ACTIVIDAD COLABORATIVO FASE 1 PLANIFICACION
PRESENTADO POR VIVIANA OLAYA RESTREPO – 1.017.125.040 1.017.125.040 DANIEL PEÑA BARRIENTOS – 1.040.322.930 1.040.322.930 FEDERICO CRUZ LADINO - 1.059.710.886 INGRID JOHANNA SOLANO RODRIGUEZ – 1.037.652.801 1.037.652.801 ELCAR FARID AGUIRRE DIAZ -
PRESENTADO A TUTOR YADER BLANDON
GRUPO 100412_212
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA CEAD MEDELLIN 25 DE SEPTIEMBRE DE 2017
INTRODUCCIÓN Se entiende por ecuación diferencial a una ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas, las funciones usualmente representan cantidades físicas, las derivadas representan sus razones de cambio, y la ecuación define la relación entre ellas. Como estas relaciones son muy comunes, las ecuaciones diferenciales juegan un rol primordial en diversas disciplinas, incluyendo la ingeniería, la física, la química, q uímica, la economía, y la biología. Las ecuaciones surgen cuando se realiza el estudio de un fenómeno físico, siendo las variables x, y,... ciertas magnitudes físicas (espacio, tiempo, velocidad, etc.). En ocasiones, al hacer un estudio físico no sólo aparece una dependencia entre las magnitudes sino que también pueden aparecer en ella sus derivadas. Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas ex presadas en forma explícita o implícita.
OBJETIVO GENERAL -
Aplicar los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales de primer orden, dirigidos a la construcción de un conocimiento de manera autónoma con el fin de dar solución a problemas relacionados con la ingeniera y situaciones cotidianas.
OBJETIVOS ESPECIFICOS -
Desarrollar unos ejercicios propuestos en la guía de actividades del curso de Ecuaciones diferenciales
-
Realizar la solución de unos ejercicios problema de las actividades grupales 1 y 2 planteados en la guía de actividades del curso de ecuaciones diferenciales.
PREGUNTA 1 – VIVIANA OLAYA Una función y = f(x) es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación la reducen a una identidad. De acuerdo a la ecuación diferencial: cuál de las siguientes funciones es una solución: A B C D
.
.
.
.
== −− ==
A continuación, se demuestra -
y =
=
Hallamos la primera derivada de Y respecto a X, es decir
,
= . . = 1. = = . = 1. = 2 , = 2 = Luego hallamos la segunda derivada de Y respecto a X, es decir
Ahora reemplazamos en la ecuación original valores de
y el valor de Y
2 = 2 2 2 = = Agrupamos términos semejantes
Sumamos y/o restamos
Se obtiene como resultado una identidad
PREGUNTA 2 – DANIEL PEÑA De acuerdo al texto, una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden y no lineal corresponde a.
2 3y = 0 B. x 7x 6x 7y = 0 C. x y = senxy D. = e 1 ddxy 2dydx 3y = 0 A.
x dxdy 7x ddxy 6x dydx 7y = 0 ddxy x dxdy y dydx = senxy Respuesta Correcta
δδxy δxδy δδxy = e 1
No es una ecuación diferencial de tercer orden, puesto que tiene la derivada elevada al cubo:
dydx
Es una ecuación lineal de tercer orden y ordinaria
senxy dy/dx y
No es una ecuación lineal puesto que tiene y porque el coeficiente de es Pero es una ecuación de tercer orden ordinaria Es una ecuación lineal de tercer orden y ordinaria
PREGUNTA 3 – VIVIANA OLAYA De acuerdo a la información, la solución general de la ecuación diferencial se puede indicar como
= 0 = √ 2 = √ 2 = √ 2 2 = √ 2
2
A
.
B
.
C
.
D
.
