1. Predavanje Osnovi Deskriptivne Statistike 2018

ITEP VISOKA ŠKOLA ZA INFORMACIONE TEHNOLOGIJE, EKONOMIJU EKONOMIJU I PREDUZETNIŠTVO

TEMA 1: OSNOVI DESKRIPTIVNE STATISTIKE 

aša Mičić  Prof. dr S aša  sa  sasa.m .mii ci c@sat @satwor k.n k. net  mar t 2017 2017.. go g odi ne

DEFINISANJE STATISTIKE  • Riječ statistika potiče o latinske riječi statisticus • Sumerci iz Mesopotamije riječ statistika koristili 5000

goina prije Hrista, vezano za poatke, način prikupljanja i objašnjenja u vezi sa prikupljanjem, obradom i evidencijom raznih taksi i poreza. • Prvi pristup statistici – nauka koja se bavi prikupljanjem, klasifikacijom i interpretacijom interpretacijom

numeričkih informacija. Povezana Povezana sa teorijom vjerovatnode rai kvalitetne ocjene parametara cjeline ispitivane pojave, onosno populacije slučajne promjenjive. • Drugi pristup –svaki podatak, skup informacija, svaka

slučajna promjenjiva se naziva Statistika.

UPOTREBA STATISTIKE  • Korišdenje pojma statistike pojavilo se mnogo ranije

o pojma vjerovatnode. vjerovatnode. • Predmet Statistike je prikupljanje, organizacija i

prestavljanje informacija i poataka pomodu tabela i grafikona.

• Pojavom pojma vjerovatnode u 17.vijeku povezanog

sa igrama na sredu kroz raove matematičara Fermata i Paskala korišdenje Statistike obija na značaju. • Kome treba statistika? • Svima: inžinjerima, menažerima, matematičarima, ekolozima, ekolozima, biolozima, psiholozima, pravnicima, pravnicima,

političarima, proizvođačima...

DEFINICIJA • U statistici posmatra se konačan ili beskonačan skup elemenata, koji se zove statistički skup, statistička masa ili populacija i obilježava sa

  1 ,  2 , (omega) Primjer:

Populacija je:

skup svih građana neke ržave, skup svih stuenata naše škole, skup svih mjerenja neke veličine i sl.

OBILJEŽJE može posmatrati posmatrati sa stanovišta stanovišta jene ili • Svaka populacija se može više osobina, koje nazivamo obilježje.

• Za posmatranu populaciju neka obilježja su važna, ruga nisu. Naprimjer, ako posmatramo studente jednog fakulteta, • bitna obilježja su: njihov broj, prolaznost na ispitima, srednje ocjene,

užina stuiranja i slično, • nebitna obilježja su: njihova visina,

težina i slično.

OBILJEŽJE • Obilježja mogu biti : numerička, koja se izražavaju brojem i atributivna, koja se izražavaju opisno.

• Numerička obilježja su naprimjer:

ako u populaciju stuenata posmatramo, visinu i težinu, a atributivna su pol i boja očiju. • Da bi se i na atributivna obilježja mogli primjeniti

matematički matematički metoi, neophono je se oni preveu na

 jezik matematike matematike.

• Za matematiku matematiku su o interesa samo numerički poaci, poaci , odnosno oni koji se mogu izraziti brojem.

• Do statističkih poataka se olazi se

sistematski, po jasno utveđenom planu.

• U procesu proučavanja pojava statistika statistika se

služi oređenim metoama.

UZORAK Često ispitivanja obilježja cijele populacije mogu a buu: • složena, • neracionalna, a • poneka i nemoguda

 jer populacija može može a ima beskonačno beskonačno mnogo elemenata ili konačno mnogo, mnogo, ali a je taj broj veliki. • Iz tih razloga efiniše se neki poskup uočene populacije i nazivamo ga uzorak.

• Definicija: • Bilo koji podskup U, populacije  nazivamo uzorak .

PROST UZORAK • U vezi sa uzorcima postavlja se niz teorijskih i praktičnih pitanja u vezi formiranja formiranja uzorka. • Zaključci na osnovu uzorka nisu sasvim pouzani, ved manje ili

više vjerovatni. vjerovatni. Uzorak tako birati da se :

• obezbijei ovoljna pouzanost zaključka. • treba da bude reprezentativan. • obaciti sve subjektivne faktore, tako a uzorak bue što više objektivan. • To se postiže slučalnim izborom, što znači a takvim izborom

svaka svaka jeinica ima istu vjerovatnodu vjerovatnodu a bue izabrana kao element uzorka.

