Trabajo Unidad 1 Vectores, Matrices y Determinantes
Karla Eyara Cárdenas Riaño Código 1!"#1!$$"!"%" 1!"#1!$$"!"%" &'an (ablo C')a *ra+'e Código 1!1"!-./!#$" 1!1"!-./!#$" Carolina 0arca (arra Código /2!$.1!2-3scar Ma'ricio 4eón *costa Código .-"-2!1/" .-"-2!1/" Cristian 0io5anny Rodrg'e6 Código
T'tora Vi5ian 7anet8 9l5are6
Uni5ersidad :acional *bierta y a Distancia U:*D Escuela De Ciencias Básicas Tecnología Tecnología E Ingeniería 21 de Septiembre de 2015
Introducción
A través de la historia la ciencia de la matemática ha llegado representar un papel importante en la solución de varios problemas que en muchos de los casos son cosas que se presentan en el día a día de una persona, en su trabajo o en el hogar, para lograr hacer las cosas correctamente. Con la presente actividad hemos practicado y reafirmado las metodologías para el desarrollo ectores, !atrices y "eterminantes y toda la temática que se abarca en estos temas y de este modo reconocer la importancia que tienen en diferentes ciencias. #ara el desarrollo de esa serie de procedimientos de ectores, !atrices y "eterminantes, es necesario identificar simbología, procedimientos a usar, para dar respuesta a las diferentes tipos de ejercicios y problemas que se presentan.
Solución de roblemas !nidad 1 1"
a.
$ncuentre la magnitud y dirección de los siguientes vectores% u ⃗
& '().*+
|u|=√ (−2)2 +( 5 )2
|u|=√ 4 + 25 |u|=√ 29 magnitud |u|=5.38
tan ∝=
5
−2
tan ∝=−2.5
= tan−1−2.5
∝
=−68 ° , 19 + 180 °
∝
=111,80 ° dirección
∝
b.
⃗v
& '(*, (-+
|v|= √ (− √ 5 ) + (− 3 )2 2
|v|= √ 5 + 9 |v|=√ 14 magnitud |v|=3.74
tan ∝=
−3 − √ 5
tan ∝=1,342
∝
= tan− 1 1,342
=53,3 ° + 180 °
∝
=233,3 ° dirección
∝
1"2 "ados los vectores
u ⃗
& '(,-+, w & ' (),(-+ y z⃗ & '/,+, realice%
a. ) u⃗ ( - w ⃗
2 (− 1 , 3 )− 3 (− 2 , − 3 )
(− 2 , 6 ) + ( 6 , 9 ) ( 4 , 15 )
⃗
b. () u⃗ 0 / w ( ⃗
z⃗
−2 (−1 , 3 ) + 4 (−2 , −3 )− ( 4 , 1 )
( 2 ,− 6 )+ (− 8 , − 12 )+ (− 4 ,− 1 ) (−10 ,−19 )
1 grafique las operaciones.
2" "ados los vectores
v & i 2 j 0/3 y 4& ()i ( j(/3, encuentre% a. $l ángulo entre v y 4 v= − + ,− , w =− − − − ,− , − cosθ =
v∙w ∙
v ∙ w =−2 + 1 −16=−17 2 2 2 |v|= √ ( 1 ) + (−1 ) + ( 4 )
|v|=√ 1 + 1+ 16|v|=√ 18|v|=4,24
|w|= √ (−2 ) + (−1 ) +(−4 ) 2
2
2
|w|= √ 4 + 1 +16|w|= √ 21|w|= 4.58
cosθ =
− 17 √ 18 ∙ √ 21
cosθ =
− 17 √ 378
−1
θ= cos
( ) −17
√ 378
'
θ=150 ° 58 20
b.$l producto escalar entre v y 4 v ∙ w = , − , ∙ − ,− , − v ∙ w =− + − v ∙ w =−
c. $l producto vectorial entre v y 4 v
|
w
|
i
j
k
1 −2
−1 −1
4 4
|−− |− |− |+ |− −− |
i
1 1
4 4
j
1 2
4 4
k
1 2
1 1
j (−4 −(−4 ) )− j ( 4 −(−8 ) ) + k (−1−2 ) 0 i −12 j −3 k
-. "adas las matrices
|
2
A = −1 4
|
3
−7
5 0
4 4
| | −2
B=
5 3 5
0
4
1
2
−1
9
| | 7
− 4 −4
C = 5
1
8
6
1
2 3
a . A + B + C
|
2 −1 4
3 5 0
||
−7 4 4
−2
+
|
7
1
2
+5
1
−1
9
8
6
2 −2+ 7 5 A + B + C = −1+ + 5 3 4 +5 +8
