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CONTENIDO:
DISTRIBUCIONES DISTRIBUCIO NES UNIDIMENSIO UNIDIMENSIONALES NALES ,ESTAD ,ESTADIGRAFO IGRAFOS S DE POSICION Y DISPERSION
DISTRIBUCIONES DISTRIBUCIO NES BIDIMENSIONALE BIDIMENSIONALES. S.
ANALISIS DE REGRES REGRESION ION Y CORRELACION CORRELACION LINEAL. LINEAL.
ANALISIS DE CORRELA CORRELACIO CIO
CALCULO DE PROBABILIDADES DISTRIBUCIONES DISTRIBUCIO NES DE PROBAB PROBABILIDADES. ILIDADES.
DOCENTE :
Dr. Jaime Zárate Dalens
INTEGRANTES:
Ing. Yndira Yudit Chávez Velásquez Ing. Dennis Orlando Bermeo Herreros Ing. Edwin Melendres Quispe Ing. Ricardo catacora caso Ing. Jesús Armando Acero Mamani Ing. Elvis Rene Ruiz Condori Cusco – Julio Julio – 2017 2017 1
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encuesta se sugirieron las siguientes PROBLEMA N0 1.- Al diseñar una encuesta variables, determine el tipo de variable considerado en cada caso, asimismo diga si es una variable tipo cadena o alfanumérica, tipo fecha o numérica (según la clasificación SPSS): Según el software software SPSS las variables se se clasifican en:
-
Tipo de variable Numérico.- Es una variable cuyos valores son números. Los valores se muestran en formato numérico estándar. El Editor de datos acepta valores numéricos en formato estándar o en notación científica.
-
Tipo de Variable Cadena.- Este tipo de variable se emplea cuando los valores no son numéricos o sencillamente no representan magnitudes o cantidades; estas variables no son utilizadas en los cálculos de los estadísticos. Las variables de cadena pueden contener cualquier tipo de caracteres siempre que no exceda la longitud máxima de 255; las mayúsculas y las minúsculas se consideran diferentes ya que el programa trabaja bajo el código ASCII. A este tipo de variables, también se le suele denominar como variable alfanumérica.
2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----VAR. SUGERIDA a b c d e f g h i j k l
Profesión Nacionalidad Grado de instrucción Número de hijos Número telefónico Dirección Año de nacimiento Edad Estado civil Ingreso mensual familiar promedio Numero del DNI Es afiliado a la seguridad social
TIPO DE VAR. CADENA O ALFANUMERICA CADENA O ALFANUMERICA CADENA O ALFANUMERICA NUMERICO NUMERICO CADENA O ALFANUMERICA NUMERICO NUMERICO CADENA O ALFANUMERICA NUMERICO NUMERICO CADENA O ALFANUMERICA
PR OB LE MA Nº 2 En el ejemplo del asfalto, la variable TENSIÓN DE FRACTURA es una variable
cualitativa Continua porque; nunca puede ser medida con exactitud, el valor observado depende en gran medida de la precisión de los instrumentos de
medición, además existirá inevitablemente un error de medida. En el ejemplo de los cojinetes, EL DIÁMETRO DE LOS COJINETES es una variable CUALITATIVA DISCRETA porque puede tomar solo un número finito o contable de valores. En el ejemplo de los NIVELES DE PLOMO, se está analizando si una muestra contiene niveles detectables o no. Se trata, por tanto, de una variable
cualitativa discreta bidimensional con dos categorías: sí contiene niveles detectables o no contiene niveles detectables. En el ejemplo de los ACCIDENTES LABORALES, la variable número de accidentes laborales es cuantitativa ALEATORIA mientras que las franjas horarias constituyen una variable cualitativa.
PROBLEMA N0 3.El cuadro presenta la mejoría experimentada por un grupo de 1830 personas sometidas a un tratamiento experimental:
3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----Mejoría Frecuencia experimentada Ci Optimo 126 Moderada 223 Leve 428 No experimenta mejoria
631
Empeora
422
Total
1830
De tal manera se obtiene el siguiente cuadro de frecuencias para la variable
MEJORÍA EXPERIMENTADA. CUADRO: MEJORIA EXPERIMENTADA
Mejoría Porcentaje Frecuencia experimentada Ci (%) Optimo 126 6.89% Moderada 223 12.19% Leve 428 23.39% No experimenta mejoria
631
Empeora
422
Total
1830
34.48% 23.06% 100.00%
a) ¿Qué porcentaje de pacientes tuvieron mejoría leve?
El 23,4% de pacientes tuvieron mejoría leve b) ¿Cuantos pacientes experimentaron mejoría más alta y en qué porcentaje?
Son 126 pacientes quienes tuvieron una mejoría óptima (más alta) y su porcentaje es 6,9% del total. c) Represente esta información mediante gráficos adecuados al tipo de variable.
El grafico apropiado será el grafico de barras, debido a que mejoría experimentada es una variable cualitativa ordinal.
4
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MEJORIA EXPERIMENTADA 35.00% 30.00% E J A T N E C R O P
34.48%
25.00% 20.00% 10.00% 5.00%
23.06%
23.39%
15.00% 12.19% 6.89%
0.00% Optimo
Moderada
Leve
No Empeora experimenta mejoria
MEJORIA EXPERIMENTADA
INTERPRETACION El grafico de frecuencias muestra la mejoría experimentada en un grupo de 1830 personas sometidas a un tratamiento experimental. Ejemplo: De las 1830 personas el 6.89 % tuvieron tuvieron una mejoría experimental óptima.
Problema Nº4.Tomamos como población los 98 reactores nucleares más grandes en todo el mundo. Nos fijamos en la variable o dato referente al país donde están localizados. Los datos serían Bélgica, Bélgica, Bélgica, Bélgica, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Finlandia, Finlandia, Alemania, Alemania, Alemania, Alemania, Alemania, Alemania, Alemania, Holanda, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Suecia, Suecia, Sue1cia, Suiza, 47Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos.
5
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
a) Qué tipo tipo de de variable variable es?
El tipo de variable es Cuantitativa discreta b) Construya un cuadro de distribución de frecuencias adecuado. cuadro: Reactores por países
País Belgica Francia Alemania Japon Suecia EE.UU Finlandia Holanda Suiza Total
Frecuencia 4 22 7 11 3 47 2 1 1 98
Po Porcentaje 4.08% 22.45% 7.14% 11.22% 3.06% 47.96% 2.04% 1.02% 1.02% 100.00%
c) Represente mediante un gráfico adecuado.
País donde estas los reactores 50.00% 45.00% 40.00% E 35.00% J A 30.00% T N E 25.00% C R 20.00% O P 15.00% 10.00% 5.00% 0.00%
47.96%
22.45% 11.22% 4.08%
7.14% 3.06%
2.04% 1. 1.02 02% % 1. 1.0 02%
PAÍS
INTERPRETACION El grafico de frecuencias muestra la proporción proporción de reactores nucleares más grandes grandes de todo el mundo que se encuentran por país. Ejemplo: de los 98 Reactores nucleares el 4.08 % se encuentran encuentran ubicados en el país de Bélgica.
