Actividad de aprendizaje 1. Matrices & Determinantes Objetivo: Adquirir las habilidades en la solución de sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes. Instrucciones: De acuerdo a lo expuesto en las tres primeras unidades del curso y la bibliografía sugerida, realiza los siguientes ejercicios. Desarrollo: Determinar si cada una de las siguientes ecuaciones es lineal a. 3x - ky - 7z = 35 b. x + πy + ez= log 5 c. 2x + 6y - 5yz = -46 Solución: La ecuación a es lineal. En la ecuación tomamos como variable a z 3x=ky+7(z+5) Invertimos la igualdad en 3 x = k y + 7 (z+5) con el fin de pasar z del otro lado. 3 x = K y+7 (z + 5) es equivalente a k y + 7 (z + 5) = 3 x: K y + 7 (z + 5) = 3 x Ahora escribimos el polinomio lineal en el lado izquierdo en forma estándar. Expandir cada término de la izquierda: 7 z + 35 + k y = 3 x Restamos 35 + K y de ambos lados: 7 z = -35 + 3x - k y Resolvemos z. Dividimos ambos lados por 7: Obtenemos como resultado:
La ecuación b. el hecho de que tenga exponencial no es una ecuación lineal. La ecuación c. no es lineal, porque el producto de dos incógnitas es de segundo grado.
Determinar si a. u= (4, 6, ‐7, 5) b. v= (2, 3, 10, 5) Son soluciones de la ecuación 4x1 - 6x2 - 2x3 + 3x4 = 9 Solución: Sustituyendo “u” en la ecuación tenemos que son puntos que pertenecen alplano, pero al sustituir “v” en la ecuación, se demuestra que la ecuación no es la solución de la ecuación. a. 4*4 -6*6-2*-7+ 3*5=9 si es una solución de la ecuación b. 4*2 -6*3-2*10+ 3*5= 15 por lo tanto, no es una solución de la ecuación
Considere la ecuación lineal 5x - 2y + 3z = 31 Hallar: a) Tres soluciones particulares. b) La solución general. Solución: Tres soluciones particulares:
Solución General: Resolviendo para z:
Pasamos términos, restamos 5 y dividimos entre 3 cada lado.
Resultado:
Resolver las siguientes ecuaciones lineales por método de Gauss: 4x + 3y = -4 5x - 2y = 41 3x + 7y = 6 9x - 3y = 90 6x + 8y = 68 13x + 6y = 68 Solución: a)
Expresamos el sistema en forma de matriz: Escribimos el sistema en forma de matriz aumentada para utilizar el método de eliminación de Gauss: Intercambiamos la fila1 con la fila 2: Restamos (fila 1) de la fila 2: Multiplicando la fila 2 por : Sumamos 2*(Fila 2) a la fila 1 Dividimos la fila 1 por 5: Los valores de x, y son:
b)
Expresamos el sistema en forma de matriz:
Escribimos el sistema en forma de matriz aumentada para utilizar el método de eliminación de Gauss:
Intercambiamos la fila1 con la fila 2: Restamos 1/3 (fila 1) de la fila 2: Dividimos la fila 1 entre 3Dividimos la fila 2 entre 8 Sumamos la fila 2 a la fila 1 Dividimos la fila 1 entre 3 Tenemos como resultado que:
c)
Expresamos el sistema en forma de matriz: Escribimos el sistema en forma de matriz aumentada para utilizar el método de eliminación de Gauss: Intercambiamos la fila1 con la fila 2: Restamos 6/13 (fila 1) de la fila 2: Multiplicamos la fila2 entre Restamos 6*(Fila2) de la fila 1 Dividimos la fila 1 entre 13 Tenemos como resultado:
Encuentre las soluciones (si existen) a los sistemas dados por el método de Gauss. a) 5x1 - 7x2 + 3x3 = -61 4x1 + 4x2 - 5x3 = 85 -6x1 - 3x2 + 2x3 = -57 b) 3x1 + x2 + 7x3 = 31 10x1 + 4x2 - 2x3 = -6 2x1 - 5x2 + 6x3 = 94