|
A + B + C =
|| |
4
5 3 5
3 + 0 −4 5 + 1+ 1 0 −1 + 6
|
7 17
−1 −7
3 17
2 16
7 5
−4 −4
0
13
1
2 3
|
−7 + 4 − 4 4 +2 +
1
2 4+ 9 +3
b . A −3 B−2 C = D
|
2 D= −1 4
|
2
D= −1
|
D=
4
−7
3
−7
5 0
4 4
4 4
| || | −2
|
3 5 0
5
−3
|| −
3 5
4
1
2 −2 5
1
9
6
−1
8
||
−6
0
12
14
5 15
3 −3
6 27
− 10
2−( −6 )−14
3 −0 −(−8 )
−1 −5−10 4 −15 −16
5 −3−2
|
7
0 −( −3 )−12
|
−6 11 −11 D= −16 0 −3 −27 − 9 − 29
−4 − 4
0
16
1
2 3
|
−8 −8 2 12
1 6
|
−7 −12−(−8) 4 − 6 −1 4 −27−6
c.AC = D
|
2 −1 4
3 5 0
||
−7 4 4
|
−4 − 4
7
∗5
1
8
6
1 2 3
D1.1=2 ( 7 ) + 3 ( 5 )−7 ( 8 )=−27 D1.2=2 (−4 )+ 3 ( 1 ) −7 ( 6 )=−47 D1.3=2 (−4 )+ 3
() 1 2
−7 ( 3 ) =
−55 2
D2.1=−1 (7 ) + 5 ( 5 )+ 4 ( 8 )=50 D 2.2=−1 (−4 ) + 5 ( 1 ) + 4 ( 6 )=33 D 2.3=−1 (−4 ) + 5
() 1 2
+ 4 ( 3) =
37 2
D3.1= 4 ( 7 ) + 0 ( 5 ) + 4 ( 8 ) =60 D 3.2= 4 (−4 )+ 0 (1 )+ 4 ( 6 )=8 D 3.3= 4 (−4 )+ 0
|
( )+ ( )=−
50
33
60
8
4 3
2
4
|
−55
−27 −47
D=
1
2 37 2 −4
#ota$ los resultados en geogebra se dan en decimales.
/. $ncuentre la inversa de la siguiente matri5, empleado para ello primer 6auss 7ordan y luego empleando determinantes aplicando la fórmula% A(&
A&
8 AdjA
(
2 −1 4
3 5 0
−7 4 4
)
|
2
3
−1
|
4
1
| |
4
0 0
0
5 0
4 ⋮0 4 0
1 0
3
−7
1
2 2 ⋮ 4 0 4 0
−7
3 2 13
1
2 2 1 ⋮ 1
2 −6
2 18
2 −2
3
−7
1
1
|
1
2 5 0
−1
1
−7
2
2 2 1 ⋮ 1
0
1
1
−6
1
0
0
1
0
0
13 13 18 −2
|
0
1 0 ! 1 2 1
|
0
0
1 0
1
! 1 + ! 2 0 −4 ! 1 + ! 3
0
0 13
0
1
0 2 13 0
5
−3
13 1
13 1
13 2
13 −20
13 12
13
13
13 240 13
2
1
−47 ⋮
|
0
|
0
! 2
−3 ! ! 2+ 1 2 6 ! 2 + ! 3
0 1
|
0 0 1
13 240
! 3
| |
1
−47
0
0
1
0
0
13 1 ⋮ 13 1
−3
13 1
13 2
13 −1
13 1
13
12
20
240
0 1 0
0 0
−1
47
12 0 1 0⋮ 12 1 −1
20 3
240 −1
20 1
240 13
12
20
240
1
1 0 0
A(&
|
5
47 13
−1 ! + 2 13
|
= A−1
8 AdjA
(
2 −1 4
A&
−7
3 5 0
4 4
)
| |
A 11=
| | | |
−1 4 A 12=− 4 4
5 0
−1 4 A 13 = 4 4
| − | =| − |
A 21=−
3 0
7 A 22 4
| |
A 31=
3 5
|
b =ad −cb d
|
20
B = −12 47
2 4
5 0
| |
7 2 A 23 =− 4 4
|
20
−20
36 −1
12 13
3 0
| | |
−7 A 32=− 2 −7 A 33 = 2 −1 4 −1 4
| | a c
! 3 + ! 1
3 5
|
20
|
− 12
47
36 12
−1
AdjA = 20
− 20
13
| |
2 −1 detA = 4
3 5 0
−7
2 −1
3 5
−7
4 4 4
( 40 + 0 + 48 ) −(−140+ 0−12 ) 88 + 152=240
| | −1
47
12 47 1 −1 −1 A = 12 13 −1
20 3
240 −1
20 1
240 13
12
20
240
1
|
20 1 −1 A = 20 240 −20
−12 36 12
|
#ota$ los valores dados en geogebra no salen en fraccionarios si no en decimales
5" Calcule
los siguientes determinantes ' 9ugerencia% emplee algunas propiedades para intentar
transformarla en una matri5 triangular+
a¿
[
−12 4 0
3 6 2
]
[
−2
10 1 5 b¿ 5 1 4
0 2
0 −1
7 0
0
−1
5
2
3
2
][
8
−1
3
1
c¿ 2
2 0 2
| | | | | |
( a ) =¿− 12 6 2
5 −3 4 1 0
5 1
+ 10
4 0
6 2
a ¿ det ¿ det ( a )=−12 ( 6 −10 ) −3 ( 4 −0 ) + 10 ( 8 −0 ) det ( a )= 48− 12 + 80 det ( a )=116
0 3
0
4
1
−1 −2
2
0
5 −1 −1
1 6 1
4 6
]
b¿
[
−2 1 5 4
0 2 0 2
0 −1
7 0
−1
5 2
3
] [ "2 # "1
1 −2 5 4
2 0 0 2
−1 0
