UCV-INGENIERIA Semestre 2010-1
CALCULO I
Guía de Estudio Nº 8 Ejercicios propuestos sobre aplicaciones de derivadas
1.- En cada caso halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva dada en el punto indicado a) y 2 x2 4 x 3 en el punto 1 3, b) ye e x 1 y
en el punto 0,1
x 2 c o s t t 0 , , en el punto de abscisa x = 1. c) y 3 s e n t
2.- Hallar las ecuaciones de las rectas de pendiente 4, que son tangentes a la curva y x3 x 3.- Demostrar Demostrar que la recta tangente tangente a la hipérbola y 2 4 x 2 4 , en el punto x1 , y1 tiene por ecuación 4 x1 x y1 y 4 0 3 4.- Obtenga Obtenga las ecuaciones ecuaciones de las rectas tangentes tangentes a la curva de ecuación ecuación y x 5 , que son paralelas a la recta 2 x 6 y 1
5.- Calcule Calcule los ángulos ángulos de intersecció intersección n de las circunferenc circunferencias ias x2 4 x y2 0 y x2 y2 8 6.- Demuestre Demuestre que las las curvas 4 y3 x2 y x 5 y 0 ortogonales en el origen de coordenadas. 7.- Determine Determine si la la función función f x x2 1 e x
2
y
x4 4 y3 5 x y 0 , son
en 1 ,1 satisface las condiciones del
Teorema de Rolle. En caso afirmativo determine los valores de x0 que verifican la conclusión de dicho teorema. 8.- En el segmento segmento de parábola parábola y x 2 comprendido entre A(1,1) y B(3,9) hallar un punto cuya tangente sea paralela a la cuerda AB 9.- la ecuación del movimiento de una partícula que se se mueve a lo largo de una recta está está dada por s( t ) t 3 3t , con s en metros y t en segundos. Determinar a) La velocidad después de 2 seg b) La aceleración cuando la velocidad es 0
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CALCULO I
10.- Una partícula partícula se mueve en línea recta de acuerdo acuerdo a la ley s( t ) t 3 12t 2 36t con s medido en metros y t en segundos. a) Determinar la ecuación de la velocidad instantánea b) ¿Cuál es la velocidad de la partícula después de 3 seg? c) ¿Cuándo está la partícula en reposo? d) ¿Cuándo se mueve hacia delante? 11.- Halle el diferencial de cada una de las funciones dadas a continuación a) y x2 2 x 3 b) y
2 cos x
2 senx c) y tan2 x sec2 x
12.- Obtenga una aproximación aproximación lineal para la función función f ( x ) resultado resultado obtenido obtenido para hallar un valor aproximado aproximado de
1 x
en x0 0 . Utilice el
0. 99
13.- Un tanque cilíndrico abierto deberá tener tener un revestimiento revestimiento de 2 cm de espesor. Si el radio interior es de 6m y la altura de 10 m, utilice diferenciales para estimar la cantidad de material de revestimiento que se requiere. 14.- Calcular Calcular los siguientes límites límites 3
a) lim
x 1
e) lim x 1
1 2 x 1 2 x x 1 x
x 1 sen 2
1 b) lim x0 x
f) lim x
n
x
e
senx
c) lim x
4
senx senx cos cos x
1 tan2 x
n 1
g) lim x
x 1
2e3 x ln x h) lim x e3 x x 2
1
x
d) lim ln x ln ln 1 x
x
x
1
i) lim
xcos xcos x senx senx
x 0
x
3
e 1 x
j) lim
x
2
2 2 arcta arctan n x
2 k) lim lim x ln x x 0
l) lim x 0
arcsenx
e2 x 1
1
m) lim ln ln x ln 1 x x
1
q) lim ln x x x x
r) lim
e
x 1
n) lim x 1
x 1
o) lim lim senx senx
senx
x0
x p) lim lim x arctg arctg x x 1 4
cos( x ) sen( sen( 2 x ) 2 x cos(
x 0
x 2 e 2 x
15.- Para cada una de las funciones dadas a continuación hallar i) Números críticos (si existen) ii) Intervalos en los cuales la función es creciente y aquellos donde es decreciente iii) Máximos y mínimos a) f x 2 x3 3 x2 12 x 5
b) f x x2 8 x2
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3x c) 4 2x 16 x 16 2
CALCULO I
si
x1
si 1 x 4 si
f) f x 2 x2 1
d) f x x cos x
e) f x
x4
g) f x 2 x3 6 x2 5
en en
3 1,
x
2
5 x 4
h) f x
3
2
x
2 x 2 4 x
i) f x ln
16.- Para cada una de las funciones dadas determinar determinar los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y aquellos donde es cóncava hacia abajo. 4 x 5 a) y x3 x b) y c) y 3 x2 x d) y x 2e x 2 2 x 2
x 2 e) y ln x 1 17.17.- Sea Sea f x ax3 bx2 cx d , hallar los valores de las constantes a ,b ,b ,c y d para que la función alcance un máximo de valor 2 en x 1 y un mínimo de valor -1 en x 1 a x b 2
f ( x ) 2 x 18.- Hallar los valores valores de a y b para que la función tenga un mínimo relativo en x = 3 y sea asintótica a la recta de ecuación ecua ción y = 2x.
