ESTADISTICA Y PROBABILIDAD GUÍA No. 5 TEMA: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD INTRODUCCIÓN Sea E un experimento con espacio muestral S. Una función X cuyo dominio es S y cuyo recorrido es un conjunto de números reales se denomina Variable Aleatoria. Aleatoria. Los valores que toma X forman el campo o recorrido RX de la Variable Aleatoria X. Las Variables Aleatorias se clasifican en Discretas, Continuas y Conjuntas.
1. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS DEFINICION: DEFINICION : Una Variable Aleatoria Discreta X X es la que puede tomar sólo un número finito o infinitos contable de valores x, es decir, es la que toma sus valores en un conjunto discreto. DEFINICION: DEFINICION : Sea S = { s1, s2, s3, . . . , sn } el espacio muestral de un experimento sobre el cual se ha definido una variable aleatoria X con recorrido RX = {x1, x2,..., xm}. La probabilidad de que el valor de X sea un determinado x de RX está dada por P(X=x) = p(x) = f(x) = P( { s k∈S l X(sk) = x } ). La función función f se llama función de probabilidad de X, función de masa de probabilidad de X o distribución de probabilidad de la variable aleatoria X. La función f ssatisface: atisface: a) f(x) ≥ 0, para cada x∈RX. b) Σ f(x) = 1, x∈RX . c) P( X=x ) = f(x). La función de probabilidad de X se puede representar de dos formas: a) Una tabla de probabilidad, donde se muestren las parejas ordenadas ( x , f(x) ), x∈RX . El conjunto { (x,f(x)) } se le llama distribución de probabilidad de X. b) Un diagrama con un eje horizontal para los valores x, un eje vertical para las probabilidades de x, un segmento de longitud p(x) = f(x) sobre cada valor x. Este diagrama se conoce como el ábaco de probabilidad. DEFINICION: Sea S = { s1, s2, s3, . . . , sn } un espacio muestral equiprobable, X una variable aleatoria con recorrido RX = { x1, x2, ... , xm }, entonces: f(x)=P(X=x)= i i
Nùmero Nùme ro de puntos pun tos de S cuya imagen imag en es xi Nùmero de puntos de S
REPRESENTACIONES: REPRESENTACIONES : La función de masa de probabilidad (f.m.p) se puede representar de tres maneras: c) Una tabla de probabilidad, donde se muestren las parejas ordenadas ( x , f(x) ), x∈RX . El conjunto { (x,f(x)) } se le llama distribución de probabilidad de X. -1-
d) Un diagrama con un un eje horizontal para los valores x, un eje vertical vertical para las probabilidades de x, un segmento de longitud p(x) = f(x) sobre cada valor x. Este diagrama se conoce como el ábaco de probabilidad. e) Una fórmula p = P(X), en donde X toma valores en un subconjunto de números enteros. DEFINICION: La DEFINICION: La función F, cuyo valor valor para todo real x está dada por F(x) = P(X≤x) = P({ sk∈S l X(sk) ≤ x }), se denomina función de distribución o distribución acumulada de acumulada de la variable aleatoria X, cuya función de probabilidad es f. La función de distribución o acumulada F se puede obtener a partir de la función de probabilidad f. La función de distribución F satisface las siguientes condiciones: a) b) c) d) e) f)
Existe m tal que F(x) = 0, para todo x < m. Existe M tal que F(x) F(x) = 1, para todo x ≥ M. F es no decreciente, es decir: F(a) ≥ F(b), para todo par a,b∈R con a ≥ b. F es una función escalonada con un número finito de saltos. El dominio de F es el conjunto de los Reales y el recorrido es el intervalo [0,1]. P( a < X ≤ b ) = F(b) - F(a).
DEFINICION: Supóngase que S es el espacio muestral de cierto experimento sobre el cual se define una variable aleatoria X, y sea f la función de probabilidad de la variable X definida como sigue: xi f(xi)
x1 f(x1)
x2 f(x2)
x3 f(x3)
x4 f(x4)
x5 f(x5)
... ...
xn f(xn)
Entonces: 1) La media, Valor Esperado Esperado o Esperanza de X es la medida del promedio de la variable aleatoria X, y se define como: E(X) = µX = x1f(x1) + x2f(x2) + . . . + x nf(xn) = Σ xif(xi). i=1,2,3,...n. 2) La Varianza de Varianza de X es la medida del esparcimiento o dispersión de la variable X, y se define como: Var(X) = (x1-µ)2f(x1) + (x2-µ)2f(x2) + . . . + (xn-µ)2f(xn) = Σ (xi-µ)2f(xi). Var(X) = Σ (xi)2f(xi) - µ2 . 3) La Desviación Estándar de Estándar de X es la raiz cuadrada de la varianza de X, y se denota como: σX = Var(X) EJEMPLO 1: Se lanzan dos dados distinguibles. Se define la variable aleatoria X como el promedio de los números resultantes. a) Describa la variable variable X El espacio muestral para este experimento es: S = {(x,y) | x, y ∈{1,2,3,4,5,6}}
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A cada pareja (x,y) o elemento de este espacio muestral le asignamos el número x+y , 2
que es lo que indica la relación funcional. X:S
R
(1,1)
1,0
(1,2)
1,5
(1,3)
2,0
(1,4)
2,5
(1,5)
3,0
(1,6)
3,5
… (2,6)
4,0
… (3,6)
4,5
… (4,6)
5,0
.. (5,6)
5,5
(6,6)
6,0
b) Obtenga el recorrido de X Se puede verificar que los únicos promedios posibles son los números 1.0 , 1.5 , 2.0 , 2.5 , 3.0 , 3.5 , 4.0 , 4.5 , 5.0 , 5.5 y 6.0. Por lo tanto el recorrido de la variable aleatoria X es: RX = { 1.0 , 1.5 , 2.0 , 2.5 , 3.0 , 3.5 , 4.0 , 4.5 , 5.0 , 5.5 , 6.0 } c) Obtenga la tabla de Probabilidades El espacio muestral S de este experimento tiene 6x6 = 36 puntos muestrales.
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En la tabla 1 se muestra la cantidad de puntos muestrales que tienen como imagen 1, 1.5, 2, 2.5, . . . y 6. En la tabla 2 se muestran las probabilidades para cada uno de los valores de la variable X.
Tabla 1.
Tabla 2.
d) Obtenga la Distribución Acumulada de X Con base en la Tabla 2, se obtiene la tabla 3, sumando progresivamente los elementos de la columna 2 de la tabla 2.
Tabla 3. e) Calcule el valor esperado de X. k=n
E(X) =
∑ x f(x ) = 3,5 k
k
k=1
EJERCICIOS: 1) Se lanzan una moneda normal 6 veces. Se define la variable aleatoria X como el número de caras resultantes. Obtenga el espacio muestral S, el recorrido RX , tabla de la distribución f y gráfica de la función de probabilidad f y el valor esperado. 2) Se seleccionan al azar seis personas de la lista de los votantes registrados en un condado de California. El porcentaje de votantes republicanos es el 40%. Se define la variable X como el número de republicanos en la muestra. ¿Cuál es la probabilidad de que en una selección hayan menos de 3 republicanos?