•

Ovakav uzorak zove se prost uzorak.

Proces obrade podataka • Obraa poataka poataka je proces koji u sebe uključuje: 1. Prikupljanje statističkih poataka – putem: popisa,

eviencija, statističkih izvještaja, reovnih i povremenih anketa. 2. Klasifikovanje na kvalitativne, atributivne podatke i

kvantitativne poatke, numeričke poatke. 3. Uređivanje znači sve kvantitativne poatke, poatke, u sklau sa ciljevima premeta istraživanja ureiti tako a za statističku statističku obrau buu što upotrebljiviji. 4. Grupisanje znači a ato statističko obilježje u istraživanju istraživanju treba posmatrati posmatrati i sa aspekta nijansi, klastiranjem s obzirom na kriterijum 5. Utvrđivanje i izbor ogovarajude frekvence, empirijskih podataka koji se ponavljaju.

Neuređeni i uređeni poaci  1. Neuređeni podaci  –  – ako imamo imamo numeričke numeričke empirijske empirijske

podatke, preuzete iz nekih od izvora podataka,

prestavljene prestavljene na način a numerički poaci nisu poređani o najmanje o najvede vrijenosti. (5,3,1,2,4,4,2) (5,3,1,2,4,4,2) - neuređena stat. stat. serija. se rija. 2. Uređeni podaci  –  – ukoliko ukoliko su numerički empirijski podaci, preuzete iz nekih od izvora podataka ili

naknano preuređeni, prestavljeni prestavljeni na način o najmanje o najvede vrijenosti u statističkoj statističkoj seriji. (2, statistička serija. 2, 3, 4, 4, 5) - uređena statistička

Sređivanje i grafičko prikazivanje kvalitativnih podataka Primjer : Studenti završne godine ITEP -a se izjašnjavali gdje bi željeli da se zaposle posle diplomiranja. 

Kvalitativna promjenljiva

Kategorija ili modalitet

Tabela raspodjele frekvencija 

V r s ta ta zapos lenj a

B ro r oj s tu tudenata

Privatne firme

44

Državni oragani vlasti

26

Sopstvena firma

20

Ne zna

10

frekvencija

N =100  =100 

Negrupisani i grupisani podaci  •

Negrupisani podaci  –  – kaa cilj istraživanja istraživanja oređene oređene pojave

nije utvrđivanje numeričkih nijansi ili numeričkih razlika u  jedinicama mjere te te pojave – negrupisani numerički statistički statistički poaci.

•

Prihod u pet pogona jedne fabrike fabrike u hiljadama KM (40, 50, 5 0, 60, 70, 80) Grupisani podaci  –  – ako je cilj istraživanja istraživanja oređenog oređenog

statističkog obilježja i a se utvre numeričke razlike, u  jeinicama mjere, statističk statističkog og obilježja, jer se oređene oređene  jeinice mjere statističk statističkog og obilježja u statističk statističkoj oj seriji ponavljaju.

Prestavljaju Prestavljaju se: kao cijele numeričke vrijenosti (iskretno stat. obilježje ili prekina slučajna promjenjiva) i kao intervalne numeričke vrijenosti (kontinuirano (kontinuirano stat. obilježje ili neprekina slučajna promjenjiva)

Grafičko prikazivanje kvalitativnih grupisanih podataka

Grupisani kvalitativni podaci mogu grafički prikazati pomoću: • štapićastog  dijagrama   dijagrama  • strukturnog kruga ( pite )

se

Štapidasti ijagram

Štapićasti dijagram  je  je grafikon grafikon u kome se na apscisi nalaze kategorije, a na ordinati frekvencije ili relativne frekvencije frekvencije

određenih kategorija. 50

45

40

35

   a    j    i 30    c    n    e 25    v    k    e 20    r    F 15

10

5

0

Privatne firme

Državni oragani Sopstvena firma vlasti

Vrsta zaposlenja

Ne zna

Strukturni krug (pita) Strukturni krug ili pita  je  je vrsta grafikona grafikona u vidu kruga

podeljenog na kružne isečke od kojih svaki predstavlja relativnu frekvenciju ili procentualno učešće svake kategorije u osnovnom skupu ili uzorku.

