ALGEBRA LINEAL CÓDIGO: 100408A_474
UNIDAD 1 TAREA 1- VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES
Presentado al tutor (a): VIVIAN YANETH ALVAREZ
Entregado por el estudiante: LORENA PAOLA LLANOS MAIRA ALEJANDRA NUNEZ YUSELLIS MARIA BANQUET ALFONSO JUNIOR PEREZ JUAN CARLOS VALENCIA
Grupo: 204
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA Octubre 17 2018 BARRANQUILLA
INTRODUCCIÓN Durante el desarrollo del presente trabajo desarrollaremos los conceptos elementales sobre: •
Vectores: Noción de distancia, definición algebraica de vector, operaciones con vectores, vectores base y producto vectorial.
•
Matrices: Operaciones con matrices, suma de matrices, multiplicación de matrices, operaciones sobre matrices y matrices elementales.
•
Determinantes: Propiedades de los determinantes, inversas, área de un paralelogramo, volumen de un paralelogramo.
Aplicando los conocimientos adquiridos en la solución de problemas básicos. También veremos la importancia del Algebra Lineal.
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL •
Comprender los conceptos matemáticos elementales sobre vectores, matrices y determinantes mediante el estudio de fuentes documentales y los aplica en la solución de problemas básicos.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS •
Vectores en R2 Y R3: Noción de distancia, definición algebraica de vector, algunas operaciones con vectores, vectores base, producto vectorial.
•
Matrices: Operaciones con matrices, suma de matrices, multiplicación de matrices, operaciones sobre matrices, matrices elementales.
•
Determinantes: Algunas propiedades de los determinantes, inversas, área de un paralelogramo, volumen de un paralelogramo.
Ejercicio 1: mapas conceptuales. Luego de haber realizado lectura de los contenidos indicados, presentar un mapa conceptual que ilustre uno de los siguientes contenidos de la unidad 1, utilizando para su construcción la herramienta Cmaptools. En el foro informar sobre el tema elegido, para que no coincida con la elección de otro compañero:
a. Vectores en R2 y R3: Noción de distancia, definición algebraica de vector. Elaborado por: MAIRA ALEJANDRA NUNEZ.
b. Vectores en R2 y R3: algunas operaciones con vectores, vectores base, producto vectorial. Elaborado por: JUAN CARLOS VALENCIA.
c. Matrices: Operaciones con matrices, suma de matrices, multiplicación de matrices. Elaborado por: ALFONSO JUNIOR PEREZ
d. Matrices: operaciones sobre matrices, matrices elementales. Elaborado por: YUSELLIS MARIA BANQUET.
e. Determinantes: Determinantes 3x3, algunas propiedades de los determinantes, inversas. Elaborado por: LORENA PAOLA LLANOS
Ejercicio 2: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3
Descripción del ejercicio 2
Desarrolla los siguientes ítems luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 1, referentes a vectores y operaciones con vectores en R2 y R3. Presentar la solución con editor de ecuaciones.
a. Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector:
Fig 1. Representación gráfica de un vector. Modulo: •
•
| | = 12 9 | | =√ 14481 | | =√ 225 | | = tan= 129 tan=0.75 = −0.75 =.° Dirección:
Sentido: NorEste
||=2 ; =120° =2∗ 120° =2∗ 120° =2∗ 225° =2∗0. 5 =2∗0. 7 071 =1 =1.732 =,.
b. Dados los siguientes vectores en forma polar •
•
||=3=3∗ ; =60°60° =3∗ 60° =3∗0. 5 =3∗0. 8 66 =1.5 =2.598 = 1.5,2.598 1,1.732 = 1.5 1,2.5981.732 =.,. | | = 2.5 0.866 | | =√ 6.250.7499 | | =√ 6.999 | | =. tan= 0.2.8665 tan=0.3464 = −0.3464 =.° 55̅ 22 =51.5 , 2.598 21 , 1.732 5 2 =7.5 , 12.99 2 ,3.464 5 2 = 7.5 2 , 12.993.464 = . , .
