´ ´ INGENIER´ IA GEOLOGIC OGICA: A: MECANIC ANICA A DE MEDIO MEDIOS S CONT CONTINUO INUOS S
Ignacio Romero — 20 de Septiembre de 2004
Notaci´ on indicial on En Mec Mec´anica a´nica de Med Medios ios Co Cont ntin inuos uos los obje objetos tos ma matem tem´´aticos aticos m´ as emp as emplea leados dos son los 3 escalares, vectores y tensores en R . Para trabajar con vectores se define una base de vectores ortonormales B 1 = { e1 , e2 , e3 } de forma que todo vector v ∈ R3 se puede expresar como la siguientee combin siguient combinaci´ aci´on on lineal v = v 1 e1 + v2 e2 + v3 e3 . (1) Utilizando sumatorios se puede escribir la ecuaci´on on previa de una forma m´as as compacta: 3
v =
v p e p .
(2)
p=1
Sin embargo es tedioso tener que escribir constantemente constantemente el s´ımbolo de sumatorio e indicar sus l´ımites, ımites, pues siempre son los mismos. Por ello se adopta la siguient siguientee conv convenci´ enci´on: on: en vez de (1) o (2) se escribe v = v p e p . (3) En esta expresi´on, on, y en toda aquella en la que dos objetos que se multiplican tengan un mismo ´ındice repeti repetido, do, se entender´a que v p e p significa v 1e1 + v2 e2 + v3 e3 . En vez del sub sub´´ındice p se podr po dr´´ıa hab haber er empl empleado eado cual cualquie quierr otro, o tro, y as as´´ı v p e p = v q eq = v i ei ,
(4)
por lo que el ´ındice repetido se denomina mudo. Se dice que la expresi´on on (3) emplea notaci´on on indicial o tambi´ ta mbi´ en el convenio de Einstein. en Dos vectores a y b son iguales si a p e p = b p e p . Esta igualda igualdad d se pued puedee reescribir reescribir como (a p − b p )e p = 0. Com Comoo los vector vectores es de la base son lin lineal ealmen mente te indepen independie dient ntes es la ´ultima ultima expresi´ on requiere que cada componente se anule, es decir, a p − b p = 0, o de otra manera on a p = b p .
(5)
De este simple ejemp ejemplo lo se dedu deduce ce que cuan cuando do en una igualdad aparezca aparezca un mism mismoo ´ındi ındice ce en varios lugares, pero no multiplic´andose, andose, quiere decir que la igualdad es v´alida alida cuando el ´ındice toma el valor 1,2 1, 2 ´o 3. Un ´ındice de este tipo tip o se denomina libre y y puede intercambiarse por otra letra cualquiera, siempre que no se emplee en otra parte de la igualdad. Por ejemplo, la identidad (5) quiere expressar a1 = b 1 (6) a2 = b 2 a3 = b 3
hay ni ning ng´ un ´ ´ındice mudo, pu N´ otese que en la ident otese identida idad d anter anterior ior (5) no hay pues es au aunq nque ue p apare aparezca zca en am ambos bos lad lados os de la iguald igualdad ad las com compon ponen entes tes cor corres respon pondie dient ntes es no est est´´an an multiplicando.
1
Cuando se trabaja con tensores de segundo orden tambi´ en en se emplea una base tensorial de nueve tensores: B 2 = { e1 ⊗ e1 , e1 ⊗ e2 , e1 ⊗ e3 , e2 ⊗ e1 , e2 ⊗ e2 , e2 ⊗ e3 , e3 ⊗ e1 , e3 ⊗ e2, e3 ⊗ e3 } , y todo tensor
T se T
(7)
puede escribir como
= T 11 11 e1 ⊗ e1 + T 12 12 e1 ⊗ e2 + T 13 13 e1 ⊗ e3 + T 21 21 e2 ⊗ e1 + . . .
(8)
En este caso se observa a´un un m´as as claramente que resulta muy tedioso escribir y trabajar con las nueve componentes de un tensor. Se podr p odr´´ıa escribir la expresi´on on previa como 3
T
=
3
T pq e p ⊗ eq ,
(9)
p=1 q =1
pero igual que con los vectores, se adopta la convenci´on on de que esta ultima ´ultima expresi´on on se puede escribir simplemente como T = T pq (10) pq e p ⊗ eq . Como Como en el caso de los vectore vectores, s, los ´ındices ındices repetidos repetidos cuyos cuyos objetos correspond correspondien ientes tes se multiplican multiplican expresan un sumatorio, con dicho ´ındice tomando valores valores 1,2 y 3. Tambi´ en en como en el caso de los vectores, vecto res, aquellos ´ındices libres que aparecen apa recen repetido r epetidoss en varios lugares de una igualdad, pero cuyas componentes correspondientes no se multiplican indican que la igualdad es v´alida alida cuando los ´ındices ındices toman valores 1,2 1 ,2 y 3. As´ As´ı por p or ejemplo e jemplo T ij ij + R ij = 7 quiere decir que la suma de cualquier componente del tensor T de segundo order m´as as la misma componente del tensor de segundo orden R es es igual a 7. Las consideraciones considerac iones aqu´ aqu´ı presentadas son v´alidas alidas tambi´en en para tensores de mayor orden. Por ejemplo: Aijk v j = A i1k v1 + Ai2k v2 + Ai3k v3 , (11) S pqr T ir ir = S pq pq1 T i1 + S pq 2 T i2 + S pq3 T i3 .
