UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA
100412_360 ECUACIONES DIFERENCIALES
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA- UNAD ESCUELA DE CIENCIAS AGRÍCOLAS, PECUARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE CCAV- NEIVA
ECUACIONES DIFERENCIALES 100412_360
TRABAJO COLABORATIVO FASE 2
PRESENTADO POR: ANGIE VANESSA PEREZ POLANIA CODIGO: 1.080.296.324 LINA MARCELA GARCÉS DÍAZ CODIGO: 1.079.411.688 YORMAN LEAL FERNANDEZ CODIGO: 83.235.914 DIEGO FABIAN SALINAS CODIGO: 1.079.177192 KATHERIN YISETH CASTRO HERMOSA CODIGO: 1.075.266.188
GRUPO: 100412_135
TUTOR: ROBEIRO BELTRAN TOVAR
NEIVA
ABRIL- 2017
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INTRODUCCIÓN Con el desarrollo de esta actividad colaborativa dejamos evidenciado el trabajo en equipo, el desarrollando los puntos propuesto por la guía de actividades, poniendo en práctica nuestro conocimiento adquirido en el transcurso del tiempo acerca de las ecuaciones diferenciales, apoyándonos en la unidad 2 ecuaciones diferenciales de orden superior. Se realizaron los ejercicios paso a paso identificando las ecuaciones diferenciales y solución de cada uno de las ecuaciones de segundo orden etc. igualmente se da solución a otros ejercicios propuestos en la guía con el fin ir reforzando nuestros conocimientos básicos que se han adquirido en el desarrollo de este curso contemplando la participación grupal para el óptimo desarrollo de los temas propuestos.
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OBJETIVOS
Reconocer situaciones que involucran ecuaciones diferenciales donde identificamos ecuaciones lineales de segundo orden, ecuaciones lineales de orden n, aplicaciones de las ecuaciones de orden superior e interpretar sus soluciones, analizando el tipo de dificultad que se pueden presentar para encontrarlas.
Reconocer y aplicar las técnicas fundamentales para la solución de ecuaciones diferenciales.
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100412_360 ECUACIONES DIFERENCIALES ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA
Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: Seleccione A si 1 y 2 son correctas. Seleccione B si 1 y 3 son correctas. Seleccione C si 2 y 4 son correctas. Seleccione D si 3 y 4 son correctas. El método de variación de parámetros para dar solución a una ecuación diferencial de tercer = 1 1 + 2 2 + orden establece que primero se encuentra la función complementaria 3 3 y después se calcula el wronskiano ( 1( ), 2( ), 3( )). Posteriormente se determina ( ), para poder encontrar 1 2 y 3, y poder hallar la solución particular mediante la integración de 1´ = 1 , 2´ = 2 y 3´ = 3 , donde :
Una vez seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique.
1. Una ecuación diferencial de orden superior es de la forma
⋯ ++==23
diferencial: como solución general:
+ − +
y puede ser solucionada por diferentes métodos. La ecuación , puede ser solucionada por los siguientes métodos y tiene
1. Método de variables separables y método de ecuaciones exactas. 2.
= √ √ + √ √ + + 33 ± 3 = + + + 33 ± 3
3. 4. Método de variación de parámetros y método de coeficientes indeterminados.
PROCEDIMIENTO: Tenemos la ecuación diferencial de la ecuación homogénea asociada
= + 3 =0 → 33 = 0 3 =0 → =, = 3 = 8 +4sin
, obtenemos la solución complementaria
De donde se tienen las soluciones para ,
Ahora tomamos la ecuación para hallar los anuladores diferenciales
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100412_360 ECUACIONES DIFERENCIALES Donde para i) ii) iii)
8 3 →→ 4sin → 20 + (0 + 1) → ( + ) ( + ) =
Y así el anulador para la ecuación g(x) es numeral 3
que notemos es el
Solucionamos la ecuación auxiliar de la ecuación anterior y tenemos
3 3 + 1 = 0 =, = =, +1=0 → =1 → =± → = , = = + + + + = + = , =, = = ++
Así vemos
Luego la solución es
Donde
, es la solución a la ecuación homogénea
Luego si hacemos
, tenemos nuestra ecuación particular
, notamos es el numeral 4
Así la respuesta es 3 y 4.