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3) Se lanza una moneda corriente hasta obtener una cara o 10 sellos. Si X es el número de lanzamientos necesarios para obtener una cara o 10 sellos, ¿Cuál es el valor esperado, la varianza y la desviación estándar? 4) Un embarque de 15 computadoras similares que se envía a un distribuidor contiene 7 aparatos defectuosos. Una escuela escoge aleatoriamente 10 de estas computadoras y las compra. Se define la variable aleatoria X como el número de computadoras defectuosas entre las computadoras compradas. Obtenga la distribución acumulada. 5) En un grupo de personas, 3 tienen 15 años, 4 tienen 17 años, 5 tienen 19 años, 5 tienen 22 años, 4 tiene 24 años y 3 tiene 26 años. De este grupo se seleccionan dos personas al azar sin reemplazo. Si X es la edad promedio de las dos personas seleccionadas, ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccionen dos personas que promedien máximo 18 años? 6) Un juego de apuestas consiste en lanzar seis veces un dado normal y apostar cierta cantidad de dinero a un resultado, de tal manera que si el número apostado resulta n veces, entonces gana 500n pesos, y si no resulta pierde 2000 pesos. Un jugador apuesta al número “6”. Se define la variable aleatoria como el beneficio del jugador en 6 lanzamientos de un dado. Calcular E(X). 7) Un objeto de tiro al blanco está formado por 5 círculos concéntricos de radios 10 cm, 20 cm, 30 cm, 40 cm y 50 cm. (Figura 1). Un hombre que dispara al blanco recibe 50 puntos, 40 puntos, 30 puntos, 20 puntos o 10 puntos, según pegue en la zona 1 (círculo pequeño), zona 2, zona 3, zona 4 o zona 5 (anillos circulares). La probabilidad de que el disparo haga contacto con cualquiera de las 5 zonas del blanco es 1/3, y la probabilidad de no dar en el blanco es 2/3. Si X se define como el puntaje en un disparo, ¿Cuál P(x<40)? 8) Para la función de probabilidad de X que se muestra en la figura 2; obtenga la función F, µ(X), Var(X) y σ(X).
Figura 1. Objeto de Tiro al Blanco
Figura 2: Función de Probabilidad de X
9) Para la distribución acumulada de X que se muestra en la figura 3; obtenga la función f , µ(X), Var(X) y σ(X).
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Figura 3: Distribución Acumulada de X 10)A partir de las siguientes tablas de: a) Tabla de probabilidades: x 1 2 3 4 5 f(x) 5/30 3/30 4/30 1/30 5/30 Obtenga la tabla de distribución acumulada y la gráfica de F. b) Tabla de distribución acumulada x 1 2 3 F(x) 2/25 7/25 10/25 Obtenga la tabla de probabilidad y la gráfica de f .
6 8/30
7 4/30
4 17/25
5 25/25
2. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS DEFINICION: Sean a,b reales tales que a
1) f(x) > 0, para todo x∈R.
2)
∫ f(x)dx = 1.
−∞
Si
b
3) P(a
b
∫ f(x)dx = 1 , normalmente la función de densidad se escribe de la siguiente forma: a
⎧ f(x), si a< x
DEFINICION: La distribución acumulada de una variable aleatoria continua X con una función de densidad f(x) está dada por: x
F(x)=P(X ≤ x)= ∫ f(t)dt,
x ∈ R. Además P(a
−∞
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DEFINICION: Sea X una variable aleatoria continua. El valor esperado de X y la varianza de X, se definen respectivamente como: +∞
1)
+∞
E(X)= ∫ xf(x)dx
2
+∞
2) Var(X)= ∫ ( x -µ) f(x)dx = ∫ x2f(x)dx -µ2
-∞
-∞
-∞
Siempre y cuando las integrales existan. EJEMPLO 2: El tiempo de vida útil, en días, de frascos de cierta medicina es una variable aleatoria X
⎧k/(x+100)3 , x > 0. f(x)= que tiene la función de densidad ⎨ ⎩0, en los demás valores a) ¿Cuál debe ser el valor de k, para que f sea función de densidad de probabilidad? ∞
De la solución de la ecuación
k 3 dx =1 , se obtiene que k = 2000. (x+100) 0
∫
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un frasco de este medicamento tenga una vida útil de al menos 200 días?
k 1 dx = 3 200 (x +100) 90 ∞
P(X ≥ 200) = ∫
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un frasco de este medicamento tenga cualquier duración entre 80 y 120 días? 120
P(80 ≤ X ≤ 120) =
k 100 3 dx = 9801 (x+100) 80
∫
d) ¿Cuál es la vida media de los frascos de esta medicina? ∞
E(X) =
2000x 3 dx =10 días (x+100) 0
∫
EJERCICIOS: 1) El tiempo de espera, en horas, que tarda un radar en detectar dos conductores sucesivos a alta velocidad es una variable aleatoria continua con una distribución ⎧0, x ≤ 0 acumulada definida como F(x)= ⎨ -8x . ⎩1-e , x >0 Encuentre la probabilidad de esperar menos de 12 minutos entre dos conductores sucesivos usando: a) Distribución acumulada de X. b) Función de densidad de probabilidad de X.
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2) Sea X una variable aleatoria continua cuya distribución f es constante k en un intervalo [a,b], y es nula en los demás valores de X. a) Hallar la constante k. b) Hallar µ y σ. c) Determinar la función F(x). 3) Sea X una variable aleatoria que representa la vida en horas de cierto dispositivo electrónico. La función de densidad de probabilidad esta dada por la fórmula ⎧20000 / x 3 , x > 100 . f ( x ) = ⎨ ⎩0, x ≤ 100 Encuentre la vida esperada de este dispositivo. 4) Si la utilidad de un distribuidor, en unidades de $ 1000, en un nuevo automóvil puede considerarse como una variable aleatoria X con una función de densidad definida como: ⎧2(1-x), 0< x<1 . Encuentre la utilidad promedio por automóvil. f(x)= ⎨ ⎩0, en los demás valores
5) La función de densidad de las mediciones codificadas del diámetro del hilo de un 4 ⎧ encaje es f(x)= ⎪⎨ (1+ x2 ) , 0 < x <1
. Encuentre el valor esperado de X.
π
⎪0, en los demás valores ⎩
6) El número de horas de vida útil de determinada batería, tiene asociada una función de densidad de probabilidad de la forma
⎧1 - x 2 f(x)= ⎪⎨2 e , x>0 ⎪0, x ∈ 0 ⎩
.
a) Calcular la probabilidad de que la vida útil de una batería de este tipo sea menor de 100 o mayor de 200 horas. (Tomar x en unidades de 100 horas) b) Calcular la probabilidad de que una batería de este tipo dure más de 150 horas, dado que ya ha estado en uso más de 100 horas. 7) La proporción de impurezas X de determinadas muestras de mineral de cobre es una variable aleatoria que tiene una función de densidad de probabilidad definida 2 como f(x)= ⎧⎪⎨12x (1-x), 0 ≤ x ≤ 1
⎪⎩0, en los demás valores
.
