4. Examen Resuelto de Series de Fourier

UNIVERSIDAD ANDINA NÉSTOR CÁCERES VELÁSQUEZ ESCUELA PROFESIONAL INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES CURSO: MATEMÁTICA APLICADA

SEMESTRE: IV

FECHA: 24/06/2016

EXAMEN UNIDAD II SERIES DE FOURIER (RESUELTO) función. 1. Encontrar la serie de Fourier de la siguiente función.



f t

1



2

0



2

t

1, si    t  0 f t   0t 0, si

SOLUCIÓN La serie de Fourier de la función se expresará en la forma:

 

f t

a0 2



   an cos n0t  bn s enn0t  n 1

Si para hallar a0 será lo siguiente: 2 T2 f  t  dt T  T 2 2  a0  f  t  dt 2  1 0 a0    f  t  dt  a0 

 



a0 

1

0

a0 

1

a0 

  





1dt 

0



t 





0

Por lo Tanto Periodo es 2

 f  t  dt 

0

0dt 



1

0      

1

0    

a0  1

Luego hallamos an se denota asi: ESTUDIANTE: GROWER MIRANDA MAMANI

CURSO: MATEMÁTICA APLICADA


2 T

an 



T2

T 2

si, 0  1

f  t  cos n0tdt 

2 2  1 T 2

  

an 

SEMESTRE: IV

0



2 2







FECHA: 24/06/2016

1 cos n0 tdt

;por tanto denotamos asi:

1 cos ntdt 





0

0 cos ntdt 



0

0 1  sennt  1   an    sen n0 sen n              n   n 

an  

 n=1,2,3...

1 1 00   0 n n

an  0

bn 

2 T



si, 0  bn 

1

T2

T 2

f  t  s enn0tdt 

2 2  1 T 2

  

0



1senntdt 

1



 

f  t  cos n0tdt

;por tan to denotamos asi:





0

0senntdt 

0



1  cos nt  1 cos n0   cos n       bn       n   n 

0 si n es par  =  2  n si n es impar

comprobando si n par 2 1 cos (2)0  cos  2      n  1 2  1  (1)   n n



comprobando si n impar 1 1 cos (1)0  cos 1      n  1  1  1  0 n 



n0

ESTUDIANTE: GROWER MIRANDA MAMANI



SEMESTRE: IV

FECHA: 24/06/2016

Luego n= 2n-1 para caso general 2 2n-1 

b2n-1 

Reemplazando f  t   a0 f t   bn   s enn0 t  2 n 1

1 2  s en 2n  1 t  f t     2  n 1 2n  1

2. Dada la función desarrollar f(t) en una serie de Fourier. f t 

k

0

I

t

I

2

 2k para  I t, f t    2k  I  t  , para  I 

0t

1 I 2

1 I
Extendemos ala función de lo siguiente: f t 

k

I



I 2

0

I

2I

I

2 t

Por lo tanto, la función es impar por lo cual hallamos de lo siguiente: ESTUDIANTE: GROWER MIRANDA MAMANI



SEMESTRE: IV

Cuando la función es impar an = 0 hallamos bn: bn



2 T



T 2

T

2

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n= 1,2,3… por lo tanto solo



f t s enn0 tdt

 

Según la función dada el periodo es T=I

bn

bn

I 2k  I 2 2k  n   n     t s en t dt I t sen    I  I   I t  dt I 2 I I  0        I 4k  I 2  n   n    2   t s en  t  dt    I  t  sen  t  dt I2 I  0  I   I     I II



2

 Parte I integramos asi:



I2

0

 n  t  dt I  



t s en 

I=uv- vdu

 n     I t  dt I  n  v=cos  t n I   dv 

u=t du=dt

sen 

Entonces : I2

I I  n  I=tcos  t  n n  I 0



I2

0

 n  t  dt  I 

cos 

I2

I2

I I2  n   n  I=tcos  t   2 2 sen  t n n  I 0  I 0 I I I2  n I   n I   I=cos  sen   I 2 2 2 n 2  I 2 n    I2 I2 1  1  I=cos  n   2 2 sen  n  2n 2  n  2 

 Parte II integramos asi: I

 n  t  dt I  

I 2 I  t  sen 






I

I2

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FECHA: 24/06/2016

I  n   n  t  dt   tsen  t  dt I2 I I    

Isen 

III 2 I 1   cos  n   2 2 2n 2  n 

1  n  2  

2

I

sen 

Reemplazamos: bn



8k

 

f t

2

n

2

1

sen 

2



n 



1   sen t  2 I 3 2 

8k

sen3

 I

t



1

sen5

2

5

 I

t

  ... 

