Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” Ica Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas
INTRODUCCIÓN
Los orígenes de las matrices y determinantes se encuentran entre los siglos II y III a.C. No es sorpresa su relación con el estudio de sistemas de ec uaciones lineales. Cardano en su "Ars Magna" (1545) proporciona una regla para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas llamada "regula "regula de modo" modo " y que llama madre de las reglas. reglas . Esta regla es, esencialmente, el método de Cramer para sistemas de 2x2. La idea de determinante aparece en Japón y Europa, más o menos, al mismo tiempo. En primer lugar, el japonés Seki, en 1683, escribe "Método para resolver los resolver los problemas disimulados" que contiene métodos escritos en tablas matriciales. Seki introduce los determinantes y da un método general para calcularlos, basado en ejemplos. Usando su "determinante", encuentra los determinantes de matrices de 2x2, 3x3, 4x4, 5x5 y los aplica para resolver ecuaciones aunque no sistemas de ecuaciones lineales. Bezout, en 1764, mostró que en un sistema lineal homogéneo de n ecuaciones con n incógnitas, tiene soluciones no nulas si el determinante de los coeficientes se anula. De la misma forma, Vandermonde en 1771 ofrece una exposición consistente del cálculo de determinantes. En 1772, Laplace en un estudio sobre la órbita de los planetas interiores, considera pocos prácticos los métodos de Cramer y Bezout. Be zout. Laplace discutía, sin calcularlas, las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales usando determinantes. Curiosamente, usó el término "resultante", el mismo que había usado Leibniz, para referirse al determinante, aunque sin saberlo. Lagrange, en 1773, también estudió identidades de determinante funcionales de 3x3, aunque no vio ninguna conexión con los trabajos de Laplace o Vandermonde. Tanto Newton como Euler también usaron determinantes para encontrar raíces comunes a dos polinomios de grado m y n aunque el método, generalmente aceptado, fuera el elaborado por Bezout. El término determinante, aunque en distinto sentido al que le damos, fue introducido por Gauss en sus Disquisitiones sus Disquisitiones Arithmeticae cuando discutía formas cuadráticas. Gauss también es el autor del método de eliminación que lleva su nombre, apareció en un
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trabajo en el que estudiaba la órbita del planetoide Pallas, donde aparece un sistema de seis ecuaciones y seis incógnitas. Cauchy fue el primero en utilizar, en 1812, el determinante en sentido moderno. En 1826, en el estudio de formas cuadráticas de n variables usa el término "cuadro" para la matriz de los coeficientes, encuentra los valores propios. Actualmente, a cada matriz cuadrada se le asocia un número al que se le llama su determinante. Los determinantes nos proporciona un método para el cálculo de la matriz inversa de una dada (esto es si existe) y un criterio para estudiar si una matriz es o no invertible, también da información acerca de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Sus aplicaciones son múltiples en todas las ramas de las ciencias que estudian problemas lineales en los que necesariamente aparecen matrices y por tanto, determinantes. En este capítulo se define determinante y se desarrollan sus propiedades.
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El determi determi nant e de una matri z cuadrada
Índice Introducción ……………………………………………………………….. ………………………………………………………………..
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
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Definiciones …………………………………………………………………….. 5 Determinante de una matriz 2x2 ……………………………………………….. 5 Determinante de una matriz 3x3 ………………………………………………… 5 Regla de Sarrus ………………………………………………………………….. 6 Determinante de una matriz nxn …………………………………………………. 7 Propiedades de los determinantes ……………………………………………….. 8 Factorización triangular ………………………………………………………… 12 7.1 Descomposición LU …………………………………………………………. 12 12 7.2 Aplicación de la Factorización LU …………………………………………… 16 16
8.
El determinante de una matriz y su inversa ……………………………………… 18 8.1 La Matriz adjunta …………………………………………………………… …………………………………………………………….. 18 8.2 Condiciones para la invertibilidad de una matriz ……………………………. 21 8.3 Cálculo de Determinantes para matrices en Bloque …………………………. 21 8.4 Inversa de una matriz cuadrada ………………………………………………. 22
9. Regla de Cramer ………………………………………………………………….. 23 10. Ejercicios resueltos ………………………………………………………….. …. 25 …………………………………………………………….. 30 30 11. Ejercicios propuestos ……………………………………………………………..
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1. Definiciones A cada matriz cuadrada
| |
se le asigna un número real que
llamaremos determinante de A y representaremos por
o
.
