PENYEDERHANAAN DIAGRAM BLOK
Dalam Dala m penyederhanaa penyederha naan n diagra diagra m blok sangat penting pent ing untuk diperhatika diper hatikan, n, sebab blok blo k blok hanya dapat dihubungkan secara seri jika keluaran sutu blok tidak dipengaruhi oleh blok-blok berikutnya. berikutnya. Tetapi apabila ada pengaruh pembebanan antar komponen maka, perlu dilakukan penggabungan dari bebrapa komponen menjadi satu blok/kotak saja. Untuk diagram blok yang yang melibatkan bebrapa loop berumpan balik maju, maka selangkah demi selang kah dari komponnen-konponennya komponnen-konponennya perlu per lu diperhatikan, dalam penyederhanaan diagram blok/kotak : 1. Hasil kali fungsi alih (transfer function )pada arah umpan maju harus tetap sama. 2. Hasil kali fungsi alih pada pengelilingan loop harus tetap sama.
Suatu bentuk aturan umum untuk menyederhanakan diagram blok adalah memindahkan titik cabang dan titik penjumlashan, lalu kemudian menyerhanakan umpan balik didalamnya. Contoh Soal : Carilah fungsi alih ( Transfer function ) dari suatu system yang terdiri dari bentuk gambar diagram blok/kotak blok/kotak system tertutu p sbb:
R(s)
E(s)
G(s
F(s)
A(s)
C(s)
-
+
H(s)
C ( s ) E ( s )
!
G ( s)
!
G p ( s) A( s) F ( s )
E ( s )
!
R( s ) B ( s )
C ( s )
!
G ( s ) v E ( s )
B ( s )
!
H ( s ) v C ( s )
C ( s) G ( s )
@
! E ( s ) ! R ( s) B ( s) ! R ( s ) H ( s) v C ( s )
C ( s ) G ( s)
! R ( s ) H ( s) v C ( s ) p R ( s )
Inputmenyatakanbahwa :
« 1
» H ( s)¼ v C ( s) - G ( s ) ½
R ( s) ! ¬
R(s) = Input Frekuensi C(s) = Sinyal Output G(s) = sebagai pengontrol H(s) = TF. dari Feedback element E(s) = Error sinyal A(s) = TF. dari amplifier F(s) = TF. dari filter B(s) = Sinyal feedback
...
@ maka
C ( s) R( s)
!
G ( s)
1 G( s) v H ( s)
.....terbukti
DASAR SISTEM REDUKSI DIAGRAM BLOK-KOTAK
1. Bentuk dari Elemen bertinggkat : Hasil Reduksi
Diagram asal R(s)
G2(s)
G1(s)
C(s)
R(s)
C(s)
G1(s) xG2(s)
2. Penambahan dan pengurangan G1(s)
R(s)
+
C(s) +/-
R(s)
C(s)
G1(s) +/-G2(s)
G2(s)
R(s)
3. Percabangan
C (s )
G (s
R (s )
R (s )
-
-
G (s
C (s ) 1/G 1/ G (s )
B(s)
B(s)
4. Starting Point C (s )
R (s ) G (s +
R (s )
G (s
-
C (s ) -
B(s)
R (s )
5. Sistem Loop
+
G (s
( )
E( )
( ) G(
G ( s )
R( )
( )
1
G ( s )
v
( )
H ( s )
H( )
C
t
Soal Soa l :
Ri asl as lah di diagram bl blok di di bawah bawah kedal keda lam unt untai terbuka dan tent entukan fungsi fungs i alih lih dar i syst system, apabil apabilaa R s) sebagai sebaga i input nput dan C s) sebagai sebagai out out put put Ker jakan jakan dengan cara sel selangkah demi demi sel selangkah ( St Step by st step ) ( ) ( ) (( ))
( )
R( )
3( )
( )
/
( )
( ) ( ) (( ))
( )
R( )
3( )
( )
( )/ ( ) ( )
R( )
R( )
( ) ( )
( ) ( ) 3( )
( )
( ) ( ) 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3( ) ( ) ( ) ( )
( )
C ( s ) R ( s)
!
G
1( s ) G 2 ( s ) G3( s )
1
H 1( s ) G1( s ) G2 ( s )
G
C s @
R s
!
