallar la distancia entre "M" y "N" 2vers(a – b) a) vers(a – b) b) cov(a – b) c) d) 2cov(a – b) e) 2 vers(a – b)

X A

O

A' N

b B' 18:10:45

Practica en casa 1. Reducir: A=

sen(a + b) – senb . cosa sena . senb

4. Reducir: M=

2. Reducir: P=

cos(a + b) + senb . sena sena . cosb

5. Simplificar: C =

3. Demostrar que: sen(45° + x) = 2 (senx + cosx) 2 Colegios

140

TRILCE

6. Reducir: C =

cos(60° + x) + cos(60° – x) senx sen(x + y) – tanx cosx . cosy

cos(x – y) – cotx senx . cosy www.trilce.edu.pe


7. Reducir la expresión:

M=

1 12. Si: x + y = 45° ∧ tanx= , calcular: tany 6

sen40°.cos20° + cos40°.sen20° cos20°.cos10° – sen20°.sen10°

13. Si: ABCD es un cuadrado, hallar "tanq" Q 3 B A 1 P 2

8. Si: sen(a + b) = 4sen(a – b)

Calcular: Q =

tana tanb

9. Sabiendo que "a" y "q" son agudos, tales que: 2 2 , calcular: tan(a + q) ∧ cosq = cosa = 29 13 10. Sabiendo que "a" y "b" son agudos, tales que: 3 1 ∧ senb = , calcular: tan(a – b) sena = 13 5

q A

Central: 619-8100

5

N

q

6

C 2 M 2 B

C

D

14. Calcular: Q =

11. Del gráfico, calcular "tanq".

1

tan50° +1 tan70° – tan20°

15. Si: tan(a + b + c) = 5 y tan(a + b) = 3

Calcular: cot(45° + c)

Unidad I

141

Sistemas de de Identidades medición la sumaangular y diferencia de variables II

Identidades de la suma y diferencia de variables II Conceptos básicos Propiedades Si: K = A senx ± Bcosx ⇒

I.

Kmáx = A2 + B2 Kmín = – A2 + B2

Ejemplos:

•

E = 3senx + 4cosx ⇒

•

E = 2senx – cosx ⇒

Emáx = Emín = –

32 + 4 2 = 5 32 + 4 2 = – 5

Emáx = Emín =

II.

tana + tanb + tana . tanb . tan(a + b) = tan(a + b)

III.

tana – tanb – tana . tanb . tan(a – b) = tan(a – b) Ejemplos:

• tan12° + tan14° + tan12° . tan14° . tan26° = tan26° 123 12° + 14° tan20° + tan40° + 3 . tan20° . tan40° = ??

•

Note que: 3 =tan60°, luego la expresión sería: tan20° + tan40° + tan20° . tan40° . 3 123 tan60°

tan20° + tan40° + tan20° . tan40° . tan60° = tan60°= 3 123 20º + 40°

Si: a + b + q = np ó 180° . n; n ∈

IV.

⇒

tana + tanb + tanq = tana . tanb . tanq cota . cotb + cotb . cotq + cotq . cota = 1

Ejemplos:

•

tan40° + tan80° + tan60° = tan40° . tan80° . tan60° (ya que: 40° + 80° + 60° = 180°)

•

tan34° + tan66° + tan80° =

•

cot20° . cot60° + cot60° . cot100° + cot100° . cot20° = 1 (ya que: 20°+60°+100°=180°)

•

cot50° . cot70° + cot70° . cot60° + cot60° . cot50° =

Colegios

142

TRILCE

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Si: a + b + q = (2n + 1)p ó (2n + 1) . 90°; n ∈ 2

V.

⇒

21

cota + cotb + cotq = cota . cotb . cotq tana . tanb + tanb . tanq + tanq . tana = 1

Ejemplos:

•

cot20° + cot60° + cot10° = cot20° . cot60°. cot10°

(ya que: 20° + 60° + 10° = 90°)

•

tan20° . tan42° + tan42° . tan28° + tan28° . tan20° = 1 (ya que: 20° + 42° + 28° = 90°)

Síntesis teórica

Central: 619-8100

Unidad Unidad VIIII

143


Problemas resueltos 1. Calcular la suma del máximo valor de: C = 3senx + 4cosx + 5, con el mínimo valor de:

L = senx + 3 cosx + 1 a) 3

b) 7

Resolución:

Analizando cada expresión:

c) 9

d) 11

e) 12

I. C = 3senx + 4cosx + 5, para que: C: máx ⇒ a: máx 1442443 a como: a = 3senx + 4cosx ⇒ amáx = 32 + 42 = 5, luego: Cmáx = 5 + 5 ⇒ Cmáx = 10 II. L = senx + 3 cosx + 1, para que: L : mín ⇒ b: mín 1442443 b 2 como: b = 1 . senx + 3 cosx ⇒ bmín = – 12 + 3 = – 2

Luego: Lmín = – 2 + 1 ⇒ Lmín = – 1

III. Piden calcular: Cmáx + Lmín = 10 + (–1) ⇒ Cmáx + Lmín = 9 2. Señale la variación de: L = 2 2 sen(x + 45°) + senx + 2cosx + 1 a) [– 1; 3]

b) [– 2; 4]

c) [– 3; 5]

d) [– 4; 6]

e) [– 5; 5]

Resolución: En este caso, primero, desarrollaremos la expresión: L = 2 2 sen(x + 45°) + senx + 2cosx + 1 L = 2 2 (senx. cos45° + sen45° . cosx) + senx + 2cosx + 1 L = 2 2 senx .

1 1 + . cosx + senx + 2cosx + 1 2 2

Reduciendo: L = 2senx + 2cosx + senx + 2cosx + 1 ⇒ L = 3senx + 4cosx + 1 Pero, note que:

3senx + 4 cosx

máx = 5 mín = – 5

⇒

Lmáx = 5 + 1 = 6 Lmín = – 5 + 1 = – 4

⇒ L ∈ [–4; 6]

3. Reducir: L = tan34° + tan26° + 3 tan34° . tan26° tan33° + tan12° + tan33° . tan12° a) 1

b) 3 c)

3 3

d) 2

e) 2 3

Resolución: En el numerador: tan34° + tan26° + 3 tan34° . tan26°= tan34° + tan26° + tan34° . tan26° . tan60° = tan60°= 3 En el denominador: tan33° + tan12° + 1 . tan33° . tan12° = tan33° + tan12° + tan33° . tan12° . tan45° = tan45° = 1 Colegios

144

TRILCE

www.trilce.edu.pe


En la expresión:

21

L = tan34° + tan26° + 3 tan34° . tan26° ⇒ L = 3 ⇒ L = 3 tan33° + tan12° + tan33° . tan12° 1 4. En un triángulo ABC: tanA = 2 y tanB = 4. Calcular "tanC" a)

3 7

5 3 6 2 d) e) b) c) 6 4 7 3

Resolución:

Como en un triángulo ABC: A + B + C = 180°, se cumple: tanA + tanB + tanC = tanA . tanB . tanC

(tanA = 2 y tanB = 4)

Reemplazando: 2 + 4 + tanC = 2 . 4 . tanC 6 + tanC = 8tanC ⇒ 6 = 7tanC ⇒ tanC =

6 7

5. En un triángulo ABC: tanA + tanB = 5tanC. Calcular: L = tanA . tanB a) 5

b) 6

c) 7

d) 10

e) 15

Resolución: Como en un triángulo ABC: A + B + C = 180° Se cumple: tanA + tanB + tanC = tanA . tanB . tanC 14243 14243 5tanC L Luego: 5tanC + tanC = L . tanC ⇒ 6tanC = L . tanC ⇒ L = 6

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. Indicar si es verdadero "V" o falso "F" • tan5x + tan10x + tan5x . tan10x . tan15x = tan 30x

(

)

• tan20° + tan40° + 3 . tan20° . tan40° = 3

(

)

a) El máximo valor de: E = 2 senx – 7 cosx; es 3

(

)

b) El máximo valor de: E = 3sen20° + 4 cos20°; es 5

(

)

2. Indicar si es verdadero "V" o falso "F"

3. El mínimo valor de: Q = 5senx + 12cosx + 3; es: 4. En un triángulo ABC, reducir: K = 5. Simplificar: U =

Central: 619-8100

tanA + tanB + tanC tanB . tanC

cot20° + cot60° + cot10° cot20° . cot10°

Unidad Unidad VIIII

145


Aprende más... 1. Señale el máximo valor de: H = 3senx – 2 cosx

10. En un triángulo ABC: 1 1 cotA . cotB = ; cotB . cotC = 4 5

7 c) 11 a) 13 b) 17 d) 15 e)

Calcular: P = cotA . cotC

2. Hallar la suma del máximo y mínimo valor de:

11 15 11 d) 20

a) 6 d) – 2

b) – 4 e) 4

c) 10

3. Señale el máximo valor de: c) 3

K=

b) [– 14; 14] e) [– 13; 13]

c) [– 12; 14]

5. Reducir: tan10° + tan12° + tan10° . tan12° . tan22° C= tan15° + tan7° + tan15° . tan7° . tan22° a) 1 d) tan222°

b) 2 e) 2tan22°

c) tan15°

c) 6°

b) 6 e) 10

b) 18 e) 12

Calcular "tanC" 5 7 a) b) 7 11 8 4 e) d) 9 11

c)

Hallar: L = sec2x + sec2y + sec2z a) tan2a b) seca d) tan2a + 2 e) tan2a – 1

tanA + tanB + tanC = 7tanC

Calcular: tanA . tanB a) 7 d) 4 Colegios

146

TRILCE

b) 6 e) 3

q

A

20 3 3 d) 29 a)

9. En un triángulo ABC; se cumple:

c) 5

c) sec2a

14. Del gráfico, calcular "tanq" B

6 11

8. En un triángulo ABC: tanA = 4 y tanC = 5. Calcular "tanB" 9 9 9 a) b) c) 20 19 7 7 7 e) d) 19 20

c) 19

13. Si: x + y + z = 90°; tana = tanx + tany + tanz

7. En un triángulo ABC: tanA = 3 y tanB = 4.

c) 7

ctgx + 7tgy ctgy + 6tgz ctgz + 5tgx + + tgy tgz tgx a) 17 d) 21

1 tan2x + tan3x + tan2x . tan3x . tan5x = sec5x 2 b) 4° e) 12°

7 20

12. Si: x + y + z = 180°, calcular:

6. Señale un valor agudo de "x", si:

a) 2° d) 10°

c)

cotA + tanB cotB + 3tanC cotC + 2tanA + + tanB tanC tanA a) 5 d) 8

4. Señale la variación de: E = 5senx – 12cosx + 1 a) [– 12; 13] d) [– 11; 13]

b)


A = 2sen(x + 30°) + 3cosx b) 4 a) 17 21 d) 19 e)

7 15 13 e) 20

a)

Q = 3senx – 4cosx + 2

1 D

3 29 15 108 e) 77 b)

37º E 2 c)

C

29 45

15. En un triángulo acutángulo ABC; reducir: L=

csc2A + csc2B + csc2C – 1

a) tanA + tanB + tanC b) cotA + cotB + cotC c) tanA . tanB . tanC d) cotA . cotB . cotC e) cscA . cscB . cscC

www.trilce.edu.pe


21

¡Tú puedes! 1. En un triángulo ABC, calcular: K = a) 1

tanA + cotB tanB + cotC tanC + cotA + + tanA tanB tanC

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

2. Señale el máximo valor de: A = a(senx – cosx) + b 2 cos(45° – x) 2(a2 + b2) c) a2 + b2 a) 2 a2 + b2 b)

2ab d) 3 a2 + b2 e)

3. Si: x + y + z = p, determine el equivalente de: M=(cotx + coty)(coty + cotz)(cotz + cotx) a) secx . secy . secz d) – cscx . cscy . cscz

b) – secx . secy . secz e) – senx . seny . senz

c) cscx . cscy . cscz

4. En el gráfico, calcular: K = a2 + b2 + c2 + abc a) 2 d) 8

b) 3 e) 6

C

c) 4

B a A

5. Si: a + b + q = 90°, calcular: L = a) 1

b c

1

D

O

cos(a – b) cos(b – q) cos(q – a) + + cosa . cosb cosb . cosq cosq . cosa

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

18:10:45

Practica en casa 1. Indicar V ó F, según corresponda:

5. Reducir:

I. El máximo valor de: 13 senx + 3 cosx, es 4

tan13° . tan27° + tan27°.tan50° + tan13°.tan50° (

)

(

)

II. El mínimo valor de:

12 senx – 5cosx, es –7

III. El máximo valor de: 7 senx + 2 cosx, es 3

(

)

2. Señale el máximo valor de: G = 2 sen(x + 45°) + senx 3. Determinar el máximo valor de: E = 3cos(60° + x) + 3 senx 4. En un triángulo ABC, reducir: P = (tanA + tanB + tanC) . cotA . cotB . cotC Central: 619-8100

6. En un triángulo ABC, si: 2tanA + 2tanB = 3tanC Calcular: E = tanA . tanB 7. Si: x + y + z = p; además: cotx + coty = 2cotz 2

Calcular: P = cotx . coty

8. Reducir:

E = tan7x + tan2x + tan9x . tan7x . tan2x

9. Calcular:

E = tan20° + tan40° + 3 tan20° . tan40°

10. Calcular: E = ( 3 + tan10°)( 3 + tan20°) Unidad Unidad VIIII

147

UNIDAD IX III

Variables múltiples El milagro de los Partos múltiples se da por diversos factores que contribuyen a que ocurran los Partos múltiples, algunas de las posibles características por las cuales existen los partos múltiples: Herencia: cuando una mujer tiene antecedentes familiares de partos múltiples tiene más probabilidades de la presentación que exhibe un embarazo de este tipo.

y a las técnicas de la reproducción atendida de las cuales la transferencia de los embriones al múltiplo del útero (como la fertilización in vitro) aumenta considerablemente las probabilidades de tener un parto múltiple. Comunicación matemática

Raza: las mujeres de la raza negra tienen más probabilidades de tener partos múltiples.

•

Número de embarazos anteriores: el tener un embarazo múltiple la primera vez aumenta más la probabilidad de tener otro embarazo de este tipo.

Resolución de problemas

Embarazo retrasado: las mujeres de más edad tienen más posibilidades de tener partos múltiples.


Tratamiento de fertilidad: las medicinas que se administran para favorecer la fertilidad, de que estimulan a los ovarios para producir partos múltiples,

•

•

Identifica las diferentes variables múltiples afectadas por operadores trigonométricos. Resolver problemas combinando problemas de variable múltiple.

Demostrar fórmulas de simplificación para problemas de variable múltiple.


Identidades trigonométricas de variable doble

1

Conceptos básicos Fórmulas básicas 1. Para el seno del ángulo doble: (sen2q)

2. Para el coseno del ángulo doble: (cos2q)

sen2a = sen2q = 2senq . cosq

sen40° =

cos2f = cos2q = cos2q – sen2q

sen8b = 3. Para la tangente del ángulo doble: (tan2q) tan2q =

2tanq 1 – tan2q

cos40° = cos4b =

Fórmulas de degradación

tan2a = ——————

2sen2q = 1 – cos2q

2sen220° =

tan20° = ——————

2cos2q = 1 + cos2q

2cos25x =

Problemas resueltos 2 1. Siendo "q" un ángulo agudo, tal que: tanq = ; calcular "sen2q" 3

Resolución: De la condición: tanq =

2 3

En un triángulo rectángulo: 13

2

Luego: sen2q = 2senq . cosq 12 sen2q = 2 . 2 . 3 ⇒ sen2q = 13 13 13

q

3

2. Simplificar: C = 4senq . cosq . cos2q Resolución: Recuerde que: 2senq.cosq = sen2q En la expresión: C = 4senq . cosq . cos2q = 2 . 2senq . cosq . cos2q ⇒ Luego: C = 2sen2q . cos2q ⇒ C = sen4q 14243 1442443 sen2q sen4q 3. Simplificar: C =

1 – cos2q 1 – cos2q

Resolución:

En la expresión: 64748 1 – cos2q 1 – (cos2q – sen2q) 1 – cos2q + sen2q sen2q + sen2q 2sen2q = ⇒C=2 C= = = = 2 2 2 2 sen q 1 – cos q sen q sen q sen2q

Central: 619-8100

Unidad IX

149


4. Siendo: senq + cosq =

5 , calcular "sen2q" 4

Resolución: Recuerde que: sen2q = 2senq . cosq En la condición, elevando al cuadrado: (senq + cosq)2 =

5 2 → 1 + 2senq.cosq = 5 ⇒ 1 + sen2q = 5 ⇒ sen2q = 1 14243 4 4 4 4 sen2q

5. Del gráfico, calcular "x"

C q x

Resolución:

Completamos el gráfico (a la derecha):

Por Pitágoras:

Ahora:

DBC:

ABC:

A

BC = 5

cos2q = 5 x

3

D

B

2

......... (1) C

Pero: cos2q = cos2q – sen2q

q

5 y senq = 2 DBC: cosq = 3 3 5 4 1 Luego: cos2q = – = 9 9 9

Y en el

En (1):

q

x

5

3

D

A

1 = 5 ⇒x=9 5 9 x

q

B

2

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. Demostrar: (senx – cosx)2 = 1 – sen2x

4. Hallar "n" en la igualdad: cotx + tanx =

2. Reducir: P = cos2x + sen2x 3. Reducir: E = tan2q . cotq . (1 – tan2q)

5. Reducir: M =

n sen2x

1 + sen2q – senq

Aprende más... 1. Siendo "q" un ángulo agudo, tal que: cotq = 4, calcular: sen2q. 4 15 8 d) 17 a)

Colegios

150

TRILCE

4 17 15 e) 17 b)

c)

8 15

2 2. Siendo "a" un ángulo agudo, tal que: tana = , 5 calcular: sen2a. a)

21 29

b)

17 29

e)

d)

20 29

c)

10 29

19 29 www.trilce.edu.pe


3. Si "q" es un ángulo agudo; tal que: 1 cosq = ; calcular: A = 2 tan2q + 1 3 1 7 4 d) 7

2 7 1 e) – 7

a)

b)

c)

12. Hallar un valor agudo de "x" tal que cumple:

3 7

a) senx d) 2cosx

b) 2senx e) 0

b) senx e) 4senx

b) 10° e) 25°

13. Reducir: Q = a) senx d) 4senx

c) cosx

5. Simplificar: P = 1 – cos2x + tanx . cosx senx a) 1 d) 3senx

senx . cosx . cos2x = 3 8 a) 5° d) 20°

4. Reducir: D = sen2x . secx – tanx . cosx

c) 15°

1 – cos4x (0 < x < p ) 4 1 + cos2x b) 2senx e) sen2x

c) 3senx

14. Del gráfico, calcular "cosq". C

c) 2senx

3

6. Reducir: A = 2cot2x . tanx + tan2x a) 1 d) cosx

b) tanx e) senx

D

b) cosx e) 2cosx

8. Si: senx + cosx = a) 0,6 d) – 0,6

c) senx

1 ; calcular: sen2x 5

b) 0,8 e) – 0,4

c) – 0,8

A

a)

d)

3 5 4 5

b) e)

d) 2cos22x

b) cos2x 1 e) cos2x 2

b) – 1 e) 4

c) 2cosx

c) 2

11. Reducir: C = 8senx . cosx . cos2x . cos4x a) sen2x d) 2sen4x

b) sen4x e) 4sen4x

2 3 6 7

c) sen8x

c)

5 6

15. Del gráfico, calcular "tan q" D B

A

a) 1 2 d) 3 4

q

E 2

2q

C b) 2 e) 2 4

c) 2 3

16. Reducir: Q = cotx – tanx – 2tan2x – 4tan4x a) tan8x d) 4cot8x

b) 2tan8x e) 8cot8x

c) cot8x

17. Si: tanx + tan2x + tan3x = 1, calcular: C = cos2x + cos22x + cos32x a) 1 d) –1

Central: 619-8100

B

3

8 8 10. Reducir: L = cos x – sen x + 2sen2x . cos2x cos2x

a) 1 d) – 2

9. Reducir: C = cos4x – sen4x a) cos22x

2

q q

c) tan2x

7. Simplificar: A = (2senx – sen2x) cotx 1 – cosx a) 2 d) 2senx

1

b) 2 e) –2

c) 0

Unidad IX

151


¡Tú puedes! 1. Del gráfico, calcular "cosq ", si: CP = 3 y DQ = 5 2 a) 3 5 d) 12

3 b) 5 1 e) 6

A

D

5 c) 6

C q O

q

B

P

Q

2. Demostrar que: sec2x + csc2x + 4sec22x = 16csc24x 3. Si: tanx . tan2x + tany . tan2y + tanz . tan2z = 6, calcular: C = cotx . tan2x + coty . tan2y + cotz . tan2z a) 3

b) 6

c) 9

4. Si: tanq = 2senf, se comprueba que: sen2q = a) 6

b) 5

d) 12

e) 15

asenf . Calcular: Q = a – b + c bcos2f + c

c) 7

d) 3

e) 9

5. Reducir: Q = cos2x + cos2(15° + x) + cos2(15° – x) a) 3 + d)

3 + 1 . cos2x 2

3 + ( 3 + 1)cos2x 2

3 3 + 3 cos2x c) + 3 + 1 . cos2x 2 2 2 1 e) + ( 3 + 1)cos2x 2

b)