Definición 1. (Submatrices)
Una submatriz de una matriz A es la matriz resultante de eliminar en A determinadas filas o bien determinadas columnas. Un menor de de una matriz A es el determinante de una submatriz.
Definición 2. (Menor complementario)
Se denomina menor complementario del
de una matriz cuadrada, y se denota por
, al determinante de la submatriz obtenida al eliminar en A la fila i y la columna
j. j.
2. Determinante de una matriz 2x2 Si
| | | |
es una matriz 2x2 se define su determinante como
Ejemplo 1. Si
.
.
Entonces
.
El determinante de una matriz de 3x3 se define en términos del determinante de una matriz 2x2. El determinante de una matriz de 4x4 se define en términos del determinante de una matriz de 3x3, así sucesivamente. Para esto se requiere los conceptos de menor cofactor .
3. Determinante de una matriz 3x3 Si
+
es una matriz 3x3, se define su determinante como
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Algunas observaciones: i) Para calcular el determinante de una matriz 3x3 se tomaron los coeficientes de la primera fila y se escribió el determinante como una suma alternada de los coeficientes multiplicados por tres determinantes. Es suma alternada, pues se realizó la suma con los signos (+,-,+). ii) Para encontrar los tres determinantes, vemos el coeficiente se encuentra en la primera fila y en la primera columna y el determinante que lo multiplica es la matriz que resulta de eliminar la fila 1 y la columna 1, es decir, el determinante que multiplica a cada coeficiente es el determinante de la matriz que queda después de eliminar la fila y la columna a la que pertenece el coeficiente. coeficiente. iii) Por la forma en que se definió el determinante se dice que se expandió a lo largo de la primera fila puesto que se tomaron los coeficientes de la primera fila. Sin embargo, se puede realizar la expansión a lo largo de cualquier fila bajo los l os mismos métodos, pero eso sí, tenga en cuenta los signos, si gnos, para el e l caso c aso de la matriz 3x3 es:
+ +
Ejemplo 2. El determinante de la matriz
desarrollado respecto de la segunda fila sería,
Aquí el resultado no cambia, esto significa que el valor de un determinante de una matriz puede calcularse “expandiendo” expandiendo” a lo largo de cualquier fila.
4. Regla de Sarrus Una forma nemotécnica para el desarrollo de un determinante de orden 3 consiste en repetir bajo la fila tercera las filas primera y segunda de la matriz. Los productos de las tres diagonales resultantes en el sentido de la diagonal principal resultan ser los tres términos positivos positivos del determinante, mientras que los productos de las diagonales en sentido contrario resultan ser los términos negativos del negativos del determinante.
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Términos positivos:
,
Términos negativos:
5. Determinante de una matriz nxn Sea A una una matriz nxn Definición 3. Sea A
Se define el determinante de la matriz A a lo largo de i-ésima fila como
donde
indica la matriz de orden
que resulta de eliminar la fila i
y la columna j columna j..
Observación: Mediante esta fórmula recurrente, el cálculo de un determinante de
matrices de orden n se traslada al cálculo de n determinantes de otras tantas matrices de orden , los menores complementarios de todos los elementos de la fila késima.
Ejemplo 3. Calcular la determinante de la matriz
Solución. Calcularemos expandiendo a lo largo de la tercera fila En este caso los signos alternados se observa en esta matriz
Entonces
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+ + + +
Se observa que este procedimiento fue un poco tedioso en parte, la fila no era lo conveniente para minimizar operaciones, ya que ningún coeficiente era cero. Pero sin embargo sería conveniente expandir a lo largo de la primera fila donde hay dos ceros, así
+ + , ( ) .
6. Propiedades de los determinantes Teorema 1 . Sea A una matriz cuadrada ,
Asumiendo que se representan las filas de A A como . Entonces se cumple que: i) El valor de no depende de la fila k elegida. ii) Si la matriz A tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante es nulo. iii) Si la matriz A posee dos líneas paralelas proporcionales, su determinante es nulo. iv) Si alguna fila de A solo tiene ceros entonces . v) Si alguna columna de A sólo tiene ceros entonces . vi) Si
Entonces
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.
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Es decir que resulta de multiplicar toda una fila de A por número real k. es decir se puede sacar el factor común a lo largo de cada fila. En particular
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) (
vii) Si se intercambian dos filas de A entonces el determinante cambia, es decir
viii) Si se realiza una combinación lineal de filas el determinante no cambia, es decir
ix)
La determinante es lineal en cada fila es decir, si
,
Entonces
.
