CICLO 2015-I Módulo: II Unidad: II
Semana: 05
Estadística Lic. Max Tejero Alegre
1. EXPERIMENTO
Es la ejecución voluntaria de un fenómeno. Es un proceso que genere resultados bien definidos. Es un proceso mediante el cual se obtiene resultados de una observación y se caracteriza por: • Tener varios resultados posibles. Existir incertidumbre sobre el resultado. •
1. EXPERIMENTO DETERMINISTICO • Cuando el resultado de la observación se puede predecir con exactitud antes de realizar el experimento. Ejemplos:
2. EXPERIMENTO ALEATORIO • Cuando los resultados del experimento no
pueden predecirse con exactitud antes de realizar el experimento. • Tienen las siguientes características: • Cada experimento podrá ser repetido indefinidamente sin cambiar esencialmente las condiciones. • No se puede determinar un valor “A priori”, sin
embargo es posible describir de antemano todos sus resultados posibles.
3. ESPACIO MUESTR AL •
•
•
Es denotado por Ω, es un conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Ejemplo1. Sea el experimento lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior, entonces su 1,2,3,4,5,6 espacio muestral será: Ejemplo2. Sea el experimento lanzar dos monedas y observar el resultado, entonces su espacio muestral será: cc, cs, sc, ss
•
Ejemplo3. Sea el lanzamiento de tres monedas y observar su cara superior, entonces su espacio muestral será: ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss
Ejemplos:
E1 = lanzar una moneda 1 = {cara, sello} E2 = seleccionar de un lote, un frasco de medicamentos. 2 = {adecuado, inadecuado} E3 = extraer una muestra de sangre a una persona. 3 = {grupo sanguíneo} E4 = jugar un de futbol 4 = { ganar, perder, empatar } E5 = llevar a cabo una visita de ventas 5 = { venta o no venta } 10
4. EVENTO: Se le llama evento a cualquier subconjunto del espacio muestral y lo denotamos por A, B, C, D, E, etc., si A es un evento entonces AΩ. de puntos muestrales (en Es un conjunto resultados experimentales). Se cumple que Ω y Ф son eventos seguro e imposible.
Ejemplo: ε = Lanzar un dado. Ω= { 1,2,3,4,5,6}
Podemos establecer el siguiente evento: A: “Ocurre un número par” A = { 2,4,6}
C. SUCESO. Es todo elemento de un espacio muestral y se denota con w, x , y,z ...
i) si
x
es un suceso
x
Ejercicio: Una moneda se lanza 3 veces y se observan sus caras superiores. Describa los siguientes eventos:
A: “Ocurre por lo menos dos caras” B: “Ocurre sello en el tercer lanzamiento” C: “Ocurre
a lo mas una cara”
ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss
D. OPERACIONES CON EVENTOS Se usan las mismas operaciones de los conjuntos: i)
es el conjunto universal
ii)
es el conjunto vacío
iii) A, B, C los eventos (son los subconjuntos) Propiedades a)
AB
B A
b) A ( B C) (A B) C
y A ( B C) (A B) C
c) A (B
C ) ( A B) ( A C )
d) A (B
C ) ( A B) ( A C )
C
e) (A )
f) (A B)
C
(L. Distributiva)
A C
A
C
B
C
y (A B)
C
A
C
B
C
(L. Morgan)
(L. Asociativa)
Eventos mutuamente excluyentes dos eventos A y B definidos en el mismo espacio muestra, se dice que son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir juntos. Es decir la ocurrencia de uno excluye la ocurrencia de otro. En símbolos AB=
Eventos Mutuamente Excluyentes . Si no pueden ocurrir juntos (Disjuntos) es decir si
A
B
.