A continuación, se demuestra
= √ 2
La ecuación diferencial se resuelve por el método de variables separables, el cual consiste en separar las variables de “Y” y de “X”, para luego integrar y despejar una en términos de la otra
2 = 0 2 = 2 = 2 = = 2 = 2 = 2 = 2 → 2 = Se integra a ambos lados
Se hace la siguiente sustitución
Reemplazando se tiene:
= 12 = 12 2 = = 2 2 = 2 2 = 2 = . 2 = =.(−) = 2 = 2 Pero,
. Reemplazando se tiene
Como C es una constante C=InC, entonces
Aplicando las propiedades de los logaritmos se tiene
Se sabe que
,entonces
, como C es una constante la puedo sacar del radical
= 2
PREGUNTA 4 – FEDERICO CRUZ Cuando en una ecuación diferencial de la forma
, , = 0
, sucede que:
= , se dice que la ecuación es exacta, en caso contrario la ecuación diferencial no es exacta y es posible convertirla en una ecuación exacta multiplicándola por un factor apropiado
,
2 4 1 = 0
, llamado factor integrante, el cual se calcula si está en función de a
. ∫ través de la fórmula: =
Por lo tanto, el factor integrante de la ecuación diferencial viene dado por:
,
A. B. C. D.
= = − = =
2 4 1 = 0 2 4 1 = 0 1 2 = , = 4 1 1 = 42 1 1 = 42 1: ln = 16 ln4 1 1 = 42 1 1 = 42 1 2 4 1 = 16 ln4 1 2 4 1 = 2∙ 4 1 = 4 1 = 2∙ 121 = 2∙ 121 ∙ 1 1 = ln
= 1 ∙ 121 ln = 4 1 = 2 ∙ 121 ln4 1 = 16 ln4 1 = 16 ln4 1 1 = ln 1 = ln = ln ln = 16 ln4 1 ln = 16 ln4 1 = log 1 6 ln4 1 = ln −(−)+ = ln 44 11 4 1 ln = ln 4 1 = 44 11 = 44 11
PREGUNTA 5 – DANIEL PEÑA Según la información, la solución de la ecuación diferencial homogénea; corresponde a:
= : = = = + = = = 0 = . = ∗ ∗ = 0 = = 0 = 0 = 0 = 0 A
.
B
.
C
.
D
.
Respuesta:
Decimos que:
Tomo la formula Derivamos
Sustituimos lo anterior en la ecuación diferencial
Obtenemos
Cancelamos términos de signos contrarios y de resultado obtenemos:
En lo anterior decimos que es una ecuación separable lo cual despejando obtenemos
Términos semejantes:
= = = ∫ = ∫ + = 21 = 3
Cancelamos x y obtenemos: Integramos a ambos lados:
Es necesario llevar todo nuevamente a términos iniciales decimos a términos de x, y Y= x*v
Despejamos
v=y/x
:
= 3 = 31 = 3 = 3 3 = 3 3 =
Organizamos toda la ecuación y obtenemos un resultado así:
= 3 3
PREGUNTA 6 – INGRID SOLANO
Al resolver la ecuación diferencial ( + + dada como:
)
−
= 0, la solución general viene
A. B. C. D.
= ( | | + ) = + = tan ( + + ) = ( | | + )
2 = 0 2 = 2 = 2 = 2 = 1 2 = = ∗ = ∗∗1 = ∗ ∗ = ∗ 1 ∗2 2 ∗ = 12 ∗ = 2 1 ∗ = 1 2 1 1 = 1 arctan = ln||
arctan = ln|| = tan ln|| = x tan ln|| PREGUNTA 7 – INGRID SOLANO Es posible encontrar ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden resolver a través de la técnica llamada variables separables y se expresan de la forma M(X)dx + (y)dy=0 , en donde todos los términos en x se pueden asociar con dx y todos los términos en y con dy, cuyo despeje se puede expresar como: ∫ ( ) = − ∫ ( ) + Tomando como referencia la información, el problema de valor inicial tiene como solución general y solución particular, respectivamente a:
0, =0 √ += 1, + √ + +
16 =
1.