No confundir con . x) El determinante de la matriz identidad es 1, es decir . xi) Si A es una matriz triangular inferior el determinante de A es igual al producto de los coeficientes sobre la diagonal. xii) Si una línea de la matriz A es combinación lineal de otras paralelas, su determinante es nulo. xiii) Si A es una matriz triangular superior el determinante de A es igual al producto de los coeficientes sobre la diagonal. xiv) Si A es una matriz diagonal
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, ∑ +
Entonces xv) El determinante de una matriz es igual a de su transpuesta, es decir Como consecuencia de esta propiedad, podemos dar una definición equivalente del determinante cambiando el papel de las filas por el de las columnas: para cualquier k fijo con .
Teorema 2 . Si
, entonces
Teorema 3 . Si A es invertible, entonces .
Ejemplo 4. Sea la matriz
.
Al tener la tercera fila todos los coeficiente cero, entonces expandir usando esta tercera fila.
| |
, bastaría
Ejemplo 5. Sea la matriz
+ || + .
Al tener la segunda columna puros ceros, se tiene
.
Ejemplo 6. Si
Como los números de la tercera fila son todos múltiplos de 5 se puede factorizar un 5 y así escribir como
Ejemplo 7. 10
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+ + +
El determinante saca una constante por cada fila, en la matriz A, como cada fila es múltiplo de 5 se puede sacar un 5 por cada fila y así se tendría que .
Ejemplo 8. Si
,
Intercambiamos las primeras dos filas resulta .
Ejemplo 9. Si
.
Entonces si realizamos la operación
. Se tiene
.
Es importante observar que la combinación lineal se reemplaza en la fila que no fue multiplicada por un número real. En este caso se multiplicó la primera fila por 3 entonces debe reemplazarse la operación en la segunda fila ya que esta no está multiplicada por nada.
Ejemplo 10. Si
+ .
Entonces usando la linealidad en la segunda fila se tiene
Ejemplo11. Si 11
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+ + .
Vemos que A que A es es una matriz triangular superior, entonces .
Ejemplo 12. Si
.
En este caso A es una matriz triangular inferior, entonces .
7. Factorización triangular
Estudiamos una técnica utilizada para factorizar matrices, es decir, técnica que permiten escribir una matriz como producto de dos o tres matrices con una estructura especial. La factorización de matrices es importantes para resolver sistemas de ecuaciones con un número muy grande de ecuaciones y de variables, trataremos la factorización o descomposición LU, lo cual está directamente relacionada con las operaciones elementales aplicadas a una matriz, para llevarla a una forma triangular inferior L (del inglés lower) y U es una matriz escalonada (del inglés upper).
7.1. Descomposición LU Teorema 4. (Factorización). Sea A una matriz cuadrada nxn. nxn. Supongamos que se puede reducir por filas a una matriz triangular superior, U aplicando únicamente operaciones elementales de eliminación (operaciones ). Entonces existe una matriz triangular ).
inferior L que es invertible y posee unos en su dia gonal principal, tal que
.
Si A es inversible, entonces esta descomposición es única.
Demostración. Por hipótesis, existen matrices elementales ) y una matriz U (triangular superior) tales que
del tipo
.
De donde se obtiene
12
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. El determi determi nant e de una matri z cuadrada
Ahora bien, por construcción se tiene que cada matriz elemental
es
triangular inferior y posee unos en su diagonal principal, por tanto sus inversas que es la matriz también tiene las mismas características. De manera que ha sido posible obtener una factorización LU para la matriz A, por tanto .
Unicidad. Para demostrar la unicidad de esta factorización se procede como es usual, asumiendo que existen dos factorizaciones para LU para la matriz A, así
(1)
(2)
Pero, son matrices triangulares superiores y matrices triangulares inferiores con unos en su diagonal principal. Como A es invertible las matrices también lo son, incluso también sus inversas son triangulares superiores. Por tanto si (de (1) y (2)) por tanto
por por tanto
Justificación: Como el lado izquierdo es producto de matrices triangulares inferiores con unos en la diagonal, por tanto es triangular inferior y tiene unos en la diagonal principal. Igualmente, el lado derecho es producto de matrices triangulares superiores, y .
A poses infinitas Observación: Si la Matriz A no es inversible, se puede ver A descomposiciones.
