KIMIA KUANTUM D1B233 YATI B. YULIATI, Dra., M.S. IMAN RAHAYU, S.Si.,M.Si
Prasyarat : D1A102 Matematika II D1B232 Kimia Fisik II
Bahasan
• • • • • • •
Teori atom dan lahirnya kuantum Dasar-dasar Teori Kuantum Konsep operator Sistem mekanika gelombang dengan energi potensial konstan Sistem mekanika gelombang dengan energi tidak konstan Interaksi materi dan energi Struktur molekul
Pustaka
• Chandra, Introductory Quantum Chemistry • Atkins, Physical Chemistry Hubungan dengan kuliah ini
• Kuliah ini mendasari: – Kuliah lanjut kimia (kimia inti dan radiokimia) memahami: • Sangat penting untuk memahami: – Struktur molekul – Spektroskopi molekul
Mekanika klasik • Perilaku atom/molekul dikaitkan dengan objek sehari-hari dan planet•
planet Gagal menjelaskan partikel-partikel sangat kecil
Persamaan fisika klasik • Lintasan dalam hubungannya dengan energi Energi Total
Ek = Energi kinetik V = Energi potensial
E = Ek + V E
1 2
mv2 V 1
2(E - V) 2 dt m
dx
Persamaan ini untuk energi total menunjukan posisi partikel sebagai fungsi waktu (lintasan partikel)
Hukum Kedua Newton = tentang gerakan partikel
dp dt
F
p m .
dx dt
Gerakan Partikel Lainnya Gerakan Rotasi
J
=
I
Momentum sudut J sebuah partikel
Osilator Harmonis Gerakan osilator = vibrasi atom pada sebuah ikatan
F
=
-kx
Kegagalan Fisika Klasik • •
Menerangkan transfer energi pada kuantitas yang sangat kecil Pemerian mengenai gerakan partikel karena massa yang kecil dan momen inersia yang kecil
Apa yang salah dengan M. Klasik ? I. Gaga Gagall men menje jela lask skan an radi radias asii ben benda da hita hitam m
• Semua benda panas mengeluarkan radiasi • Semakin tinggi suhu, puncak bergeser ke rendah • Secara empiris ada: • Hk. Stefan boltzman M=k.T4, M=energi radiasi/satuan luas permukaan
• Hk. Pergeseran P ergeseran Wien T. max = konstan
Radiasi benda hitam
• Representasi masalah radiasi ini adalah benda hitam (benda ideal yang dapat mengabsorpsi dan memancarkan radiasi di semua rentang spektrum dengan uniform)
Penjelasan Klasik
• Rayliegh dan Jeans yang melakukan • Berdasarkan prinsip ekuipartisi, energi terserap sebagai kontinum • Menghasilkan formula: pd = 8kT-4d
• Skandal UV
Hipotesa Planck (Kuantum)
• Berdasarkan asumsi, energi terserap tidak sebagai kontinum, tapi paket. • Menghasilkan ungkapan: kT-1)-1 pd = 8kT-5(ehc/kT-
II. Gagal menjelaskan Efek Fotolistrik Hasil Percobaan
• Tak ada elektron keluar, walau sebesar apapun intensitas, bila frekuensi ambang tak dilewati
• EK elektron yang dilepas naik dengan naiknya frekuensi, tetapi tak bergantung pada intensitas
• Pada intensitas serendah apapun, elektron tetap dilepaskan sepanjang frekuensi ambang dilewati.
Mekanika Klasik gagal
• Mekanika klasik meramalkan dengan naiknya intensitas energi elektron yang dilepas akan naik pula b ergantung pada • Secara klasik tak ada alasan mengapa EK harus bergantung frekuensi
• Sukar menjelaskan bagaimana energi dapat terkonsentrasi dalam ruang yang kecil.