2.
=
3.
=
4.
=
(2 16) = 0 (2 16) =
1 = 2 16 1 = 2 16 2 16
Integrar cada lado de la ecuación:
Iniciamos por el lado derecho
16 = 16 21 12 1 12 ln 12 ln 16 12 ln 16 1 = ln 2 ln 2 = 12 ln(2 16) 1 ln = 12 ln(2 16) 1 = √ 16 16 = √ 1616 = 1616 = 16 Aplicar integración por sustitución
Procedemos con el lado izquierdo
Igualamos:
Como solución general tenemos:
= 16 Aplicando las condiciones iniciales tenemos:
ln = 12 ln(2 16) 1 ln1 = 12 ln 02 16 1 1 1 = 2ln2 ln = 12 ln(2 16) 2ln2 1 2 ln 16 2ln2 = ln − (+)+ 4√ ln 1616 4√ ln = ln 1616 4√ y = 1616 = 4 1616 Sustituir x=0 y usar las condiciones iniciales y (0)=1
Despejamos
Aplicando propiedades de logaritmos
Como solución particular tenemos:
PREGUNTA 8 – Una ecuación diferencial de la forma
= 416 , , = 0
, es decir, sus derivadas parciales son iguales.
FEDERICO CRUZ , es exacta cuando:
=
De las siguientes ecuaciones diferenciales, cuáles de ellas “No” son exactas: 1. 2. 3. 4.
1 = 0 2 14 = 0 2 = 0 43 2 2 2 = 0 2 14 1 = 0 , = 2 1 , = 4 1 = 2 = 4 2 = 0 4 2 2 , = 4 2 , = 22 = 6 = 4 1.
3.
PREGUNTA 9 – ELCAR AGUIRRE Una ecuación diferencial de la forma M ( x, y )dx N ( x, y )dy 0 que no es exacta, es decir, M
y
N x
, se puede convertir en una ecuación exacta multiplicándola por un factor
apropiado ( x, y ) , llamado factor integrante, el cual se calcula si está en función de y a través de la fórmula: ( y )
e
N x M y M
dy
.
El factor integrante y la solución general de la ecuación diferencial 3xydx viene dado por: A.
( y )
1
y
B.
( y )
y
3
3
3x
2
dy
0
,
C.
y
cx
D.
y
c x
3 3 , = 3 , = 3 = 3 = 6 ≠
Se obtiene primero verificando si la ecuación diferencial es exacta o no.
Comparando estos resultados se tiene que:
Luego la ecuación diferencial no es exacta. Para convertirla a exacta encontramos el factor integrante para esto calculamos:
− − = = ∫− µ = = − = − = µ = Luego multiplicamos toda la ecuación diferencial por el factor integrante:
1 [3 3 ] = 0 = 0 = 6
= 6 =
Ecuación exacta.
, , = , = , ∫ ℎ ∫ ℎ = ℎ = [ ] − ℎʹ ℎʹ ℎ =
Existe una función
De esto se tiene que: Derivando, tanto es:
para la cual
y
=
;
=
podemos concluir que
=0 y por
. Por esto se puede concluir que la solución de esta ecuación diferencial
32 = = 23 23 = = y = = y =
Entonces el factor integrante es la letra A y la solución de la ecuación diferencial es la B.
PREGUNTA 10 – ELCAR AGUIRRE Cuando se plantea la ecuación diferencial ( x 3) solución particular generada para y(4)
2 es
y
dy dx
3 y , es posible asegurar que la
2( x 3) 3 , PORQUE al resolverla la
solución general de la ecuación diferencial viene dada por y C ( x 3) 3
La solución de la ecuación
3 = 3 3 = 3
Se obtiene haciendo una separación de variables:
Integrando a ambos lados y despejando y:
3 = 3 13 = ln 2 = 3ln 3 = + = 3 4 = 2 2 = 43 ; = 3432 = 3432 3 Cuando función.
encontramos el valor de la constante c reemplazando esos valores en la
Así la afirmación es falsa y la razón verdadera, luego la respuesta corresponde a la opción D
PRIMERA ACTIVIDAD GRUPAL: Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden.
