Matemática I Prof. Walter Tadeu Nogueira da Silveira Determinantes e Sistemas – Exercícios – Data: 26/9/2017 - GABARITO Parte I: Determinantes
2
22
3
5
1
1. O valor de 1
a)
1
5 2
b)
2
2
é:
2
c)
6
10 10
d)
6
e)
2 2
5
2
3
2
Solução. Desenvolvendo e simplificando, temos:
2
1
1
22
3
5. 2
5
1
2. O conjunto solução de
a) {x R | x
1 2
3.2 1
x
1
1
1
1
x
1
1}
5 2
3. 2
1
1
x
1
5 3. 2. 2
5 3.2
2
2
1
2
1 2
.
2
2
1 2
.
é:
b) {0, 1}
c) {1}
d) {-1}
e) {0} e) {0}
Solução. Calculando os determinantes e resolvendo a equação, observando que o denominador não pode ser nulo, temos:
1
x
1 1 1 1
1 1 x
1
1 x 1 x (1 x) 2 1 x 1 2 x x 2 1 x 0 x 2 x 0 x.( x 1) 0 1 x
1
x
.
x 0 S {0} 1 min mi n x anula o deno ador log 2 (1 i) para i j 3. Seja M a matriz (mij)2x2 definida por m . O determinante de A é: i j para i j ij 2i para i j a) -6
b) 0
c) 4
d) 6
e) 8 – 2 . log23
Solução. Identificando os elementos da matriz, temos: i)
a11 1 1 2; a21 2.2 2;
a12
log 2 (1 1) log 2 2 1
a22
22 4
a 2 1 b 4. Se ,A= 3 y x 4 a) 8
2 1 2 1 M M (2).(4) (2).(1) 8 2 6 . 2 4 2 4
a b t x y e B = A , então det(A.B) vale:
b) 4
c) 2
d) –2
e) – 4
Solução. Identificando as matrizes e aplicando o Teorema de Binnet, temos:
a 1 b 2 A 1 2 A 4 6 2 a 2 1 b 3 4 det( A. B) det A. det B (2).(2) 4 . 3 y x 4 x 3 t y 4 B A A 2 Avenida Alberto Torres, 821, 2° e 3° andares, Alto –Teresópolis 1
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5. Sendo x 0 e y, respectivamente, os determinantes das matrizes a) 36
b) 12
c) – 6
a c
2a d 3b b
e
d) –12
2c
, então 3d
y
vale:
x
e) – 36
Solução. Utilizando a propriedade do determinante, temos:
a b x c d y 6 x 6 . x x a c a c a c a c 2 2 y (2). (2).(3). (2).(3).(1). 6. x 3 b 3 d 3 b 3 d b d b d 1
2
1
6. O conjunto verdade da equação 0
1
x
1
x
1
a) {1}
b) {-1}
= 1 é:
c) {1, -1}
d) IR
e)
Solução. Utilizando Laplace na primeira coluna, temos:
1
2
i) 0 1
x
1 x ii) x 2
1
1. 1 x 2
0 1.(2 x 1) 1 x 2
2 x 1 x 2
2 x
.
1
2 x 1 x 2
x
7. A equação
x
4
0
2 x 1 0 ( x 1) 2 0
1
1
3 = 0:
1
1
0 x 1 (dupla) S {1}
a) só admite uma solução real e ela é menor que – 3. c) só admite a solução nula.
b) só admite uma solução real e ela é maior que 1.
d) admite duas soluções reais.
e) não admite soluções reais.
Solução. Estabelecendo as restrições e utilizando Laplace na primeira linha, temos:
i)
x
0 1
x 4
1 3
0
x
x 4
2.
x . 1 3 0 1.
4 0
2.
x
x 4
.
1 1
ii) 2. x
x 4 0
x
8. A solução real da equação
a) m < - 2
x
x 4 2. x 2
1
2
x
1
x
3
x
3
x
2
x
4 2 x x 4 1
= 0 é um número m tal que:
1
b) – 2 < m < 0
c) 0 < m < 1
d) 1 < m < 2
e) m > 2
Solução. Utilizando Laplace na primeira linha, temos:
1 2
x
1
x
3
x
3
x
x
x
3
x
2
(
o x
1).( x 2
x
9) 2.( x 1 3 x) x.(3 x 2 ) 0 .