H
s
G
R(s)
s
s
v
H 1( s ) G1( s ) G 2 ( s )
H
2 ( s ) G2 ( s ) G3 ( s )
vG
G
1
s
s
vG
H
1 v
H 1( s ) G1( s ) G 2 ( s )
s
s
G
s
G
s
G1(s)xG2(s)xG3(s) 1+H1(s)xG1(s)xG2(s) + H2(s)xG2(s)xG3(s)
C(s)
Contoh Soal : Ringkaslah diagram blok dibawah kedalam untai terbuka dan tentukan fungsi alih dari system, apabila R (s) (s) sebagai input dan C(s) sebagai output. Kerjakan dengan cara selangkah demi selangkah ( Step by step ) H2(s) R(s)
C(s)
-
+
G2(s)
G1(s)
G3(s)
+
-
+
-
H1(s)
H3(s)
Contoh Soal : Ringkaslah diagram blok dibawah kedalam untai terbuka dan tentukan fungsi alih dari system, apabila R (s) (s) sebagai input dan C(s) sebagai output. Kerjakan dengan cara selangkah demi selangkah ( Step by step ) H3(s) R(s)
+ -
-
G1(s)
G2(s)
+
+
G3(s)
G4(s C(s)
-
H1(s)
H2(s)
Contoh Soal : Ringkaslah diagram blok dibawah kedalam untai terbuka dan tentukan fungsi alih dari system, apabila R (s) (s) sebagai input dan C(s) sebagai output. Kerjakan dengan cara selangkah demi selangkah ( Step by step )
H2( ) R( ) G2( )
G1( )
G3( )
( )
H1( ) H1( )
DIAGRAM ALIRAN SINYAL
Dalam penggambaran (Representasi) diagram kotak atau blok adalah ³Sangat Baik´ dalam menimbulkan suatu system control, dapat juga sebagai pengganti metode ini yaitu Dagram Aliran Sinyal atau dapat juga disebut Grafik Aliran Sinyal Adapun yang disebut grafik aliran sinyal adalah suatu pernyataan gambar dari persamaan-persamaan persamaan-persamaan serempak serempak
yang menguraikan sebuah system secara grafis
memperagakan suatu bentuk transmisi isyarat melalui system seperti yang dilakukan pada diagram diagra m Blok. Tetapi Grafik ini lebih mudah digambarkan digambar kan atau lebih mudah dimanipulasi daripada diagram blok atau kotak. Maka untuk diagram aliran sinyal pada system control dikonstruksi pemakaian Gain, sehingga akanm menghasilkan semua transfer function. Suatu diagram aliran sinyal pada sebuah system adalah merupakan jaringan yang terdiri dari titik hubung yang disebut dengan ³Node´(simpul) dan ruas garis lurus yang disebut dengan ³Cabang´. Simpul-simpul itu dihubungkan oleh cabang yang arahnya telah ditentukan.
Contoh: Suatu bentuk sederhana dari dari grafik aliran sinyal Cabang
Xj Jadi
Aij Xi = Aij . Xj
Xi
Var iabl able- var iabl able
Xi
dan X j dapat dapat merupakan fungsi fungs i-fungsi -fungs i dar i wak tu, frekuensi frekuens i
kompl komplek at atau sembarang besaran lainnya, dapat dapat juga juga keduanya merupakan tetapantetapan var iabl able dal dalam penger tian tian mat mat emati ematis. s. Sedangkan Aij Aij adal ada lah merupakan sebuah operat opera tor mat ma temati ematik k yang mel meletakkan X j ke dal dalam
Xi,
dan hal ha l tersebut ersebut merupakan bent bentuk dar i ³Fungsi ³Fungs i transmi ransmisi
Adapun konst konstruksi ruksi diagram ali a liran ran si sinyal nyal meli meli puti puti urut urutan penyebab-penyebab penyebab-penyebab dan pengarah dar i hubungannya. Misa Misallkan: kan: Bent entuk dar i diagram ali aliran ran si sinyal nyal C(s) = G(s) . R (s) (s) Maka di diagram ali a liran ran si sinyal nyalnya adal ada lah Node
Biasanya Biasanya : C(s), G(s),
Cabang
Node
R G C R (s) dapat ditu itulis lis dengan cara menghil mengh ilangkan angkan tanda (s) (s) dapat