Ejemplo 13. Si
+
.
Factorizar la matriz A.
Solución . Aplicamos operaciones elementales, sin intercambios, para llevar la matriz A a una forma escalonada.
+ → + → + +
de donde
13
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,
.
El determi determi nant e de una matri z cuadrada
Las matrices elementales provenientes de las operaciones elementales son
+ + + + + + + + + + se obtiene mediante la operación
se obtiene mediante la operación
se obtiene mediante la operación
Pero,
entonces
, donde
.
Se confirma que esta factorización es única.
Importante. Cómo sólo se han efectuado operaciones del tipo
con
,
y L es triangular inferior con unos en su diagonal principal.
La información sobre L se puede almacenar en aquellas donde se obtienen los ceros de U, simplemente colocando los opuestos de los multiplicadores en las operaciones elementales aplicadas del tipo
) con
.
Observe el ejemplo anterior: Las operaciones elementales
Se escribe el opuesto
Ejemplo 14. Si
.
Factorizar la matriz A.
14
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Solución . Aplicamos las operaciones elementales, sin intercambio, para llevar la matriz A a una forma escalonada.
→ → → [ ]
, donde
,
De manera que la factorización
,
es única.
Ejemplo 15. Si
.
Factorizar la matriz A.
Solución . Aplicamos operaciones elementales, sin intercambio, para llevar la matriz A a una forma escalonada
→ ,
donde se obtuvo
y y
donde x donde x es es arbitrario.
En este caso U no es inversible y L no es única, única,
Teorema 5. (Caso rectangular)
Sea A una matriz rectangular mxn mxn que se puede reducir a una forma escalonada efectuando únicamente operaciones elementales de eliminación (operaciones ). Entonces existe una matriz mxm triangular ). mxm triangular inferior L con unos en
la diagonal principal y una matriz mxn, mxn, U con .
15
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tales tales que
El determi determi nant e de una matri z cuadrada
Ejemplo 16. Si
.
Encontrar la descomposición LU de A.
Solución . Aplicamos operaciones elementales, sin intercambios, para llevar la matriz A a una forma escalonada,
→ → ,
de donde
y
son tales que
.
Observación: Presentamos un esquema de la factorización LU según como sean la matriz: (
.
7.2. Aplicación de la Factorización LU Sea el sistema
(1)
Puede resolverse de la siguiente forma, en (1), la matriz A A lo escribimos como producto de L y U. , es decir
16
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,
(2) El determi determi nant e de una matri z cuadrada
Ahora se introduce una nueva variable
(3)
que se sustituye sustituye en (2), así se obtiene un nuevo sistema,
(4)
Se resuelve el sistema (4) para la variable y, mediante sustitución hacia adelante. Como paso final, usamos sustitución hacia atrás para resolver el sistema (3). Es preciso anotar, que los sistemas (4) y (3) son relativamente fáciles de resolver, ya que se trata de matrices de coeficientes triangulares inferiores y superiores respectivamente.
Ejemplo 17. Resuelva el sistema de ecuaciones
+ + + + + + + + + + + +
Solución . Naturalmente que el sistema en forma matricial se escribe, ,
donde la matriz de coeficientes
, y las matrices:
En el ejemplo 16 ya se obtuvo la factorización factorizaci ón de
Ahora planteamos el sistema
,
.
,
, esto es
obtenemos el sistema
cuya solución
17
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+ + + + ,
con esta solución se obtiene el sistema
,
,
donde
y cuya solución es
8. Determinante de una matriz y su inversa 8.1 La matriz adjunta Uno de los resultados más importantes del álgebra lineal relaciona el determinante de una matriz con el cálculo de sus inversas. Sabemos que
| | +
Definiendo el cofactor de
de
como
Ahora el determinante de una matriz se escribe como . (*) El menor del elemento se denota como y es determinante de la matriz que queda después de borrar el renglón i y la columna j j de A. De manera que a la ecuación (*) se les llama expansiones por cofactores de cofactores de .
Ejemplo 18. Si
.
Entonces algunos cofactores y menor son: Menor de
18
:
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, , , , Cofactor de Menor de
:
:
Cofactor de Menor de
:
:
Cofactor de Menor de
Cofactor de
,
:
,
:
,
:
.