Ejemplo1: Un experimento aleatorio consiste en seleccionar clientes de un Banco y observar su edad. Sea el evento A: El cliente seleccionado al azar tiene mas de 30 años y B: El cliente seleccionado tiene menos tiene menos de 25 años. Ejemplo2: Se numeran a los trabajadores de una empresa según su edad del 1 – 20 y sean los eventos. A: El número elegido es par B: El número elegido es primo C: El número elegido es múltiplo de 5 Liste los siguientes eventos:
A
B;
A
B; A
C
C
; (A B) C
C
6. PA
c
7. Si A B
1 PA
PA
PB
5.4. EVENTOS INDEPENDIENTES
Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro. Por definición, A es independiente de B si y sólo si: P( A
B ) P( A ).P( B )
Ejemplo: A: “la suma de los puntos obtenidos en los dos lanzamientos es 7” B: “en los dos dados se obtienen el mismo número” A y B son mutuamente excluyentes, pues el evento A = { (3,4), (4,3), (1,6), (6,1), (5,2), (2,5) } B = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) }
Eventos colectivamente exhaustivos Se dice que una colección de eventos A1, A2, ..., An ; definidos sobre el mismo espacio muestral son colectivamente exhaustivos es igual al espacio muestral. si la unión Es decir:
A1UA2U... U
n An = U Ai = i=1
Sea el experimento, contar el numero de personas atendidas por un banco en un periodo de tiempo. Sean los eventos A: “Menos de 11 personas han sido atendidos” B: “De 11 a 20 personas han sido atendidos” atendidos” C: de 15A,personas Los“Mas eventos B y Chan sonsidocolectivamente exhaustivo, pues: AUBUC ={ 0, 1, 2, ...} =
Podemos considerar los siguientes sucesos: A: la suma de puntajes es 7, es decir A={(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1)} B: la suma de puntajes es 11, es decir B={(5,6) (6,5)} C: la suma de puntajes es 7 u 11, es decir C={(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) (5,6) (6,5)} 23
4. TECNICAS DE CONTEO Son procedimientos o arreglos de enumeración para determinar el tamaño del espacio muestral. Es necesario desarrollar algunas técnicas de enumeración entre las cuales esta: el Análisis Combinatorio ANALISIS COMBINATORIO Es un procedimiento más sencillo para determinar el número total de resultados. Con este fin, nos apoyaremos en los conceptos permutaciones y combinaciones, los cuales tienen como base el principio fundamental del conteo.
DIAGRAMAS DE RBOL
Los diagramas de árbol son ordenaciones empleadas para enumerar todas las posibilidades lógicas de una secuencia de eventos, donde cada evento puede ocurrir en un número finito. Proporcionan un método sistemático de enumeración objetiva de los resultados.
Ejemplo3. Una línea de producción clasifica sus productos en defectuoso “ D ” y no defectuosos
“N”.
De un almacén se extraen artículos hasta observar 2 defectuosos
consecutivos o hasta que se hayan verificado 4 artículos. Construir el espacio muestral mediante el diagrama del árbol. DD , NDD , ....., NNNN ;
n(
) 12
PERMUTACIONES •
Una permutación de un conjunto de elementos, es un ordenamiento específico de todos o algunos elementos del conjunto, facilita el recuento de las ordenaciones diferentes que pueden hacerse con los elementos del conjunto.
•
Nota: En una permutación el orden en que se disponen los elementos del conjunto es importante.
• •
• • • •
A. PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS Por el principio fundamental del conteo podemos enunciar que el número de permutaciones de n objetos distintos tomados de n en n, es: Pn = n! n! = n (n -1 ) (n -2 )...3 x 2 x 1 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Por definición 0! = 1 Ejemplo1: Se quiere conocer el conjunto de todas las disposiciones posibles de tres personas colocadas en hilera para tomar una fotografía. P3 = 3! = 6
•
Ejemplo2: Cinco personas desean nombrar un Comité Directivo compuesto de un presidente, un vicepresidente, un secretario, un tesorero y un vocal. ¿Cuántas maneras hay de constituir el comité? P5 = 5! = 120
• Ejemplo3: Hay seis banderas
de distintos colores. ¿Cuántas señales diferentes se pueden enviar usando las seis banderas al mismo tiempo? P6 = 6! = 720
•
B. PERMUTACIONES CIRCULARES. Cuando los elementos se encuentran dispuestos en forma circular tenemos: n Pc
= (n − 1)!
• Ejemplo : ¿De cuántas maneras
podemos ordenar 5 llaves en un llavero? •
5 Pc
= (5 − 1)!= 4!= 24
COMBINACIONES • Una combinación es un subconjunto o una disposición de
todos los elementos de un conjunto, sin tener en cuenta el orden de ellos. El número de combinaciones o subconjuntos no ordenados, cada uno formado por r elementos, que pueden obtenerse de un conjunto de n elemento es:
• Ejemplo1: Si de un estante tomamos 2 de 3 libros,
¿Cuántas combinaciones pueden realizarse?
• Por lo tanto, el resultado se reduce a 3 posibles formas
ya que en una combinación el orden de los elementos no es importante.
•
Ejemplo2: Se tienen cinco obreros para un trabajo especial que requiere de tres de ellos. ¿De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar un equipo de tres?
•
Ejemplo3: De un club de 20 socios, se van a seleccionar 3 para formar la mesa directiva. ¿De cuántas formas puede constituirse?