3. Si f(t)en una función continua y diferenciable, demostrar que:  f  t    t  ' 

  ' t   f ' t   t 

f t

SOLUCIÓN 















 f  t    t  '   t  dt    f  t    t   '  t  dt

 f  t    t  '  t  dt     t  f t   ' t 

dt

 f  t    t  '  t  dt     t  f  t   t  '-

 f  t    t  '  t  dt     t  f t    t  'dt+ 

  ' t  f t   t  ' dt  

  ' t  f  t    t  ' dt 



  '  t  f t   t  dt+ 





   t  dt

f' t













  t  f ' t   t  dt   t  f '  t   t dt

 '  t f  t    t     t  f ' t   t  dt

f  t    t  '  f  t   ' t   f ' t    t  ESTUDIANTE: GROWER MIRANDA MAMANI



SEMESTRE: IV

FECHA: 24/06/2016

4. Encontrar la serie de Fourier para la siguiente función, hallando la primera derivada de f(t).

 

f x 

1 2



 a

a0 

cos n0 t  bn s enn0 t

n



n 1

SOLUCIÓN

 

f' x 

1 2



a0 

 a

n

cos n0 t  bn s enn0 t



n 1

2

donde : 0 

T



F t

-T

-

T 2

d

-

2

t 0

d

T

2

2

T

Igualando se obtiene termino por termino: n  n0bn

an  

n n0

 n  n0 an

bn 

n n0

Función generalizada de impar:




SEMESTRE: IV

 d    2

A  t

-T

-

T



f' t

-

2

FECHA: 24/06/2016

d

0

2

d

T

2

2

T

 d A  t    2 n  0 n 

4 T

n



T2

0

 1, 2

f '  t  sen n0  dt



4 T



  1   A    t  2 d   sen n0t  dt   

T2

0



4A sen n0t  1 t d T 2



4A  n0d  sen   T  2 

De acuerdo se tiene:

an



  n d  4A sen    n n T  2  0

bn

0

n

2Ad

0

 n d    2   n d   2    0

sen 

T

0

2Ad T

 nd    T   nd   T   

sen 

0

Puesto que el termino constante

1 2

a0

se anula en el proceso de

diferenciación, teniendo en cuenta.

1 1 a0 2 T




T2

 T /2

f  t  dt 

Ad t



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Por consiguiente:  nd    T  cos  n 2 t     nd   T   T   

sen 



Ad 2Ad 2Ad  T T n1 T



f t 

5. Encontrar la serie de Fourier para la función diente sierra definida por:



F t

A

t

T

0

f t



A , T

0



T

t



T,

f t



T



f  t

SOLUCIÓN La representación f(t) en serie compleja de Fourier está dada por 

f t  



cne jn0t,

0 

n 

Los coeficientes

cn

2 T

se pueden encontrar a partir de esta manera 1 T jn t f  t  e 0 dt  T 0 A T  2  te jn0t dt T 0

cn 

A  2 T

A  2 T

 te jn0t    jn0

T

 0

1  jn0



T

0

e jn0t dt

 Te jn2  1  jn2     1  e 2    jn0  jn0  




Puesto que:

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e jn2 =1 



cn



j

A

A j 2n



n0 T

A j 2 e 2n 



Ciertamente este resultado no tiene significado para n=0; por consiguiente, para n=0 tiene a partir de c0



1

T

  T



f t dt

0

A T

2



T

tdt

0



1 2

A

Donde: 







A A  1 j n0 t  2  f t  j e 2 2 n  n



A A  1 j n0 t  2    e 2 2 n  n





Donde

 significa que la sumatoria solo incluye enteros diferentes n 

de cero

6. Demostrar que el conjunto de funciones complejas de la serie de Fourier e 

j n0 t 



0, 1, 2,... a la condición de ortogonalidad para n

en el intervalo 

2 1 1 T  t  T donde 0  2 2 T

SOLUCIÓN



T /2

 T /2

e jn0 t

1 1dt  e jn0t jn0

T 2

T 2

1 jn e  e jn jn0



 0 para n  0,






T /2

 T /2

SEMESTRE: IV





T /2

e jn0t e jm0t  dt  

 T /2







e jn0 te  jm0 tdt



T /2



T /2

 T /2



FECHA: 24/06/2016

 T /2

j n  m 0 t

e

j n  m 0 t

e

dt

dt

1 j n  m  t e  0 j n  m  0

1 j n e j n  m 0







1 j n  m 0



0 para n  m.

m 

 1



 n  m

e





jn  m 

 1

T 2

T 2



n  m



7. Encontrar los espectros de frecuencia ‘ara la fucion periódica f(t), la cual consta un tren de pulsos idénticos de magnitud A y duración d. F t 

-T

-

T 2

-

d 2

t 0

d

T

2

2

T

1 1     A para d t d  2 2 f t    0 para  1 T  t   1 d, 1 d  t  1 T  2 2 2 2




SEMESTRE: IV

FECHA: 24/06/2016

SOLUCIÓN Entonces, por con 0

2 / T , se tiene



1 T A  T

cn 



T2



d2

T 2

d 2

f  t  e  jn0 tdt e

jn0 t

dt

A 1 e jn0 t  T  jn0



d 2



A 1 e jn0 d 2  e  jn0 d 2 T jn0



A 1 1 jn0 d 2 e  e  jn0 d 2 T  n0d  2j  2   





Pero n0d / 2

d2





Ad T



 n0d    2   n0d   2   

sen 

nd / T ; de donde,

cn

Es obvio, según que

cn



Ad

 nd    T   nd   T   

sen 

T

es real y por consiguiente el espectro de fase

es cero. El espectro de amplitud se obtiene dibujando variable discreta n0 . La ecuación tiene valores solamente para la frecuencia discreta n0 ;es decir, el espectro de frecuencia es una función discreta existe

solamente cuando  

0,

2

T

,

4

T

,..., etc.

