utor ictor ictor *arlos +u!o Illanes
plicaciones de *ectores ectores en #ngeniera +l/ctrica +l/ctric a En Matemáticas, se defi define ne un vect vector or como un elemento de un espacio vectorial, esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar representar sus vectores vectores mediante el módulo, la longitud y la orientación (ver espacio vectorial). &n particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables representables de ese modo. 'os vectores vectores en un espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta diri dirigi gido doss (fl (flec echa has s)) en el plan plano o *+$ *+$ o en el espacio *+%.
Abstract —
The real world is three-dim three-dimensio ensional nal (without relativistic considerations), therefore large amount of real-world magnitudes are vectors, and the vectors are absolutely necessary to mathematically model reality. This paper paper shows shows the differ differen entt applic applicati ations ons of vectors to mathematically model reality in electrical engineering, like for example electromagnetic fields in electrical generator! electrical power systems with alterna alternate te curre currents nts!! design design of transm transmiss ission ion lines lines (str (struc uctu tura rall anal analys ysis is to tran transm smis issi sion on"s "s towe towerr, mech mechan anic ical al anal analys ysis is of condu conduct ctor ors, s, mech mechan anic ical al -. Características de un vector n vector se puede definir por sus coordenadas, si analysis of structures)! to model true, reactive, and el vector está en el plano xy , se representa/ representa/ apparent power! and other topics. El mundo real es tridimensional (Sin consideraciones relativistas), por lo tanto gran parte de las magnitudes físicas son vectores, y los vectores son absolutamente necesarios para modelar matemáticamente la realidad. Este articulo muestra las diferentes aplicaciones de los vectores para modelar matemáticamente la realidad en Ingeni Ingeniería ería Eléctri Eléctrica, ca, como como por ejemp ejemplo lo campos campos electromagn electromagnéticos éticos en generadores generadores eléctricos, eléctricos, sistemas eléctricos de potencia con corrientes alternas, dise!o de líneas de transmisi"n (análisis estructural de torres de i!ura "# $epresentaci%n de un Vector en & transmisi"n, análisis mecanice de conductores, análisis dimensiones mecánico de estructuras)# para modelar las potencias activa, reactiva, y aparente# y otros t"picos). 0iendo sus coordenadas/
E
I. #$T%&'#&$ $ entendimiento
de las características de un vector tiene tanta importancia como el uso adecuado de los vectores para el modelamient modelamientoo matemático de las diferentes magnitudes de nuestro entorno. %or lo tanto en este artículo se describen &ue es un vector, sus características, algunas de las aplicaciones de estos, en la ingeniería eléctrica.
0iend iendo o el vec vector tor coordenadas/
la sum suma
vec vector torial ial
de sus sus
tres dimen dimensio siones nes reales reales , 0i un vector es de tres repre present entado ado sobr obre los los e1es e1es , y, 2, se pued uede representar/
##. *+T&%+ A. Vector, qué es? En física, un vect vector or (tam (tambi bién én llam llamad ado o vect vector or eucl euclid idia iano no o vect vector or geom eométri étrico co)) es un tipo tipo de repr repres esent entaci ación ón geomét geométric rica a para para repr repres esent entar ar una magnit magnitud ud física física defini definida da por un punto punto del espaci espacio o donde se mide dicha magnitud, además de un módulo (o longitud), su dirección (u orientación) y su sentido (que distingue el origen del etremo).!"#, !$#, y !%#
i!ura &# $epresentaci%n de un Vector en & dimensiones
0iendo sus coordenadas/ '
0i representamos el vector gráficamente podemos diferenciar la recta soporte o dirección, sobre la que se tra2a el vector.
i!ura .# /enominaci%n del vector
3or lo tanto en un vector podemos diferenciar/ i!ura '# (a direcci%n de un vector
&l módulo o amplitud con proporcional al valor del vector.
una
longitud
i!ura 0# Características de un vector
i!ura )# M%dulo de un vector &l sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la recta soporte.
4ombre 5irección 0entido 6ódulo 3unto de aplicación 7. E1emplos de ma!nitudes físicas vectoriales
i!ura *# +entido de un vector
&l punto de aplicaci%n que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la característica vectorial representada por el vector.
i!ura # -unto de Aplicaci%n de un vector
&l nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector.