5. PROBABILIDAD. • •
DEFINICION CLÁSICA DE PROBABILIDAD Dado un evento A, asociado a un experimento aleatorio, se llama probabilidad de A, y se representa por el símbolo P(A), a la división del número de resultados favorables para la ocurrencia evento, Y se del denota por: entre el número total de posibilidades
P( A)
#( A ) #( )
Ejemplo de Probabilidad Ejemplo: En el experimento de lanzar un dado,
Determinar la probabilidad de que en la cara superior aparezca el número 5
1,2,3,4,5,6 , 6 resultados posibles
Sea el evento
P ( A)
1 6
A
5
, un resultado favorable
0,167
Determinar la probabilidad de que se obtenga un número par
Sea el evento B P(B )
3 6
1 0,5 2
2,4,6 , 3 resultados favorables
Propiedades de las probabilidades Sean los eventos
Ay B
asociados al espac io mues tral
. Entonces se cump len las
siguientes propiedades. 1. 0
P ( )A1
2.
P(
) 1 es decir, la probab ilidad del suce so seguro
3.
P
4.
PA B
5.
P (A
, es igual a la unidad.
0
B
)
PA
PB
P(A)
(P)B
son disjuntos si su
PA B
.
para todo A y B eventos disjuntos. A
B
Observación:
AyB
Definición de Probabilidad Es un número que mide la verosimilitud de la ocurrencia de un evento. Principios para asignar probabilidad: a) y 1La probabilidad de cada punto muestral debe estar entre 0 b) La suma de las probabilidades de todos los puntos muestrales debe ser iguales a 1. 0 0,5 1 Improbable
Tan probable como improbable
Probable
37
Una probabilidad cercana a 0 indica que es muy improbable que ocurra un evento. Una probabilidad cercana a 1 indica que es seguro que ocurra un evento. Ejemplos: 1. Se lanza una moneda W={cara, sello} P(cara) = 0,5
P(sello) = 0,5
38
2. Se lanzan 3 monedas W = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS} 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8
A: obtener exactamente 2 caras A = {CCS, CSC, SCC} P(A) = 1/8
+
1/8 +
1/8 = 3/8
39
Conclusiones: De acuerdo a la definición de probabilidad de un suceso, y a los dos principios, tenemos las siguientes conclusiones: (1º) P(Ω) = 1 (2º) P( ø ) = 0 (3º) P(A´) = 1 - P(A) 40
Ejemplos de probabilidades 1. Un investigador trabaja con un nuevo fármaco para insensibilizar a los pacientes frente a picaduras de abejas. De 200 sujetos sometidos a prueba, 180 presentaron una disminución en la gravedad de los síntomas tras sufrir una picadura, después de ser sometidos al tratamiento. 2. Un paciente sufre de cálculos renales, y no se ha conseguido mejora alguna a partir de métodos ordinarios. Su medico ésta planteándose el llevar a cabo una intervención quirúrgica y debe responder a la siguiente pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que la operación sea un éxito?. 41
PROBABILIDAD DEL PUNTO ESTADISTICO ... Quien emplea la estadística aplicada prefiere pensar en la probabilidad como el número de veces en las que se presentará determinada situación si una experiencia fuera repetida indefinidamente en situaciones de naturaleza repetitiva o que pudiera concebirse de esa manera ...
42
Reglas de probabilidad Regla de la Adición
A
B
(A
B)
U
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A B) U
43
Regla de adición para sucesos mutuamente excluyentes Dos sucesos son mutuamente excluyentes, si no tienen elementos comunes
A
B
P(AUB)
=
P(A) +P(B)
= Si : (A B) U Por lo tanto : P(A B) = 0 U
44
Ejemplo : Se extrae una carta de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un as o un rey?
P(A) = 4 52 4 P(R) = 52
P(AUR) = P(A) + P(R) 4 4 52 52 8 = 52 =
45
PROBABILIDAD CONDICIONAL Ocurre cuando dos eventos se relacionan de manera tal que la probabilidad de ocurrencia de uno depende de la ocurrencia del otro. Definición1: Sean A y B dos eventos tal que , la probabilidad condicional de que ocurra el evento A dado que ha ocurrido B, se denota: P( A / B ) Ejemplo1 : ¿A que será igual P( A /
P( A
B)
P( B )
) ?