6
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
Problema Nº5.Un Ingeniero Civil visita 80 villas en una ciudad y en cada una registro el número de casas que han sufrido sufrido daños ocasionados ocasionados por un terremoto, de lo cual resultaron los datos: 15 20 25 15 18 16 17 18 20 18 18 18 19 16 17 19 16 17 17 17 19 18 19 18 15 15 20 25 15 18 16 17 18 20 18 18 18 19 16 17 19 16 17 17 17 19 18 19 18 15 17 18 20 18 18 18 19 16 17 19 16 17 17 17 19 18 19 18 15 19 16 17 17 17 19 18 15 20 25 15
a) Qué tipo de datos datos son son estos? La variable número de casas con daños ocasionados por un terremoto por villa es variable cuantitativa discreta
b) Construir una tabla de de distribución de frecuencias frecuencias adecuadas a este conjunto de datos. NUMERO DE CASAS CON DAÑOS POR VILLA
N° de de ca casas Frec recuenc uencia ia
Porc orcentaje
Porcentaje acumulado
15,00
9
11.25%
11.25%
16,00 17,00
9 18
11.25% 22.50%
22.50% 45.00%
18,00 19,00 20,00
21 14 6
26.25% 17.50% 7.50%
71.25% 88.75% 96.25%
25,00
3
3.75%
100.00%
Total
80
100.00%
d) Cuantas villas tienen a lo más 20 casas casas que han sufrido sufrido daños? El 96,25% de villas tienen a lo más 20 casas que han sufrido daños.
e) Qué proporción de villas tienen por lo menos 17 casas que han sufrido daños? 77.50% de villas tienen por lo menos 17casas que han sufrido daños.
f) Qué proporción proporción de villas tienen 18 casas casas que han sufrido daños? El 26,25% de villas tienen t ienen 18 casas que han sufrido daños
g) Que proporción y que porcentaje de villas tienen 18 o menos casas que han sufrido daños? El 71,25% de villas tienen 18 o menos casas que que han sufrido daños
h) Calcular e interpretar la media aritmética de los datos. 7
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----Estadísticos Número de casas con daños por villa Válidos 80 N Perdidos 0 Media 17,8000
En promedio existen 17,80 casas con daños por villa
i) Obtener e interpretar la mediana de los datos. Estadísticos Número de casas con daños por villa Válidos 80 N Perdidos 0 Mediana 18,0000
El 50% de las villas tienen menos de 18 casas con daños causados por el terremoto
i ) Construir un gráfico adecuado y comentar. NUMERO DE CASAS CON DAÑOS POR VILLA 30.00%
26.25% 22.50%
25.00% E J A T N E C R O P
17.50%
20.00% 15.00%
11.25%
11.25% 7.50%
10.00%
3.75%
5.00% 0.00% 15,00
16,00
17,00
18,00
19,00
20,00
25,00
NUMERO DE CASAS CON DAÑOS POR VILLA
INTERPRETACION El grafico de frecuencias muestra la proporción del número de casas que han sufrido daños por villa. Ejemplo: El 26,25% de villas tienen 18 casas que han sufrido daños
8
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
Problema Nº6.En una empresa con cadena de montaje donde se empaquetan piezas en cajas se realiza un estudio sobre la calidad de producción. Los datos siguientes informan sobre el número de piezas defectuosas encontradas en una muestra de cajas examinadas: 0000001111111112222222222333333344444445555666 6677788900 1111111112222 225 5566666777 8890011111111 1222255666667 7788900111 1111112222 2222223333333 4444444555566 66677788 90 0111111112 222225
Elabore un cuadro cuadro de distribución de datos conveniente conveniente así como la representación gráfica adecuada. A) Cuadro de distribución de datos. datos. NUMERO DE PIEZAS DEFECTUOSAS POR CAJA
N° piezas X Frecue Frecuenci ncia a caja 0,00 14 1,00 44 2,00 36 3,00 14 4,00 14 5,00 14 6,00 20 7,00 12 8,00 8 9,00 4 Total 180
Porcen Porcentaj taje e 7.78% 24.44% 20.00% 7.78% 7.78% 7.78% 11.11% 6.67% 4.44% 2.22% 100.00%
B) Gráfico de de Frecuencias Frecuencias
9
Porcentaje acumulado 7.78% 32.22% 52.22% 60.00% 67.78% 75.56% 86.67% 93.33% 97.78% 10 100.00%
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----NUMERO DE PIEZAS DEFECTUOSAS POR CAJA
25.00% 20.00% E J A T N E C R O P
15.00%
24.44% 20.00%
10.00% 7.78%
5.00%
7.78 7. 78% % 7. 7.78 78% % 7. 7.78 78% %
11.11% 6.67%
4.44%
2.22%
0.00% 0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
NUMERO DE PIEZAS DEFECTUOSAS POR CAJA
INTERPRETACION El grafico de frecuencias muestra la proporción del número de piezas defectuosas por caja Ejemplo: El 7.78% de cajas no no tienen piezas defectuosas.
Problema Nº7.Un test realizado sobre pruebas de aptitud a un grupo de ingenieros pertenecientes a un gobierno regional con el propósito de promocionarlos promocionarlos son los siguientes. 67
61
82
70
67
73
77
85
68
57
66
72
67
70
76
54
93
88
67
77
84
63
45
63
70
73
47
80
60
67
67
70
58
57
59
69
58
86
69
52
76
79
56
77
94
73
64
74
72
68
a) Elabore un cuadro de distribución de frecuencias frecuencias con 7 categorías. Como el mínimo valor es 45 Y el máximo valor es 94 El rango será R=94-45=49 Y como queremos que tenga 7 intervalos, la amplitud será A=49/7=7
10
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
Intervalos o categorías
fi
Fi
[45-52>
2
2
[52-59>
7
9
[59-66>
6
15
[66-73>
17
32
[73; 80>
10
42
[80; 87>
5
47
[87; 94>
3
50
c) Que porcentaje de ingenieros obtuvieron puntajes puntajes mayores a 67 puntos? Son 28 ingenieros que obtuvieron puntajes mayores a 67 puntos
d) Que porcentaje de ingenieros ingenieros obtuvieron obtuvieron puntajes entre entre 60 y 88 puntos inclusive? El porcentaje será p= (38/50)*100%=76% e) construya los gráficos adecuados adecuados para el tipo de variable.
11
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
Problema Nº8.Se ha realizado una encuesta en 30 hogares en la que se les pregunta el nº de individuos que conviven en el domicilio habitualmente. Las respuestas obtenidas han sido las siguientes: 4, 4, 1, 3, 5, 3, 2, 4, 1, 6, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 2, 3, 3, 2, 2, 1, 8, 3, 5, 3, 4, 7, 2, 3. a) Calcule la distribución de frecuencias f recuencias de la variable obteniendo las frecuencias absolutas, relativas y sus correspondientes acumuladas. N° de individuos
1,00
Frecuencia 3
frecuencia absoluta acumulada 3
frecuencia relativa 0.100
frecuencia relativa acumulada 0.100
Porcentaje 10.0
Porcentaje acumulado 10.0
2,00
6
9
0.200
0.300
20.0
30.0
3,00
8
17
0.267
0.567
26.7
56.7
4,00
5
22
0.167
0.733
16.7
73.3
5,00
4
26
0.133
0.867
13.3
86.7
6,00
2
28
0.067
0.933
6.7
93.3
7,00
1
29
0.033
0.967
3.3
96.7
8,00
1
30
0.033
1.000
3.3
100.0
Total
30
1.000
100.0
b) ¿Qué proporción de hogares está compuesto por tres o menos personas? ¿Qué proporción de individuos vive en hogares con tres o menos miembros? El 56,7% de hogares esta compuesto por tres o menos personas
12
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
d)
Dibuje el diagrama de frecuencias absolutas y el diagrama de
frecuencias acumuladas.
N° de indiv individu iduos os 35 30 25
26
20
30
29
28
22
15
17
10 9
5 1
3
2
3
4
5
8
7
6
0 1
2
3 n° de indi indivi vidu duos os
4
5
6
frec frecue uenc ncia ia abso absolu luta ta acum acumul ulad adaa
13
7
8
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
PROBLEMA NO 9. Calcular la media para la distribución presentada en el siguiente cuadro de distribución de frecuencias, utilice los dos métodos.
Yi-1 - Yi
Yi
ni
Yi ni
di
di ni
30-40
35
4
140
-2
-8
40-50
45
8
360
-1
-8
50-60
55
12
660
0
0
60-70
65
10
650
1
10
70-80
75
6
450
2
12
40
2260
Total
6
La media n
Y n i
X
i 1
n
i
2260 / 40 56,5
PROBLEMA NO10 . Hallar la mediana para el siguiente conjunto de datos: a)
6,8, 3,11, ,11, 9,16, 9,16, 6,20 6, 20,, 8 2,9, 7,5,9, 7, 5,9, 4,8,11, 4,8,11, 7,15,13 7,15,13,, 8,19 8,19 5, 6,8,3 b)
Solución:
Primero introducimos los datos en el programa SPSS para luego hallar la mediana.
14
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
15
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
L uego de ver ver el proce pr ocedi dim mi ento utili utiliza zado do pode podemo moss ver los re r esulta sul tado dos. s.
a) para el primer conjunto de datos la mediana obtenida con el programa está en el siguiente cuadro. Estadísticos a N
Válido Perdidos Mediana
10 3 8,0000
Se puede afirmar que el dato que divide en 2 partes iguales a la muestra es el número 8, además solo para verificar se aplicó la teoría y se ordeno los datos para hallar la mediana como a continuación se ve: Ordenando: 3,5,6,6,8,8,9,11,16, 20 Me=(8+8)/2=8,(mediana para n par) Coincide con lo que el programa nos arrojó. b) para el segundo conjunto de datos la mediana obtenida con el programa está en el siguiente cuadro.