Variaciones relacionadas 19.- Un estudiante utiliza un pitillo pitillo para tomar refresco de un vaso que tiene forma de cono 3 circular recto, a razón de 3 cm /seg . Si la altura altura del vaso es 10 cm y el diámetro diámetro de su abertura 6 cm ¿Qué tan rápido está bajando el nivel del líquido cuando su altura sobre el fondo es de 5 cm? 20.- Se bombea aire a un globo esférico esférico de manera que el radio del mismo mismo crece a una tasa de 1 cm/seg ¿A qué velocidad se incrementa el volumen del mismo cuando su radio es de 10 cm? 21.- Se derrama petróleo de un tanque roto y se dispersa siguiendo siguiendo un patrón circular. Si el radio de dicho círculo aumenta a una velocidad de 1 m/seg ¿A qué velocidad aumenta el área del derrame cuando el radio es de 30 m? 22.- Dos autos comienzan a moverse a partir partir del mismo punto. Uno de ellos ellos viaja hacia el sur a 60 millas por hora y el otro hacia el oeste a 25 millas por hora ¿A qué velocidad aumenta la distancia entre ambos dos horas más tarde?
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CALCULO I
23.- Dos lados de un triángul triángulo o miden 12 y 15 m respectivame respectivamente. nte. El ángulo entre entre ambos crece a razón de 2º por minuto ¿Con qué rapidez aumenta la longitud del tercer lado, cuando el ángulo entre los otros dos es de 60º? 24.- En un cono circular recto se aumenta el radio de la base a razón de 0, 5 cm/min, manteniendo constante e igual a 5 cm la longitud de su generatriz. Determinar la razón de cambio del volumen volumen del cono cuando el radio radio es de 3 cm 25.- Un auto se desplaza por una pista que tiene forma de un triángulo equilátero equilátero de 5 km de lado a 250 km/h. En el instante en que el auto está a 3 km de uno de los extremos de la recta ¿A qué velocidad cambia su distancia al punto de partida, que se encuentra en ese instante en el vértice opuesto? 26.- Un poste de 5 m de altura tiene un farol en la parte superior; un hombre de 1.70 m de estatura se aleja del poste caminando a una velocidad de 1.2 m/s. Cuando la distancia de la base del poste a la punta (parte más alejada) de la sombra del hombre es de 6 m, ¿con qué velocidad crece su sombra?; ¿con qué velocidad se mueve la punta de la sombra con respecto al farol?
Problemas de optimización 27.- Hallar el área máxima del triángulo triángulo inscrito en la circunferencia x2 y2 r2 , con un lado coincidiendo con un diámetro 28.- Determinar las dimensiones del cono circular circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en una esfera de radio R 29.- Determinar las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en un cono circular recto de radio de la base 4 y altura 8. 30.- Determinar las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que puede inscribirs inscribirsee en una esfera de radio 9. 31.- Hallar las dimensiones de rectángulo rectángulo de área máxima, que puede inscribirse en un triángulo equilátero de lado 1 m, si uno de los lados del rectángulo se encuentra en la base del triángulo 32.- Desde una central central telefónica telefónica que está está a 15 km por la costa del punto punto más cercano cercano a una isla, situada 20 km mar adentro, se quiere tender un cable. Desplegar el cable por tierra cuesta Bs 30.000 por km y por mar 50.000 por km ¿Cuál es el tendido más económico de la central a la isla? 33.- Dos postes postes de 20 y 28 m de altura respectivam respectivamente, ente, se encuentran encuentran separados separados una una distancia de 30 m y se han de sujetar con cables fijados en un solo punto, desde el suelo hasta los extremos de cada poste. ¿En qué punto deben fijarse los cables para que la cantidad de material a emplear sea mínima?