2
Empleo de notaci´ on indicial en igualdades on
Cuando se expresan igualdades de cantidades vectoriales o tensoriales se puede emplear notaci´ on on compacta, compacta, indicial indicial o matricial. matricial. De esta manera, por ejemplo, ejemplo, la igualdad igualdad de dos tensores A y B se puede indicar de cualquiera de estas tres maneras: A = B
,
⇔
⇔
Aij = B ij ,
Sin embargo no es correcto escribir: A = B ij ,
ni
Aij =
B11 B21 B31
B12 B22 B32
B13 B23 B33
A11 A21 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33
=
ni tampoco
,
B11 B21 B31
A =
B12 B22 B32
B13 B23 B33
B11 B21 B31
B12 B22 B32
.
B13 B23 B33
Otro ejemplo: si el vector t viene definido por t = σn donde σ es un tensor de segundo orden n un vector, entonces podemos reescribir dicha definici´ on de cualquiera de estas maneras: ti = σ ij n j , ti ei = σ ij n j ei ,
{t} = [σ]{n} ,
t1 t2 t3
=
σ11 σ21 σ31
σ12 σ22 σ32
σ13 σ23 σ33
Sin embargo, es incorrecto escribir: t = σ ij n j
,
y tamb ta mbi´ i´en en
t =
3
σ11 σ21 σ31
n1 n2 n3
.
σ12 σ22 σ32
σ13 σ23 σ33
n1 n2 n3
.
.
Cuadro resumen
En el siguiente cuadro se resumen las operaciones m´as as comunes en ´algebra algebra y c´alculo alculo tensorial y sus expresiones en notaci´on on indicia indicial. l. En toda la tabla tabla φ es una funci´on on escalar, a, b, c son vectores y R , S , T son tensores de orden dos.
Operaci´ on
Notaci´ on tensorial
Notaci´ on on indicial
a = b
a p = b p
Igualdad de vectores Igualdad de tensores Delta de Kronecker Tensor de permutaci´on on Producto escalar
= S 1 si i = j 0 si i = j 1 si ijk = 123, 231 ´o 321 −1 si ijk = 213, 132 ´o 312 0 si hay alg´ lgun u ´n ´ındice ındi ce repetid rep etido. o. T
a·b
T pq = S pq pq δ ij ij ijk a p b p
Producto vectorial
a = b
∧c
ai = ipq b p cq
Suma de vectores
a = b + c
ai = b i + ci
Suma de tensores
R = = S + + T
Rij = S ij ij + T ij ij
Producto tensor, vector
b = T
·a
T
·a
Producto tensor trans., vector
b = T
Producto tensor, tensor
R = = S · T
Producto externo
T
= a⊗b
bi = T ip ip a p bi = T pi a p Rij = S ip ip T pj T ij ij = a i b j
Doble contracci´on on
S : : T
S pq T pq
Traza de un tensor
tr(T )
T pp
Determinante
det(T )
ijk T 1i T 2 j T 3k
Gradiente de f. escalar
a =
grad grad [φ]
ai = φ ,i
Gradiente de f. vector
T =
grad[a]
T ij ij = a i,j
Divergencia de un vector
φ = div div [a]
Divergencia de un tensor
a =
div div [T ]
ai = T ip,p ip,p
Rotacional de un vector
b =
rot rot [a]
bi = ijk a j,k
4
φ = a i,i
Resumen de reglas pr´ acticas acticas de operaci´ opera ci´ on on indicial
1) Un ´ındice, por ejemplo p, repetido en una multiplicaci´on, on, indica un sumatorio los t´ erminos erminos en la multiplicaci´ multiplicaci ´on: on:
3
p=1
de
a p b p = a 1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .
2) El par de de ´ındices repetidos y multiplic´ multiplic´andose andose se pueden cambiar de letra, siempre que no se utilice en otra parte de la expresi´on: on: a p b p + ck = a q bq + ck = a r br + ck .
3) Cuando Cuando uno de los ´ındices ındices repetidos repetidos en una multiplicac multiplicaci´ i´on on pertenece al una delta de Kronecker Kronecker basta con reemplazar el ´ındice repetido por el ´ındice libre en la delta: aip δ pj = a ij .
4) Un ´ındice ındice que que est´ est´a repetido, pero no entre los factores que se multiplican, no se sustituye por un sumatorio bi + ci = b 1 + c1 + b2 + c2 + b3 + c3 . 5) Uno o m´ m´as as ´ındices ındices libres (que no est´an an multiplicados por otros factores que tengan esos mismos ´ındices) indican 3 ecuaciones ecuacione s independientes indepen dientes por cada ´ındice: vi = a i + 3 ⇒ 3 ⇒
v1 = a 1 + 3 v2 = a 2 + 3 v3 = a 3 + 3
6) Un ´ındice nunca puede aparecer repetido m´as as de una vez en una multiplicaci´on. on. Puede aparecer m´as as de dos veces si es en sumandos distintos, pero no es recomendable pues puede llevar a confusi´on: on: vi S pi W ji ⇒ Incorrecto ⇒ Incorrecto !! vi S pi W jk + ai bi ⇒ Correcto, ⇒ Correcto, pero no recomendable vi S pi W jk + am bm ⇒ Correcto ⇒ Correcto
7) Un tensor tensor ortogon ortogonal al es aquel que que tiene la propie propiedad dad
AAT
Aip A jp = A pi A pj = δ ij ij
5
= AT A = 1. En ´ındices ındi ces::