Ejemplo2 : Sea el lanzamiento de un dado y observar su cara superior y sean los eventos
A: “Se observa un número impar” B: “Se observa un número mayor a 2” Hallar P( A / B )
Ejemplo3 : En una universidad el 70% de los estudiantes son de ciencias y el 30% de letras;
de los estudiantes de ciencias el 60% son varones y los de letras son varones el 40%. Si se elige aleatoriamente un estudiante, calcular la probabilidad que: a) Sea un estudiante varón b) Sea un estudiante varón si es de ciencias c) Sea un estudiante de ciencias si es varón d) Sea un estudiante de ciencias y varón Solucion
3:
Ordenando los datos en una tabla
Esp/Sexo Ciencias
a) P(V )
Varones 0.42
Mujeres 0.28
Total 0.70
Letras
0.12
0.18
0.30
Total
0.54
0.46
1.00
0.54
P( V
/) b) P( VC
P(C ) P(C
/) c) P( CV
d) P(V
C)
V)
P(V ) C)
0.42
0.42 0.6 0.70 0.42 0.778 0.54
1.2 REGLA DE LA MULTIPLICACION Se define a partir de la probabilidad condicional: Definición2: Sean A y B dos eventos cualesquiera, entonces se tiene: P( A
B)
P( A )P( B / A )
P( B )P( A / B )
Ejemplo1 : Una urna contiene 5 fichas blancas y 6 negras, se extrae al azar sucesivamente
y sin reposición dos fichas ¿Cuál es la probabilidad de que las dos resulten blancas?
Solución1: Planteamos los siguientes eventos:
A: “La primera salió blanca” B: “La segunda salió blanca” D: “Las dos fichas son blancas” P( A
B ) P( A )P( B / A )
5
4
2
11 10
11
Ejemplo2 : En un sistema de alarma, la probabilidad de que se produzca un peligro es 0.10.
Si este se produce, la probabilidad de que la alarma funcione es de 0.95. La probabilidad que funcione la alarma sin haber habido peligro es 0.03. Determinar la probabilidad que haya un peligro y la alarma no funcione.
Soluc ió n 2:
P( P
F ) P( P )P( F / P ) 0.10(0 .05 ) 0.005
1.3 TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Definición 3:
Sea A1,A ,....,A 2
entonces para cualquier evento
n
una partición del espacio muestral
B
de
tal que: P( A i ) 0 ,
se tiene:
n
P( B )
P( A )i P( B /i A )1 1 P( A )P(2B / A 2) P( A n)P( B /n A ) ... P( A )P( B / A ) i 1
Ejemplo1 : Se conoce que cierta máquina que produce tornillos trabaja correctamente el
90% del tiempo. Si la máquina no esta trabajando correctamente, el 5% de los tornillos producidos son defectuosos. Cuando esta trabajando bien solamente el 0.5% de tornillos son defectuosos. Si se escoge un tornillo aleatoriamente ¿Cuál es la probabilidad que sea defectuoso?
P(D)
P( C) P(D/C
= 0.90( 0.005 )
)
P( C) P(D/ C)
0.10( 0.05 )
0.0095
1.4 TEOREMA DE BAYES Si los eventos A1,A ,....,A 2 cualquiera de
n
forman una partición del espacio muestral
,y
B
un evento
, entonces: P( A i / B )
P( A i )P( B / A i) n
P( A i )P( B / A i) i 1
Ejemplo 1: En una línea de producción hay dos procesos, A y B. en el proceso A hay un
20% de defectuosos y en B hay 25%. En una muestra de 300 productos hay 200 del proceso A y 100 del B. a) Si se extrae un producto al azar, hallar la probabilidad que sea defectuoso. b) Si al extraer el producto resultó defectuoso, halle la probabilidad de que sea del proceso A. c) ¿Cuál es la probabilidad que un producto defectuoso sea del proceso B?
Solución 1:
Sean los siguientes eventos:
A: “El producto es del proceso A” B: “El producto es del proceso B” D: “El Producto es defectuoso” D
: “El Producto es no defectuoso”
a)
Aplicaremos
P(D) =
Teorema
de
la
Probabilidad
P(A )P(D/ A ) P( B) P(D/ B) 200 100 65 ( 0.20 ) ( 0.25 ) 300 300 300
b) Aplicando Teorema de Bayes: ) D / AP(
) c) D / BP(
P(A)P(D / A) P( A )P( D / A )
P( B )P( D / B )
P(B)P(D / B) P( B )P( D / B )
P( A )P( D / A )
( 2/ 3 )( 0.2 ) 0.615 ( 2 / 3)(0 .2 ) ( 1 / 3)(0 .25 )
( 1 / 3 )( 0.25 ) 0.308 ( 1 / 3)(0 .25 ) ( 2 / 3)(0 .20 )
Total:
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
Un restaurante campestre solamente presenta dos tipos de comida: ensalada completa o un plato a base de carne. 20% de los clientes del sexo masculino prefieren ensalada completa; 30% de las mujeres escogen carne, 75% de los clientes son hombres. Hallar la probabilidad: (Método Tabular) a) b) c) d)
2.
