2.DETERMINANTES 2.1 DEF DEFINI INICION CION DE DETE DETERMI RMINANT NANTE E Definició Definici ó n
{
f : M n → R A → ( aij )= det ( A )=| A|
El determinante es una función que le asigna a una matri de !rden n" un #nic! n#mer! real llamad! el determinante de la matri. $i A es una matri de !rden n" el determinante de la matri A l! den!tarem!s %!r det(A) ! tam&i'n %!r ( )A) *las &arras n! signi+c i+can ,al!r a&s!lut!-. Determinante de !rden un!
¿ a ∨¿ a 11
11
Determinante de !rden d!s Dada
A =
(
a11 a12 a 21 a22
)
" se de+n e c!m! el determinante de A
c!m!
|
det ( A )=
|
a11 a12 = a11 a22−a 21 a12 a 21 a22
Determinante de !rden tres
Dada
(
a11 a12 a13 A = a 21 a22 a 23 a 31 a32 a33
)
2.2. 2. 2. M/ M/TO TODO$ DO$ DE DE C0C C0CO DE DETERMINANTE$ •
RE3A DE $ARR$
Este m't!d! s!l! se utilia %ara calculas determinantes de !rden 454" d!nde l! que se realia es aumentar +las 6acia a&a7! ! c!lumnas a la derec6a de la res%ecti,a matri inicial.
|
|
a11 a12 a 13 a 11 a12 det ( A )= a 21 a22 a 23 a21 a22 a 31 a32 a 33 a31 a32
¿ a a a + a a a + a a a − a a a −a a a −a a a 11
•
22
33
12
23
31
13
21
32
13
22
31
11
23
32
12
21
33
M/TODO DE A E$TREA
!s t'rmin!s c!n signo + est8n f!rmad!s %!r l!s element!s de la diagonal principal 9 l!s de las diagonales paralelas c!n su c!rres%!ndiente vértice opuesto .
!s t'rmin!s c!n signo - est8n f!rmad!s %!r l!s element!s de la diagonal secundaria 9 l!s de las diagonales paralelas c!n su c!rres%!ndiente vértice opuesto .
•
MENORE$ : COFACTORE$
$i A es una matri cuadrada" ent!nces el men!r del element! a i7" que se indica c!n M i7 se de+ne c!m! el determinante de la su&matri que queda des%u's de quitar la i;'sim! +la 9 la 7;'sima c!lumna de A.
(
3
1
−4
2
5
6
1
4
8
)
=ara 6allar el men!r del element! a 11 de&em!s quitar la +la 1 9 la c!lumna 1" ent!nces tenem!s un el determinante de !rden 252 que
multi%licara al element! a 11 9 asi realiam!s este mism! %r!ces! c!n t!da la +la ! c!lumna que tenga l!s men!res t'rmin!s ! tenga cer!s en su me7!r cas!. De&em!s tener en cuenta l!s sign!s %ara cada men!r que esc!gem!s as> si sumam!s i?7 9 !&tenem!s un numer! %ar es %!siti,! e im%ar l! c!ntrari!. Del e7em%l! anteri!r ,am!s a reducir la c!lumna 1 9a que tiene l!s men!res t'rmin!s 9 llegarem!s a !&tener la siguiente e5%resión
| || 3
1
det ( A )= 2
−4
5
6
1
4
8
=3
| | || |
5
6
4
8
−2 1 −4 + 1 −4 =3 ( 16 ) −2 ( 24 ) + ( 26 )= 282 4
8
5
6
2.4 =RO=IEDADE$ DE O$ DETERMINANTE$ 1. |A t | |A| 2. |A|! •
•
•
Si"
=!see d!s l#neas iguales T!d!s l!s ele$entos de una l>nea s!n nulos . !s element!s de una l>nea s!n co$%inaci&n lineal de las !tras.
4. n determinante triangular es igual al producto de los ele$entos de la diagonal principal. det ( A ) =a11 , a 22 , … … . ann
@. $i en un determinante se cam&ian entre s> d!s l>neas %aralelas su determinante cam&ia de sign!.