c) 5x1 - 7x2 + 3x3 = 0 x1 + x2 - x3 = 0 6x1 - 5x2 + 2x3 = 0 d) 10x1 +4 x2 + 3x3 = 31 -4x1 + 16x2 + 7x3 = 48 8x1 + 8x2 - 2x3 = -14 Solución: a)
Expresamos el sistema en forma de matriz: Escribimos el sistema en forma de matriz aumentada para utilizar el método de eliminación de Gauss: Intercambiamos la fila1 con la fila 3: Sumamos (fila 1) a la fila 2: Multiplicamos la fila2 por 3
Sumamos *(Fila1) a la fila 3 Multiplicamos la fila 3 por 6 Intercambiamos la fila2 con la fila 3: Sumamos *(Fila2) a la fila 3 Multiplicamos la fila 3 por Multiplicamosla fila 3 por Restamos 28*(fila 3) a la fila 2
Dividimos la fila 2 entre -57 Sumamos * (fila 2) a la fila 1: Restamos 2*(fila 3) de la fila 1 Dividimos la fila 1 entre -6
Tenemos como resultado:
b)
Expresamos el sistema en forma de matriz:
Escribimos el sistema en forma de matriz aumentada para utilizar el método de eliminación de Gauss: Intercambiamos la fila1 con la fila 2: Restamos *(fila 1) de la fila 2 Dividimos fila uno por 2 Multiplicamos fila 2 por 5 Restamos *(fila1) de la fila3 Multiplicamos fila 3 por 5
Intercambiamos la fila2 con la fila 3: Restamos *(fila2) de la fila 3 Multiplicamos fila 3 por Restamos 32*(fila 3) de la fila 2 Dividimos la fila 2 entre -29
Restamos 2*(fila 2) de la fila 1
Sumamos la fila 3 a la fila 1
Dividimos la fila 1 entre 5 Tenemos como resultado:
c)
Expresamos el sistema en forma de matriz: Escribimos el sistema en forma de matriz aumentada para utilizar el método de eliminación de Gauss: Intercambiamos la fila1 con la fila 3 Restamos *(Fila 1) a la fila 2
Multiplicamos la fila 2 por 6 Restamos *(fila 1) de la fila 3 Intercambiamos la fila2 con la fila 3 Sumamos *(fila 2) a la fila 3 Multiplicamos la fila 3por Multiplicamos la fila 3 por Restamos 8*(fila3) a la fila 2
Dividimos la fila 2 entre -17 Sumamos 5*(fila 2) a la fila 1
Restamos 2*(fila 3) a la fila 1 Dividimos la fila 1 entre 6 Tenemos como resultado:
d)
Expresamos el sistema en forma de matriz:
Escribimos el sistema en forma de matriz aumentada para utilizar el método de eliminación de Gauss: Sumamos *(fila 1) a la fila 2 Multiplicamos la fila 2 por 5 Dividimos fila 3 entre 2 Restamos *(fila 1) a la fila 3 Multiplicamos la fila 3 por 5 Restamos (Fila 2) a la fila 3
Multiplicamos la fila 3 por Dividimos la fila 3 entre 73 Restamos 41*(Fila 3) a la fila 2 Dividimos la fila 2 entre 88 Restamos 4*fila 2 a la fila 1 Restamos 3*(fila 3) de la fila 1
Dividimos la fila1 entre 10
Tenemos como resultado:
Realice los siguientes ejercicios:
Solución: Constante por una matriz; se multiplica la constante por cada elemento de la matriz a)
Suma de 2 matrices; se suma cada elemento de las matrices en su misma posición b)
Resta de 2 matrices; se resta cada elemento de las matrices en su misma posición c)
Multiplicación de matrices; El elemento x de la matriz producto se obtiene multiplicando cadaelemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos. d)
e)
f)
Reducir a forma escalonada y luego a su forma canónica por filas