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CALCULO I
3
34.- Una lata de aceite aceite debe tener un volumen volumen de 1000 cm y la forma de un cilindro con base plana y tapa semiesférica. Determinar las dimensiones que debe tener para que la cantidad total de material necesario para pa ra construirla sea mínima. 35.- De una lamina de 120 cm. x 75 cm. Se desea desea construir construir una caja caja sin sin tapa, recortando recortando cuadrados iguales de las esquinas de la lámina y doblando hacia arriba las salientes para tomar las caras laterales. ¿Cuáles deben de ser las dimensiones dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo? 36.- Un alambre de 100 cm. de longitud, se se corta en dos partes partes formando con una de ellas un círculo y con la otra un cuadrado. Cómo debe ser cortado el alambre para que la suma de las áreas de las dos figuras sea máxima. 37.- La figura muestra un rectángulo inscrito en un triángulo rectángulo isósceles, cuya hipotenusa mide 2 unidades de largo. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de mayor área posible?
38.- Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,5) y que determina en el primer cuadrante un triángulo de área mínima. 39.- Determine Determine las coordenadas coordenadas del punto de la curva x 2 y 2 16 , que se encuentra más cercano al punto P(0,4). ¿Cuánto vale esa distancia mínima? 40.- Una fábrica que envasa alimentos, necesita latas latas de aluminio con tapa, con forma de 3 cilindro circular recto y de volumen 250 π cm . Determine las dimensiones de la lata más económica, si el costo del material con que se hacen las tapas es el doble del costo del material que se usa para la superficie lateral. 41.- Determinar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un semicírculo de radio 9, con uno de los lados sobre el diámetro.
42.- El interior de un recipiente con forma de paralelepípedo recto, de fondo cuadrado y abierto en su parte superior, debe revestirse con plomo. Si el volumen del recipiente es 3 de 0,032 m . ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que sea mínima la cantidad de plomo a utilizar?
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CALCULO I
Trazado de curvas: 43.- Realice el estudio y construya construya la gráfica de las siguientes siguientes funciones b) y
a) y x 3 x 2 3
e) y
2
x
2 x x 1
x 1 x
3
f) y e x
2 x 8 2
c) y
2
g) y
1
e
e
x 1
2
h) y x
x 1
k) f ( x)
j) y ln ln1 ln x
m) f x log 2
y ln x 1
d)
x2
1
2
1
i) y x3 x 4
x
1 x 2 x
ln x x 3
x 1 l) f x 2 3 x 1
x 2 x 2
Respuestas 1.- a) Recta tangente 8x - y - 5=0, recta normal x + 8y – 25 =0 b) Recta tangente x - 2y + 2=0, recta normal 2x + y – 1 =0 c) Recta tangente x + 2y – 4 =0, recta normal 4x – 2y +7 =0 2.- 4 x y 2 0 4.- x 3 y 7
0 , x 3 y 3 0
5.- 45 45º y 135º 7.- Si las las satisf satisface. ace. El valor valor de de x0 = 0 8.- (2,4 (2,4)) 2
9.- a) v = 9 m/seg
b) a = 6 m/sen
10.- a) v 3t 2 24t 36 11.- a) dy
5 x 2 6 x 2 x 3
b) 9 m/seg c) en t = 2 seg y b) dy
dx
1 2 cos cos x senx senx
2 senx
2
t = 6 seg
d) 0 ,2 6 ,
dx
tan 2 x sec2 x dx dx c) dy 2 tan x sec 2 x ta
12.- 0,995 3 13.- 2 , 4 m 14.- a) 4/9
b) 1
c)
2 4
d) 0
e) lim x 1
1 x
x 1 sen 2
, lim x1
1 x
x 1 sen 2
UCV-INGENIERIA Semestre 2010-1 f) 0 g) 1 q) 1 r) 0