Que Que Si el Que
el cliente prefiera ensalada completa si es mujer prefiera carne dado que es hombre cliente prefiere carne, sea de sexo Masculino sea del sexo femenino, si prefirió ensalada.
Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja ¿Cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?
3.
La Compañía ensambladora de automóviles HOT ROAD, se ha presentado a una licitación, para ensamblar un nuevo modelo de automóvil. La probabilidad que HOT ROAD gane la licitación es de 0.90 si una firma competidora MOTOR FULL no se presenta a ella, en tanto que es solo 0.20 sí MOTOR FULL se presenta. El Gerente General de HOT ROAD estima que hay una probabilidad de 0.80 que MOTOR FULL se presente. a) ¿Cuál es la probabilidad que HOT ROAD gane la licitación? b) Dado que HOT ROAD ganó la licitación, ¿Cuál es la Probabilidad que MOTOR FULL se haya presentado a ella?
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, P(B) = 1/3, P(A B)= 1/4. Determinar: a) P( A / B) P( A / B)
P( AB) P( B)
1/ 4 1/ 3
3 4
b) P( B / A) P( B / A)
P( AB) P( A)
1/ 4 1/ 2
1 2
c) P( A B) P( A B)
P( A) P( B) P( AB)
1 2
1 3
1 4
7 12
2. Sean A y B los sucesos tales que: P [A ] = 0,4 P [A ‘ B ] = 0,4 Calcula P [A ᴜB ] y P [B ]. SOLUCION
P [A B ] = 0,1
Calculamos en primer lugar P[B]:
• P[B] = P[A‘B] + P[AB] =0,4 + 0,1 = 0,5 • P[AᴜB] = P[A] + P[B] - P[AB] = 0,4 + 0,5 - 0,1 =
0,8
3. Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad tales que: P [B ] = 0,3 P [A 'ᴜB '] = 0,9 • P [A '] = 0,6 a) ¿Son independientes A y B ? b) Calcula P [A ' / B ]. Solución: a) P[A'ᴜB'] = P[(AB )'] =1 - P[AB] = 0,9 P[AB] = • 0,1 • P[A'] = 1 - P[A] = 0,6 P[A] = 0,4 • P(( A).P( B) 0,4 0,3 0,12 • P( AB) P( A) P( B) P( AB) 0,1 • • Por tanto, A y B no son independientes
• b) Como:
P A' / B
P( A' B) P( B)
P ( A' B ) • Necesitamos calcular:
• P[A’B] = P[B] - P[AB] = 0,3 - 0,1 = 0,2 • Por tanto: •
P A' / B
P( A' B) P( B)
0,2 0,3
0,67
4. Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 0 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo número? • Solución: • Para calcular la probabilidad, suponemos que el
primero ya ha elegido número. • La pregunta es: ¿cuál es la probabilidad de que el 10 P( A) el mismo número? • segundo Sea A: el elija numero pensado por el primero
100
0,1
• Por tanto, la probabilidad de que no piensen el
mismo númeroPserá: ( A' ) 1
• •
P( A)
1
10 100
0,9
5. En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas. • Escogemos uno de los viajeros al azar. • a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?
• b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés? • c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés? • Solución: • Vamos a organizar los datos en una tabla,
completando los que faltan:
•
Llamamos I = "Habla ingles", F = "Habla francés".
•
a) Tenemos que hallar P[I ᴜF]:
P(I F ) P( I ) P( F ) P( IF )
12 48
b)
P(F/I)
c)
P(F I' )
0,25
24 0,2 120
48 36 12 0,6 120 120 120
Derivación de la fórmula: P(F
comprobando:
P(F B) ) = A
P(F
P(A)
3
= 11 ) A 8 11
P(F
3 ) = A 8
ANIVAL TORRE
61
Regla de la Multiplicación A partir de P( B
) A
P( A B)
P( A)
Se despeja
P( A B)
( A)
P( A) P B
62
Aplicación: Se sabe que en un lote de medicamentos de 50 frascos, hay 4 que no están adecuadamente empacados (defectuosos). Si se extraen al azar 2 frascos, uno a continuación del otro, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean defectuosos?.
P (D1 ) P(
D2
4
D1
P ( D1 D 2 )
50
)
3
49
=
4 50
P ( D1 ) P
3 49
(D
2
D1
)
12 2450 63
Ejercicio : En una población de pacientes hospitalizados, la probabilidad de que uno de ellos, elegido aleatoriamente tenga problemas cardiacos es 0,35. La probabilidad de que un paciente con problemas cardiacos sea un fumador es de 0,86. ¿Cuál es la probabilidad de que el paciente elegido al azar de entre la población sea fumador y tenga problemas cardiacos?.