Solución: a) Intercambiamos la fila 1 con la 3 Multiplicamos la fila 3 por -1 Sumamos a la fila 3 Multiplicamos por 2 la fila 3 Restamos la fila 1 a la fila 4 Sumamos la fila 2 a la 3 Restamos a la fila 4 Multiplicamos la fila 4 por 11 Intercambiamos la fila 3 con la fila 4 Hemos llegado a la reducción escalonada, ahora encontraremos su forma canónica por filas. Dividimos la fila 1 entre 23 Sumamos 5*(fila3) a la fila 2 Restamos 3*(fila 3) de la fila 1 Dividimos la fila 2 por 11 Sumamos 5*(fila 2) a la fila 1 Dividimos la fila 1 entre 2 Esta matriz es ahora en forma escalonada reducida. Todas las filas distintas de cero están por encima de las filas de ceros. Cada pivote es 1 y es estrictamente a la derecha de cada pivote por encima de ella. Cada pivote es la única entrada no-cero en su columna. El siguiente ejercicio solo pondré la forma escalonada y su forma canónica por filas. b) Realizando las siguientes operaciones. Intercambiamos la fila 2 con la fila 4 Restamos de la fila 4
Multiplicamos por 5 Intercambiamos la fila 3 con la fila 4 Sumamos a la fila 4 Multiplicamos por -1la fila 3 Multiplicamos por la fila 4 ahora tenemos la forma escalonada. Ahora encontraremos la forma canónica por filas Sumamos la fila 4 a la fila 3 Restamos 4*(fila 4) de la fila 2 Sumamos 2*(fila 4) a la fila 1 Dividimos la fila 3 entre 7 Sumamos 3*(fila 3) a la fila 2 Restamos 3*(fila 3) de la fila 1 Dividimos la fila 2 entre 5 Restamos la fila 2 a la fila 1 y tenemos nuestro resultado.
Calcule la forma escalonada por renglones y la inversa (si existe) de la matriz dada.
Solución: a) Hacemos la reducción por filas. Intercambiamos la fila 1 por la fila 2 Sumamos a la fila 2 Dividimos la fila 1 entre 2 Esta es la forma escalonada por renglones. Ahora encontraremos la inversa de la matriz Una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A , tal que: , Donde I es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual. Una matriz no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y solo si su determinante es nulo. En este caso observamos el resultado de la forma escalonada la segunda fila es 0 por lo tanto no tiene una matriz identidad y por lo tanto no tiene matriz inversa. b) Hacemos la forma escalonada porrenglones como en casos anteriores
Podemos notar que la fila 3 todos son ceros, por tal motivo no tiene matriz inversa.
c) Hacemos la forma escalonada por renglones como en casos anteriores. Esta es la matriz reducida escalonada por renglones. Por tal motivo la matriz si tiene inversa Hallaremos la matriz inversa de Para comprobar que es la inversa multiplicamos A*A y nos dará como resultado la matriz identidad.
Calcule la transpuesta de la matriz dada y determine si la matriz es simétrica o anti simétrica.
Solución: Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas (A ). Una matriz es simétrica si es una matriz cuadrada, la cual tiene la característica de ser igual a su traspuesta. a) Tenemos En este caso la matriz es idéntica a su transpuesta por lo tanto es simétrica. b) Tenemos En este caso la matriz es anti simétrica c) Tenemos En este caso la matriz es simétrica.
Escriba cada matriz como el producto de matrices elementales y una matriz triangular superior. a.
b.