18:10:45

Practica en casa 2 1. Siendo "q" un ángulo agudo, tal que: tanq = , 3 Calcular: sen2q

10. Reducir: C = 1 – cos2x 1 + cos2x

2. Siendo "q" un ángulo agudo, tal que: tanq = 1 , 6 Calcular: cos2q

11. Siendo: tanx + cotx = 4, calcular: sen2x

3. Demostrar que: (senx + cosx)2 = 1 + sen2x

1 12. Siendo: senx – cosx = , calcular: sen2x 2

4. Demostrar que: tanx + cotx = 2csc2x 5. Demostrar que: cos4x – sen4x = cos2x 6. Demostrar que: 1 – cos2x = 2sen2x 7. Demostrar que: cotx - tanx = 2cot2x 8. Simplificar: C = 8senq . cosq . cos2q

Colegios

152

9. Simplificar: C = senx . cos3x – sen3x . cosx

TRILCE

13. Simplificar: M = 1 + cos2x 2cosx 14. Reducir:

P = [(senx – cosx)2 + cos2x – 1]2 + sen4x

15. Reducir: K =

cos2q – sen2q 2 + tan45°. 2senqcosq

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Identidades trigonométricas de variable mitad

2

Conceptos básicos Fórmulas básicas x ⇒ x

2

Fórmulas especiales o racionalizadas

x sen = ± 2

1 – cosx 2

x tan = cscx – cotx 2

x cos = ± 2

1 + cosx 2

x cot = cscx + cotx 2

x tan = ± 2

1 – cosx 1 + cosx

En cualquiera de los tres casos, el signo a emplear (±) dependerá del cuadrante en el que se ubique el ángulo "x/2" y de la R.T. que se va a calcular. Ejemplos:

•

sen40°

x = 40° ⇒ x = 80°, además: sen40° es (+) → sen40° = + 2

•

cos100°

x = 100° ⇒ x = 200°, además: cos100° es (–) → cos100° = – 2

•

tan96°

x = 96° ⇒ x = 192°, además; tan96° es (–) → tan96° = – 2

1 – cos80° 2 1 + cos200° 2

1 – cos192° 1 + cos192°

Problemas resueltos 1 1. Sabiendo que: 0° < a < 90° ∧ cosa = , calcular "sen a " 5 2 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5 a) 0,1 b) Resolución: 1 Tenemos que: cosa = ; como: 0º < a < 90º → 0° < a < 45° ⇒ a ∈ IC, sen a es (+) 5 2 2 2 Luego: sen a = + 2

Central: 619-8100

1 – cosa = + 2

1 – (1/5) = + 2

4 ⇒ sen a = 0,4 2 10

Unidad IX

153


3 2. Sabiendo que: 90° < a < 180° ∧ cosa = – , calcular "cos a " 4 2 a)

1 3

b)

1 6

c)

1 5

d)

1 7

e)

1 8

Resolución: Tenemos que: 90º < a < 180º ⇒ 45° < a < 90° ⇒ a ∈ IC, cos a es (+) 2 2 2 Luego: cos a = + 2

1 + cosa ; pero: cosa = – 3 ⇒ cos a = + 4 2 2

1 – (3/4) ⇒ cos a = 2 2

1 8

3. Si: 180° < q < 270° ∧ senq = – 5 , calcular "cos q " 2 3 a) –

1 3

b) –

1 4

c) –

1 6

d) –

1 8

e) –

1 2

Resolución: Note que: 180° < q < 270° ⇒ 90° < q < 135° ⇒ q ∈ IIC ⇒ cos q es (–) 2 2 2 Luego: cos q = – 2

1 + cosq ... (1) 2

q

Pero, no conocemos "cosq", sino: senq = – 5 (q ∈ IIIC) 3

x 3

y Como: senq = – 5 = ; y = – 5 ; r = 3 ⇒ x = – 2 (ya que: x2 + y2 = r2) r 3 Luego: cosq = cos q = – 2

(– 2; – 5 )

x 2 = – ⇒ en (1): r 3

1 + cosq = – 2

y

1 + (– 2/3) ⇒ cos q = – 2 2

1 – 2/3 ⇒ cos q = – 2 2

1 6

4. Reducir: cscx + csc2x + csc4x + csc8x a) cotx – cot8x

b) cotx – cot16x

x c) cot – cot16x 2

x d) cot – cot8x 2

e) cotx + cot8x

Resolución:

En los casos de sumas de cosecantes de ángulos que se van duplicando; se recomienda sumarle y restarle la cotangente del mayor ángulo, así: C = cscx + csc2x + csc4x + csc8x + cot8x – cot8x = cscx + csc2x + csc4x + cot4x – cot8x 1442443 1442443 cot4x cot2x Hemos aplicado: cscq + cotq = cotq 2 C = cscx + csc2x + cot2x – cot8x = cscx + cotx – cot8x 1442443 1442443 x cotx cot 2 Colegios

154

TRILCE

⇒ C = cot x – cot8x 2

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5. Siendo: csc2x + csc2y + csc2z = cot2x + cot2y + cot2z, calcular: C = tanx + tany tanz a) 1

b) 2

c) –1

d) –2

e) –

2

1 2

Resolución:

De la condición:

csc2x + csc2y + csc2z = cot2x + cot2y + cot2z

csc2x + csc2y + csc2z – cot2x – cot2y – cot2z = 0

Ordenando: csc2x – cot2x + csc2y – cot2y + csc2z – cot2z = 0 1442443 1442443 1442443 tanx tany tanz

Quedando: tanx + tany + tanz = 0 ⇒ tanx + tany = – tanz Piden: C = tanx + tany = – tanz ⇒ C = – 1 tanz tanz

6. Reducir: C =

sec40° – tan40° cot65°

3 a) 1 b) 2 c)

1 d) 2 3 e) 2

Resolución: En la expresión: C = Recuerde que: Luego: C =

sec40° – tan40° cot65°

sec40° = csc50° tan40° = cot50°

ángulos complementarios

csc50° – cot50° cot65°

Pero: cscx – cotx = tan

x 2

⇒C=

tan25° , además: tan25° = cot65° (suman 90°) \ C = 1 cot65°

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. Si: cosq = – lar: sen q 2

2 , además: q ∈ p ; p . Calcu7 2

1 2. Si: cosa = , además: a ∈ 3p ; 2p . Calcu5 2

4. Siendo "q" agudo y además: cosq = mine: cot q 2

m , detern

5. En el gráfico, hallar "cot q ", si el perímetro es 2 b cm.

lar: tan a 2

a cm

3. Hallar "A . B", si:

A . cotBx = cscx + csc2x + cot2x

Central: 619-8100

q

Unidad IX

155


Aprende más... 1. Si: cosq = a)

d)

1 (0° < q < 90°), calcular "sen q " 6 2

5 6 5 12

b)

e)

1 6 7 12

c)

1 b) – 7 3 e) – 7

c)

2 7

d) –

b) – e)

1 5

1 4

c) –

1 5

0,8 b) – 0,6 c) e) – 0,4

156

S = cscx + csc2x + csc4x + csc8x + csc16x x b) cot – cot16x 2 d) cotx – cot16x

b) cot20° e) cot10°

c) tan25°

a) cot10° d) tan40°

b) cot20° e) tan20°

c) cot40°

csc2a + csc2b + csc2q = cot2a + cot2b + cot2q

a) ± ab

b) ±

a 2b

e) ±

Colegios

c) cos20°

13. ¿A qué es igual: H = sec10° + tan10°?

1,4 b) – 1,2 c) e) – 1,6

a–b , hallar "tan(45° + q )" 7. Si: senq = a+b 2

TRILCE

b) sen10° e) – cot10°

14. Si:

1 6. Si: senq = , calcular "tan(45° – q )" 3 2 1 1 1 b) ± c) ± a) ± 3 2 2 1 1 d) ± e) ± 5 6

d) ±

c) 2senx

S = csc20° + csc40° + csc80° – cot10°

a) tan20° d) cot25°

calcular "tan f " 2 a) 1,2 d) – 1,4

b) cos2x e) cosx

12. ¿A qué es igual: M = sec40° – tan40°?

1 5. Si: cosf = – (180° < f < 270°), 6

x 2

e) tanx

a) cot x +cot16x 2 c) cotx + cot16x x e) tan – cot16x 2

calcular "tan q " 2 a) 0,6 d) – 0,8

c) 2tan

10. Simplificar:

4. Si: secq = 9 (270° < q < 360°),

a) sen2x d) 2cosx

2

1 3 1 6

x 2

11. Simplificar:

calcular "cos q " a) –

b) cot

9. Reducir: S = (csc2x + csc4x + cot4x)senx

a) tan10° d) –tan10°

3. Si: tanq = 5 (180° < q < 270°), 2

x 2 x d) 2cot 2

a) tan

1 12

1 (270° < b < 360°), calcular 2. Si: cosb = 7 "cosb" 2 1 a) 7 2 d) – 7

8. Reducir: S=cscx+csc2x+cot2x

a b b 2a

c) ±

b a

Hallar: H = a) 1 d) – 3

tan3a + tan3b + tan3q tana . tanb . tanq b) 2 e) 9

c) 3

15. Si: cscx + cscy + cscz = 2(cotx + coty + cotz)

Calcular "n" en la igualdad: tan x + tany + tanz = n(cotx + coty + cotz) 2 2 2 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

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2

¡Tú puedes! 1. Del gráfico, calcular "tan q " 2 6 c) a) 5 b) d) 6 6

e) 6 5

5 5

5

1

q a–b , hallar "tan( p + q )" a+b 2 2

2. Si: cosq = a) ±

a b

b a

c) ±

1 – sen70° +

1 + sen70°

b) cos35°

c) 2

b) ±

3. Reducir: M = a) sen35°

1 a

1 b

d) ±

e) ab

d) 2sen35°

e) 2cos35°

d) –3

e) 0

d) a . b . c

e) 2a . b . c

4. Si: csc2a + csc2b + csc2q + cot2a + cot2b + cot2q = 0

Calcular: C = a) – 1

b) 1

5. Si: cosa =

cota + cotb cotb + cotq cotq + cota + + cotq cota cotb c) 3

c b a ; cosb = ; cosq = a+b c+a b+c

Hallar: P = tan2 a + tan2 b + tan2 q 2 2 2 a) 0

b) 1

c) a + b + c

18:10:45

Practica en casa 1. Demostrar: sen q = ± 2 2. Complete: cos140° = 3. Complete: tan50° =

1 – cosq 2 1 + cos 2 1 – cos 1 + cos

4. Si: cosf = –

calcular: tanf 2 5. Si: tanq = 5 (180° < q < 270°), 2

Central: 619-8100

1 (180° < f < 270°), 6

calcular: tan q 2 Unidad IX

157


6. Si: sena = – 15 (270° < a < 360°), 4

calcular "tan a "

13. Simplificar:

calcular: sen q 2

1-

E=

x 8. Si se cumple: sen = + 5 (270°
12. Reducir: E =

2

7. Si: secq = 9 (270° < q < 360°),

x x cot – csc 4 2 x cot 2

hallar: cosx

1+

1 + cos 70° 2 - cos 40° 1 1+ 2 2

14. Simplificar:

9. Reducir: S = csc x +cscx + csc2x + cot2x 2

A = csc 4x + csc 2x + csc 2x - csc 4x tgx + ctg4x ctgx - ctg4x

10. Reducir:

cos a f=csc20º–cot20º – csc160º+csc320º+csc640º+cot40º 15. La expresión " 1 - sena ", es equivalente a:

11. Marca la expresión correcta: a) sen100° + cos100° = 1 + sen20° b) sen170° + cos170° = c) sen100° + cos100° = –

1 + sen20°

d) sen170° + cos170° = –

1 – sen20°

e) sen140° + cos140° =

Colegios

158

1 – sen340º

TRILCE

a) tan(a – p ) 4

b) tan(α+p ) 4

c) 2tan(α+p ) 4

d) tan(a + p ) 2 4

e) tan(a – p ) 2 4

1 – cos10°

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Identidades trigonométricas de variable triple

3

Conceptos básicos Fórmulas básicas 1.

sen3x = 3senx – 4sen3x

2.

cos3x = 4cos3x – 3cosx

3.

3tanx – tan3x tan3x = 1 – 3tan2x

sen24° = 3sen8° – 4sen38° = cos39° = 4cos312° – 3cos12° = tan42° = 3tan7° – tan37° = 1 – 3tan27°

Fórmulas especiales sen3x = senx(2cos2x + 1)

sen36° =

cos3x = cosx(2cos2x – 1)

cos18° =

Propiedades 4senx . sen(60° – x) . sen(60° + x) = sen3x 4cosx . cos(60° – x) . cos(60° + x) = cos3x

tanx . tan(60° – x) . tan(60° + x) = tan3x

Degradación 4sen3x = 3senx – sen3x

4sen310° =

4cos3x = 3cosx + cos3x

4cos316° =

Central: 619-8100

Unidad IX

159


Síntesis teórica

Problemas resueltos 1 1. Siendo: senb = ; calcular "sen3b" 3 a)

1 5 2 13 23 b) c) d) e) 27 27 9 27 27

Resolución: Sabiendo que: sen3b = 3senb – 4sen3b, reemplazamos: senb = Luego: sen3b = 3

1 3

1 13 –4 ⇒ Operando: sen3b = 23 3 3 27

1 2. Si: cosa = ; calcular: J = cos3a . seca 4 a)

11 4

Colegios

160

TRILCE

b) –

11 7 c) 4 4

7 d) – 4

e) –

5 4 www.trilce.edu.pe


Resolución:

3

Sabemos que: cos3a = 4cos3a – 3cosa Luego: cos3a . seca = (4cos3a – 3cosa)seca = (4cos2a – 3)cosa . seca 14243 14243 J 1 Queda: J = 4cos2a – 3 = 4

1 ("a" es agudo), calcular "tan3a" 3

3. Siendo: cosa = a) 2 5

12 1 11 – 3 = – 3 ⇒ J =– 4 4 4

b) – 2 5

2 c) – 2 d) 4 4

e) – 2 3

Resolución:

Piden: tan3a =

a

2

⇒ tana = 2

1

3tana – tan3a 1 – 3tan2a

Reemplazando: tan3a =

2 2 3( 2 ) – ( 2 )3 3( 2 ) – 2 2 ⇒ tan3a = – = = 2 1 – 3(2) –5 5 1 – 3( 2 )

5 (b ∈ IIIC), calcular: J = tan3b . cotb 3

4. Si: senb = – a)

3

1= 1 ⇒ 3 3

Del dato: cosa =

7 11

b) –

7 5 c) 11 11

d) –

5 11

e) –

3 11

Resolución:

Tenemos: senb = –

5 (b ∈ IIIC) ⇒ 3

3

5 ⇒ tanb =

b

5 2

2

Piden: J = tan3b . cotb

J=

tan3b

3tanb – 1 – 3tan2b

. cotb =

1 64748

3– . tanb . cotb 1 – 3tan2b

5 7 7 4 4 3– J= J =– Queda: J = = 1 – 3tan2b 5 ⇒ 11 ⇒ 11 1 – 3. – 4 4 tan2b

tan2b

5. Reducir: C = a) senx Central: 619-8100

3–

sen3x + senx cos2x b) 2senx

c) 4senx

d) 2tanx

e) 4tanx Unidad IX

161


Resolución: En la expresión: C =

sen3x + senx cos2x

Reemplazando la fórmula: C =

Factorizando: C =

Luego: C =

6. Reducir: J =

4senx(1 – sen2x) ; pero: 1 – sen2x = cos2x 2 cos x

4senx . cos2x ⇒ C = 4 senx cos2x cos3x + cosx cos2x

a) cosx

3senx – 4sen3x + senx 4senx – 4sen3x ⇒ C = cos2x cos2x

b) senx

c) 2cosx

d) 2senx

e) sen2x

Resolución: En la expresión: J =

cos3x + cosx 4cos3x – 3cosx + cosx 4cos3x – 2cosx = ⇒J= cos2x cos2x cos2x

Factorizando "2cosx": J =

2cosx(2cos2x – 1) ; pero: 2cos2x – 1 = cos2x ⇒ J = 2cosx cos2x

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 3. Calcular: cot10° . cot50° . cot70°

1. Indicar con V ó F: 1 ( 3sen20° – 4sen320° = ......................... 2 1 ( 4cos340° – 3cos40° = – . ..................... 2

) )

4. Hallar "A + B", si: sen3q = senq(AcosBq + 1) 5. Hallar "A.B", si: cosAq = cosq(2cos2q – B)

2. Reducir:

cosx . cos(60° – x) . cos(60° + x) . sec3x

Aprende más... 1 1. Si: sena = , calcular "sen3a" 5 51 61 71 b) c) 125 125 125 21 41 e) d) 125 125 a)

1 2. Si: cosq = , calcular "cos3q" 3 19 a) 27 23 d) – 27

Colegios

162

TRILCE

19 17 b) – c) 27 27 17 e) – 27

3. Si: tanq = 2, calcular "tan3q" 3 2 b) 11 11 3 5 e) – d) – 11 11

a)

c) –

2 11

4. Si: senb = 2 , calcular: S = sen3b . cscb 3 7 9 5 d) 3

a)

17 9 7 e) 3 b)

c)

19 9

www.trilce.edu.pe


5. Si: cosb = 5 , calcular: S = cos3b . secb 3 7 9 8 d) – 9

7 9 1 e) – 3

a)

b) –

c)

sen3x – 2senx 1 – 4sen2x

a) senx

b) 2senx

1 senx 4

8 9

c)

7. Reducir: S =

cosx – cos3x sen2x

a) senx d) 2cosx

b) 2senx e) 4senx

b) 15° e) 60°

cos3x cosx

A

11. Reducir la expresión: E = a) 2cos2x d) 4cos2x

b) 2cosx e) 2

c)

m+1 m–2

3x m

n–m n + m n–m d) n

x

C

c)

n–m m

n

n+m n–m n–m e) 2m b)

15. En el gráfico, determine:

c) n – 2

m–1 m–2 m–2 e) m

b)

sen320° + cos310° sen20° + cos10°

a)

m n

B

cos3x = m, hallar: S = tan3x . cotx cosx

m m + 1 m+2 d) m

c) n – 2

14. Del gráfico, calcular: 2cos2x B

c) 20°

b) n + 1 e) 2n – 1

a)

b) n + 4 e) n – 6

c) cosx

9. Si: sen3x = n.senx, hallar: S =

10. Si:

cos3x cos3y + cosx cosy

2 1 3 c) a) b) 3 4 2 3 4 d) e) 4 3

1 senx 2

sen3x 8. Si: = 2 ("x" es agudo), ¿cuánto vale "x"? senx

a) n – 1 d) n + 2

Halle: C =

13. Reducir: C =

e) 4senx

a) 10° d) 30°

sen3x sen3y + =n senx seny

a) n + 2 d) n – 4

6. Reducir: S =

d)

12. Si:

3

23

9 A

3q m

H

n

q

C

1 5 9 b) c) 23 23 23 3 7 d) e) 23 23 a)

sen3x cos3x + senx cosx c) 4cosx

¡Tú puedes! 1 1. Reducir: Q = cos3x + cos3(60° – x) + cos3(60° + x) + cos3x 4 a) 3cosx

2. Calcular: K = a) 3 Central: 619-8100

3 3 2 2 b) cosx c) cosx d) cosx e) cosx 2 4 3 9 4cos3(60° – x) + cos3x cos(60° – x) 3 2 3 4 d) e) b) c) 2 3 4 3 Unidad IX

163


B

3. Del gráfico, hallar CD. a) 1,23 d) 3,23

b) 2,23 e) 2,32

c) 1,36 16

A 4. Hallar "x", si: a) 45°

24° 36°

6°

D

E

tanx tan74° = tan14° tan44° b) 42°

c) 39°

d) 60°

e) 35°

5. En el gráfico, hallar "x" a) 18° d) 6°

C

B

b) 36° e) 12°

c) 54°

54° 84° A

C

24° x D 18:10:45

Practica en casa 1. Complete: sen 24º = sen 8º ( 2. Complete: cos 21º =

. cos 16° +

(2 cos 14º – 1)

3. Complete: tan2q.tan(60° – 2q).tan(60° + 2q) = tan 1 4. Si: senb = , calcular: sen3b 4 sen3q 5. Si: cosq = 2 , calcular: C = senq 3 6. Si: senq = 3sen3q, halle: cos2q. 4 7. Si: sen3q . cscq = , calcule: cos2q 3 8. Reducir: S =

Colegios

164

TRILCE

)

9. Reducir: S =

cos3x + cosx cos2x

10. Calcular: S = sen20° . sen40° . sen80° 11. Calcular: S = cos20° . cos40° . cos80° 12. Si:

sen3a = a + bsen2a, calcule: a + b. sena

13. Si:

cos3f = m + nsen2f, determine: m – n cosf

14. Calcule: L = sec210° . sec250° . sec270° 15. Hallar "x" en:

tanx tan80° = tan20° tan50°

sen3x + senx cos2x

www.trilce.edu.pe

UNIDAD UNIDADIII X

Transformando, ¿por qué no? Transformers En la década del 70, la compañía japonesa Takara inició la producción de una serie de juguetes con estas características. Estos juguetes conocidos como Diaciones y Microman, se comercializaron en los mercados de Japón y Norteamérica principalmente. En 1982, la compañía Hasbro, adquirió los derechos de los diseños de las figuras abriendo una línea comercial que sigue vigente, mientras Takara conservaba los derechos para la producción de las figuras en Japón. El éxito de la línea de juguetes abrió el camino para el uso de los transformers en otros medios como el cómic, la animación, el cine y los videojuegos. En 1984 hizo su debut la serie de animación Transformers. Comunicación matemática •

Relacionar correctamente operaciones de suma y diferencia a producto y viceversa.