Penjelasan Kuantum (Einstein)
• Melangkah lebih lanjut dari Planck: tidak hanya dalam proses penyerapan, dalam proses transportnya energi energi juga terkuantisasi
• Paket energi besarnya berbanding dengan frekuensi
Apa Yang Salah dengan M.Klasik ? III. Gagal menjelaskan Spektrum Atom Atom
d iamati • Sejak abad 1 telah diamati, bila gas diberi nyala akan diamati
beragam warna warna
• Segera dikenali dengan prisma, spektrumnya bukan kontinu • Beberapa unsur ditemukan dengan mengenali spektrumnya Spektrum Atom Atom H
• 1885 Balmer menemukan ada hubungan matematik antar garis di spektrum H:
= b{n2/(n2-22)} • Balmer memprediksi ada deret lain, dengan mengganti 2 dengan 1, 3, 4
Spektrum Atom H
• Ternyata memang diamati daerah lain • Total ada daerah: • Lyman(uv) • Balmer (tampak) • Ritz (IR) • Brackett (IR) Mekanika Klasik Gagal
• Menurut Klasik, energi kontinum, sehingga spektrum garis dengan frekuensi tertentu tidak dapat dijelaskan
Penjelasan Kuantum (Bohr)
• Energi elektron tertentu, tercermin dengan momentum sudut yang tertentu. • Didapat ungkapan: • En = -13.6/n2
Dasar – Dasar Teori Teori Kuantum Radiasi cahaya memiliki sifat dualisme: du alisme: 1. Berupa arus partikel / foton 2. Gerak gelombang Sifat dualisme cahaya diterapkan oleh de Broglie (1923) terhadap elektron yang bergerak mengelilingi inti. Menurut teori relativitas Einstein, relativitas Einstein, energi suatu partikel adalah
E = mc2 Sedangkan E = h , maka didapat:
mc
2
hν h
c
λ
Sehingga untuk foton untuk foton:
λ
h mc
h p
c = kecepatan cahaya p = momentum momentum
Demikian juga hal tersebut berlaku untuk elektron
λ
h m
h p
= kecepatan elektron
Hal ini menunjukkan sifat gelombang dari materi. Dengan adanya teori gelombang dari elektron, maka kedudukan elektron sekeliling inti tak tertentu. Prinsip ketidaktentuan Heisenberg : Heisenberg : Nilai sepanjang pengamatan khas tak dapat ditentukan secara simultan dengan ketelitian tinggi. Contohnya: pasangan momentum dan kedudukan, pasangan energi dan waktu. Batas ketelitian pengukuran fisik dinyatakan oleh hubungan:
q . p ћ/2 E . t ћ/2
h
2
Hal ini tidak berarti untuk benda besar tetapi sangat berarti untuk elektron, atom dari molekul. Kedudukan dan momentum dari elektron memberikan informasi mengenai kebolehjadian menemukan menemukan elektron di sekeliling inti Persamaan Schrodinger = mekanika kuantum/mekanika gelombang yang menggambarkan prilaku elektron Persamaan Schrodinger: 1. Menggambarkan energi elektron 2. Kedudukan elektron digambarkan sebagai kebolehjadian Untuk elektron yang berbentuk dalam satu dimensi Persamaan gelombang:
d
2
dx
2
-
4 2
2
…………………………………. (1) ………………………………….
