203057_8 Trabajo Fase 0

Fase 0: Trabajo de reconocimiento.

Presentado por: Daniel Oswaldo Domínguez López. Código: 80858122.  Néstor Vanegas Rodríguez. Código: Edgar Horacio Diaz. Código: David Gómez. Código: Deivy Faviany Vanegas Vásquez. Código: 80829122. Curso: 203057_8.

Presentado a: Tutor. Gustavo Salazar Cedeño.

Universidad Nacional Abierta y a Distancia “UNAD”. “UNAD”. Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería. CEAD José Acevedo y Gómez. Ingeniería Electrónica. Calculo multivariado. 2018.

Introducción.

Es importante tener claridad en conceptos de las derivadas, integrales y aplicaciones en una variable, ya que serán de gran utilidad para las temáticas a desarrollar dentro del curso de cálculo multivariado, en este trabajo desarrollaremos una serie de ejercicios propuestos donde fortaleceremos el análisis de modelos aplicando conceptos de la derivada y la integral a la vida cotidiana, fortaleciendo los conocimientos adquiridos en cálculo diferencial y cálculo integral.

Desarrollo de la actividad. 1. Un árbol ha sido trasplantado y después de x años está creciendo a una rata de

  =   +  cm por año. ¿Cuánto crece el árbol durante el tercer año? Solución:

Planteamos la ecuación

∫ 4   11  Como tenemos una suma resolveremos cada integral por separado, las ecuaciones nos quedan de la siguiente forma: Integral 1

∫ Integral 2

∫    Procedemos a resolver la Integral 1

∫4 4∫    Procedemos a resolver la Integral 2

∫  11  Ahora se realiza cambio de variable en función de la variable que interviene en la ecuación.

 =   1  = 

Remplazamos las variables en la integral y nos qu eda de la siguiente forma

∫ 1  Procedemos a resolver la integral y obtenemos

∫ u−  u−   Remplazamos en la ecuación el valor de “u” y obtenemos

x x  11−           Como ya tenemos la solución de las dos integrales procedemos a colocar las la s soluciones en la ecuación definitiva.

4   1 1   Ahora remplazamos las “x” por el valor condicional el cual es “3” y obtenemos la la siguiente ecuación.

= 43  3 1 1 _42 3 1 1 Resolviendo obtenemos:

= 447  23/3 49 12  Durante los tres años la planta creció   ≅ 4.08  . 

2. Si un resorte tiene una longitud natural de 18 cm y es suficiente una fuerza de 4 newton para comprimirlo y reducir su longitud a 16 cm. ¿Cuál es el valor de la constante  para este resorte? Calcúlese el trabajo necesario para comprimirlo desde 16 cm a 11 cm. Solución:

= ∗

Aplicamos la Ley de Hooke Donde: F= fuerza k= constante de elasticidad del resorte

∆x= Diferencia entre el valor final y el inicial qu e toma el resorte. Hallaremos la constante k ya que conocemos el valor del desplazamiento y el valor de la fuerza. k=F/∆x

∆ = 18   16 = 2 = 0.02  =   = 0.402 = 200  ∆2 = 16   11  = 5 = 0.05  = 200  ∆2 = 0.05 Ahora tenemos la siguiente ecuación para hallar el trabajo.

  = ∫    Hallamos la integral definida

 = ∫ 20 200 0  = 20 2000 ∫     = 200 2

= 100 Ahora realizamos la integración con los intervalos

 = 100 |.    lim 100  = lim 100 → →  lim 1000  = lim → 1000.05   →  = 0.25 0.25  0  = 0.25  .  = ∫ 20 2000   = 100 00  = 1000.05  100 1000 = 0.25   = 1 ∗  ∗ ∗ 

2  = 12 ∗ 200  ∗ 0.05 = 0.25 

3. Una masa suspendida de un resorte oscila con movimiento armónico simple de amplitud 16 cm y frecuencia 2 / . Calcular la velocidad y la aceleración cuando =1/4 . La elongación del cuerpo en cualquier instante está dada por la expresión = ( )

 = 2  = ()

La velocidad como derivada de la distancia

 = ()  =   =     =   ∗       = cos cos   =     =  cos cos  

 cos  =   cos =  wt  wt = .. 1 Sustituimos u

= ( () =   =   =     = 1/2  = 21∗ 2 = 4 = 12.56   =    = 0.16 ∗ 12.56 / ∗12.56 ∗ 14   = 0,11/ La aceleración como derivada de la velocidad

 =   =   cos t  =   cos    ∶  . . ´ = .´ =     =   ∗        =  =   sen sen    sen  =   sen =

 wt  wt = .. 1 Sustituimos u

4.

= ()   =  =  cos cos  =   =   cos t  =   cos   1   = 0,16 12.56   12,56     4  = 25,20 /  Un móvil se desplaza con una velocidad  =  √      √   

,0≤

≤ / 2. Hallarla distancia recorrida entre los instantes  = 0 y  = 2.

Aplicamos la identidad

Replanteamos la ecuación. Aplicamos la propiedad Entonces Integramos

   =      =       =    =        √  =   =  cos cos  ∫   cos  = co  coss      = co  coss2  2  1

5. Una corriente fluye por una bobina de 1 cm de radio y ejerce una fuerza  sobre un pequeño imán. El eje del imán está en una línea que pasa por el centro de la bobina y es perpendicular al plano de ésta. La fuerza viene dada por la expresión:

 =  +

, siendo  la distancia desde el centro de la bobina hasta el imán. ¿A qué distancia debe estar el imán para que la fuerza se máxima?

Regla de la derivada del cociente- 1. Identificar las dos funciones u y v, 2. Multiplicar la derivada de la primera (u) por la segunda (v), y se resta el producto de la primera por la derivada de la segunda, 3. Dividir todo entre la segunda al cuadrado. Formula:

  =   =       =     Debemos derivar e igual a 0 para encontrar el valor de x

´ ´ =   ∗ ´´   ∗ ´   = ; ; ´ = 1  =     ; ´ = 52 ∗  ∗      ∗ 2 2 ´ = 0 ´ =   ∗ ´´  ∗ ´    ∗ 1 =  ∗ 52 ∗      ∗ 2 2     = 2525 ∗  ∗        /∗      = 25 25     = 25 Sacamos raíz cuadrada

     =   2525    = 5  = 2 F es máximo cuando x= r/2

Conclusiones.

Se analizo cada uno de los ejercicios propuestos para determinar cuál es el método a utilizar  para su desarrollo. Aplicando el método correspondiente en cuanto a la integración o derivación. Se fortaleció y práctico los conocimientos adquiridos en cálculo diferencial, cálculo integral y sus aplicaciones en la solución de problemas. Se identifica la importancia de los procedimientos de derivación e integración para la solución de problemas.

Referencias bibliográficas.

Leithold, L. (1994). El cálculo. México: Oxford University Press Harla México S.A.