Analizar las diferentes maneras de simplificación mediante transformaciones.


Resolver problemas de simplificación sobre transformaciones trigonométricas.

Transformaciones trigonométricas I

Transformaciones trigonométricas I Conceptos básicos Caso I: de suma o diferencia a producto 1. Suma de senos senx + seny = 2sen

x+y x–y . cos 2 2

Demostración

sen(a + b) = sena . cosb + senb . cosa sen(a – b) = sena . cosb – senb . cosa

Sabemos que:

Sumando:

sen(a + b) + sen(a – b) = 2sena . cosb......................................... (1)

Hacemos:

a+b=x a–b=y

2a = x + y ⇒ a = 2b = x – y ⇒ b =

En (1): senx + seny = 2sen

x+y 2 x–y 2

x+y x–y . cos 2 2

Ejemplos:

7x + x 7x – x . cos = 2 sen4x . cos3x 2 2

•

sen7x + senx = 2sen

•

sen50° + sen12° = 2sen

50° + 12° 50° – 12° . cos = 2 sen31° . cos19° 2 2

2. Resta de senos senx – seny = 2sen

x–y x+y . cos 2 2

Demostración

sen(a + b) = sena . cosb + senb . cosa sen(a – b) = sena . cosb – senb . cosa

A partir de:

Restando:

sen(a + b) – sen(a – b) = 2senb . cosa......................................... (1)

Hacemos:

a+b=x a–b=y

2b = x – y ⇒ b =

En (1): senx – seny = 2sen Colegios

166

2a = x + y ⇒ a =

TRILCE

x+y 2 x–y 2

x–y x+y . cos 2 2 www.trilce.edu.pe


Ejemplos:

•

•

sen7x – sen3x = 2sen

1

7x – 3x 7x + 3x . cos = 2sen2x . cos5x 2 2 32° – 12° 32° + 12° . cos = 2 sen10° . cos22° 2 2

sen32° – sen12° = 2sen

3. Suma de cosenos cosx + cosy = 2cos

x+y x–y . cos 2 2

Demostración

cos(a + b) = cosa . cosb – sena . senb cos(a – b) = cosa . cosb + sena . senb

Sabemos que:

Sumando:

cos(a + b) + cos(a – b) = 2cosa . cosb......................................... (1)

Hacemos:

a+b=x a–b=y

2a = x + y ⇒ a = 2b = x – y ⇒ b =

En (1): cosx + cosy = 2cos

x+y 2 x–y 2

x+y x–y . cos 2 2

Ejemplos:

11x + 7x 11x – 7x . cos = 2cos9x . cos2x 2 2

•

cos11x + cos7x = 2cos

•

cos42° + cos12° = 2cos

42° + 12° 42° – 12° . cos = 2cos27° . cos15° 2 2

4. Resta de cosenos cosx – cosy = 2sen

y–x y+x . sen 2 2

Demostración

cos(a – b) = cosa . cosb + sena . senb cos(a + b) = cosa . cosb – sena . senb

Partimos de:

Restando:

cos(a – b) – cos(a + b) = 2sena . senb......................................... (1)

Hacemos:

a–b=x a+b=y

2a = y + x ⇒ a = 2b = y – x ⇒ b =

y+x 2 y–x 2

En (1):

cosx – cosy = 2sen

y+x y–x . sen 2 2

Es decir:

cosx – cosy = 2sen

y–x y+x . sen 2 2

Central: 619-8100

(Note el orden de la diferencia) Unidad X

167


Ejemplos:

5x – x 5x + x . sen = 2sen2x . sen3x 2 2

•

cosx – cos5x = 2sen

•

cos7x – cos3x = 2sen

•

3x – 7x 3x + 7x . sen = 2sen(–2x) . sen5x = – 2sen2x . sen5x 2 2

cos10° – cos38° = 2sen

38° – 10° 38° + 10° . sen = 2 sen14° . sen24° 2 2

Problemas resueltos 1. Simplificar: Q = a)

sen6x + sen4x sen7x + sen5x

sen4x sen5x

b)

sen5x sen5x senx sen10x c) d) e) sen6x sen7x sen7x sen12x

Resolución: 6x + 4x 6x – 4x cos 2 2 2 sen5x . cosx Transformando: Q = = 2 sen6x . cosx 7x + 5x 7x – 5x 2sen cos 2 2 2sen

2. Simplificar: J =

⇒Q=

sen5x sen6x

sen7q – sen3q cos7q + cos3q

a) tanq

b) tan2q

c) tan3q

d) tan5q

e) tan7q

Resolución: Transformando la expresión: sen7q – sen3q = cos7q + cos3q

J=

(Recuerde que:

3. Simplificar: J =

2sen 7q – 3q cos 7q + 3q 2 2 2cos 7q + 3q cos 7q – 3q 2 2

=

2 sen2q . cos5q sen2q = ⇒ J = tan2q 2 cos5q . cos2q cos2q

senx = tanx) cosx sen7x – sen3x cos7x – cos3x

a) cot5x

b) cot2x

c) – cot2x

d) – cot5x

e) – cot3x

Resolución: En la expresión: J =

sen7x – sen3x cos7x – cos3x

Pasamos a producto: 7x – 3x 7x + 3x cos 2 2 3x – 7x 3x + 7x 2sen sen 2 2 2sen

J=

2 sen2x . cos5x 2 sen(–2x) . sen5x

Recuerde que: sen(–b) = – senb

sen2x . cos5x – sen2x . sen5x

Reduciendo: J = – Colegios

168

=

TRILCE

cos5x = – cot5x sen5x www.trilce.edu.pe


4. En un triángulo ABC, reducir: J = a) tanC

sen2A + sen2B cos(A – B)

b) – tanC

c) senC

d) 2senC

1

e) – 2senC

Resolución: Note que en un triángulo ABC: A + B + C = 180° En la expresión: J =

→

2sen

sen2A + sen2B cos(A – B)

2A + 2B 2A – 2B cos 2 2 = cos(A – B)

2sen(A + B) . cos(A – B) cos(A – B)

Luego: J = 2sen(A + B) ⇒ J = 2sen(180° – C) ⇒ J = 2senC 123 14243 ojo IIC

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. Reducir: E = (cosx – cos5x) . sec2x 2. Calcular: Q = (sen40° – sen20°) . csc10°

4. Simplificar: U = sen13x - sen3x cos 3x - cos 13x 5. Transforme a producto:

3. Hallar "A + B", en:

T = senx + sen5x + sen9x + sen13x

cos5x – cos7x = 2senAx . senBx

Aprende más... sen7x + senx 1. Simplificar: J = cos 3x a) sen3x d) 2sen4x

b) 2sen3x e) 2cos4x

5. Calcular "x", si:

b) tan3b e) cot3b

3. Reducir: M =

cosx – cos3x sen2x

a) senx d) 2senx

b) sen3x e) 2cosx

a) c) tan2b

Central: 619-8100

b) 15° e) 30°

c) 20°

2 2

b) 2

d) 2 e)

2 4

c)

1 2

7. Reducir: E = 2(cos5x + cos3x)(sen3x – senx) a) sen2x d) sen8x

c) 2sen3x

sen5x + senx 4. Calcular "x", si: cos 5x + cos x = 3 a) 10° d) 25°

b) 15° e) 30°

6. Reducir: E = (sen20° + cos20°) . sec25°

sen4b + sen2b 2. Reducir: C = cos 4b + cos 2b a) tanb d) cot2b

a) 10° d) 25°

c) sen4x

cos 5x + cos x = 1 cos 2x

c) 20°

b) sen4x e) sen16x

c) sen6x

8. Transforme a producto:

C = senx + sen3x + sen5x + sen7x a) cosx.cos2x.cos4x b) cosx.cos2x.sen4x c) 2cosx.cos2x.sen4x d) 4cosx.cos2x.cos4x e) 4cosx.cos2x.sen4x Unidad X

169


9. Transformar a producto:

senq + sen5q + sen9q 12. Reducir: L = cos q + cos 5q + cos 9q

L = sen2° + sen4° + sen6° + sen8° a) 2cos1° . cos2° . cos3° b) 4cos1° . cos2° . cos3° c) 2cos1° . cos2° . sen5° d) 4cos1° . cos2° . sen5° e) cos1° . cos2° . cos5°

a) tanq d) cot9q

13. Simplificar: L =

10. Transforme a producto:

a) sen2x d) 4senx

L = cos5° + cos10° + cos15° + cos20° a) 2cos2°30'.cos5°.cos12°30' b) 4cos2°30'.cos5°.cos12°30' c) 2cos2°30'.sen5°.cos12°30' d) 4cos2°30'.sen5°.cos12°30' e) 4sen2°30'.cos5°.cos12°30'

b) 2senx e) sen5x

c) tan9q

senx + 2sen2x + sen3x cos2 x 2

b) 2sen2x e) 2senx

c) 4sen2x

14. Transformar a producto: E = 3 + 5sen13° a) 5sen25°.cos12° b) 10sen25°.cos12° c) 10sen50°.cos24° d) 5cos50°.sen12° e) 10sen25°.cos6° 15. Hallar el máximo valor de:

senx + sen3x + sen5x 11. Reducir: C = 2 cos x + 1 a) senx d) 2sen3x

b) tan5q e) cot5q

P = sen(20° + x) + sen(40° – x)

c) sen3x

1 2

a) 1

b)

d) 3 2

e) –1

c) 3

¡Tú puedes! 1. Señale el valor máximo de: M = cos(50° + x) + cos(10° – x) y halle un valor de "x" para el cual se da dicho máximo. a) 1; 20°

b) 1; – 20°

c) 3 ; 20°

d) 3 , – 20°

2. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada en función de "b". a) sen22b d) 2

sen32b

sen22b

b) 2 e) 2cos22b

c) sen32b

e) B

3 ; – 20 2

y

3b

M

P

Q

b

N

A'

x A

B' 3. Si:

senm2x = sen5x + 3sen3x + 2senx, hallar: K = m . sen(m + n)° – n . cos(m + n)° sennx

7 c) 5 3 a) – 5 b) 2 2 2 Colegios

170

TRILCE

5 d) – 5 3 e) 2 2 www.trilce.edu.pe


4. Simplificar: M = a) cos3x

cosx + 2cos3x + cos5x cos2x b) 2cos3x

c) 4cos3x

d) cos2x

e) 2cos2x

BC 5. En el gráfico, hallar: AB a) tan5x d) tan 3x 2

5x b) tan 2 e) tan10x

1

C c) tan3x

D

E F A

x

x

x

x

B 18:10:45

Practica en casa 1. Demostrar: sen40° + sen20° = cos10° 2. Demostrar: cos50° + cos40° = 2 . cos5° 3. Demostrar: sen80° – sen40° = sen20° 4. Demostrar: cos20° – cos70° = 2 sen25° 5. Simplificar: M = sen15x + sen5x cos 5x 6. Reducir: K = (cos7x + cosx) . sec4x 7. Transforme a producto:

C = cosx + cos5x + cos9x + cos13x

8. Determine el equivalente de:

M = sen2x + sen4x + sen6x + sen8x

sen2b + sen4b + sen6b 10. Reducir: L = cos 2b + cos 4b + cos 6b 11. Simplificar: P = sen8x + sen10x + sen12x cos 8x + cos 10x + cos 12x 12. Simplificar: L = cos 2x + 2 cos 4x + cos 6x cos 5x + cos 3x 13. Simplificar: E = sen5x + sen10x + sen15x 2 cos 5x + 1 14. Transformar a producto: M = 1 + 2 sen10° 15. En un triángulo ABC, si: A – B = p 3

Reducir: E = sen2A + sen2B

cos 10° + cos 20° + cos 30° 9. Reducir: C = 2 cos 10° + 1

Central: 619-8100

Unidad X

171

Transformaciones trigonométricas II

Transformaciones trigonométricas II Conceptos básicos Caso II: De producto a suma o diferencia 1. Producto de senos y cosenos 2senx . cosy = sen(x + y) + sen(x – y)

Demostración Partimos de:

Sumando:

Es decir:

sen(x + y) = senx . cosy + seny . cosx sen(x – y) = senx . cosy – seny . cosx sen(x + y) + sen(x – y) = 2senx . cosy 2senx . cosy = sen(x + y) + sen(x – y)

Ejemplos:

•

2sen3x . cosx = sen(3x + x) + sen(3x – x) = sen4x + sen2x

•

2sen10° . cos2° = sen(10° + 2°) + sen(10° – 2°) = sen12° + sen8°

2. Producto de cosenos 2cosx . cosy = cos(x + y) + cos(x – y) Demostración Partimos de:

Sumando:

Es decir:

cos(x + y) = cosx . cosy – senx . seny cos(x – y) = cosx . cosy + senx . seny cos(x + y) + cos(x – y) = 2cosx . cosy 2cosx . cosy = cos(x + y) + cos(x – y)

Ejemplos:

•

2cos3x . cosx = cos(3x + x) + cos(3x – x) = cos4x + cos2x

•

2cos4b . cosb = cos(4b + b) + cos(4b – b) = cos5b + cos3b

3. Productos de senos 2senx . seny = cos(x – y) – cos(x + y) Demostración Sabemos que:

Restando:

Es decir:

Colegios

172

TRILCE

cos(x – y) = cosx . cosy + senx . seny cos(x + y) = cosx . cosy – senx . seny cos(x – y) – cos(x + y) = 2senx . seny 2senx . seny = cos(x – y) – cos(x + y)

www.trilce.edu.pe


Ejemplos:

•

2sen4b . senb = cos(4b – b) – cos(4b + b) = cos3b – cos5b

•

2sen3q . sen2q = cos(3q – 2q) – cos(3q + 2q) = cosq – cos5q

2

4. Sumatoria de senos y cosenos de ángulos en progresión aritmética

Para simplificar sumatorias de senos o cosenos de ángulos en progresión aritmética se debe reconocer: P n r u

→ → → →

primer ángulo # de términos razón de la P.A. de los ángulos último ángulo

Luego aplicamos: nr 2 senP + sen(P + r) + sen(P + 2r) + … + senu = sen P + u r 2 sen 2 sen

nr 2 cosP + cos(P + r) + cos(P + 2r) + … + cosu = cos P + u r 2 sen 2 sen

Ejemplos:

•

sen2° + sen4° + sen6° + ... + sen48°

P = 2°; n = 24; r = 2°; u = 48° 24,2° sen24° . sen25° 2 sen 2° + 48° = 2° sen1° 2 sen 2

sen = •

cos4° + cos8° + cos12° + ... + cos48°

P = 4°; n = 12; r = 4°; u = 48° 12,4° sen24° . cos26° 2 cos 4° + 48° = 4° sen2° 2 sen 2

sen =

Central: 619-8100

Unidad X

173


Síntesis teórica

Problemas resueltos 1. Reducir: A = 2sen6x . cos2x – sen8x a) cos4x

b) cot4x

c) tan4x

d) sen4x

e) csc2x

Resolución: Transformando la expresión: A = sen(6x + 2x) + sen(6x – 2x) – sen8x = sen8x + sen4x – sen8x ⇒ A = sen4x 2. Reducir: J =

2sen4x . cosx – sen5x 2cos5x . cos2x – cos7x

a) tanx

b) tan2x

c) tan3x

d) tan4x

e) tan5x

Resolución: Transformando la expresión: J=

sen(4x + x) + sen(4x – x) – sen5x sen3x ⇒ J = tan3x = sen5x + sen3x – sen5x = cos(5x + 2x) + cos(5x – 2x) – cos7x cos3x cos7x + cos3x – cos7x

3. Reducir: J =

sen5x . senx + cos7x . cosx cos6x

a) cosx

b) 2cosx

c) cos2x

d) 2cos2x

e) cos4x

Resolución: En la expresión: Colegios

174

TRILCE

J= 2J =

sen5x . senx + cos7x . cosx ... multiplicamos × 2 cos6x 2sen5x . senx + 2cos7x . cosx cos6x www.trilce.edu.pe


Transformando:

2J =

cos(5x – x) – cos(5x + x) + cos(7x + x) + cos(7x – x) = cos4x – cos6x + cos8x + cos6x cos6x cos6x

2J =

cos8x + cos4x cos6x

2

Transformando a producto: cos8x + cos4x = 2cos

8x + 4x 8x – 4x . cos = 2cos6x . cos2x ⇒ 2J = 2cos6x . cos2x ⇒ J = cos2x 2 2 cos6x

4. Simplificar: J = sen3x . cos2x + sen3x . cos4x + senx . cos6x a) 0

b) senx

c) sen5x

d) sen3x

e) sen7x

Resolución: En la expresión:

J = sen3x . cos2x + sen3x . cos4x + senx . cos6x

Multiplicamos × 2:

2J = 2sen3x . cos2x + 2sen3x . cos4x + 2senx . cos6x 14243 14243 14243

Transformando:

2J = sen5x + senx + sen7x – senx + sen7x – sen5x

Reduciendo:

⇒ 2J = 2sen7x ⇒ J = sen7x

5. Calcular el valor máximo de: J = cos(30° + x) . cosx a)

3 + 1 b) 3 + 2 c) 3 + 1 d) 3 + 2 e) 3 -1 2 2 4 4 4

Resolución: En la expresión: J = cos(30°+x) . cosx Tratemos de que "x" aparezca en un solo término; multiplicamos por 2 y transformamos: 2J = 2cos(30° + x) . cosx ⇒ 2J = cos(30° + 2x) + cos30° 2J = cos30° + cos(30° + 2x) ⇒ 2J = 3 + cos(30° + 2x) 2 como: J=máx ⇒ cos(30° + 2x): máx = 1 es decir: 2JMáx = 3 + cos(30° + 2x) ⇒ 2JMáx = 3 + 1 ⇒ JMáx = 3 + 2 14243 2 2 4 máx = 1

6. Reducir: J = cos5x . cos2x + sen6x . senx – cos4x . cosx a) cosx

b) cos2x

c) – cosx

d) – cos2x

e) 0

Resolución: En la expresión:

J = cos5x . cos2x + sen6x . senx – cos4x . cosx

Multiplicamos × 2

2J = 2cos5x . cos2x + 2sen6x . senx – 2cos4x . cosx

Transformando:

2J = cos7x + cos3x + cos5x – cos7x – (cos5x + cos3x)

2J = cos7x + cos3x + cos5x – cos7x – cos5x – cos3x

Reduciendo:

2J = 0 ⇒ J = 0

Central: 619-8100

Unidad X

175


10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. Reducir: A=2cos50°.sen10° + sen40° 2. Simplificar: U =

2sen5x. cos 3x - sen8x cos x

4. Simplificar: P =

2cos2x . cosx – cosx +1 cosx

5. Simplificar: P =

2sen7x . sen5x + cos12x 2cos5x . sen3x – sen8x

3. Determinar "A + B", si:

2cos9x . cos3x = cosAx + cosBx

Aprende más... 1. Simplificar: P = 2sen4x . cosx – sen5x a) sen4x d) senx

b) sen3x e) 1

c) sen2x

8. Reducir:

a) cosx d) – cos3x

2. Calcular: P = 2sen13°.cos32° + sen19° a) 1

b) 2

1 d) 2 2 e) 2

c)

2 2

b) cot2x e) tanx

c) tan4x

1 c) secx 2

2sen3x. cos x - sen4x 5. Reducir: P = 2sen3x.sen2x + cos 5x a) senx d) 2cosx

b) 2senx 1 e) senx 2

c) cosx

6. Hallar "x", si: 2cos4x . cos2x – cos2x = 3 2 a) 1° d) 5°

b) 2° e) 6°

c) 3°

P = sen2x . cosx + sen2x . cos3x – sen4x . cosx a) senx d) 1 Colegios

176

TRILCE

b) – senx e) – 1

b) cosx e) cos6x

c) cos2x

10. Si: sen8x=2sen2x, calcular: E = tan5x . cot3x a) 1 1 d) 2

b) 2 1 e) 3

c) 3

11. Calcular: E = 0,5sen10° + cos80° . cos20° a) 0,25 d) 2

b) 0,50 e) 4

c) 1

12. Simplifique:

Q = sen2x + sen4x + sen6x + ... + sen24x a) sen12x . sen13x . cscx b) sen12x . sen13x . secx c) sen6x . sen13x . cscx d) sen6x . sen13x . secx e) sen12x . cos13x . secx