Si se seleccionan cinco muestras de ellas en forma independiente, ¿Cuál es la probabilidad de que dos de ellas tengan una proporción de impurezas mayor que 0.5? 8) En un lago de una región costera se seleccionan muestras de agua para determinar su pH, y se ha encontrado que el pH es una variable aleatoria X cuya función de 2 ⎧ densidad está dada por : f(x)= ⎨k(7 - x) , 5 ≤ x ≤ 7 ⎩0, en los demás valores a) Calcular E(X) y Var(X). b) ¿Se puede esperar que la frecuencia con que se encuentren valores de pH menores que 5.5 sea mayor que 0.5?
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9) Para calcular la duración x (en años) de un chip de memoria de un tipo de computadora se debe usar una variable aleatoria continua X con función de ⎧⎪kxe-x2 /16 , si x ≥ 0 densidad de la forma f(x)= ⎨ . , si x < 0 ⎪⎩0 Encuentre k para que f(x) sea función de densidad y calcule P(X>2 l X<4). 10) Sean X e Y variables aleatorias continuas cuyas funciones de densidad se muestran en las figura 4 y 5. a) Calcule P ( X ≤ 3 X ≥ 1) . ⎛ 3a a⎞ b) P ⎜ Y ≤ Y ≥ ⎟. 2 2⎠ ⎝
Figura 4.
Figura 5.
3. DISTRIBUCIONES DISCRETAS DEFINICION: Un ensayo de Bernoulli es un experimento que tiene dos eventos posibles, a los cuales se les llama evento E de casos favorables (éxitos) y evento EC de casos no favorables (fracasos). Cada uno de ellos tiene una probabilidad de ocurrencia. P(E) = P(éxito) = p y P(EC) = P(fracaso) = q = 1-p. EJEMPLO 3: El lanzamiento de una moneda equilibrada dos veces. S = { CC, CS, SC, CC } ; PS = { {CC} , {SC, CS, SS} } E = { Salen dos Caras } → P(E) = 1/3. c → P(Ec) = 3/4. E = { No salen dos Caras } EJEMPLO 4: El lanzamiento de un dado. S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ; OS = { {2, 4, 6}, {1, 3, 5} } E = { Resulta un Par } → P(E) = 1/2. c E = { Resulta un Impar } → P(Ec) = 1/2.
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3.1 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL: DEFINICION: Sea X el número total de éxitos en n pruebas independientes y repetidas de Bernoully con probabilidad de éxito igual a p. X se llama variable aleatoria binomial con parámetros n y p. TEOREMA: Si X es una variable aleatoria binomial con parámetros n y p, entonces la
⎛ n ⎞
probabilidad de obtener k éxitos está dada por P(X=k) = B(k,n,p) = ⎜⎜ ⎟⎟ pkqn-k, con ⎝ k ⎠ E(X)=np y Var(X) = npq. EJEMPLO 5: Se lanzan 5 dados distinguibles 8 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un doble y un triple de valores diferentes en 5 ocasiones? Solución: El número de ensayos de Bernoully es n = 8. En este caso un ensayo de Bernoully consiste en lanzar 5 dados distinguibles. ⎛ 6 ⎞ 5! ⎜ 2 ⎟ 2!g3! 2 300 La probabilidad de éxito es p = ⎝ ⎠ 5 . = i
i
7776
6
La probabilidad de fracaso es q = 1 – p =
7476 7776
.
5 3 8 16529595400390625 Entonces P(X =5)= ⎛⎜ ⎞⎟⎜⎛ 300 ⎞⎟ ⎛⎜ 7476 ⎞⎟ = 3886064995091016056832 ⎝ 5 ⎠ ⎝ 7776 ⎠ ⎝ 7776 ⎠
EJEMPLO 6: Todos los días se parquean alrededor de un parque 4 automóviles y 8 camionetas, que van ocupando las zonas de parqueo a medida que van llegando. ¿Cuál es la probabilidad de que en una semana dad las automóviles queden juntos en 3 ocasiones? Solución: El número de ensayos de Bernoully es n = 7 (7 días tiene la semana). Un resultado exitoso es lograr que los 4 automóviles queden parqueados juntos. La probabilidad de éxito es p = 8! 4! = 4 i
11!
165
La probabilidad de fracaso es q = 1 – p = ⎛ 7 ⎞ ⎛ 4 ⎞3 ⎛ 161 ⎞ 4 ⎟ ⎜ ⎟ = Entonces P(X=3) = ⎜⎝ 3 ⎟⎜ ⎠ ⎝ 165 ⎠ ⎝ 165 ⎠
161 165
.
301010411968 665913171515625
EJEMPLO 7: Un estudiante presenta un examen de selección múltiple que contiene 8 preguntas cada una con 3 respuestas opcionales. Supóngase que está adivinando al responder a cada pregunta y que la probabilidad de responder correctamente cada una de ellas es de 1/3.
- 10 -
a) Obtener la tabla de probabilidades. p=
1 3
y q =
X P(X = x)
⎛ 8 ⎞ ⎝ ⎠
2
; P(X = x) = ⎜⎜ ⎟⎟ p x q 8−x x 3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
256
1024
1792
1792
1120
448
112
16
1
6561
6561
6561
6561
6561
6561
6561
6561
6561
b) Obtenga la tabla de distribución acumulada. La acumulada es: X P(X = x)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
256
1280
3072
4864
5984
6432
6544
6560
6561
6561
6561
6561
6561
6561
6561
6561
6561
6561
c) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte más de la mitad de las preguntas?
P (X ≥ 4)=
577 6561
EJEMPLO 8: Un hombre está jugando tiro al blanco y dispara siete veces. La probabilidad de que pegue en el blanco es 1/4. ¿Cuál es la probabilidad de que pegue por lo menos dos veces al blanco? x
7-x
⎛7⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 1 3 p = ; q= ; P(X=x)= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 4 ⎝ x⎠⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠
0
P(X ≥ 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1);
7
1
⎛7⎞ 1 3 ⎛7⎞ 1 P(X ≥ 2)=1- ⎜ ⎟ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎛⎜ ⎞⎟ - ⎜ ⎟ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝0⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝1⎠ ⎝ 4 ⎠
6
⎛ 3 ⎞ = 4574 ⎜ 4 ⎟ 8192 ⎝ ⎠
EJERCICIOS: 1) Se lanza una moneda cargada 10 veces, y la probabilidad de que resulte CARA es 1/4. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sucedan tres caras exactamente? b) ¿Cuál es la probabilidad de conseguir por lo menos 7 caras? c) ¿Cuál es la probabilidad de que no salgan caras? d) Obtenga la tabla y la gráfica de distribución. 2) Dos dados corrientes se lanzan 8 veces, y consideremos un resultado exitoso la aparición de una suma PAR. a) Hallar la probabilidad de tener éxito exactamente 4 veces. b) Hallar la probabilidad de que no salga una suma PAR. c) Hallar la probabilidad de que una suma PAR salga por lo menos 4 veces. d) Obtenga la tabla y la gráfica de distribución.