Sebagai f(x), panjang gelombang
Untuk 3 dimensi persamaan menjadi:
d 2 dx
2
d 2 dy
2
d 2 2
dz
4 2
2
0
…………………………………. …………………………………. (2)
= (x,y,z) = koordinat Cartes Dapat juga dituliskan:
2
4
2
2
2
2 = del
d dx
2
0
2
d dy
2
…………………………………. …………………………………. (3)
2
d 2
dz
…………………………………. …………………………………. (4)
Dengan persamaan
h
2
dimana
p
dan p m
Hubungan tersebut disubstitusikan ke persamaan (3) maka dihasilkan:
2
4 2 m 2 2 h2
0
…………………………………. ……………………………… …. (5)
Persamaan gelombang ini dapat digunakan untuk menghitung tingkat energi atom hidrogen dengan energi kinetik = ½ mv2 = E-V
e 2 V 4 r Substitusi hubungan
V 2
2 m
( E V ) ke dalam persamaan (5) memberikan:
2
8 2 m h
2
( E V ) 0
…………………………………. …………………………………. (6)
Persamaan Schrodinger dapat diubah menjadi:
h2 2 2 V E 8 m
…………………………………. …………………………………. (7)
OPERATOR CONCEPT IN QUANTUM CHEMISTRY
An operator is a symbol for a certain mathematical procedure which transforms one function into another. For example, the operator of evaluating the derivative with respect to x is represented by the symbol d/dx. When this operator is applied to the function x n we obtain a new function as
d dx
( x ) nx n1 n
A list of typical examples of different mathematical operations along with the results of the operations on the function, x 3 is given in
Operator
Result of operation on x3
( )2
x6
Talking the square root
X3/2
Multiplication by a constant
k
Kx3
Differentiation with respect to x
d/dx
3x2
Integration with respect to x
( ) dx
X4/4 + c
Operation Talking the square
(Operator) . (function) = (Another function) Additional and Subtraction of Operators
If A and B are two different operators, then new operators A + B and A – B can be defined as (A + B) = Â + B (A - B) = Â - B Where is an operand it is also true that
A + B
=B + Â
A - B
= -B + Â
Multiplication of Operators
B1 = 1 Then 1 operated on by  to obtain the final function 11 as Â1 = 11 So that  B = 11
  = Â2
Linear Operator
Commutator
Vector Operator
Were i, j, k are unit vectors along the x, y and z axes. Operating on a scalar function , this operator generates a vector called the gradient of .
Laplacian
Eigenfunctions and Eigenvalues
= Eigenfunction = Eigenvalues
POSTULATE OF QUANTUM MECHANICS Postulat I
• Setiap keadaan dari sistem dinamik H partikel digambarkan oleh fungsi (q1,,q2,…q3n, t) • Besaran * sebanyak dengan kebolehjadian menentukan q1 antara q1 + q1 + q2 antara q2 + dq2,… Postulat II
Untuk setiap sifat dari sistem yang teramati, ada operator Hermit. Operator Hermit didefinisikan dari hubungan: seluruh ruang *
α j d = seluruh ruang i α * * j d ˆ
ˆ
Postulat III
Nilai yang dapat diukur dari besaran A diamati secara fisik adalah nilai eigen a i :
A ψi ai ψi ˆ
A = operator sesuai dengan yang diamati ˆ
χ E n n ˆ
Substitusi persamaan (3,7) ke dalam persamaan (1.64), didapat:
h
2
v E 2
2m
atau
h
2
2m
( E V ) 0 2
Postulat IV
Nilai rata-rata dari yang teramati yang y ang berhubungan dengan A dinyatakan sebagai:
a * A dr ˆ
= fungsi gelombang ternormalisasi untuk suatu keadaan.