13. Reducir: Q = cos2° + cos4° + cos6° + ... + cos58°

7. Reducir:

c) 0

P = cos5x . cosx + sen4x . sen2x + sen3x . senx a) 0 d) cos4x

2sen4x.sen3x + cos 7x 4. Reducir: P = 2sen4x. cos 2x - sen6x 1 1 senx a) cosx b) 2 2 1 1 d) cscx e) tanx 2 2

b) cos3x e) – cosx

9. Reducir:

2 cos 3x. cos x - cos 4x 3. Reducir: P = 2sen4x. cos 2x - sen6x a) tan2x d) cot4x

P = cos5x . cos2x + sen4x . senx + sen6x . senx

c) 0

sen29° cos29° 3 cos29° c) b) 2sen1° sen1° 2sen1° 3 3 sen29° sen29° e) d) 2cos1° 2sen1°

a)

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14. Simplificar:

15. Simplificar:

Q = sen2x + sen22x + sen23x + ... + sen211x

2

Q = cos22x + cos24x + cos26x + ... + cos212x

11 sen11x . sen12x – senx 2 11 sen11x . cos12x b) – senx 2 11 sen11x . sen12x c) – 2senx 2 11 sen11x . cos12x d) – 2senx 2 sen11x . cos12x e) 5 – 2senx

sen12x . cos14x 2sen2x sen12x . cos14x b) 3 – sen2x sen12x . cos14x c) 6 + 2sen2x sen12x . cos14x d) 3 + sen2x sen12x . cos14x e) 3 + 2sen2x

a)

a) 6 –

18:10:45

Practica en casa 1. Reducir: A = 2cos20°.cos10° – cos10°

10. Simplificar: A = cos 2x + cos 4x + cos 6x + ... + cos 18x sen2x + sen4x + sen6x + ... + sen18x

2. Reducir: P = 2sen7x.senx + cos8x 3. Reducir: E = 2sen40°.cos10° – cos40°

11. Reducir: Q = sen2° + sen4° + sen6° + ... + sen58°

4. Reducir:

E = 2sen50°.cos20° – 2sen80°.cos10°

sen9x - 2sen7x. cos 2x 5. Simplificar: T = cos x - 2 cos 3x. cos 2x 6. Simplificar: E=

2sen3x . cosx – sen4x 2sen2x . senx + cos3x

2 cos 6x. cos x - cos 7x 7. Simplificar: E = 2sen7x. cos 2x - sen9x 8. Calcular: Q = cos40°.cos10° – cos85°.sen55°

12. Simplifique: cosx + cos3x + cos5x + cos7x + cos9x + cos11x 13. Calcular el máximo valor de:

J = sen(50° + x).sen(10° – x)

14. Calcular el mínimo valor de:

A = sen(70º + x).cos(20° – x)

15. Reducir:

P = sen240° + cos50°.sen60° – sen210°

9. Reducir:

M = sen4° + sen8° + sen12° + ... + sen176°

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Unidad X

177

Repaso

Repaso Aprende más... 2 ("q" es agudo), calcular: sen2q 3 12 12 6 a) b) – c) 13 13 13 5 10 d) e) 13 13

1. Si: tanq =

2. Siendo: sen2a + sen2b + sen2q =

1 2

Calcular: C = cos2a + cos2b + cos2q a) 1 b) –1 c) 3 2 d) 2 e) –2

6. Señale el equivalente de: x x x C = cscx + csc + csc + csc 2 4 8 x x b) cot + cotx a) cot – cotx 16 16 x x d) cot + tanx c) cot – tanx 16 16 x e) cot 16 7. Si: cosf =

2 sen3f , calcular: C = senf 3

1 2 b) 3 9 2 2 d) – e) 3 9

a)

3. Si: tana + tan2a + tan3a = 1

1 c) – 9

Calcular: C = cos2a + cos22a + cos32a 1 a) – 1 b) 1 c) 2 sen3β sen3α sen3θ 8. Siendo: senα + senβ + senθ = n 1 2 d) – e) 2 3 cos 3β cos 3α cos 3θ Halle: C = cos α + cos β + cos θ 4. Del gráfico, calcular: sen2q B a) n – 6 b) n + 6 c) n – 3 d) n + 3 e) n – 9

D

A

9. Calcular:

2

q q

C

5

21 8 20 b) c) 29 17 29 15 16 d) e) 17 17 a)

5. Siendo: cotq =

Calcular: cosq 2 a) – 0,5 d) – 0,2

Colegios

178

TRILCE

1 2 6

(180° < q < 270°)

b) – 0,6 e) – 0,4

c) – 0,3

C = (sen9° + cos9°)2 – (sen9° – cos9°)2 5 + 1 c) a) 5 + 1 b) 4 2 5 5 –1 –1 d) e) 4 8

5 –1 2

sen3q - senq 10. Simplificar: cos q - cos 3q a) tanq d) cotq

b) cot2q e) 1

c) tan2q

11. Calcular: (sen38° + cos68°) sec8° a) 1 1 d) 4

b) 2 e) –

1 2

1 c) 2

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12. Sabiendo que: cos70° = k

senq + senKq + sen (2K - 1) q 17. Simplificar: cos q cos Kq cos (2K - 1) q + +

¿A qué es igual: sen225° – sen25°? k 4 d) 2k a)

k b) 2 e) 4k

c) k

sen (x + 3y) + sen (3x + y) . sec (x + y) sen2x + sen2y a) 2 d) 1

1 b) 2 1 e) 4

c) 4

b) 2cos3q e) 1

c) sen3q

15. Simplificar: cos55° + cos65° + cos175° 1 a) 2

d) – 3 2

1 b) – 2

c) 3 2

e) 0

16. Simplificar:

sen2x + sen3x + sen4x (Para: x = 5°) cos 2x + cos 3x + cos 4x 1 2 d) 2 + 3

a)

Central: 619-8100

c) cotKq

b) 3 2 e) 1

5 – 1 c) 5 + 1 a) 5 + 1 b) 4 4 8 1 5 – 1 d) e) 4 8 19. Factorizar: sen24° + sen16° – sen8°

14. Simplificar: (tan2q + tanq)(cos3q + cosq) a) 2sen3q d) cos3q

b) tanq e) 1

18. Calcular: sen224° – sen26°

13. Simplificar:

a) tanKq d) cotq

3

c) 2 – 3

a) 4cos4° . sen8° . cos12° b) 4sen4° . sen8° . sen12° c) 4cos4° . cos8° . sen12° d) 4sen4° . cos8° . cos12° e) 4cos4° . cos8° . cos12° 20. Reducir: cos (a - 3b) - cos (3a - b) sen2a + sen2b a) 2sen(a + b) b) 2cos(a + b) c) 2 d) 2sen(a – b) e) 2cos(a – b)

Unidad X

179

UNIDAD XI III

I

El hombre en función de la Tecnología Mundial

nternet por satélite o conexión a Internet vía satélite es un método de conexión a Internet utilizando como medio de enlace un satélite. Es un sistema recomendable de acceso en aquellos lugares donde no llega el cable o la telefonía, como zonas rurales o alejadas. En una ciudad constituye un sistema alternativo a los usuales, para evitar cuellos de botella debido a la saturación de las líneas convencionales y un ancho de banda limitado. Comunicación matemática •

Reconocer y utilizar todas las fórmulas de identidades.


Definir las funciones e identificar las diferencias entre dominio, rango y periodo para demostrar sus respectivas gráficas.

Resolución de problemas • • •

Resolver problemas que involucran dominio, rango, periodo y gráficas. Resolver problemas de contexto real y matemático que implican las funciones trigonométricas. Identificar las funciones trigonométricas y plantear estrategias para la resolución de problemas.


Función trigonométrica real de variable real I

1

Conceptos básicos Introducción: Dentro del análisis matemático, el concepto de función es materia de un largo estudio debido a su flexibilidad para representar vía modelos matemáticos, una cierta realidad que se desea investigar, ya sea para prevenir u optimizar. En ese contexto las funciones trigonométricas, debido a sus características de periodicidad, juegan un rol importante en la representación de fenómenos periódicos, como las transmisiones radiales por ejemplo; por ello su estudio es imprescindible. y

y 1

y = f(x) = senf

sen f 1

f x

f

p

3p 2

2

x

–1 Observamos: para cada arco en posición normal existe un valor para cada razón trigonométrica. Esta correspondencia, en matemática se llama función. En la C.T. de la figura se ha indicado una posición para el radio vector definida por f. En tal posición el valor del seno está dado por su ordenada del extremo del arco representada por senf. Si hacemos girar el radio vector a otras posiciones los valores que toma el seno van definiendo en el plano un conjunto de puntos alineados en una curva característica que es motivo de estudio en este capítulo. Ahora tendremos que recordar: 1. Gráfica de una función y Dada la función: y = f(x) x = Variable independiente (dominio) y = Variable dependiente (rango)

Central: 619-8100

x1

y = f(x)

f(x2) x2

x

f(x1)

Unidad XI

181


2. Función creciente y decreciente y

y f(x1)

f(x2)

y=f(x)

y = f(x) f(x1) x1

f(x2) x2

x

x1

x2

x

3. Función continua y discontinua y

y

y=f(x)

y=f(x)

x

x0

x 4. Función par e impar

Dada la función: y=f(x), donde: "x" y "– x" ∈ dominio (f) I. Si: f(– x) = f(x) ⇒ "f" es par. y

II. Si: f(– x) = – f(x) ⇒ "f" es impar y

x

x

Simétrica respecto al eje "x"

Simétrica respecto al origen

5. Función periódica

Se denomina de esta manera a aquellas funciones cuyos valores se repiten cada cierto intervalo de su dominio. Gráficamente muestran un tramo repetido cada cierto intervalo de su dominio, denominándose el menor valor de dicho tramo: periodo principal de la función, denotándose por "T" (también se llama periodo mínimo)

Por ejemplo en la gráfica. y

x

T Colegios

182

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Matemáticamente, dada la función: y = f(x)

1

Si existe un número real "T" (T ≠ 0), tal que: f(x + T) = f(x), ∀ x, x + T ∈ Df ⇒ "f" es periódica. Si "T" es el mínimo positivo, se le llamará periodo principal o periodo mínimo de "f".

Todas las funciones trigonométricas tienen esa propiedad, la de ser periódicas, como se verá a continuación.

Definición de funciones trigonométricas F.T. = {(x; y)/y = R.T.(x), x ∈ Dom(F.T.)} Por ejemplo, la F.T. seno sería: F.T.(seno) = {(x; y)/y = senx; x ∈ Dom(senx)} Si queremos algunos pares ordenados: F.T.(seno) = (0; sen0), p ; sen p , p ; sen p , p ; sen p , ... 6 6 4 4 2 2 F.T.(seno) = (0; 0), p ; 1 , p ; 2 , p ; 1 , ... 6 2 4 2 2

Análisis de las funciones trigonométricas 1. Función trigonométrica seno F.T.(seno) = {(x; y)/y = senx; x ∈ D(sen)}

Recuerde que la C.T.

Si lo representamos en el plano cartesiano

y C.T.

a

y

B

1

q

sinusoide

senx2

1 A x

A' –1

b B'

– 2p

–p – 3p 2

x1 –p 2

a) Dominio: R b) Rango: [– 1; 1]; – 1 ≤ senx ≤ 1 123 123 mín máx c) Es una función creciente y decreciente.

p

2p

3p 2

x

senx1

f

De donde podemos concluir:

x2 p 2

–1

T = 2p

f) Es una función periódica: T = 2p; sen(x + 2p) = senx

q

0→ p 2

p →p

p → 3p

3p → 2 p 2

sen

0→1

1→0

0→–1

–1→0

2

2

d) Es una función continua. e) Es una función impar: sen(– x) = – senx Central: 619-8100

Unidad XI

183


2. Función trigonométrica coseno F.T.(coseno) = {(x; y)/y = cosx; x ∈ D(cos)}


y

C.T.

Si lo representamos en el plano cartesiano 1 y

B

q a A'

1

–1

A x

O

– p – p x1 2

– 3p 2

f

b

cosinusoide

cosx1

p

x2

2

3p 2p 2

p

x

cosx2 –1

B'

T = 2p

f) Es una función periódica: T = 2p; cos(x + 2p) = cosx

De donde podemos concluir: a) Dominio: R b) Rango: [– 1; 1]; – 1 ≤ cosx ≤ 1 123 123 mín máx c) Es una función creciente y decreciente. d) Es una función continua. e) Es una función par: cos(– x) = cosx

q cos

0→ p 2

p →p 2

p → 3p 2

1→0 0→–1 –1→0

3p → 2 p 2 0→1

3. Función trigonométrica tangente F.T.(tangente) = {(x; y)/y = tanx; x ∈ D(tan)}


Si lo representamos en el plano cartesiano y

y

b

M

A'

a

tana

N

tangentoide

B

x tanb

A

tana

–p

b –p 2

0 a tanb

p

p

2

3p 2

2p x

B' T=p De donde podemos concluir:

b) Rango: R → – ∞ < tanx < + ∞

a) Dominio: R – (2p + 1) p ; n ∈ Z 2

c) No se define en (2n + 1) p ; n ∈ R 2

Colegios

184

asíntotas

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d) Es una función creciente en cada cuadrante. e) Es una función impar: tan(– x)=– tanx f) Es una función periódica: T = p.

q

0→p 2

p→p

p → 3p

2

2

1

3p → 2 p 2

tan 0 → + ∞ – ∞ → 0 0 → + ∞ – ∞ → 0

Nota: No debemos olvidar que en una circunferencia trigonométrica los arcos cuadrantales, es decir, aquellos cuyo extremo coinciden con A, B, A' o B' tiene forma conocida que es bueno recordar para el mejor desarrollo de interpretación de problemas. y B

Arcos cuyo extremo coincide con: n ∈ Z A

A'

B

B'

2np

(2n + 1)p

(4n + 1) p 2

(4n + 3) p 2

(2n + 1) p

np

2

np 2

1 A'

–1

A 1

x

–1 C.T. B'

Síntesis teórica

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Unidad XI

185


Problemas propuestos 1. Determina el dominio de la función: f(x) =

cosx + 2 senx

Resolución:

Como la función "f" es una expresión trigonométrica racional, diremos que existe siempre que su denominador sea diferente de cero, es decir:

senx ≠ 0 ⇒ x ≠ 0; p; 2p; 3p; ... ⇒ x ≠ np; n ∈ Z

Esto quiere decir que "x" puede tomar cualquier valor real menos los del conjunto {np; n ∈ Z}, lo que significa que el dominio es el conjunto: Df = R – {np; n ∈ Z}

2. Determina el dominio de la función: f(x) = tanx . cotx

Resolución:

Como en los ejercicios anteriores, la función "f" existe siempre que el denominador sea diferente de cero, lo que significa que: senx ≠ 0 ⇒ x ≠ 0; p; 2p; 3p; ... y cosx ≠ 0 ⇒ x ≠ p; 3p; 5p; ... 2 2 2 Luego, el dominio de la función es el conjunto:

Df = R – 0; p ; p; 3p; 2p; 5p; 3p; ... 2 2 2

Df = R – np ; n ∈ Z 2

3. Determina el dominio de la función: f(x) = senx + 2 cosx – 1 Resolución:

Recordando que a ∈ R, si a ≥ 0, diremos que: cosx – 1 ∈ R, si: cosx – 1 ≥ 0

Entonces: cosx ≥ 1; pero: – 1 ≤ cosx ≤ 1

Graficando estos intervalos, tenemos: cosx

cosx –1

1

El único valor común es 1, es decir: cosx = 1 ⇒ x = 0; 2p; 4p; 6p; ... ó x = 2np; n ∈ Z

Luego el dominio de la función "f" es el conjunto de valores que puede tomar "x", es decir:

Df = {2np; n ∈ Z} 4. Determina el dominio de la función: f(x) = senx . tanx

Resolución:

Bajo el principio de que podemos transformar una expresión trigonométrica mediante las identidades trigonométricas, la función dada es equivalente a: f(x) = senx .

senx cosx

Observa que la función "f" existe, si el denominador es diferente de cero, es decir:

cosx ≠ 0 ⇒ x ≠ p; 3p;5p; ... ó x ≠ (2n + 1)p 2 2 2 2 Por lo tanto, el dominio de la función "f" está dado por el conjunto: Df = R – (2n +1) p ; n ∈ Z 2 Colegios

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TRILCE

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5. Determina el rango de la función: f(x) = 2 cos4x + 3

1

Resolución:

Puesto que la función dada depende directamente de la función coseno, determinaremos el rango a partir del rango de esta función, es decir:

∀ x ∈ R ⇒ – 1 ≤ cos4x ≤ 1....................................................................... (*)

Ahora la estrategia sería formar la función f(x) dada mediante una transformación de (*): Por 2: – 2 ≤ 2cos4x ≤ 2 Más 3: 1 ≤ 2cos4x + 3 ≤ 5

Así concluimos que el rango de la función "f" está dado por el conjunto de valores comprendidos entre 1 y 5, es decir: Rf = [1; 5]

6. Determina el rango de la función: f(x) = 2cos2x – 3

Resolución:

Observamos que la función "f" existirá para cualquier valor de "x" real, entonces:

∀ x ∈ R ⇒ – 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒

0 ≤ cos2x ≤ 1 0 ≤ 2cos2x ≤ 2

– 3 ≤ 2cos2x – 3 ≤ – 1 14243 f(x) El rango de la función "f" es el conjunto: Rf = [–3; – 1]

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. Si: f(x) = 2sen2x

⇒ Df =

4. Si: f(x) = 2senx

⇒ Rf =

2. Si: f(x) = cos2x

⇒ Df =

5. Si: f(x) = 3 + cosx ⇒ Rf =

3. Si: f(x) = tanx

⇒ Df =

Aprende más... 1. Señale el dominio de: f(x) = a) R – np 2 c) R – {(2n + 1)p} e) R – (2n + 1)p 2 Central: 619-8100

2senx + 11 senx + 1

b) R – {np}

d) R – (4n + 3)p 2

2. Señale el dominio de: f(x) = R – {0} a) R – np b) d) R – (2n + 1)p 2

5 +3 cosx – 1 c) R – np 2 e) R – {2np}

Unidad XI

187


3. Señale el dominio de: f(x) = a) R – np 2

b) R – (4n + 1)p 2

c) R – {np} e) R – (2n + 1)p

d) R – (4n + 3)p 2

2

4. Señale el dominio de: f(x) = a) R – np 2

c) R – (2n + 1)p 2 e) R – {np}

3cosx + 6 cos2x – 1

b) R – {2np}

d) R – (4n + 1)p 2

5. Señale el dominio de la función:

f(x) = 5sec 5x – 2 a) (2n + 1) p 10

c) R – (2n + 1)p 2 e) R – (4n + 1) p 10

d) np ∪ (2n + 1)p 2 2 e) 2np

3 senx + 5 1 – senx

b) R – (2n + 1) p 10

d) (4n + 1) p 10

6. Señale el dominio de: f(x) = 5csc3x – 1


h(x) = a) R – b) R – c) R –

cos3x cos6x + cos2x (2n + 1)p ∪ (2n + 1)p 4 2 (2n + 1)p ∪ (2n + 1)p 4 8 np ∪ (2n + 1)p 4 8

d) R – {np} ∪ (2n + 1)p 6 e) R – np ∪ (2n + 1)p 2 6 10. Señale el rango de f(x) = 7 – 3cos2x a) [2; 4] d) [4; 10]

b) [3; 7] e) [– 4; 3]

c) [4; 7]

11. Señale el rango de: f(x) = 2sen2x + 5cos2x a) [– 29 ; 29 ] c) [3; 4] d) [3; 5]

b) [2; 5] e) [6; 7]

12. Señale el rango de: g(x) = 7sen2x – 2cos2x

a) R – np 3

a) [– 2; 7] b) [– 7; 2] c) [– 2; 5] b) R – np 6 d) [– 7; 5] e) [– 5; 2] R – 2np c) R – (2n + 1)p d) 6 3 13. Señale el rango de: h(x) = 3(senx + 1) + cosx p e) R – (4n + 1) a) [– 3 – 10 ; 3 + 10 ] 3 b) [3 – 10 ; 3 + 10 ] c) [– 10 ; 10 ] 7. Señale el dominio de: f(x) = 7tan7x – 4 d) [– 3 + 10 ; 3 + 10 ] a) R – np b) R – np e) [– 3 – 5 ; 3 + 5 ] 7 14 c) R – (2n + 1) p d) R – (2n + 1)p 14 2 2n p e) R – 7


h(x) =

sen4x sen5x – senx

a) R – {np} ∪ (2n + 1)p 2 n p p ∪ (2n + 1) b) R – 2 6 c) R – np ∪ (2n + 1) p 2 12

Colegios

188

TRILCE

14. Señale el rango de: f(x) = 2(senx – 1) + 3(cosx + 1) a) [– 1 – 13 ; – 1 + 13 ] b) [– 1 – 13 ; 1 + 13 ] c) [– 3 – 13 ; 3 + 13 ] d) [3 – 13 ; 3 + 13 ] e) [1 – 13 ; 1 + 13 ] 15. Señale el rango de: g(x) = a) [– 2; 2] d) 〈– 2; 2]

b) [– 1; 1] e) 〈– 1; 1]

senx + sen3x cosx c) [– 2; 2〉

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1

¡Tú puedes! 1. Si: f(x) = |senx| . cscx + |cosx| . secx, halle el dominio y el rango de "f". a) Domf = R y Ranf = {– 2; 0; 2} b) Domf = R – np; (n ∈ Z) y Ranf = {– 2; – 1; 0; 1; 2}

c) Domf = R – (2n + 1)p ; (n ∈ Z) y Ranf = {– 2; – 1; 0; 1; 2} 2 n p d) Domf = R – ; (n ∈ Z) y Ranf = {– 2; 0; 2} 2 n e) Domf = R – p; (n ∈ Z) y Ranf = {– 1; 0; 1} 2 2. Determine el conjunto de todos los valores de "x", tal que "f" no esté definida: f(x) = cot(psenx); n ∈ Z a) np b) (2n + 1)p 2

c) (4n + 1)p 2

d) (4n – 1)p 2

3. Halle el dominio y rango de la función "f" sabiendo que: f(x) =

e) np 2

sen(2cosx) ;n ∈Z sen(cosx)

a) Domf = R – (2n + 1)p; y Ranf = [– 2; 2] 2

b) Domf = R – (2n + 1)p; y Ranf = [2cos1; 1] 2 c) Domf = R – (4n + 1)p; y Ranf = [– 2; 2] 2

d) Domf = R – (2n + 1)p; y Ranf = 〈2cos(–1); 2] 2

e) Domf = R – (2n + 1)p; y Ranf = [2cos1; 2〉 2

4. Determine los valores de "x" para los cuales la siguiente función no está definida:

f(x) =

tan2x – sen2x ; (K ∧ n ∈ Z) sec2x – 1

a) (4n + 1)p 4

d) Kp ∪ (2n + 1)p 4

b) (4n – 1)p 4 e) Kp 4

c) Kp ∪ (4n + 1)p 4

5. Calcule los valores de la función "h", tal que esté definida por: h(x) = tanx – 2csc2x, sabiendo que:

– 3p < x ≤ – p 4 6 a) [– 1; 3 〉 – {0} d) 〈0; 3 〉

Central: 619-8100

b) 〈– 1; 3 〉 – {0} e) 〈– 1; 3 ] – {0}

c) 〈– 1; 0〉

Unidad XI

189


18:10:45

Practica en casa 1. Determine el dominio de la función: f(x) =

7 +3 senx

2. Determine el dominio de la función: 1 f(x) = 8cos x 3. Halle la suma del máximo y mínimo valor de la función: f(x) = 4 + senx 4. ¿Cuál es el dominio de la función "f" definida por: f(x) =

1 + cosx ? 1 – cosx

5. Determinar el rango de la función:

f(x) = 3sen2x + 5

6. Determinar el dominio de la función: f(x) =

cosx 1 – senx


g(x) = 4sen2x + 2

9. ¿Cuál de los siguientes es el dominio de:

f(x) = cosx + senx – 1 , k ∈ Z?