−1 3
] [
0 "2+ 2 "1 7 " 3−5 " 1
5 "4 −4 "1 0 2 0
1 0
]
2 4
−1 −2
5 0 " 3 + "2 7 2
−10 −6
4 7
3 5 " 4 + "2 2 2
[ ] [ ][ ] 1 0 0 0
2 4 0 0
−1 −2
0 7
45
−1
2 25
4
det ( b )= 4
1 0
" 4 + 4 " 3
2
( ) = 205 2
410
0 0
2 4 0 0
−1 −2
4 0
0 7
45
2 205 2
1 0
"2
()
2 1
1 4
0 0
0 0
−1 −1
0 7
2
4
4 0
45
2 205 2
2−¿ 3 "1
[
8
−1
3
1
c¿ 2
2 0 2
0 3
0
4
1
−1 −2
2
0
5 −1 −1
4 6
1 6 1
][ () 1 8
"1
1
−1
0
8
3
1
2 0 3
2 0 2
−1 −2 4 6
]
1
1
2
8
2
0 " ¿ "3−2 "1
5 −1 −1
1 6 1
"5 −3 " 1
[ ][ ] [ ][ ] −1
1
0
8
11
0
−1
8 9
0 0 0
4 6
−1
0
8
11
0
8
−1
9
0 0 0
4 0 19
2
8
1
−3
2
8
4 6
( ) 8
11
|
C = 2 0 3
−1 1 2 0 2
1
1
8
1
1
1
2
8
−8
4
−3
11
11
11
0
9
0 0 0
2
8
1
−3
2
8
1
0
( ) 8
3
11
4 6 5 8
4 0 19
" 2
−1 8
1
−2 4 6
0 0 0
4 0 19
|
4 2
1 0
−2
5 −1 −1
1 6 1
4 −1 −5 2
3
2
8
−8
4
−3
11
11
11
4 6
4 −1 −5 2
4
8
1
−2
9
"3− " 2
19 "2 4 " 5− 8 6 5
1
0
9
8
0 −1 4 6
−1
8
det ( c ) = 1283 8 3
" 2
8
2
8
0
4 6 5
4 −1 −5
−2
1
3
2
8
1
1
4 −1 −5
−2
4 0 19
1
3
9
"3− " 2 4
19 4 " 5− "2 8 6 5 8
|
1 2 C =8∗ 0 2
−1 −2 4 6
2 5 −1 −1
| |
0 3 1 − (−1 )∗ 2 6 0 1 3
−1 −2 4 6
2 5 −1 −1
||
0 1 6 1
3 + 0∗ 2 0 3
1 2 0 2
2 5 −1 −1
||
0 3 1 − 4∗ 2 6 0 1 3
1 2 0 2
−1 −2 4 6
||
0 1 6 1
3 + 1∗ 2 0 3
1 2 0 2
det ( c )=1283
Conclusiones
•
Como resultado del desarrollo de los ejercicios he corroborado y practicado los conceptos ectores, !atrices y "eterminantes y toda la temática que se encierra en ellos.
•
$s debido concluir que el conocimiento no solo se basa en formulas sino en la comprensión de la ra5ón, metodología y proceso que concluyen y se consolida en dichas formulas.
•
Colocar en práctica los conocimientos adquiridos atreves del material de estudio para con esto hacer un aporte asertivo en el desarrollo de la actividad grupal.
•
$ste curso es de gran satisfacción ya que con nos permite resolver los diferentes enfoque en nuestro futuro, que a través de matrices podemos evidenciar el funcionamiento de las empresas.
−1 −2 4 6
|
2 5 −1 −1
%e&erencias Bibliográ&icas"
•
•
•
•
:nidad ectores !atrices y "eterminantes. "isponible en% http%;;<<.<*.=*.)>?;campus=@)>*);mod;lesson;vie4.phpid&==*Bpageid&>= Consultado el ) de septiembre de )>* 6uia ntegradora de Actividades. "isponible en% http%;;datateca.unad.edu.co;contenidos;)>D>/<;)>*( );6:A@EF$6GA"A@"$@ACF"A"$9@ACA"$!CA9@)>*((
[email protected] Consultado el ) de septiembre de )>* 9yllabus del curso. "isponible en% http%;;datateca.unad.edu.co;contenidos;)>D>/<;ivian@Alvare5;Alistamiento@Algebra@lin eal@e(learning@<();syllabus@(@Algebra@lineal@e(learninig@tareas@)>*.pdf Consultado el ) de septiembre de )>* GHbrica Analítica de $valuación. "isponible en% http%;;datateca.unad.edu.co;contenidos;)>D>/<;ivian@Alvare5;Alistamiento@Algebra@lin
eal@e(learning@<();Gubrica@de@evaluacion@AI6$JGA@IE$AI@$(I$AGEE6@)>*( .pdf . Consultado el ) de septiembre de )>*