Definición 4. Si A es una matriz nxn, nxn, y elemento (i (i, j) j) es el cofactor
el cofactor de
. A la matriz cuyo
se llama la matriz de cofactores de A. a la
transpuesta de esta matriz se le denomina matri z adjunta de A y se denota por ,
Nota:
Matriz de cofactores
Matriz adjunta
Ejemplo 19. Si
+
Determine la matriz de cofactores y la matriz adjunta de la matriz A.
Solución. Los cofactores de A son los siguientes.
,
La matriz de cofactores de A es:
19
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+ + + + + + ( ) ∑ ∑ ∑ ∑
La matriz adjunta de A es la transpuesta de esta matriz
Ejemplo 20. Determine la inversa de la matriz
Solución . Usaremos la fórmula
.
Es claro que la determinante se encontró que su adjunta es
. Ya se vio vio esta matriz en el ejemplo 19 y
,
Aplicando en la fórmula para el inverso de una matriz resulta
Teorema 6. Si A es una matriz cuadrada, .
Demostración. Sea
entonces
con
Si
entonces entonces
entonces
(suma de los productos de los elementos de la fila i por los
adjuntos de los de fila ). ). Si , entonces .
, entonces
Corolario 7. Si A es inversible .
Teorema 8. La suma de los productos de los elementos ele mentos de una línea por los adjuntos de una paralela es cero. si
.
Demostración. Es inmediato, pues este sumatorio corresponde al desarrollo de un determinante con las filas k e e i iguales.
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8.2 Condiciones para la invertibilidad de una matriz Teorema 9. Sea A una matriz nxn. A es invertible si y solo si
.
, en tal caso,
En particular, las siguientes condiciones son equivalentes: 9.1 A es invertible, 9.2 tiene solución única para todo b, tiene solución solución única, 9.3 , 9.4 9.5 A es equivalente a , 9.6 A es producto de matrices elementales, , 9.7 9.8 A tiene inversa derecha 9.9 A tiene inversa izquierda.
Ejemplo 21. Si
con
Aplicando el teorema 3, es posible hallar la inversa de cualquier matriz 2x2 cuya determinante es distinta de cero. Entonces se debe construir la matriz de de cofactores. Así
Por tanto según el teorema
,
Esta fórmula de gran utilidad para calcular la inversa de una matriz de este tipo.
8.3 Cálculo de determinantes para matrices en Bloque
* *
i) Suponga que A es una matriz nxn que está escri ta como o
Donde A está escrita como matriz en bloques, aquí representan matrices cuadradas y 0 es una matriz rectangular de puros ceros. Entonces
Ejemplo 22. Si
21
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( ) + + * * .
La matriz A está en bloques, bloques, tomando
,
,
,
, es decir
Entonces se reduce a calcular
.
ii) Suponga que A es una matriz nxn escrita como
donde es una matriz y Si es invertible entonces Si
una matriz
.
es invertible entonces
.
8.4 Inversa de una matriz cuadrada
Dada una matriz cuadrada A hemos analizado que es invertible si y sólo su forma escalonada canónica era la matriz unidad, lo cual sería posible si y sólo si todos pivotes fueran pivotes fueran no nulos. Entonces, al ser que sigue.
producto de los pivotes, podemos enunciar el corolario
Corolario 10. A es inversible si, y sólo,
Teorema 11 . Una matriz es singular ( combinación lineal de las paralelas.
.
) si, y sólo si, tiene una línea
Demostración. i)
22
Si algún pivote es nulo, de manera que su forma escalonada canónica tiene una fila de ceros. Deshaciendo las transformaciones efectuadas, esa fila era necesariamente combinación de los demás. Al berto Guti é rr ez Bor da
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ii)
Si una fila es combinación lineal de las demás, por la propiedad * de los determinantes se tiene que y por tanto, A es singular.
única. Teorema 12 . La matriz inversa, en caso de existir, es única.
Demostración. Supongamos que existieran dos inversas Entonces
| |
de la matriz.
por definición de de inversa inversa
Por lo tanto
.
Teorema 13. Si la matriz producto verifica que
.
Demostración. Como
tiene inversa,
es inversible, entonces
dos cosas
tambien las tienen y se
existe
existe
Teorema 14. Si A tiene inversa
se verifica que
Demostración. Definición de inversa entonces
Por tanto
.
,
.
| |
Teorema 4. Sea un sistema de n ecuaciones lineales con n variables. Si , entonces el sistema tiene solución única.
9. Regla de Cramer
Otra aplicación del concepto de determinante es para resolver sistemas de ecuaciones lineales con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, es decir, un sistema de ecuaciones .