8rente a aquellas magnitudes físicas, tales como la masa, la presión, el volumen, la energía, la temperatura, etc9 que quedan completamente definidas por un n:mero y las unidades utili2adas en su medida, aparecen otras, tales como el despla2amiento, la velocidad, la aceleración, la fuer2a, el campo eléctrico, etc., que no quedan completamente definidas dando un dato numérico, sino que llevan asociadas una dirección. &stas :ltimas magnitudes son llamadas vectoriales en contraposición a las primeras llamadas escalares. 'as magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemático que recibe el nombre de vector. &n un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa por un segmento orientado. Así, un vector queda caracteri2ado por los siguientes elementos/ su longitud o módulo, siempre positivo por definición, y su dirección, la cual puede ser representada mediante la suma de sus componentes vectoriales ortogonales, paralelas a los e1es de coordenadas9 o mediante coordenadas polares, que determinan el ángulo que forma el vector con los e1es positivos de coordenadas.!;#y !<# 0e representa como un segmento orientado, con una dirección, dibu1ado de forma similar a una =flecha=. 0u longitud representa el módulo del vector, la recta
indica la dirección, y la =punta de flecha= indica su sentido. !"#, !$#, y !%#
III. 01##2$ '+ *+T&%+ +$ #$3+$#+%4
+15T%#
A. Análisis de Circuitos Eléctricos 'os componentes de la potencia generada (>olta1e y 7orriente) de un circuito de corriente alterna, son de carácter vectorial, y varían en función a la frecuncia (?@ 2, en 3er:)9 esta generación de energía electrica se consigue por la acción de un campo magnético sobre los conductores eléctricos dispuestos sobre una armadura (denominada también estátor). 0i se produce mecánicamente un movimiento relativo entre los conductores y el campo, se generará una fuer2a electromotri2 (8.&.6.). &ste sistema está basado en la ley de 8araday. 3or lo tanto la corriente, el volta1e y la potencia tienen características sinusoidales, que se derivan al girar un vector, sobre su punto de aplicación.
i!ura 2# $epresentaci%n de la Corriente Alterna $epresentaci%n vectorial, de la corriente y volta1e na magnitud sinusoidal puede representarse mediante un vector giratorio al que, generalmente, se le da el nombre de BfasorC. 7onsideremos, por e1emplo, la tensión alterna sinusoidal v D >o sen (Et F 1). &n un plano cartesiano podríamos representar un vector con origen en @ y de módulo >o que gira, en torno a @, con velocidad angular E. 0i tomamos el e1e hori2ontal como referencia de fases, evidentemente, la proyección del vector giratorio sobre el e1e vertical da el valor instantáneo de la tensión v. A los diagrama en que las intensidades, tensiones y sus desfases están representados por fasores, se les llama Bdiagramas fasorialesC. &n estos diagramas, se pueden representar valores máimos o valores eficaces de tensiones y corrientes. 7omo se verá más adelante, los valores eficaces son más significativos cuando se mane1an magnitudes alternas, y es por ello por lo que com:nmente son los valores eficaces los que se representan en los diagramas fasoriales. &l método fasorial se utili2a para resolver
problemas de redes cuando las ecitaciones de corrientes y volta1es son todas sinusoides de la misma frecuencia. &n tales casos, siendo la frecuencia angular E la misma para todas las magnitudes representadas en un diagrama fasorial, podemos prescindir del carácter giratorio de los vectores involucrados y considerarlos como vectores BestáticosC definidos por su módulo (valor máimo) y por su argumento (fase inicial). Al utili2ar diagramas fasoriales, es conveniente adoptar ciertos convenios para que los resultados etraídos sean precisos. 7onvencionalmente se admite las siguientes normas/ a) &l sentido positivo de rotación de los fasores es el sentido antihorario. 3or tanto, un fasor que esté girado con respecto a otro en sentido contrario al de las agu1as del relo1 está adelantado con respecto a él9 un fasor que esté girado con respecto a otro en el sentido horario estará retrasado con relación a él. b) &n circuitos BserieC en los que la intensidad es com:n a todos los elementos, es conveniente dibu1ar el fasor intensidad en el e1e hori2ontal, es decir, se toma la intensidad como referencia para todos los demás fasores. c) &n circuitos BparaleloC en los que la tensión es com:n a todos los elementos, se tomará ella como referencia para todos los demás fasores (en el e1e hori2ontal). &n circuitos de corriente alterna, es frecuente tener que sumar magnitudes que varían sinusoidalmente con el tiempo, teniendo la misma frecuencia, pero amplitudes y fases distintas (por e1emplo, como resultado de aplicar alguna de las leyes de Girchhoff). &n tales casos, es :til ayudarse de un diagrama vectorial y resolver el problema utili2ando relaciones trigonométricas elementales. $epresentaci%n vectorial de la potencia aparente, activa y reactiva, y el factor de potencia &n circuitos de corriente alterna, la potencia generada por circuitos de corriente alterna, se llaman 3otencia Aparente, 3otencia Activa, y 3otencia +eactiva, y su representación de indica en la siguiente figura/
NEattN (H) o Milovatios NMiloEattN (MH). 5e acuerdo con su epresión, la ley de Ohm y el triángulo de impedancias/