2. El método de variación de parámetros para dar solución a una ecuación diferencial de tercer orden establece que primero se encuentra la función complementaria y después se calcula el wronskiano . Posteriormente se determina , para poder encontrar , y poder hallar la solución particular mediante la integración de , donde :
= + + ( , , ) = , = , =
0 0 0 = | | = 0 = 0 = 0 ,
,
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= + + = + + 2 = − −, =2− y = ==2 + + − + ==2 + − ++ −, +=2 − y =2−
Una solución particular es diferencial es entonces la solución general de la ecuación 1. 2. 3. 4.
.
y la solución general de la ecuación Con base en lo anterior, los valores para y son respectivamente:
PROCEDIMIENTO:
+ 2 = + 2 = 0 +2+ 2==00 { == 00 = 2 = + + − −− − 1 = [00 10 42− ] = −− 0 = [0 10 42− ] =− −
,
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−− − 1 0 = [00 0 42− ] = 1 0 = [00 10 0] = = = 24−− − = 2 4 = = 42−− = 2 = = 4− = 4 = ∫ 2 4 = 2 + 4 = ∫ 2= = 2 = ∫ 4 = = 12
= 2 + 4 + 2 + 12 − = 2 + 4 + 2 + 12 = 3 = + − = + + +
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100412_360 ECUACIONES DIFERENCIALES 3. Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial ordinaria que tiene un valor especificado que se conoce como la condición inicial, de la función desconocida en un punto dado del dominio de la solución. Para el problema de valor inicial , la solución particular y la solución al problema corresponden a: 1. 2. 3. 4.
==9+ 7++4+5 ==9+++7+ +4 5
+ = 4 + 10 , = 0, = 2
PROCEDIMIENTO:
Respuesta: (No. 1 y 3)
SOLUCIÓN:
= + + + + =++ +=4+10sin = ℎ + ℎ
La solución a esta ecuación diferencial es asociada y, es la solución particular.
, donde
es la solución solución a la ecuación homogénea
Sacamos la ecuación homogénea asociada y su ecuación característica
+=0 +1= +1 = 0 , = ±√ 1=± 1=±
Tenemos que
= +
=4+10
4, + 10 = + + ++
Como tenemos la solución asociada de a=0, b=1, luego
, y para
(Cuadro No. 2)
, en (cuadro No. 2) tenemos que s=1,
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=+++ =+++ =++ +=4+10sin 2+2++++=4+10 = 4, = 0, = 5, = 0 =+++= = ℎ + = ++ =0, = 2 0 = ++45 =0, = 1 0= +4+5 , → = 9 = ++45+5 2= + coscos +45cos +45cos + 5 2= + 4 + 5 , → = 7 =++ , (Respuesta No.3)
Derivamos dos veces para reemplazar en nuestra ecuación
Reemplazando en la ecuación
Igualando coeficientes tenemos
Reemplazando en la ecuación solución tenemos
Aplicando las condiciones iniciales donde
, como:
, Luego tenemos nuestra solución (Respuesta No. 1)
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. Una ecuación diferencial de de n-ésimo orden se puede escribir como:
4
+ −−+⋯++ = , ==, =0,1,2,…,. + −− +⋯+ + 3 = 8 +4sin 3 + 1 3 = 0 = + + cos+sin + 1 3 = 0 3 = +cos+sin = + 3 =0 → 3 = 0 3 =0 → =, = 3 = 8 +4sin 8 3 →→ 4sin → 20 + (0 + 1) → + Donde como
Cuando Cuando se cumple la ecuación anterior también se escribe , donde denota el operador diferencial o polinomial, lineal de n-ésimo orden
