17/03/2012
CAPÍTULO II
REGLA DE LA CADENA
REGLA DE LA CADENA Y DERIVACIÓN IMPLÍCITA
u = f ( x, x, y) y); x = g (r, s) s) , , y = h( h(r, s) s)
FUNCIÓN REAL DE VARIAS VARIABLES
Ros a Ñique Alvarez
y); x = g (r, s) s) , y = h( h(r, s) s) Regla de la cadena: u = f ( x, y)
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y); x = g (r, s) s) , , y = h( h(r, s) s) Regla de la cadena: u = f ( x, y) ∂ x
∂u ∂ r
=
∂u ∂ x ∂ x ∂ r
+
∂u ∂ y
∂ ∂
∂ y ∂ r
u
r
r
x
∂ x u
∂ y ∂ r
∂u ∂ y
s r
y
s
Ros a Ñique Alvarez
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y); x = g (r, s) s) , y = h( h(r, s) s) Regla de la cadena: u = f ( x, y)
Ros a Ñique Alvarez
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y); x = g (r, s) s) , , y = h( h(r, s) s) Regla de la cadena: u = f ( x, y)
r
∂u ∂ s
=
∂u ∂ x ∂ x ∂ s
+
∂u
∂u ∂ y
u
∂ y ∂ s
∂ r
x
x
∂u ∂ x ∂ x ∂ r
+
∂u ∂ y ∂ y ∂ r
x s
u
s
∂u
r
u y
=
∂ s
y
=
∂u ∂ x ∂ x ∂ s
+
∂u ∂ y ∂ y ∂ s
y s Ros a Ñique Alvarez
s
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Ros a Ñique Alvarez
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EJEMPLO 1 Sea w = h (u, v ), donde u = f ( x , y ), v = g ( x, y ) son funciones con derivadas de primer y segundo orden continuas en un dominio abierto B. Además si u x = v y y u y = -v x Demuestre que: w x x + w y y = (wu u + wv v
)
∂u ∂ y1
=
∂u ∂ y2 ∂u
u x2 + u y2
Rosa Ñique Alvarez
REGLA GENERAL DE LA CADENA u(x1(y), x2(y),……xn(y)); y =(y1,…, ym)
∂ ym
∂ x1 ∂ y1
=
=
+
∂ u ∂ x1 ∂ x1 ∂ y2
∂ u ∂ x2 ∂ x2 ∂ y1
+
∂ u ∂ x2 ∂ x2 ∂ y2
+ K +
∂ u ∂ xn ∂ xn ∂ y1
+ K +
∂ u ∂ xn ∂ xn ∂ y2
∂ u ∂ x1 ∂ u ∂ x2 ∂ u ∂ xn + + K + ∂ x1 ∂ y m ∂ x2 ∂ y m ∂ xn ∂ ym
7
Caso particular: regla de la cadena
Rosa Ñique Alvarez
8
Caso particular: regla de la cadena
u(x1, , x2,…..xn) xi(t); i=1,2,..,n
u(x1, , x2, x3) xi(t); i=1,2,3
∂ u d xn d u ∂ u d x1 ∂ u d x2 = + + K + ∂ xn d t d t ∂ x1 d t ∂ x2 d t
Rosa Ñique Alvarez
∂ u ∂ x1
d u
=
∂ u d x1
d t ∂ x1 d t
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+
∂ u d x2 ∂ x2 d t
+
∂ u d x3 ∂ x3 d t
Rosa Ñique Alvarez
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EJEMPLO 3
EJEMPLO 2
La temperatura T en un punto en el espacio ( x, y , z) se representa por T ( x, y , z). Un astronauta viaja de tal modo que sus coordenadas x e y se incrementan a una razón de 4 millas por segundo, y su coordenada z disminuye a una razón de 3 millas por segundo. Calcule la razón de cambio dT /dt de la temperatura en un punto donde
Dado: u = ln( x 2 +y 2); x = t sen t , y = cos t . Calcular d u d t
∂ T ∂ x
Rosa Ñique Alvarez
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= 4,
∂ T ∂ y
= 7,
y
Rosa Ñique Alvarez
∂ T ∂ z
=9
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EJEMPLO 4
DERIVACIÓN IMPLÍCITA
La resistencia total R producida por tres conductores con resistencia R1, R2, R3, conectados en un circuito eléctrico en paralelo, está dada por la fórmula 1
=
1
+
1
TEOREMA Si f es una función diferenciable de x e y tal que z = f ( x , y ) y f está definida implícitamente por la ecuación F ( x , y , z) = 0, y si F es diferenciable y F z ( x , y , z) ! 0, entonces
1
+
R R1 R2 R3
Calcule
∂ R
cuando R1 = 25 , R2 = 40 , R3 = 50 .
∂ R1
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∂ z F ( x, y, z ) = − x ∂ x F z ( x, y , z )
Rosa Ñique Alvarez
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F ( x, y, z ) = 0, z = f ( x, y )
∂w ∂
∂
= F x
∂ x ∂ x
+ F y
∂ y ∂
+ F z
∂
∂w ∂
∂w ∂ x
= F x
∂w ∂
∂ x ∂
= 0,
+ F y ∂ x ∂
∂ y ∂
= 1,
0 = F x + F z
15
+ F z
= F x
∂ z
Rosa Ñique Alvarez
∂ x
+ F y
∂ x
∂ x
= 0,
∂
∂ y ∂
= 1,
+ F z
∂ y ∂ x
∂ z ∂
=0
Rosa Ñique Alvarez
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F ( x, y, z ) = 0, z = f ( x, y )
∂ z ∂
0 = F x + F z
∂ y ∂ x
∂ z
∂ z
∂
∂ x
Rosa Ñique Alvarez
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w = F ( x, y, z ) = 0, z = f ( x, y)
Si hacemos w = F ( x, y, z ), y la aplicamos la regla de la cadena ∂w
F y ( x, y , z ∂ z =− ∂ y F z ( x, y, z )
y
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=−
∂ z ∂ x
F x F z
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EJEMPLO 5
Calcular
∂ z ∂ x
EJEMPLO 6 y
∂ z ∂ y
sabiendo que
Calcular
∂ x
y
∂ z ∂ y
sabiendo que
y e x y z cos (3 x z ) = 5
xy 2 + z 3 + sen ( x y z ) = 0
Rosa Ñique Alvarez
∂ z
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Rosa Ñique Alvarez
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