Se debe considerar el espectro para algunos valores específicos de dt T; para d 1 / 20 y 1 / 4 de segundo, 

0 


2  8 T CURSO: MATEMÁTICA APLICADA


SEMESTRE: IV

FECHA: 24/06/2016

Por consiguiente, el espectro de amplitud existe cuando  

0,



8,

 16,...,

etc.

Y se muestra la figura

d

1 , T 20 

0

cn

1 d 1 ,   4 T 5 2   8 T

A /5

t 

80



100

40

 

0

50

40

80

50

100

Puesto que d T 1 5 el espectro de amplitud se hace cero en el valor de n0 , para el cual 

n0

d  m 2

Es decir, cuando

n

ó

d 1  n  m T 5

m  1, 2,... ,

  50   40, 100   80,

En el caso segundos, y

siguiente



0



2 T



se

considerará

4,

d T



15 0



d





120,...

1 20 y T



1 2 de

1 10

Por consiguiente, el espectro de amplitud existe cuando   0, Y se hace cero en el valor de n0

d  m 2

Es decir, cuando

ó

 4, n0 para

n

 8,..., el cual

d  1   n    m T 10  

  100  40, 200   80,

m  1, 2,... , 

30 0



120,... .

El espectro de amplitud para este caso se muestra en la figura.




SEMESTRE: IV

FECHA: 24/06/2016

cn 1 1 d 1 , T ,  20 2 T 10 2 0   4 T

d A / 10

t

 80  100

 40  50

0

40

80

50

100

8. Deducir la serie compleja de Fourier, del tren de periódico de pulsos.

T t   t  T 

-T

 t

 t 

 t  T 

0

 t  2T 

T

       nT   n    t 

si

si

2T

 

T 2 T 2

 

t

t

 

T 2 T 2

SOLUCIÓN

Por consiguiente, con

0 

2


T

, se tiene:



cn 

1 T

SEMESTRE: IV T 2



1 T

 T  t  e jn tdt  0

T 2



1    T  t  nT   T n  



e



T 2

  t  e  jn tdt 0

T 2

 jn0 t

n  

FECHA: 24/06/2016



1  jn0t e T t0



1 T

1  T



e

 jn

2 t T

n 

9. Si f 1(t) y f 2(t) son dos funciones periódicas que tienes el mismo periodo T, demostrar que: 1 T

Donde f1  t  y





T 2

T

2

   

f1 t f2 t dt

  c  c 



1 n

n 

c1 n y  c2 n son coeficientes f2 t  , respectivamente.

2

n

complejos

de

Fourier

de

SOLUCIÓN 

f1  t  

 c  1

n  

 c1 n



1 T

T 2



T 2

 c2 n



 c 

2 n

n 

1 T



T 2

T 2

0 

,

2 T

f1  t  e jn0 tdt



f2  t  

jn0 t

e n

e jn0t

f2  t  e

jn0 t

dt

Entonces:




1 T

SEMESTRE: IV

   jn t c e f t dt      2   T 2 n 1 n 

1 f1  t  f2  t  dt  T 2 T



T 2

T 2

0



1 T

 c1 n 



n  

1 T



T 2

T 2

f2  t  e jn0tdt 

1 T

FECHA: 24/06/2016



T2

 T 2

f2 t  e



T 2

T 2

 

f2  t  e jn0tdt 

 j n 0 t

dt 

  c2 n 1  T





T2

f  t  f2  t  dt 

T 2 1

 c  c 

n  

1 n

2 n

10.

Encontrar la representación de la integral de Fourier de la siguiente función. t0

0,  f  t   1, 0, 

0t2 t 2

SOLUCIÓN

A



     f  t  cos  t  dt 





0



 

f t cos

 t  dt  

2

 

f t cos

0

0

 t  dt  



2

 

f t cos

 t  dt



2

 0 cos  t  dt   1 cos  t  dt    0 cos  t  dt 0

2

entonces :



2

cos

0



2



2

cos

 t  dt 

cos

 t  dt 

0

0

 t  dt 

sen

 t 

 sen 2



0



 sen 2



2



sen 0














B

SEMESTRE: IV

FECHA: 24/06/2016



     f  t  cos  t  dt 





0



 

f t sen

2

 t  dt   f  t  sen t  dt   0

0



2

 

f t sen

t  dt



2

 0  sen  t  dt   1 sen t  dt   0  sen t  dt 0

2

entonces :



2

sen

0



2



2

 t  dt 

cos

 t  dt 

cos

  t  dt 

0

0

 

f t

1



 0

cos

 t 



2

0

 cos 2  



1  cos 2



 cos  0  





  sen 2      cos  t       


  1  cos  2     sen  t   dt    


4. Examen Resuelto de Series de Fourier

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