La notación de operador no sólo es una abreviatura útil, sino que en un nivel muy práctico la aplicación de operadores diferenciales permite justificar las reglas para determinar la forma de la solución particular . Ésta se deduce casi de manera automática una vez se encuentra un operador diferencial lineal adecuado que anula a . Por lo anterior de la ecuación diferencial , se puede afirmar que: 1. El operador diferencial que anula a es 2. La solución particular que se propone debe ser 3. El operador diferencial que anula a es 4. La solución particular que se propone debe ser
SOLUCIÓN
Tenemos la ecuación diferencial complementaria de la ecuación homogénea asociada
, obtenemos la solución
De donde se tienen las soluciones para ,
Ahora tomamos la ecuación para hallar los anuladores diferenciales
Donde para iv) v) vi)
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100412_360 ECUACIONES DIFERENCIALES Y así el anulador para la ecuación g(x) es numeral 3
+ =
que notemos es el
Solucionamos la ecuación auxiliar de la ecuación anterior y tenemos
3 3 + 1 = 0 =, = =, +1=0 → =1 → =± → = , = = + + + + = + = , =, = = ++
Así vemos
Luego la solución es
Donde
, es la solución a la ecuación homogénea
Luego si hacemos
, tenemos nuestra ecuación particular
, notamos es el numeral 4
Así la respuesta es 3 y 4.
ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información:
Seleccione A si 1 y 2 son correctas Seleccione B si 1 y 3 son correctas Seleccione C si 2 y 4 son correctas Seleccione D si 3 y 4 son correctas ÍTEMS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une. Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones:
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100412_360 ECUACIONES DIFERENCIALES -
-
Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA.
5. Una ecuación homogénea tiene dos soluciones independientes. Para el caso 2 al resolver la ecuación característica las soluciones deben ser iguales y reales = 1 = 2 y su solución general es de la forma = 1 + 2 . La ecuación diferencial ´´ − 10 ´ + 25 = 0 tiene como solución general = 1 5 + 2 −5 PORQUE las soluciones de la ecuación auxiliar son 1 = 2 = 5.
Rta:
10 +25=0 10+25=0 5 5 5 = 0 5= 5 = 0 5 5 = 0 =5 =5 = +
La Ecuación General debería ser
.
Ya Que La Afirmación Es Falsa Pero La Razón Es Una Proposición Verdadera, Porque Aunque En Esta Ecuación Homogénea Se Soluciona Mediante El Caso 2 ( ) La Afirmación Como La Exponen Es Falsa Pero La Razón Si Es Verdadera Porque Da Una Solución Igual A 5.
+
+ 6 +8=2+3− 3 = 0 + 92si 2sin33 = 0 2sin3 + 2 + 9 22 = 0,0, + 23 + 6 +8=2+3− 2sin3 =2+3− 2 2→ 2 → =1 6. Un operador anulador para la función es
de la ecuación diferencial
PORQUE
y
PROCEDIMIENTO:
Tomemos
Expresión
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100412_360 ECUACIONES DIFERENCIALES Expresión
3− →=2 = 2si n + 9 =0→ ==13 +2)
Expresión
− − 3 3 =2
La afirmación es verdadera Un operador anulador para la función ( ) de la ecuación diferencial ´´ + 6 ´ + 8 = 2 + 3 −2 − 2 sin 3 es 2 ( + 2)( 2 + 9) y la razón a la expresión (D+2) ( ) es falsa porque
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100412_360 ECUACIONES DIFERENCIALES PRIMERA ACTIVIDAD GRUPAL Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden.
PROBLEMA:
+10=0 = 1
La ecuación del movimiento de un péndulo con longitud 1 es
= 0,2 y la velocidad angular inicial movimiento.
