angulos cuadrantales

I.E 10214 – LA RAMADA

Trigonometría – 5º de Secundaria

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL 1. Ángulos Cuadrantales

Donde: Donde: 0 = Cero 1 = Uno N = No definido

Entenderemos por ángulo cuadrantal a aquel ángulo en posición normal cuyo lado final coinc coincida ida con con cualq cualquie uierr semi semieje eje del plano plano cart cartes esia ian no. La med medida ida de este este ángu ángulo lo siempre tendrá la forma: “n

π 2

COMPROBACIÓN y

”; n ∈ Z ó “n. 90º”.

(0; r) r

Ejemplo:

90º

Para Para dife difere rent ntes es valo valore ress ente entero ross de “n” “n” tendríamos: n = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; ….

x 1.

n . 90 = -270º; -180º; -90º; 0; 90º; 180º; 270º; 360º;

sen90º

y

r

r

r

x r

0

2. cos 90º El siguiente gráfico muestra algunos Ángulos Cuadrantales y su medida.

3. tg90º

1 0

r

y

r

r

0

/

y La división de un número entre 0 (cero) es una operación no definida.

90º

180º

x

-90º

2. R. T. de Ángulos Cuadrantales m∢ R.T. Sen Cos Tg Ctg Sec Csc

0º, 360º 0; 2 0 1 0 N 1 N

90º /2 1 0 N 0 N 1

180º

270º

0 -1 -1 0 N -1 -1 N

3 /2 -1 0 N 0 N -1

3. R. T. de Ángulos Coterminales Si dos dos o más más ángu ángulo loss son son cote coterm rmin inal ales es entonces entonces las Razones Razones Trigonom Trigonométric étricas as de sus medidas tienen el mismo valor numérico por ende diremos que son iguales. (a; b)

y R.T. α = R.T. θ

x

1

Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz



Son ∢s coterminales los que tienen el mismo lado inicial y final.

2. Simplificar:

Ejemplos

E

(a b)2 sec 0º (a b)2 sen270º 2ab csc 90º

a) a d) 2

b) b e) 4

c) 1

3. Si: f(x) = senx + cos2x + tg4x Calcular: “ f( ) ” 2

a) 0 d) -1

b) 1 e) -2

c) 2

4. Si: f(x) = sen2x + cos4x + cot6x Calcular: “ f( ) ” 4

a) 0 d) -1

b) 1 e) -2

c) 2

Ejercicio Resueltos Tarea Nº 01 1. Calcular: (3Sen90º − Cos180º ) 2 + 1 E= (2Sen270º − Cos360º ) 2 + 8

1. Calcular: E =

Solución:

E=

2abcsc270º

a) 1 d) -3

Reemplazando valores: [ 3(1) − (-1) ] 2 + 1 E= [ 2(-1) − ( 1 ) ] 2 + 8 E=

2 2 (a + b) sec360º + (a - b) cos180º

b) 2 e) -2

2. Calcular:

4 2 +1

E

(-3) 2 + 8

17

(a b)3 sen90º ( a b)3 cos 360º a2 sec 0º 3b2 csc 90º

a) a d) 2b

17

∴E = 1

3. Si: f(x) sen

b) b e) ab x 2

Calcular: “f(π)” a) 1 d) 2,5

Práctica Dirigida Nº 01 1.

c) 3

cos

x 3

tg

c) 2a

x 4

b) 1,5 e) 3

c) 2

Simplificar: E

a) a d) b-1

(a b)sen90º ( a b) cos 0º 2ab cos 360º

b) b e) ab

4. Si: f(x) = 2sen2x + 3cos3x + 4tg4x

c) a-1

2



Trigonometría – 5º de Secundaria Cos5 160º.Tg 3 217º.Sen 4 310º A = Sec 3 316º.Sen 5 190º

Calcular: “ f( ) ” 2

a) 0 d) -1

5.

b) 1 e) -2

c) 2

a) (+) d) (+) ó (–)

Calcular: E = (3Sen90º – Cos180º)2 + (Sen270º – Cos360º)

a) 16 d) 19

6.