Sehi Sehingga dapat dapat ditu itulis lis C, G dan R sa ja ja Cont ontoh : Tin jau jau bent bentuk persamaan di di bawah bawah ini dar i sekumpul sekumpulan Error persamaan dan transfer fungti fungtion on (TF) a). X1 = R ± R ± H1 . X3 b). X2 = G1 . X1 ± H2 . C c). X3 = G2 . X2 d). C = G3 . X3 Dimana, X1, X2, X3 adal adalah merupakan node konst kons truksi ruks i diagram, maka di diagram ali a liran ran sinyal nyalnya adal ada lah: ah: tidak ada hubungan dengan yang lain X2 tidak
1
X2
X1
X3
R
C - H1
1
G1
X1
X2
C
X3
R
-H 2 -H1
1 R
X2
X1
G2
X3
C
-H1
1
X
G1
X2
G3
G2
C
1 C
R X3
-H 2
Ket Keterrangan: errangan: Persamaan a). Di Dinyat nyatakan bahwa si sinyal nyal X1 tergant ergantung at atas si sinyal nyal R dan R dan X3, Si Sinyal nyal X3 adal adalah di dikali kalikan kan dengan Gai Ga in -H1 yang masuk kedal keda lam node Gai Gain -H1 adal ada lah di dinyat nyatakan pada cabang
X3
X1
ke X1
Unt Untuk ti uk tiga ga (3) persamaa yang lain dapat dapat diterangakan iterangakan seper ti ti diatas, Sehi Sehingga unt untuk memudahkan penggambaran ali a liran ran si sinyal nyal k ita ita tetapkan menurut menurut dasar-dasar sebagai sebaga i ber ikut: kut: 1. Simpul mpul -si -simpul mpul (node) di direpresent represen tasi asikan/ kan/digambarkan sebagai sebaga i var iabl able di disistem dan di disusun menurut menuru t rangkai rangkaian [penyebab effect effec t dar i syst system. 2.
Sepan jang jang per ja jalanan si sinyal nyal pada cabang dit diten enttukan arahnya
3.
Sinyal nyal yang di dik ir im sepan jang jang cabang di dikali kalikan kan dengan gai ga in dar i cabang itu itu
4. Banyaknya var iabl able yang di dikemukakan ol oleh suat suatu node/ node/simpul mpul adal ada lah sama dengan j dengan jum umllah si s inyal nyal yang masuk 5. Banyaknya var iabl able yang di dikemukakan ol oleh suat suatu node dit ditransm ransmiisikan at atau dik ir im pada semua cabang meni men inggal nggalkan si s impul mpul
6. Jal Jalan ma ju ju adal ada lah j ah jaalan node input nput ke node out out put put tanpa mel melalui node yang lain 7. Jal Jalan feedback t feedback tak menyi menyinggung at atau loop yang tidak tidak mempunyai mempunya i node bersama 8. Jal Jalan feedback adal ada lah permul permulaan j aan jaalan dan ahk ir ja jalan dal da lam node yang sama 9. Gai Gain dar i suat suatu ja jalan adal ada lah sama dengan hasil has il dar i semua gai ga in pada j pada jaalan itu. itu.
Tin jau jaullah bent bentuk persamaan sebaga i ber ikut: kut: = a1.2 . X1 + a3.2 .X3 + a4.2 .X4+ a5.2 . X5 X3 = a23 .X2 X4 = a34 . X3+ a44 . X4 X5 = a35 . X3 + a45. X4 X2
Dimana
adal ada lah sebagai sebaga i input nput sinyal nyal adalah sebagai sebaga i out out puy puy si sinyal nyal X2 adal X1
RUMUS PE PE
UAT UATAN MASSON¶S
Adapun unt untuk menent menentukan hubungan ant an tara var iabl able masukkan dan var i var iabl able kel keluaran dal dalam graf ik ali aliran ran si sinyal nyal, maka ³R ³ R umus umus Penguat Penguatan Masson¶s´ dapat dapa t di[pergunakan, tis. Di sebab dapat dapa t di pakai pakai dal dalam penyel penyelesai esaian bent bentuk-bent uk-bentuk kasus prak tis. Dimana transmi ransmisi ant antara si simpul mpul masukkan dan si s impul mpul kel keluaran adal ada lah merupakan merupaka n penguat penguatan kesel keseluruhan, atau transmi ransmisi kesel keseluruhan ant antara dua buag si s impul mpul.