Tomamos la EDO
. Determine en función de t para el
′′+10=0
Escribimos La Ecuación Característica
Hallamos Los Ceros
Hallamos la solución general
+10=0
==10 ± 10 10 √ = ±√ 1010 = cos(√ 10)+ 10)+ sen(√ 10) 10)
= √ 1010 sen(√ sen(√ 10)+√ 10)+ √ 1010 cos(√ cos(√ 10) 10)
Hallamos La Derivada De Θ Respecto A “T”
Aplicamos Las Condiciones Iniciales
. Si para = 0,
0, 2 =1 cos(√ cos(√ 100)+ 100)+ sen(√ sen(√ 100) 100) = 5 1 = √ 11010 sen(√ sen(√ 100)+√ 100)+ √ 1010 cos(√ cos(√ 100) 100) = √ 1010
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Determinamos en función de t para el movimiento
= (√ (√ )+ )+ √ (√ (√ ) ) SEGUNDA ACTIVIDAD GRUPAL
La figura representa un edificio de dos pisos. Las masas de los pisos son 1 y 2. Cada piso se apoya en seis columnas. Cuando el suelo se mueve horizontalmente debido a un temblor, los pisos también se mueven así, y las columnas actúan como resortes y se oponen a este movimiento. Las rigideces horizontales totales de cada conjunto de seis columnas son 1 y 2. El movimiento horizontal del suelo es .
Para el caso en que las masas son idénticas ( 1= 2= ) y las rigideces son idénticas ( 1= 2= ) obtenga un modelo de ecuación del edificio y encuentre su solución homogénea. Se tiene la siguiente situación:
Para la que se plantean las siguientes ecuaciones diferenciales por tratarse de dos masas y teniendo en cuenta las Leyes de Newton:
̈ + = ̈ + = = ̈ + = ̈ + =
Dividiendo la ecuación entre y asumiendo
el resultado es:
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100412_360 ECUACIONES DIFERENCIALES Los signos están incorrectos, la forma correcta es:
̈ + = ̈ + = + = ̈ + + = + +3 + =0 ni ± √ = ±± √ = ±√
Ahora para tener una ecuación en términos sólo de obtener:
1 se
diferencia la ecuación (1) dos veces para
La derivada está correcta
Ahora sustituyendo
de la ecuación (2) y 2 de la ecuación (1) se obtiene:
Esta ecuación está correcta .
Esta es la ecuación deseada; cuyo polinomio característico es: hay ningún término en , esta ecuación es cuadrática en cuadrática:
. Como no y se puede usar la fórmula
Entonces, las raíces características son:
=±, =±, Como estas raíces son imaginarias, la solución homogénea tiene la forma:
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= , + , + , + , La solución homogénea está correcta
La solución contiene oscilaciones con frecuencias en radianes de:
El resultado está correcto
, ,
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CONCLUSIONES .
Se evaluó el desarrollo al contexto planteado, se realizaron aportes en cuanto a procedimiento y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Se cumplió con las exigencias de la guía de actividades del trabajo colaborativo dos Se le dio solución a los ejercicios paso a paso identificando ecuaciones lineales de segundo orden ecuaciones lineales de orden n, aplicaciones de las ecuaciones de orden superior; igualmente se da solución a otros ejercicios propuestos en la guía con el fin ir reforzando nuestros conocimientos básicos que se han adquirido en el desarrollo de este curso Se cumplió con las exigencias de la guía de actividades del trabajo colaborativo dos
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BIBLIOGRAFIA
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García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 67112). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467 Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. (pp. 54-107). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10584022
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Alvarado, E. (2014). Solución ecuaciones diferenciales método coeficientes indeterminados. Unad. [Videos]. Disponible en: http://hdl.handle.net/10596/7214
Peña, M. (2016). Presentación Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. [OVA]. Recuperado de: http://repository.unad.edu.co/handle/10596/8185