Državni

oragani vlasti, 26, 26%

β=0,26·360°=93,6°

Privatne firme, 44, 44%

α=158,4° Ne zna, 10, 10%

Sopstvena firma, 20, 20%

γ=0,20·360°=72° δ=0,10·360°=36° Krug ima 360 stepeni. Da bi smo prikazali prikazali učešće učešće ili relativnu frekvenvciju frekvenvciju kao kružne isečke, 360 množimo sa relativnom frekvencijom svake kategorije. kategori je. Npr. Npr. 0,44·360°=158,4°

3. Negrupisani i grupisani podaci  •

Diskretni raspored  –  – istraživano istraživano statističk statističko o obilježje

grupisano na osnovu cijelih brojeva Primjer: planirani prihod po pogonima jedne fabrike u hiljadama KM predstavljen u tabeli:

•

Planirani prihod

40

50

60

70

80

Broj pogona

4

3

2

2

1

Kontinuirani raspored  –  – istraživano istraživano statističk statističko o obilježje

grupisano na bazi intervalnih numeričkih vrijenosti Primjer: planirani prihod po pogonima jedne fabrike u hiljadama KM predstavljen u tabeli: Planirani prihod

30-40

40-50

50-60

60-70

70-80

Broj pogona

4

3

2

2

1

4. Klase i granice klase •

Klase – su grupe statističkog statističkog obilježja, iste cijele cijele numeričke

vrijenosti, kaa je riječ o iskretnom statističkom statističkom obilježju, ili iste intervalne numeričke vrijenosti ako se rai o kontinuiranom statističkom obilježju. Primjer 4.1.: Ako je uviom u tromjesečnu evienciju o olasku na posao utvrđeno a su u rasponu o jean o pet dana bolovanja imali zaposleni kao u tabeli:

•

Broj dana bolovanja

1

2

3

4

5

Broj zaposleni

20

27

15

7

2

Kažemo a je ispitivano statističko statističko obilježje obilježje poijeljeno u pet grupa iste cijele numeričke numer ičke vrijenosti. Ove grupe zovemo klase iskretnog statističkog statističkog obilježja.

Sređivanje i grafičko prikazivanje (numeričkih) kvantitativnih podataka Primjer : Data je raspodjela raspodjela frekv frekvencija encija za starosnu starosnu strukturu strukturu svih svih 50 zaposlenih u jednoj firmi. Kvantitativna promjenljiva Drugi grupni interval Donja granica

četvrtog grupnog intervala

 S tar tar os t

B r oj zapos lenih leni h

18 - 30

12

31 - 43

19

44 - 56

14

57 - 69

5 Gornja granica četvrtog grupnog intervala

Frekvencije Frekvencij drugog grupnog intervala

4. Klase i granice klase Primjer 4.2.: Neka je uviom u tromjesečnu evienciju o olasku na posao utvrđeno a je broj bolovanja, prema broju zaposlenih koji su koristili bolovanje, izgledao kao u tabeli:

•

Broj dana bolovanja

0-1

1-2

2-3

3-4

4-5

Broj zaposleni

20

27

15

7

2

Kažemo a je ispitivano statističko statističko obilježje obilježje poijeljeno u pet grupa iste intervalne numeričke vrijenosti. Ove grupe zovemo klase kontinuiranog statističkog obilježja.

4. Klase i granice klase •

Granice klase su imanentne klasama sa intervalnim

numeričkim vrijenostima obilježja. • To su vije numeričke vrijenosti obilježja, gje je onja vrijenost obilježja niža a gornja vrijenost obilježja viša vrijenost. Raspon između te vije tačke se zove užina (ili širina) intervala. granice klase na va načina: • Oređivanje granice 1. Prvi način gje postoji razlika između gornje granice prethonog i onje granice sljeedeg intervala: (10,2-10,4; 10,5-10,7; 10,8-11,0) 2.