16
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----Estadísticos N
Válido Perdidos Mediana
13 0 8,0000
Se puede afirmar que el dato que divide en 2 partes iguales a la muestra es el número 8, además solo para verificar se aplicó la teoría y se ordeno los datos para hallar la mediana como a continuación se ve: Ordenando: 2,4,5,7,7,8,8,9,9,11,13,15,19. 2,4,5,7,7,8,8,9,9,11,13,15,19. Me=8 (mediana para n impar) PROBLEMA N0 11. Sean los puntajes de los coeficientes de inteligencia de 40 estudiantes mostrados en la siguiente tabla, calcular la mediana, analítica y gráficamente.
Yi – 1 - Yi
Yi
ni
Ni
88-96
92
5
5
96-104
100
8
13
104-112
108
15
28
112-120
116
3
31
120-128
124
5
36
128-136
132
2
38
136-144
140
2
40
40
17
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
n / 2 F j 1 Me Linf A f j Me
20 13 104 8 107, 73 15 ni
16 14 12 10 8 6 4 2 0 88-96
96-104
104-112
112-120
120-128
128-136
136-144
Me=107, 7 aprox imadamente
PROBLEMA Nº12.La región de educación del Cusco decide hacer un reajuste entre sus empleados, la clasificación se lleva a cabo mediante la aplicación de un test que arroja las siguientes puntuaciones: Puntuaciones
Nº de empleados
0-30
94
30-50
140
50-70
160
70-90
98
90-100
8
La planificación optima de la región de educación exige que el 65% sean administrativos, el 20% jefes de sección, el 10% jefes 18
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
de departamento y el 5% inspectores según la puntuación obtenida. Se pide calcular la puntuación máxima para ser Administrativo, jefe de sección y jefe de departamento. 65*500 234 100 61.375 el p65 50 20 160
puntaje
máximo
para
ser
administrativo es 61,375 85*500 394 100 76, 33 el puntaje máximo para ser jefe de p85 70 20 98
sección es 76,33 95*500 394 100 86, 53 el puntaje máximo para ser jefe de p85 70 20 98
departamento es 86,53
PROBLEMA N0 13.Los exámenes de ingreso a cierto instituto han dado los siguientes resultados.
Puntajes ,
Y i 1 Y
N° Post.
,
Y i
n
Y i
20-30
25
7
175
30-40
35
13
455
40-50
45
14
630
50-60
55
7
385
60-70
65
3
195
70-80
75
7
525
19
n
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
80-90
85
4
340
90-100
95
1
95
Hallar la desviación estándar y determinar las notas para clasificar a los postulantes de conformidad con el siguiente criterio. n
Y n i
-
Media aritmética
Y
Varianza
V X
Desviación Estándar
S X
Coeficiente de Variación
C.V .
Alumnos excelentes
2800 / 56 50
n
i
i 1
159800
56
50
2
353, 57 57
18,80 18.80 *100% 37, 6% 50
media + 2 desv.estand. y notas mayores ALUM ALUM EXEL EXEL. Y 2S X ALUM EXEL. 50 2(18,80 ,80) ALUM EXEL. 50 37, 60 60 ALUM EXEL. 87, 60 60
-
Alumnos muy buenos: media + 2desv. 2desv. estand hasta media +1 desv. desv. estand. Y S X ALUM MUY BUENOS Y 2S X
50 18.8 ALUM 68.8 ALUM
-
MUY BUENOS 87, 60
MUY BUENOS 87, 60
Alumnos buenos: media + 1 desv. estand. – 1 hasta media (1 desv. estand – 1). Y S X BUENOS Y S X BUENOS 68, 8 31, 20 BUENOS
20
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
Alumnos desaprobados: media –1 desv. estand. y notas menores. DES DESAPR APRO OB. Y S X y
notas menores
DESAPROB DESAPROB. 31,20
PROBLEMA N0 14.Los siguientes datos corresponden al número de niños que nacieron durante un año en 60 hospitales comunitarios: 30
55
27
45
56
48
45
49
32
57
47
56
37
55
52
34
54
42
32
59
35
46
24
57
32
26
40
28
53
54
29
42
42
54
53
59
39
56
59
58
49
53
30
53
21
34
28
50
52
57
43
46
54
31
22
31
24
24
57
29
onstr uya un cuadr cuadr o de distri distr i bución uci ón de fr ecuenci cuencias as con con 8 cat cate eg orí as. a) C onstr
VAR00001 (agrupado) Frecuencia
Porcentaje
Porcentaje acumulado
Válidos
21;26
5
8,3
8,3
26;30
6
10,0
18,3
30;35
9
15,0
33,3
35;40
3
5,0
38,3
40;45
5
8,3
46,7
45;50
8
13,3
60,0
50;55
11
18,3
78,3
mas de 55
13
21,7
100,0
Total
60
100,0
21
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---- b) Grafique el histograma y polígono de frecuencias.
di stri str i bución uci ón de de dato datoss sim si métri tri ca o asi asim métri ca? c) E s la di Estadísticos VAR00001 N
Válidos
60
Perdidos
0
Asimetría
-,304
Error típ. de asimetría
,309
Es asimétrica con sesgo a la izquierda
22
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----ter mi ne los esta estad dí gr afos de de posi posici ción ón y de disper disper sión si ón. d) D eter Estadísticos VAR00001 Válidos
N
60
Perdidos
0
Desv. típ.
11,98827
Varianza
143,719
Percentiles
25
31,2500
50
45,5000
75
54,0000
e) C alcule el coe coefi cie ci ente de var var i ación. Estadísticos VAR00001 N
Válidos
60
Perdidos
0
Media
43,1000
Cv=(11,988/43,1)*100%=27,81%
PROBLEMA N0 15.Se encuestaron a 3820 personas para saber la audiencia de un debate y de una película que se emitieron en horas distintas en una cadena de TV. V i er on el de deba bate te
N o vieron vi eron el de deba bate te
V i er on la película lí cula
2712
N o vie vier on la pe pelílícula cula
1041 1187
3820
a) Que Que por porce centaj ntaje e de de pe per sonas vio vi o la pelí películ cula a y el deba debate te.. b) D e los que vie vi er on la pe películ lí cula a ¿Qu ¿Qué é por por centaj centaj e no vio vio el el deba debate te??
23
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
SOLUCION Vieron el No vieron debate el debate Vieron la 1120 pe película No vieron 67 la pelí película cula 1187
1592
2712
1041
1108
2633
3820
a) Qué porcentaje porcentaje de personas personas vio vio la película y el debate. Pi=(1120/3820)*100%=29,32%
b) De los que vieron vieron la película ¿Qué porcentaje no vio el debate? Pi=(1592/2712)*100%=58,70%
PROBLEMA Nº17.Para los alumnos del curso de estadística, se tomó una muestra de 10 alumnos y se consideró sus estaturas (x) en metros y sus pesos (y) en kg. Obteniéndose la siguiente información:
X
1,70
1,68
1,86
1,60
1,68
1,55
1,62
1,68
1,70
1,65
Y
72
65
82
58
63
65
58
70
69
62
a) Ecuación de tendencia La ecuación de tendencia es: Y =………………….
b) Coeficiente de correlación Coeficiente de Correlación es: r =……………interprete este resultado
c) Estimaciones de sus pesos: Para 1,80 metros:
y =........ Kg 24
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
Para 1,70 :
y =............Kg
SOLUCION: Primero los datos en el spss
Luego procedimos a hallar a) Ecuación de tendencia
La ecuación de tendencia es: Y = -57,199 + 73,92 X O dicho de otra manera
Peso = - 57,199 + 73,92 ( talla ) Coeficientesa Coeficientes Coeficientes no estandarizados Modelo 1
B (Constante) estatura
Error estándar
-57,199
28,557
73,923
17,061
a. Variable dependiente: peso
25
estandarizados Beta
T
,837
Sig.