. $i a l!s element!s de una l>nea se le suman l!s element!s de !tra %aralela multi%licad!s %re,iamente %!r un nB real el ,al!r del determinante n! ,ar>a. . $i se multi%lica un determinante %!r un n#mer! real" queda multi%licad! %!r dic6! n#mer! cualquier l>nea" %er! sól! una. . $i t!d!s l!s element!s de una +la ! c!lumna est8n f!rmad!s %!r d!s sumand!s" dic6! determinante se desc!m%!ne en la suma de d!s determinantes. . |A'(| |A|'|(|
2.@ O=ERACIONE$ EEMENTAE$ DE FIA O COMNA EN N DETERMINANTE 1. Multi%licar una +la ! una c!lumna %!r un escalar n! nul! el determinante queda multi%licad! %!r dic6! escalar. N!tación
Si Fi← αFi, donde α ∈ R − { 0 }
Si Ci ← αCi, dondeα ∈ R− { 0 }
( )= α ∗det ( A )
∴ det A
2. Intercam&iar de %!sición d!s +las ! c!lumnas el determinante queda multi%licad! %!r ;1. N!tación Fi ↔ Fj , dondei . j ∈ N / i ≠ j Ci↔Cj , dondei . j ∈ N / i ≠ j
( )=−1∗det ( A )
∴ det A
4. $umar a una +la ! c!lumna 9 un m#lti%l! de !tra el ,al!r del determinante n! cam&ia. N!tación Fi←Fi −αFj,dondeα ∈ R− { 0 } y dondei . j ∈ N / i ≠ j
Ci←Ci − αCj,dondeα ∈ R− { 0 } y dondei . j ∈ N / i ≠ j
∴ Se recomienda o!o"ti!i#ar etao$eracion $araca!c"!ar "n determinante
tranformando!oentrian%"!ar $ara encontrar " &a!or, a! m"!ti$!icar !o e!emento de!adia%ona! $rinci$a! .
E7ercici! =ara que ,al!res de el determinante es diferente de cer!. 1. sand! el m't!d! de $arrus
| | '
1
1
A = 1
'
1
1
1
'
∴ ' ∈ R
=( ' −3 ' + 2 )=( ' −1 ) ( ' +2 ) 3
2
− {−2 , 1 }
2. sand! la %r!%iedad tres de l!s determinantes
E7em%l! 1
|
1
1
1
|
|
¿
1
0
0
|
( y # c 2 ← c 2−c 1 ( y − ( # − ( =¿ 2 2 2 2 2 2 2 2 ( y # c 3 ← c 3−c 1 ( y − ( # − (
| |
|
1
0
0
¿ ( # − ( ) ( y − ( ) (
1
1
y + (
# + (
(
2
¿
c 3 ← c 3 −c 2
|
1
0
0
G ( # − ( ) ( y − ( ) (
1
0
y + (
# + ( − ( − y
(
E7em%l! 2
2
=( # − ( ) ( y − ( ) ( # − y )
| | | | | | | | | '
1
1
1
'
1
1
1
'
¿
c 1 ← c 1− c 3
' −1
1
1
0
'
1
0
2
' +1
¿
' −1
0
1
0
' −1
1
0
0
' +2
' −1
1
1
0
'
1
− '
1
'
1
¿
¿
f 3 ← f 3+ f 1
' − 1
0
1
0
'− 1 1 − '
1
c2 ← c2− c 3
0
|
' +1
¿
f 3 ← f 3 + f 2
= ( '−1 ) ( ' −1 ) ( ' + 2 )
2. DETERMINANTE DE
|
¿
|
1
1
1
a
)
c
2
a 3 a
2
) 3 )
) −a ¿ ) ( ) −a ) 2
| |
¿ d f ← f −a ¿ f d f ← f −a ¿ f d f ← f − a ¿ f 1
2
2
2
1
2
c 3 c
3
3
4
c −a c ( c −a ) 2
2
1
1
0
)− a
c −a
d−a
2
2
0
3
d−a d ( d −a )
1
0
2
3
4
1
) −a) c − ac 3 2 3 2 ) −a ) c − a c
|
) ( )− a) c ( c − a ) d ( d − a )
| |
1
¿ ( ) −a ) ( c −a ) ( d −a ) ) 2
)
1
¿ ( ) − a ) ( c −a ) ( d − a ) 0 0
|
¿ d d f ← f −) ¿ f c d f ← f −) ¿ f 1
1
2
2
2
1
3
3
2
2
|
1
1
c −) c ( c −) )
d −) d ( d −) )
2
|
d − ad 3 2 d −a d
d −) ( d − c ) ¿ ( ) − a ) ( c −a ) ( d −a ) ( c − ) ) ¿
E7em%l! 2 1
1
1
a
b
c
a
=
2
(b
b 2
−
=
c2
a)(c
2.
