FÍSICA I
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EJERCICIOS CON VECTORES EN 3D 1.- El producto vectorial de i x j es: j es: a) k b) – j c) 0 d) 1 2.- Dado los vectores A vectores A = 3i y B= 4j, el vector unitario de la suma es a) Verdadero b) Falso
C=
0.6i + 0.8 j
3.- Sean los vectores: A vectores: A = 2i + 3j – 3k y B= -4i – 4j + 2k. El vector unitario de X= -2 A + + 3B 3B es: a) X= -0.8i – 0.9j + 0.4k b) X= -0.6i – 0.7j +0.4k c) X= 0.2i + 0.3j – 0.3k d) X= 0.5i + 0.6j – 0.2k e) X= 0.6i + 0.9j – 0.5k 4.- El área de la fig. fig . sombreada en el siguiente gráfico es: a)
2 22
b)
22
c) d) e)
Y 2
22
X
44
2
88
3 Z 5.- Los vectores A vectores A = 6i – 4j y B= -4i + 6j + 8k son ortogonales ortogonales a) Verdadero b) Falso 6.- Dos vectores cuyas componentes componentes son (2, 0, 3) y (0, 3, 2) tienen: a) Igual dirección b) Igual módulo c) Iguales componentes componentes d) Ninguna es verdadera 7.- El producto punto de dos vectores A vectores A y y B es igual a cero. Si A Si A = i entonces, B es igual a: a) j + k b) – j c) i + j d) i + k e) i – k
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8.- Dado los vectores A = 2i + xj y B= 6i. El valor de x para que la magnitud de B sea igual a tres veces la magnitud de A x B es: a) b) c) d) e)
3 1/3 6 1/6 –1/3
9.- Sean u y v dos vectores unitarios y C y D dos vectores tales que C= 2u – v , D= 3 v . Si C y D son ortogonales, entonces el ángulo entre u y v es: a) b) c) d) e)
15° 20° 30° 60° 90°
10.- El vector Q del gráfico tiene componentes 4i – 4j en los ejes X-Y. Las componentes en la dirección de los ejes L y M respectivamente son: a) 4 ; -4
M
b) 0 ; 4 2 c) 4 2;4 2 d) 0 ; 4 e) 4 ; 0
Y
L
4
(M y L son )
2
Q X 4
11.- ¿Cuál de las siguientes alternativas es un vector unitario perpendicular al plano sombreado de la figura? Y a) –0.77i + 0.51j + 0.38k b) 0.77i + 0.27j – 0.58k 6 c) -0.77i - 0.51j - 0.38k d) –0.27i – 0.38j – 0.88k e) 0.34i + 0.51j + 0.79k X 4 8
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12.- Considérese los vectores A = 8i – 4j + 10k y B= ai – 3aj + 4k. Determínese el valor de “a”, para que los vectores en referencia, sean perpendiculares entre sí: a) b) c) d) e)
0 2 10 –2 –10
13.- Para los vectores A y B mostrados en la figura, determine el valor del ángulo formado entre ellos: a) b) c) d) e)
56° 50° 34° 24° 20°
Y A
6u
B X 8u 10u Z
14.- Para la fig. del ejercicio anterior, determine el valor del área del triángulo formado por los vectores A y B con el lado de 8 unidades del paralelepípedo. a) 46.6
b) 64.2
c) 82.4
d)93.3
e) 102.2
15.- El vector A es tal que sus tres ángulos directores son iguales y están entre 0° y 90°. La suma de estos ángulos es: a) b) c) d) e)
164.1° 180° 135° 105.9° 90°
16.- Considere los vectores A = 6i – 8j + 10k y B= ai + 2aj – 2K. Si el vector B es perpendicular al vector A , el vector resultante de la operación ( A + B) es: a) b) c) d) e)
4i – 12j + 8k 4i + 12j + 8k –4i – 12j + 8k –2i + 4j + 8k –2i – 4j + 8k
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17.- La proyección escalar del vector U= 2i + 3j + k sobre la dirección del vector V = i + 2j – 6k es: a) 2 b) 2 / c) 1/7
14
d) 2 / 41 e) 2/41 18.- Los vectores mostrados en la figura, al sumarse dan una resultante nula. Encuentre el valor de . Y B = 2e
A= 2e
X
C= e 19.- Dados los vectores A = 3i-j-k ; B= -i-j-k ;y C= 2i+2j+3k, determine el ángulo formado entre los vectores (A+B) y (B-2C) 20.- Dado tres vectores: A = 3i+3j-2k ; B= -i-4j+2k ; C= 2i+2j+k, determinar el resultado de A.(BxC)
21.- Hallar el vector 2A – 3B. Z 2 B 4
3 Y
A
X
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22.- Para los vectores mostrados en la figura, encuentre el vector A – B/2. 6 Y