P
!
7
k
P k
.(
k
!
(
1
7
(
k
. P k . (
Dimana : P = Semua gai ga in, bi biasanya dit ditu ulis lis C(s)/R (s)/R (s) (s) Pk = Penguat Penguatan at atau transmi ransmisi lin lintasan ma ju ju ke ³k´ ¨ = Det Det ermi erminan graf ik
( ! 1 § Li i
§ L
i
i , j
L j § Li L j L p i , j , p
k
Jumlah dar i semua penguat pengua tan loop yang berbeda § L ! Juml Jumlah hasil has il kali kali penguat penguatan dar i semua, kombi kombinasi nas i yang mungk in dar i dua § L L ! Juml i
i
i
j
i , j
loop yang tidak tidak bersent bersentuhan. Jumlah hasil has il kali kali penguat penguatan dar i semua kombi kombinasi nasi yang mungk in dar i Li L j L p ! Juml
§
i , j , p
tiga tiga loop yang tidak tidak bersent bersentuhan. ¨k = Kofact Kofactor dar i det determi erminan lin lintasan ma ju ju ke ³k´ dengan menghil mengh ilangkan angkan loop-l oop-loop yang menyent menyentuh lin lintasan ma ju ju ke ³k´ Contoh :
Tin jau jaullah syst system pada gambar di d iagram bl blok seper ti ti di bawah, bawah, car i fungsi fungs i alih lih loop ter tutup C(s)/R (s)/R (s). (s). Sel Selesai esaikan dengan rumus penguat pengua tan Masso¶n H2 ( )
R( )
X1
X2
G1( )
-
+
C(
X4
X3
)
G3( )
G G2(( ))
-
H 1( )
Penyel Penyelesai esaian: an:
H2( ) R( )
X1
X2
X4
X3
G G2( ( ) )
G 1( )
( ) G3( )
H 1( )
H2
X1
1
X2
G1
G2
X4
1
G3
R( )
( ) X3
C
H1
- 1
Juml Jumlah Loop : 3
lintasan ma ju ju # Ada sat satu lin
K=1 L1 = G1. G2 . H1 L2 = - G2 . G3 . H2 L3 = - G1 . G2 . G3
P1 = G1 . G2 . G3 P !
« P k ( k » ¬- ( ¼½ k !1
# ¨ = 1 ± ( L1 + L2 + L3 ) = 1 - G1. G2 . H1 + G2 . G3 . H2 + G1 . G2 . G3 Maka kofaktor (¨1) dari determinan lintasan maju yang menghubungkan simpul masukkan dan keluaran diperoleh dengan menghilangkan menghila ngkan loop-loop yang menyentuh lintasan, karena ³P1´ menyentuh semu loop maka ( ¨1= 1 )
@. P
P 1
C ( s )
G1 G2 G3
1
1 G1 G2 H 1 G2 G3 H 2 G1 G2 G3
R ( s )
# Untuk mencari Loop Yang tidak berhubungan adalah:
H R
+
X1
X2
C
X4
X3
G
G
G3
+
X5
+
H
H3
H
X1
G1
X3
G2
G3
X4
C
R X2
-
Jumlah
Loop : 3
H
-
H3
# Ada satu lintasan maju
K=1 L1 = - G1. H1 L2 = - G2 . H2 L3 = - G3 . H3
P1 = G1 . G2 . G3
« !¬ -
k
( k » ( ¼½ k !1
# ¨ = 1 ± ( L1 + L2 + L3 ) + (L 1 x L3 ) = 1 ± (G1.H1 + G2 .H2 + G3.H3) + (G1. G3.H1.H3) Maka kofak tor (¨1 ) dar i det determi erminan lin lintasan ma ju ju yang menghubungkan s impul mpul masukkan dan kel keluaran di di perol peroleh dengan menghil menghilangkan angkan loop-l oop-loop yang menyent menyen tuh lin lintasan, karena ³P1´ menyent menyentuh semua loop maka ( ¨1= 1 )
@ . P !
C ( s )
!
R ( s )
1
(1
!