Postulat V
Fungsi gelombang suatu sistem berubah dengan waktu menurut persamaan:
(r , t ) (r , t ) ih t ˆ
= operator Hamilton untuk sistem
1. SYARAT – SYARAT FUNGSI GELOMBANG ψ
1. Mempunyai nilai tunggal 2. Tidak mempunyai mempunyai nilai tak terhingga
3. Fungsi gelombang dan turunannya harus kontinu 4. Fungsi normal normal yaitu memenuhi syarat :
| ψ |2 d τ 1
2. Pembentukan Operator
• Berdasarkan sifat partikel dan gelombang • Fungsi gelombang bebas pada sumbu x ψ A s in
Atau ψCe
2πi
Turunan Pertama:
2π
h
d ψ
p x
dx
A tetapan
x
x
C tetapan
d ψ dx
2 i
2 i ψ
2 i h
p x ψ
h d p x 2 i dx ˆ
Ce
2 i x
3. Persamaan Operator Momentum Linier
p x ˆ
h d
2 i dx
4. Operator Energi
Operator Energi Total H
1 2
mv2 V
Ĥ (Hamiltonian)
H = energi total
m = massa partikel v = kecepatan V = energi potensial
Ĥ = Operator Hamiltonian (Operator Energi)
H
p 2
2m
V
p = momentum momentum linier
Operator energi (satu dimensi)
H
h2
d 2
ˆ
8m dx 2
2
V
Operator energi tiga dimensi
d 2 d 2 d 2 2 2 2 V H 2 dy dz 8m dx ˆ
h2
Atau H ˆ
h2
2 V 2
8m
Lapla aplacian cian 2 L
5. Persamaan Operator Variabel
Operator
Pers. Operator
Mekanika Kuantum
Mekanika Kuantum
x
x
x
ˆ
ˆ
Momentum linier
p x
p y
p z
ˆ
(satu dimensi) Energi Total (tiga dimensi) Momentum Sudut
E atau Η ˆ
ˆ
E atau Η ˆ
ˆ
L x ˆ
d
2 i dx
ˆ
ˆ
Energi Total
h
h
d
2 i
dy
h
d
2 i
dz
h2
d 2
8m 2 dx 2 h2 8m
2
V
2 V
h d d y z dy 2 i dz
L y
h d d z x dz 2 i dx
L z
h d d x y 2 i dy dx
ˆ
ˆ
ih
Energi Total
H ˆ
6. Sistem Kuantum Sederhana
I.
Sistem Energi Potensial Tetap - Kotak satu dimensi - Kotak tiga dimensi - Partikel dalam lingkaran - Bidang perintang potensial
- Rotator kaku II.
Sistem Energi Potensial Berubah
- Osilator Harmonik - Atom Atom hidrogen dan atom-atom yang menyerupainya
7. Kotak Satu Dimensi
Sebuah elektron bermassa m bergerak dalam arah sumbu x dari x=0 sampai x=a V
I & III = energi potensial tak terhingga V = ~
II I
e
III
II
= energi potensial nol V=0
x=0
x=a
Permasalahan
1. Fungsi gelombang 2. Energi elektron
8. Solusi
Sumbu x satu dimensi Persamaan gelombang
Ĥ = Operator Hamiltonian H ψ E ψ ˆ
E = Energi
ψ = Fungsi gelombang 2ψ V ψ E ψ 2 2 8m x h2
2 ψ 8m 2 2 ( E V )ψ 0 2 h x
Daerah I & III 2 ψ 8m 2 2 ( E )ψ 0 2 h x
2ψ 0ψ0 2 x Daerah II
2 ψ 8m 2 2 E ψ 0 2 x h 8m 2 h
2
E k 2
2ψ 2 ψ0 k 2 x Y = C cos kx + D sin kx
9. Pada x = 0
ψ I = ψ II
0 = C cos 0 + D sin 0 jadi C=0 Pada x = a
ψ II = ψ III
C cos k a + D sin k a = 0 C=0
} D sin k a = 0 Sin k a = 0 k =
Jadi fungsi gelombang n x a D tetapan
ψ n D s in
n 1,2,3....