h) 2
CALCULO I i) -1/3
j) -1/2
k) 0
l) 1/2
n) o) 1 p) -1/2
m) 0
15.- a) i) Números Números críticos : x = -1 y x = 2 ii) f(x) f(x) es creciente en ,1 2 , y decreciente en 1 ,2
iii) máximo en x = -1, valor máximo 12; mínimo en x = 2, valor
míni mínimo mo – 15 b) i) Números Números críticos críticos : x 2 2 , x 2 2 , x 0 , x
creciente en 2 2 ,
x 2 2 , x 0
3
, x
4 3 3
ii) f(x) es
4 3
4 3 4 3 4 3 ,0 ,2 2 0, y decreciente en 3 3 3 3
iii) iii) máximos máximos en x
4 3
4 3 3
y x
4 3 3
, valor máximo
32 2 3 3
; mínimos en
y x 2 2 , valor mínimo 0
c) i) Números críticos : x 0 , x 1, x 2 , x 4 ii) f(x) es creciente en
0, 0 1, 2 4,
y decreciente en 1 ,2
iii) máximo en x 4 , valor máximo 16 ;
mínimo en x 2 , valor mínimo 0 d) i) Números críticos : x
1 4k
2 iii) no tiene máximos ni mínimos e) i) Números críticos : x 0 , x
8 5
k 0 , 1 , 2 , 3 ,... ii) f(x) es siempre creciente
8 ii) f(x) es creciente en , 0 , y 5
8 16 8 4 4 decreciente en , ,0 iii) máximo en x , valor máximo ; mínimo 5 25 5 5 5 en x 0 , valor mínimo 0 f) i) Números críticos : x 0 , x 1 ii) f(x) es creciente en 1 ,0 1, y decreciente en ,1 0,1 iii) máximo en x 0 , valor máximo 2 ; mínimos mínimos en x 1 y x 1 , valor mínimo 0
g) i) Números críticos : x 0 , x 2 , x 3 , x 1 ii) f(x) es creciente en 2 ,0 y decreciente en 3 ,2 0 ,1
iii) máximos en x 0 y x 3 , valor valor máximo 5 ;
mínimos en x 2 y x 1 , valor mínimo -3 h) i) Números críticos : x 0 ii) f(x) es creciente en 0 , y decreciente en ,0 iii) mínimo en x 0 , valor mínimo 0 i) i) Números críticos : x 2 ii) f(x) es creciente en 0 ,2 y decreciente en 2 , iii) máximo en x 2 , valor máximo ln 2
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CALCULO I
16.a) f(x) es cóncava hacia arriba en 0 , y cóncava hacia abajo en ,0 b) f(x) f(x) es cóncava cóncava hacia arriba arriba en ,1 1 1, 1 ,2 8 . 517 y cóncava hacia abajo en
2.8517 , c) Siempre es cóncava hacia abajo
d) f(x) es cóncava hacia arriba en ,2 2 2 2 , y cóncava hacia abajo en
2
2 , 2 2
e) f(x) es cóncava hacia arriba en 1 ,2 2 y cóncava hacia abajo en 2 2 ,
17.- a 3 / 4, b 0, c 9 / 4, d 1 / 2 18.- a = 4, b = 36 4 19.cm / seg 3
20.- 400 cm3 / seg seg
22.- 65 millas / hora 25.-
125 19
23.26.-
km / h
19
7
21
6 ,8 11
24.-
m / seg
m / seg
y
20 11
21.- 60 m 2 / seg seg 23 8
3
cm / min min
m / seg seg res respecti ctivamente
Optimización 28.- h
27.- r 2 31.- b de 20 m
1 2
,
h
4
R,
3
3
2 2 3
R
29.- h r
8 3
30.- r 3 6 ,
h6 3
32.- Desplegar Desplegar el cable cable siempre siempre por por mar mar 33.- A 12,5 12,5 m del poste
4
34.- h r
r
3
600
35.- 90 x 45 x 15 cm
36.- El área máxima máxima se obtiene obtiene
cuando no se corta el alambre y se forma solo el círculo 38.- 5x + 3y - 30=0
39.- Dos puntos
40.- radio de base 5 /
3
2
5 ,2
y 2
37.- base 15, altura 1/2
5 ,2 , d 2 6
2 cm , Altura 10 3 4 cm , 41.- base 9 2 , altura
9
2 2 42.- Para que la cantidad de plomo a utilizar utilizar sea mínima, las dimensiones dimensiones del recipiente deben ser 0,4 m de largo; 0,4 m de ancho y 0,2 m de altura
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43.- Trazado de curvas: a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
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k)
m)
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l)