(
G1 G 2 G3
1 (G1 H 1 G 2 H 2 G3 H 3 ) (G1 G3 H 1 H 3 )
K ESTAB LAN
Kest Kestabil abilan an suat suatu syst system diten itenttukan ol oleh input nputnya. Adapun syst sys tem yang st stabil abil adal ada lah syst system yang tetap dal da lam keadaan di diam bila ila tidak tidak di dirangsang ol oleh sumber dar i luar. Maka unt untuk menget mengetahui ahui kest kestabil abilan an pada suat sua tu syst system di per per lukan suat suatu syarat syarat agar syst system man jad jadii stabil abil dengan cara ant antara lain:
Stabilitas R outh-Hurwitz outh-Hurwitz
Dal Dalam hal ha l ini member ikan j kan jaawaban aawaban at atas pearsoal pearsoa lan st stabilit abilitas as dengan j dengan jaalan meni menin jau jau persamaan karak ter istik tik syst syst em yang di dimaksud. Adapun persamaan ini adal ada lah besaran Lapl Laplace, dit ditu ulis lis dal da lam bent bentuk persamaan karak ter istik. tik.
(( s) ! q( s) ! an .S n an1.S n1 ....... a1.S a0 ! 0 Dengan kat kata lain, unt untuk persamaan tingka tingkatt (dera jad) jad) ³n´ akan di d i perol peroleh : q(s) = a n. Sn-an ( Juml Jumlah sel seluruh akar ) S n-1
n-2
+ an ( Jumlah hasil kali 2 akar ) S n-3 - an ( Jumlah perkalian 3 akar ) S +««+ an ( perkalian seluruh akar ) Tolok ukur Routh-H Routh- Hurwitz adalah syarat yang perlu dan cukup untuk mendapatkan stabilitas dari system linear. Adapun cara lainnya dikembangkan dengan menggunakan Determina, tetapi dapat menggunakan persamaan deret yang lebih mudah dan paraktis. Maka didalam penyesunan dan menderetkan koefisien persamaan karakteristik didasari bentuk persamaan sebagai berikut: n
a n .S
n 1
an1.S
....... a1.S a0
0
!
Dimana an,«««a0, merupakan bilangan konstan dan nyata, kemudian dari persamaan diatas dibuat bentuk deret Routh, kemudian dari kedua lajur teratas saja yang ditentukan langsung.
Bentuk Deret routh
2
an
an2
a n4
a n6
n1
a n 1
an3
a n5
a n7
n 2
b1
b2
b3
n3
C 1
C 2
C 3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
S S S S
1
S
0
S
dapat dihitung sampai S pangkat nol, 0«..1 maka koefisiennya didapat
b1 !
b2 !
C 1 !
C 2 !
a n 1 .a n 2
a n .a n 3
a n 1 a n 1 .a n 4
a n .a n 5
a n 1 b1 .a n 3
a n 1 .b 2
b1 b1 .a n 5
a n 1 .b3
b1
Contoh : 1. Suatu persamaan persamaan karakteristik apakah menyatakan system yang stabil ? 3 2 q(s)= S + 4 S + 8S + 12 = 0
Penyelesaian : S S
x 2
x 2
2
S S
x 2 x
!
!
2 6
!
!
2
Karena tidak ada perubahan tanda dalam dalam kolom pertam a, maka system system tersebut Stabil Stabil
2
Contoh : 2 S 4
q( s)
2S 3
11S 2
18S 18
S 4
1
11
18
S 3
2
18
0
S 2
2
18
0
0
S
0
1
S 0
.... p tidak ...tentu
g
untuk ..menentukan..koefisient ...S ' ,.dianbil persamaan...S 2 2 2S 18 ! 0.... p kemudian..didefinisikan..1 v 2
maka......4 S 0,.diambil ..untuk ... persamaan...S S
2
2
18
1
4
0
0
18
S S
Jadi
tidak ada perubahan p erubahan tanda tanda pada kolom kol om Pertama, maka system stabil.
