Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
c) 6) La distancia del punto, P del espacio, a un plano H es 15m y la proyección sobre H de la distancia de “P” a la recta L contenida en H mide 8m. La distancia de P a L es: a) 17m b) 15m c) 18m d) 15 2m e) 20m
7) Se da un plano “A” y un punto exterior “M” a él desde M se trazan las oblicuas MP = MR = 8m y la perpendicular si m PMS = m M S
RMS = 30º y m Hallar PR.
PSR = 36º.
a) 2m (2
b)
5 −2)m
c) ( 5
−2)m
e) ( 5
+2)m
8) El segmento
d)
5m
está contenido en un plano y mide AB
10 3 m. ¿A qué distancia de éste plano deberá trazarse un plano paralelo por el punto “P” de modo que m PAB = 60º y m PBA = 45º?
5(
3
d)
−1)m
5(1 − 3 )m
e) 15
3m
9) Se tiene un segmento tal que MR = 4m, contenido en un plano P1, S un punto en otro plano P2, . ¿A que distancia de P1, debe trazarse el plano paralelo P2, para que m SRM = 30º y m RMS = 45º? MR
a) 2( 3
−1)m
c) 2( 3 e) 15
+1)m
b) 2 3m d) 2m
3m
10) En 2 rectas que se cruzan, la mas corta distancia es 4m, se toma en un mismo sentido las longitudes OA = AB = 5m sobre la primera y O’A’ = O’B’ = 5m sobre la segunda, Si AA’ = 5m Calcular BB’. a) 2m c) 2 13 m (2
b) 13m d)
3 −2)m
e) 4 13 m
a) 15 ( 3
−1)m
15 (1 − 3 )m
Geometría
b)
11) Si
son 2 rectas que se cruzan en el espacio, sobre AB se toman A B
y C D
10
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
los puntos E, F y G y sobre CD se toman los puntos P , I y H de tal manera que EP es perpendicular a ambas rectas e igual a 4m. EF = FG = PI = IH = 20m. Hallar GH sabiendo que FI = 5m. a) 2 5m
b) 2 13 m
c) 2 15 m
d) 2 17 m
e) 2 7m
12) Sean
dos rectas que se cruzan y son contadas por 3 planos paralelos en los puntos respectivos A, B y C y A’, B’ y C’, tales que A’B’=6m , B’C’ = 12m , BC = 20m y BB’ = 10M, si la distancia mínima es AA ' , Hallar esta distancia. a) 8m d) 10m
A C
y A ' C'
b) 3m e) 20m
c) 6m
13) El
triángulo equilátero ABC esta en un plano perpendicular a un cuadrado ABDE, siendo AB el lado común del triángulo y del cuadrado si M es punto medio de AC , N punto medio de BD
y el área del triángulo
del cuadrado mide? a) 2 2m
b) 2 10 m
c)
10 m
d) 6 2m e) 4 2m 14) En un plano H se encuentra una circunferencia de 4,5m de radio, la distancia de “P” a la circunferencia es 15m, hallar la menor distancia de “P” a la circunferencia. a) 3 10 m
b) 2 10 m
c)
d) 6 2m
10 m
e) 4 2m
15) Desde un punto “P” se traza PA perpendicular al plano H, luego se hace pasar por A , una circunferencia cuyo radio mide 5m, se une P con C, que es un punto de la circunferencia. Si AB es un diámetro, AC = 8m y m BPC es 30º, hallar el área del triángulo PBC.
a) 18 12
Geometría
3m2 , es el lado
BMN es
3m 2
b)
3m2
11
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
c) 18
36
3m2
d)
e) 12
2m2
2m2
TEMA: POLIEDROS EL ESPACIO.- La idea de espacio es abstracta, la vamos a entender como la extensión de cada uno de los puntos inmaginables. El conjunto de todos los puntos inmaginables, llena el espacio en su totalidad.
EL PLANO.-
Nos da la idea de un plano, la superficie de una mesa, las paredes de una aula, el piso, para determinar un plano sólo se necesitan tres puntos. Además se representa mediante un cuadrilátero. B
A
.
C
.
P
l a
n
o
.
P
POSTULADOS 1)
En todo plano hay infinitos puntos y rectas.
Geometría
12
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
2) Si dos puntos de una recta están en un plano todos los puntos de dicha recta estarán también en el plano. B
A
3) Si una recta interfecta a un plano que no la contiene, entonces la intersección es un solo punto.
4)
Por una recta pasan infinitos planos.
Geometría
13
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
ÁNGULO DIEDRO Es la reunión de dos semiplanos no coplanares que tienen como origen una recta común, la recta común se llama arista y los semiplanos, caras del ángulo diedro. En la figura se tiene un ángulo diedro de arista AB y caras P y Q, a éste ángulo diedro lo denotaremos por: P – AB – Q
Q B P
a t s i r A
A
POLIEDROS POLIEDRO.Es la porción del espacio limitado por 4 ó más polígonos planos no coplanares, llamados, caras, pueden ser convexos o no convexo.
Geometría
14
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
P
o
l i e
d
r o
C
o
n
v
e
x
P
o
o
l i e
d
r o
n
o
C
o
TEOREMA DE EULER “En todo poliedro se cumple que: “El número de caras mas el número de vértices es igual al número de aristas mas dos”.
C+V=A+2 Donde:
C = Número de Caras V = Número de Vértices A = Número de Aristas
Propiedad: Si un poliedro está formado por polígonos de diferente número de lados, el número de aristas se calcula de la siguiente manera:
A
=
n1 . p 1
+
n 2p 2
+
n3p3
+
.......... ......
2
Donde: Geometría
15
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
n1 ,n2 , n3,…….. es el número de lados de cada polígono p1 ,p2 , p3,…….. es el número de polígonos que nos dan.
POLIEDROS REGULARES Un poliedro es regular, cuando sus caras son polígonos regulares, sólo existen 5 poliedros regulares que son: 1) TETRAEDRO REGULAR: Es el poliedro que tiene 4 caras iguales, cada una de las caras es un triángulo equilátero.
Área total. (AT) A T
a
a2
=
3
Volumen. (V) a
h
a V
a
=
a2 12
2
Altura (a) a h=
a
a 3
6
a : longitud de la arista. h: longitud de la altura.
2) HEXAEDRO REGULAR: Es el poliedro que tiene seis caras iguales, cada una de la caras es un cuadrado. a
Área total. (AT) a a
A T
=
6a 2
Volumen. (V)
D a Geometría
a a
16
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
V
a3
=
Diagonal (D) D
a
=
3
a : longitud de la arista. D: longitud de la diagonal.
3) OCTAEDRO REGULAR: Es el poliedro que tiene 8 caras iguales, y cada una de las caras es un triángulo equilátero.
Área total. (AT) A T
a
D
a
a
V
a
=
a3 3
2
Diagonal (D)
a
D
a
3 a2
Volumen. (V)
a a
=2
a
a
=
2
a : longitud de la arista. D: longitud de la diagonal.
4) DODECAEDRO REGULAR: Es el poliedro que tiene 12 caras iguales y cada una de estas caras es un pentágono regular.
Área total. (AT)
Geometría
17
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
AT
=15 a
5
2
+2
5
5
Volumen. (V) V
=
5a 2 2
47
+ 21
5
10
a : longitud de la arista.
5) ICOSAEDRO REGULAR: Es aquel poliedro que tiene 20 caras iguales, y cada una de las caras es un triángulo equilátero.
Área total. (AT) A T
5a 2
=
3
Volumen. (V) V =
5a 2
7 +3 5
6
2
a : longitud de la arista.
Geometría
18
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1) Un poliedro está formado por 4 triángulos y 5 cuadriláteros, hallar el número de caras (C), vértices (V) y aristas (A).
Rpta.-
6) La diagonal de un cubo mide 7 3 m, hallar el área total.
Rpta.-
2) Un poliedro esta formado por 6 triángulos, 4 pentágonos y 7 cuadriláteros convexos. ¿Cuántos vértices tienen dicho poliedro?
7) El volumen de un cubo es
Rpta.-
8) Calcular la altura de un tetraedro regular de 12m de arista.
3) Un poliedro convexo, esta formado por 2 triángulos, 3 cuadriláteros y “x” polígonos de 11 lados cada uno. Hallar el valor mínimo de “x”.
Rpta.4) Cuantas diagonales tiene un dodecaedro regular.
Rpta.5) Hallar el área total de un icosaedro regular, cuya arista mide 24 3cm .
Rpta.-
Geometría
216m3, calcular la diagonal de dicho cubo.
Rpta.-
Rpta.9) El volumen de un exaedro regular es igual a su diagonal al cubo dividido entre:
Rpta.10) El volumen de un tetraedro regular de arista “a” es:
Rpta.11) Una de las caras de un tetraedro regular tiene un área
19
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
de 27 3m2 , calcular altura del tetraedro.
la
Rpta.12) Un poliedro convexo esta formado por 4 triángulos y 5 cuadriláteros. Hallar el número de diagonales de este poliedro:
16) Si un sólido de forma cúbica de un metro de arista, se divide en cubitos de un milímetro de arista, entonces que altura alcanzará una columna formada por todos los cubitos unos encima de otros.