Drugi način gje nema razlike razlike između gornje granice prethonog i onje granice sljeedeg intervala: (10,2-10,4; 10,4-10,6; 10,6-10,8)

4. Klase i granice klase •

Klasna sredina. Numerička sreina aritmetičke sreine

između onje i gornje granice intervala zove zove se sreina intervala statističkog obilježja (x m). Primjer: neka je premet statističkog statističkog istraživanja istraživanja priho izražen u hiljaama KM u nekoj fabrici: fabrici: P r i h od ( x )

10-15

15-20

20-25

25-30

i neka se zahtijeva a ovo statističko obilježje prestavimo pomodu klasnih sreina, obijamo: Prihod (xm)

12,5

17,5

22,5

27,5

Raspodjela frekvencija numeričkih podataka Raspodjela Raspodje la fre frekven kvencija  cija  numeričkih podataka je tabelarni prikaz dva niza podataka: vrijednosti promjenljive prikazane grupnim intervalima i njima odgovarajući brojevi jedinica posm osmatr atran anjja (fre (frekv kve encij ncije) e).. Ovako ako prik rikaz azan anii podac odacii su grupisani   podaci . vrijednost Granična    vr

grup upn nog intervala  predstavlja aritmetičku sredinu gornje granice jednog grupnog intervala i donj onje gran anic ice e na nare red dnog nog gru rupn pnog og inte interv rval ala. a.

Širina grupnog intervala = gornja granična vrednost - donja granična vrednost  Sredin Sre dina a gru grupnog pnog interva intervala  la = = ( do donja nja gr gran anic ica  a + + gor gornj nja a gr gran anic ica a)/2

5. Frekvencija podataka •

Apsolutna frekvencija. To je broj (f), koji pokazuje koliko

poataka se onosi na svaku pojeinačnu klasu ispitivanog obilježja (x) statističkog skupa. Ilustracije rai, ako je at statistički skup o (n) elemenata statističkog statističkog obilježja obilježja (x) kao u tabeli: x

x1

x2

x3

...

xn

f

f 1

f 2

f 3

...

fn  

pri čemu su realni brojevi: x: (x 1, x2, x3,... xn) mogude realne vrijenosti elemenata skupa statističkog statističkog obilježja (x); a realni brojevi f: (f 1, 1, f 2, 2, f 3,... 3,... f n) su frekvencije (ili učestalosti) učestalosti) pojavljivanja vrijenosti statističkog obilježja (x) u naveenom skupu, taa kolekciju parova: [(x1,f 1), 1), (x2,f 2), 2), (x3,f 3) 3),...(xn,f n)] nazivamo raspodjelom

(ili rasporeom) apsolutne frekvencije (f) obilježja (x) posmatranog statističkog skupa.

5. Frekvencija podataka •

Zbir (suma) vrijednosti svih apsolutnih frekvencija klasa

ispitivanog obilježja (x) u atoj statističkoj statističkoj seriji (f1, f2, f2 , f3,... fn) označava označava se sa (n) ili ∑f; a matematički se izražava izražava kao: n=∑f=f 1+f 2+f 3,...+fk, gdje je f:(f 1, pojavljivanja klase statističkog statističkog obilježja 1, f 2, 2, f 3,... 3,... f k)=broj pojavljivanja x:(x1, x2, x3,... xk) u statističkoj seriji.

5. Frekvencija podataka Primjer 5.1.: Poaci o nevnoj proaji pakovane pakovane soli, izraženi u kilogramima, prema broju prodajnih centara komercijalnog sektora jednog rudnika soli, koji su prodavali samo po jednu vrestu pakovane pakovane soli, prikazani su u tabeli: Dnevna prodaja (x)

1

2

3

4

5

Broj prodajnih centara (f)

20

15

12

7

6

Zaatak: a) Oreiti sve pojeinačne apsolutne frekvencije za svaki element statističkog obilježja b) Pokaži a zbir apsolutnih frekvencija svih klasa obilježja iznosi 60 prodajnih centara.

Rješenje: a) (x1,f 1)=(1,20); (x2,f 2)=(2,15); (x3,f 3)=(3,12); (x4,f 4)=(4,7); (x5,f 5)=(5,6);

b) n=∑f=f 1+f 2+f 3+f 4+f 5=20+15+12+7+6=60

5. Frekvencija podataka •

Relativna frekvencija. Numerička vrijenost iskazana kao

kao količnik količnik pojeinačnih apsolutnih vrijenosti frekvencija i ukupne sume frekvencija, naziva se relativna frekvencija

istraživanog statističkog obilježja. Označava se malim latiničnim slovom (p) i matematički prestavlja prestavlja kao: p=f/∑f gdje je: p=relativna frekvencija, f=f 1, 1, f 2, 2, f 3,... 3,... f k=pojeinačna apsolutna frekvencija

∑f=n=f 1+f 2+f 3...+fk=suma svih apsolutnih frekvencija, suma svih jeinica mjere istraživanog istraživanog stat. obilježja ∑p=p1+p2+p3...+pk=1