Contoh Soal : Ringkaslah diagram blok dibawah kedalam untai terbuka dan tentukan fungsi alih dari system, apabila R (s) (s) sebagai input dan C(s) sebagai output. Kerjakan dengan cara selangkah demi selangkah ( Step by step ) 2( )
( ) G2( )
G1( )
G3( )
( )
1(
1(
) )
G 4(s)
R(s)
+
+
G2(s)
G1(s)
-
+
+
G3(s)
C(s)
+
H1(s) H 2(s)
R(s)
+
+
G2(s)
G1(s)
-
G 3(s) + G 4(s)
C(s)
+
H1(s) H 2(s)
R(s)
G 1(s) x G 2(s)
+
G3(s) + G 4(s)
1- H1(s)x(G 1(s) x G2(s))
-
C (s)
H2(s)
G1( s ) .G2( s ) G3( s ) ( s )
!
( s )
G4( s )
G1( s ) .G2( s ) G3( s )
1 H 1( s ) .G1( s ) .G2( s )
« G1( s) .G ( s) .G ( s) G4( s) » 1 H ( s ) .¬ ¼ -¬ 1 H 1( s) .G1( s) .G ( s ) ½¼ 2
!
3
2
C ( s) R ( s )
R(s)
Soal Soal :
!
G
1( s )
1
H s 1( )
G1( s ) G
2 ( s )
G
2 ( s )
G4( s )
1 H 1( s ) .G1( s ) .G2( s ) 1 H 1( s ) .G1( s ) .G2( s ) 1 H 1( s ) .G1( s ) .G2( s )
2
v G
H
1( s )
2 ( s )
H 2( s )
G1( s ) .G2( s ) G3( s)
2 ( s )
v G
G1(s)xG2(s)x(G3(s)+G3(s)) 1- H1(s)xG1(s)xG2(s) + H2(s)xG2(s)xG3(s)
3 ( s )
G4( s )
1 H 1( s ) .G1( s ) .G2( s )
G 4( s )
G1( s ) G
G 4 ( s )
C(s)
Ringkaslah diagram blok dibawah kedalam untai terbuka dan tentukan fungsi alih dari system, apabila R (s) (s) sebagai input dan C(s) sebagai output. Kerjakan dengan cara selangkah demi selangkah ( Step by step ) G3( ) G2G( ( ) )
G1( )
( )
G4(
( )
-
-
1( )
2( ) G G
( )
3( )
G 2G ( )( )
1( )
G
4( )
( )
-
-
1( )
2( )
G
( )
G
1( )
2( )
G
3( )
G
4( )
( )
G
4( )
( )
-
-
1( )
2( )
R
+
G
( )
G
1( )
-
G 3( ) G2( ) +G3( +G3( ( ( G2(
2( )
1+H1( 1+H1( )
H G 1(s) 1+H G
( ) 1+H
G C ( s ) R( s )
!
( s )
.G
( s )
G
H ( s )
.(G
G
.G
H ( s )
( s )
2(s)
( s )
H ( s )
(G
(G
G
2( )
(G 2(s) +G 3(s) ) (G 2(s) +G 3(s) ) 1(s) XG 4(s) x(G 2(s) +G 3(s )) 1+H 1(s) (G 2(s) +G 3(s )) 1(s)
( s )
C(s)
G
)
( s ) G ( s ) ( s )
)
4(s) x X G 4(s)x
( s ) G ( s ) ( s )
)
G
( s )
)
)
!
( s )
.G
( s )
H ( s ) H ( s )
.(G ( s )
( s )
)
H ( s )
.(G
( s ) G ( s )
)
G
G
.(G
( s ) G ( s ) ( s ) G ( s )
G H ( s )
( s )
)
.G
G
( s ) G ( s )
.(G
( s )
( s )
H ( s )
.G
( s )
)
?(G ( s) G ( s) ) vG1( s) .G4( s) Av?1 H 1( s) .(G ( s) G ( s) A ! R( s) ?1 H 1( s) .(G ( s) G ( s) )A.?1 H 1( s) .(G ( s) G ( s) )A H ( ) .G1( s) .G4( s0.(G ( s) G ( s) ) C ( s)
2
2
R (s) (s)
2
3
2
2
G1( s ) .G 4 ( s ) .( G 2 ( s )
.1 H 1( S ) (G 2 ( S )
3
3
2 S
2
G 3( s ) )
G 3( s ) ) H 2 ( S ) .G1( s ) .G 4 ( s 0 .( G 2 ( s )
G 3 ( s ) )
3
C(s)