-2,003
,080
4,333
,003
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
c) C oeficiente oeficiente de corr ela elación Resumen del modelo Modelo
R
R cuadrado
,837a
1
R cuadrado
Error estándar
ajustado
de la estimación
,701
,664
4,19158
a. Predictores: (Constante), estatura
Coeficiente de Correlación es: r =0.837 Como el coeficiente es positivo y muy cercano a 1. Se afirma que si aumenta la talla aumentara también el peso. Dicho de otra manera la relación entre estas dos variables es directa. c) E s tima imaciones ciones de s us pes pes os:
Para 1,80 metros
Peso = - 57,199 + 73,92 (1,80) y =75,86 kg Un alumno que tiene una estatura de 1,80 metros, se estima que tenga un peso de 75,86 kg Para 1,70 metros:
Peso = - 57,199 + 73,92 (1,70) y =68,47 Kg INTERPRETACION
Un alumno que tiene una estatura de 1,70 metros, se estima que tenga peso de 68,47 kg
26
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
PROBLEMA Nº18.Con la información que se da realizar el análisis correspondiente y proyectar la matricula para los dos próximos año: años Matriculados (miles de estudiares) 1992 18,9 1993 21,4 1994 24,3 1995 27,8 1996 30,1 1997 34,5 1998 36,7 1999 37,0 2000 37,2 2001 37,8 2002 38,0 2003 38,9
SOLUCION: a) Halle la ecuación de la recta de regresión. Aplicando la regresión de mínimos cuadrados, se tiene: 2
Año 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
xi
yi
x i yi
xi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
18.9 21.4 24.3 27.8 30.1 34.5 36.7 37.0 37.2 37.8 38.0 38.9
18.9 42.8 72.9 111.2 150.5 207.0 256.9 296.0 334.8 378.0 418.0 466.8
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144
total
78
382.6
2753.8
650
27
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----n
b
x i yi x i2
n
yi
xi
2
12(2753.8 12(2753.8)) (78)(3 (78)(382.6 82.6))
b
12(6 12(650 50)) (78 (78)2
3202.8
b b
xi
1716
1.86 1.86
Hallando a: a
y bx bx
Donde:
xi
x
78
n
y
6.5
12
yi 382.6 n
12
31.88
Luego: a
y bx bx
a
31.8 31.88 8 (1.86 1.86)( )(6. 6.5) 5)
a
19.79
Por tanto, la recta de regresión, es:
Y = a + bX Y = 19.79 + 1.86X
b) Halle el coeficiente de correlación e interprete su valor r
SXY SX SY
r = 0.94 INTERPRETACION
observamos que como r se aproxima a 1, es altamente positivo, por lo que podemos dar valid validez ez a la recta recta de de re resi resión. ón.
c) Realice las proyecciones de matrículas para los años 2004 : (x = 13) entonces, reemplazando en la recta de regresión hallada, se tiene:
Y = 19.79 + 1.86X Y = 19.79 + 1.86(13) 28
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----Y = 43.97 INTERPRETACION Significa que en el 2004 habrá 43.97miles de matriculados.
2005 : (x = 14) entonces, reemplazando en la recta de regresión hallada, se tiene:
Y = 19.79 + 1.86X Y = 19.79 + 1.86(14) Y = 45.83 INTERPRETACION
Significa que en el 2005 habrá 45.83 miles de matriculados
PROBLEMA Nº19.Un proyecto de inversión en perforación de pozos petroleros implica la perforación de 4 pozos de exploración en diferentes lugares del país. Supón que cada exploración producirá o bien un pozo seco o bien un pozo producto de petróleo. Construye el espacio muestral para el experimento.
SOLUCION Numero de pozos = 04 Resultados de cada pozo = {S, P} S = seco P = produce petróleo →n=2
Luego, número total de elementos del espacio muestral: N (Ω) =
2
= 16
Por lo tanto, los elementos de Ω son:
29
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
S S P S S P P S S P P S P P
S
S S S S
P
S S S P
S
S S P S
P
S S P P
S
S P S S
P
S P S P
S
S P P S
P
S P P P
S
P S S S
P
P S S P
S
P S P S
P
P S P P
S
P P S S
P
P P S P
S
P P P S
P
P P P P
Son 16 elementos INTERPRETACION
Se podrán realizar 16 perforaciones con diferentes resultados en cada ex lo lora raci ción ón..
PROBLEMA N° 20.Tres A, B y C solicitan empleo a una empresa. Si el experimento consiste en ordenar las solicitudes de acuerdo a las habilidades de trabajo, construye: a) El espacio muestral. b) El evento B ocupa el primer lugar. c) El evento A y B ocupan los primero lugares.
SOLUCION a) El espacio muestral n (Ω) = 2x3 = 6
30
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----B
C
A B C
C
B
A C B
A
C
B A C
C
A
B C A
A
B
C A B
B
A
C B A
A
B
C
Son 6 elementos Ω = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}
b) El evento B ocupa el primer lugar lugar A1 = {BAC, BCA}, B ocupa el primer lugar
c) El evento A y B ocupan ocupan los primeros primeros lugares lugares d) A2 = {ABC, BAC}, A y B ocupan los primeros lugares
PROBLEMA N°.21.Sea el experimento aleatorio: E: respuesta respuesta de un estudiante que responde al azar azar en un examen tipo V,F que consta de 4 preguntas. Determine los elementos puntuales del evento A7 = que solo responda verdadero a 2 preguntas A2 = que solo responda al menos 2 verdaderas A3 = que solo responda a lo mas 3 verdaderas
31
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
SOLUCION:
V V F V V F F V V F F V F F
V
V V V V
F
V V V F
V
V V F V
F
V V F F
V
V F V V
F
V F V F
V
V F F V
F
V F F F
V
F V V V
F
F V V F
V
F V F V
F
F V F F
V
F F V V
F
F F V F
V
F F F V
F
F F F F
Son 16 elementos -
Sea el espacio muestral: Ω = {VVVV, VVVF, VVFV, VVFF, VFVV, VFVF,
VFFV, VFFF, FVVV, FVVF, FVFV, FVFF, FFVV, FFVF, FFFV, FFF} n (Ω) = 24 = 16
Donde 4 es el número de preguntas y 2 es el número de posibles resultados de cada pregunta A1 = {VVFF, VFVF, VFFV, FVVF, FVFV, FVFV, FFVV} El estudiante tiene 6 posibilidades de responder las preguntas con solo 02 verdaderas. A2 = {VVVV, VVVF, VVFV, VVFF, VFVV, VFVF, VFFV, FVVV, FVVF, FVFV, FFVV} El estudiante tiene 11 posibilidades de responder las preguntas con al Menos 02 verdaderas A2 = {VVVF, FVVV} El estudiante tiene solo 02 posibilidades de responder las preguntas con 03 verdaderas.
32
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
PROBLEMA Nº 22.Los profesores de una universidad se clasificaron de acuerdo con el sexo y categoria academica, los resultados se presentan en la siguiente tabla:
Categoria Académica Profesor
Profesor
Profesor
Sexo Auxiliar
Asociado
Principal
Total
Varón 400
700
300
1400
Mujer 450
300
200
950
Total 850
1000
500
2350
Si de esta universidad se elige un profesor al azar, determina la probabilidad de que resulte: Varón Mujer Profesor principal. Profesor principal mujer.
SOLUCION Posibilidad de que sea varón Existe
una posibilidad del 59.5% que eligiendo un profesor al azar sea varón
Posibilidad de que sea mujer Existe
Pv = Ω = ,, =59.5% Pm = Ω = , =40.4% Ppp = Ω = , =21.2%
una posibilidad del 40.4% que eligiendo un profesor al azar sea mujer
Posibilidad de que sea profesor principal Existe iste una posibilidad del Ex
21.2% que eligiendo un profesor al azar sea profesor
principal Posibilidad de que sea profesor principal mujer Existe
Ppp = Ω = , =8.5%
una posibilidad del 8.5% que eligiendo un profesor al azar sea profesor
principal mujer.
33
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
PROBLEMA N° 23. Si se cono conoce ce que el 70% 70% de de los los alum alumno noss que que que acab caban el el pri pri mer año cont contii nua el segund segundo o. ¿ Cuál Cuál es la proba robabi lida lidad de que 6 estud studii ante ntes elegi legid dos al azar de del pr ime imer año año de secunda secundarr i a: a) Todos continúen el segundo año de secundaria? b) 4 continúen el segundo año. c)
4 no continúen el segundo año.
d) Cuantos alumnos se espera que sigan el segundo año de secundaria.