10. Determinar el dominio de la función: f(x) = 3tan33x + 3 11. Determinar el dominio de: g (x) =

1 + 3 senx cos x


f(x) = cos2x – cosx – 1

13. Si: θ ! 2π ; 4π , determinar el rango de la fun3 3 ción: f(q) = 2cosq – 3 14. Del gráfico, determinar el rango: 1

y

f(x) = |senx|


f(x) = 2cos2x – 7 0

Colegios

190

TRILCE

p

2p

3p x

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Función trigonométrica real de variable real II

2

Conceptos básicos Determinación del periodo principal Sabemos que las funciones trigonométricas son periódicas (sen, cos, sec, csc: 2p; tan, cot: p), sin embargo este periodo es susceptible de ser modificado cuando sobre la función se efectúe algún tipo de operación o sobre la variable. Aquí vamos a dar un criterio de análisis del periodo de una función. Se define: A ∈ R – {0} B ∈ R – {0} D∈R n ∈ Z – {0} q∈R

y = f(x) = A . F.T.n (Bx + q) + D

Donde su periodo es T, el cual solo va a depender de "n" y "B", mediante el siguiente criterio: n

F.T

sen; cos; sec; csc tan; cot A: D: q: B:

Par T=

Impar

p

| B| T=

T=

2p |B|

p | B|

Indica "estiramiento" o "encogimiento" vertical de la gráfica básica. Indica "desplazamiento" vertical de la gráfica básica. Indica "desplazamiento" horizontal de la gráfica básica. Indica "estiramiento" o "encogimiento" horizontal de la gráfica básica (esto significa el periodo) Ejemplos:

1. y = f(x) = 2sen34x + 7 ⇒ T =

p ⇒T=p 4

4

x p = 5p 7. y = f(x) = 2sen4 + 5 ⇒ T = 5 1/5

p ⇒T=p

x 2p 8. y = f(x) = 3sen3 + 3 ⇒ T = = 6p 3 1/3

2

4. y = f(x) = 11cos8 3x + 5. y = f(x) = 5tan7 5x –

6. y = f(x) = 4cot4 4x +

2p 7

2. y = f(x) = 6cos77x – 7 ⇒ T = 3. y = f(x) = 5sen4 6x –

2p ⇒T=p 4 2

6

p ⇒T=p 8

3

p ⇒T=p 9

5

9. y = f(x) = 13 – 2cos2

x p p = 2p + ⇒T= 2 7 1/2

10. y = f(x) = 7cot11 4x +

7p ⇒T=p 11 4

Ahora bien, si la función a analizar no tiene las características de la mostrada en la fórmula, se deberá usar la definición matemática de la función periódica, es decir, dada: y = f(x) = x, x + T, x – T ∈ Df

Se debe ampliar: f(x + T) = f(x); T: periodo principal de la función. Central: 619-8100

Unidad XI

191


Ejemplos:

Señale el periodo de: y = f(x) = sen(cos2x) Decimos: f(x + T) ⇒ sen(cos2(x + T)) = sen(cos2x) ⇒ sen(cos (2x + 2T)) ↓ 2p Luego: 2T = 2p ⇒ T = p

Problemas resueltos 1. Graficar la función: f(x) = – senx . cotx

Resolución:

La función "f" es idéntica a: f(x) = – senx .

cosx = – cosx; senx ≠ 0 ⇒ x ≠ 0; p, 2p; ... senx

Para graficar (– cosx) reflejamos la gráfica del (cosx) respecto al eje"x".

1

y g(x) = cosx ≠ 2

≠

3≠ 2≠ 2 f(x) = – cosx

–1

2. Graficar la función: f(x) =

x

cos2x 1 – senx

Resolución: f(x) =

1 – sen2x (1 + senx) (1 – senx) = = 1 + senx 1 – senx 1 – senx

1 – senx ≠ 0 ⇒ senx ≠ 1

y

De la ecuación anterior: x ≠ p; 5p; 9p; ... 2 2 2

2

f(x) = 1 + senx

1

La gráfica de (1 + senx) es igual a la gráfica de "senx" desplazada 1 unidad hacia arriba.

p 2

–1

p

3p 2

x 2p g(x) = senx

3. Determinar el periodo de las siguientes funciones: a) f(x)= 1 – 3sen34x

Resolución:

Aplicando la fórmula del periodo, se tiene: a) f(x)= 1 – 3sen34x Colegios

192

b) g(x)= p + 4tan4

b) g(x)= p + 4tan4

⇒ Tf = 2p = p

TRILCE

4

2

x 3

c) h(x) = 3cos26x – 2

x 3

c) h(x) = 3cos26x – 2

⇒ Tg = p = 3p 1/3

⇒ Th = p 6

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4. Determinar el periodo de las siguientes funciones: a) f(x) =

cot2x

2

b) g(x) = tan x

Resolución:

Sea "T" el periodo de la función, entonces: a) f(x) =

cot2x

Aplicando la definición: f(x + T) = f(x): cot(2x + 2T) =

cot2x

El menor valor positivo de "T" que satisface la igualdad es: T = ≠ 2 b) g(x) = tan x

Aplicando la definición: g(x + T) = g(x): tan x + T = tan x

No existe un valor de T ≠ 0 que satisface la igualdad, por lo tanto la función no es periódica.

5. Determinar el periodo mínimo de la función: f(x) = cos(pcosx) Resolución:

Aplicando la definición: f(x + T) = f(x): cos(pcos(x + T)) = cos(pcosx) El menor valor positivo de "T" que satisface la igualdad es: T = p. cos(pcos(x + p)) = cos(pcosx)

Comprobamos si es cierto:

cos(– pcosx) = cos(pcosx)

cos(pcosx) = cos(pcosx)

Efectivamente el periodo mínimo de "f" es p

10 x 5 50

Aplica lo comprendido •

Dadas las funciones de la primera columna, se pide completar los recuadros indicando la amplitud A y el periodo T de cada una. F.T.

A

1.

y = f(x) = 7 senx

2.

y = f(x) = 6 sen

3.

y = f(x) = 2tanx

4.

y = f(x) = 3cos x 4

5.

y = f(x) = 2cos2x

Central: 619-8100

T

x 3

Unidad XI

193


Aprende más... 1. Hallar el período mínimo, si la función "f" está definida por: f(x) = 5 + 3sen8 7x + p

4. Graficar: f(x) = 2senx + 1 a)

3

a) p

b) 2p 7

7 d) 7p 2

e) p 14

–1 c) b)

p

0 –1 c)

0

x d)

y

0

p

2

2

2p

e)

x

–2 3

2p

y 2p x

–3 y 1 0

p x

x –4

y x 2p

0 –1 x

5. En la gráfica de la función "f" definida por:

f(x) = A . sen Bx; calcule (A . B) 2

f(x)

x

6 x –2

–2 a) p 3 d) 5p 6

3. Graficar: f(x) = sen x – p 4

a)

1 0

d)

y

p

x

y

0

y

0

p

0

y

0 p 2 –2

x

–3 e)

y

2

–2

3

b)

2

y

1

y

c) 7p

2. Graficar: f(x) = 2senx a)

3

b)

y

y

b) 2p 3

c) p 6

e) p

6. Graficar: f(x) = – 3cos2x 0 c)

0

x d)

y

x

a)

y

x

0

p x

x

e) 0

d)

y 2p

x

3 0

3

x

2p x y x

0

–3

y

y

0 –3

–3 3

3

2

0 e)

b)

y

0 c)

0

3

p

–3 y

p x

–3 Colegios

194

TRILCE

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7. Graficar: f(x) = 4 cos x + a)

9. En la gráfica de la función "f" definida por:

3

b)

y

y

y 0

x

0

x

0

π 2

3p

6p

x

c) –

4 3

- 3

d)

y

y 2 3 2 d) – 3

a)

0

x

e)

f(x) = acosbx, calcule "a . b" f(x)

0

c)

p

2

x

b) – 1 e) 3

1 3

y 10. En una función: 0

p

f(x) = a|sen(bx)| + c; si: f(0) = 4; f p = 6 2

b y T = p; calcule: a.c 3

x

8. Graficar: f(x) = |6cos2x| a)

a) –

y

d) 0 π 8

−π 8 b)

3π 8

5π x 8

y

3 4

b) –

3 2

1 e) 8

0 π 4

c)

3π 4

d)

p

3π x 2

y

e)

π 4

π 2

3π 2

3π 4

x

y 0

Central: 619-8100

f(x)=senx

p 2

0

c)

3 8

g(x)=cosx

5π x 4

y

0 π 2

3 8

11. De la gráfica mostrada, determinar el área sombreada. y

−π 4

;b〉0

5π 2

x

a) 5p 8 3 p d) 5

p

x

2 b) 3p 2 c) 5p 2 4 16 2 e) 3p 2

12. Halle el área (en m2) de la región encerrada por la gráfica de la función "f", definida por: f(x) = 1 – cosx y el eje de abscisas en el intervalo de [0; 2p].

p a) 2p b) p c) 3

d) p 4

e) p 6

Unidad XI

195


13. En la gráfica adjunta, la regla de correspondencia de la función f(x) es: y

f(x)

2 2 2

π 2

π

a) senx+2cosx c) 2senx+2cosx e) 3senx+3cosx

2p

3π 2

14. Dadas las funciones:

x x x f(x) = sen + sen – sen 2 3 4

g(x) = cos(psen2x)

T de periodos "T1" y "T2". Halle: 1 (T1 > T2) T2 a) 24 d) 48

x

b) 6 e) 36

c) 12

b) 4cosx+3senx d) 3senx+2cosx

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas Boya 80 cm

15. Una boya en el océano Pacífico oscila de arriba hacia abajo mientras las olas pasan. Suponiendo que la boya está en su punto más alto en t = 0, además la boya se mueve un total de 80 cm desde el punto más alto cada 12 s. Encuentre la ecuación de la boya que está en movimiento.

t

0

12 s º

¡Tú puedes! 1. Indicar el gráfico de la función: y = a)

b)

y

x

0 d)

Colegios

196

c)

y

x

0 e)

y

0

TRILCE

sen23x – sen4x . sen2x cos24x + sen5x . sen3x

x

y

0

x

y

0

x

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2. Sea la función "f" definida por la siguiente regla de correspondencia: f (x) = 2sen2x ; entonces son sec x verdaderas:

2

I. Periodo de "f" es 2p.

II. No está definida en x = (2n + 1) p; n ∈ Z 2 III. Es una función impar. a) I y II

b) III

c) I y III

d) II y III

3. Del gráfico adjunto, calcule el área de la región sombreada: a) p u2 2

b) p u2 3

d) p u2 6

y

y = senx

1 2

c) p u2 4

e) p u2 8

e) I, II y III

x –1

4. Se dan las funciones "f" y "g", si f(x) = tanx y g(x) = cosx, halle la ordenada del punto de intersección entre las gráficas de ambas funciones, si: π 1 x 1 π 2 1 5 5 1 1+ 5 + - 1 - 5 e) a) b) c) 2 - 5 d) 2 2 2 2 5. Sea f(sena) = cos2a – 6 sena + 10, entonces el rango de "f" es: a) [7; 13]

b) [11; 13]

c) [6; 10]

d) [5; 10]

e) [3; 15] 18:10:45

Practica en casa 1. Sea la función definida por: f(x) = 3cos(2px) + 2, con periodo mínimo "T" y amplitud "A". Halle: "A + T".

4. De la gráfica mostrada, determinar su regla de correspondencia. y 8

2. Calcular el periodo de la siguiente función: f(x) = cos(senx) 3. De la gráfica mostrada, determinar su regla de correspondencia.

2

y

p 8

3

f(x)

x

5. En el gráfico mostrado, halle "MN" y

2p

M

4p x

p 4

–3

Central: 619-8100

f(x) = cosx 3p 4 x N Unidad XI

197


6. Determine el número de puntos de intersección de las gráficas de las funciones: f(x) = sen2x y g(x) = cosx; x ∈ 〈–p; p).

12. En la gráfica de la función "f", definida por:

f(x) = A sen Bx, calcular: A . B y 4

7. Determine el número de| puntos de intersección de las gráficas de las funciones: f(x) = senx y h(x) = tanx; x ∈ [0; 2p] 8. Sea la función definida por: f(x) = 7sen(4px) + 5; con periodo mínimo "T" y amplitud "A". Halle: "A + T" 9. De la gráfica mostrada, calcule el área de la región sombreada. y

x –4 13. Dada la gráfica de la función: f(x) = acosbx, calcule "a + b" y

f(x) = |senx| h(x) = |cosx|

10. De la gráfica mostrada, calcule el área de la región triangular ABC. y A

0,5

2p

f(x) = 3 senx–cosx y

b)

–3

0

p

3p

x

c)

198

x d)

y

0 e)

0

x

x

0

x

y

y

0

15. Grafique: g(x) =

Colegios

y

C

0

TRILCE

x

x

11. Del gráfico, halla la regla de correspondencia de la siguiente función: y 3

f(x) = acos(bx)

–1

3p

14. Señale la gráfica de la función:

a)

B

0

2

- 3

x

1

f(x)

p 0

12

0

x

sen4x cos4x – sen4x

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Función trigonométrica inversa I

3

Conceptos básicos Introducción Para hablar de las funciones trigonométricas inversas, tendríamos que remitirnos al concepto básico de la función real, el rango y dominio de la misma, así como revisar sus características y clasificación; lo que nos llevaría a formular algunos conceptos y desarrollar una teoría extensa que nos alejaría de alguna manera de los principales objetivos que perseguimos en este capítulo. Por ese motivo, enfocaremos el tema desde otro punto de vista sin perder el contenido teórico básico y necesario para el mejor entendimiento del tema. Normalmente, cuando conocemos un ángulo, es fácil determinar el valor de sus funciones trigonométricas, ya sea con la ayuda de un triángulo rectángulo o una calculadora si queremos ser modernos. Pero como procederíamos, si ahora conocemos alguna función trigonométrica de un ángulo y necesitamos hallar el ángulo. También podríamos usar una calculadora, pero los objetivos que perseguimos apuntan a familiarizarnos con la notación existente y la operacionalización de sus fórmulas y propiedades del capítulo. Sabemos por ejemplo que si: •

senq =

1 ⇒ q = 30° <> p rad (es decir, que es un ángulo notable) 2 6 1 ¿Cómo despejamos "q"? 3

•

Pero si tuviésemos: senq =

•

tana = 8 ⇒ ¿Cómo despejamos "a"?

Para resolver estas dudas, se procede de la siguiente manera:

Definiciones I. Si: senq = x ⇒ q = arcsenx; q ∈ – p ; p ; x ∈ [– 1; 1] 2 2

Ejemplos:

•

senf = 1 ⇒ f = arcsen1; f ∈ – p ; p 3 3 2 2

También si:

•

sena = 1 ⇒ a = arcsen1; a ∈ – p ; p 4 4 2 2

•

a = arcsen 1 ⇒ sena = 1

•

senw = – 1 ⇒ w = arcsen(–1); w ∈ – p ; p 6 6 2 2

•

b = arcsen – 1 ⇒ senb = – 1

•

senq = 2 ⇒ q b

•

q = arcsen4 ⇒ q b

9

9

3

3

II. Si: cosq = x ⇒ q = arccosx; q ∈ [0; p], x ∈ [– 1; 1]

Central: 619-8100

Unidad XI

199


Ejemplos:

•

•

cosa = 2 ⇒ a = arccos2; a ∈ [0; p] 7 7

También si: •

a = arccos1 ⇒ cosa = 1

•

q = arccos – 2 ⇒ cosq = – 2

•

b = arccos3 ⇒ b b

cosb = 1 ⇒ b = arccos1; b ∈ [0; p] 5 5

7

7

3

3

III. Si: tanq = x ⇒ q = arctanx; q ∈ – p ; p ; x ∈ R 2 2 Ejemplos:

•

tana = 4 ⇒ a = arctan4; a ∈ – p ; p 2 2

También si:

•

tanb = – 5 ⇒ b = arctan(– 5); b ∈ – p ; p 2 2

a = arctan2 ⇒ tana = 2 • b = arctan8 ⇒ tanb = 8

•

Propiedades I.

arcsen(– x) = – arcsenx arccos(– x) = p – arccosx arctan(– x) = – arctanx Ejemplos:

•

arcsen – 1 = – arcsen 1 = – p 2 2 6

•

arctan(–1) = – arctan1 = – p 4

II.

•

arccos – 2 = p – arccos 2 = p – p = 3p 4 4 2 2

sen(arcsenx) = x; x ∈ [–1; 1] cos(arccosx) = x; x ∈ [–1; 1] tan(arctanx) = x; x ∈ R Ejemplos:

•

sen arcsen1 = 1 3 3

•

tan(arctan5) = 5

III.

