I BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 1ER. AÑO
NIVEL: SECUNDARIA
SEMANA Nº 5
PRIMER AÑO
OPERADORES OPERADORESMATEMÁTICOS MATEMÁTICOS 1. MEDI MEDIAN ANTE TE FÓR FÓRMU MULA LA
Hoy veremos el capítulo más sencillo del 1er Bimestre sólo tienes que tener en cuenta las 4 operaciones fundamentales.
Ejemplo : a
b
= 2a + 3b
Luego : 1 2= 3 5 =
OPERACIÓN MATEMÁTICA .................................................. ..................................................
Ejemplo : Luego :
x = 2x + 3 2 =
..................................................
3
=
OPERADOR MATEMÁTICO .................................................. .................................................. ..................................................
OPERACIÓN uma Res"a 7ul"(pl(a(0! D(/(s(0!
OPERADOR + 6 x
2. MEDI MEDIAN ANTE TE TABL TABLA A
Es el o!ju!"o o!ju!"o A = #a$ b$ $ %& po%emos %e'(!() la s(gu(e!"e "abla*
a b %
a b % a
% a b
% a b %
÷
E!"o!es : a b = a % =
Nosotros podemos denir nuevos
b % a b
b = % =
e pue%e usa) ual,u(e) s-mbolo pa)a m( .!ue/a ope)a(0! ma"em"(a Ejemplo : $ $ ∆$ θ$ •$ $ ∼$ 4* $e"*
Operaciones Matemáticas con las ya
existentes usando Nuevos Operadores
como se vera aora.
2
I BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 1ER. AÑO
6 E! % la mul"(pl(a(0! es o!mu"a"(/a* PROPIEDADES DE MATEMÁTICAS.
LAS
OPERACIONES
x3=3x
1. CLAUSURA O CERRADURA
( a 8 b pe)"e!ee! a u! o!ju!"o .C po) ejemplo$ la ope)a(0! %e'(!(%a "amb(9! pe)"e!ee a %(o o!ju!"o* Ejemplo : E! ! la suma es e))a%a :
Apl!"!#$ :
6 E! ! se %e'(!e a θ = a + b + 3 ?e) o!mu"a"(/a@* S%l&!#$ :
3+;=< 3 " !# 4 " ! e!"o!es < " ! 6 E! ! la mul"(pl(a(0! es e))a%a : x 5 = ;> " !# $ " ! e!"o!es ;> " !
6 E! C = #m$ !$ p& se %e'(!e la "abla* ?Es o!mu"a"(/a@
Apl!"!#$ :
6
θ
m ! p
E! ! se %e'(!e : a b = 3a + ;b ?Es e))a%a@
S%l&!#$ : (.
m ! p m
! p m !
p m ! p
ELEMENTO NEUTRO
Es a,uel ,ue ope)a!%o o! ual,u(e) !Bme)o se ob"(e!e el m(smo !Bme)o* 6 E! A = #a$ b$ & se %e'(!e la "abla:
a b
a b
b b a
a a b
?Es e))a%a@ S%l&!#$ .'