- 11 -
3) Cinco monedas que no tienen CARA y SELLO sino TRES y CINCO se lanzan 8 veces. a) Hallar la probabilidad de obtener una suma superior a 20 en tres ocasiones. b) Hallar la probabilidad de obtener una suma superior a 20 al menos en tres ocasiones. c) Hallar la probabilidad de obtener una suma superior a 20 a lo más en tres ocasiones. 4) 15 vehículos, entre los cuales se encuentran 3 camperos, se parquean todos los días de la semana, alrededor de una plaza. a) ¿Cuál es la probabilidad de que los camperos queden juntos sólo dos días de la semana? b) ¿Cuál es la probabilidad de que los camperos nunca queden juntos? 5) Hay 10 niños matriculados en el kínder de una escuela, de los cuales 4 tienen 4 años, 3 tienen 5 años y 3 tienen 6 años. De este curso se selecciona diariamente una pareja de niños al azar para desarrollar cierta actividad artística. ¿Cuál es la probabilidad de que en una semana se seleccione 3 veces una pareja cuyo promedio de edad sea mayor o igual de 5 años? 6) De una baraja corriente de 52 cartas se sacan dos cartas simultáneamente y se devuelven a la baraja, esto se realiza seis veces. a) ¿Cuál es la probabilidad de que resulten dos letras del mismo valor en tres ocasiones? b) ¿Cuál es la probabilidad de que resulten dos números del mismo valor en tres ocasiones? c) ¿Cuál es la probabilidad de que resulte dos Ases al menos dos veces? 7) En un juego se lanzan 6 dados normales 8 veces. En el juego se gana si salen 3 dobles diferentes o dos triples diferentes. a) ¿Cuál es la probabilidad de no ganar en este juego? b) ¿Cuál es la probabilidad de ganar 2 veces? c) ¿Cuál es la probabilidad de ganar más de 4 veces? d) ¿Cuál es la probabilidad de ganar todas las veces? 8) La proporción de impurezas X de determinadas muestras de mineral de cobre es una variable aleatoria que tiene una función de densidad de probabilidad definida ⎧12x2 (1- x), 0 ≤ x ≤ 1 como f(x)= ⎪⎨ . ⎪⎩0, en los demás valores Si se seleccionan cinco muestras de ellas en forma independiente, a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos de ellas tenga una proporción de impurezas mayor que 0.4? b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos tres de ellas tengan una proporción de impurezas mayor que 0.5? 9) Un laberinto para ratas tiene un corredor recto, y al final una bifurcación; en la bifurcación, la rata debe ir a la derecha o a la izquierda. Suponer que se colocan 10 ratas en el laberinto, de una en una. Si cada una de las ratas toma al azar una de las dos alternativas del camino, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 9 vayan al mismo lado?
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10)Boris va de pesca 15 domingos del año a la ciénaga de Ayapel, 17 domingos a la ciénaga de Betancí y 20 domingos a la ciénaga de Lórica. Cuando lanza el anzuelo, las probabilidades de que un pez pique el anzuelo en cada sitio son, 1/3, 1/4 y 1/5, respectivamente. En una ocasión lanzó el anzuelo 8 veces y picó más de cuatro veces. ¿Cuál es la probabilidad de que haya estado pescando en el segundo sitio? 11)Todas las evaluaciones en un instituto consisten en 10 preguntas de selección múltiple con única respuesta, y cada pregunta con cuatro opciones de respuesta. Las evaluaciones se aprueban si se contestan bien al menos 6 preguntas. Boris, que nunca se prepara para las evaluaciones, las presenta respondiendo al azar y dependiendo de su buena suerte. ¿Cuál es la probabilidad de que en un mes en que debe presentar 12 evaluaciones, apruebe más de la mitad de las evaluaciones? 12)El número de horas de vida útil de una batería XYZ, tiene asociada una función de ⎧⎪ -2x densidad de probabilidad de la forma f(x)= ⎨ke , x >0 . ⎪⎩0, x ≤ 0 Una empresa compra 10 baterías de esta marca. (Tomar x en unidades de 100 horas) c) ¿Cuál es la probabilidad de que la mitad de las baterías tenga una vida útil menor de 200 o mayor de 400 horas? d) Calcular la probabilidad de que al menos 3 baterías de este tipo duren más de 300 horas, dado que ya han estado en uso más de 200 horas.
13)Un peaje tiene 6 accesos: A, B, C, D, E y F. Un vehículo tiene igual probabilidad de pasar a través de cualquiera de los accesos. Si se aproximan 5 vehículos, ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 2 de los 5 entre por el acceso A? 14)Sea X una variable aleatoria de una distribución binomial con E(X)=4 y σ(X)= a) Calcular P(X<3), P(X≥12) y P(10≤X<13). b) Hallar la distribución de X. c) Hallar la distribución acumulada de X.
3
.
15)La siguiente gráfica corresponde a la función de probabilidad de X de una distribución binomial con µ(X) = 2. Obtenga la tabla de f y la tabla de F.
X
- 13 -
3.2 DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA: DEFINICION: Se realizan pruebas de Bernoully independientes hasta obtener un éxito. La probabilidad de éxito en cada prueba es p, con 0 < p ≤ 1. Sea X el número de pruebas necesarias para obtener el primer éxito, X se llama variable aleatoria geométrica con parámetro p. TEOREMA: Si X es una variable aleatoria geométrica con parámetro p, entonces, la probabilidad de que el primer éxito se tenga en la k-ésima prueba está dado por P(X=k) = qk-1p, k = 1, 2, 3, . . . Con E(X) = 1/p y Var(X) = (1-p)/p2. EJEMPLO 9: Una ruleta americana generalmente tiene 38 lugares, de los cuales 18 son negros, 18 son rojos y 2 son verdes. Sea X el número de juegos necesarios para obtener el primer rojo. a) Obtenga la función de probabilidad de X y la media de X. n -1
⎛ 9 ⎞⎛ 10 ⎞ p= ; q = ; P(X = x) = ⎜ ⎟⎜ ⎟ con n = 1, 2, 3, … ; E(X) = 19 19 ⎝ 19 ⎠⎝ 19 ⎠ 9
X P(X = x)
10
1 0.4737
2 0.2493
3 0.1332
4 0.0690
5 0.0363
… …
19 9
… …
… …
b) ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca un rojo, si en los cuatro primeros juegos no apareció? P (X ≥ 5)
= P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + … = pq4 ( 1 + q + q2 + q3 + … ) =
pq4 1-q
= pq4 + pq5+ pq6+ pq7 + … 10 4 = q4 = ⎛⎜ ⎞⎟ = 0.0767 ⎝ 19 ⎠
EJEMPLO 10: Una lotería consiste en seleccionar 6 números de 45 números {1, 2, 3, ... , 44, 45} posibles. Si el jugador logra 3, 4 o 5 aciertos recibe premios menores, y si logra los 6 aciertos recibe el premio mayor. Suponiendo que esta lotería juega semanalmente y que nuestro jugador la jugará a partir de hoy todas las semanas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que gane al menos un premio en su quinto intento? b) ¿Cuál es la probabilidad de que gane al menos un premio después del quinto intento? Solución: ⎛ 6 ⎞⎛ 39 ⎞ ⎛ 6 ⎞⎛ 39⎞ ⎛ 6⎞⎛ 39⎞ ⎛ 6⎞⎛ 39⎞ ⎜ 3 ⎟⎜ 3 ⎟ + ⎜ 4⎟⎜ 2 ⎟ +⎜ 5⎟⎜ 1 ⎟ +⎜ 6⎟⎜ 0 ⎟ 6471 265.031 p = ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = ; q= 271.502 271.502 ⎛ 45 ⎞ ⎜6⎟ ⎝ ⎠ 6471 ⎛ 265.031 ⎞4 a) P(X=5) = pq = =0,02164 271.502 ⎜⎝ 271.502 ⎟⎠ 5 265.031 ⎞ ⎛ 5 b) P(X>5) = q = ⎜ ⎟ =0,88137 ⎝ 271.502 ⎠ 4