b) 17 e) 20

Reducir: C =

6. ¿A qué cuadrante pertenece ”θ ”, si: Cosθ < 0; y Senθ < 0? a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) Es cuadrantal

c) 18

7. Si: f(x) = 2sen2x + 3cos3x + 4tg4x

m2Sen3 90º + n2Cos5 180º

Calcular: “ f( ) ”

mSen90º + nCos0º

a) m + n m2 + n2 d) m+n

b) m – n m2 + n2 e) m−n

2

c) mn a) 0 d) -1

Tarea Nº 01

E

E = (2Sen180º – Sen90º)2 + (3Cos180º – Cos90º)2

b) 9 e) 12

2. Reducir:

c) m

a) –1 d) 3

b) 2 e) -2

cos sec

b) c) + ó e) Todas son positivas

b) 1 e) 2 2

c) – 2

10. Señale el signo de: Sen3 170º.Cos 5 214º.Tg 2 160º A = Sec 4 200º.Cos 3 170º

3. Calcular: (a + b) 2 Sec360º + (a − b) 2 Cos180º E= 2ab Csc270º a) 1 d) -3

c) 2

π 2Sen( ) - Cosπ 2 9. Calcular: E = 3π Ctg( ) + Sec2π 2

m 3 Sen90º −n3 Cos360º J= m 2 Cos0º −mnSen270º −n 2 Sen 3 270º b) m + n e) n – m

csc tg

a) + d) + ∧-

c) 10

a) m – n d) n

b) 1 e) -2

8. Si: β ∈ IIC, α ∈ IIIC ∧ θ ∈ IVC Indicar el signo de la expresión:

1. Calcular: a) 8 d) 11

b) (–) c) (+) y (–) e) No se puede precisar

a) (+) d) (+) ó (–)

c) 3


4. Señale el signo de: Sen 340º.Ctg 124º P= Cos 316º a) (+) d) (+) ó (–)


5. Señale el signo de:

3




ÁNGULOS COTERMINALES

en grados o 2π si el ángulo es medido en radianes. Ejemplo 1: Encuentre un ángulo coterminal positivo y uno negativo con un ángulo de 55°. 55° – 360° = –305° 55° + 360° = 415° Un ángulo de –305° y un ángulo de 415° son coterminales con un ángulo de 55°.

Los ángulos se pueden medir en el sentido del movimiento de las agujas del reloj (tiene medida negativa) y al contrario del movimiento de las agujas del reloj (con medida positiva). 

Dos o más ángulos se denominan coterminales, cuando tienen el mismo lado inicial y el mismo lado final. La diferencia entre dos o más  ángulos coterminales es el número de vueltas sobre el lado inicial. 

Aquí es donde se justifica porque los ángulos trigonométricos no tienen límites en su magnitud, pues sólo se diferencian en el número de vueltas. Ejemplos

En General: =2π(n)+α ó = 360°(n)+α R.T[2π(n)+α]=R.T[α] R.T[360°(n)+α]=R.T[α]

Ejercicios de Ángulos Coterminales Los siguientes ángulos están en la posición estándar, encuentre dos ángulos coterminales positivos y dos ángulos coterminales negativos en cada caso.

Si dos o más ángulos son coterminales entonces las Razones Trigonométricas de sus medidas tienen el mismo valor numérico por ende diremos que son iguales. (a; b)

1) 120° 2) 135° 3) 240° 4) 315° 5) 60° 6) 90° 7) -30° 8) -150° 9) 150° 10) -45°

y R.T. α = R.T. θ

x

Para encontrar un ángulo coterminal positivo y uno negativo con un ángulo dado, puede sumar y restar 360° si el ángulo es medido

PRÁCTICA CALIFICADA DE MATEMÁTICA

4




QUINTO AÑO DE SECUNDARIA “ÁNGULOS EN POSICION NORMAL” ESTUDIANTE:…………………………………… RESOLUCION DE PROBLEMAS 1. Del siguiente gráfico calcular: E

10 sen

12 cot

y x

θ

(1; -3)

4.

E =

Calcular: 2 2 (a + b) sec360º + (a - b) cos180º 2abcsc270º

Si el punto P( 1; 3 ) pertenece al lado final de un ángulo en posición canónica cuya medida es “α” calcular: E = cotα + cscα 2.

5.

Reducir: m 3 Sen90º −n3 Cos360º J= m 2 Cos0º −mnSen270º −n 2 Sen 3 270º

y 3.

Del gráfico calcular: E

5 sec

x

4 cot

5 (1; -2)


angulos cuadrantales

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