5. Frekvencija podataka •

Primjer: Neka imamo iskontinuirano iskontinuirano statističko statističko obilježje kao na primjeru i ako treba izračunati relativne relativne frekvencije ona saglasno poacima učinidemo kao u tabeli: Prodaja soli (x)

Br. prodajni centara (f)

Relativne frekvenci frekvencije je p=f/∑f 

1

20

0,33

2

15

0,25

3

12

0,20

4

7

0,12

5

6

0,10

Suma (∑)

60

≈1,00

Raspodjela frekvencija frekvencija (30 + 31) 31)/2 /2 = 30 30,5 ,5 Granična vrijednost 1. intervala = (30

Širina 1. intervala = 30,5 – 17 17,5 ,5 = 13 Sredin Sre dina a 1. inte interv rvala  ala = = (18 (18 + 30 30)/ )/2 2 = 24 Donja gornja granica

Frekvencija intervala

Granična vrednost intervala

Širina

intervala

Sredina grupnog intervala

18 - 30

12

17,5 – 30,5

13

24

31 - 43

19

30,5 – 43,5

13

37

44 - 56

14

43,5 - 56,5

13

50

57 - 69

5

56,5 – 69,5

13

63

Raspodela relativnih frekvencija i procentualna raspodela Na osnovu tabele raspojele frekvencija možemo izračunati raspodjelu relativnih frekvecija i procentualnu raspodelu. Frekvencija grupnog intervala Relativna frekvenc frekvencija ija = grupnog intervala  Zbir svih frekvencija  





Procentualno učešće = Relativna frekvencija X 100

5. Frekvencija podataka •

Kumulativna frekvencija. Ako apsolutne ili relativne frekvencije sukcesivno sumiramo po klasama – tada dobijamo novi pokazatelj frekvencije koji zovemo kumulativna frekvencija (apsolutna ili relativna).

•

Postoje vije vrste kumulativa: 1) kumulativ “oozo” i 2) kumulativ “oozgo”. Označava se sa (C), a u ineksu za apsolutnu frekvenciju (Cf ) ili oznaka za relativnu ferkvenciju (Cp)

•

Kumulativ “oozo” pokazuje koliko jeinica statističkog skupa podijeljenog na klase ima vrijednost (x) manju (ili  jednaku) od nekog nekog unaprijed datog broja broja (x).

•

Kumulativ “oozgo” pokazuje koliko jeinica statističkog skupa poijeljenog na klase ima vrijenost (x) vedu (ili  jednaku) od nekog nekog unaprijed datog broja broja (x).

Raspodela kumulativnih frekvencija frekvencija ”manje od” ili “odozdo” Donja gornja granica

Frekve ncija

Granična vrijednost intervala

18 - 30

12

17,5 – 30,5

12

12/50=0,24

31 - 43

19

30,5 – 43,5

12+19=31

31/50=0,62

44 - 56

14

43,5 - 56,5

12+19+14=45

45/50=0,90

57 - 69

5

56,5 – 69,5

12+19+14+5=50

50/50=1,00

Kumulativna frekvencija

Kumulativna relativna frekvencija

Kumulanta Kumulanta   je kriva koja pokazuje raspodjelu kumulativnih frekvencija i dobija se kada spoje tačke koje odgovaraju gornjim (donjim) granicama grupnih intervala i kumulativnim frekvencijama odgovarajućih grupnih intervala.

Moguće  je nacrtati i kumulantu za raspodelu kumulativnih relativnih frekvencija i za kumulativnu procen procentua tualnu lnu ra raspo spodel delu. u.

Kumulanta Kumulanta Kumulanta za z a raspodelu kumulativnih kumulativnih frekvencija   a 60    j    i   c   n 50   e   v    k 40   e   r    f   a 30   n   v    i    t   a 20    l   u   m10   u    K 0 17,5

3 0, 5

43 , 5

56,5

Starost radnika u godinama

69,5

Granična vrijednos  intervala 

Kumulanta za kumulativnu procentnu raspodelu 120 100

  a   a   n   j 80   v   i    i   c    t   n   a   e 60    l   u  v    k   m   e   u   f   r 40    K 20 0 17,5

30,5

43,5

56,5

Starost radnika u godinama

69,5

5. Frekvencija podataka •

Primjer: Neka sa za zaato kontinuirano kontinuirano obilježje o obiti  jenog preuzeda preuzeda izraženo izraženo u hiljaama KM, prema broju broju pogona traži: a) kumulativ “oozo” “oozo” za broj pogona i apsolutne frekvencije broja pogona; b) kumulativ “oozgo” “oozgo” za broj pogona i relativne frekvencije broja pogona