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EJERCICIOS: 1) Se lanzan cinco monedas equilibradas y distinguibles hasta que aparezcan sólo Caras o sólo Sellos. ¿Cuál es la probabilidad de que se logre este resultado: a) En el quinto lanzamiento? b) Después del quinto lanzamiento? c) En un número par de lanzamientos? 2) Se lanzan cinco dados normales y distinguibles hasta que aparezca un doble y un triple de valores diferentes. Calcule la probabilidad de que este resultado ocurra: a) En el primer lanzamiento. b) Después del décimo lanzamiento. c) En el lanzamiento 3 o 7 o 11 o 15 o 19 o 23 o 27 o . . . 3) Suponga que una urna contiene 10 tarjetas numeradas del 1 al 10. Se extraen dos tarjetas simultáneamente y se devuelven a la urna. Sea X el número de sustracciones con reemplazo necesarias para sacar una suma par. ¿Cuál es la función de probabilidad de X y la media de X? 4) Un juego consiste en lanzar 8 veces una moneda que no tiene Cara y Sello sino 4 y 6, y apostarle a cierto resultado. Si un jugador apuesta a que obtendrá una suma superior a 40 y X es el número del juego en que el jugador gana por primera vez, a) Calcule P(X=2n-1), neN. b) Calcule P(X=3n+5), neN. c) Calcule P(X=5n-1), neN. 5) Supóngase que X es una variable aleatoria geométrica con parámetro p. Demuestre que la probabilidad de obtener el primer éxito después de la m-ésima prueba es (1-p)m. 6) La victima de un accidente morirá a menos que reciba en los próximos 30 minutos una cantidad de sangre tipo A Rh+, la cual debe provenir de un único donante. Se necesitan tres minutos para analizar la sangre de un donador probable, y tres minutos para completar la transfusión. Hay un gran número de donadores de tipo desconocido de sangre pero se sabe que el 40% de ellos es tipo A Rh+. ¿Cuál es la probabilidad de que se salve la victima si sólo hay un equipo de análisis de sangre? 7) Un jugador recibe una mano de 5 cartas de una baraja normal de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba una pareja de Ases y una terna de números en un número par de intentos? 8) Un aprendiz de mago trae dos sombreros y una baraja normal de 52 cartas. En el primer sombrero introduce todas las figuras rojas y los números pares negros, mientras que en el segundo sombrero introduce todas las figuras negras y los números impares rojos. Saca una carta del primer sombrero y, sin verla, la introduce en el segundo sombrero. Finalmente se saca una carta del segundo sombrero. El aprendiz promete que la carta que sacará del segundo sombrero será roja. Suponiendo que nuestro aprendiz de mago no sabe mucho y que está confiado en su buena suerte, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga éxito después de su quinto intento?
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9) En una fabrica de tornillos, se ha determinado que el error por exceso en la medida del diámetro en tornillos para maquinaria pesada varía de 0 a 1 milímetro. En particular, para tornillos cuyo diámetro es de 4 cm, se ha comprobado que la probabilidad de que el diámetro se exceda x cm se puede evaluar mediante la 4 ⎧ , 0< x<1 ⎪ función de densidad f(x)= ⎨ (1+ x2 ) . ⎪0, en los demás valores ⎩ Si el departamento de control de calidad revisa los tornillos uno a uno, ¿Cuál es la probabilidad que entre los 4 primeros tornillos revisados no se encuentre uno cuyo diámetro sea superior a 4.05 cm? π
10)Cuatro monedas cargadas en donde la probabilidad de que resulte un Sello es de 1/4 se lanzan hasta que resulten los cuatro Sellos. a) Obtener la función de probabilidad. b) Graficar la función de probabilidad. c) Calcular E(X) y Var(X). d) Calcular P(X>5) e) Calcular P(X=5m), m=1, 2, 3, 4, …
3.3 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA: DEFINICIÓN: Supóngase que se tienen N objetos, de los cuales K objetos son de tipo 1 (éxito), y N-K objetos son de tipo 2 (fracaso), y supóngase que se extraen n objetos sin reemplazo. Si la variable aleatoria X se define como el número de éxitos entre los n objetos seleccionados, entonces tenemos un experimento hipergeo⎛ k ⎞⎛ N-k ⎞ ⎜ x ⎟⎜ n-x ⎟ ⎠ , Con métrico, cuya función de probabilidad está dada por: P(X=x) = ⎝ ⎠⎝ ⎛ N⎞ ⎜ n⎟ ⎝ ⎠ nk nk N-k N-n 0 ≤ x ≤ k ≤ N , 0 ≤ x ≤ n ≤ N. E(X)= y Var(X)= × . × N N N N-1 EJEMPLO 11: Un comité compuesto por 5 personas se selecciona aleatoriamente de un grupo formado por 3 estadistas y 5 economistas. Encuentre la distribución de probabilidad para el número de estadistas en el comité. N= 8 K =3
N-K=5
x = 0, 1, 2, 3
n - x = 3, 2, 1, 0 n =5
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⎛ 3 ⎞⎛ 5 ⎞ ⎜ x ⎟⎜ 5- x ⎟ ⎠; P(X = x) = ⎝ ⎠⎝ 8 ⎛ ⎞ ⎜5⎟ ⎝ ⎠ x = 0, 1, 2, 3
EJEMPLO 12: Se sacan al azar 13 cartas de una baraja normal de 52 cartas. Se define la variable aleatoria X como el número de cartas rojas en la muestra. a) Hallar la función de probabilidad de X. b) Calcule P(X = 5) Solución: N = 52 K = 26
N - K = 26
⎛ 26 ⎞⎛ 26 ⎞ ⎜ x ⎟⎜ 13- x ⎟ ⎠ ; a) P(X=x)= ⎝ ⎠⎝ ⎛ 52 ⎞ ⎜ 13 ⎟ ⎝ ⎠
x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 … 13 x = 0, 1,..., 13
n-x = 13, ..., 0 n = 13
⎛ 26 ⎞⎛ 26 ⎞ ⎜ 5 ⎟⎜ 8 ⎟ b) P(X=5)= ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ 52 ⎞ ⎜ 13 ⎟ ⎝ ⎠
EJERCICIOS: 1) En un departamento de control de calidad, un lote de 30 componentes se considera aceptable si no contiene mas de 4 componentes defectuosos. El procedimiento de muestreo del lote consiste en seleccionar 6 componentes aleatoriamente y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente un componente defectuoso se encuentre en la muestra si hay 4 defectuosos en todo el lote? 2) De un grupo de 10 profesionales, 4 de medicina y 6 de ingeniería, se seleccionan aleatoriamente un comité de 4 personas. Grafique la distribución de probabilidad para el número de médicos en el comité. 3) Si se extraen 8 cartas a la vez de una baraja normal de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de ellas sean figuras? 4) Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 12 cápsulas de narcótico en un frasco que contiene 18 cápsulas de vitamina con similar apariencia. Si un oficial de la aduana, que sospecha del viajero, selecciona 6 cápsulas aleatoriamente para analizarlas, ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión ilegal de narcóticos? 5) Una brigada de salubridad de 8 personas se forma aleatoriamente, seleccionando de entre 12 médicos y 6 enfermeras. La variable X se define como el número de médicos en el comité. Obtener la función de probabilidad de X y calcular P(4≤X≤7). 6) ¿Cuál es la probabilidad de que un mesero se resista a servir bebidas alcohólicas únicamente a dos menores de edad, si verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tienen la mayoría de edad?