Ejemplos : 6 El eleme!"o !eu")o %e la suma es el > 3 + > = 3 $ 11 + > = 11 6 El eleme!"o !eu")o %e la mul"(pl(a(0! es el 1* ; x 1 = ; $ 1 x 1 = 1 e"* Apl!"!#$ :
6 E! ! se %e'(!e : a ∆ b = a b + 2 ?Cul se) el eleme!"o !eu")o@ 2. PROPIEDAD CONMUTATIVA ∀a$b
" C
a b = b a
Ejemplos : E! ! la suma es o!mu"a"(/a* +3=3+; 2+<=<+2
2<
S%l&!#$ :
I BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 1ER. AÑO
' E! = #x$ 8$ F& se %e'(!e la "abla*
x x 8 F
∆
F x 8
8 8 F x
F F x 8
?Cul se) el eleme!"o !eu")o@
a b %
Es a,uel ,ue ope)a!%o o! u! !Bme)o se ob"(e!e el eleme!"o !eu")o* El (!/e)so %e u! !Bme)o es B!(o pa)a ese !Bme)o*
aH a %H % 5*
Jalla) :
Del ejemplo a!"e)(o) pa)a la ope)a(0! ∆ alla) el (!/e)so %e 3 8 el (!/e)so %e 5*
aH %H *
(!/e)so %e x Gx 61H = (!/e)so %e 8 G8 61H = (!/e)so %e F GF 61H =
<*
; +
5 bH < eH <>
H
( : m ! = 2m + 3! Jalla) : G2 3H G; 2H bH << eH >
H <
e %e'(!e : 2a b K a b a ∆ b = a+bKa M b Calula) : P = G2 ∆ 1H ∆ 21 2H
La ope)a(0! ma"em"(a e! u! p)oeso ,ue o!s(s"e e! la %e u!a o ms e! o")a a!"(%a% llama%a *
aH 5 %H *
bH eH = a2 6 b a
; aH 1 %H ;
e %e'(!e e! : A = #a$ b$ $ %& la s(gu(e!"e "abla:
2
( : a b = 2a + b Jalla) : 3 ; H 11
3
Jalla) :
La ope)a(0! ma"em"(a es )ep)ese!"a%a po) u!
bH 1> eH 13
H <
b
( :
s-mbolo llama%o *
;*
H
= x2 + 3x
aH < %H <
&'&()*)*+, -& /0*))*N
aH %H 12
% a b %
bH b eH b 8 %
x
Del ejemplo a!"e)(o) %e la "abla$ alla) :
3*
% a b
e %e'(!e :
Ejemplo : E! la suma el (!/e)so %e ; es 6; Po) ,ue ; + G6;H = > Apl!"!#$ :
I!/e)so %e 3 G3 61H = I!/e)so %e 5 G5 61H =
2*
b % a b
Jalla) : Gb %H Ga H
). ELEMENTO INVERSO
1*
a b % a
*
2 bH 2 eH 5
3
e %e'(!e e! : A = #2$ 3$ ;& 2 3 2 ; 3 3 2 ; ; 3 2 Calula) : =
1 H 3
; 2 3 ;
G3 ∗ ;H ∗ G2 ∗ ;H G2 ∗ 3H ∗ G3 ∗ ;H
2
I BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 1ER. AÑO
aH 1 %H >$2
bH 2 eH 3
H >$5
15* e %e'(!e e! : C = #a$ b$ $ %$ e& a % e a b
a b % e
1>* Da%a la s(gu(e!"e "abla : a % a b
a b %
b % a b
Calula) : 7 = aH b %H 1 11*
a b %
% b % a
G a ∗ H ∗ Gb ∗ %H G a ∗ bH ∗ G ∗ %H
bH a eH %
H ab
e "(e!e la s(gu(e!"e "abla : m p , m ! )
m ! p , )
! , p ! ) m
p m ! p , )
, ! ) , p !