(bilangan kuantum utama)
n a
10. Normalisasi Fungsi Gelombang ψ n D s in
n a
x
batas x 0 sampai x a
a
| ψ n | dx 1 2
0 a
D 2 sin 2
0
sin 2 θ
Maka:
n a
1 2
dx 1
(1 c os 2θ)
a 1 a 1 2n D dx c os xdx 1 a 2 2 0 0 2
a D 2 0 1 2 D
2 a
Jadi fungsi gelombang normal untuk elektron dalam kotak satu dimensi ψn
2 a
s in
n x a
11. Fungsi gelombang normal pada bilangan kuantum yang berbeda (n nl) a
ψ ψ n
n'
dx 0
0
Fungsi gelombang pada n dan n l bersifat ortogonal Transisi elektron ψ nI
E
ψn
( n' ) 2 n 2 8ma 2
h2
Frekuensi transisi diperoleh melalui hubungan
E h ( n' ) 2 n 2 8ma
2
h
Panjang gelombang
8ma 2C {( n' ) 2 n 2 }.h
12. Tingkat-tingkat Energi Elektron 8m 2 h2
E k 2
k
n a
untuk n 1 E n2 E n 3 E n4 E
dst
Jadi h2
8ma 2 4h 2 8ma 2 9h 2 8ma 2 16h 2 8ma 2
En ~ n2
E
n2h2 8ma 2
n=4
E4
n=3
E3
n=2
E2
n=1
E1
E0
Jarak antara tingkat energi, semakin besar E l
• Energi terkecil dari elektron adalah • Karena energi potensial = 0 •
kinetik Elektron selalu bergerak
E l
h2
8ma
2
h2
8ma 2
merupakan energi
13. Karakteristik Fungsi Gelombang
ψ4 ψ3 ψ2 ψ1
Fungsi gelombang ψ bergantian simetrik dan antisimetrik
ψ1
: Simetrik
ψ2
: Antisimetrik
ψ3
: Simetrik
ψ4
: Antisimetrik dst
KOTAK TIGA DIMENSI Elektron dalam kubus sisi kubus a, energi potensial V dalam kubus = 0 dan energi potensial V luar kubus = Kedudukan Elektron :
ψ(x, y, z)
(x,y,z) (x,y,z) = f(x) f(y) f(z) 8 a
3
s in
nxπ a
x s in
a
y s in
nzπ a
(n x n y n )h 2
E E x E y E z
n yπ
2
8ma
2 z
2
2
z
2 2 2 2 2 2 V Operator energi Ĥ = 2 8m x y z h2
nx = 1,2,3,… ny = 1,2,3,… nz = 1,2,3,…
}
Bilangan kuantum utama arah x,y dan z
Ada tiga keadaaan elektron dengan dengan energi yang sama yaitu pada: nx, ny, nz (2, 1, 1) (1, 2, 1) (1, 1, 2)
}
E
6h 2 8ma 2
Jika dimensi kotak tidak sama (a, b dan c) Fungsi Gelombang
ψ(x, y, z)
8 abc
s in
n x π a
x s in
n yπ b
Energi E
2 h 2 n x
a 8m
2
n y b
2
2
2 nz
c 2
y s in
nzπ c
z
Elektron dalam Lingkaran (x=0) e-
• Gerakan elektron dibatasi sepanjang bidang yang berbentuk lingkaran • x adalah titik yang berubah-ubah pada lingkaran (x=0 samapai x=c, dimana c adalah panjang dari lingkaran • Fungsi gelombang harus mempunyai nilai tunggal, sehingga
(x) = (x+c)
Persamaan Gelombang
2 ψ 8π 2 m 2 (E V) ψ 0 2 h x 2 m 8 2 Karena V=0 dan E k h2
Maka ψ A s in kx B c os kx Pada x=0
(0)
=
(c)
A sin k.o + B cos k.o = A sin k.c + B cos k.c B = A sin k.c + B cos k.c
ψ Ak c os k x - B k s in k x x ψ ψ x x 0 x x c Ak = Ak Cos k c – B k sin k c B = A sin k c + B cos k c
}
2
8π m 2 dari E k h2
E
k
2nπ c
n2h2 2mc 2
C = panjang lingkaran
Jadi fungsi gelombang ψ A s in
2nπ C
x B c os
2nπ C
x
Normalisasi 2n 2n 2 o A s in c x B c os c x dx 1 c
c
c
c
2n 2n 2n 2 2 2n A sin xdx xdx B c os xdx xdx 2 AB sin x c os xdx xdx 1 sin sin c c c c 0 0 0 2
2
( A B ) 2
2
A
C 2 2 C
A B
1
2
Cos
2
A
2 C
2 C
Sin Sin
Fungsi Gelombang
ψ
2 c
cosα cosα s in
2n π c
x
2nπ s in x α ψ c c 2
2 c
s inα cos
2n π c
x
SISTEM DENGAN BIDANG POTENSIAL BERUBAH V=VO
I V=0
E
Elektron (masa =m) bergerak dalam arah sumbu x positif dalam II suatu bidang potensial
V=0
untuk x<0
X=0
V=Vo V=Vo untuk untuk x>0
X
Persamaan Schrodinger
ψ I 8π m I. 2 Eψ I 0 2 x h 2ψ II 8π 2 m II. 2 (E - V0 )ψ II 0 2 x h 2
2
Jika 0
ψ I A
ik 1 x
B
ik 1 x
A, B konstanta
2ψ II 8π 2 m II. II. 2 (E - V0 )ψ II 0 2 h x
2ψ II 8π 2 m 2 (V0 - E) ψ II 0 2 x h
ψ II C
k 2 x
D
k 2 x
ψ Syarat: ψ dan kontinu, berarti berar ti: x ψ I ψ II ψ I ψ II dan , pada x 0 x x 1.