Dobit (x)

Broj pogona (f)

Relativne ferkv fe rkvenc encije ije (p)

Kumul. apsol. frekvencije

Kumul. relat. frekvencije

“odozdo” Cf 

“odozdo” Cp

10-20

20

0,20

20

0,20

20-30

10

0,10

30

0,30

30-40

40

0,40

70

0,70

40-50

30

0,30

100

1,00

Suma (∑)

100

1,00

5. Frekvencija podataka •

Primjer: Neka sa za zaato kontinuirano kontinuirano obilježje o obiti  jenog preuzeda preuzeda izraženo izraženo u hiljaama KM, prema broju broju pogona traži: a) kumulativ “oozgo” “oozgo” za broj pogona i apsolutne frekvencije broja pogona; b) kumulativ “oozgo” “oozgo” za broj pogona i relativne frekvencije broja pogona

Dobit (x)

Broj pogona (f)

Relativne ferkv fe rkvenc encije ije (p)

Kumul. apsol. frekvencije

Kumul. relat. frekvencije

“odozgo” Cf 

“odozgo” Cp

10-20

20

0,20

100

1,00

20-30

10

0,10

80

0,80

30-40

40

0,40

70

0,70

40-50

30

0,30

30

0,30

Suma (∑)

100

1,00

6. Grafičke metoe prezentovanja distribucije frekvencija •

•

Grafikon se konstruiše u vije imenzije koorinatnog sistema, tako tako što se na apscisnoj osi nanosi vrijenost klasa statističkog statističkog obilježja, obilježja, a na orinatnoj osi se nanose ogovarajude ogovarajude frekvencije. Načini grafičkog grafičkog prikazivanja istribucija frekvencija u koordinatnom koordinatnom sistemu: a) histogram histogram i b) poligon

•

apsolutnih ili Histogram je grafički prikaz raspojele apsolutnih relativnih frekvencija za kontinuirano statističko obilježje na način a konstruišemo konstruišemo pravougaonike pravougaonike sa visinama jenakim frkvencijama.

Grafičko prikazivanje grupisanih podataka Histogram  se koristi za grafičko prikaziva ivanje raspodjele frekvencija, raspodjele relativnih frekvencija i procentualne raspodjele. Histogram   je dijagram koji se sastoji od niza spojenih pravougaonika čije su osnovice grupni intervali naneti na  x-osu, a visine su frekvencije grupnog intervala (ili relativne frek fr ekve venc ncij ije e ili pr proc ocen entu tual alna na učešća) nanete na y-osu.

HISTOGRAM



Grafičko prikazivanje grupisanih podataka Histogram frekven fr ekvencij cija a 20

  a    j    i 15   c   n   e 10   v    k   e   r 5    F 0 18 - 30

31-43 1

44-56

Starosni intervali

57-69



Grafičko prikazivanje grupisanih podataka Histogram relativnih frekvencija 0.4    e    j    i 0.35    c    n 0.3    e    v    k 0.25    e    r    f 0.2    e    n 0.15    v    i    t 0.1    a    l    e    R0.05

0 18-30

1

31-43 44-56 Starosni intervali

57-69

HISTOGRAM



Grafičko prikazivanje grupisanih podataka Histogram Histogram učešća 40% 35% 30%      e 25%       ć       š      e 20%       č       U15%

10% 5% 0%

18-30

1

31-43 44-56 Starosni intervali

57-69

Oblici histograma

Histogram može biti: 1.

Simetričan

2. Asimetričan 3.

Uniformni ili pravougaoni.

Oblici histograma Simetričan histogram 35

30

25

  a    j    i   c20   n   e   v    k15   e   r    F 10

5

0 1

Promenljiva

Oblici histograma Simetričan histogram 9 8 7   a    j    i 6   c   n 5   e   v    k 4   e   r    F 3 2 1 0

1

Promenljiva

Oblici histograma Histogram Histogram asimetričan ulevo 35 30      a25       j       i      c      n20      e      v       k15      e      r       F10

5 0 1

Promenljiva

Oblici histograma Histogram Histogram asimetričan udesno 12 10   a    j    i 8   c   n   e 6   v    k   e   r 4    F

2 0

1

Promenljiva

Oblici histograma Uniformni (pravougaoni) histogram 12 10   a    j    i 8   c   n   e 6   v    k   e   r    F 4

2 0

1

Promenljiva

Deskriptivna statistika grafičke metode - his histo togr gram am

Definicija:  Frekvencija   je broj   Frekvencija  f   f i neke određene vrijednosti  xi obeležja X  je pojavljivanja te vrijednosti u posmatranom skupu podataka.