•

cos arccos 2 = 2 11 11

arcsenx + arccosx = p ; x ∈ [–1; 1] 2 arctanx + arccotx = p ; x ∈ R – {0} 2 arcsecx + arccscx = p ; x ∈ 〈– ∞; – 1] ∪ [1; +∞〉 2

Colegios

200

TRILCE

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Ejemplos:

•

arcsen1 + arccos1 = p 2 5 5

•

arcsec4 + arccsc4 = p 2

•

3

arctan2 + arccot2 = p 2

Síntesis teórica

Problemas resueltos 1 1. Calcular: q = arcsen + arccos 2 2 2 Resolución:

1 Tenemos: q = arcsen + arccos 2 2 2 14243 14243

a

b

a = arcsen1: "a es un arco cuyo seno vale 1"; es decir: a = 30° <> p 2

2

6

b = arccos 2 : "b es un arco cuyo coseno vale 2 "; es decir: b = 45° <> p 2

2

4

Luego: q = p + p ⇒ q = 5p 6 4 12

2. Calcular: f = arctan1 – arctan 3 3 Resolución:

Tenemos: f = arctan1 – arctan 3 3 14243 14243

Central: 619-8100

a

b

Unidad XI

201


⇒ a = arctan1: "a es un arco cuya tangente vale 1". Es decir: a = 45° <> p 4

⇒ b = arctan 3 : "b es un arco cuya tangente vale 3 ". Es decir: b = 30° <> p 3

3

6

p Luego: f = p – p ⇒ f = 12 4 6 1 3. Calcular: C = tan(arccos ) 5 Resolución: 1 Piden: C = tan(arccos ) ⇒ C = tana............... (1) 5 123 a Tenemos: a = arccos

1 ⇒ cosa = 1 ⇒ 5 5

5

2 6

a 1

En (1): tana = 2 6 ⇒ C = 2 6 1 1 1 4. Calcular: C = sen arctan + arctan 2 3 Resolución: 1 1 Piden: C = sen arctan + arctan 2 3 123 123 a b

C = sen(a + b) =sena . cosb + senb . cosa .... (1) Pero: a = arctan

1 ⇒ tana = 1 ⇒ 3 3

10

a

1

3 Y también: b = arctan

1 ⇒ tanb = 1 ⇒ 2 2

5

b

1

2

En (1): C = 1 . 2 + 1 . 3 = 2 + 3 = 5 = 5 . 2 ⇒ C = 2 2 2 5 2 10 5 5 10 50 50 50

5. Calcular: C = cos 2arccos

2 3

Resolución: 1 Piden: C = cos 2arccos ⇒ C= cos2a ⇒ C = cos2a – sen2a ........... (1) 3 123 a Colegios

202

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Pero: a = arccos

3

1 ⇒ cosa = 1 ⇒ 3 3

3

2 2

a 1

En (1): C =

7 12 2 2 2 1 8 = – ⇒C=– – 9 9 9 3 3

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 1. arcsen(0,5) = 5p 6 1 2. arccos =p 4 2

( (

) )

3. arccos – 3 = 5p 6 2

(

)

4. arctan(– 1) = p

(

)

4

5. arctan( 3 ) = p 6

(

)

6. arcsen

5 5 + arccos = p 2 2 2

(

)

7. arctan

7 7 + arccot = p 4 4 2

(

)

8. arcsec(– 3) + arccsc(– 3) = p 2

(

)

9. arcsen(– 1) + arccos(– 1) = p 2

(

)

Aprende más... 1. Despejar "x" de: tan

x p – =8 4 6

a) arctan32 + 2p 3 c) 4arctan8 + 2p 3 1 e) arctan8 + p 4 24

4. Calcular: J = arctan1 + arccos – 3 2

b) 4arctan32 +2p 3

d) arctan8 + p 24

2. Calcular: q = arcsen 2 – arccos 3 2 2 a) p

b) p

d) p

e) p

6 12

3

c) p

4

16

b) p

d) p

e) p

3 6

Central: 619-8100

4

8

b) 13p 12

c) p

12

c) 17p 12

e) p 12

1 5. Calcular: J = tan(arccos ) 4 13 c) 15 a) 17 b) 5 d) 3 e)

6. Calcular: E = sen arctan

3. Calcular: a = arctan 3 – arctan1 a) p

a) 5p 2 d) 19p 12

a) 2 3 d) 3 13

b) 2 5 e) 4 13

2 3 c)

2 13

Unidad XI

203


7. Calcular: C = sen tan arctanp 6 a) p 6 d) 3 2

b) 1

12. Calcular: P = cos{arccosx} – tan{arctanx}

c)

2 2

1 2

b) 0

c) 2x

e) 2

e)

8. Calcular: J = tan arcsen cos arccos a) 3 b) 1 d) 2

a) 1 x d) 2

3 3

1 1 arctan + arccot 2 2 13. Calcular: J = 1 1 arcsen + arccos 2 2

1 2

c) 2 3

a) p b) p 4 d) 1 e) 2 2

e) 2

1 2 9. Calcular: V = tan arctan + arctan 5 3 a) 1 b) 2 1 1 d) e) 2 3

c) 3

c) p 2

14. Siendo: p = arcsenx + arcseny 5

Calcular: J = arccosx + arccosy a) p 5 d) 4p 5

b) 3p 10 e) 2p 5

c) p 10

10. Calcular: C = sen(2 arctan4) 5 17 8 d) 17 a)

5 16 9 e) 17

b)

c)

7 17

1 2 d) 3 2

a)

11. Si: arcsenx=arccosx, calcular "x" 2 2 e) 5 2

a) 2 b) d)

3 2

15. Si: 2arcsenx + arccosx = 2p, calcular "x" 3

c)

1 3 1 e) 4

b)

c)

2 2

1 2

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas Aquí se tiene una aplicación en la mecánica (carrera militar). La carga de un camión destructor alcanza una velocidad de 1500 pies/s. La distancia que recorre la carga está dado por d, en donde V es la velocidad inicial de la carga y "q" es el ángulo de elevación del cañón, dicho ángulo q es tal que la carga hace blanco en un transportador y está dado por la siguiente expresión:

q

q = 1 arcsen 32d 2 2

V

Determinar la distancia que recorre la carga. Colegios

204

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3

¡Tú puedes! 2 1. Reduzca: M = arcsen – arcsen 2 15 – 5 3 12 1 a) arcsen 6

2 b) arcsen 5

2. Calcule el valor de: V = tan a) 0

1 c) arcsen 4

2 d) arcsen 7

e) arcsen

1 3

3 3 1 5 – 2 + arccos 5 +2 arcsen 2 2 2

3 3 e) c) 5 d) 2 3

b) 1

1 3. Hallar el valor de la expresión: E = sen3 p + arccos + cos3 p + arcsen 2 3 4 4 3 a) 1

b) 10

1 2 d) e) 4 7

c) 8

4. Si: arcsenx + arcseny + arcsenz = p

Calcule: J =

1 – x2 + yz

1 – y2 + zx

1 – z2 xy

a) 1 b) 2 c) –2 d) 4 e) –4 5. Reduzca la sumatoria: S =

n

2k arctan S 22k + 1 + 1 k=1

2n – 2 a) arctan n 2 + 1 2n + 1 – 2 d) arctan n + 2 2 + 2

2n + 1 – 1 b) arctan n + 1 2 + 1 2n – 1 e) arctan n + 1 2 +2

2n + 1 – 2 c) arctan n + 2 2 +1

18:10:45

Practica en casa 5. Calcule:

1. Señale "V" o "F" en: 1 1 I. q = arcsen ⇒ senq = ................. ( ) 2 2 1 1 II. q = arccos ⇒ cosq = ................. ( ) 3 3 III. q = arctan2 ⇒ tanq = 2................... ( ) 1 2. Despejar "x" de: cos 3x – p = 3

3. Calcular: q = arcsen

3

1 + 2arccos 3 2 2

1 4. Calcular: f = arcsen 3 – arccos 2 2 Central: 619-8100

arccos – 2 – arcsen – 2 + arctan – 3 2 2 3 6. Calcule: f = arcsec 2 + arccsc2 7. Calcular: J = tan arcsen 2 3 8. Calcular: N = sec2(arctan m) + sen2(arccos m) 1 2 9. Calcular: M = tan arctan + arctan 5 3

Unidad XI

205


2 3 10. Calcular: C = arctan + arctan 5 7 11. Calcular: M =

arctan2 + arccot2 1 arcsen 2

13. Calcular: M = cos

1 3 arccot – 2 4

14. Reduce: M = sen(arctanx) 15. Reducir: M = cos4 3arccos

1 1 – sen4 3arcsen 3 3

1 1 2 12. Determina: P = arctan + arctan + arctan 3 4 9

Colegios

206

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Función trigonométrica inversa II

4

Conceptos básicos Introducción En la clase anterior, nos familiarizamos con la terminología Arcsenx, Arccosx, etc, pero sin profundizar en el análisis matemático que involucra. En la clase que vamos a desarrollar vamos a efectuar ese análisis no realizado. Si una función se detiene en R, su inversa se obtiene intercambiando el orden de las componentes de los pares ordenados que lo conforman. Por ejemplo, si una función es: F ={(1; 2), (7; 3), (8; 9), (16; 6), (– 1; – 2)} Entonces F–1 ó F* será: F* = {(2; 1), (3; 7), (9; 8), (6; 16), (–2; –1)} Pero no siempre al invertir los pares ordenados de "F" se obtiene una función. Ejemplo:

•

F = {(3; 4), (5; 3), (7; – 1), (6; 4), (2; 1)} F* = {(4; 3), (3; 5), (– 1; 7), (4; 6), (1; 2)}

Pero este conjunto no sería función ya que hay dos pares ordenados diferentes, con igual primera componente. Esto significa que no toda función posee inversa, sino que precisamente debe cumplir una condición.

123

123

Definición Una función"F" se llama inyectiva, univalente o uno a uno, cuando cada elemento del rango es imagen de un solo elemento del dominio. Ejemplos:

•

F = {(1; 2), (3; 5), (7; – 1), (5; 2)} → no es inyectiva 1

•

F2 = {(3; 5), (4; 7), (5; 6), (9; – 1)} → si es inyectiva

•

F3 = {(1; 4), (5; 6), (6; 3), (9; 6)} → no es inyectiva

Ahora bien, para que una función "f" tenga inversa, esta debe ser previamente una función inyectiva. Gráficamente, una función es inyectiva cuando toda recta horizontal (paralela al eje x) corta a la curva que representa a la función en un solo punto. Ejemplos:

y

y

y = f(x)

x

x y = f(x)

Sí es inyectiva Central: 619-8100

y

No es inyectiva

y = f(x)

x

No es inyectiva Unidad XI

207


Algunas funciones no son inyectivas en todo su dominio, pero si lo son en algún tramo de ellos, por ejemplo: Ejemplos:

y

y

y = f(x)

- 3p 2

-p - p 2

p 2

x 3p 2p 2

p

x

En 〈– ∞; 0] es inyectiva

En – p ; p es inyectiva 2 2

En [0; + ∞〉 es inyectiva

En p ; 3p es inyectiva 2 2

En 〈– ∞; + ∞〉 no es inyectiva

En 3p; 5p es inyectiva 2 2 Cuando una función: Y=f(x) es inyectiva en todo su dominio y debemos obtener su inversa, cambiamos: y → x; x → y. Ejemplo:

y = f(x) = 3x + 2, es inyectiva en todo su dominio. Luego: y = 3x + 2 ↓ ↓ x = 3y + 2 ⇒ x – 2 = 3y ⇒ y= x - 2 3 x 2 y = f*(x) = es la inversa de y = f(x) 3 Cuando revisamos las funciones trigonométricas, podemos notar que todas ellas son inyectivas, por lo necesario redefinirlas restringiendo su dominio a un intervalo donde si sea inyectiva, sin alterar su rango. Ejemplos:

y

y

y f*(x)

1

f(x) -π 2

π 2

π

3π 2

πx 2≠

-π 2

0

π 2

π

3π x 2

x

–1 y=x

Obs: para graficar la inversa de una función "F", se refleja la curva de F respecto a la recta y=x, de manera simétrica Colegios

208

TRILCE

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Definición de las funciones trigonométricas inversas

4

y

I. F.T. seno inverso o arco seno 1

Partimos de: y = f(x) = senx Tomamos: Df: – p ; p ; Rf: [– 1; 1] 2 2 y = senx

π

0 π 2

-π 2

Hallamos su inversa:

x

–1

↓

x = seny ⇒ y = f*(x) = arcsenx

y

π 2

Cumpliéndose además: Df* = Rf: [– 1; 1] y R*f = Df: – p ; p 2 2

0

–1

Verificándose que:

1

x

π

3π 2

1

x

-π 2

arcsen(–x) = – arcsenx II. F.T. coseno inverso o arco coseno

1

Partimos de: y=f(x)=cosx

y

Tomamos: Df: [0; p], Rf: [–1; 1] -π 2

Hallamos su inversa: y = cosx

↓

0

x

–1

x = cosy ⇒ y = f*(x) = arccosx Cumpliéndose además:

y π

D*f = Rf: [–1; 1] y R*f = Df: [0; p] Verificándose que: arccos (–x) = p–arccos x

0

–1 III. F.T. tangente inverso o arco tangente.

y π

Partimos de: y = f(x) = tanx Tomamos: Df: – p ; p y Rf: 〈–∞; +∞〉 2 2 Hallamos su inversa:

-π 2

π 2

0

x 3π 2

y = tanx

↓

x = tany ⇒ y = f*(x) = arctanx Cumpliéndose además: D*f = Rf: 〈–∞; +∞〉 y R*f = Df: – p ; p 2 2 Verificándose que: arctan(–x) = –arctanx Central: 619-8100

y π 2 0

x

-π 2

Unidad XI

209


Problemas resueltos 1. Determina el dominio de la función: f(x) = arcsenx + arcsen3x Resolución:

El dominio de la función "f" será la intersección de los dominios de las funciones: arcsenx ∧ arcsen3x, lo cual determinaremos a continuación: a) ∃ arcsenx, si: – 1 ≤ x ≤ 1 ⇒ x ∈ [– 1; 1] b) ∃ arcsen3x, si: – 1 ≤ 3x ≤ 1 ⇒ –

1 ≤ x ≤ 1 ⇒ x ∈ – 1; 1 3 3 3 3

1 1 1 1 Finalmente, el dominio de la función "f" será: Df = [– 1; 1] ∩ – ; = – ; 3 3 3 3

2. Calcula el dominio de la función: f(x) = 3arccos

3x – 1 5

Resolución:

El dominio de la función "f" dependerá únicamente de los valores que toma la expresión

3x – 1 , lo 5

que determinamos como sigue: ∃ arccos

3x – 1 3x – 1 , si: – 1 ≤ ≤ 1 ⇒ – 5 ≤ 3x – 1 ≤ 5 ⇒ – 4 ≤ 3x ≤ 6 ⇒ – 4 ≤ x ≤ 2 5 5 3

4 El dominio de "f" es el conjunto: Df = – ; 2 3

3. Calcula la intersección entre el dominio y el rango de la función: f(x) = 3arccos

x + 3p 4 4

Resolución:

Empezaremos primero determinando el dominio, para luego calcular el rango, así:

x x ∃ arccos , si: – 1 ≤ ≤ 1 ⇒ Df = [– 4; 4] 4 4

Ahora determinamos el rango:

x x x 0 ≤ arccos ≤ p ⇒ 0 ≤ 3arccos ≤ 3p ⇒ 0 + 3p ≤ 3arccos + 3p ≤ 3p + 3p ⇒ 3p ≤ f(x) ≤ 15p 4 4 4 4 4 4 4 4 1442443 f(x) El rango de "f" es el conjunto: Rf = 3p; 15p 4 4 Piden intersección: Df ∩ Rf: [– 4; 4] ∩ 3p; 15p ⇒ Df ∩ Rf: 3p; 4 4 4 4

x 4. Determinar el dominio y rango de: f(x) = arcsen , y luego grafica la situación. 2 Resolución:

Primero determinaremos el dominio, así: – 1 ≤

Luego, el dominio es el conjunto: Df = [–2; 2] Colegios

210

TRILCE

x ≤1⇒–2≤x≤2 2

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Ahora, determinamos el rango así:

p

x Si: – 2 ≤ x ≤ 2 ⇒ – p ≤ arcsen ≤ p 2 2 2 123 f(x)

2

Luego, el rango es el conjunto: Rf: – p; p 2 2

–2

Para graficar, tabulamos algunos valores notables. x f(x)

0

–2

2

–1

0

–p

p

–p

2

2

4

–1

2

0

–p 2

6

2 5. Sea la función "f" definida por: f(x) = arcsen(3x – 2) + p. Determine el dominio y rango de la función. 3 4 Resolución: a) Para determinar el dominio analizamos la variable del arco

– 1 ≤ 3x – 2 ≤ 1; sumando 2: 1 ≤ 3x ≤ 3; dividiendo entre 3:

1 ≤ x ≤ 1 ⇒ Df = 1; 1 3 3

b) Para determinar el rango analizamos el "arcsen" dado:

2 2 – p ≤ arcsen(3x – 2) ≤ p; multiplicamos por : – p ≤ arcsen(3x – 2) ≤ p 3 3 3 2 2 3

2 Sumando p: – p ≤ arcsen(3x – 2) + p ≤ 7p ⇒ – p ≤ f(x) ≤ 7p ⇒ Rf = – p ; 7p 4 12 3 4 12 12 12 12 12 144424443 f(x)

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Indicar verdadero o falso según corresponda. 1. f(x) = arcsenx

⇒ x ∈ [0; 1]

(

)

2. f(x) = 2arcsen2x

⇒ x ∈ – 1; 1

(

)

3. f(x) = 3arcsen3x

⇒ x ∈ [– 1; 3]

(

)

4. f(x) = 5arcsen(x – 1) ⇒ x ∈ [0; 2]

(

)

5. f(x) = 6arccos(x – 2) ⇒ x ∈ [1; 3]

(

)

2 2

(

)

7. f(x) = 3arccos2x

⇒ f(x) ∈ [0; 2p] ⇒ f(x) ∈ 0; p

(

)

8. f(x) = 2arctgx

⇒ f(x) ∈ 〈–p; p〉

(

)

1 9. f(x) = arcsenx

⇒ f(x) ∈ – 1; 1

(

)

10. f(x) = arctgx + p 2

⇒ f(x) ∈ 〈0; p〉

(

)

6. f(x) = 2arccosx

p

Central: 619-8100

2

2 2

Unidad XI

211


Aprende más... 6. Grafique la función: f(x) = 2arccosx – p 4

1. Dada la función: f (x) = 2 arcsen ` 2x - 1j 3 3 Halle: Domf a) [– 2; 3] d) [– 1; 2]

1 ;2 2 e) [– 2; 1] b)

a)

1 c) – 1; 2

d)

5 ;2 6

1 b) – ; 2 3 1 5 e) – ; 3 6

x c)

1 c) – 2; 3

b) [– p; p]

d) p; p 2

e)

c) [– 2p; 0]

x

c) 5p; 7p 8 8

7. Halle el dominio de la función "f" definida por:

5. Graficar: f(x) = 4arcsen(x – 1) + p a)

y

e) [0; 2p]

b) 3p; p 4 5 p 3 p e) ; 4 2

y

x

4. Dada la función: h (x) = 1 arccos 4x + 3p 4 4 Halle: Rango h a) 0; p 4

d)

y

x

3. Dada la función: f (x) = 2arcsen x -p 2 Halle: Rango f a) [– p; 3p] d) – p ; 3p 2 2

y

x

2. Dada la función: g (x) = 5 arccos ` 6x - 5 j 16 7 Halle: Domg a) [– 1; 4]

b)

y

b)

y

f (x) = arcsen ` x - 1j + arccos ` 2x + 1j +p 3 5 a) [– 1; 1] b) [– 2; 2] c) [– 2; 4] d) [– 3; 2] e) [–3; 3]

y 8. Halle el rango de la función "f" en:

x

x

c)

d)

y

y

3 senx – cosx y proporcione el 2 f valor de la expresión: E = máx fmín

f(x) = arccot

a) 1 d) 4 x e)

y

x

Colegios

212

TRILCE

x

b) 2 e) 5

c) 3

9. Dada la función: h (x) = 3 arcsen ` 3x - 2 j 5 4 Halle: Dom h 1 a) – ; 1 3 2 d) – ; 2 9

2 b) – ; 2 3 2 e) – ; 4 3

2 c) – ; 3 3

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13. Grafique la función: h (x) = 1 arccos ^x - 3h + π 2 2 a) y b) y

10. Dada la función: f (x) = 3arcsen x - 2p 3 Halle: Rango f

4

a) [– 7p; – 2p] b) [– 6p; – p] c) – 7p ; – p 2 2 3 p p e) [– 4p; – 2p] d) – ;– 2 2 x c) y

11. Dada la función: h(x)= 1 arccos 2x + π . Ha2 4 lle: rango h a) 0; 3p 4 d) p; 3p 2 4

b) 0; p 4

x d) y

c) p; 3p 4 4

e) [0; 2p]

x

x e)

y

12. Grafique la función: g(x) = 2arcsen(2x – 3) a)

b)

y

y x x

x

14. Halle el dominio de la función "f" definida por: c)

d)

y

y x

x

e)

15. Halle el rango de la función "f" definida por:

y

g (x) = arcsen ` x + 1j + arccos ` 2x - 1j + π 3 5 2 a) [– 2; 2] b) [– 3; 2] c) [–4; 2] d) [–2; 6] e) [– 4; 3]

1 f(x)=arcsen(sen4x + cos4x – ) 2 a) 0; p 6

x

d) – p; 0 3

b) 0; p 3

c) – p; 0 6

e) – p; p 6 6

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. En una exposición de pintura en Bellas Artes, acuden dos matemáticos y observan una pintura que los impresiona mucho y uno de ellos dice "Tus ojos están a 6 pies de suelo", la pintura mide 10 pies de altura y está montada a 4 pies sobre el piso (ver figura). Si estás parado a "x" pies de la pared.

q

a) Exprese el ángulo de visión "q" en términos de "x" b) Determinar el dominio o los valores que puede tomar "x" de dicha función inversa. x Central: 619-8100

Unidad XI

213


¡Tú puedes! y

1. La gráfica de la función: f(x) = a + b . arccoskx , es la que se muestra. Calcular: E = a . b . k a) – p

b) – p

d) – p 24

e) – p 48

8

12

p

c) – p

4

16 –1

1

x

–p 4 2. Dada la función "f", definida por: f(x) = arcsenx + arccosx + arctan

1 |x |+ 1

Determine el rango de "f". a) – p; p 2 2 1 d) p+arctan ; p 2 2

b) – p; p 2 2 e) p; 3p 2 4 arctan

3. Calcule el dominio de la función definida por: f(x) =

1 1 1 a) – ; – – ; 3 4 4 2 2 1 1 d) – ; – 3 2 2 4

4 3 + arctan – arctan2x 7 11

sen 2arccos(2x) – p 3

1 1 1 b) – ; – – 3 ; 4 4 2 2 1 1 e) – ; – {0} 2 2

4. Si: x < 0, determinar el rango de la función "f", definida por: f(x) = a) – 1; 1 2

b) – 1; 3 2

1 c) p+arctan ; 3p 2 4 2

c) – 1; 1 2

1 1 1 c) – ; – – 4 2 2

arctan|x| – arccot|x| |arccotx|

d) – 3; 1 2

e) 〈– 1; 1〉

x 5. Si se grafica: y = g(x) = 2arccos – x2, dicha curva intersecta al eje de abscisas en: 2 a) 1 pto

b) 2 ptos

c) 3 ptos

d) 4 ptos

e) 5 ptos 18:10:45

Practica en casa 1. Sea "f" una función definida por:

f(x) =

determine el dominio de la función. Colegios

214

4 arcsen( 3x – 1 ) + p 7 10

TRILCE

2. Si "f" es una función definida por:

f(x) = px + 3arcsen( 4px )

determine el dominio de la función.

www.trilce.edu.pe


3. Determine el dominio de la función:

f(x) =

5 arcsen(3x + 7) + p 12 7

4. Determine el rango de la función "f", definida por:

f(x) = arcsen

x2 + 1 2x

10. Graficar la siguiente función:

f(x) = 2p + arctan3x

6. Sea "f" una función definida por:

f(x) = arccos2x – arcsen2x + p 2

Determine el rango de la función.


f(x) = arcsen(x + 3) 2x , definida 1 + x2 para: x > 0, determina su rango.