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7) Se sacan al azar 13 cartas de una baraja normal de 52 cartas. Se define la variable aleatoria X como el número de cartas rojas en la muestra. Hallar la función de probabilidad de X, E(X) y Var(X). 8) Anatoly recibe 5 cartas de una baraja francesa a la que le faltan 4 cartas de corazones y 4 cartas de diamantes, mientras que Boris recibe 5 cartas de una baraja francesa completa. ¿Quién tiene mayor probabilidad de que sacar al menos 3 corazones? 9) De una urna que contiene m bolas blancas y n bolas (m>n), se seleccionan aleatoriamente m-n+2 bolas, sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccionen exactamente m-n-2 bolas blancas? 10)En un almacén hay 20 impresoras, y 6 de ellas son defectuosas. Una compañía selecciona al azar 8 de ellas para comprarlas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que las 8 máquinas seleccionas no tengan defectos? b) ¿Cuántas impresoras defectuosas espera vender la tienda en esta venta? 11)En un recipiente se encuentran n artículos defectuosos y 2n artículos defectuosos (n par); si se saca la tercera parte de los artículos, ¿Cuál es la probabilidad de que la mitad de ellos sean buenos? 12)Un motor de 8 cilindros tiene 2 bujías que fallan. Si se quitan 4 bujías del motor, ¿Cuál es la probabilidad de que entre ellas se encuentren las dos que tiene fallas? 13)Un director técnico de tenis tiene una canasta con 25 pelotas, 15 de éstas son nuevas y 10 son usadas. Cada uno de 4 jugadores selecciona al azar 3 pelotas para un juego. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 8 de las pelotas seleccionadas sean nuevas? 14)Un juego consiste en seleccionar 5 cartas de una baraja de 52 cartas y apostarle cierto resultado. ¿Cuál es la probabilidad de que un jugador gane por primera vez después del octavo juego, si apuesta a que obtendrá una pareja y una terna? 15)Un geólogo ha recolectado 10 especimenes de roca basáltica y 10 de granito. El geólogo instruye a un asistente de laboratorio para que seleccione al azar 15 de los especimenes para analizarlos. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los especimenes de uno de los dos tipos de roca sean seleccionados para el análisis?
3.4 DISTRIBUCIÓN DE PASCAL DEFINICION: Sea X el número de intentos necesarios o el intento en que se presenta el k-ésimo éxito en una secuencia de pruebas de Bernoully independientes, y p la probabilidad común de éxito; entonces, la probabilidad de que el k-ésimo éxito se tenga en el x-ésimo ensayo se puede calcular con la fórmula de distribución binomial ⎛ x -1 ⎞ k k k(1-p) p (1-p)x-k , con E(X)= y Var(X)= 2 , con x≥k. negativa: P(X =x)= ⎜ ⎟ p p ⎝ k -1 ⎠ EJEMPLO 13: Si la tercera parte de las personas que donan sangre a una clínica son del grupo O+, ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo donador O+ sea el quinto donador del día?
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2
x-2
⎛ x-1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ p = ; q = ; P(X = x)2 = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ , x = 2, 3, 4, … 3 3 ⎝ 2-1 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 2 3 2 3 ⎛ 5-1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ = 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 32 P(X = 5)2 = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 243 ⎝ 2-1 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 1
2
EJEMPLO 14: Las líneas telefónicas que entran a una oficina de reservaciones de aerolíneas están ocupadas un 60% del tiempo. Si dos personas deben hacer llamadas separadas a esta oficina, ¿Cuál es la probabilidad que deban hacer un total de ocho intentos para lograr las dos llamadas?
⎛ x -1 ⎞ ⎛ 3 ⎞2 ⎛ 2 ⎞x-2 p = ; q = ; P(X = x)2 = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ , x = 2, 3, 4, … ⎝ 2-1 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 5 5 3
2
2
6
8-1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞ P(X = 8)2 = ⎛⎜ = 4032 =0,0103 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2-1 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 390652
EJERCICIOS: 1) Sea X una variable aleatoria binomial negativa con parámetros p=2/5 y k=5. a) Calcular P(X≥5). b) Calcular P(X<6). 2) Una persona lanza al aire cinco monedas distinguibles. ¿Cuál es la probabilidad de que en el octavo lanzamiento obtenga por segunda ocasión tres caras o tres sellos? 3) Supóngase que el 10% de los motores fabricados en determinada línea de montaje son defectuosos. Los motores se seleccionan al azar, uno a la vez, para someterlos a una prueba. ¿Cuál es la probabilidad de que el tercer motor no defectuoso se encuentre en la quinta prueba o antes? 4) En un almacén de llantas una de cada 0cho es defectuosa. Un comprador desconfiado decide examinar las llantas una a una hasta encontrar cuatro llantas en perfecto estado para su carro. a) Hallar la probabilidad de que deba examinar ocho llantas. b) Calcule el valor esperado y la varianza del número de llantas que debe examinar para obtener cuatro llantas sin defectos. 5) Un electrodoméstico se vende en dos colores, blanco y rojo, y tienen igual demanda. Un vendedor de electrodomésticos tiene tres de cada color en existencia, aunque esto no lo saben los clientes, quienes llegan y piden en forma independiente estos electrodomésticos. a) Calcular es la probabilidad de que el quinto cliente pida el tercer electrodoméstico blanco. b) ¿Cuál es la probabilidad de que se pidan todos los blancos antes de que se agoten los rojos?