SOLUCION: Es una distribución binomial, donde:
= . . . = . . . . =6 = = − Luego:
= 6 = 66 0.70. 0.30− = 6 = 1 0.70. 1 = 6 =.
a.- Por tanto la probabilidad de que todos continuemos el segundo año es 11.76%
= 4 = 64 0.700. 0.300− = 4 = 62 ∗∗ 51 0.70. 0.30 = 4 =. b.- Por tanto la probabilidad de que 4 alumnos continúen el siguiente año es de 32.41% 34
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
= 2 = 62 0.70. 0.30− = 2 = ∗∗ 0.70. 0.30 = 2 =. c.- Por tanto, la probabilidad de que 4 no continúen es de 5.95% Hallando la esperanza para la distribución binomial.
= = =6∗0. 7 0 =4.2 d.- Por lo tanto, se espera que 4.2 estudiantes sigan el segundo año.
PROBLEMA Nº 24.Si la probabilidad probabilidad de un estudiante primario primario apruebe el año escolar escolar es 0,6 ¿ cual es la probabilidad de que de en una muestra de 5 estudiantes seleccionados por sorteo de un aula, exactamente, exactamente, aprueben 4? SOLUCION Es una distribución Binomial. p = 0,6 q = 0.4
apruebe el año escolar no apruebe el año escolar
n=5
PX = 4 = 54 p q− =50,60,4 = 50,1296 2960,0,4 =0,2592 INTERPRETACION
Por tanto, la probabilidad de que aprueben exactamente 4 estudiantes
35
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
La solución en el spss.
36
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
PROBLEMA Nº 24.Si la probabilidad probabilidad de un un estudiante primario primario apruebe el año escolar escolar es 0,6 ¿ cual es la probabilidad de que de en una muestra de 5 estudiantes seleccionados por sorteo de un aula, exactamente, exactamente, aprueben 4? SOLUCION Es una distribución Binomial. p = 0,6 q = 0.4
apruebe el año escolar no apruebe el año escolar
n=5
PX = 4 = 54 p q− =50,60,4 = 50,12960,4 =0,2592 INTERPRETACION
Por tanto, la probabilidad de que aprueben exactamente 4 estudiantes
La solución en el spss.
37
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
PR OB LE MA Nº 26.26. S i una variable vari able aleatori aleatoria a X s e dis tribuy tri buye e normalmente c on una media de 70 y des viaci vi ación ón es tándar tándar de 5, encuentre encuen tre la probabili pro babilidad dad de que x : a) S ea mayor mayor que 75 b) S ea menor menor que 65 c) E s te entre entre 60 y 80 d) S ea mayor mayor que 67 pero menor que 80 e) S ea s uperior uperior a 80
SOLUCION Es una Distribución Normal
μ=70
σ=5 z~N 0, 1 = PX>75 = p − > − = pZ > 1 =1pZ ≤ 1 = 1 0.8414133 dede la tablabla norm normalal
(Debemos aproximar a la distribución normal estándar, esto es
aproxima
donde
Luego: a)
38
x~Nμ,σ
se
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
=0.1587 ≈15.87% PX<65 = p − > − = pZ>1 Z>1 = pZ > 1 =0.1587 =15.87% − − − P6080 X>80 →→ PP−Z>>2− →→ 0.0.550.P40≤Z<2 772 →→ 2.0.208228% b)
c)
d)
e)
39
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
PROBLEMA N° 27.Se desea tomar una muestra de tamaño 60 de una población de 4000 individuos que consta de tres estratos, dos de los cuales de tamaños 1247 y 963. A) Afinación proporcional al tamaño. tamaño. B) Por cuotas de 27% , 34% y 39% respectivamente respectivamente . C) Por afinación igual.
Solución: Se tienen 3 estratos: E1 = 1247 E2 = 963 E3 = 1790 (el resto de 4000) Luego: A) Afinación proporcional al tamaño: tamaño: Primer estrato =
18.71
19
4000
Segundo estrato = Tercer estrato =
1247
60
60
963
14.45
14
4000 1790
60
26.85
27
4000
B) Por cuotas de 27% , 34% y 39% respectivamente . Primer estrato =
27
34
Segundo estrato = Tercer estrato =
(60)
100
100
39 100
16.2 16
(60)
(60)
20.4
23.4
24
C) Por afinación igual. Primer estrato =
1 3
Segundo estrato = Tercer estrato =
1 3
(60) 1 3
20
(60)
(60)
20
20
40
20
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
PROBLEMA Nº 28.Un profesor desea estimar estimar el promedio de los estudiantes de primer grado educación secundaria. Selecciona una muestra aleatoria de 30 estudiantes y encuentra que la media de la muestra es de 45 kgr. Con una desviación estándar de 6 kgr. ¿Qué tamaño de la muestra se necesita para estimar el peso medio de esos estudiantes estudian tes con co n el 90% de confianz confianza a y un error error no mayor mayor de 1 kgr.? SOLUCION Datos: e=1 = 6
1 – = 0.90 (nivel de confianza) 1 – /2 = 0.95
Z1 –
/2 =
1.645
Luego el tamaño de la muestra será: n
Z12
e
/2 2
2
2
n
(1.645) 6
2
12
n = 97.42 n
98
(Aproximación por exceso)
41
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
PROBLEMA Nº 29.Un administrador universitario desea estimar el % de estudiantes matriculados en programas de administración de empresas que tienen estudios de computación con el 90% de confianza y un error no mayor del 5%. ¿Qué tamaño de muestra debe recoger, como mínimo si no hay una base para estimar el valor aproximado de la proporción antes de tomar la muestra? SOLUCION Datos: e = 5% = 0.05 1 – = 0.90 (nivel de confianza) 1 – /2 = 0.95
Z1 –
/2 =
1.645
p = 0.5 q = 0.5
(porque no se se conoce conoce el valor valor aproximado aproximado de la proporción) proporción)
Luego el tamaño de la muestra será: n
n
Z12
e
/2 2
pq
(1.645)2 (0.5)(0.5) (0.05) 2
n
270.6
n
271
(Aproximación por exceso)
PROBLEMA Nº 30.El número de horas que un estudiante universitario se dedica por semana al estudio, se distribuye normalmente con una media de 25 y una desviación estándar de 40. a) Qué porcentaje de estudiantes, estudian entre 28 b) Qué
y 35 horas?
porcentaje de estudiantes, estudia menos de 30 horas?
SOLUCION a) P(28 < x < 35) = P
28 25 40
x
42
35 25 40
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
=
P 0.075
=
P z
z
0.25
0.25
P z
0.075
= 0.5987 – 0.5299 = 0.0688 = 6.88% INTERPRETACION
Por tanto, el porcentaje de estudiantes que estudian entre 28 y 35 horas es de 6.88% b) P( x < 30) =
P
x
P z
25
40
=
30
0.125
= 0.54975 = 54.975% INTERPRETACION
Por tanto, el porcentaje de estudiantes que estudian menos de 30 horas, es 54.975%
PR OB LE MA Nº 31.31.La estatura de los estudiantes de un instituto armado armado esta distribuida distribuida normalmente con media media de 69 pulgadas pulgadas y una desviación desviación estándar de 2 pulgadas. a) Cual es el porcentaje de cadetes cuyas estaturas estén entre 69 y 73 pulgadas? b) Si la población estudiantil es de 560 cadetes, cuantos tienen estaturas mayores ha 72 pulgadas? SOLUCION
= 69 = 2 43
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
a) Cuál es el porcentaje de cadetes cuyas estaturas estén entre 69 y 73 pulgadas?
7369 69<<73 = (6969 < < ) = 0<<2 2 2 = < 2 < 0 =0,97720,5=0,4772 INTERPRETACION
El 47,72% de los cadetes cuyas estaturas esten entre 69 y 73 pulgadas
Solucion por el programa spss
b) Si la población estudiantil es de 560 cadetes, cadetes, ¿cuantos tienen estaturas estaturas mayores ha 72 pulgadas?
44
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
> =( = ( < )=(< )=. )=. =. INTERPRETACION
El 6,68% tienen estaturas mayores a 72 pulgadas, ademas si son 560 cadetes, se espera que 37 cadetes tengan estaturas mayores a 72 pulgadas.