11. Sea la función: f(x)=arctan

12. Determine el rango de la función "f" definida por:

5. Determine el rango de la función:

f(x) = arccot

x2 1 + x2

13. En la figura se muestra la gráfica de la función cuya regla de correspondencia es:

f(x) = A arcsen(Bx + C) + D, con: A > 0

Calcule: M = B + C + AD π 3π `3, 2 j

f(x) = arcsen(x) + arccos(x) + arcsen(– x) – arccos(– x); x ∈ [– 1; 1]. 8. Determine el rango de la función "f", definida por:

f(x) = arccos(x2 + 1)


f(x) = [arcsenx]2 + [arccosx]2

Central: 619-8100

4

π ` - 1, - 2 j

0

14. Señale el rango de: h (x) = 1 arcctg (cos x) + 2π 3 3 15. Calcule: B = arccos(cos2) + arccos(cos4)

Unidad XI

215

UNIDAD XII III

Pantalla de un applet de Java, explicando la medida con un micrómetro

U

Verificar la mejor solución

n applet es un componente de una aplicación que se ejecuta en el contexto de otro programa, por ejemplo un navegador web. El applet debe ejecutarse en un contenedor, que lo proporciona un programa anfitrión, mediante un plugin (complemento), o en aplicaciones como teléfonos móviles que soportan el modelo de programación por 'applets'. Un Java applet es un código JAVA que carece de un método main, por eso se utiliza principalmente para el trabajo de páginas web, ya que es un pequeño programa que es utilizado en una página HTML y representado por una pequeña pantalla gráfica dentro de ésta. Comunicación matemática •

Reconocer y utilizar todas las fórmulas de identidades trigonométricas.


Definir las ecuaciones e identificar las primeras soluciones básicas y su aplicación.


Resolver problemas que involucren las soluciones básicas.

•

Resolver problemas de contexto y solución general.

•

Identificar las ecuaciones, valor principal y estrategias para la resolución de problemas.


Ecuaciones trigonométricas

1

Conceptos básicos Definición Son aquellas ecuaciones, donde la incógnita está afectada por operadores trigonométricos, como toda igualdad condicional se verificará para ciertos valores de la variable (incógnita) presente, denominándose a estos valores soluciones de la ecuación trigonométrica. Ejemplos:

•

senx + cosx = 1 ⇒ Sí es ecuación trigonométrica

•

tanx + sec2x = 3 ⇒ Sí es ecuación trigonométrica

•

3x + tanx = 2 ⇒ No es ecuación trigonométrica

¿Qué es resolver una ecuación trigonométrica? Resolver una ecuación trigonométrica significa encontrar todos los valores que toma la incógnita, que verifican la ecuación convirtiéndola en una igualdad absoluta. Pero, debido al carácter periódico de las funciones trigonométricas; no solo se encontraron una o dos soluciones, sino que generalmente existirá una cantidad ilimitada de soluciones, motivo por el cual, se hace necesario el uso de fórmulas que permiten encontrar el conjunto global de las soluciones de la ecuación trigonométrica, llamada solución general de la ecuación trigonométrica. Ejemplos:

1 → x = 30°; 150°; ... 2

•

Si tuviésemos que resolver una ecuación sencilla como: senx =

estas son solo dos soluciones, pero si quisiéramos encontrar soluciones adicionales, tan solo tendríamos que sumarle o restarle múltiplos de 360°, de la siguiente manera, a las ya indicadas.

Esto es: +360°

+360°

x = 30°, 150°, 390°, 510°, 750°, 870°, ...

+360°

+360° También: – 360°

– 360°

x = ..., – 570°, – 330°, – 210°, 30°, 150° –360°

–360°

Es decir: x = ..., – 570°, – 330°, – 210°, 30° , 150°, 390°, 510°, 750°, ...

Estás son algunas soluciones particulares de la ecuación trigonométrica, y en lo sucesivo tendremos que aplicar este criterio para determinarla (la explicación es por que los ángulos a obtener son coterminales con los primeros).

¿Cómo resolver una ecuación trigonométrica? Ecuaciones trigonométricas elementales (E.T.E.) R.T.(x) = n Para este tipo de ecuaciones se encuentran generalmente dos primeras soluciones, y se les va agregando o restando múltiplos de 360°, como en el apunte anterior. Central: 619-8100

Unidad XII

217


Ejemplos:

senx = 2 2

•

+360°

+360°

x = 45°, 135°, 405°, 495°, 765°, ... + 360°

– 360°

– 360°

x = – 585°, – 315°, – 225°, 45°, 135°, ... – 360°

+ 360°

Pero la pregunta evidente es: ¿Cómo determino las dos primeras soluciones?, se aplica el siguiente criterio. a) Si la ecuación trigonométrica es:

R.T.(x) = n; n > 0

Normalmente habrá una solución para x ∈ IC, aguda, si esta es "q" entonces la otra solución dependerá del cuadrante en el que se ubique este. Si la solución aguda es: x = q.

Y si hubiera otra en el: IIC ⇒ sería: x = 180° – q

IIIC ⇒ sería: x = 180° + q

IVC ⇒ sería: x = 360°– q

Ejemplos:

I. tanx = 3 ⇒ x = 60°

Como "tanx" es positiva, la otra solución debería ser del IIIC, es decir: x = 180° + 60° ⇒ x = 240°

Luego: x = 60°, 240°, ... aquí le agregamos o restamos múltiplos de 360°.

II. cosx = 1 ⇒ x = 60° 2 Como "cosx" es positivo, la otra solución debería ser del IVC, es decir: x = 360° – 60° ⇒ x = 300° +360° Luego:

x = 60°, 300°, 420°, 660°, ... +360°

III. cotx = 3 ⇒ x = 30° La otra solución debe ser del IIIC (ya que "cotx" es positiva), es decir: x = 180° + 30° ⇒ x = 210°

+360° Luego:

x = 30°, 210°, 390°, 570°, ... +360°

b) Si la ecuación trigonométrica elemental es: R.T.(x) = n; n < 0

En este caso, resuelva a modo de ayuda, la ecuación R.T.(x) = |n|, y calcule la ecuación aguda de dicha ecuación, con esa solución se calculan las verdaderas con la misma idea anterior, solo que ahora la R.T.(x) es negativa. Ejemplos:

I. senx = – 3 2 Colegios

218

Resolvemos: senx = 3 ⇒ x = 60° 2

TRILCE

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Pero como el "senx" es negativo, las dos primeras soluciones deberían ser del IIIC y IVC, luego:

IIIC: x = 180° + 60° ⇒ x = 240°

IVC: x = 360° – 60° ⇒ x = 300°

1

Luego: +360° x = 240°, 300°, 600°, 660°, ...

+360°

II. cosx = – 2 2

Resolvemos: cosx = 2 ⇒ x = 45° 2

Como el "cosx" es negativo en el IIC y IIIC, tendríamos:

IIC: x = 180° – 45° ⇒ x = 135° IIIC: x = 180° + 45° ⇒ x = 225°

Luego: +360°

x = 135°, 225°, 495°, 585°, ... +360°

III. tanx=– 3 3

3 ⇒ x = 30° 3 Como la "tanx" es negativa en el IIC y IVC, tendríamos: IIC: x = 180° – 30° ⇒ x = 150°

Resolvemos: tanx =

IVC: x = 360° – 30° ⇒ x = 330°

Luego: x = 150°, 330°, 510°, 690°, ...

Ecuaciones trigonométricas no elementales Las ecuaciones trigonométricas no elementales son aquellas que operan diferentes razones trigonométricas de la incógnita o de variables que involucran a dicha incógnita. En estos casos, la idea de simplificar la ecuación aplicando toda la teoría del curso ya desarrollado (identidades de una misma variable, de la suma y/o diferencia de variables, de la variable doble, mitad, triple, así como transformaciones trigonométricas y teoría de funciones trigonométricas inversas), reduciendo a la forma elemental o quizás de la forma: R.T.(Bx + q) = n para aplicar lo ya expuesto en la resolución de una E.T. Elemental. Ejemplos:

•

Resolver e indicar algunas soluciones de:

I. tan2x (1 – sen2x) cscx =

1 2

Por identidades trigonométricas, reducimos:

note que: cosx ≠ 0 ∧ senx ≠ 0

sen2x 1 1 1 . cos2x . = ⇒ senx = cos2x senx 2 2

Luego: x = 30°, 150°, 390°, ... 180° – 30° Central: 619-8100

Unidad XII

219


II. sen3x . cos2x – sen2x . cos3x = 1

Reconozca el desarrollo: sen(a – b) = sena . cosb – senb . cosa

Luego: sen3x . cos2x – sen2x . cos3x = 1

sen(3x – 2x) = 1 ⇒ senx=1 ⇒ x = 90°, 450°, ...

a

b

b

a

III. sen(3x–15°)= 3 2 En este caso no hay nada que reducir, pues la ecuación tiene la forma elemental, así que se resuelve de manera similar, pero tenga en cuenta como se despeja la incógnita. + 360° 3x – 15° = 60°, 120°, 420°, 480°, ... + 360°

3x = 60° + 15°, 120° + 15°, 420° + 15°, 480° + 15°, ...

x=

75° 135° 435° 495° ; ; ; ; ... 3 3 3 3

x = 25°, 45°, 145°, 165°, ...

IV. senx . cosx . cos2x = 3 8

Tenemos que reducir la expresión, pero recuerde que: sen2q = 2senq . cosq

Tenemos:

2senx cosx cos2x = 3 . 2 8 sen2x . cos2x = 3 4

(otra vez × 2)

2sen2x . cos2x = 3 . 2 ⇒ sen4x = 3 4 2

Luego:

4x = 60°, 120°, 420°, 480°, ...


x = 15°, 30°, 105°, 120°, ...

Nota: Las consideraciones algebraicas acerca de la resolución de ecuaciones, que tiene que ver, con el perder soluciones o agregar soluciones, se mantienen, así que debemos tener cuidado con las simplificaciones de términos que contienen a la incógnita.

V. 1 + sen2x = senx + cosx

En este caso recuerde que: (senx + cosx)2 = 1 + sen2x

Luego la ecuación, quedaría así:

Cancelando: (senx + cosx):

Colegios

220

TRILCE

(senx + cosx)2 = senx + cosx

senx + cosx = 1 (multiplicando por: 2 / 2 ) 2 (senx . 1 + cosx . 1 ) = 1 2 2 cos45° sen45°

2 (senx . cos45° + cosx . sen45°) = 1 144444424444443 2 sen(x + 45°) = 1 → sen(x + 45°) = 1 . 2 = 2 2 2 2 www.trilce.edu.pe


+ 360° Luego: x + 45° = 45°, 135°, 405°, 495°, ... + 360°

x = 0°, 90°, 360°, 450°, ...

Pero, para no perder soluciones, el factor cancelado se debe igualar a cero (0); esto es:

senx + cosx = 0 ⇒ senx = – cosx ⇒

Recuerde que primero resuelva: tanx = 1 ⇒ x = 45°

Luego las soluciones serían:

1

senx = – 1 ⇒ tanx = – 1 (x ∈ IIC ∧ IVC) cosx

IIC: x = 180° – 45° = 135° IVC: x = 360° – 45° = 315° ⇒ x = 135°, 315°, ...

VI. senx + cos2x = 1

En este ejemplo, homogenizamos la variable, esto es, colocamos la expresión en términos de una misma variable(x), para ello recuerda que: cos2q = 1 – 2sen2q.

Luego, quedaría así:

senx + cos2x = 1 ⇒ senx + 1 – 2sen2x = 1 ⇒ senx = 2sen2x

Cancelando: 1 = 2senx ⇒ senx =

1 ⇒ x = 30°, 150°, 390°, ... 2

Pero, como cancelamos "senx", lo igualamos a cero (0) para no perder soluciones, esto es: senx = 0 ⇒ x = 0°, 180°, 360°, ...

Obtención de la solución general Generalmente vamos a tener que resolver ecuaciones trigonométricas no elementales, así que la idea central es reducir la ecuación dada y llevarla a la forma elemental, para ello es bueno recordar: 1. Es preferible una sola variable a diferentes variables 2. Es preferible una R.T. a diferentes R.T. 3. Cancelar términos que involucran a la incógnita en numeradores de miembros diferentes, implica igualarlo a cero para no perder soluciones. 4. Si hay varios senos y/o cosenos de múltiplos muy grandes de la variable, hay una posibilidad de aplicar transformaciones trigonométricas para reducirlo. 5. Si el valor de la R.T. encontrada no es notable de la solución general, se aplicará la notación de F.T. inversas. Donde: Vp → Valor principal.

Central: 619-8100

xg → es la incógnita o una variable que contiene a la incógnita de donde se despeja. Encontramos

Hacemos

Donde

senxg = a

xg = np +(–1)nVp

– p ≤ Vp ≤ p 2 2

cosxg = a

xg = 2np ± Vp

0 ≤ Vp ≤ p

tanxg = a

xg = n p + V p

– p < Vp < p 2 2

Unidad XII

221


Ejemplos:

Resolver y dar la solución general. I. sen2x =

1 2

1 Tenemos: Vp = arcsen = 30° <> p ⇒ xg = 2x 2 6

xg = np + (– 1)nVp ⇒ 2x = np + (– 1)n . p ⇒ x = np + (– 1)n . p 6 2 12 II. cos3x = 1

Tenemos: Vp = arccos1 = 0 ⇒ xg = 3x

Luego: xg = 2np ± Vp ⇒ 3x = 2np ± 0 ⇒ x = 2np 3

III. tan5x = 1

Tenemos: Vp = arctan1 = 45° <> p ⇒ xg = 5x 4 Luego: xg = np + Vp ⇒ 5x = np + p ⇒ x = np + p 4 5 20

Síntesis teórica

Colegios

222

TRILCE

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1

Problemas resueltos 1. Resolver: 1 + cosx = 2sen2x, indicando la suma de sus dos primeras soluciones positivas.

a) 180°

b) 120°

c) 200°

d) 240°

e) 360°

Resolución:

Como la variable es la misma, vamos a colocar todo en términos de una sola razón trigonométrica, así:

1 + cosx = 2sen2x ⇒ 1 + cosx = 2(1 – cos2x)

Factorizando:

1 + cosx = 2(1 + cosx)(1 – cosx)

Cancelando "1 + cosx" quedaría:

1 = 2(1 – cosx) cosx =

1 ⇒ x = 60°, 300° 2

Pero el factor cancelado se iguala a cero (0) para no perder soluciones: 1 + cosx = 0 ⇒ cosx = – 1 ⇒ x = 180°, 540° Las dos primeras soluciones positivas son 60° y 180° ⇒ suma = 240° 2. Resolver: sec2x = 3 tanx + 1, indicando el número de soluciones positivas menores que una vuelta. a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Resolución:

Recuerde que: sec2q = 1 + tan2q En la ecuación: sec2x = 3 tanx + 1 ⇒ 1 + tan2x = 3 tanx + 1 quedaría: tan2x = 3 tanx cancelando "tanx", queda: tanx = 3

⇒ x = 60°, 240°, 420°, 600°, ...

Pero el factor cancelado: tanx = 0

⇒ x = 0°, 180°, 360°, 540°, ...

Pero piden soluciones positivas y menores que una vuelta, las cuales son: x = 60°, 180°, 240°

\ Rpta.: = 3 3. Resolver: senx – 3 cosx = 1, indicando el menor valor positivo que cumple. a) 30°

b) 60°

c) 90°

d) 135°

e) 180°

Resolución:

En la expresión: senx – 3 cosx = 1 B Recuerde que: Asenx – Bcosx = A2 + B2 sen(x – q), tanq = A Luego: senx – 3 cosx = 1 ⇒ 2sen(x – 60°) = 1, ya que: tanq = 3 ⇒ q = 60° Central: 619-8100

sen(x – 60°) =

1 ⇒ x – 60° = 30°; 150°, ... 2

x = 90°, 210°, ... ⇒ xMenor(+) = 90° Unidad XII

223


4. Resolver: sen5x + senx = sen3x, señalando un conjunto solución (n ∈ Z). a) np 6

np b) np ± p c) 6 3

d) a ∪ b

e) b ∪ c

Resolución: En la ecuación recuerde:

sena + senb = 2sen a + b cos a – b 2 2

sen5x + senx = sen3x

2sen3x . cos2x = sen3x

Cancelamos "sen3x", quedaría: 2cos2x = 1 ⇒ cos2x =

1 ⇒ Vp = arccos1 = p ⇒ xg = 2x 2 2 3

Luego: 2x = 2np ± p ⇒ np ± p 3 6 Pero el factor cancelado se iguala a 0, esto es: sen3x = 0 ⇒ Vp = arcsen0 = 0 ⇒ xg = 3x

3x = np + (– 1)n . 0 ⇒ 3x = np ⇒ x = np 3

\ x = np  p ; n ∈ Z ∪ np ; n ∈ Z 6

3

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Resolver e indicar las dos soluciones básicas de las siguientes ecuaciones: 1 1. senx = 2

⇒

Indicar el valor principal de cada ecuación:

x=

4. senx = 3 2

⇒ Vp =

5. cosx = 2 2

⇒ Vp =

6. tanx = – 1

⇒ Vp =

2. cosx = – 2 2

⇒

x=

3. tanx = 3

⇒

x=

Aprende más... 1. Resuelve: 2senx = 1, si: 0 < x < 180° a) 60°; 120° b) 45°; 135° c) 36°; 144° d) 30°; 150° e) 40°; 140° 2. Resuelve: 2cosx = 3 , x ∈ 〈0; 360°〉 a) 60°; 120° b) 45°; 135° c) 36°; 324° d) 30°; 150° e) 30°; 330°

Colegios

224

TRILCE

3. Resuelve: tanx – 3 = 0; x ∈ 〈0; 180°〉 a) 60° d) 30°

b) 45° e) 22°30'

c) 36°

4. Resuelve la ecuación: tan4x = – 3 , calcular la segunda solución positiva. a) p 6 11 p d) 12

b) 5p c) 7p 12 12 9 p e) 12 www.trilce.edu.pe


5. Resuelve: 4cos2x – 3 = 0; si: 0 < x < 360° a) 30°; 150°; 210°; 330° b) 60°; 120°; 210°; 350° c) 30°; 60°; 150°; 210° d) 30°; 45°; 150°; 315° e) 30°; 150°; 210°; 240° 6. Sume las tres primeras soluciones positivas de: 1 cos3x = 2 a) 170° d) 260°

b) 240° e) 270°

b) 360° e) 135°

a) 0 d) 3

c) 90°

b) 75° e) 180°

c) 135°

c) np + (–1)n p 6 e) np + (–1)n p 5

3 2 1 d) – 2

b)

a)

1 2

c) 1

e) – 3 2

a) 2np ± p 6

d) 2np ± p 5

sen2x

–

cos2x

– cosx = 1; si: 0 < x < p

a) p; p 4 2 p d) ; 3p 2 4

b) 2np ± p 4 e) 2np ± p 3

c) np ± p 8

14. Señale la solución general de la ecuación: secx . cscx – ctgx = 1 a) np + p 3

b) np + p 4

e) np + p 12

c) np + p 6

15. Resolver: 3sen2x = cosx a) 2np ± p 2

10. Resuelve:

d) np + (–1)n p 8

5senx . cotx – 3 = 3cosx

d) np + p 10

Calcular: sen(x1 – x2), si: x1 < x2

b) np + (–1)n p 3

13. Señale la solución general de la ecuación:

9. Si: "x1" y "x2" son los dos primeros valores positivos de "x" que verifican: 2sen2x + cosx = 1

c) 2

5tanx . cosx + senx = 3 2 a) np + (–1)n p 4

8. Sume las dos primeras soluciones positivas de: tan5x = 1 a) 45° d) 145°

b) 1 e) 4

12. Señale la solución general de la ecuación:

c) 300°

7. Sume las dos primeras soluciones positivas de: 1 sen2x – = 0 2 a) 180° d) 270°

11. Resuelve: 3senx + 2 = cos2x, indica el número de soluciones en el intervalo [p; 2p].

1

c) 2np ± p 4

b) np+ (–1)narcsen 1 6 d) a y b

e) b y c

b) p; p c) p; 2p 3 4 2 3 p 5 p e) ; 2 6

¡Tú puedes! 1. Resuelve la ecuación: 2 + tanx + a) 30°

b) 45°

2 – tanx = 2 tanx c) 53°

2. Si "q" es un parámetro, resuelve el sistema: senx + seny = a) x = 2q Central: 619-8100

b) x = 0

c) x = q +30º 2

d) 60°

e) 3p

cos2q 1 cscq – 2 senq d) x = 90°

e) x = q Unidad XII

225


5 12 3. Resuelve: arcsen + arcsen = p x x 2 a) 5

b) 4

c) 3

d) 12

e) 13

4. Resuelva el sistema: senx = cos2y ∧ sen2x = cosy a) x = y = 30°

b) x = y = 45°

c) x = 2y = 60° d) x = 3y = 60° e) x = y = 60°

5. Resuelve la siguiente ecuación e indica la suma de soluciones en 〈0; 2p〉 x 3x sen + sen = senx 2 2 a) 13p 3

b) 5p c) 7p 3 3

d) 11p 3

e) 8p 3 18:10:45

Practica en casa 1. Resuelve: sen2x = sen3x 2. Resuelve: tanx = tan6x

10. Determine la suma de soluciones de la ecuación: sen x . cos x = 2 , en el intervalo de [0; 2p] 2 2 4

3. Resuelve: cos3x = cos5x

11. Determine la suma de soluciones de la ecuación: tanx + 3

4. Resolver:

(sen4x + cos4x)(senx + cosx) = 1 + sen5x

Indicando la suma de los tres primeros valores positivos de "x".