2.
A ik 1x B ik 1x C k 2 x x 0
ik, A x 0
ik 1x
}
A + B =C
ik , B ik x k 2C k x 1
2
}
ik,A - ik,B = -k 2C
A-B = -
Ck 2 ik 1
A B
c(1 k 2 / ik l ) 2 c(1 k 2 / ik l ) 2
}
B A
1 k 2 / ik l
ik l k 2
| B |2 | A |
2
(k 2 ik l ) k 2 k 1 2
2
1 k 2 / ik l
ik l k 2 k 2 ik l
(k 2 ik l )
k 2 ik l k 2 ik l
Intensitas elektron yang dipantulkan
Kemungkinan Kemungkinan adanya partikel-partikel elektron yang ditransmisikan dalam daerah II dinyatakan dengan koefisien transmisi
C A
2
dalam
mekanika klasik koefisien transmisi ini tidak dapat diramalkan
dianggap =0 C
2
A
k l 2
Substitusi:
Maka:
C A
2
2ik 2ik l
2ik 2ik l
ik l k 2 ik l k 2
8π 2 m h 4E Vo
2
E dan k 2 2
4k l
2
k 2 k l 2
8π 2 m h
2
(Vo - E)
0 , Koef. transmisi
Tidak nol kecuali energi potensial dari rintangan tidak terbatas. Besarnya koef. transmisi tergantung pada energi potensial dari rintangan dan masa partikel jadi elektron/partikel jika dalam gerakannya dihalangi suatu perintang yang mempunyai energi potensial tertentu ia dapat meneruskan gerakannya. Hal ini ditemukan dalam desintegrasi radioaktif dari inti atom oleh partikel alfa.