Rpta.-
Rpta.13) Cuantas diagonales tiene un icosaedro regular:
Rpta.14) la arista de un cubo mide 3cm y la arista de otro cubo mide 12 cm. ¿Cuál es la razón de sus áreas totales?
Rpta.15) Un poliedro posee 100 triángulos, 24 pentágonos, 60 hexágonos y 30 eneágonos. ¿Cuántos vértices tiene el poliedro?
Rpta.-
Geometría
20
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
17) Todas las aristas de un cubo suman 48cm. Calcular la diagonal de dicho cubo.
mide 2 3 encontrar el área total.
Rpta.Rpta.-
18) Hallar el área de la superficie de un tetraedro regular de 4 cm. de arista.
20) En un cubo de 6m de arista, encontrar la distancia de uno de sus vértices al centro de una de sus caras opuestas.
Rpta.Rpta.19) La altura de una de las caras de un tetraedro regular
Geometría
21
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CASA 1) Encontrar el número de aristas de un poliedro que esta formado por 8 triángulos, 5 cuadriláteros y 6 pentágonos. a) 17 b) 27 c) 37 d) 47 e) 57 2) Hallar el volumen de un tetraedro regular, si su altura mide 2 6 a) 18 2 b) 12 2 c) 9 2 d) 24 2 e) 15 2 3) Encontrar el área total de un octaedro regular si la altura de una de sus caras mide 4. a)
c)
100
3
3 120
3
3
b)
d)
130
3
3 125
c) 6 e) 12
5) Encontrar el número de aristas de un poliedro que se encuentra limitado por 5 triángulos, 6 cuadriláteros y 7 pentágonos. a) 41 c) 48 e) 35
3
b) 38 d) 37
6) En un cubo de 4cm de arista, encontrar el área de la región triangular que se forma al unir tres vértices del cubo. 8 2cm 2
a)
b)
8 3cm 2
4 3cm 2
c) 3
d) 8
16
d)
2cm 2
e) 16
3cm 2
7) Hallar el volumen de un
4) Encontrar el área total de
tetraedro regular si el área de la región de una de sus caras es 4 3
un cubo si la diagonal de una
a) 16
e)
128
3
3
de sus caras mide a) 5
Geometría
b) 4
2
b)
16 2 3
d)
2
c)
15 2 16 5
2
3
22
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
e)
16 3
c)
3
18
8) Cuando se unen los centros de las caras de un cubo, se forma: a) b) c) d) e)
Un tetraedro regular Un icosaedro regular Un octaedro regular Un dodecaedro regular Otro cubo
9) En un poliedro, la suma del número de caras vértices y aristas es 32. Calcule el número de aristas de dicho poliedro. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 10) Hallar el área de la región poligonal obtenida al unir los puntos medios de las aristas del cubo tal como se muestra en la figura, el volumen del cubo es 64m3
24
3m2
d)
3m2
e) 12 m 2 11) Si la arista de un octaedro es el triple de la arista de un icosaedro, la relación en que se encuentran sus áreas totales es: a) 18/5 b) 12/5 c) 16/5 d) 13/5 e) 9/5 12) El área de un tetraedro es 36 3 , hallar la altura de una de sus caras. a) 3 2 b) 3 3 c) 3 d) 2 e) 3 13) Hallar el área total de un tetraedro regular. Si la suma de las longitudes de sus aristas es 36. a) 36 c) 36 e) 18
2
b) 36 d) 18
3 3
14) Se tiene un icosaedro regular cuya arista es el doble de la arista de un tetraedro regular, hallar la relación de las áreas de dichos poliedros.
a) 6 3m2
Geometría
b) 12
3m2
a) 10 c) 20 e) 1/10
b) 15 d) 30
23
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
15) Si la diagonal de un cubo es “D” , hallar su volumen. a)
D2
Geometría
9
3
b)
D3 9
c)
3
e)
D3
3
27 D3
d)
D3
3
12
3
6
24
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
TEMA: PRISMA Es el sólido que se encuentra limitado por dos polígonos planos congruentes y paralelos entre sí, llamados bases y por 3 o más paralelogramos, llamados, caras laterales.
Clasificación. 1)
Prisma Oblicuo Cuando las aristas laterales no son perpendiculares a las bases
Fórmulas: Área Lateral A L
=P
. a
S R
PSR: Perímetro de la SR
B A
r i s t a
a s e la
t e r a
s u l ( a
p e C )
r io r a r a
A L
a
2B
=
t e r a
lt u r a
+
P
la la
Volumen (V) V
A SR
=
l
s e c c i ó n r e c t a ( S R
Área Total (A T) A T
la
n o b a s
B
. a
A
r is t a
b B á a s si c e a i n
f e r io r
También V
B x
=
Geometría
h
25
)
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
2)
Prisma Recto Cuando las aristas laterales son perpendiculares al plano que contiene a la base, en este caso la arista lateral y la altura coinciden, se utilizan las mismas formulas anteriores.
h
B
Geometría
26
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1) la base de un prisma es un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 metros respectivamente la altura del prisma es de 10m. calcular el área lateral.
Rpta.2) La base de un prisma cuadrangular de 52m de perímetro es un rombo cuya diagonal mide 10m, si la altura del prisma es igual a la diagonal mayor de la base, hallar el volumen del prisma.
Rpta.3) Calcular el área lateral de un prisma cuadrangular de 8m de altura, sabiendo que la base es un trapecio isósceles cuyas bases miden 6 y 14 metros y cuya altura mide 3m.
Rpta.4) El volumen y el área lateral de un prisma triangular son de 50m3 y 200m2, respectivamente. Calcular el radio de la circunferencia inscrita en la base del prisma.
Geometría
Rpta.5) El
largo de un paralelepípedo rectangular es el triple de la altura y el ancho es el doble de la altura, si la diagonal mide 2 14 m , el volumen del paralelepípedo es:
Rpta.6) Las dimensiones de una cajita de fósforos son a, b , y c. Si a + b + c = 12 cm. y a2
+b
2
+c
2
=
56 cm 2 ,
calcular el área total de la cajita.
Rpta.7) Las aristas de la base de un paralelepípedo rectangular son 8 m y 6 m, respectivamente, la diagonal del paralelepípedo forma un ángulo de 37º con respecto al plano de la base. Calcular el área de la superficie lateral del paralelepípedo.
27
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Rpta.-
Rpta.-
8) La base de un prisma
13) La arista básica de un prisma cuadrangular regular mide 12 m y su altura mide igual al semiperímetro de la base. Calcular el área lateral del prisma.
triangular es un triángulo equilátero de 2m de lado. la altura del prisma es 10 m. calcular el volumen del prisma.
Rpta.-
Rpta.-
9) Calcular el volumen de un prisma hexagonal regular cuya base tiene un perímetro de 24 m y su altura es 12 m.
14) Calcular el volumen de un
Rpta.10) La base de un prisma recto es un cuadrado de 4 cm. de lado, la altura mide 6 cm. el área lateral del prisma es:
Rpta.11) En un paralelepípedo rectangular, la base es un cuadrado de 2 m de lado y la altura mide 1m. ¿Cuánto mide la diagonal?
Rpta.12) Calcular el área total de un prisma triangular de 2,5 m de altura, si la base es un triángulo cuyos catetos miden 3 y 4m.
Geometría
prisma recto de altura igual a 12 m si su base es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8
y6
.
Rpta.15) Calcular el área total de un prisma cuadrangular regular de 30m de altura, si la diagonal de la base mide 10
2m .
Rpta.16) El perímetro y el área de una de las caras de un paralelepípedo rectangular miden respectivamente 34 m y 60m2. Calcular el volumen del sólido, si la suma de sus diagonales es 340m.
Rpta.-
28
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
17) Un lingote de oro que contiene 0,45 m3 del precioso metal, se lamina convirtiéndolo en una plancha de 3 cm. de espesor y 2,8 m de ancho ¿Cuál será la longitud de la plancha resultante?
19) La base de un tronco de prisma recto es un cuadrado cuyo lado es 10 m y la otra base es un paralelogramo. ¿Cuál es el volumen del tronco si sus aristas son 4 , 6 y 10m ?
Rpta.20) La altura de un prisma
Rpta.18) Calcular el volumen de un prisma oblicuo triangular cuya sección recta es un polígono circunscrito a un círculo de radio 10 cm y el área lateral del prisma mide 22 cm2.
recto mide 6m; su base es un rectángulo, en el que cada uno de sus lados es el doble del contiguo, el área total es 144m2 Cual es la longitud de una de las diagonales del prisma.