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| | || || || || || | | , , , | | | | || || || || + + + + + + | | || Teorema 15 . Sea el sistema de ecuaciones lineales con n variables el sistema tiene solución tiene solución única dado única dado por
,
, …,
tal que
.
Demostración: El sistema adopta la forma
Como
entonces la solución del sistema
es única y está dado por
el elemento i de x, está dado por
donde columna i. por lo tanto
es la expansión por cofactores en ´términos de la
.
Ejemplo 23. Resolver el sistema
Solución . Usando la Regla de Cramer se construye la matriz asociada ,
Calculamos
,
, entonces por (*) tenemos. Se tiene
,
,
Ahora la regla de Cramer da
,
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| | || | | || ,
.
Por tanto la solución única es
,
,
.
10. Problemas Resueltos
Ejercicio 1. Demostrar que el determinante de una matriz de orden sus elementos iguales a
es siempre un número par.
con todos
Solución: Cuando al escalonar la matriz hacemos ceros por debajo del elemento todos los elementos de la matriz
con
sólo pueden resultar 0, 2 ó -2, por
lo que al desarrollar por la primera columna nos queda un determinante con todos sus elementos pares y, por tanto, el determinante es par . Veamos con este ejemplo. Ejemplo 24. Si
+
.
Ejercicio 2. Demuestre que la matriz
es singular.
Solución . Todos los elementos en la columna 3 de A son ceros. Por tanto
+
Ejercicio 3. Demuestre que la matriz
| |
.
es singular.
Ejercicio 4. Demuestre que
Demostración. Usamos transformaciones combinaciones lineales filas
Desarrollamos respecto de la primera columna
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.
Ejercicio 5. Asumiendo que .
Calcule a)
b)
.
Solución . Hay dos filas que están multiplicadas por 2 y 3 y se puede sacar del determinante
,
intercambiamos la fila 1 con la fila 3, recordando que se debe cambiar de signo .
Luego,
.
b) Usamos propiedad de linealidad de determinantes en la tercera fila
,
ahora buscamos la propiedad de linealidad en segunda fila de cada determinante
seguidamente se sacan las constantes de las determinantes,
,
vemos que los tres últimos son ceros puesto que tiene filas repetidas, , aquí cambiamos la fila tres y dos
.
Por tanto
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| | || || || | | | | || | | | | || | || |||| | | | || | | | | | ||||| ||| | | | | | | | || | | | | || || || || || | | | | || || || || || | | ||||| | |||||| |||| | | |||||| || | | || || | |||| || +
Ejercicio 6. Si
y
,
, donde
Calcule
.
.
Solución . Sabemos varios resultados
(1) (2)
(3)
, , Aplicando (2) se tiene
,
(4)
Por (1) se tiene
,
ahora por (3),
,
usamos (4), sabiendo que las matrices son del tamaño 5, , ,
por (2),
,
por (3) y (1),
, pero
, ,
Por último como
,
.
Ejercicio 7. Considere el sistema de ecuaciones lineales
Encuentre los valores de b para los cuales, el sistema posee única solución, para el caso calcular el valor de y utilizando utilizando la Regla de Cramer. Solución . La matriz aumentada asociada al sistema es ,
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+ → + → → ( ) + + | | | | + | | | | | | | | | | | || || | |
haciendo Gauss-Jordán obtenemos
,
,
donde Para
. el sistema es ,
la matriz
,
donde
.
Ejercicio 8. Considere la matriz con
a) Calcular . b) Encuentre el determinante de la siguiente matriz B aplicando únicamente propiedades de determinantes. .
Solución.
Se van usar las propiedades: ,
Se tiene
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| | | | | | | | | | | || | | + + + + | |
a)
.
b) Observe que
aplicando
,
intercambios de fila
,
.
Ejercicio 9. Considere la matriz
Calcular el determinante de A en términos de c.
Solución. Cómo el valor del determinante no cambia al realizar una combinación lineal de filas
| |
,
y desarrollamos a lo largo de la cuarta columna, ,
desarrollamos a lo largo de la primera columna .
Es decir
.
Ejercicio 10 . Pruebe que si A y B son matrices cuadradas c uadradas del mismo tamaño, y si A es singular, entonces AB también es singular.
Solución . Como la matriz A es singular entonces
| | | | | ||
,
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| |
. Por otro lado,
El determi determi nant e de una matri z cuadrada
Por tanto la matriz AB es singular. Nota: El recíproco no es cierto.
