angulos cuadrantales

 

Trigonometría – 3º de Secundaria

RAZON RAZONES ES TRIGO TRIGONO NOM M TRIC TRICA AS DE DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL II 1. Ángulos  C Cuadr antales

Donde: 0 = Cero 1 = Uno N = No definido

Entenderemos por ángulo cuadrantal a aquel ángulo en posición normal cuyo lado final coincida con cualquier semieje del plano cartesiano. La medida de este ángulo siempre tendrá la forma: “n

π

2

COMPROB AC  ACIÓN y

”; n  Z ó “n. 90º”.

(0; r) r

Ejemplo:

90º

Para diferentes valores enteros de “n” tendríamos: n = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; ….

x 1.

n . 90 = -270º; -180º; -90º; 0; 90º; 180º; 270º; 360º;

sen sen90º

 y

r

r

r

x r

0

2. cos 90º

El siguiente gráfico muestra algunos  Ángulos Cuadrantales y su medida.

3.

tg90º

1 0

r

 y

r

r

0

/

y  La división de un  número entre 0 (cero) es una operación no definida.

90º

180º

x

-90º

3. R.  T T.  d de  Á Ángulos  C Coter minales

2. R.  T T.  d de  Á Ángulos  C Cuadr antales m∢ R.T.

0º, 360º 0; 2

90º

180º

/2

Si dos o más ángulos son coterminales entonces las Razones Trigonométricas de sus medidas tienen el mismo valor numérico por ende diremos que son iguales. y

270º 3 /2

Sen

0

1

0

-1

Cos

1

0

-1

0

Tg

0

N

0

N

Ctg

N

0

N

0

Sec

1

N

-1

N

Csc

N

1

N

-1

(a; b)

R.T.  = R.T. 

x

-1-

Prof. Jhon Villacorta Villacorta

 

Trigonometría  – 3º de Secundaria a) a d) b-1

 Son ∢  s coterminales los que tienen el mismo lado inicial y final.

b) b e) ab

c) a-1

2. Simplificar: Ejemplos E

(a b)2 sec 0º (a b)2 sen270º 2ab csc 90º

a) a d) 2

b) b e) 4

c) 1

3. Si: f(x) = senx + cos2x + tg4x Calcular: “ f( ) ” 2

a) 0 d) -1

b) 1 e) -2

c) 2

4. Si: f(x) = sen2x + cos4x + cot6x Calcular: “ f( ) ”

4

a) 0 d) -1

b) 1 e) -2

c) 2

Ejercicios Resueltos Tar ea Nº  0 01

1. Calcular: E

(3Sen90º  Cos180º )

2

(2Sen270º  Cos360º )

2



1



1. Calcular:

8

E

Solución:

E

E



(-1)

2



 2(-1)



(1) 2



42



(-3) 2

E

1 8

2 2 b) sec360º (a - b) cos180º



2abcsc270º

b) 2 e) -2

E

(a b)3 sen90º ( a b)3 cos 360º

8

17

a2 sec 0º 3b2 csc 90º

a) a d) 2b

17  E = 1

3. Si: f(x) sen

Pr áctica D Dir igida N Nº  0 01

b) b e) ab

c) 2a

x x x cos tg 2 3 4

Calcular: “f()”

a) 1 d) 2,5

1. Simplificar: E

c) 3

2. Calcular:

1





a) 1 d) -3

Reemplazando valores:

 3(1)

(a

b) 1,5 e) 3

c) 2

(a b)sen90º (a b) cos 0º 2ab cos 360º

-2-

Prof. Jhon Villacorta Villacorta

 

Trigonometría  – 3º de Secundaria

4. Si: f(x) = 2sen2x + 3cos3x + 4tg4x 5. Señale el signo de:

Calcular: “ f( ) ” 2

a) 0 d) -1

5.

b) 1 e) -2

c) 2

 A

5 3 4 Cos 160º.Tg 217º.Sen 310º 

3 5 Sec 316º.Sen 190º

a) (+) d) (+) ó ( –)