i!ura "3# $epresentaci%n de las -otencias Aparente 4+5, Activa 4-5 y $eactiva 465 (a potencia comple1a , de un circuito eléctrico de corriente alterna (cuya magnitud se conoce como potencia aparente y se identifica con la letra 0), es la suma (vectorial) de la potencia que disipa dicho circuito y se transforma en calor o traba1o (conocida como potencia activa, que se designa con la letra 3 y se mide en vatios (H) y la potencia utili2ada para la formación de los campos eléctrico y magnético de sus componentes, que fluctuará entre estos componentes y la fuente de energía (conocida como potencia reactiva, que se identifica con la letra I y se mide en voltiamperios reactivos (var)). &sto significa que la potencia aparente representa la potencia total desarrollada en un circuito con impedancia J. 'a relación entre todas las potencias aludidas es/
. &sta potencia aparente (0) no es realmente la =:til=, salvo cuando el factor de potencia es la unidad (cos KD"), y seLala que la red de alimentación de un circuito no sólo ha de satisfacer la energía consumida por los elementos resistivos, sino que también ha de contarse con la que van a =almacenar= las bobinas y condensadores. 0e mide en voltiamperios (>A), aunque para aludir a grandes cantidades de potencia aparente lo más frecuente es utili2ar como unidad de medida el Milovoltiamperio (M>A). 'a fórmula de la potencia aparente es/
(a -otencia activa, es la potencia capa2 de transformar la energía eléctrica en traba1o. 'os diferentes dispositivos eléctricos eistentes convierten la energía eléctrica en otras formas de energía tales como/ mecánica, lumínica, térmica, química, etc. &sta potencia es, por lo tanto, la realmente consumida por los circuitos y, en consecuencia, cuando se habla de demanda eléctrica, es esta potencia la que se utili2a para determinar dicha demanda. 0e designa con la letra 3 y se mide en vatios
+esultado que indica que la potencia activa se debe a los elementos resistivos. (a -otencia $eactiva 7nductiva 485 &sta potencia no se consume ni se genera en el sentido estricto (el uso de los términos =potencia reactiva generada= yPo =potencia reactiva consumida= es una convención) y en circuitos lineales solo aparece cuando eisten bobinas o condensadores. 3or ende, es toda aquella potencia desarrollada en circuitos inductivos. 7onsidérese el caso ideal de que un circuito pasivo contenga eclusivamente, un elemento inductivo (+ D @9 Qc D @ y Ql D o) al cual se aplica una tensión senoidal de la forma u(t) D má R sen ERt. &n dicho caso ideal se supone a la bobina como carente de resistencia y capacidad, de modo que sólo opondrá su reactancia inductiva a las variaciones de la intensidad del circuito. &n dicha condición, al aplicar una tensión alterna a la bobina la onda de la intensidad de corriente correspondiente resultará con el máimo ángulo de desfasa1e (S@T). 'a onda representativa de dicho circuito es senoidal, de frecuencia doble a la de red, con su e1e de simetría coincidiendo con el de abscisas, y por ende con alternancias que encierran áreas positivas y negativas de idéntico valor. 'a suma algebraica de dichas sumas positivas y negativas da una potencia resultante nula, fenómeno que se eplica conceptualmente considerando que durante las alternancias positivas el circuito toma energía de la red para crear el campo magnético en la bobina9 mientras en las alternancias negativas el circuito la devuelve, y a dicha devolución se debe la desaparición temporaria del campo magnético. &sta energía que va y vuelve de la red constantemente no produce traba1o y recibe el nombre de =energía oscilante=, correspondiendo a la potencia que varía entre cero y el valor (máRUmá)P$ tanto en sentido positivo como en negativo. (a -otencia $eactiva Capacitiva, es toda aquella potencia desarrollada en un circuito capacitivo. 7onsiderando el caso ideal de que un circuito pasivo contenga unicamente un capacitor (+ D @9 Ql D @9 Qc D @) al que se aplica una tensión senoidal de la forma (t) D máRsen ERt, la onda correspondiente a la corriente U, que permanentemente carga y descarga al capacitor resultará S@T adelantada en relación a la onda de tensión aplicada. 3or dicha ra2ón también en
este caso el valor de la potencia posee como curva representativa a una onda senoidal de valor oscilante entre los valores cero y (máRUmá)P$ en sentido positivo y negativo. 'as alternancias de dicha onda encierran áreas positivas correspondientes a los períodos en que las placas del capacitor reciben la carga de la red9 significando los períodos negativos el momento de descarga del capacitor, que es cuando se devuelve a la red la totalidad de la energía recibida. &n esta potencia también la suma algebraica de las áreas positivas y negativas es nula dado que dicha áreas son de igual y opuesto valor. -. Campos electroma!néticos en 9eneradores Eléctricos &l generador de corriente alterna es un dispositivo que convierte la energía mecánica en energía eléctrica. &l generador más simple consta de una espira rectangular que gira en un campo magnético uniforme. &l movimiento de rotación de las espiras es producido por e1emplo, el movimiento de una turbina accionada por una corriente de agua en una central hidroeléctrica, o por un chorro de vapor en una central térmica. &n el primer caso, una parte de la energía potencial agua embalsada se transforma en energía eléctrica9 en el segundo caso, una parte de la energía química se transforma en energía eléctrica al quemar carbón u otro combustible fósil. 7uando la espira gira, el flu1o del campo ma!nético a través de la superficie de la espira cambia con el tiempo. 0e produce una fuer2a electromotri2 inducida. 'os etremos de la espira se conectan a dos anillos que giran con la espira, tal como se ve en la figura. 'as coneiones al circuito eterno se hacen mediante escobillas (contactos que ro2an con los anillos) estacionarias en contacto con los anillos.