64
Regla de la Multiplicación para Sucesos Independientes. Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia de uno no influye sobre la probabilidad de independientemente ocurrencia del otro; de esto que significa A haya que, ocurrido o no, la probabilidad asignada a B es siempre la misma. Entonces, P
(B A )
P ( B)
P ( A B)
P ( A) P ( B) 65
Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que en una familia con dos hijos, ambos sean varones? P (V
)
0,5
1
P ( V2 )
P ( V1
0,5
V2 )
P ( V1 ) P ( V2 ) = (0,5) (0,5)
0,25
66
Una Regla para contar Experimentos de Pasos Múltiples Si un experimento consiste en una secuencia de k pasos en el cual existen n1 posibles resultados para el primer paso, n2 posible resultados para el segundo paso, y así sucesivamente, luego, el numero de elementos del espacio muestral es: (n1)(n2) total . . . (nk). • Ejemplo: Inversiones Bolívar puede ser visto como un experimento de dos pasos; este envuelve dos tipos de acciones, cada una con un conjunto puntos muestrales: Milpo S.A.: n1 = 4 Caylloma S.A.: n2 = 2 Numero Total de Experimentos: n1n2 = (4)(2) = 8 67
Diagrama de Árbol Inversiones Bolívar Milpo S.A. Caylloma S.A.
Espacio
(Etapa 1)
muestral
(Etapa 2) Gana 8
Gana 10
Gana 5
No gana Ni pierde Pierde 20
Gana 8 Pierde 2
Pierde 2
Gana 8
(10, 8) (10, -2) (5, 8) (5, -2)
Gana $18000 Gana $8000 Gana $13000 Gana $3000
(0, 8) Gana $8000 Pierde 2 (0, -2) Pierde $2000 Gana 8 (-20, 8) Pierde$12000 Pierde (-20, 2 -2) Pierde$22000
Regla para contar Combinaciones Otra regla de gran ayuda que nos permite contar el numero de elementos de prueba cuando n objetos son seleccionados de un conjunto de N objetos. • El numero de combinaciones de N objetos tomando n objetos a la vez es: n N
donde
N!
n !( N
n)!
N! = N(N - 1)(N - 2) . . . (2)(1) n! = n(n - 1)(n - 2) . . . (2)(1)
0! = 1
69
Asignación de Probabilidades para Resultados Experimentales • Método Clásico Asignación de probabilidades basados en el supuesto de Resultados Igualmente Probables. • Método de Frecuencia Relativa Asignación de probabilidades basados en la experimentación o en datos históricos. • Método Subjetivo Asignación de probabilidades basados en el criterio del experto o la apreciación del decisor. 70
Intersección de Dos Eventos •
Ejemplo: Evento M = Milpo S.A. Rentable Evento C = Caylloma S.A. Rentable
M ∩ C = Milpo S.A. Rentable y Caylloma S.A. Rentable M ∩ C = {(10, 8), (5, 8)}
P(M ∩ C) = P(10, 8) + P(5, 8) = 0,20 + 0,16 = 0,36 71
Ley de Adición •
•
•
La ley adición proporciona una forma para calcular la probabilidad del evento A o B o Ambos. La ley de adición tiene la forma siguiente: P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B) Ejemplo: Milpo S.A. o Caylloma S.A. Rentable Sabemos : P(M) =.70, P(C) =.48, P(M Ç C) =.36 Por lo tanto: P(M È C) = P(M) + P(C) - P(M Ç C) = .70 + .48 - .36 = .82 Este resultado es el mismo obtenido antes usando la definición de probabilidad de un evento. 72
Ley de Adición para Eventos Mutuamente Excluyentes • Esta dicho que Dos eventos son mutuamente excluyentes si los eventos no tienen punto
muestral en común. Espacio Muestral
Evento
Evento
A
B
• Ley de Adición para Eventos Mutuamente
excluyentes: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) 73
Probabilidad Condicional • A la probabilidad de un evento dado por otro evento
que ya ocurrió se le llama probabilidad condicional. • La Probabilidad Condicional de A dado que B es denotado por P(A|B). • Una probabilidad condicional se calcula así: P ( A| B )