Problema 1:
Una de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden es la solución de problemas de mezclas. En ellos, generalmente se presenta la siguiente situación:
La ecuación diferencial asociada es la siguiente ecuación diferencial lineal, que permite encontrar la ley de variación de la cantidad de soluto x(t) en un instante de tiempo t
Un depósito contiene 500 lt de líquido en el que se disuelven 20 gr de sal: Una salmuera que contiene 5 gr/lt se bombea al depósito con una intensidad de 8 lt/min, la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia fuera con una intensidad de 10 lt/min. Encuentre el número de gramos de sal y la concentración de sal, que hay en el depósito en un instante cualquiera.
Reemplazamos los datos en la ecuación diferencial:
500 10810 = 58 500102 = 40 2505 = 40
La ecuación diferencia es de la forma x’+ F(t)x=G(t), usamos para resolverla factor integrante:
= ∫ = ∫− = −− = 250 −
Multiplicando por el factor integrante:
250 − 5250 − = 40250 − 250− 5250 − = 40250 − [250 −] = 40250− [250 −] = 40250 − 250 − = 10250 − 250− = 10250− = 0, = 20 : 20 − = 20250− 2500250 2480250 − = 250 250− = 10250 − 2480250− 2480 250 = 10250 250 =
Multiplicando ambos lados por dt:
En el lado izquierdo vemos que es la derivada de un producto:
Integramos:
Tenemos en cuenta las condiciones iníciales para calcular C:
Reemplazando y multiplicando por
Siendo esta la ecuación de cantidad de sal en el tanque en cualquier instante t.
SEGUNDA ACTIVIDAD GRUPAL: Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación
y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:
Situación y solución planteada: En una cafetería se sirve una bebida caliente que se encuentra inicialmente a una temperatura de 90°C, y se enfría hasta 75°C mientras se expone a la temperatura ambiente durante 4 minutos. Si la temperatura ambiente está en 20°C, determinar en qué momento la bebida estará a una temperatura de consumo de 55°C. SOLUCIÓN Según la ley empírica de Newton enfriamiento/calentamiento, la rapidez con la que cambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la del medio que lo rodea, que se llama temperatura ambiente. Si representa la temperatura del cuerpo al tiempo t, es la temperatura del medio que lo rodea y por lo tanto es la rapidez con la que cambia la temperatura del cuerpo es decir:
= 1
Como k es una constante de proporcionalidad. Tanto en el caso de enfriamiento como de calentamiento, si Tm es constante, se establece que k < 0. Como en el ejercicio tenemos una temperatura ambiente constante, sabemos que Tm = 20 Además, dice “la cafetera sirve la bebida caliente”, es decir podemos considerar que cuando lo sirvió t era igual a cero y la temperatura en ese momento es 90.Entonces tenemos (1), con una condición inicial:
= 20 0 = 90
Tenemos una ecuación diferencial de variables separables:
Integramos a ambos lados,
20 = = 20 | |20|| = 20 =
20 = = = 20 2 0 = 90 90 = 20 90 = 20 1 = 70 = 70 20 3 = 4 ℎ 75 4 = 75 75 = 70 20 5570 = 4 ln 5570 = ln4 ln 5570 = 4 = 14 ln 5570 ⋍ 0.06029 = 70−. 20 4
Partiendo de
Aplicando la condición inicial
, entonces:
Reemplazando en la ecuación (2)
En
Entonces:
Reemplazamos en la ecuación (3)
Para hallar en que momento la bebida estará a una temperatura de 55C entonces hacemos T(t) = 55
55 = 70−. 20
3570 = 0.06029 ln 3570 = ln0.06029 ln 3570 = 0.06029 1 ln 3570 = 0.06029 = 11.5