ROTATOR KAKU
Misal rotasi molekul diatonik dalam ruang dimana panjang rantai tidak berubah selama perputaran. Molekul diatonik dengan masa masing-masing m 1 dan m2 dan jaraknya R. Jika
O: pusat gaya berat dan O- m1 = r 1 O- m2 = r 2
r 1
}
m2 R m1 m2
m1r 1
= m2r 2
r 1 + r 2 = R
&
r 2
m1 R m1 m2
Energi kinetik perputaran atom:
Ek E k
1 2
m1v1 2
1 2
m2v2
2
Dimana V1= kecepatan linear m1 V2= kecepatan linear m 2 Jika w = kecepatan sudut maka:
Ek E k
1 2
m1ω r 1 2
2
1 2
m2ω2 r 2
2
I adalah kelembaman I momen inersial momen sudut total dari rotasi , maka energi kimia dapat ditulis:
Ek
1 2
ω 2 I
L2
2 I
I
m1m 2
(r 1 r 2 ) 2 dan L ωI
m1 m 2
Jika energi potensial rotator V=0 dan perator Hamiltonian 2
adalah:
H ˆ
L
2 I
L2 dinyatakan dalam koordinat bola dimana:
L = iLx + jLy jLy +kLz +kLz
& L = L.L = Lx2 + Ly Ly2 + Lz2 Operator momentum sudut ditransformasikan ke koordinat bola sbb:
z
x = r sin cos y = r sin sin
r z x
z = r cos
y y
z2 + y2 + x2
= r 2 cos2 + r 2 sin2 sin2 + r 2 sin2 cos2 = r 2 (cos2 + sin2 sin2 + sin2 cos2 )
= r 2 (cos2 + sin2 (sin2 cos2 )) = r 2 (cos2 + sin2 ) z2 + y2 + z2 = r 2
= f ( r, , )
Fungsi gelombang dalam koordinat bola
dr d d r
r x r x x x r y r y y y r 2 = x2 + y2 + z2
r = ( x2 + y2 + z2 )1/2
r 1 2 ( x y 2 z 2 ) 1/ 2 .2 x x 2
x (x y z ) 2
2
2 1/2
x r
s in cos
r y s in s in y r r z cos z r h y z L x 2 i z y ˆ
h L y z x 2 i x z ˆ
h x y L z 2 i y x ˆ
Momentum-momentum sudut dinyatakan dalam koordinator bola
h
s i n cotg c os 2 i
L x ˆ
h
L y c os cotg s in 2 i ˆ
L z ˆ
2 i h
2 1 1 2 s i n L 2 s in 2 2 4 s in
h
2
ˆ
Persamaan Schrodinger untuk rotator kaku:
H ˆ
L2 2 I
maka :
Ĥ=E dimana
h2 1
1 2 E s in 2 2 8 2 I s in s in
1 2 8 2 I 2 E 0 s in 2 2 s in h s in 1
Persamaan ini terdiri dari 2 variable sudut dan . Hal ini dapat diselesaikan dengan metoda pemisahan variable = ()()
Metoda ini menghasilkan suatu bentuk fungsi gelombang total dari rotator kaku, dinyatakan oleh:
ψ (θ, ) θ , m( θ θ ) m( ) r , m( θ θ , )
dimana:
m( )
1 2
( ) ,m( )
im
( m 0,1,2,3, ,...)
2 1( | m |)! |) ! P | m | (cos ) 2( | m |)! |) !
Sehingga fungsi gelombang rotator kaku dapat dinyatakan dengan:
,m ( , )
1 2
2 1( | m |)! |) ! |m| P (cos ) im 2( | m |)! |) ! Polinom Legendre
dimana:
P ( x )
d
1 2
!
dx
P ( x) (1 x 2 ) m
|m|
P
( x)
1 2
!
x
|m|
2
1
2
d m m
P ( x)
2
d |m|
dx
| m|
1 x 2
dx
| m|
x
2
1
dan =
m = bilangan kuantum rotasi
1, 0,1,2,… dan m = - , 1, …0, … |m|
Beberapa fungsi polimer Legendre p ( x) untuk beberapa nilai dan m P 00 ( x ) P 0 ( x) 1 P ( x) P 1 ( x) 0 1
P ( x) (1 x ) 1 1
P 20 ( x)
1 2
(2 x) x
2 1/ 2
1
(3x 2 1)
2 P 21 ( x) (1 x 2 )1/ 2 3 x
P 22 ( x) 3(1 x) 2
P 32 ( x) 15 x(1 x 2 )
Contoh:
,m
Fungsi gelombang
1,1( , )
1 2 3 2 2 3 2 2
untuk =1 dan m= ± 1
2 1
i (1 c os ) 2.2 1
2
2
s in i s in i
Besarnya energi kinetik rotasi:
E
( 1) h
2
8 I 2
Dimana I=momen kelembaman/mersia. Energi suatu rotator kaku tidak tergantung pada bilangan kuantum m dan keadaan paling dasar berlaku pada =0 dan m=0