P( A B) P( B)
• Ejemplo: Caylloma S.A. Rentable dado que Milpo
S.A. Rentable P (C | M )
P (C M ) P( M )
. 36 . 70
. 51 74
Ley de Multiplicación • La ley de multiplicación proporciona una forma para
calcular la probabilidad de una intersección de dos eventos. • La ley se escribe así: P(A B) = P(B)P(A|B) • Ejemplo: y Caylloma Rentable Sabemos:Milpo P(MS.A. ) = 0,70, P(C|M)S.A. =0,51
Por lo tanto:P(MC) = P(M)P(M|C)=(0,70)(0,51) P(MC) = 0,36 Este resultado es el mismo obtenido antes usando la definición de probabilidad de un evento. 75
Ley de Multiplicación para Eventos Independientes • Eventos A y B son independientes si P(A|B) = P(A). • Ley de Multiplicación para Eventos Independientes : P(A B) = P(A)P(B) • La ley de multiplicación también puede ser usada
como un test para ver si dos eventos son independientes. • Ejemplo: Son M y C independientes? ¿es P(M C) = P(M)P(C) ? Sabemos: P(MC) =0,36, P(M) =0,70, P(C)=0,48 Pero: P(M)P(C) = (0,70)(0,48) = 0,34 0,34 entonces M y C no son independientes. 76
Teorema de Bayes • A menudo empezamos un análisis de probabilidades
con probabilidades previas o iniciales. • Luego, de una muestra, reporte especial o de una evaluación del producto obtenemos alguna información adicional. • Dada esta información, calculamos las probabilidades revisadas o posteriores. • El teorema de Bayes proporciona los puntos para revisar las probabilidades previas. Probabilidades Previas
Nueva Información
Aplicación del Teorema De Bayes
Probabilidades Posteriores 77
Teorema de Bayes • Para encontrar la probabilidad posterior de que el evento Ai ocurrirá puesto que el evento B ya ocurrió
aplicamos el teorema de Bayes. P(A i | B)
P(A i )P(B | A i ) P(A1 )P(B | A1 ) P(A 2 )P(B | A 2 ) ... P(A n )P(B | A n )
• El teorema de Bayes es aplicable cuando los
eventos para los cuales queremos calcular las probabilidades posteriores son mutuamente excluyentes y su unión es todo el espacio muestral. 78
Ejemplo de Teorema de Bayes Una firma que recibe embarques de piezas de dos proveedores. A1 representa el evento de que una pieza es de proveedor 1, y A2 representa el evento de que una pieza proviene de proveedor 2. Actualmente, 65% del de proveedor las piezas1 yadquiridas por empresa provienen 35% restante del proveedor 2. La calidad de las piezas adquiridas varía con la fuente de suministro. Con base a datos históricos, las probabilidades condicionales de recibir piezas buenas y malas de los dos proveedores aparece en la tabla. 79
Continuación del problema Piezas buenas
Piezas malas
Proveedor 1
0.98
0.02
Proveedor 2
0.95
0.05
P(B / A1)
Ahora, suponga que las piezas de los dos productores se utilizan en las manufacturas de la empresa y que una pieza mala hace que una máquina se descomponga. ¿Cuál es la probabilidad de que dicha pieza mala provenga del proveedor 1 y cuál es la probabilidad de que provenga del proveedor 2? 80
Ejemplo: Aplicación Teorema de Bayes • Diagrama de árbol de dos pasos G
(A1 , G)
B
(A1 , B)
G
(A2 , G)
B
(A2 , B)
A1
A2
81
Ejemplo: Aplicación Teorema de Bayes • Análisis de Árbol de Probabilidades P(G|A1)
P(A1 Ç G) = P(A1) P(G|A1)= 0.65*0.98 = 0.6370
P(B|A1)
P(A1 Ç B) = P(A1) P(B|A1)=0.65*0.02 = 0.0130
P(G|A2)
P(A2 Ç G) = P(A2) P(G|A2)=0.35*0.95 = 0.3325
P(B|A2)
P(A2 Ç B) = P(A2) P(B|A2)=0.35*0.05 = 0.0175
P(A1)
P(A2)
Pregunta: P(A1|B) = ?
P(A2|B) = ? 82
Ejemplo: Aplicación Teorema de Bayes • Pregunta: ¿Cuál es la prob. de que siendo mala la
pieza provenga del proveedor A1 y cuál de A2? P (A1|B) =?
P (A2|B) = ?