Realice analíticamente, las operaciones siguientes: •
•
=.,.
|5̅ 2 |= 9.5 9.526 |5̅ 2 | =√ 90.2590.7446 |5̅ 2 | =√ 180.9946 | |=. tan= 9.9.5265 tan=1.0027 = −1.0027 =.° ∗̅ = || ∗ |̅| |||=| =√ 42819 |||=√ 8 5 | =9.219 ∗ = 2 ,9 ∗6∗4 ∗ = 2∗6 9∗4 ∗ =1236 ∗ =48 48 211 = 9.219∗7. = 66.4847 =0.− 722 = 0.722
c. Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores: •
= 2i + 9j y
= -6i – 4j
4 ||̅̅|| = 6 =√ 3 616 ||̅̅|| =√ 5 2 =7.211
=.° ||= || = 33 44 97 || = 0 0 2 || =√ 4 || =
d. Encuentre la distancia entre los puntos: (3,-4, 7) ; (3,-4,9) •
e. Encuentre el producto cruz u x v y el producto escalar. u = -7i + 9j- 8k; v = 9i + 3j -8k Producto Cruz •
79 39 88=93 8879 8879 39 79 39 88= 7224 5672 2181 79 39 88=48 128 102 = ∙∙ =7, 9 8∗ 9,3, 8 = 7∗9 9∗3 8∗8 ∙ ∙ =632764 = Producto Escalar
Ejercicio 3: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3
Descripción del ejercicio 3 Tomando como referencia los temas e ítems del ejercicio 2, resuelve el siguiente problema:
Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue: 4.13 m SO, 5.26 m E, y 5.94 m en una dirección de 64° NE. Elija el eje x apuntando al este y el eje y apuntando hacia el norte, y halle
̅ =4.1 3,=4.=225°13∗ 225° =4.13∗ 225° =4.=2.13∗0. 7 071 =4. 1 3∗0. 7 071 ̅ = 2. 9 203, 2. 9 203 9203 =2.9203 ̅ =2.92032.9203 =5.26, =5.=0°26∗ 0° =5.26∗ 0° =5.=5.2266∗1 =5.=0 2 6∗0 =5. 2 6, 0 =5.260 ̅ =5.94, =5.=26°94∗ 26° =5.94∗ 26° =5.=5.393824∗0.8987 =5.=2.690354∗0.4383 ̅̅ =5. 3 382, 2 . 6 035 =5.3382 2.6035 2. 9 203 ̅ == 2.5.92203 600 0 2. 6 035 ̅ == 5.7.36382 779 0.3168 ||||== 7.6779 0.3168 |||=√ 5 8. 9 5010. 1 003 || =7.6844 |=√ 59.0504
(a) Las componentes de cada desplazamiento
m
(b) Las componentes del desplazamiento resultante + +
)m )m )m )m
(c) La magnitud y dirección del desplazamiento resultante, y
= 0. 3168 = 7.6779
= 0.0412 = − 0.0412 = 2.3592°
(d) El desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta el punto del arranque. El desplazamiento requerido es de 7.6844m en dirección 90-2.3592°= 87.64° NorOeste
Ejercicio 4: Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes. Desarrolla los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 1, referentes a matrices, operaciones con matrices y determinantes. Presentar la solución con editor de ecuaciones. Descripción del ejercicio 4 a. Exprese la matriz A como una matriz triangular superior haciendo uso únicamente de operaciones elementales: A=
2(1 13 45) 527
Multiplicamos la fila1 por ½ y se resta a la fila2 Multiplicamos la fila1 por 5/2 y se resta a la fila3 Multiplicamos la fila2 por 9/5 y se suma a la fila3
2 = 2 1/2∗1 3= 35/2∗1 3 = 39/5∗2
20 5/21 43 5 2 7 20 5/21 43 0 9/2 3 20 5/21 43 0 0 12/5
Compruebe sus respuestas en Geogebra.