) ) m ) m p
Jalla) el eleme!"o Neu")o* aH m %H ,
bH ! eH )
H p
12* Del eje)((o a!"e)(o) : Jalla) : G! 61 p61H G,61 )61H aH m %H ,
bH ! eH )
13* ( :
H p
x
= 2Gx 1H
x
= 3Gx 1H
aH ;< %H 13
=
> 1 2 3
2
> 2 2 > 3
1 3 3 1 2
bH <3 eH 133
2 > > 1 1
3 1 1 1 >
θ
1 2 3 ;
e b % e a
?Cul %e las s(gu(e!"es p)opo)(o!es es /e)%a%e)a@* I* a Gx HQ % = $ s( x = e II* e umple la p)op(e%a% o!mu"a"(/a III* e umple la p)op(e%a% %e lausu)a I* El eleme!"o !eu")o es .a aH I 8 III %H I 8 I
bH III 8 I eH So%as
H II 8 III
3(& -+*)*0*(* N5 $ 1* Coloa) /e)%a%e)o GH o 'also GTH segB! o))espo!%a: 6 So%a ope)a(0! ma"em"(a p)ese!"a u!a )egla %e %e'(!((0!* G H 6 El eleme!"o Neu")o es a,u9l ,ue ope)a%o o! o")o eleme!"o se ob"(e!e el eleme!"o (!/e)so* G H 6 La ope)a(0! ma"em"(a es )ep)ese!"a%a po) el ope)a%o)* G H 6 So%a ope)a(0! ma"em"(a p)ese!"a eleme!"o !eu")o* G H
H 13<
1 1 2 1 1
2 1 ; 1 2
aH 1 %H ;
bH 2 eH 5
H 3
;* e %e'(!e e! : A = #a$ b$ $ %& La s(gu(e!"e "abla : 3 1 1 ; 2
; 1 2 2 ;
a b %
a % a b
b % a b
Jalla) .x e! : Gx xH θ G3 1H = G; θ 3H G; θ 1H
Jalla) : G aH G% bH
aH > %H 3
aH a %H %
bH 1 eH ;
% a b % e
3* ( : a b = a 2b Jalla) : 5 2
2
1;* E! el o!ju!"o : A = #>$ 1$ 2$ 3$ ;&
e a b %
2* El )esul"a%o %e ope)a) u! eleme!"o o! su (!/e)so es el *
Jalla) x e! : x
b % e a b
H 2
a b %
bH b eH a 0
% b % a
H
I BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 1ER. AÑO
Calula) : N =
5* e %e'(!e : x
=
2x + 3
x
=
;x 5
Jalla) :
3 bH 2> eH 23
F / V x 8
G ; U 3H ∆ 5H
Jalla) : G2> aH 2 %H 61
H >
= b 6 a * 2
aH % 12
2
5
+
* e %e'(!e e! A = #5$ $ <& 5 < 5
< 5
< 5 <
( < ) G5
∗
G5 ∗ H ∗ G ∗ < H
bH 2 eH 3
H >$<
1>* Da%a la s(gu(e!"e "abla : U a b %
% % a b
% a b
% a b %
a b % a
; 3 2 1
2 3 ; 1
=
3
3 ; 1 2
; 1 2 3
H 11
= #>$ 1$ 2$ 3$ ;&
∆ 1 2 3 ;
( 2
2
x bH 1> eH 13
1;* E! el o!ju!"o : '
H x
x=x+;
Jalla) .x e! :
!
aH 1 %H >$2
F V x 8 F /
x = 56 x
"
∗
8 / V x 8 F
bH V eH F
13* ( :
bH 61 eH 2
Calula) : E =
x F / V x 8
12* Del eje)((o a!"e)(o)$ alla) : GV61 F61HQ G861 /61HQ x61
2H G; 3H
5 <
V 8 F / V x
aH / %H 8
H >
a 2b K a b b = abKaMb
aH 62 %H 1
Jalla) :
H ba
Jalla) el eleme!"o !eu")o* bH 1 eH 62
Calula) : 7 = G5
/ x 8 F / V
H 21
* ( : m U ! = 2m ! 8 : m ∆ ! = ! 3m
* ( :
bH b eH
11* e "(e!e la s(gu(e!"e "abla :
aH 1 %H 22
a
G% U H U Gb U aH
aH a %H 1
5 +
<* e %e'(!e :
G% U bH U G U aH
•
1 2 3 ;
> 1 2 3
3 3 2 1 >
2 2 1 > 3
1 1 > 3 2
> > 3 2 1
Jalla) .x e! : G3 ∆xH • G; ∆1H = G3•2H ∆ G1•>H aH > %H 3
bH 1 eH ;
H 2
15* e %e'(!e e! : = #m$ !$ p$ ,$ )& m ! p , ) ?Cul %e las ) p , ) m ! s(gu(e!"es , , ) m ! p p)opos((o!es p ) m ! p , es /e)%a%e)a@ ! m ! p , ) m ) p , ) m I* Es o!mu"a"(/a II* Es e))a%a III* No "(e!e eleme!"o !eu")o aH I %H I 8 II
bH II 8 III eH So%as
H III
3>