= 4, en el intervalo de [0; 2p]

12. Resolver: sen3x . cscx + cos3x . secx = 2

5. Resolver: sen5x + senx = 0

13. Resolver:

6. Resolver: senx + cos2x = 1

(4sen3x + sen3x)(4cos3x – cos3x) =

7. Resolver: sen3x – 2senx = 1 tanx 2

14. Resolver la ecuación:

8. ¿Cuántas soluciones presenta la ecuación?

1 sen8x + cos8x = ; n ∈ Z 8

2senx – 1 = x2

9. Resolver: 1 1 1 1 + + + =5 2 2 2 1 + tan x 1 + cot x 1 – sen x 1 – cos2x

indicando el número de soluciones en 〈0; 2p〉

Colegios

226

tan x + p 3

TRILCE

9 (n ∈ Z) 4

15. Resolver el sistema de ecuaciones: senx + seny = sen(x + y)

| x| + | y| = 1

Señale el número de soluciones.

www.trilce.edu.pe

UNIDAD UNIDADXIII III

Triangulación satelital GPS

A

ctualmente es común encontrar unidades de rastreo GPS instaladas en autos. En algunos países se encuentran sistemas de emergencia a los costados de las rutas que permiten a las personas precisar ayuda, al presionar un botón transmite su ubicación geográfica a la policía.

Comunicación matemática • •

Reconoce y utiliza diferentes formas de representación del triángulo. Utiliza fórmulas de ley de senos, ley de cosenos.

Funcionamiento del rastreo satelital:

Análisis y demostración

•

Triangulación: La base del GPS es la "triangulación de la señal" desde los satélites.

•

•

Distancias: Para "triangular", el receptor de GPS mide distancias utilizando el tiempo de viaje de las señales de radio.

Resolución de problemas

•

Tiempo: Para medir el tiempo de viaje de estas señales, el GPS necesita un control muy estricto del tiempo.

•

•

Posición: Además de la distancia, el GPS necesita conocer exactamente donde se encuentran los satélites en el espacio.

•

Corrección: El GPS debe corregir cualquier demora en el tiempo de viaje de la señal, pues esta puede sufrir retrasos mientras atraviesa la atmósfera.

•

Define los triángulos e identifica las fórmulas a utilizar. Resuelve problemas que involucren la ley de senos y cosenos. Resuelve problemas de contexto real y matemático que implican utilizar una relación entre medidas.

Resolución de triángulos oblicuángulos

Resolución de triángulos Oblicuángulos Conceptos básicos Objetivo El objetivo del presente capítulo es determinar las medidas de los elementos básicos de un triángulo, es decir sus tres lados y tres ángulos, a partir de ciertos datos conocidos, utilizando propiedades geométricas y otras que son propias del curso, tales como:

B

a

Teorema de senos

c

En todo triángulo se cumple que sus lados son proporcionales a los senos de los ángulos al cual se oponen, siendo la constante de proporcionalidad, el diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

C R

En el triángulo ABC del gráfico se cumple:

A

b

R: circunradio

a b c = = = 2R senA senB senC Donde: a = 2RsenA ⇒ senA =

a 2R

b = 2RsenB ⇒ senB =

b 2R

c = 2RsenC ⇒ senC =

Teorema de cosenos

B

En todo triángulo se cumple que el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de los mismos multiplicados por el coseno del ángulo que forman.

a c

a2 = b2 + c2 – 2bc cosA b2 = a2 + c2 – 2ac cosB

c 2R

2 2 2 → Ojo: cos A = b + c - a

c2 = a2 + b2 – 2ab cosC

C

2 bc

b

A

Teorema de las proyecciones

B

En todo triángulo se cumple que un lado es igual a la suma de los productos de cada uno de los otros lados con el coseno del ángulo que forman con el primer lado.

c

a = b . cosC + c . cosB

a

b = a . cosC + c . cosA c = a . cosB + b . cosA Colegios

228

TRILCE

A

b

C

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1

Síntesis teórica

B a c C

R b A

"senos"

"proyecciones"

"cosenos"

Problemas resueltos 1. En un triángulo ABC: A = 30°; b = 4; ]B = 45°, calcular "a" b) 2 2

a) 2

c) 3 2

d) 4 2

e) 2 6

Resolución: Graficando el problema, tenemos: C

Por el teorema de senos:

a b = senA senB

a 4 ⇒ a = 4sen30° = sen30° sen45° sen45° 4

A

a

30°

45°

B

2. En un triángulo ABC, simplificar: M = a) 3

Central: 619-8100

b) 1 3

1 2 ⇒a= 1 ⇒a=2 2 2 4

a . senB + b . senA ; si: b = 3c a . senC + c . senA c) 6

d) 1 6

e) 9

Unidad XIII

229


Resolución: Por propiedad:

a . senB = b . senA bsenA + bsenA 2b . senA b M= = ⇒M= a . senC = c . senA csenA + csenA 2c . senA c

Pero: b = 3c ⇒ M =

3. En un triángulo ABC: a) 60°

3c =3 c a b c = = , calcular "]C" 3 5 7

b) 120°

c) 135°

d) 30°

e) 45°

Resolución: B

Graficando:

Aplicando el teorema de cosenos: c2 = a2 + b2 – 2ab . cosC

c = 7k

A

a = 3k b = 5k

C

⇒ 49k2 = 9k2 + 25k2 – 30k2 . cosC 49 = 9 + 25 – 30cosC

⇒ cosC = – 1 ⇒ C = 120° 2

a2 + b 2 – c 2 4. En un triángulo ABC, reducir: M = 2 a + c2 – b2 a)

tanA tanA tanC tanB tanB b) c) d) e) tanB tanC tanA tanC tanA

Resolución: Del teorema de los cosenos:

c2 = a2 + b2 – 2ab . cosC ⇒ 2ab . cosC = a2 + b2 – c2

b2 = a2 + c2 – 2ac . cosB ⇒ 2ac . cosB = a2 + c2 – b2

a2 + b 2 – c 2 b cosC En la expresión: M = 2 = 2a b cosC ⇒ M = a + c2 – b2 c cosB 2a c cosB Pero, por el teorema de los senos: b = 2R sen B En la expresión: M =

c = 2R sen C 2R sen B cosC senB cosC tanB = = tanB . cotC ⇒ M = . 2R sen C cosB cosB senC tanC

5. En un triángulo ABC, reducir: J =

a – b cosC b – c cosA c – a cosB , si su perímetro es 20 cm. + + cosB cosC cosA

a) 10 cm b) 20 c) 40 d) 8 e) No se puede determinar Resolución: Como: a = b . cosC + c . cosB ⇒ a – b . cosC = c . cosB b = a . cosC + c . cosA ⇒ b – c . cosA = a . cosC c = a . cosB + b . cosA ⇒ c – a . cosB = b . cosA c cosB a cosC b cosA Luego: J = + + = c + a + b ⇒ J = 20 cm cosB cosC cosA 14243 perímetro Colegios

230

TRILCE

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10 x 5 50

1

Aplica lo comprendido 4. Determinar "x"

1. Determinar: a/b. C

60°

B

53°

x

4

b

a

A

60°

2. Determine: a/b. C

5

5. Calcular "cosx".

13 5

b a

x

120°

30°

B

A

12

3. Calcular el valor de "x"

2

x 45°

60°

Aprende más... 1. En un triángulo ABC: BA = 30°, BB = 45° y b = 2 2 . Calcular "a" a) 2 d) 1

b) 2 e) 4 2

c) 4

2. En un triángulo ABC, reducir: (R = 6: circunradio)

a+b+c +1 P= senA + senB + senC a) 6 d) 14 Central: 619-8100

b) 8 e) 13

c) 12

3. En un triángulo ABC, reducir: (R: circunradio) M=

a(senB – senC) + b (senC – senA) + c (senA – senB) asenA + bsenB + csenC

a) R d) R 8

b) 2R e) 0

c) R 4

4. Hallar el lado "a" de un triángulo ABC, sabiendo que: b = 2; c = 3 y BA = 120°. a) 4 19 d) 19

b) 3 19 e) 5 19

c) 2

Unidad XIII

231


5. En un triángulo ABC:

b – a cosC 1 a – b cosC = y = 2. c 2 c 2 b) 30° e) 135°

c) 60°

6. En un triángulo ABC de perímetro 20 cm, calcular: b) 20 e) 50

c) 30

7. En un triángulo ABC: BA = 60°, BB = 15° y b = 5( 6 – 2 ), calcular "a" a) 6 3 d) 9 3

b) 7 3 e) 10 3

c) 8 3

8. En un triángulo ABC, reducir (R = 7, circunradio) Q=

a) 5 d) 1

b) 14 e) 20

c) 16

9. En un triángulo ABC: a = 7 y c = 5, calcular:

b) 18,5 e) 21,5

c) 19,5

c) 3

13. Los lados de un triángulo cumplen la relación: a = b2 + c2 + bc . ¿Cuánto mide el ángulo "A"? a) 50° d) 60°

b) 30° e) 120°

c) 59°

14. Uno de los lados de un triángulo es el doble del otro y el ángulo formado por ellos es 60°. Calcular los otros ángulos del triángulo. a) 30° y 90° b) 45° y 75° c) 53° y 67° d) 110° y 10° e) 60° y 60°

2senA + 5senC P= senA – senC a) 17,5 d) 20,5

b) 2 e) 4

12. Hallar el mayor ángulo de un triángulo cuyos lados son proporcionales a 4; 5 y 6 1 1 1 a) arccos b) arccos c) arccos 5 6 7 1 1 e) arccos d) arccos 8 9

a + b + 3c +2 senA + senB + 3senC

a) 12 d) 18

11. Hallar el lado "a" de un triángulo ABC, sabiendo que: b = 4; c = 21 y ]C = 120°

M = (a + b)cosC + (b + c)cosA + (c + a)cosB a) 10 cm d) 40

1 a) 4 b) 8 c) 8 d) 1 e) 2 4

Hallar "BC" a) 15° d) 175°

10. En un triángulo ABC, simplificar: asenB + bsenA ; si: b = 8c J= asenC + csenA

15. Los lados "a" , "b" y "c" de un triángulo ABC verifican la relación: a+b a+c b+c , hallar "secA" = = 13 12 11 a) 3 d) 9

b) 5 e) 11

c) 7

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. Si se mira a un objeto desde dos lugares diferentes, la dirección de la visual es distinta en ambos casos. Así, por ejemplo, si un observador es colocado en A mira a un objeto P y la dirección es AP. Si el observador se traslada a B, la dirección en la que se observa al objeto P es ahora BP. La diferencia entre las dos direcciones AP y BP es el ángulo APB, este ángulo recibe el nombre de Paralaje de P. Si A es una posición de la tierra en su trayectoria anual, alrededor del sol (s) B es la posición que ocupa seis meses después (vuelve otra vez a A en un año) y P es una estrella, el ángulo APB se llama Paralaje Anual de la Estrella.

En un instante determinado el ángulo SOL–Tierra– Estrella de una cierta estrella es de 120° y seis meses más tarde mide 53°. Calcule la paralaje anual de la estrella a la distancia a la que se encuentra de la tierra en la primera posición, si la distancia de la primera a la segunda posición es 298 000 000 km.

Colegios

232

TRILCE

P

sol A

B

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1

¡Tú puedes! B

1. Del gráfico, calcule "x" 30° x

A a) 12°

b) 16°

30°

D

c) 18°

d) 24°

C

e) 36°

2. En un nABC, cuyos lados miden: a = 4 cm, b = 6 cm y m]C = 60°. Determine: E = c , siendo VC VC, bisectriz interior del ángulo "C". 5 21 c) 5 21 d) 5 21 e) 5 21 a) 5 21 b) 2 4 18 16 32 3. En un triángulo ABC de lados "a", "b" y "c" se verifica que: b = 4c ∧ tan calcule: a)

cosB cosC

5 8

7 9 b) c) 8 8

4. Calcule "b"

B+C B–C + tan = 8, 2 2

7 d) – 8

e) –

9 8

B 90° + b 2b A

a) 8°

b) 10°

c) 15°

b

C d) 18°

e) 12°

5. En un triángulo ABC de lados "a", "b" y "c": m]A = π , m]B = 2π y m]C = 4π , determine el 7 7 7 1 1 equivalente de: W = + b c a)

2 a

b)

1 a 1 a c) d) e) 2a b+c a b–c 18:10:45

Practica en casa 1. En un triángulo oblicuángulo, el lado opuesto al ángulo "A" mide 4 m. Si: senA = 3 sen B, ¿cuánto mide el lado opuesto al ángulo "B"?

3. ¿En qué tipo de triángulo se cumple que:

2. Calcule la medida del lado "a" de un triángulo ABC, sabiendo que: m]A = 2m]C; c = 4 m y además: cosC = 0,75.

4. En un triángulo ABC se cumple que:

Central: 619-8100

a b c ? = = cosA cosB cosC

b + c = a 2 ∧ B – C = 90°.

Calcule la medida de los ángulos del triángulo ABC. Unidad XIII

233


5. En un triángulo ABC se cumple que: a2 = b2 + c2, calcula la medida del ángulo "A". 6. Del triángulo mostrado, calcula "a" B a 2-1

C

2+1

(b – c)2 + (bcotB + ccotC)2 = 4R2

donde R: circunradio. Calcule la medida del ángulo "A".

11. En un cubo de vértices ABCDA'B'C'D', se toma el punto "N" de la arista AA', de modo que AN = 3NA'. Si q = m]BNC', calcule: 33 cosq.

127° A

10. En un triángulo ABC de lados, "a", "b" y "c", se cumple:

7. Calcule la medida del menor ángulo interno de un triángulo cuyos lados son: 2; 2 y 1 + 3 .

12. Con los elementos de un triángulo ABC, la siguiente expresión:

8. En un triángulo ABC: a = 5, b = 5 3 , c = 5. Determina dos de sus ángulos.

9. En el siguiente triángulo AM es mediana relativa a BC. Determine el valor de "x". A x

a(b2 + c2)cosA + b(a2 + c2)cosB + c(a2 + b2)cosC

a) abc d) 4abc

Colegios

234

30°

TRILCE

M

15°

b) 2abc e) 8abc

c) 3abc

13. Si el circunradio de un triángulo mide 4, determina el valor de la siguiente expresión:

B

Es equivalente a:

M = a (cos B + cos C) + (b + c) cos A senB + senC

C

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Repaso

2

Aprende más... 7. Indicar el rango de la función: g(x) = 3 – 2senx

1. Indicar el dominio de la función: 1 1 1 f(x) = sen + 5 x 6 a) R d) R – {1}

a) [2; 5] d) [4; 5]

b) R – {np} c) R – {0} e) R – {(2n + 1)p}

f(x) = 4tanx + 9cotx a) R – 〈– 1; 1〉 b) R– 〈–12; 12〉 c) R–[–12; 12] d) R e) R – 〈– 3; 3〉

g(x) = 2cos(px) + 4 b) R – {p}

d) R – {np}

e) R

c) R –

1

p

d) R – np 3

e) R – np + (– 1)n p 6

4. Indicar el dominio de la función: 3 + cosx f(x) = 3 – cosx

e) R

d) R – (4n + 1)p 2

b) R – {np}

d) R – {(4n + 1) p } 2

a) [0; 3] d) [– 2; 6]

a) [1; 5] d) [3; 7]

b) [0; 4] e) [– 3; 4]

c) [– 1; 3]

b) [2; 5] e) [2; 7]

c) [2; 6]

12. En un triángulo ABC, simplifique: M = (a + b)2(1 – cosC) + (a – b)2(1 + cosC) b) 2a2 e) c2

c) 3b2

13. Del gráfico mostrado, calcule "tana" B 2 P 3

2 senx

b) R – (4n + 1)p 2 n p c) R – {np} d) R – 4 e) R – {(2n + 1)p}

Central: 619-8100

f(x) = sen2x + 2senx

a) 2c2 d) 2b2

c) R – {2np} e) R – np 2

6. Indicar el dominio de la función: h(x) = 1 – a) R

g(x) = cos2x – 2cosx + 3

5. Indicar el dominio de la función: 1 + senx g(x) = 1 – senx a) R

c) [3; 5]

11. Indicar el rango de la función:

b) R – {np}

c) R – {(2n + 1)p}

b) [0; 2] e) [0; 1]


b) R – {2np} c) R – np 6

a) R – {0}

9. Indicar el rango de la función: g(x) = 1 – |cosx| a) [– 1; 0] d) [0; 3]

3. Indicar el dominio de la función: 1 h(x) = 2senx – 1 a) R – {np}

c) [3; 5]


2. Indicar el dominio de la función: a) R – {0}

b) [1; 5] e) 〈1; 5〉

A

30º 30º

a) 2 3 b) 3 /3 d) 3 e) 3 /2

a

C

c) 3 3

Unidad XIII

235

Repaso

14. Sea "f" la función definida por:

a) 1

1– ; x ∈ – p; 0 f(x) = 3 – 2cos2x 2 3sen2x

d) 0

Entonces el rango de "f" es: a) – ∞; – 2 b) – 1 ; 1 3 4 d) – 2 ; 1 3

c) – 2 ; + ∞ 3

e) – 1; 2 3

15. Señale el dominio de la función: g(x) =

tan4x 2csc4x – 1

3 2 e) – 2 b)

c) 2

2 18. Señale el valor de: M=sen(2arccos ) 3 5 9 d) 4 5 9

a)

b) 2 5 9 e) 5 5 11

c) 3 5 4

7 9 19. Calcule: f = arctan + arctan 2 5

a) (2n + 1) p ; n ∈ Z b) (4n + 1) p ; n ∈ Z 8 8 n p n p d) c) ;n∈Z ;n∈Z 8 4 e) (2n + 1) p ; n ∈ Z 4

p a) p b) – p c) 4 4 2 3 p 2 p d) e) 4 3 20. Si: cos4a + 2sen2a = 0 y cos2a ≠ 0

2 x2 – 3 16. Señale el dom g, si: g(x) = arcsen 7 2 a) [1; 5 ] b) [0; 5 ] c) [– 5 ; 5 ] d) [– 5 ; – 1] ∪ [1; 5 ] e) [– 2; – 1] ∪ [1; 2]

Calcule: cos2a 1 12 3 d) 4

a)

1 2 b) c) 3 9 1 e) 8

17. Si la regla de correspondencia de la gráfica adjunta es: f(x) = a . arccos(bx + c) + d y π 2 f(x)

2

x

Halle el valor de: R=cos(dcp)+tan pa b

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5 GN Trigonometria

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