Rpta.-
Rpta.-
Geometría
29
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CASA 1) Encontrar el área lateral de un prisma triangular regular, su arista lateral mide 4 y su arista básica mide 2. a) 12 d) 24
b) 10 e) 30
a) 128 d) 150
c) 18
2) La base de paralelepípedo recto es un cuadrado de 2m de lado, su altura es igual al perímetro de la base. Hallar su volumen. a) 16cm3 d) 32cm3
b) 9cm3 c) 30cm3 e) 18cm3
3) Encontrar el volumen de un prisma hexagonal regular, su altura es igual al radio “R” de la circunferencia circunscrita a la base. a) c) e)
3 2
2
b)
R
3 R3
4 3 3
R
d)
3 3 2 2 3 3
R
3
R3
3
4) El volumen de paralelepípedo rectangular es 128, el mayor lado de la base es igual al doble del otro lado, además la altura es igual al
Geometría
menor lado de la base. Hallar el área total del paralelepípedo. b) 180 e) 160
c) 140
5) El volumen de un prisma triangular regular es 90 3 , su altura mide 10. Encontrar el lado de su base. a) 4 d) 8
b) 5 e) 2
c) 6
6) La altura de un prisma triangular regular mide 3 3 , el desarrollo de su superficie lateral es un rectángulo cuya diagonal mide 6, hallar su volumen. a)
81
2 81 3 81 d) 5
b)
e)
81 4
c)
81 6
7) Encontrar el volumen de un paralelepípedo rectangular, las diagonales de sus caras miden 34 , 58 y 74 .
30
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
a) 75 d) 100
b) 85 e)105
c) 95
8) El área lateral de un prisma hexagonal regular es 864, sus caras laterales son cuadrados. Hallar el volumen del prisma. a) 2592 c) 3024
b) 2590 d) 2592
e) 2488
3
3
a) 10 2 b) 10 3 c) 5 d) 10 e)15 10) Las caras laterales de un prisma regular son cuadrados, si su área lateral es 108. Encontrar el volumen del prisma.
36
3
b) 32
3
a) 140 d) 136
b) 124 e) 144
c) 145
13) Calcular el volumen de un
9) Las aristas laterales de un prisma oblicuo miden 20 y con el plano de la base forman un ángulo que mide 60º, Cuanto mide la altura del prisma.
a) 18
a) 60 b) 74 c) 72 d) 64 e) 80 12) Los lados de la base de un paralelepípedo rectangular miden 3 y 4, su diagonal mide 13. Hallar el volumen del paralelepípedo.
c)
prisma recto triangular de aristas básicas 4 ; 6 y 8 y altura 15 a) 35 d) 65
b) 45 e) 75
c) 55
14) Hallar el volumen de un prisma recto de 5m de altura, cuya base es un triángulo equilátero , sabiendo que la distancia del punto medio de una arista lateral a la diagonal de la cara lateral opuesta mide 4
3m
a) 40m3 b) 30m3 c) 60m3 d) 80 3m3 e) 18m3
3
d) 54
3
e) 12
3
11) Una de las caras laterales de un prisma triangular tiene por área igual a 24, la distancia de esta cara a la arista lateral opuesta es 6 hallar el volumen del prisma.
Geometría
15) Calcular “x” si
V =8 3
x
a) 1
b) 2
c) 3
31
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
d) 4
e) 5
TEMA: PIRÁMIDE
Se llama pirámide al sólido que se encuentra limitada por un polígono plano llamado base y por tres o más triángulos que tienen un vértice común llamadas caras laterales, se llama altura de la pirámide a la perpendicular que se traza por un vértice al plano de la base.
Fórmulas AL = Σ de las áreas de todas las caras laterales.
A A T
= A L
+B
C AL
V
=
a
r a
l a
l t u r a p i r á m
t e r a
d e i d e
l a
l
PB . aP 2
1 B x h 3
B
=
A B
Geometría
a s e
A
p o t e m
p a
d
o t e
m
a
d
e
l a
b
a s
32
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CLASE Rpta.-
1) Una pirámide cuadrangular el lado de la base mide 14m y la altura mide 24m, calcular el área lateral.
4) Calcular el área lateral y total de una pirámide triangular regular, cuya arista de la base mide 6m, sabiendo que la apotema de la pirámide mide
Rpta.-
5
2) La apotema y la altura de una pirámide miden 13 y 11 metros respectivamente, calcular el área lateral de la pirámide.
Rpta.5) La apotema de una pirámide regular hexagonal excede a la altura en 1cm. Si la arista básica mide 6 cm. ¿Cuánto mide la apotema?
Rpta.3) Calcular el volumen de la pirámide Q – ABC sabiendo que: m QCA = m QCB = m ACB = 90º , además AQ =
15m, AB =
3m
Rpta.-
6) La base de una pirámide regular es un cuadrado de 4m de lado, si la altura mide igual que la diagonal de la base, hallar el área lateral de la pirámide.
106 'm QB =
13m D
15
Rpta.-
13 A
C 106
B
Geometría
7) Calcular el volumen de una pirámide octogonal regular, cuya arista de la base
33
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
mide ( 2
−1)m
y su altura
6m.
Rpta.8) Calcular el volumen de una pirámide cuadrangular regular cuya arista básica mide 6cm, siendo su área lateral el quíntuplo del área de la base:
Rpta.9) La base de una pirámide es un trapecio isósceles de bases 4 y 10 metros, respectivamente, siendo las medidas de cada lado no paralelo, 5m. Calcular el volumen de dicha pirámide sabiendo que su altura mide igual que el semiperímetro de la base.
Rpta.10) Calcular la apotema de una pirámide pentagonal regular cuya área lateral es 315 cm2 y la arista básica mide 6cm.
Rpta.-
11) El área total de una pirámide cuadrangular regular es los 3/2 de su área lateral. Calcular el volumen de la pirámide. Si la arista básica mide 2m.
Rpta.12) Una pirámide regular tiene por base un cuadrado de lado 6m, y la altura es igual a la diagonal del cuadrado. Calcular el volumen de la pirámide.
Rpta.13) En un tronco de pirámide el área de la base mayor es cuatro veces el área de la base menor “6”, hallar el volumen del tronco si la altura es 3/7.
Rpta.14) La base de una pirámide regular es un triángulo equilátero de lado igual a 2m, sus caras laterales son triángulos rectángulos, hallar el área total de la pirámide.
Rpta.-
Geometría
34
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
15) En una pirámide regular de base cuadrangular de 40m de lado, ¿Cuál es el área de la proyección de una de las caras laterales sobre su base?
paralelo a la base, para que las dos partes resultantes estén en la razón 3/5.
Rpta.-
Rpta.16) La base de una pirámide es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 metros; las aristas laterales, 13m cada uno. Hallar el volumen.
Rpta.-
17) El área lateral de una pirámide regular hexagonal es de 48m2, calcular el lado de la base si la apotema de la pirámide tiene una medida igual a 4 veces la medida del radio no de círculo que circunscribe a la base:
Rpta.-
18) Calcular a qué distancia del vértice de una pirámide triangular, cuya altura es 2m, se debe trazar un plano
Geometría
35
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
19) El área lateral de una pirámide regular cuadrangular de 4m de altura es 60m2 .Calcular el área de la sección diagonal.
Rpta.-
Rpta.-
20) La altura de una pirámide regular mide 10m y la base es un cuadrado de 8m de lado. Calcular la medida de la arista y apotema de la pirámide.
Geometría
36
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
PROBLEMAS PARA LA CASA 1) La arista básica de una pirámide cuadrangular regular mide 2, las caras laterales son triángulos equiláteros. Hallar el volumen de la pirámide.
a)
2 3 3
b)
3 2 2
3
4
e)
C
4
a) 52 d) 58
D
b) 56 e) 54
c) 60
4 3 3
2) Encontrar el volumen de una pirámide hexagonal regular, sus aristas laterales miden 6 y forman con el plano de la base ángulos que miden 30º. a) 35,1 d) 70,1
B
A
3 3
E
c)
4 2
d)
F
b) 40,1 e) 75,1
c) 55,1
3) Encontrar el volumen del sólido mostrado, ABCD es un cuadrado, AD = 4, AE +CF = 21.
4) Una pirámide tiene 242 aristas ¿Cuántos vértices y caras tiene? a) 120;120 c) 122;122 e) 126;118
b) 124;121 d) 118;126
5) Encontrar el área total de una pirámide cuadrangular regular, la altura mide 3 y el área de una de las caras laterales es igual al área de la base. a) 8 d) 4
b) 6 e) 5
c) 9
6) Las caras laterales de una pirámide cuadrangular regular tienen una inclinación de 45º
Geometría
37
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
con respecto al plano de su base, la base se encuentra inscrito en una circunferencia de radio “R” encontrar el volumen de la pirámide.
a) c) e)
2 2
2 3
3
R
R3 3
3
b) d)
a) 4 3
b) 2 2
c) 12
d) 4 2
e) 3 2
R3 3 2 3
R3
R3
7) Hallar el volumen del tetraedro de la figura, las áreas de las regiones triangulares DAB , DAC y ABC son 3 ; 6 y 8 además.