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6) Un juego consiste en seleccionar 5 cartas de una baraja de 52 cartas y apostarle cierto resultado. a) ¿Cuál es la probabilidad de que antes del octavo juego, un jugador gane por cuarta vez, si apuesta a que obtendrá una escalera? b) ¿Cuál es la probabilidad de que antes del octavo juego, un jugador gane más de cuatro veces, si apuesta a que obtendrá una pareja y una terna? 7) Un juego consiste en lanzar 8 veces una moneda que no tiene cara y sello sino 4 y 6, y apostarle a cierto resultado. ¿Cuál es la probabilidad de que en el octavo juego, un jugador gane por tercera vez, si apuesta a que obtendrá una suma superior a 40? 8) Se lanzan 9 dados normales y distinguibles y apostarle a que resulte un doble, un triple y un cuádruplo de valores diferentes. ¿Cuál es la probabilidad de ganar la apuesta por tercera vez antes del octavo lanzamiento? 9) Un científico inocula varios ratones, uno a uno, con un germen de una enfermedad hasta que obtiene dos que la han contraído. Si la probabilidad de contraer la enfermedad es 1/6, ¿Cuál es la probabilidad de que requieran inocular a ocho ratones? 10)En un lago de una región costera se seleccionan muestras de agua para determinar su pH, y se ha encontrado que el pH es una variable aleatoria X cuya función de ⎧⎪ 3 (7- x)2 , 5 ≤ x ≤ 7 densidad está dada por : f(x)= ⎨ 8 ⎪⎩0, en los demás valores ¿Cuál es la probabilidad de que la sexta muestra analizada, sea la segunda muestra con un pH superior a 6?
3.5
DISTRIBUCIÓN DE POISSON:
DEFINICION: Un experimento en donde la variable aleatoria X se define como el número de resultados favorables en un intervalo de tiempo o en una región específica, se llama Experimento de Poisson. El número promedio de resultados por unidad de tiempo o región se designa con µ ó λ. El número promedio para t periodos de tiempo o t regiones se designa con µt. TEOREMA: Si X es una variable aleatoria de Poisson con parámetro λ, entonces la probabilidad de obtener x casos favorables en un intervalo de tiempo o región x (µt ) e-µt , x = 0,1,2,...; Con E(X)= Var(X)= µ. específica t, está dada por: P(X = x) = x! La función de probabilidad de Poisson se puede obtener a partir de la función de probabilidad binomial cuando n es muy grande y p muy pequeño. Algunos ejemplos de experimentos de Poisson son: El número de autos que llegan a un supermercado en la franja de 10:00 y 11:00 a.m., el número de llamadas que entran a un conmutador telefónico entre la 1:00 y 3:00 p.m., el número de defectos detectados en un corte de 1 metro cuadrado, el número de insectos en una fanegada de terreno cultivado, el número de colonias de bacterias en un centímetro cúbico de agua contaminada, etc.
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EJEMPLO 15: Un libro de 500 páginas tiene un total de 300 errores. ¿Cuál es la probabilidad de que una página dada tenga exactamente 4 errores? 500 1
→
0.6x e-0.6 µ = = 0.6 → P(X = x) = x! 500 300
300 errores µ = ? x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….
x -0.6 P(X = 4) = 0.6 e = 0.002963 4!
EJEMPLO 16: El número promedio de carros-tanques de aceite que llega diariamente a la central de almacenamiento de una ciudad intermedia es de 10. Las instalaciones del almacén pueden atender a lo máximo 15 carros-tanques en un día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día se tengan que regresar los carros-tanques? µ = 10 ; P(X = x) =
10 x e −10 x!
X = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….
P(X >5) = 1 – P(X ≤ 15) = 0.04874
EJERCICIOS: 1) Un estudio indica que el 2% de la población son zurdos. ¿Cuál es la probabilidad de que en una escuela de 400 estudiantes se encuentren más de 4 estudiantes zurdos? 2) El número de partículas radioactivas que pasan a través de un contador de partículas durante un segundo en un experimento de laboratorio es 5. ¿Cuál es la probabilidad de que pasen 8 partículas por el contador en un segundo específico? 3) Supóngase que en una población de 50.000 personas hay un promedio anual de 2 suicidios. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un año dado haya 2 suicidios en una población de 100.000 personas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que en un año dado no haya suicidios en una población de 100.000 personas? 4) El conmutador telefónico de una universidad recibe un promedio de 120 llamadas por hora en el periodo de admisiones. ¿Cuál es la probabilidad de que entren de 1 a 5 llamadas inclusive, en un minuto del periodo de admisiones? 5) En una fábrica metalmecánica han ocurrido accidentes a razón de uno cada dos meses. Suponiendo que ocurren en forma independiente, a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya accidentes en un mes específico? b) ¿Cuál es el valor esperado de accidentes al año?
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6) En un laboratorio se encuentra un gran número de muestras de agua contaminada y cada muestra es de 2 cm3. Se ha determinado que el número promedio de colonias de bacterias en una muestra es de 3 por cm3. Si se seleccionan 6 muestras de agua del laboratorio, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 3 muestras contengan 2 o más colonias de bacterias? 7) En cierta intersección de dos calles, ocurren en promedio, 3 accidentes viales por mes. ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado mes, ocurran exactamente 5 accidentes en esta intersección? 8) El número promedio de ratas de campo por fanegada, en un campo de algodón de 10 fanegas, se estima que es de 12. ¿Cuál es la probabilidad de que en una fanegada determinada se encuentren menos de 7 ratas? 9) La probabilidad de que un estudiante de cierta universidad presente problemas de escoliosis es de 0.004. Si se examinan 1875 estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que presenten este problema menos de 5 estudiantes? 10)Una fábrica de telas lleva al departamento de control de calidad un gran número de muestras de tela de su última producción para determinar la cantidad de imperfectos de fabricación; en una primera fase se determinó que en 1 m2 de tela hay un promedio de 4 imperfectos. ¿Cuál es la probabilidad de que en 10 muestras revisadas haya por lo menos 5 que tengan menos de 4 imperfectos, si cada muestra es de 2.5 m2?
4. DISTRIBUCIONES CONTINUAS 4.1 DISTRIBUCION GAUSSIANA O NORMAL Si X es una variable aleatoria continua con media µ y desviación estándar σ, se dice que está distribuida normalmente si toma la mayoría de sus valores cerca de µ y la menor parte de sus valores lejos de µ. La función de densidad de una distribución normal tiene la forma −
1
f ( x ) = σ
e
2π
( x − µ ) 2 2σ 2
.
La probabilidad de que X caigan entre x=a y x=b se designa por P( a
1
P( a < X < b) = σ
b
∫ 2π
−
e
( x − µ ) 2 2σ 2
dx
a
Si hacemos µ=0 y σ=1 se obtiene la distribución normal estándar. Por la dificultad que ofrece la solución de esta integral, es necesario la tabulación de las áreas, pero es imposible hacer tablas para cada valor de µ y σ. Este problema puede resolverse, ya que es posible transformar todas las observaciones de cualquier variable aleatoria normal X, en un nuevo conjunto de observaciones de una variable normal Z con media µ=0 y desviación estándar σ=1. Esto puede realizarse por medio de la transformación z = (x–µ)/σ.