1
0
b - a
0
a )(c
−
1
−
1
b
c-a
b 2 - ab
c2
−
=
ac
−
b(b
a
−
c
−
a ) c (c
a
−
a)
=
(b
−
a )(c
−
1
1
b
c
a)
=
b)
M/TODO DE ACMADOR
Este m't!d! c!nsiste en sumar t!d!s l!s element!s de t!das las +las 9 c!lumnas en una s!la" si 9 s!l! si l!s element!s de las dem8s +las ! c!lumnas suman l! mism!. E7em%l!s
| | | 0
a a a
a
aa 0 aa ¿ a 0 a C 1=C 1 + C 2+ C 3 + C 4 a a0
3a
¿
0
a −a
0 0
a a
|
0
0
0
−a
0
0
0
−a
| | 3a
a
3a
0
3a
a 3a a
aa aa 0a a0
G −3 a
4
| | | | a ) ) ) ) ) )
) ))))) a ))))) ) a)))) ¿ n=7 ) )a))) C =C 1+ C i ) ))a)) 1 i=2 ) )))a) ) ))))a
∑
a +6 ) ) a +6 ) a a +6 ) ) a +6 ) ) a +6 ) ) a +6 ) ) a +6 ) )
))))) ))))) a)))) )a))) ))a)) ) ) ) a) )))) a
¿
C 2=C 2−C 1 C 3=C 3−C 1 C 4=C 4 −C 1 C 5=C 5−C 1 C 6=C 6−C 1 C 7=C 7−C 1
|
|
a +6 )
)
)
)
)
)
)
0
a −)
0
0
0
0
0
0
0
a −)
0
0
0
0
0
0
0
a −)
0
0
0
0
0
0
0
a −)
0
0
0
0
0
0
0
a −)
0
0
0
0
0
0
0
a −)
¿ ( a + 6 ) ) ( a −) )
6
2.
CACO DE A IN
−1
ea : A =
| A|
( A¿ )t ,| A|≠ 0
−1
donde : A : Matri# in&era | A|: determinantede !a matri# A ¿
A : matri# adj"nta de A
( A¿ )t : matri# tran$"etade !aadj"nta
E7em%l! $ea A =
( ) 2
0
1
3
0
0
5
1
1
* alcula$os el deter$inante de la $atri, en el caso ue el deter$inante sea nulo la $atri, no tendr/ inversa.
| | 2
0
1
A = 3
0
0
5
1
1
=3
2
0alla$os la $atri, ad1unta ue es auella en la ue
cada ele$ento se sustitue por su ad7unt! .
(
¿
0
1
1
A = −
3.
)
| | | || | | || | | | | | | || | 0
−3 5
0
3
0
1
5
1
0
1
2
1
1
1
5
1
0
1
0
0
−2 3
−
2
0
5
1
1
2
0
0
3
0
(
=
0 1 0
−3 3 −3 −2 3
0
)
alcula$os la traspuesta de la $atri, ad1unta . ¿ t
(
0
1
0
( A ) = −3 −3
3
−2
0
4.
3
)
5a $atri, inversa es igual al inverso del valor
de su deter$inante por la $atri, tra spuesta de la ad1unta. −1
A =
1 3
(
0
1
−3 −3 −2 3
)
0 3
0
E7em%l! Calcular la in,ersa de A
( )
Sea A =
'
1
1
1
'
1
1
1
'
alcula$os el deter$inante de la $atri, en el caso ue el deter$inante sea nulo la $atri, no tendr/ inversa. det ( A ) =( ' + 2 ) ( ' −1 ) ( ' −1 ) ∴ ∃ det ( A ) , ∀ ' ∈ R− {−2 , 1 }
0alla$os la $atri, ad1unta ue es auella en la ue cada ele$ento se sustitue por su ad7unt!
¿
(
)
| | | || | | || | | | | | | || | '
1
1
'
A = −
−1 1
1
1
'
'
1
1
1
1
'
1
1
'
1
'
1
1
'
1
− '
1
−
'
1
1
1
1
'
1
1
1
1
(
2
' −1 = 1− ' 1− '
− ' 1− ' ' −1 1− ' 1− ' ' −1 1
2
2
)
alcula$os la traspuesta de la $atri, ad1unta
(
2
' −1 ¿ t ( A ) = 1 − ' 1 − '
− ' 1 − ' ' −1 1 − ' 1 − ' ' −1 1
2
2
)
5a $atri, inversa es igual al inverso del valor de su deter$inante por la $atri, traspuesta de la ad1unta. −1
A =
1
( ' + 2 ) ( ' −1 ) ( ' −1 )
(
2
' −1 1 − ' 2 1 − ' ' −1 1 − ' 1 − '
)
− ' 1 − ' ' −1 1
2