Geometría
38
Tercer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
8) El volumen de una pirámide es 36, su vértice es “O” y su base es el triángulo ABC, a
sobre la arista OA se toma su punto medio M. Hallar el volumen de la pirámide de vértice M y base el triángulo ABC. a) 9 c) 18 e) 20
2
b) 27 d) 12
a
9) Una pirámide cuyo volumen es 48, es dividida en dos partes por un plano paralelo a su base y que pasa por el punto medio de la altura. Hallar el volumen de la parte mayor. a) 32 c) 40 e) 42
b) 34 d) 36
10) El sólido de la figura esta formado por un rectoedro y una pirámide. Hallar el volumen del sólido.
a
a)
5a3 3
c)
3
5a3 2
d) 4a3
e) 6a3
11) Hallar el volumen de una pirámide regular hexagonal sabiendo que el área lateral es el doble del área de la base y la altura mide 3m. a) 18 m3
b) 6 3m3 c)
3
9m
d) 12 m3
Geometría
b)
7a3
e) 12
3m3
39
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Tercer Año
12) Una pirámide regular tiene por base un cuadrado de 12m de lado. y la altura es igual a la diagonal del cuadrado. Calcular el volumen de la pirámide. a)
576
676
2m3
3m3
c)
d) 240
3m3
e) 120
3m3
b) 480
3m2
13) Si una pirámide tiene 140 aristas, calcular su número de caras. a) 140 d) 71
b) 70 e) 69
c) 80
14) Encontrar la apotema de una pirámide pentagonal regular, su arista básica mide 6 y su área lateral 315. a) 19 d) 22
b) 20 e) 23
c) 21
15) La base de una pirámide es un rectángulo de lados a 12 y 8 su altura mide 10 y cae en el centrote la base. Encontrar la arista lateral. a) 3,08 d) 1,54
Geometría
b) 6,16 c) 9,24 e) 13,32
40
TEMA: CONO Se llama como de revolución al sólido engendrado por un triángulo rectángulo, cuando gira una vuelta completa alrededor de cada uno de los catetos. g: generatriz h: altura t: radio de la base
g 2 = h 2 + r 2
Área Lateral. (AL) A L
r . g
= π
g
h
Área total. (AT) A T
r .( g
= π
r )
+
r
Volumen. (V) V
=
π
3
. r 2 . h
Desarrollo de la superficie lateral y total
0 g
h
r
g
r
=
r 3g 6
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1) El radio de la base de un cono mide 6 cm. Calcular el área lateral del cono, si la generatriz forma 30º con la altura.
Rpta.2) La generatriz de un cono mide 13 cm. y el radio de la base mide 5 cm. El volumen y el área total del cono son respectivamente
Rpta.-
una recta que contiene a la hipotenusa.
Rpta.5) La altura y la generatriz de un cono miden 15 y 17 metros respectivamente. El área lateral del cono es:
Rpta.6) En un cono, la generatriz y la altura forman un ángulo de 30º El área lateral es 20m2, el área total del cono es:
3) El volumen de un cono de revolución es 10m3 y la distancia del centro de su base a su generatriz es de 3m. Hallar el área lateral del cono.
Rpta.4) En un triángulo ABC, recto en B, la altura relativa a la hipotenusa determina sobre esta 2 segmentos que miden 8 cm. y 2 cm. respectivamente. Calcular el volumen del sólido que se genera cuando el triángulo ABC gira 360º alrededor de
Rpta.7) El área total de un cono es 16π m2.El radio de la base y la altura están en la relación de 3 a 4. Calcular la altura.
Rpta.8) El diámetro de la base de un cono circular recto mide 14m. Calcular el volumen de dicho sólido, si su generatriz mide 25m.
Rpta.-
9) El volumen del sólido generando por la rotación sobre la hipotenusa AB de la región triangular de la figura. C
Rpta.13) El radio de la base de un cono es 15 cm. y la distancia del centro de la base a la generatriz es de 12 cm. Hallar el área lateral del cono. Rpta.:
14) Calcular la altura de un A 4
c m
.
9
c m
.
B
cono sabiendo que el área
Rpta.-
lateral es 16 5 πm2 , s i e l radio de la base es 4m.
10) Calcular el volumen de un
Rpta.-
cono cuya base tiene 10π cm. de circunferencia y cuya altura mide 6 cm.
15) La generatriz y la altura de
Rpta.11) el diámetro de la base de un cono mide 30 cm., si la generatriz mide 25 cm. ¿Cuánto mide la altura del cono?
Rpta.12) La generatriz de un cono mide 25 cm. y la altura mide 1 cm. menos que la generatriz, calcular el área lateral del cono.
un cono forman un ángulo de 16º. Si el diámetro de la base del cono es 7 cm., calcular el área total del cono (π = 22/7).
Rpta.16) Sobre la superficie lateral de un cono de revolución se toma un punto distante 6 , 16 y 10 cm. de la altura, la base y el vértice, respectivamente. Hallar el área total del cono.
Rpta.17) Al girar una vuelta completa alrededor de la recta
“L” la región sombreada de la figura se genera un sólido cuyo volumen es:
19) Calcular el área de la superficie lateral.
1 u 5
1
u
3
5
u L
1
0
4
Rpta.Rpta.18) Calcular el volumen del cono de revolución. 20) Si el volumen de un cono de revolución equilátero es K, hallar la generatriz.
3
Rpta.-
7 º 1 0
Rpta.-
PROBLEMAS PARA LA CASA 1) Encontrar el volumen de un cono de revolución, su generatriz mide 6 y forma un ángulo que mide 60º con el plano de su base. a) 9 3
b) 6 3
c) 3 3 π
d) 2 3
e) 12
3π
2) El radio de la base y la altura de un cono de revolución miden 2 y 4. Hallar la distancia del centro de la base a una de las generatrices.
a) c) e)
4 3 5
4 6 5
b) d)
4 2 5 4 5
b) 85π e) 96π
4) La altura
c) 84π
de un triángulo ABC mide 3 y su lado AC mide 8. Hallar el volumen del olido engendrado por dicho triángulo cuando gira una vuelta completa alrededor del lado AC. a) 26 π d) 36π
B H
b) 18π e) 32π
c) 24π
5) Un cono y un cilindro de revolución tienen sus bases y sus alturas congruentes Hallar la relación de sus volúmenes. a) 1 d) ¼
b) ½ e) 1/9
c) 1/3
5
4 7 5
3) La
hipotenusa de un triángulo isósceles mide 6 2 . Encontrar el área total
del cono que se engendra cuando el triángulo rectángulo gira una vuelta completa alrededor de uno de los catetos ( Asumir
a) 90 π d) 95π
2 =1,5 ).
6) Con un sector circular cuyo radio mide 6 y con un ángulo central que mide 120º se construye un cono de revolución. Encontrar el volumen del cono a) 18 c) e)
2π
b) 16
2π
d)
13 3
2π
16 3
14 3
3
2π
7) La altura de un cono de revolución mide 3, su generatriz y el radio de su base suman 9. Hallar el área lateral. a) 15π d) 12π
b) 20π e) 21π
c) 18π
8) El área lateral de un cono de revolución es el doble del área de su base. Encontrar la medida del ángulo que forma su generatriz con su altura. a) 15º d) 30º
b) 37º e) 60º
c) 45º
9) La generatriz de un cono circular recto es el doble del diámetro de su base, su área total es 45π . Encontrar su generatriz. a) 4 d) 6
b) 10 e) 8
c) 12
10) La altura de un cono mide 5, si el radio de la base aumenta en 3 mientras que la altura permanece constante, el volumen aumenta en 55π . Hallar la generatriz del cono original.
a)
b)
40
42
c)
45
d)
e)
41
39
11) Encontrar la altura de un cono de revolución sabiendo que su área lateral es 16
5
y el radio de la base
mide 4. a) 5 d) 8
b) 3 e) 9
c) 10
12) El área total de un cono de 13 (
revolución 5 +1)
es
, el radio de la
base y la altura se encuentran en la relación de 1 a 2. Hallar la altura del cono. a) 2 14
b) 3 13
c)
2 13
d) 5 13
e) 1,5
13) Un cono de revolución se construye de papel , cortando un sector circular de radio 3 cm. y 120º, de ángulo central, además cortando un círculo. Encontrar el área total del cono.
a) π d) 3π
b) 2π e) 8π
c) 4π
14) En un tetraedro regular se encuentra inscrito en un cono de revolución, la base del cono se encuentra inscrito en la base del tetraedro, el vértice del cono coincide con un vértice del tetraedro. Si el volumen del tetraedro es encontrar volumen del cono. 144
2 ,
el
15) Un barquillo tiene la forma de un cono de 12 cm. de altura y de 6 cm. del radio de la base. Se llena el barquillo de helado, hallar el volumen de helado. a) 144
3π
b) 16
c) 16
2π
d) 4 6 π
e) 12
6π
6
2
b)
72 πcm 2
c)
36 πcm 2
288
πcm
e) 100
a) 16
πcm
2
πcm
2
d)
TEMA: CILINDRO Se denomina cilindro de revolución al sólido engendrado por un rectángulo cuando gira una vuelta completa alrededor de uno de sus lados, el cilindro es equilátero cuando su altura es igual al diámetro de su base.