1
9 x x 2
x
9 4 x 2 3 x x 3
0 3 x 7 x
7 3
m
7 3
2
Avenida Alberto Torres, 821, 2° e 3° andares, Alto –Teresópolis 2
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Matemática I Prof. Walter Tadeu Nogueira da Silveira 9. O valor de um determinante é 42. Se dividirmos a primeira coluna por 7 e multiplicarmos a primeira coluna por 3, o valor do novo determinante será: a) 2
b) 14
c) 18
d) 21
e) 42
Solução. Pela propriedade do determinante, ao dividir uma coluna por 7, o determinante passa a valer 42 ÷ 7 = 6. Ao multiplicar a coluna por 3, o determinante passa a ser (6).(3) = 18. 10. Sabe-se que M é uma matriz quadrada de ordem 3 e que o det(M) = 2. Então det(3M) é igual a: a) 2
b) 6
c) 18
d) 54
Solução. Pela propriedade do determinante, ao multiplicar toda a matriz pelo escalar 3, o determinante ficará multiplicado por 33 = 27. Logo, o determinante de (3M) será igual a (2).(27) = 54. 1 2 11. O determinante de 3 4 5 a) 0
0
0
0
0
2
0
0
0
2
1
0
2
3
2
1
2
3
0 é: 0 3
b) 3
c) 6
d) –12
e) –3
Solução. A matriz é triangular inferior, logo o determinante será o produto dos elementos da diagonal. Temos: det = 1 x 2 x 1 x (-2) x 3 = – 12.
12. Somando-se
1
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
5
a) 840
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
4
0
0
0
0
5
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0
obtém-se:
b) – 840
c) 600
d) – 600
e) 0
Solução. O determinante da primeira matriz será o produto positivo dos elementos da diagonal e o determinante da segunda matriz será o produto negativo dos elementos da diagonal. Temos: (1 x 2 x 3 x 4 x 5) + [ – (1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6)] = 120 – 720 = – 600. 0 13. A inversa da matriz 2 3
a) 1
1
é:
3
0 b) 1 2
2
0
0 c) 1
1 1
3
1
2 3
2
3 d) 2 1
1
2 0
3 1 e) 2 2 1 0
Solução 1. Utilizando o produto da matriz pela sua inversa, temos:
0 1 A 0 2 3 A. A I 2 A a b c d 1
1
1 a . 3 c
b
1 d 0
0.a 1.c 1 c 1 0.b 1.d 0 d 0 3 0 3 2.a 3.c 0 a A 2 1 1 2 1 2.b 3.d 1 b 2 1
1
.
2 0
Solução 2. Utilizando a matriz adjunta, temos:
3 2 3 1 t AdjA M ( cof A ) M (cof A) 2 0 A1 1 . 3 1 . 1 0 2 2 0 det A 2
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Matemática I Prof. Walter Tadeu Nogueira da Silveira Parte II: Sistemas Lineares 1. (FMU) O valor de a para que o sistema a) - 6
x 2 y 18 seja possível e indeterminado é: x ay 3 54
b) 6
c) 2
d) - 2
e) 3/2
Solução. Desenvolvendo o sistema, temos:
x 2 y 18 (3) 3 x 6 y 54 0 y.(a 6) 0 y a 6 . 3 x ay 54 3 x ay 54 0 Sistema in det er min ado : a 6 0 a 6 0
2 x 3 y z 0 2. (FGV) O sistema x 2 y 4 z 0 é: x 14 z 0 a) Determinado.
b) Impossível
c) Determinado e admite como solução (1, 1, 1). d) Indeterminado.
Solução. Desenvolvendo o sistema, temos:
3.(9 z ) z x 14 z 2 x 3 y z 0 2 x 3 y z 0 2 x 3 y z 0 2 i) x 2 y 4 z 0 L1 2. L2 y 9 z 0 y 9 z 0 y 9 z . x 14 z 0 L1 2. L3 3 y 27 z 0 3 L2 . L3 0 0 00 ii) Solução : 14 z , 9 z , z ( z é var iável livre Sistema in det er min ado
3. (UFRN) A solução do sistema
a) (-2, 7, 1)
x y z 6 4 x 2 y z 5 é: x 3 y 2 z 13
b) (4, -3, 5)
c) (0, 1, 5)
d) (2, 3, 1)
e) (1, 2, 3)
Solução. Escalonando o sistema, temos:
x 6 2 3 1 x y z 6 x y z 6 x y z 6 19 5.(3) 2 i ) 4 x 2 y z 5 4. L1 . L2 2 y 5 z 19 2 y 5 z 19 y . 2 x 3 y 2 z 13 L1 L3 2 y z 7 L2 . L3 4 z 12 z 3 ii) Solução : 1, 2, 3
4. O sistema linear
x y 2 z 2 2 x 3 y 4 z 9 : x 4 y 2 z 7
a) admite solução única;
b) admite infinitas soluções;
c) admite apenas duas soluções;
d) não admite solução Solução. Escalonando o sistema, temos:
x y 2 z 2 x y 2 z 2 x 3 2 z Solução : 3 2 z , 1, z : in det er min ado . 2 x 3 y 4 z 9 2. L1 . L2 5 y 5 y 1 x 4 y 2 z 7 L1 L3 5 y 5 Avenida Alberto Torres, 821, 2° e 3° andares, Alto –Teresópolis 4
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ax 5 y 5 , terá uma única solução se: bx y 0
5. O sistema de equações a) a
5b
b) a 5b
c) a 5b 0
0
d) 5ab
e) 5ab 0
0
Solução. Para que a solução seja única o determinante da matriz dos coeficientes deve ser não nulo. Temos:
a
5
b
1
0 a 5b
6. Para que o sistema linear a) a
2b
0a
5b
.