Neuređeni statistički skup 11 16

9 10

15 17 10 20 10 16 11 14 11 17 11 12 17 12 10 16 15 12 13 16

14 17 14 15 14

4

7 14

15 17 15 10 15 18 15 16 15

9 13 16

11 18 11

6

raspodjela frekvencija

 xi

 f i

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 0 1 1 0 2 5 6 3 2 5 8 6 5 2 0 1

Deskriptivna statistika grafičke metode met ode - hist histogr ogram am

Definicija:  Relativna   Relativna frekvencija  f ri neke vrednosti  xi obeležja  X  je  je frekvencija frekvencija  f i podeljena sa ukupnim brojem podataka  N .  xi

 f i

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 0 1 1 0 2 5 6 3 2 5 8 6 5 2 0 1

 N  

  f  i svi i

 N = 48

 f  ri 

 f  i  N 

 x i 

f ri 

f ri (%)

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.021 0 0.021 0.021 0 0.042 0.104 0.125 0.063 0.042 0.104 0.167 0.125 0.104 0.042 0 0.021

2.1 0 2.1 2.1 0 4.2 10.4 12.5 6.3 4.2 10.4 16.7 12.5 10.4 4.2 0 2.1

Empirijska raspodjela histogram

Crtanje histograma (za diskretnu raspodjelu): 1. odrediti frekvencije ili relativne frekvencije 2.

na apscisi označiti moguće vrijednosti obilježja X 

3.

nacrtati pravougaonik visine f i ili f ri koja je data na ordinati

9 8 7 6 5        f  i 4 3 2 1

6. Grafičke metoe prezentovanja distribucije frekvencija •

Poligon je takva grafička grafička slika slika istribucije istribucije frekvencija gje gje na

horizontalnu horizontalnu apcisnu osu nanosimo aritmetičku sreinu donje i gornje granice intervalnih grupa kontinuiranog

statističkog statističkog obilježja, obilježja, a na vartikalnu osu frekvencije, tačke tačke spajamo užima u izlomljenu liniju.

POLIGON

Grafičko prikazivanje grupisanih podataka Poligon  je dijagram koji se dobija spajanjem tačaka čije su Poligon  je koordinate sredine grupnih intervala na  x-osi i frekvencije inte interv rval ala a na y-osi. Kada je reč o dugačkoj seriji podataka i sa povećanjem broja grupnih intervala, a smanjenjem njihove širine poligon frek fr ekve venc ncij ija a post postaj aje e glat glatka ka kriv kriva. a. Ova kriva se naziva kriva raspodele frekvencija . Poligon u kojem se na  y-osi nala lazze rela lattivne frekvencije naziva se  poligon relativnih frekvencija , a poligon sa učešćima če    šća  š  ća . prik pr ikaz azan anim im na y-osi naziva se poligon u č  e

POLIGON

Grafičko prikazivanje grupisanih podataka Poligon frekvencija 20 18 16   a    j    i14   c 12   n   e 10   v    k 8   e   r    F6 4 2 0

0

1 8 - 30

3 1 - 43

44 - 56

Starosni intervali

57 - 69

71-

Primjer  •

Neka je zaata slučajna neprekina promjenjiva kao što slijedi:

1.

X

f 

2-4

3

4-6

2

6-8

1

8-10

5

Suma (∑)

11

Odr Odredit editii relat elativ ivnu nu frek frekv venci enciju ju p

Oreiti kumulativnu frekvenciju “oozo” Cf  3. Oreiti kumulativnu frekvenciju “oozgo” C f 4. Načiniti histogram histogram 5. Načiniti poligon 2.

Rješenje Srednja vrijednost intervala (xn)

(f)

Relativne ferkvencije

Kumul. apsol. frekvencije

Kumul. apsol. frekvencije

(p=f/∑f)

“odozdo” Cf 

“odozgo” Cp

3

3

3/11

3

11

5

2

2/11

5

8

7

1

1/11

6

6

9

5

5/11

11

5

Suma (∑)

11

1,00