i!ura ""# 9enerador Elemental de Corriente Alterna
0i conectamos una lámpara al generador veremos que por el filamento de la lámpara circula una corriente que hace que se ponga incandescente, y emitirá tanta más lu2 cuanto mayor sea la velocidad con que gira la espira en el campo magnético.
i!ura "&# $epresentaci%n de la (ey de araday y la (ey de (en:
i!ura "'# $epresentaci%n de la (ey de araday y la (ey de (en:
0upongamos que la espira gira con velocidad angular constante V. Al cabo de un cierto tiempo t el ángulo que forma el campo magnético y la perpendicular al plano de la espira es V t. &l flu1o del campo magnético - a través de una espira de área 0 es/
I. 'a fuer2a electromotri2 inducida en la espira será, entonces/
Symbol Φ -
m 6
/π 6 σ
1 X
i!ura ""# Variaci%n +enoidal de la fuer:a electromotri: inducida e varía 'a fuer2a electromotri2 (fem) sinusoidalmente con el tiempo, como se muestra en la figura. 'a fem alcan2a su valor máximo en valor absoluto cuando ;t<=>& % '=>& , cuando el flu1o K es mínimo (el campo magnético está en el plano de la espira), y es nula cuando ;t < 3 o = , cuando el flu1o es máimo (el campo magnético es perpendicular a la sección de la espira). Aplicando la ley de 'en2 podemos determinar el sentido de la corriente inducida. &sta corriente deberá oponerse a la causa que la produce, por lo tanto tendrá una variación senoidal de sentido tal que produ2ca un campo opuesto a la variación de campo en la espira. &n un instante dado se puede representar vectorialmente seg:n lo indicado en la fi!ura "& y "'# 'as unidades que se utili2an para la descripción de los campos electromagnéticos, se muestran en la WA-'A U, en donde se puede observar que las magnitudes físicas asociadas, tienen un sentido y dirección.
7. Análisis Estructural de =orres de =ransmisi%n
%ara el análisis estructural de las torres de transmisi"n se eval-a el sentido y la direcci"n de las diferentes fueras &ue act-an sobre la estructura, como por ejemplo el peso del conductor, peso del manguito de ielo en onas mayores a / 000 msnm, fuera del viento, peso de las torres, peso de los accesorios# para lo cual se realia un diagrama de carga para cuantificar las fueras transversales, longitudinales y verticales. 1espues de obtener el diagrama de carga, se realia un análisis estructural, de cada tornillo, cada montante, cada tijeral &ue conforma los diferentes tipos de torres de trasmisi"n.
χ , κ χρ µ µr E, H 4, 5
6;$E I 4 3I6S 725 +<3E6I* %52%E56IES *onversion from
3o vertical lines in table. Statements tat serve as captions for te entire table do not need footnote letters. a
*23*$4SI23ES $a importancia del uso correcto de los vectores, para el modelamiento matematico de las principales magnitudes utiliadas en la ingenieria eléctrica, como en los campos de electromagnetismo, dinámica, estatica, entre otros. 5 E*232*I+IE362S El presente artículo se a logrado por el apoyo de mis padres, docentes &ue me ayudan a entender lo &ue la ingenieria electrica significa. 5 E7E5E3*ES 89: Enrico ;ompiani, 4niversidad 3acional del $itoral, ed., , IS;3 ?@A?A@>0A/BB? 8C: $lopis,
a la curva indicatri, su sentido es el de los valors crecientes del parámetro escalar t, y &ue su m"dulo es (...)Q 8B: +anuela ;lanco Sánce, +arcial *arreto Sánce, Mosé +a : FectorQ (en inglés). +at cademy 2nline. *onsultado el B de junio de C090.