Solución: Una matriz triangular es un tipo especial de matriz cuadrada cuyos elementos por encima o por debajo de su diagonal principal son cero. En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonalprincipal son ceros. a) Empezamos por el producto de matrices elementales Multiplicamos la fila 2 por 1/2 Sumamos la fila 1 a la fila 2 Dividimos la fila 1 entre 2 Del resultado obtenido tenemos la representación de matriz triangular superior b) Empezamos por el producto de matrices elementales. Intercambiamos la fila 1 con la fila 2 Multiplicamos por a la fila 1 = Restamos la fila 1 a la fila 2 = Restamos la fila 1 a la fila 3 = Restamos la fila 2 a la fila 3 = Dividimos la fila 2 entre -2 = Del resultado obtenido tenemos la representación de matriz triangular superior = Calcule el determinante a) b) c) d) d) f) Solución: a) La determinante de la matriz (a | b c | d) está dada por ad-bc Multiplicamos a lo largo de la diagonal y substraemos -3 x 4 -5 (-7) Multiplicamos
Resultado: 23 b) El hecho de que es una matriz triangular inferior resolveremos de la siguiente forma. La determinante de una matriz triangular inferior es el producto de sus elementos de la diagonal:
Multiplicamos los elementos en la diagonal: Resultado: 60 c) Utilizando la fórmula de Laplace. Encontrar una fila o columna con tantos ceros como sea posible. La fila 2 tiene más ceros que los demás:
La determinante de la matriz Esta dada por es ladeterminante de la matriz obtenida mediante la eliminación de la fila i y la columna j. La determinante de la matriz está dada por Tenemos que buscar todos los términos donde el coeficiente es 0. Retirar todos los términos donde el coeficiente es 0: Calcular el determinante de la matriz y se multiplica el resultado por -4
Ahora calculamos la determinante de la matriz y multiplicamos el resultado por -5
Por ultimo sumamos los resultados obtenidos:
Resultado: -65
d) Buscar un pivote en la columna 1. Elegimos el primer elemento distinto de cero de la columna como el pivote: en este caso seria
Utilizamos operaciones de fila para obtener ceros debajo del pivote en la columna 1. Sumamos - tanto a la fila y como a la fila 2. Esta operación no cambia la determinante.
Sumamos - tanto en la fila 1 como en la fila 3. Ahora vamos con la columna2. Elegimos el primer elemento distinto de cero de la columna como el pivote. Usamos operaciones por fila para obtener ceros debajo del pivote en la columna 2. Sumamos tanto en la fila 2 como en la fila 3.
Calculamos la determinante de la matriz triangular superior. = Calculando el producto tenemos por resultado: detA = e) Como es una matriz triangular superior. La determinante de una matriz triangular superior es el producto de sus elementos de la diagonal:Multiplicamos los elementos de la diagonal Obteniendo como resultado: f) Iniciamos columna 1, elegimos el primer elemento distinto de cero en la columna como pivote. Sumamos tanto en la fila 1 como en la fila 2 Sumamos tanto en la fila 1 como en la fila 3 Sumamos tanto en la fila 1 como en la fila 4 En la columna 2, Elegimos el primer elemento distinto de cero en la columna como pivote. Sumamos tanto en la fila 2 como en la fila 3 Sumamos tanto en la fila 2 como en la fila 4 En la columna 3, Elegimos el primer elemento distinto de cero en la columna como pivote. Sumamos tanto en la fila 3 como en la fila 4
El determinante de una matriz triangular superior es el producto de sus elementos de la diagonal, por lo tanto el resultado es:
Utilice determinantes para calcular a inversa.
Solución: Como ya vimos cómo se obtiene el cálculo de las determinantes Sabemos que si detA 0 tiene inversa A*A = Identidad Procedemos a dar solución de los siguientes ejercicios. a) , determinante de Procedemos a encontrar su inversa. Validamos nuestros resultados.
b) , determinante = Procedemos a encontrar su inversa. Validamos nuestros resultados.
c) , determinante = Procedemos a encontrar su inversa.
Validamos nuestros resultados.