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Si X toma un valor x, el correspondiente valor de Z será z = ( x – µ )/σ. De esta manera tendremos :
P ( x1
< X < x 2 ) =
1 σ
x 2 − ( x − µ ) 2
e ∫ 2π x
2σ
2
dx =
1
1
z 2 − z 2
e ∫ 2π z
2
dz
= P( z1 < Z < z 2 )
1
La función f(z) se llama forma normal tipificada, y se dice que z se distribuye normalmente con media cero y varianza uno.
EJERCICIOS: 1) La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 151 libras y la desviación típica es 15 libras. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar: a) ¿ Cuántos estudiantes pesan entre 120 y 155 libras? b) ¿ Cuántos estudiantes pesan menos de 128 libras? c) ¿ Cuántos estudiantes pesan más de 185 libras? d) ¿Cuántos estudiantes pesan exactamente 128 libras? 2) Las puntuaciones de una evaluación de biología fueron 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 dependiendo del número de respuestas correctas a 10 preguntas formuladas. La puntuación media fue de 6.7 y la desviación típica de 1.2. Suponiendo que las puntuaciones se distribuyen normalmente, determinar el porcentaje de estudiantes que consiguió 6 puntos. 3) La media de los diámetros interiores de una muestra de 200 arandelas producidas por una máquina es 0.502 pulgadas y la desviación típica 0.005 pulgadas. El propósito para el que se destinan estas arandelas permite una tolerancia máxima en el diámetro de 0.496 a 0.508 pulgadas, de otro modo, las arandelas se consideran defectuosas. Determinar el porcentaje de arandelas defectuosas producidas por la máquina, suponiendo que la medida de los diámetros se distribuye normalmente. 4) La vida promedio de cierto tipo de máquina es de 10 años con una desviación estándar de 2 años. El fabricante repone sin cargo todos los motores que fallen dentro del periodo de garantía. Si está dispuesto a reponer sólo 3% de los motores que fallan, ¿Qué tan larga deberá ser la garantía que otorgue, si se supone que las vidas de los motores siguen una distribución normal? 5) Un investigador de la UCLA reporta que las ratas viven un promedio de 40 meses cuando sus dietas son muy restringidas y luego enriquecidas con vitaminas y proteínas. Suponiendo que las vidas de tales ratas están normalmente distribuidas con una desviación estándar de 6.3 meses, encuentre la probabilidad de que una rata determinada viva: a) Más de 32 meses. b) Menos de 28 meses. c) Entre 38 y 49 meses.
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6) Cierto tipo de batería dura un promedio de 3.0 años, con una desviación estándar de 0.5 años. Suponiendo que las duraciones de las baterías son normalmente distribuidas, encuentre la probabilidad de que una determinada batería dure menos de 2.3 años. 7) Una cierta máquina produce resistencias eléctricas que tienen un valor medio de 40 Ohms y una desviación estándar de 2 Ohms. Suponiendo que los valores de las resistencias siguen una distribución normal y que pueden medirse con cualquier grado de precisión, ¿ qué porcentaje de las resistencias tendrá un valor que exceda de 43 Ohms? 8) En un examen de matemáticas la calificación promedio fue 82 y la desviación estándar fue 5. Todos los estudiantes con calificación de 88 a 94 recibieron una B. Si las calificaciones están distribuidas aproximadamente en forma normal y 8 estudiantes recibieron una B, ¿Cuántos estudiantes presentaron el examen? 9) Una compañía paga a sus empleados un salario promedio de US$ 9.25 por hora con una desviación estándar de 60 centavos. Si los salarios están distribuidos aproximadamente en forma normal y los montos se cierran en centavos, ¿Qué porcentaje de los trabajadores reciben salarios entre US$ 8.75 y US$ 9.69 por hora inclusive? 10)La empresa XYZ fabrica bombillas de tipos A, B y C de acuerdo a su tiempo de duración (en horas). Los tiempos de duración son de 0 < t ≤ 250, 250 < t ≤ 500, y 500 < t ≤ 750, respectivamente para tipo A, B y C. Se Instalaron todas las bombillas de un edificio y se encontró que el tiempo promedio de duración fue 400 horas con una desviación estándar de 75 horas. Si las duraciones están distribuidas normalmente y las bombillas tipo A y tipo C suman en total 120, ¿Cuántas bombillas fueron instaladas? 11)Un proceso produce 10% de artículos defectuosos. Si se seleccionan al azar 100 artículos del proceso, ¿Cuál es la probabilidad de que el número de defectuosos exceda de 13? 12)La probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada operación del corazón es 0.9. De los siguientes 100 pacientes que tienen esta operación, ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan entre 84 y 95 inclusive? 13)Se lanza 180 veces un par de dados. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra una suma igual a siete al menos 25 veces? 14)Una prueba de opción múltiple tiene 200 preguntas, cada una con cuatro respuestas posibles de las que solo una es la correcta. ¿Cuál es la probabilidad de que con puras conjeturas se obtengan de 25 a 30 respuestas correctas para 80 de los 200 problemas acerca de los que el estudiante no tiene conocimiento? 15)Un fabricante de medicamentos sostiene que cierto medicamento cura una enfermedad de la sangre en promedio en 80% de los casos. Para verificar la aseveración, inspectores gubernamentales utilizan el medicamento en una muestra de 100 individuos y deciden aceptar la afirmación si 75 o más se curan. ¿Cuál es la probabilidad de que el gobierno acepte la afirmación cuando la probabilidad de curación sea tan baja como 0.7?
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16)Se lanza 400 veces una moneda. Utilice la aproximación de la curva normal para encontrar la probabilidad de obtener entre 185 y 210 caras inclusive. 17)El dispositivo automático de apertura de un paracaídas militar de carga se ha diseñado para abrir el paracaídas cuando éste se encuentre a 200 m de altura sobre el suelo. Supongamos que la altitud de apertura en realidad tiene una distribución normal con valor medio de 200 m y desviación estándar de 30 m. Habrá daño al equipo si el paracaídas se abre a una altitud de menos de 100 m. ¿Cuál es la probabilidad de que haya daño a la carga en al menos uno de cinco paracaídas lanzado independientemente? 18)Una compañía produce componentes para un motor. Las especificaciones de las partes sugieren que 95% de los artículos cumplen con las especificaciones. Las partes se embarcan en lotes de 100 a los clientes. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 artículos estén defectuosos en un lote? 19)Se lanza 180 veces un par de dados. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra una suma igual a siete al menos 25 veces? 20)En un país subtropical conviven tres castas religiosas A, B y C, entre las cuales no existe mestizaje. El 75% de la población pertenece a la casta A, el 20% a la casta B y el 5% a la casta C. Las estaturas en centímetros de estos individuos siguen unas distribuciones N(µ=175; s=10), N(µ=170; s=10) y N(µ=165; s=10) para las castas A, b y C, respectivamente. a) Si elegimos al azar un individuo de la casta A, ¿Qué probabilidad habrá de que su estatura sea inferior a 164? b) Hallar la probabilidad de que el primer individuo que nos encontremos tenga estatura inferior a 164 cm. c) Si el primer individuo que nos encontramos mide efectivamente menos de 164 cm, ¿A qué casta es más probable que pertenezca?
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