Solucion por el programa spss
45
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
PROBLEMA N° 32.Un proceso para empaquetar esta siendo controlado, si el peso medio del producto empaquetados de 400 gramos. Si en una muestra aleatoria de 100 paquetes del producto se a encontrado que el peso medio es de 395 gramos ¿se podría concluir que el proceso esta fuera de control a un nivel de significación del 5%?. Suponga que el peso de los productos empaquetados se distribuye normalmente con una desviación estándar de 20 gramos. DATOS: µ=400
n=100
=20 =5%=0.05
X=395
H0= µ=400 H1= µ≠400
→ ES UNA PRUEBA BILATERAL
Como
=0. 05 →20 =1.9206 = √ = √ 100100 = 10 = 2 -
Entonces la región de aceptación será:
46
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
Hallando:
= = 395400 2 =2.5 =2.5< 1.96
INTERPRETACION
Como , Entonces estaríamos en los intervalos de la región de rechazo, por lo tanto la hipótesis seria nula, es decir EL PROCESO ESTA FUERA DE CONTROL.
PROBLEMA Nº 33.Al estudiar si conviene o no tener un sucursal en la ciudad del Cusco la gerencia de una gran empresa extranjera establece el siguiente criterio para tomar una decisión: abrir la sucursal si el ingreso promedio familiar mensual en dicha ciudad es no menos de 500 dólares y no abrirla en caso contrario. Si una muestra aleatoria de 100 ingresos familiares de esta ciudad ha dado una media de 480 dólares: Cual es la decisión a tomar a un nivel de significación del 5%, suponga que la distribución de los ingresos tiene una desviación estándar de 80 dólares. DATOS: µ=500
n=100
=80 =5%=0.05
X=480
H0= µ≥500
H1= µ<500
Por lo tanto: ES UNA PRUEBA UNILATERAL Como 47
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
=0. 05 →800 =1.6805 = √ = √ 100100 = 10 = 8 -
Entonces la región de aceptación será:
Hallando:
= = 480500 8 =2.5 = 2.5 < 1.96
INTERPRETACION
Como , Entonces estaríamos en los intervalos de la región de rechazo, por lo tanto la hipótesis seria nula, se rechaza, por lo tanto LA EMPRESA NO DEBE ABRIR LA SUCRUSAL.
48
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
PROBLEMA N° 35.En cada uno de los casos siguientes decida si es una prueba unilateral o bilateral adecuada, posteriormente trace una curva normal que muestre cada prueba indique la región de aceptación y de rechazo.
a) H0 : μ =10 H1 : μ 10¨
→=0.02 2 =0.01 → =2.33
Es una prueba Bilateral:
b) H0 : μ 0,037 H1 : μ >0,037 α =
0,05.
Es una prueba Unilateral a la derecha:
=1.65
C) H0 : μ 32 H1 : μ <32 α =
0,05.
Es una prueba Unilateral a la Izquierda:
=1.65
49
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
PROBLEMA N° 36.-
Un empresario está considerando la posibilidad de ampliar su negocio mediante la adquisición de un pequeño bar. El dueño actual del bar afirma que el ingreso diario del establecimiento sigue una distribución normal de media 675 soles y una desviación estándar de 75 soles. Para comprobar si decía la verdad, tomó una muestra de treinta días y ésta reveló un ingreso diario promedio de 625 soles. Utilizando un nivel de significación del 10 %. ¿Hay evidencia de que el ingreso diario promedio sea menor del que afirma el presente dueño?.
DATOS µ=675
n=30
=75 =10%=0.10
X=625
H0= µ=675 H1= µ<675
Por lo tanto: ES UNA PRUEBA UNILATERAL Como
=0. 10 →75 =1.29 = √ = √ 3030 =13. 6 9=8
Es una prueba Unilateral a la Izquierda:
Hallando:
= 50
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
= 625675 13.69 =3.65 =3.65< 1.29
INTERPRETACION
Como , Entonces estaríamos en los intervalos de la región de rechazo, por lo tanto la hipótesis seria nula, se rechaza, Por lo que hay evidencia que el ingreso diario es menor del que afirma el actual dueño.
PROBLEMA N° 37.Se escoge a 17 individuos al azar y se les mide, resultando que su estatura media es de 1,71 metros con desviación típica de 0,02 .Contrastar la hipótesis de que la estatura media nacional sea de 1.75 metros si utilizamos un nivel del significación del 5%. Se supone normalidad. DATOS µ=1.75
=0. 0 2 =5%=0.05
=17
X=1.71
H0= µ=1.75 H1= µ≠1.75
Por lo tanto: ES UNA PRUEBA BILATERAL Como
=0.05 → 2 =0.025 → =1.96
51
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
Hallando:
= = 1.70.11.02575 = 2 =2< 1.96
INTERPRETACION
Como , Entonces SE RECHAZA LA HIPOTESIS NULA POR LO QUE LA ESTATURA MEDIA NACIONAL NO ES 1.75 METROS.
TECNICAS DE EVALUACION DE PROYECTOS PROBLEMA Nº 38.Identifique claramente las partidas que aparecen en el siguiente diagrama en términos de P,F o A ,indicando claramente claramente el periodo en el cual ocurren o los periodos que cubren.
a) ES UN DIAGRAMA CON 10 PERIODOS 52
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
b) P=8000 c) ES UNA ANUALIDAD A 0-4 = 1500 d) A5-8=300 e) A4-10=2000 f) F6=1000 g) F10=3000 PROBLEMA Nº 39.Una consultora tiene la misión de calcular el valor actual neto (VAN)de dos dos proyectos mutuamente excluyentes excluyentes ,a fin de determinar la alternativa optima de inversión en la vida vida útil del proyecto proyecto .El proyecto A tiene una inversión inicial equivalente a $4200 y el proyecto B equivalente a $ 3800 .El costo de oportunidad del capital es de 15% anual ,incluido los gastos adminitrativos .Asimismo se cuentan con datos del flujo neto de fondos de ambos proyectos para un horizonte de planteamiento de 5 años ,expresados en el siguiente cuadro : FLUJO NETO DE FONDOS (Miles de dolares) PERIODO
PROYECTO A
PROYECTO B
01
(2800)
(2500)
02
(1200)
(800)
03
4000
3000
04
5500
4500
05
6000
5800
Se pide calcular el valor actual neto de ambos proyectos y elegir aquel proyecto que tenga mayor Van como alternativa optima de inversión.
PROYECTO A 53
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
I0=4200 i=15% N=5 AÑOS VAN A=BNO+BN1F1+…BN5F5-I0 VAN A=-2800(P/F,15,1)-1200(P/F,15,2)+4000(P/F,15,3)+5500(P/F,15,4) +6000(P/F,15,5)-4200 VAN A=-2800*0.8696-1200*0.7561+4000*0.6 =-2800*0.8696-1200*0.7561+4000*0.6575+5500*0.5718+ 575+5500*0.5718+6000*0.4972 6000*0.4972 –4200
VAN A= 1215.90
PROYECTO B I0=3800 i=15% N=5 AÑOS VANB=BNO+BN1F1+…BN5F5-I0 VANB= -2500(P/F,15,1)-800(P/F,15,2)+30 -2500(P/F,15,1)-800(P/F,15,2)+3000(P/F,15,3)+4500(P/F,15 00(P/F,15,3)+4500(P/F,15,4) ,4) +5800(P/F,15,5)-4200 VANB= 850.48 INTERPRETACION
Ambos proyectos son factibles, pero se tiene que elegir elegir uno de ellos razón por la cual elegiremos el más rentable ( VAN A >VANB ), ENTONCES DECIDIMOS POR EL PROYECTO A.
54
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
MODELOS MATEMATICOS APLICADOS A LA INGENIERIA PROBLEMA N°40.-
Los modelos matemáticos aplicados a la ingeniería
MODELOS
SUS OBJETIVOS:
Son procesos mediante el cual se imita la realidad en términos matemáticos Encontrar respuestas a problemas técnicos o científicos es decir todo modelamiento lleva consigo un proceso de idealización de la realidad que es compleja y permite la simplificación de muchos aspectos del problema real
DIAGRAMA DE FLUJO PARA LA SOLUCION DE PROBLEMAS MEDIANTE UN MODELO MATEAMATICO
55
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
MODELO 1.-Modelos de Dinámica de poblaciones para una sola especie Este modelo está basado para la solución de problemas sobre la evolución de las especies a través del tiempo.