ax by 7 admita uma única solução, é necessário que: x y 2 5 1
b) a
5
2b
c) a
5
5b
d) a
2
2b
e) a
5
5b
2
Solução. Para que a solução seja única o determinante da matriz dos coeficientes deve ser não nulo. Temos:
a
b
2
0 5a 2b
5
7. O sistema linear a) a
1 e
0a
2b
.
5
x y a é impossível se e somente se: a x y 1 2
a 1
b)
a
1 ou a = –1
c)
a
1
d)
a
1
e) a R
Solução. Desenvolvendo o sistema, temos:
x y a (1) x y a 1 a 2 x.(a 2 1) 1 a x 2 2 a 1 . a x y 1 a x y 1 a 1 1 a 1 a N 0 Sistema impossível : x 2 a 1 (a 1).(a 1) 0 a 1
x y 3 8. Se x = A, y = B e z = C são as soluções do sistema x z 4 , então A.B.C vale: y 4 z 10 a) – 5
b) 8
c) – 6
d) – 10
e) 5
Solução. Desenvolvendo o sistema, temos:
x y 3 (1) x y 3 y z 1 (1) y z 1 x z 4 3 z 9 z 3 x z 4 y 4 z 10 y 4 z 10 y 4 z 10 y 4 z 10 . A 1 x 4 3 1 Logo, B 2 A. B.C (1).(2).(3) 6 y 10 4.(3) 2 C 3
9. (UFRGS) O sistema sobre
a) 6
IR
x 2 y 3 z 1 , terá solução apenas se o valor de b for igual a: 2 x y z b x 4 y 11 z 11
b) 4
c) 1
d) -11
e) -12
Solução. Escalonando o sistema, temos:
x 2 y 3 z 1 2. L . L 2 x y z b x 4 y 11 z 11 L L 1
1
2
3
x 2 y 3 z 1 3 y 7 z 2 b 6 y 14 z 12 2. L . L 2
3
x 2 y 3 z 1 . 3 y 7 z 2 b 0 z 8 2b b 4
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10. (Mack) O sistema
2 x y k é indeterminado. Então k + m vale: 4 2 x my
a) 1/2
b) 1
c) 3/2
d) 2
e) 3
Solução. Desenvolvendo o sistema, temos:
2 x y k (2) 4 x 2 y 2k 2 2k y.(m 2) 2 2k y m2 4 x my 2 4 x my 2 . 0 2 2k 2 2k 0 k 1 k m 1 2 3 Sistema in det er min ado : m 2 0 m 2 0 m 2 mx 2 y z 0 11. (UFSC) Para qual valor de m o sistema x my 2 z 0 admite infinitas soluções? 3 x 2 y 0 a) m = 0
b)
m
0
c)
m
=2
d)
m
= 10
e)
m =
1
Solução. Como o sistema é homogêneo, possui sempre solução. Logo, para que possua infinitas soluções, basta que o determinante da matriz dos coeficientes seja nulo. m
2
1
1
m
2
3
2
0 m.(0 4) (2).(0 6) 1.(2 3m) 0 4m 12 2 3m 0 7m 14 m 2 .
0
x y 2 z 0 12. (FUVEST) O sistema linear: x y z 1 não admite solução se α for igual a: x y z 3 a) 0
b) 1
c) - 1
d) 2
e) - 2
Solução. Desenvolvendo o sistema, temos:
x y 2 z 0 x y 2 z 0 x y 2 z 0 x y z 1 . L1 . L2 ( 1). y 3 z 1 ( 1). y 3 z 1 x y z 3 . L1 L3 8 ( 1). y z 3 L2 3 L3 (2 4). y 8 y 2 4 8 0 8 N 0 Sistema impossível : : 0 2 4 2 4 0 2 4 2
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