E
j e
d
e
G
ir o
r
B a s e s u p e r i o
r h
Fórmulas: Área Lateral (AL) r A L
B
2π . r . h
=
B in
a
s e f e r i o
r
Área Total (A T) G A T
2
r (h
= π
Volumen (V) V
r
2
=π
.h
r )
+
e
n e
r a
t r i z
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1) La circunferencia de la
Rpta.-
base de un cilindro mide 8π m y la generatriz es igual al diámetro de la base. Calcular el área lateral del cilindro.
5) La generatriz de un cilindro mide 6m y el radio de la base mide 5m, el área total del cilindro es:
Rpta.-
Rpta.6) El área lateral de un
2) El área lateral de un cilindro es “A” y su volumen es “V”, calcular el radio de su base.
cilindro es 6π m2, el volumen es 3π m2. Calcular el área total.
Rpta.-
Rpta.-
7) El área lateral de un
3) El área lateral de un
cilindro es 18m2 y su volumen es 9m3. Hallar el diámetro de su base.
cilindro es 20π m2 y el área total es 28π m2. El volumen del cilindro es:
Rpta.4) Un cilindro está lleno de agua hasta la mitad. Se suelta un cuerpo metálico y el nivel del agua sube 3,5 cm. Si el diámetro del cilindro es 8 cm. ¿Cuál es el volumen del cuerpo?
Rpta.8) Calcular el volumen de un cilindro de revolución cuya altura mide 8 y el desarrollo de su superficie lateral es un rectángulo cuya diagonal mide 10.
Rpta.9) Un vaso cilíndrico de 20 cm. de diámetro y 40 cm. de altura está lleno de agua. Si se vierte esta agua en otro vaso de 40 cm. de diámetro,
determinar la altura alcanzará el agua
que
Rpta.10) Un deposito de forma cilíndrica se desea cambiar por otro de la misma forma, pero aumentando en un 50% la longitud de la circunferencia de la base. ¿En que porcentaje se incrementará el volumen del nuevo cilindro, respecto al primero. ?
Rpta.11) Calcular la suma de volúmenes de los cilindros generados por un rectángulo de lados 2m y 3m, cuando giran 360º alrededor de cada uno de sus lados.
Rpta.12) Calcular “x” , Si V = 40π
1 X
Rpta.-
13) En el gráfico, calcular “X”
4 X
3
17) El
número de tubos circulares con diámetro interior de una pulgada, que transporta el mismo caudal de agua que un tubo de seis pulgadas de diámetro interior es (h1
=
h2 ) .
Rpta.-
Rpta.14) En un cilindro de revolución la longitud de la circunferencia de su base aumenta en un 20% ¿En cuanto se incrementa el volumen del cilindro?
Rpta.15) El área total de un cilindro circular recto es igual al área total de un cubo de 20 cm. de arista, calcular la altura del cilindro.
Rpta.16) ¿Cuántos metros cuadrados de hojalata se necesitarán para fabricar 500 tarros de leche, de 8 cm. de diámetro y 12 cm. de altura?
Rpta.-
18) Una población tiene 5000 habitantes que consumen en promedio por persona 12 litros de agua diariamente. Determinar el diámetro de un pozo cilíndrico que abastezca a la población y que además tenga una capacidad para una reserva de 25% del consumo diario, y tal que la altura sea 4 veces el diámetro.
Rpta.-
19) ¿Cuántos metros cúbicos de tierra será necesario extraer para construir un túnel de 120m de largo, si su sección recta es un semicírculo de 12m de diámetro?
Rpta.-
20) ¿Qué relación existe entre las áreas laterales de un prisma recto de base triangular equilátera y el cilindro inscrito en este prisma?
Rpta.-
PROBLEMAS PARA LA CASA 1) El radio de la base de un cilindro de revolución mide 8, su área lateral es igual al área de su base. Hallar la altura del cilindro.
48 − 2 cm π 24 − 1 cm π
a) 2 d) 12
24 − 2 cm e) π 4) ¿Cuánto pagará
b) 3 e) 16
c) 4
2) Un cilindro de revolución es generado por un rectángulo cuya área de su región es 10, hallar el área lateral del cilindro. a) 20 d) 20π
b) 10 e) 15π
8 − 1 cm π
48 − 4 cm π
Oscar para que le caven un pozo cilíndrico de 12m de profundidad, 5m de diámetro es su chacra de Huaral , si le cobran s/. 0.40 por m3 (π = 3,14) ?
c) 10π
3) El área total de un cilindro de revolución es igual al área total de un cubo, el radio de la base del cilindro mide 2 cm. y la arista del cubo mide 4 cm. Hallar la altura del cilindro. a)
d)
a) s/.94.20 c) s/.90.50 e) s/.93.50
5) El perímetro de la base de un cilindro de revolución es A y el área de la región del rectángulo generador es B. Hallar su volumen.
b) a) c)
b) s/.94.50 d) s/.92.50
A .B 2
b)
A . B 3
A . B
d)
A . B 4
e)
A . B 5
c)
6) Encontrar el volumen de un cilindro de revolución circunscrito a un cubo de 8 cm3 de volumen. a) 2π cm 3
b) 6 π cm 3
c) 8 π cm 3
d) 10 πcm 3
e) 4 π cm 3
7) Calcular el volumen de un cilindro equilátero, su área total es 12 π . a) 4 2 π
b) 2 2 π
c) 5 2 π
d) 5 3 π
e) 4 3 π
8) Un cilindro de revolución de 8 cm de radio de la base, contiene agua hasta su mitad, se introduce un cuerpo metálico de forma cúbica y el nivel del agua sube 8 cm. Hallar la arista del cuerpo metálico. a) 83
π
b) 73
c) 93
π
d) 12 3
e) 63
π
π
π
9) Determinar el volumen del cilindro de la figura, Si OA = 6.
A
6 0
º
a) 27
b) 27
3π
c) 9 3 π
d) 12
13) Calcular el volumen de un
π
3π
e) 5 3 π 10) Hallar el área total de un cilindro de revolución, su altura es igual al lado “a” del hexágono regular inscrito en la base del cilindro.
cilindro de revolución, su altura es igual al diámetro de su base, su área total es 12π . a) 4 2 π b) 2 2 π c) 5 2 π
d) 5 3
e) 4 3 π
14) En un prisma recto de a) 3 πa 2 c) e)
πa
2
base cuadrada se encuentra inscrito un cilindro. Calcular el volumen del cilindro, si el volumen del prisma es de 12m3
b) 4 πa 2 d)
2πa
2
3 πa 2
11) La altura de un cilindro de revolución mide 12, el radio de su base es 1/3 de su altura, hallar el área total del cilindro. a) 124 π 126π d) 128π
b) 120π
c)
e) 130π
12) Un tarro de leche cilíndrico se encuentra sobre el piso de un cuarto, su proyección sobre el techo tiene una área 9π y su proyección sobre una de las paredes tiene un área de 24 Hallar el volumen del tarro. a) 35 π d) 28π
b) 36π e) 38π
c) 34π
a) 4 πm3 c) 12 πm3 e) 3 πm3
b) 6πm3 d)
πm
3
15) Si
el área lateral y volumen de un círculo recto son entre si como 2 2 es a 3 2 ¿Cuánto mide el radio de su base?
a) 3 d) 2,5
b) 1 e) 1,6
c) 2
TEMA: ESFERA Se llama esfera al sólido engendrado por un semicírculo cuando gira una vuelta completa alrededor de su diámetro.
Área A
2 = π
4
R
R
Volumen V =
4 3
.πR 3
R R
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1) El radio de una esfera mide 3 ¿A que distancia del centro debe trazarse un plano para que el área de la sección del círculo que se determina sea igual a 1/3 del área de uno de los círculos máximos?
Rpta. 2) Encontrar el área total de una semi esfera de radio “R”.
Rpta. 3) Los radios de 2 esferas miden 2 y 4 ¿En que relación se encuentran sus volúmenes?
Rpta. 4) Encontrar el volumen de una esfera si su área es 36π .
Rpta. 5) El radio de una esfera mide 6, calcular el área de la sección que se determina sobre un plano perpendicular a un radio y que pasa por la mitad de dicho radio.
Rpta. 6) Encontrar el volumen de la esfera circunscrita a un cubo cuya arista mide 2 3 .
Rpta. 7) Una esfera se encuentra inscrita en un cilindro de revolución, si el área de la esfera más el área total del cilindro es 31,4 hallar el área de la esfera.
Rpta. 8) Dos esferas sólidas de plomo de radios r y 2r se funden para construir un cilindro de revolución de altura igual a 3r, hallar el radio de la base del cilindro.
Rpta. 9) El área total de un cono equilátero es 81. Hallar el área de la esfera inscrita.