b. Calcule el determinante de las siguientes matrices a través de ley de Sarrus
A=
2 10 7 0 = 000 1050 400 106 20 105 61+ 20 10 10 [ 0 5 61 80 1 0 3 =02 11 40
B=
C=
La ley de Sarrus sirve para calcular un determinante de 3×3 pero no se puede aplicar para determinantes de 4×4. (-2*-5*0)+(0*-10*7)+(0*10*4)(7*-5*0)+(4*-10*-2)+(0*10*0) 6*-80= -480
Para calcular el determinante 4x4 utilizamos Laplace por la cuarta fila =(0+0+0)(0+80+0) =0-80 =-80
10 01 34 = 21 10 03 014 7 9 5 =89 83 101 = 79 93 51 87 89 510 93 1
(1*1*0)+(0*1*3)+(2*0*4) (3*1*2)+(4*1*1)+(0*0*0)
(7*3*10)+(9*-8*-5)+(8*9*1)(-5*3*-8)+(1*8*7)+(10*9*9)
(0+0+0)(6+4+0)=
(210+36072)-(12056+810)=
0-10= 10
498-874= 376
Y realice las siguientes operaciones si es posible: a. B*C
1 0 3 7 9 5 ∗=02 11 40 89 83 101 *
Multiplicación Matrices 3x3
11∗1212∗2213∗32 11∗1312∗2313∗33 ∗=11∗1112∗2113∗31 21∗1122∗2123∗31 21∗1222∗2223∗32 31∗1132∗2133∗31 31∗1232∗2233∗32 21∗1322∗2323∗33 31∗1332∗2333∗33
7024 9024 5030 ∗=0932 0332 0140 1490 1830 1010 17 15 25 ∗=2323 2921 941
b. DET(C)*DET(A)*B
1 0 3 ∗ ∗=376∗480∗ 02 11 40 1 0 3 ∗ ∗= 180480∗02 11 40 180480 0 541440 ∗ ∗= 360960 0 180480 180480 721920 0
c. 3 * A
2 10 7 0 3∗=3∗ 000 1050 400 106 3∗2 3∗10 3∗7 3∗0 3∗0 3∗10 3∗5 3∗4 3∗1 3∗= 3∗03∗0 3∗0 3∗0 3∗0 3∗0 3∗6 6 30 21 0 15 120 30 3∗= 000 30 0 0 18
d. Compruebe todas sus respuestas en Geogebra
Ejercicio 5: Resolución de problemas básicos sobre matrices Descripción del ejercicio 5 Tomando como referencia los temas e ítems del ejercicio 4, resuelve el siguiente problema: Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 g de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de camembert. Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C, obtén matricialmente la cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las tres clases de quesos. Cantidad de bandejas
Tipo A
Tipo B
Tipo C
Manchego
40
120
150
A=
50
Roquefort
160
120
80
B=
80
Camembert
80
120
80
C=
100
40 120 150 50 =16080 120120 8080 =10080 40∗50 120∗80 150∗100 1 11000 ∗ ∗ 1000 =160∗50120∗8080∗100 ∗ 80∗50 120∗80 80∗100 2000960015000 ∗∗ = 800096008000 ∗ 4000 9600 8000 26600 ∗∗ =25600 ∗ 21600 26. 6 1 ∗∗ 1000 =25.21.66 kg
kg
Queso
Cant. Requerida
Manchego
26.6kg
Roquefort
25.6kg
Camembert
21.6kg
Ejercicio 6: Resolución de problemas básicos sobre matrices Descripción del ejercicio 6 Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta: A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas. B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas. C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas. En el pueblo en el que viven hay dos fruterías F1 y F2. En F1, las peras cuestan 1.5 euros/ kg, las manzanas 1 euro/ kg, y las naranjas 2 euros/kg. En F2, las peras cuestan 1.8 euros/kg, las manzanas 0,8 euros/kg, y las naranjas 2 euros / kg.