P (A1|B) = P (A1
B)
P (B)
P (A1 B) = P (A 1) P (B|A1) P (B) = P (A1 B) + P ( A2 B) = P (A 1) P (B|A1) + P (A2) P (B|A2) P (A1|B) =
P (A1) P (B|A1) P (A1) P (B|A1) + P (A2) P (B|A2)
P (A2|B) =
P (A2) P (B|A2) P (A1) P (B|A1) + P (A2) P (B|A2)
83
Ejemplo: Aplicación Teorema de Bayes • Resumen de los cálculos
P (B) = 0.0305 P (A1|B) = 0.4262 P (A2|B) = 0.5738 84
Ejercicio para la casa La situación de promoción de oficiales hombres y mujeres de una fuerza policíaca metropolitana importante. Consta de 1200 oficiales; 960 hombres y 240 mujeres. Durante los dos años anteriores, han sido ascendidos 324 agentes. La tabla muestra el desglose específico de las promociones para agentes masculinos y femeninos. Después de revisar el registro de ascensos, un comité de agentes mujeres entablaron una demanda de discriminación con base en que los dosde últimos añosalegó sólo se había ascendido a 36 mujeres. La administración la policía que el relativamente bajo número de promociones para mujeres se debía no a discriminación sino al hecho de que en la corporación existían pocos agentes mujeres. Evaluar el cargo por discriminación. Ascendidos
No ascendidos
Total
Hombres
288
672
960
Mujeres
36
204
240
Total
324
876
1200 85
El teorema de Bayes Consiste en una partición de la probabilidad total. Ejemplo 1: La Compañía de Seguros JL ha desarrollado un novedoso seguro médico familiar. De acuerdo con una investigación hecha en el mercado, la probabilidad de que el producto tenga éxito es 0,80 si una compañía competidora no introduce un plan similar en el mercado, en tanto que la probabilidad de éxito es 0,30 si la empresa competidora lanza al mercado un seguro similar. Además, la compañía JL estima que hay una probabilidad de 0,40 de que la firma competidora comercialice el producto. 86
Dado que el producto de la Compañía JL tuvo éxito, ¿cuál es la probabilidad de que la firma competidora haya comercializado su novedoso plan de seguro? Solución: P(C) = probabilidad de que la compañía competidora comercialice el producto, P(C´) = probabilidad de que la compañía competidora no comercialice el producto, P(E) = probabilidad de que el plan de seguro familiar de la compañía JL tenga éxito.
87
P. Marginal
P. Condicional
P. Conjunta
P(E/C) = 0,30 P(C E) = 0,40 0,30 = 0,12
P(E/C´) = 0,80
' P (C E) = 0,60 0,80 = 0,48
P. Total P ( E) = 0,60
88
Luego, de acuerdo con el Teorema de Bayes
P
(C E) =
P (C E) P (C E) + P (C
0.12 0.12 0.48
'
E)
0.12 0.60
0.20
La probabilidad que la compañía de seguros haya participado en el mercado, dado que JL tuvo éxito es de 0,20. 89
Esto significa que el proveedor no está seguro acerca de la proporción de equipos defectuosos en el lote, sin embargo, basándose en experiencias anteriores, cree que hay una probabilidad de 0,20 de que el lote tenga 10% de piezas defectuosas, una probabilidad de 0,30 de que tenga 15%. Y finalmente, de 0,50 de que tenga 25% de piezas defectuosas. Supongamos que elige un equipo de venoclisis al azar en el lote: A) ¿Cuál es la probabilidad de qué esta sea defectuosa? B) Dado que el equipo resulta defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que el lote tenga 25% de piezas defectuosas? 90
P. Condicional
P. Marginal
P. Conjunta
P(D/1)= 0,10
P ( 1 D) = 0,20 0,10 = 0,0200
1=0,10
P(2) = 0,30 =0,15 2
P(D/2)= 0,15
P ( 2 D) = 0,30 0,15 = 0,045
P(D/3)= 0,25 3=0,25
P( 3 D) = 0,50 0,25 = 0,1250
P ( D) = 0,1900 91
Respuesta A: Hay tres maneras posibles de obtener un equipo defectuosa del lote. Por lo tanto, la probabilidad de obtener una pieza defectuosa, cualquiera que se la tasa porcentual de defectuosos 10, 15 ó 25 es: P( D)
P( 1 D ) P( 2 D ) P( 3 D )
P( D)
0,0200 0,0450 0,1250 0,19
92
Respuesta B: De acuerdo con el Teorema de Bayes, la probabilidad de que el lote contenga 25% de piezas defectuosas, dado que la pieza elegida es defectuosa, es:
P( 3 / D )
P( 3 D) P( D )
0.1250
0.1900
0.6579
93
Ejercicio :
Un médico ha decidido recetar dos nuevos medicamentos a 200 pacientes enfermos del corazón de la manera siguiente: 50 pacientes tomarán el medicamento A, otros 50 tomarán el medicamento B y los otros 100 restantes tomarán ambos medicamentos. El ,medicamento A reduce la probabilidad de un infarto en 0,35 el medicamento B reduce la probabilidad de un infarto en 0,20 y los dos medicamentos, cuando se les toma juntos, actúan de manera independiente. Los 200 pacientes fueron escogidos entre los que tenían 0,80 de probabilidad de sufrir un infarto. Si un paciente elegido al azar sufre un infarto, ¿cuál es la probabilidad de que haya tomado ambos medicamentos?
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