Rpta. 10) El área de la superficie lateral de una semi esfera es A1 y el área de la base es A 2 , Hallar A1/ A2
Rpta. 11) Dos esferas cuyos radios miden 4 y 6 son tangentes exteriores y se encuentran apoyadas sobre una mesa. Hallar la distancia entre los puntos de apoyo.
Rpta. 12) La diagonal de una de las caras de un cubo mide 8. Hallar el área de la esfera inscrita en el cubo.
17) ¿A que distancia del centro de una esfera de 15 cm. de radio deberá pasar un plano para el círculo sección tenga 12 cm. de radio.
Rpta.
Rpta.
13) Hallar el radio de la esfera inscrita en un tetraedro de arista 12.
18) El área de un círculo
Rpta. 14) Tres esferas de radios 4 ; 9 y 16, se encuentran sobre una mesa, tangentes exteriores dos a dos. Hallar el perímetro del triángulo que se forma al unir los puntos de tangencia de las esferas con la mesa.
Rpta. 15) Calcular el área de una esfera,
si dos círculos menores situados a un mismo lado del centro de la esfera tienen por áreas 25π y 36π . La distancia entre los centros de los dos círculos es 1.
menor de una esfera es 706,5 cm2, calcular el radio de la esfera, sabiendo que su centro esta a 8 cm. de dicho círculo menor (Usar π = 3,14)?
Rpta. 19) La longitud de una circunferencia máxima de una esfera mide 62,8 m. Calcular el área de la superficie esférica.
Rpta.
Rpta. 20) Dos esferas de metal de
16) En la figura, calcular x
radios 2a y 3a. Se funden juntas para hacer una esfera mayor. Calcular el radio de la nueva esfera.
4 X X
Rpta.
Rpta.
PROBLEMAS PARA LA CASA 1) El diámetro de un balón de fútbol es de 30 cm. Calcular su volumen; a) 2500
1500 πcm πcm
c) 5500
e) 3500
b)
3
d)
3
4500 πcm
3
πcm
3
πcm
3
4) El volumen de una esfera es numéricamente igual su área. Calcular su radio. a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) 27 5) La arista de un cubo es de 6m. Calcular el volumen de la esfera inscrita en el cubo. a) 9 πm3
24 πm3
b)
c)
3
81πm
3
e) 36 πm3
2) La altura y el diámetro de
d)
un cono de revolución son iguales al radio de una esfera de 4 cm3 de volumen. Calcular el volumen del cono.
6) La arista de un cubo es de 2m. Calcular el área de la esfera circunscrita al cubo.
a) 1cm 3
a)
b)
2
12 πm
b) 13 πm 2
c)
14 πm 2
0,25 cm 3
c) 1,5cm 3
27 πm
d) 2cm 3
d) 15 πm 2 e) 16 πm 2
e) 4cm 3
7) El área de una esfera es 3) En una esfera el área del círculo máximo es “S” Hallar el área de la esfera. a) 2S d) 5S
b) 3S e) 6S
c) 4S
144π cm2, El volumen es: a) 288
144
πcm
πcm
3
b)
3
c) 72 πcm 3 e) 24 πcm 3
d) 36 πcm 3
8) El volumen de un cilindro es 30m3, El volumen de la
esfera inscrita en el cilindro es:
a) 100 m3
b)
200 m3
c) 100 200
πm
πm
3
d)
3
e) 50 m3
12) Uno
a) 10 m3
b) 20 m3
c) 40 m3
d) 50 m3
e) 15 m
3
a) 200
b) 1/9 e) 1/8
c) 1/27
c) 400 400
2
b)
2
d)
2
πcm
2
13) El diámetro de una esfera mide
20
cm..
Calcular
su
volumen (π /3 = 1,047).
una esfera es igual a 36π . Calcular su volumen: b) aπ e) π
πcm
πcm
e) 300
10) El área de la superficie de
a) 18π d) 72π
πcm
200 cm 2
9) En que relación se encuentran los volúmenes de dos esferas si el radio de una de ellas es el triple de la otra. a) 1/3 d) 1/54
de los círculos máximos de una esfera tiene un área de 100π .cm2,el área de la superficie esférica es:
c) 36π
11) Un cono y una esfera tienen igual radio. La altura del cono es igual al diámetro de la esfera, si el volumen del cono es 100m3, el volumen de la esfera será:
a)
1047 cm 3
b)
2094 cm 3
c)
3141 cm 3
d)
4188 cm 3
e) 5235 cm 3 14) Calcular el volumen una esfera circunscrita a tronco de cono de 6 cm generatriz y de radios de 3 y 6 cm. respectivamente.
de un de cm
a) 288 280
c)
πcm
288
290
πcm
e) 300
3
b)
3 πcm 3
d)
πcm
3
3
πcm
3
15) “C”
es un cilindro circunscrito a una esfera S Si el volumen de “C” es 16π cm3, entonces el volumen “S” (en cm3 ) es: a) c) e)
32 π 3 16 π 3 32 π 5
b) 10 π d) 16 π
MISCELÁNEA 1) En una recta se ubican los puntos consecutivos A , B , C y D, tal que: AC = 9, BD = 8 y AD = 12. Calcular BC. a) 4 d) 2
b) 5 e) 1
c) 3
A
AC.CD = BD.AD Si AB = 3, calcular CD. b) 2 e) 2,5
c) 3
puntos consecutivos A, B y C si”M” es punto medio de AC , BC – AB = 12, Calcular BM. b) 5 e) 3
M
X a) 10 d) 9
A
A 2 B
a) 11 d) 12
Geometría
b) 15 e) 8
a) 8 d) 9
4) En la figura BC . AD = 45 Calcular “X”.
X
C
B
c) 12
b) 12 e) 10
c) 15
7) En la figura AB + CD = 10 MB – MC = 12, Calcular x.
c) 8
C
c) 4
6) En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que CD = 2BC. Y 2AB + AD = 36, Calcular AC:
3) En una recta se ubican los
a) 6 d) 4
b) 5 e) 8
5) En la figura AC + BC = 20 Calcular x.
2) En una recta se ubican los puntos consecutivos A , B, C y D, tal que:
a) 1 d) 1,5
a) 6 d) 7
2
D
B
M
K
C
X
D
K b) 8 e) 4
c) 6
63
8) En la figura, calcular “x”
A
B
a) 10 d) 6
M 8 N
b) 4 e) 16
C
b) 20 e) 25
c) 18
puntos consecutivos A , B , C , M y N son puntos medios de respectivamente C A N y B M ∈ BN , si NC = AB + 6. Calcular BM. b) 1 e) 6
c) 4
11) Calcular la medida de un ángulo sabiendo que el complemento de su medida es igual al cuádruple de dicha medida.
Geometría
c) 30º
12) Del gráfico, calcular “x”.
X +
10) En una recta se ubican los
a) 2 d) 3
b) 15º e) 18º
c) 3
9) En una recta se ubican los puntos consecutivos A , B , C y D tal que M y N son puntos medios de AC y BD respectivamente Si AB + CD = 40, Calcular : MN. a) 10 d) 12
a) 12º d) 20º
β2
+
+β
β3 +
a) 105º d) 150º
b) 108º e) 160º
β4
c) 120º
13) Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, de modo que: AOD - m BOC = 40º, m AOC + m BOD = 100º. Calcular la m BOC. a) 30º d) 70º
b) 45º e) 80º
14) Calcular “x” si
L1
c) 60º
// L 2 .
L1
x º 8 0 º 9 x º 4 x º3 x º a) 8º
b) 6º
L
c) 7º
64
2
d) 10º
e) 16º
15) Calcular “x” si
L1 //
18. Calcular “x” si
L2
↔
↔
L 1// L 2
L1 3
5
º
4
0
º
β
a) 60º d) 70º
4 3
β
L
b) 40º e) 80º
16) Calcular “x” si
x
2
6
x
L1
//
a) 15° c) 45° e) 90°
L2
x
x
º
L
b) 18º d) 24º
17) Calcular “x” si
↔
L 1// L 2
L1
º
x
x
// L2
º
2α
α°
2
c) 15º
º
βº 6
↔
º
β°
8
°
b) 30° d) 60°
19. Calcular “x” si
º
º
8
a) 20º d) 12º
x
c) 50º
6 x
°
° 5
L1 7
X
2β
a) 150° c) 90° e) 120°
b) 75° d) 80°
º
a) 34º d) 47º
Geometría
b) 46º e) 43º
c) 56º
20. Calcular “x” si
↔
↔
L 1// L 2
65
5 4
α
α 5
°
0
° 8
0
° x
X
β° β° a) 110° c) 125° e) 105°
a) 16º d) 20
b) 120° d) 115°
b) 15º e) 18º
24) Calcular “x” en
21) Calcular “x”
x
4
α° a) 60º d) 45º
c) 12º
b) 90º e) 10º
22) Calcular x, si m
0
°
x
α°
c) 75º a) 20º d) 10º
ABC = 5x
b) 15º e) 80º
c) 40º
B 25) Los lados de un triángulo escaleno miden 4; 6; 2x. Calcular el valor entero de x.