Calcular:

b) ( –) c) (+) y ( –) e) No se puede precisar

E = (3Sen90º – Cos180º)2 + (Sen270º – Cos360º)

a) 16 d) 19

6.

b) 17 e) 20

Reducir: C 

2 3 2 5 m Sen 90º  n Cos 180º

d)

2



b) m – n n

7. Si: f(x) = 2sen2x + 3cos3x + 4tg4x

mSen90º nCos0º

a) m + n m

6. ¿A qué cuadrante pertenece ””, si: Cos < 0; y Sen < 0? a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) Es cuadrantal

c) 18

2

m

e)

mn

2



Calcular: “ f( ) ” 2

c) mn n

2

a) 0 d) -1

mn

Tarea Nº 01 2

E = (2Sen180º – Sen90º)  + (3Cos180º – Cos90º)

b) 9 e) 12

c) 2

8. Si:   IIC,   IIIC    IVC Indicar el signo de la expresión:

1. Calcular: a) 8 d) 11

b) 1 e) -2

csc tg

E

2

cos sec

c) 10 a) + d) +  -

b) c) + ó e) Todas son positivas

2. Reducir: J

3 3 m Sen90ºn Cos360º 2 2 3 m Cos0º mnSen270ºn Sen 270º

a) m – n d) n

b) m + n e) n – m

π

2Sen( ) - Cosπ 2 9. Calcular: E = 3π Ctg( )  Sec2π 2

c) m

3. Calcular: E

a) –1

b) 1

d) 3

e) 2 2

c) – 2

10. Señale el signo de:

(a  b) 2 Sec360º  (a  b) 2 Cos180º  A

2ab Csc270º

a) 1 d) -3

b) 2 e) -2

c) 3

3 5 2 Sen 170º.Cos 214º.Tg 160º 

4 3 Sec 200º.Cos 170º

a) (+) d) (+) ó ( –)

b) ( –) c) (+) y ( –) e) No se puede precisar

4. Señale el signo de: P

Sen 340º.Ctg124º 

Cos 316º

a) (+) d) (+) ó ( –)

b) ( –) c) (+) y ( –) e) No se puede precisar

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Prof. Jhon Villacorta Villacorta

 

Trigonometría  – 3º de Secundaria puede sumar y restar 360° si el ángulo es medido en grados o 2π si el ángulo es medido en radianes. Ejemplo 1: Encuentre un ángulo coterminal positivo y uno negativo con un ángulo de 55°. 55° – 360° = –305° 55° + 360° = 415° Un ángulo de  –305° y un ángulo de 415° son coterminales con un ángulo de 55°.

 ÁNGULOS COTERMINALES Los ángulos se pueden medir en el sentido del movimiento de las agujas del reloj (tiene medida negativa) y al contrario del movimiento de las agujas del reloj (con medida positiva).   Dos o más ángulos se denominan coterminales, cuando tienen el mismo lado inicial y el mismo lado final.  La diferencia entre dos o más ángulos coterminales es el número de vueltas sobre el lado inicial. Aquí es donde se justifica porque los  ángulos trigonométricos no tienen límites en su magnitud, pues sólo se diferencian en el número de vueltas. 

Ejemplos

En General: ϴ=2π(n)+α ó ϴ= 360°(n)+α R.T[2π(n)+α]=R.T[α] R.T[360°(n)+α]=R.T[α]

EJERCICIOS DE ÁNGULOS COTERMINALES Obs.: La diferencia es igual a 360°

Si dos o más ángulos son coterminales entonces las Razones Trigonométricas de sus medidas tienen el mismo valor numérico por ende diremos que son iguales. y

Los siguientes ángulos están en la posición estándar, encuentre un ángulo coterminales positivos. 1) 120° --- > 480° 2) 135° --- > 495° 3) 240° --- > 600° 4) 315° --- > 675° 5) 60° --- > 420° 6) 90° --- > 450° 7) -30° --- > 330° 8) -150° --- > 210° 9) 150° --- > 510° 10) -45° --- > 315°

(a; b)

R.T.  = R.T. 

x

Para encontrar un ángulo coterminal positivo y uno negativo con un ángulo dado,

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Prof. Jhon Villacorta Villacorta