A B
Pera 2 2
Manzana 1 2
Naranja 6 4
F1 1,5 1
F2 1,8 0,8
C
•
1
2
3
2
2
Hallar la inversa de la matriz donde se representó la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que quiere comprar cada persona (A, B, C) o
Por Gauss Jordán
2 1 6 =21 22 43 Multiplicamos la fila1 por 1/2 Multiplicamos la fila1 por 2 y se resta fila2 Restamos la fila1 a fila3 Multiplicamos la fila2 por ½ y lo restamos en fila1 Multiplicamos la fila2 por 3/2 y lo restamos en fila3 Multiplicamos la fila3 por 1/3 Multiplicamos la fila3 por 4 y restamos a la fila1
1= 1∗1/2 2= 221 3=31 1= 11/22 3=33/22 3=3∗1/3 1=143
2(2 12 6410 01 00) 1 2 30 0 1 1(2 1/22 431/20 10 00) 1 2 30 01 1(0 1/21 23 1/2 1 01 00) 1 2 30 01 1(0 1/21 23 1/21 10 00) 0 3/2 0 1/2 0 1 1(0 01 24 11 1/21 00) 0 3/2 0 1/2 0 1 1(0 10 4211 1/21 00) 0 0 3 1 3/2 1 1(0 10 42 11 1/21 00 ) 0 0 1 1/3 1/2 1/3 1(0 10 021/31 3/21 4/30 ) 0 0 1 1/3 1/2 1/3
Multiplicamos la fila3 por 2 y sumamos a la fila2
o
2=223
Luego por determinantes utilizando la fórmula
3/2 4/3 1(0 01 001/3 1/3 0 2/3 ) 0 0 1 1/3 1/2 1/3 − = ∗
2 1 6 =21 22 43 22 12 64 = 12 21 36 [2 22 14 6 =21 22 43 2∗3 4∗2 2∗3 4∗1 2∗2 2∗1 2∗3 6∗1 2∗22∗1 2∗2 1∗1 1∗3 6∗2 2∗46∗2 1∗46∗2 68 64 42 66 41 312 412 812 42 2 2 2 2 9 8 89 04 32 22 30 42 → = 22 90 84 2 3 2 − = 1 ∗ 2 9 8 1 − = 6 ∗22 30 42 (2*2*3)+(2*2*6)+(1*1*4) (6*2*1)+(4*2*2)+(3*1*2)
(12+24+4)(12+16+6)=
40-34= 6
2∗1/6 − =2∗1/6
9∗1/6 8∗1/6 0. 3 3 1. 5 1. 3 3 − 0∗1/6 4∗1/6 → = 0. 3 3 0 0. 6 7 2∗1/6 3∗1/6 2∗1/6 0.33 0.5 0.33
•
Compruebe todas las respuestas en Geogebra
Descripción del ejercicio 7 El grupo debe preparar una presentación en PREZI, en el cual deben definir lo siguiente: a) Usos del álgebra lineal en la vida cotidiana b) Cómo influye el álgebra lineal en el programa de estudio escogido (aplicación) c) Cada integrante del grupo aporta en el foro un uso del álgebra lineal en la vida diaria y la influencia de esta ciencia en el programa de estudio escogido, no deben repetir información que su compañero ya haya aportado en el foro. Link Presentación: https://prezi.com/view/uZaAAH9QvD5pgEGn7s50/
CONCLUSIONES Algebra lineal brinda formas de pensar que se pueden aplicar en nuestras actividades, al aplicar los conceptos en nuestros problemas, nos obliga a buscar relaciones para llegar a una solución.
El Algebra Lineal nos permite desarrollar capacidades mentales que podemos llevar a otras situaciones, estos conocimientos debemos tenerlos siempre presente en nuestra formación profesional.
BIBLIOGRAFÍA
Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 5 a la 18. Recuperado de:
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2460/lib/unadsp/reader.action?ppg=13&docID=32009 76&tm=1512079046521
Zúñiga, C., Rondón, J. (2010) Módulo Algebra lineal. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 5 a la 11. Recuperado de : http://hdl.handle.net/10596/7081
Vargas, J. (2015). Coordenadas polares. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7196
Vargas, J. Operaciones entre vectores y ángulo entre ellos. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7108
Alvarez, V. (2017). Vectores en R2. [Video].Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/11517 Zúñiga, C., Rondón, J. (2010) Módulo Algebra lineal. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 81-105. Recuperado de : http://hdl.handle.net/10596/7081
Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Colombia: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 54 a la 87.
Recuperado
de:
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2460/lib/unadsp/reader.action?ppg=64&docID =3200976&tm=1512084449256
Martínez, H. (2015). Matrices: Operaciones básicas. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7194
Gutiérrez, M. (2015). Matriz Escalonada. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7189
Vargas, J. (2015). Cálculo de matrices inversas: Operaciones básicas. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7186 Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas de 131 a 144. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7081
Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 88 a 103. Recuperado
de:
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=1058426 5&p00=algebra+lineal
Vargas, J. (2015). Determinante de una Matriz. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7185 Este Objeto Virtual de Aprendizaje, titulado Vectores en R2, tiene como objetivo, orientar al estudiante en la conceptualización de los temas de vectores, identificando sus principales características. El OVA,igualmente, servirá como documento de consulta para realizar una de las actividades propuestas en la Guía de actividades de la Tarea 1- Vectores, matrices y determinantes.
Alvarez Altamiranda, V. (2018). Vectores en R2. [Página Web]. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/19256