A
D
a) 12 b) 15 d) 20 e) 30 23) Calcular “x”
Geometría
C
E c) 18
a) 2 d) 2;3
b) 3 e) 3;4
c) 4
26) Calcular el mínimo valor de “x”.
66
X
-
X
3
+
4β
3
° x°
α° α°
8 a) 5 d) 6
b) 4 e) 8
c) 3
27) Calcular “x”. 7
2β
a) 36º d) 30º
b) 45º e) 90º
α°
°
c) 60º
30) Hallar “x” si: ( + ) = 100º
x x 4 x
8
x
a) 20º d) 18º
b) 12º e) 36º
a) 20º d) 25º
c) 15º
b) 50º e) 80º
c) 24º
31) Calcular “x” si “c” circuncentro del +ABD.
28) Calcular x + y + z
es
B
x°
z°
3 8
y° 2
x °
0 C°
x °
D
A a) 540º d) 360º
b) 90º e) 180º
29) Calcular “x”
Geometría
c) 240º a) 120º b) 110º d) 160º e) 130º 32) Calcular x
c) 100º
67
B 8 0 °
5
0
° x
4
0
°
a) 80º d) 90º
O X
5 0 b) 40º e) 100º
° a) 120º d) 160º
c) 50º
33) Calcular x si “G” es baricentro del +ABC B
2
b) 110º e) 130º
36) Calcular “CD” si “H” es el ortocentro del +ABC y HD = 6. B
D
x
2α °
G
H
α °
3 x
C
A
a) 100º d) 130º
b) 80º e) 120º
es el
B 0
0
a) 8 d) 10
c) 140º
34) Calcular “x” si “I” incentro del +ABC.
1
c) 100º
b) 6 e) 12
c) 9
37) Calcular “x” si “C” es el circuncentro del +ABC.
°
B
I
x
C a) 100º b) 80º c) 140º d) 130º e) 120º 35) Calcular “X” si “O” es el circuncentro del +ABC.
Geometría
x 2 x
A a) 15º d) 10º
b) 20º e) 12º
D
c) 5º
68
B 38) Calcular “MN”. Si I es incentro del +ABC y además // M N A C .
4
0 3° 0 °
x C
A I
M
N
a) 80º d) 50º
4
3
b) 70º e) 40º
c) 60º
41) Calcular x si: a) 16 d) 20
b) 15 e) 18
c) 12
39) Calcular “x” si “O” ortocentro del +ABC.
es
el
x 4 0
4
°
0 °
B
a) 20º d) 60º
α °
8
b) 40º e) 50º
c) 80º
H
42) Calcular x 2α °
C
A
a) 6 d) 5
b) 8 e) 9
c) 10
40) Calcular x. Si “C” circuncentro del +ABC.
8
°
x
es a) 80º d) 100º
Geometría
0
b) 60º
c) 120º
69
43. En la figura que se muestra,
46. Calcular BD, Si AC = AD B
calcular “x” 3
α
A
5
0
°
n
1
x 3
n D
a) 40° c) 60° e) 80°
b) 50° d) 70°
a) 2 c) 4 e) 5
b) 3 d) 6
44. Si G es el Baricentro. Calcular BG 47. Calcular “x B
x° G A
C
3
a) 2 c) 6 e) 5
b) 1 d) 7
x°
a) 15° c) 45° e) 18,5°
45. Calcular “x”
b) 30° d) 37°
48. Calcular “x” α α
x
x a) 30° c) 45° e) 22.5°
Geometría
b) 60° d) 75°
3 x 5
70
a) 60° c) 45° e) 30°
b) 53° d) 37°
a) 54 c) 35 e) 77
49. Calcular BO, si α + θ = 30 ° y AC = 8
b) 65 d) 44
52. Cuantos segmentos unen los puntos los puntos medios de todos los lados de un icosagono.
B
a) 230 c) 190 e) 180 α
A
C
53. Cuantos lados tiene el polígono regular ABCDE…….
1
D
a) 6 c) 10 e) 7
b) 160 d) 170
B b) 4 d) 5
3 º C D
A
50. Calcular “α ” . .
α
a) 300° c) 360° e) 250°
2α a) 45° c) 37° e) 22,5°
b) 53° d) 30°
51. Si la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono es 1800° ¿Cuántas diagonales totales tiene?
Geometría
E b) 240° d) 120°
54. Cuantos lados tiene el polígono convexo si el séxtuplo de un número de lados excede en 12 a la raíz cuadrada de la suma de las medidas de sus ángulos internos. a) 6 c) 12 e) 7
b) 9 d) 16
71
55. El menor ángulo de un polígono mide 120°; los otros forman con él una progresión aritmética de razón 5 ¿Cuántos lados tiene? a) 16 c) 9 e) 15
b) 6 d) 12
56. Cuantos lados tienen el polígono donde la suma de sus ángulos internos es 80 veces su número total de diagonales. a) 8 c) 18 e) 6
b) 5 d) 12
e) 10 59. ¿Cuántos lados tiene aquel polígono convexo en el cual, al disminuirle en 2 el número de lados, su número de diagonales disminuye en 15. a) 10 c) 9 e) 12
d) 11
60. Cuantos lados tiene aquel polígono regular en el cual al disminuirle en tres su número de lados, la medida de su ángulo exterior disminuye al 20°.
57. Se
tiene un hexágono equilátero ABCDEF de lados alternados congruentes tal que AB + BC = 2 3 . ¿Cuánto dista “A” del lado DE ?
b) 9
a) 6 c) 10 e) 5
b) 8 d) 9
61. En la figura ABCD es un trapecio, calcular “2α ”
a)
3
b) 3
c)
3 /2
d) 2
e)
2
3α
58. Calcular el número de lados de un polígono convexo en el cual el número total de diagonales es igual a siete veces su número de lados. a) 12 c) 18
Geometría
B
b) 15 d) 17
C
1 1
5
α A
D
a) 37° c) 30° e) 45°
b) 53° d) 60°
72
B
62. Calcular “x”
7
B
3α C
A
α
α
α
D
a) 5 c) 6 e) 9
a) 14 d) 17
b) 7 d) 8
b) 15 e) 30
c) 16
65. Calcular “x” si: AE = 2 − 1 y EC
63. En el trapecio ABCD, calcular
=
2
+1
B
C
la distancia entre los puntos medios de AC y BD
B
E
C
D
A
4 A
2 α
α D a) 2 c) 1 e) 1,5
a) 30 d) 37
b) 22,5 e) 28,5
c) 15
66. Calcular “x”, si ABCD es un cuadrado
b) 3 d) 4
64. Calcular “α ”, si ABCD es un rombo.
Geometría
73
B
C
B
D
x
P
3
0
°
α
D
A a) 18 c) 8 e) 12
A
b) 9 d) 6
67. En el rectángulo calcular “x”
ABCD,
C
B
α H
E
a) 3 b) 5 c) 4 d) 2 e) 1 69) En el romboide ABCD, Calcular la medida de la mediana del trapecio AECD. C
E
B
3 6 x
8
A
a) 2 c) 3 e) 5
n
b) 1 d) 4
A
a) 7 c) 9 e) 11
68. Calcular la distancia entre los puntos medios HD , si PH = 6
Geometría
de
1
D
5
b) 8 d) 10
BE y 70)
En el trapecio Calcular “X”
ABCD,
74
3
B
C
X
X
2
X 0
2 A
8
a) 3 c) 5,5 e) 5
71)
D
a) 30 c) 15 e) 18,5
b) 2,5 d) 4
73)
Calcular “X”
b) 18 d) 8
Cuanto mide el inradio del triángulo.
6
0
X
0
a) 20º c) 18º e) 45º 72)
Calcular “X”
Geometría
a) 1 c) 3 e) 5
b) 15º d) 30º 74)
b) 4 d) 2
Si ABCD es un romboide calcular “X”
75
X
B a + 4
8
a) 4 c) 2 e) 5
75)
a
A
b) 3 d) 1
a) 2 c) 4 e) 5
77)
Calcular “X”
C
b) 3 d) 1
Cuanto mide el inradio del ∆ BED
B 7
5
C E X
a) 2 c) 1 e) 5
76)
a
8
A
b) 3 d) 4
Cuanto mide el inradio del triángulo.
Geometría
0
6
a) 2 c) 4 e) 5 78)
+
a
b) 3 d) 1
Calcular “X”
76
X
6
8 9
X
a) 6 c) 8 e) 9
79)
a) 45º c) 60º e) 30º
b) 7 d) 5
b) 37º d) 53º
En la figura , Calcular el perímetro del ∆ ABC. B R
P
81) 1 3 - a
2
a
A
X
C
Q
º
7
0
º X º
a) 32 c) 36 e) 39
80)
b) 30 d) 40
En la figura calcular “X”
a) 40º c) 60º e) 45º
82)
Geometría
b) 50º d) 70º
Calcular “X” si “O” es centro.