MODELO 2.- Modelo de Malthus PROBLEMA N° 41.-
El modelo de Crecimiento Poblacional o Maltusiano, menciona que la rapidez a la que crece la población en un cierto tiempo, es proporcional a la población total en ese momento, es decir, mientras más personas per sonas existan en un tiempo (t), más personas existirán en un futuro. La tasa de incremento de la población (crecimiento o decrecimiento), según el caso en un intervalo del tiempo t 1 y t 2 está dado por:
, = → == == ….. ℎ = → =………. 1 → = = + [
]
= → =
= − > 0 … . .
……esta solución presenta un comportamiento
cualitativo según sea el signo de la constante (k). Si:
56
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
= 0 … . . < 0 … . . . .
En general:
=
…….asumiendo que es en el tiempo = cero.
CASOS INTERESANTES: 1.- Cual es el tiempo en que la población se duplicara?
==
=? =
……….fórmula para calcular el tiempo en que una población se
duplicara.
LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON PROBLEMA Nº 45.Un cuerpo que tiene una temperatura de 70 ºF es depositado (en el t iempo t =0) en un lugar donde la temperatura se mantiene a 40 ºF. Después de 3 min, la temperatura del cuerpo ha disminuido a 60 ºF. 1. ¿Cual es la temperatura del cuerpo después de 5 min? 2. ¿Cuánto tiempo pasará para que el cuerpo tenga 50 ºF?
Solución: 57
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
TT′tt=Tmm = K[Tt T] TT == 4070 TT3t == 60K[Tt 4040]] → = KT40 T40 → − =K∗dt ∫ T40dT = K ∫ dt → lonT40=KtC T40=e+c → Tt = Ce∗ 40 T =70 → T0 = Ce 40 → 70=Ce∗ 40 C40=70 → C=40 t =30e 40 → 30eK∗3 40=60 → e3K = 6040 TT3=60 30 2 2 1 3K 3K ek=0.= 31352 → lone =lon 3 → k = 3 lon 23 → Tt =30e−. 40 −. 40 TParat =30e → t = 5 −. T5 =30e ∗ 40 →T5 = 55.26 ° t = 50−. 40 → e−. = − T50=30e 0.1352t=l o n → 0. 1 352t=l o n3 tt == .8.1252 min → t = .. Donde:
… (1)
… (2) … (3) … (4) … (5)
SI
1. ¿Cuál es la temperatura del cuerpo después después de 5 min?
2. ¿Cuánto tiempo pasará para que el cuerpo tenga 50º F?
INTERPRETACION
El cuerpo tendrá 50° F después de 8 mm y 8 segundos.
58
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
01.-Defina y amplíe conceptos si es posible con ejemplos lo siguiente:
Hipótesis estadística estadística , origen de las hipótesis estadística Prueba de hipótesis Hipótesis nula, nula, hipótesis hipótesis alterna. Error tipo I,I, error tipo tipo II. Tipos de pruebas de hipótesis
02.-Cuales son los pasos para realizar una prueba de hipótesis o docimasia de hipótesis. traba jo 03.- Describa brevemente el proceso estadístico en un trabajo de investigación.
04.- Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye de forma aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración promedio de 788 horas, ¿muestran los datos suficiente s uficiente evidencia para decir que la duración media ha cambiado? Utilice un nivel de significancia del 0.05. DATOS
=8 =30 =40 =788 =5%=0.05 00
H0= µ=800
59
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----H1= µ≠800 Por lo tanto: ES UNA PRUEBA BILATERAL Como
=0.05 → 2 =0.025 → =1.96
= √ = √ 403030 =7.3
Hallando:
= 12 = 788800 = 7.3 7.3 =1.64 = 1.64 > 1.96
Como , Entonces NO SE RECHAZA LA HIPOTESIS NULA POR LO QUE LA DURACION MEDIA NO HA CAMBIADO.
bo mbas de calor en 7 05.- Un constructor afirma que se instalan bombas casas que se construyen hoy en día en la ciudad del Cusco. ¿Estaría de acuerdo con esta afirmación si una investigación de casas nuevas en esta ciudad muestra que 8 casas en promedio tienen instaladas bombas de calor con una desviación estándar de 2.4? Utilice un nivel de significancia del 5% DATOS
=7
=8
60
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
=2.4 =5%=0.05
H0: µ=7 H1: µ≠7 Por lo tanto: ES UNA PRUEBA BILATERAL
=0.05 → 2 =0.025 → =1.96 Como
Hallando:
= = 82.47 = 2.14 =0.42 = 0.42 < 1.96
Como , Entonces NO SE RECHAZA LA HIPOTESIS NULA POR TANTO ESTARIA DE ACUERDO CON LA CONFIRMACION.
08.- Un diseñador de productos está interesado en reducir el tiempo de secado de una pintura tapaporos. Se prueban dos fórmulas de pintura; la fórmula 1 tiene el contenido químico estándar, y la fórmula 2 tiene un nuevo ingrediente secante que debe reducir el tiempo de secado. De la experiencia se sabe que la desviación estándar del tiempo de secado es ocho minutos, y esta variabilidad inherente no debe verse afectada por la adición del nuevo ingrediente. Se pintan diez especímenes con la fórmula 1, y otros diez con la fórmula 2. Los dos tiempos promedio de secado muestrales son 121 min y 112 min respectivamente. ¿A qué 61
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
conclusiones puede llegar el diseñador del producto pro ducto sobre la eficacia del nuevo ingrediente, utilizando = 0.05? DATOS
= 8 = 8 = 10 = 10 =121 =112 =5%=0.05 : = : >
Por lo tanto: ES UNA PRUEBA UNILATERAL Como
=0. 0 5 → =1.65
Hallando:
= 1 . 78 > 1 . 6 5
= 9 = 121112 = 810 108 8 25 =1. 7 8
Como , Entonces NO SE RECHAZA LA HIPOTESIS NULA, POR LO QUE EL NUEVO INGREDIENTE ES EFICAZ.
09.- Un proceso manufacturero usado por una fábrica durante los últimos años da una producción media de 100 unidades por hora con una desviación estándar de 8 unidades. Se acaba de introducir 62
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
en el mercado una nueva máquina para realizar ese tipo de producto. Aunque es muy cara comparada con la que está ahora en uso, si la media de producción de la nueva máquina es de más de 150 unidades por hora, su adopción daría bastantes beneficios. DATOS
=100
=35 =5%=0.05 :: >= 116600
=8
=160
Por lo tanto: ES UNA PRUEBA UNILATERAL Como
=0. 0 5 → =1.65
= √ = √ 83535 =1.35
Hallando:
= = 160150 1.35 =7.41 = 7 . 41 > 1 . 6 5
Como , Entonces SE RECHAZA LA HIPOTESIS NULA, POR TANTO LA EMPRESA DEBE ADQUIRIR ESA NUEVA MAQUINA.
11.- Una muestra de 80 alambres de acero producidos por la fábrica A presenta una resistencia promedio a la ruptura de 1.230 lbs . Con una desviación estándar de 120 lbs .. Una muestra de 100 alambres de acero producidos por la fábrica B presenta una resistencia promedio a la ruptura de 1.110 lbs . con una desviación 63
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
estándar de 90 lbs .. Con base en ésta información pruebe si la resistencia promedio a la rotura de los alambres de acero de la marca A es significativamente mayor que la de los alambres de acero de la marca B. Asuma un nivel de confianza del 95 por ciento.
= 80 ̅ =1.230 σ =120 α=0. 0 5 n =100 x =1.110 σ = 90 H = μ = μ H = μ > μ
Solución:
En una prueba unilateral como α=0.05
Z =1.65
= σ̅σ̅ n n
Hallando:
=8. 0 4>1. 6 5
= 12301110 12018020 10090 =.
Como se rechaza la hipótesis nula por lo tanto los alambres de la marca A son significativamente mayores en resistencia a la marca B.