A 4
X
B 8 Z 23.- Dado los vectores A = 3i+2j+6k y B= 8i+9j+12k, encuentre la proyección escalar del vector 3A sobre el vector 5B. 24.- Determine un vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores A = 3i - j+ k y B= -2i -2j +3k. 25.- Encuentre el vector de módulo 6 y que es perpendicular al plano formado por los vectores A = 2i + j -2k y B= -3i – j +k 26.- El trabajo se define como el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento. Determine el trabajo que realiza una fuerza F= 10i +20j +30k(N) al actuar sobre un cuerpo haciendo que este se mueva desde un punto de coordenadas (2,10,-5)m hasta el punto (2,5,8)m. 27.- Para el gráfico mostrado, determine el valor del ángulo α que forman las aristas del plano triangular. 3 Z
α
4
Y
2 Z
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28.- Para el problema anterior, encuentre el área del triángulo mostrado en la figura 29.- Un vector A está dirigido a lo largo de la diagonal de un cubo. Calcule el ángulo que este vector forma con su proyección sobre el plano Y-Z. a) 65º b) 55º c) 45º d) 35º e) 25º 30.- Para el gráfico de la figura, determine el vector unitario del vector A+B+C. z a) –(3/14)i – (2/14)j + (1/14)k b) –i – j + k c) (1/6)i – (2/6)j + (1/6)k 1 d) (3/17)i – (2/17)j + (2/17)k C -1 e) (3/14)i + (2/14)j – (1/14)k B y A 1 x
2
31. Dado los vectores A =3i+4j-k, B=-i+3j y C =2i+k, determine un vector de magnitud 3u que sea perpendicular a B x C y A 32.Un vector de módulo 20 y ángulos directores = 60° y = 40° es: a) 10i - 8.08j + 15.32k b) 15.32i +10j + 8.08k b) 8.08i + 10j +15.32k c) 8.08i – 15.32j +10k d) N.D.A 33.Dado los vectores A =ai -3j+ 2k y B=10i – 6j + 4k , el valor de “a” para que los vectores sean paralelos es : a) 2
b) -3
c) 4
d) 5
e) -6
34. El producto vectorial de dos magnitudes vectoriales paralelas es cero. a) Verdadero b) Falso 35. El producto escalar es cero cuando los vectores son paralelos. a) Verdadero b) Falso
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36. El vector A es tal que sus tres ángulos directores son iguales y están entre 00 y 90 0. La suma de estos ángulos es: a) 164.1 0 b) 180 0 c) 135 0 d) 105.9 0 e) 90 0 37. La ley del coseno se puede obtener cuando conocemos: a. Dos vectores y el ángulo entre ellos. b. Dos vectores y el ángulo opuesto a uno de ellos. c. Un vector u dos ángulos. d. Tres vectores. 38.Un vector A está dirigido a lo largo de la diagonal de un cubo. Calcule el ángulo que este vector forma con su proyección sobre el plano Y-Z. a) 65° b) 55° c) 45° d) 35° e) 25° 39. Hállese un vector cuyas componentes tengan la misma dirección que el vector 8i + 9j + 12k y cuyo módulo sea 51. a) 49i + 10j + 10k b) 10i 10j + 49k c) 24i + 27j + 36k d) 30i + 21j + 1260k e) 21i + 30j + 1260k
40.Para el gráfico de la figura, determine el vector unitario del vector a+b+c a) –(3/14)i – (2/14)j + (1/14)k Z b) –i – j + k c) (1/6)i – (2/6)j + (1/6)k d) (3/17)i – (2/17)j + (2/17)k -1 b 1 e) (2/14)i + (2/14)j – (1/14)k 1 a 2 c X
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41. Sabiendo que ABCD es un cuadrado, determinar una expresión vectorial para X en función de los vectores M y N. C
B
X N
M D
A
42. Dado el trapecio MNPQ mostrado en la figura, determinar el valor del ángulo θ para que la resultante de A y B sea de 26 unidades. R es un punto medio de PQ (MQ= 10u; NP= 24u) M
N A
B
θ
64º
Q
P
R 43. En el siguiente gráfico se muestra un triángulo con dos vectores en su interior, si AB= 2 y BC= 4, determinar el módulo del vector resultante. Además: AM= MN= NC. B
A
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M
N
30º
C
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