77
83)
Calcular “X”
B X
º
0
C
X
º
A
a) 36º c) 45º e) 70º
b) 60º d) 72º a) 120º c) 45º e) 70º
84)
b) 60º d) 72º
Calcular “X”
X
º 4
a) 40º c) 80º e) 60º
Geometría
0
º
b) 60º d) 20º
78
85)
87)
Calcular “X”
1 X
0
0
Calcular “X”
º
º
X
a) 45º c) 20º e) 36º
b) 30º d) 40º
a) 45º c) 40º e) 35º
88) 86)
X
º
º
b) 30º d) 60º
Calcular “X”
Calcular “X”
6
5
X
a) 15 c) 14 e) 16
Geometría
º
8
b) 18 d) 17
0
0
º
X
º
a) 90º c) 100º e) 160º
b) 120º d) 140º
79
89)
Hallar “X”
a) 2 d) 4
b) 1 e) 5
c) 3
92) Calcular “X” 5
X
º
4 X
º
x
º
a) 30º c) 18º e) 32º
b) 15º d) 20º
2 º
90)
X
En la figura calcular “X”
3
0
º
9 a) 1 d) 4
X
a) 50º c) 65º e) 70º
b) 2 e) 5
c) 3
93) ¿Cuánto mide el lado del cuadrado?
b) 45º d) 35º
3
1
5
91) Calcular “X”
º
º
4
9
x
a) 10 d) 6
b) 12 e) 8
c) 9
94) Calcular “X” Si: x
Geometría
P M
// A N
yM N
// A C
4
80
B
97) En un triángulo ABC las medidas de sus ángulos interiores están en progresión aritmética. Siendo A el vértice del ángulo cuy medida es la intermedia. Calcular la medida del ángulo que determinan las bisectrices de los ángulos exteriores trazados de B y C.
1 P 3 N
M
X
A
C
a) 6 d) 8
b) 4 e) 5
a) 60° c) 48° e) 54°
c) 12
98)
En las prolongaciones de los lados BA y AD de un cuadrado ABCD, se ubican los puntos P y Q respectivamente; tal que PC = CQ y PQ = 12cm. Calcular la distancia de C a PQ .
95) Calcular “α ”
6
+ 9 0
4
a) 6 2cm 5cm c) 6cm e) 4 2cm
, 5
a) 53º d) 45º
b) 30° d) 36°
b) 60º e) 37º
c) 30º
b) d) 4cm
99) Según el gráfico, calcular x si: BE = EC; FB = FA y AN = NC.
96) Calcular “X” 1
6
3 7
Geometría
81
E
A
B
F
N
M
T P
x A a) 60° c) 80° e) 70°
C
N
O b) 90° d) 120°
100) En el lado
de un AD rectá rectáng ngul ulo o ABCD ABCD se ubic ubica a el punt punto o P, de modo odo que que BP int interse erseca ca a AC en Q. Calcular la distancia de Q’ a D, sien siendo do Q’ la proye proyecci cción ón de Q sobre además: CD , 2(PD) = 3(AP) y AB = 14cm
a) 6cm c) 5cm e) 2,5cm
a) 1 c) 3 e) 0,5
b) 2 d) 1,5
102) 102) En el gráfi gráfico co G es barice baricentr ntro o de la región gión tria trian ngula gularr ABC ABC, si GR = 2. Calcular GB además AMNQ es un romboide. B
G
M
b) 4cm d) 3cm
101) 101) Según Según el gráfico, gráfico, calcula calcularr AM si: OP = 4(PT) = 4 y O es centro del cuadrante.
B
N R
A
C
Q
a) 6 c) 12 e) 18
b) 9 d) 15
103) En el gráfico: Si m∠ ACO = 37°, m∠ DOC = 45°, CE = 21, calcular: DE
Geometría
82
E
a) 10 c) 8 e) 6
A
D
C
106) 106) Calcul Calcular ar la longitu longitud d del radio radio de la circunf circunfere erencia ncia inscrit inscrita a en un triángulo rectángulo si el punto de tangencia con la hipo hipote tenu nusa sa dete determ rmin ina a dos dos segmentos segmentos cuyas longitudes longitudes son 2 y 3.
B
O
a) 2 c) 7 e) 9
b) 4 d) 16
a) 1 c) 1,5 e) 0,5
104) Dado el triángulo rectángulo ABC recto en B se traza la altura BH . Si AB = 3 y HC = 8. Calcular BC. a) 2 c) 2 2 e) 2
b) 12 d) 4
b) 1 d) 6 2
b) 2 d) 2,5
107) 07) Según egún el grá gráfico fico EB = 10, 10, ED = 12, AO = OC = 4 y ABCD es un rectángulo. Calcular OE.
B
C
105) Segú Según n el gráf gráfic ico, o, calc calcul ular ar AQ, si MB = 2, AM = 4, m ∠ MAT = 60° y m P M = 120°. (T: punto de tangencia)
O
D
A
B P Q
M E
A
T
Geometría
a)
106
b)
107
c)
108
d)
104
e)
105
83
108) 108) Segú Según n el gráf gráfico ico,, calcu calcular lar el área área e la regió egión n tria triang ngul ular ar AGM. Si BL = LC, BG = 4 y AG = 2GL = 6. B
L
c) 6 e) 3
d) 5
110) 10) Calcu lcular la longi ngitud de la menor mediana en una regió región n tria triangu ngula larr que que tien tiene e dos lados que miden 3 y 4, sabiendo además que el área correspond pondiiente nte a dicha región toma su máximo valor.
G A
C
M
a)
30
b)
35
c)
31
d)
37
a) 3 c) 2 e) 1,5
111) En la figura, el triángulo ABO
e) 2 5
109) Según el gráfico, calcular BP. Si: PC = 12, MT =
b) 4 d) 2,5
y
es equilátero, hallar la ecuación de la recta L, si el área área de la regió región n tria triang ngula ular r ABO es 4 3 µ2 (M es punto de tangencia)
B
R
(N, P, E 3 y T son puntos de tangencia).
A
C P B
O
R N
A a) 4
Geometría
M
T
M
L
E
a) 2 3 x + 3y +12 = 0 b) 2 x + 3 y −12 = 0 c) 2 3 x + 3 y −12 = 0
D
d) 2 3 x + 3y
− 24 = 0
e) 2 3 x + 3y
+ 24 = 0
x
b) 8
84
direct directriz riz.. Hallar Hallar la ecuació ecuación n de la parábola.
112) Sean las rectas L1: x–2y–6 = 0 y L2: x + y – 3 = 0, hallar hallar la ecuación ecuación de la circunfere circunferencia ncia cuyo centro es la
y
P
a r á b o
↔
↔
intersección. de L y L , 1 2 además su radio mide 4. a) b) c) d) e)
2
F
2
(x + 4) + (y + 1) = 16 (x – 4)2 + (y + 1)2 = 16 (x – 5)2 + (y – 1)2 = 16 (x – 3)2 + (y – 1)2 = 16 (x – 1)2 + (y – 5)2 = 16
;
2
)
x
a) b) c) d) e)
113) Del gráfico, F es foco de la parábol parábola a y
( 2
↔ su direct directriz riz.. L
AF = 1 y FB = 3. Calcular el área de la región sombreada.
(x – 2)2 = 2(y + 1) (x – 2)2 = 2(y – 1) (x + 2)2 = 2(y – 1) (x – 2)2 = 4(y – 1) (x – 2)2 = (y – 1)
115) Según el gráfico, calcular el
y
valor de x, si 2β = θ + α
A
F
P
a
x
r á
B
x L a)
2
c) 2 3
D b)
θ
ir e
c
3
d) 3 3
e) 4 3
β
4
0
° C
A
a) 50° c) 45° e) 37°
b) 40° d) 53°
114) 114) Del gráfi gráfico co F es el foco de la la parábola y el eje x es su
Geometría
85
116) Según
el gráfico, los triángulos ABC y CED son AB equiláteros; calcular: CD
B
118) En la figura BDE, EFG, GHC y ABC son triángulos equiláteros, si DE – FG = FG – HC = 1cm y el perímetro de la región triangular ACB es 27cm. Calcular el perímetro de la región triangular GHC.
E
B
D F
E A
D
C a) c) e)
H
G
4
b) 2
3 3
d)
2 5
A
2 3
C
3
a) 3cm c) 9cm e) 10,5cm
2
117)
Según el gráfico QR = AO, calcular el valor de θ , si m A = 72°
119) Según el gráfico; NM = ML, BN = 4 y CL = 12. Calcular EM. E
P
b) 6cm d) 7,5cm
B
6 0
C 3
0
°
°
Q
θ A
O
a) 12° c) 24° e) 26°
R
B
b) 48° d) 30°
a) 2 + 3 c) 3 + 3 e) 3 − 3
b) 1 + 3 d) 8
120) Se tiene un hexágono regular ABCDEF, en la región interior
Geometría
86