Ejercicio 11. Evalúe el determinante
∏ ∏
Formando una matriz triangular superior.
Solución . Aplicando transformaciones indicadas:
Ejercicio 12. Los determinantes de Vandermonde son Vandermonde son de la forma
.
Demostrar que el valor de este determinante es
Solución : Basta observar que si restamos a cada fila la anterior multiplicada por obtenemos que el determinante es el mismo
El resultado es otro Vandermonde, pero de un orden inferior en que ya no está , por le resultará el producto de por un nuevo Vandermonde de otro orden inferior en el que ahora no está , esto continua, hasta que el determinante buscado es .
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11. Ejercicios Propuestos
| | | | | || | | | | | | || | | | | | | | | | | ||
1. Calcular las siguientes determinantes a)
b)
c)
R. a) 2 b)
c)
2. Evalúe los siguientes determinantes de 4x4 usando operaciones elementales en los renglones. i)
ii)
3. Pruebe que el determinante de una matriz diagonal es el producto de los elementos en la diagonal. 4. Demuestre que si A es invertible, entonces . 5. Demuestre que si , entonces . 6. Demuestre que si , entonces 7. Pruebe que si dos renglones (columnas) de una matriz cuadrada A son proporcionales, entonces . 8. Sea A una matriz cuadrada. Demuestre que si existe un entero positivo n tal que , entonces . 9. Demuestre que si A y B son matrices cuadradas del mismo tamaño, entonces . 10. Calcular los siguientes determinantes usando dos procedimientos: desarrollando por los elementos de la primera fila y mediante triangularización por transformaciones elementales. i)
,
ii)
11. Demuestre que si A, B y C son matrices cuadradas del mismo tamaño, entonces . 12. Sea A y B matrices del mismo mi smo tamaño. ¿Es ¿Es verdad?
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El determi determi nant e de una matri z cuadrada
13. Sea A una matriz cuadrada de nxn. Muestre que la única forma escalonada reducida que no tiene renglones de ceros es . 14. Demostrar que el determinante del producto de una matriz 2x1 por otra 1x2 es siempre cero. R. Observar que tienen las columnas proporcionales 15. Calcular los siguientes determinantes:
i)
| | ,
ii)
R. i)
.
, ii)
16. Resolver la siguiente ecuación
R. entonces y = 0, 0, 0, -4. 17. Calcular el valor de los determinantes:
i)
,
ii)
.
R. i) n+1, n+1, ii)
18. Sea A una matriz cuadrada de nxn con forma escalonada reducida E. Muestre que si y solo si . 19. Hallar los posibles valores del determinante de una matriz A en cada uno de los casos siguientes: i) A es idempotente, idempotente, es decir , ii) A es ortogonal , es decir .
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iii) A es k-nilpotente, k-nilpotente , es decir existe k tal tal que
.
+ | | + + | | | |||
R. i) 1, b)
y c) 0.
20. Calcular los siguientes determinantes:
i)
R. i)
ii)
.
, ii)
.
21. Considere
con
,
usando solamente propiedades del determinante calcule el determinante de B, .
22. Suponga que
,
Aplicando únicamente propiedades del determinante, calcule .
23. Considere la matriz
,
a) Para qué valor de a es la matriz invertible. b) ¿Cuál valores de a hacen que rango de A sea menor que 3? c) Calcula para , d) Encuentre para para . 24. Demuestre que si A es una matriz invertible tal que , entonces . 25. Pruebe que si A y B son matrices cuadradas del mismo tamaño, y , entonces existe una matriz C tal que . 26. ¿Es cierto que el determinante de una matriz antisimétrica es siempre cero? R. Sólo si es de orden impar. 27. Sabiendo que los números 23715, 23529, 21359, 19437 y 17453 son múltiplos de 31, probar que el determinante de la matriz
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( )
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Es divisible por 31, sin calcular el determinante. 28. Use la factorización LU dada para resolver el sistema de ecuaciones lineales a) b)
c)
+ + + +
29. Resuelva los siguiente sistema de ecuaciones usando la regla de Cramer a)
,
b)
30. Considere el sistema de ecuaciones lineales
Utilizando Gauss-Jordán determine a) Los valores de n para las cuales el sistema posee solución única. b) Para el caso calcule el valor de y utilizando la regla de Cramer. 31. Calcule la descomposición LU de la matriz i)
ii)
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