12.64
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----
MODELO MATEMÁTICO, MATEMÁTICO, proceso de elaboración de modelos matemáticos en el campo de la ingeniería civil UN MODELO MATEMÁTICO MATEMÁTICO EN RESUMEN, RESUMEN, SE COMPONE COMPONE DE……
De algunos ejemplos ejemplos de modelos matemáticos en el campo de la ingeniería EL PROCESO DE DE ELABORACION DE UN MODELO MODELO MATEMATICO
13.-Indique las ventajas ventajas y desventajas y los criterios para la toma de decisiones de los siguientes indicadores:
VAN: Valor Actual de los Flujos Netos TIR: Tasa Interna de Retorno La relación beneficio costo (RBC)
14.- Una consultora tiene la misión de calcular el valor actual neto (VAN)de dos proyectos mutuamente excluyentes ,a fin de determinar la alternativa optima de inversión en la vida útil del proyecto .El proyecto A tiene una inversión inicial equivalente equivalente a $4200 y el proyecto B equivalente a $ 3800 .El costo de oportunidad del capital es de 15% anual anua l ,incluido los gastos adminitrativos .Asimismo se cuentan con datos del flujo neto de fondos de ambos proyectos para un horizonte de planteamiento de 5 años ,expresados en el siguiente cuadro : FLUJO NETO DE FONDOS (Miles de dolares) PERIODO 01 02 03 04 05
PROYECTO A (2800) (1200) 4000 5500 6000
PROYECTO B (2500) (800) 3000 4500 5800
Se pide calcular el valor actual neto de ambos proyectos y elegir aquel proyecto que tenga mayor Van como alternativa optima de inversión. 65
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----PROYECTO A I0=4200 i=15% N=5 AÑOS VANA=B NO+B N1F1+…B N5F5-I0 VANA=-2800(P/F,15,1)-1200(P/F =-2800(P/F,15,1)-1200(P/F,15,2)+400 ,15,2)+4000(P/F,15,3)+5 0(P/F,15,3)+5500(P/F,15,4) 500(P/F,15,4) +6000(P/F,15,5)-4200 VANA=-2800*0.8696-1200*0.7561+4000*0.6575+5500*0.5718+6000*0.4972 – 4200 4200
VANA= 1215.90 PROYECTO B I0=3800 i=15% N=5 AÑOS VANB=B NO+B N1F1+…B N5F5-I0 VANB= -2500(P/F,15,1)-800(P/F,15 -2500(P/F,15,1)-800(P/F,15,2)+3000( ,2)+3000(P/F,15,3)+4500 P/F,15,3)+4500(P/F,15,4) (P/F,15,4) +5800(P/F,15,5)-4200 VANB= 850.48 ANALISANDO E INTERPRETANDO Como el van es mayor a cero se acepta que los proyectos sean factibles pero como el VANA >VANB se decide quedar y ejecutar ej ecutar EL PROYECTO A.
15.Se tienen 2000 trabajadores de los cuales se les quiere aplicar un test sobre principios de administración, para ello se elige e lige una muestra aleatoria de 400 trabajadores y el puntaje medio obtenido fue de 80 puntos, con desviación típica de 25 puntos. Hallar el intervalo de confianza para estimar la media poblacional a l 95%. SOLUCION: N=2000 66
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
n=400 X=80 σn = 25 α = 0.05
1α=0.95 − = . =1.96 +− −σx 80 +−1.9625 8080 1.9625=129 8080 1.9625=31 [31,129]29]
Luego el intervalo de confianza será:
Entonces:
Por lo tanto el intervalo de confianza es
16.-Se tienen 2000 trabajadores a los cuales se les quiere aplicar un test sobre principios pr incipios de administración ,para ello se elige una muestra aleatoria de 400 trabajadores y el puntaje medio obtenido fue de 80 puntos ,con una desviación típica de 25 puntos .Hallar el intervalo de confianza para estimar la media poblacional al 95% N = 2000 X = 80 N =400 δ = 25 I.C. = ? N.C. = 95% ZO =1.96
. . = ±√ ∗√∗ − ..=80 ±1.96 √ ∗√2000∗ − ..=80 ±1.96 √ ∗√2000∗ − . . = 80 ±2. 4 5∗20 ..=80 ±49 [ 31 ≤ ≤ 129]
Li = 31 Y
Ls = 129
Existe una probabilidad de que la media poblacional se encuentra entre 31 y 129 al 95 % de confianza.
67
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
17.- Sea una población de 700 pacientes se distribuye en 3 categorías, primero 100 pacientes, segundo 350 pacientes y tercero 350 pacientes, se necesita una muestra de 80 elementos. a) Hallar una muestra por cuotas con 20%,35% 20%,35% y 45% para cada estrato respectivamente. b) La muestra por afinación afinación proporcional. c) La muestra por afinación igual. SOLUCION Se tiene 3 estratos :
=350 =100 =350
→ =800 =80 → = 8080 = 16 == 8080 = 28 = 8080 = 36 = 80 = 10 = 8080 = 35 = 8080 = 35 = 80 =26. 6 ≈26 = 80 =26. 6 ≈27 = 8080 =26. 6 ≈27 Si:
A) POR CUOTAS:
B) POR AFINACION:
C) POR AFINACION IGUAL:
La muestra por afinación igual 26.6
18.- Suponga que las edades de inicio de cierta enfermedad tienen una distribución aproximadamente normal con una media de 11.5 años y una desviación estándar de 3 años .Un niño contrae recientemente la enfermedad .Cual es la probabilidad de que la edad del niño sea: a) Entre 8,5 y 14,5 años. b) Más de 10 años. 68
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
c) Menos de 12. SOLUCION:
a)
b)
c)
=. = 8.5 <<14.5 = .−. > − < .−. 175 =0.1587=.%
x>10 = − > −. z>0. 5 0. 5 0<<0.5 0.50.1915=0.6915 x>10 =.%
x>12 x>12 = − < −. z<0.177 69
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
0. 5 0<<0.17 0<<0.17 0.50.0675=0.5675 x>12 =.%
20.-Identifique claramente las partidas que aparecen en el siguiente diagrama en términos de P,F o A ,indicando claramente el periodo en el cual ocurren o los periodos que cubren.
1. ES UN DIAGRAMA CON 10 PERIODOS 2. P=8000 3. ES UNA ANUALIDAD A 0-4 = 1500 4. A5-8=300 70
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
5. A4-10=2000 6. F6=1000 7. F10=3000
21.- Sea la variable aleatoria definida como el numero de caras que ocurren al lanzar una moneda 4 veces . a) Determinar la distribución de probabilidades de la variable aleatoria y graficarla. b) Calcular la probabilidad : P 0 X 2 c) Determinar la distribución de probabilidades de X si la moneda se lanza n veces ( 2 ). SOLUCION: n
a) Determinar la distribución de probabilidades de la variable aleatoria y graficarla. P 0 X 2 b) Calcular la probabilidad :
c) Determinar la distribución distribución de probabilidades probabilidades de X si la moneda se lanza lanza n veces ( n 2 ). a) Se al variable aleatoria aleatoria X = # de caras al lanzar lanzar una moneda 4 veces
71
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----
S S C S S C C S S C C S C C
S
S S S S
C
S S S C
S
S S C S
C
S S C C
S
S C S S
C
S C S C
S
S C C S
C
S C C C
S
C S S S
C
C S S C
S
C S C S
C
C S C C
S
C C S S
C
C C S C
S
C C C S
C
C C C C
Total n = 16 X = 0, corresponde al evento {SSSS} X = 1, corresponde al evento {CSSS, SCSS, SSCS, SSSC} X = 2, corresponde al evento {CCSS, CSCS, CSSC, SCCS, SCSC, SSCC} X = 3, corresponde al evento {CCCS, CCSC, CSCC, SCCC} X = 4, corresponde al evento {CCCC} La distribución de probabilidad es:
= ⟦ = 0⟧ = 161 = ⟦ = 1⟧ = 164 = ⟦ = 2⟧ = 166 = ⟦ = 3⟧ = 164 = ⟦ = 4⟧ = 161
= ⟦ = ⟧
Luego:
= ,
k = 0,1,2,3,4
72
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----f(x) 6/16
4/16
1/16 x 0
b)
.=
P 0 X 2
=
1
2
3
4
⟦ =1⟧ ⟦ = 2⟧
=
→ La probabilidad de que la moneda tenga de entre 1 a 2 combinaciones
es de 10 de 16 lanzamientos c) Para n≥2,
− 1 1 = (2) (2) 1 = (2)
=
x = 0, 1, 2,…n
EL PROFESOR
73
