FUNCIONES LINEALES I NO LINEALES. APLICACIONES Depreciación en línea recta. Muchas veces las organizaciones adquieren equipos, vehículos, casas, etc., entonces los contadores por lo general asignan el costo de artículo artículo sobre el período que éste se va a emplear. El costo asignado a cualquier periodo dado se denomina depreciación. La depreciación también puede considerarse como el monto en el que ha disminuido el valor en libros de un activo. Los administradores administradores conservan conservan registros registros del activo activo principal principal i su valor corriente. Por ejemplo, para un caterpillar cuyo costo inicial es de $ 18000 i una vida útil de 10 años, el contador de la organización podría asignar asignar $ 1800 al año como el costo del uso del caterpillar, luego el valor del caterpillar podría aparecer en los estados de contabilidad como $18000 al tiempo de adquisición, i de $16200 = 18000 – 1800, un año después de la adquisición i así sucesivamente. sucesivamente. La depreciación que se acaba de mencionar en el ejemplo anterior se dice que es una depreciación en línea recta ; es decir, la tasa de depreciación es constante. Suponga que el valor en los los libros declina según una función función lineal en relación con el tiempo. tiempo. Si V = f (t) es igual al valor valor en libros de un activo activo i t es el tiempo medido medido desde la fecha de adquisición para el caterpillar mencionado, entonces se tiene: V = Costo de adquisición – depreciación = 18000 – 1800t La gráfica aparece en la figura 1. s
s
V e r
p e l
a
o
ó n
s l d
e
18000 15000 n e s o r b
d
po a d i n
Curva de demanda Lineal
10000 i l e d
u r o
5000 r
o
o l a v
2
4
6
8
10 10
c e r P
Años desde la adquisición
Fig. 1
xo i
t
x
Cantidad demandada (en unidades) unidades)
Fig. 2
Depreciación en línea recta de recuperación Muchos activos tienen un valor de reventa o de recuperación, aún después de haberse hecho uso. En tales casos, el costo asignado a cada periodo es la diferencia entre el costo de adquisición i el valor de recuperación dividida entre la vida útil.
Respecto al caterpillar que costó $18000; supóngase que tiene vida útil de 10 años, después de la cual se puede vender vender en $1000, luego la depreciación anual anual será:
cos to de adquisició n valor de recuperación 18000 1000 vida útil 10
La función que expresa el valor en libros V como función del tiempo t, es: V = 18000 – 1700t, 0 t 10.
Funciones lineales de demanda . Una función de demanda es una relación matemática que expresa la forma en la cual la cantidad demandada por los consumidores de un artículo varía con el precio. Esto es fundamental en cualquier análisis económico. La relación entre estas dos variables: x la cantidad de artículos que será adquirido por los consumidores depende del precio p, son inversas. Es decir, cuando una variable se incrementa la otra disminuye i viceversa. Para muchos productos una disminución en el precio significa el aumento en la demanda. El propósito que se persigue con las ventas es casi siempre estimular la demanda. Por el contrario, contrario, si el el precio p brutalm brutalmente ente (por (por ejemplo) ejemplo) se eleva, eleva, la demanda demanda de los consumidores disminuye notablemente si es que los ingresos se mantienen constantes. Mucha gente con poder adquisitivo, si es que no hay incremento en sus ingresos, no acudiría a la tienda. Aún cuando muchas funciones de demanda son no lineales, existen situaciones en las cuales a la relación de demanda se le puede aproximar a una función lineal de la forma: p = mx + po , donde x es la cantidad cantidad de artículo i p el precio por unidad. Note Note que la pendiente m es es negativa, en virtud virtud de que la gráfica de este recta es es decreciente. Ver la figura 2. Ejemplo 2. Un fabricante de detergentes encuentra que las ventas son de 10000 bolsas a la semana cuando el precio es S/. 1.20 por bolsa, pero que las ventas se incrementan a 12000 cuando el precio precio se reduce a S/. 1.10 por bolsa. Determine Determine la relación de demanda, suponiendo que es lineal. Solución: Sea x la cantidad de bolsas de detergente. Consideremos x en el eje de las abscisas, i el precio p por unidad en el eje de las ordenadas, se tiene dos puntos sobre la recta: y – y1 = m (x – x1) ó p – p1 = m (x – x1); donde: x = 10000 cuando cuando p = 1.2 i x = 12000 cuando p = 1.1
La pendiente m viene dada por: m =
p2
x2
p1 x1
1 . 2 1 .1 10000 12000
0 .00005 , luego
p – 1.2 = – 0.00005 (x – 10000) ó p = – 0.00005x + 1.7 . Ver la figura 3.
p
p
s s e l o s n e
e
1.2 1.1
curva de oferta lineal
po l o s n e
x
10 12
x
cantidad en miles
cantidad en miles
Fig. 3
Fig. 4
Funciones lineales de oferta . Una función de oferta relaciona el precio de mercado a las cantidades que los productores se inclinan a producir i vender. La cantidad que los abastecedores están dispuestos a ofrecer, por lo general; varía directamente con el precio del mercado. A un alto precio de mercado corresponde una intención por parte del productor de abastecer i vender más, i a un bajo precio que la gente esté dispuesta a pagar, corresponde el menor incentivo para producir i vender; esto es, cuando una variable aumenta (la cantidad x) la otra también aumenta (el precio p), i cuando una variable disminuye la otra disminuye, razón por la que la gráfica de la recta es ahora creciente. Además la ecuación p = mx +po tiene la pendiente m positiva. Ver la figura 4. Ejemplo 3. A un precio de $ 2.5 por unidad, una empresa ofrecerá 8000 camisetas al mes; a $ 4.0 cada unidad la misma empresa producirá 14000 camisetas al mes. Determine la ecuación de la oferta, suponiendo que es lineal. Solución: Sea x el número de camisetas que produce la empresa, i sea p el precio por unidad, entonces: cuando x1 = 8000, p1 = 2.5 i cuando x2 = 14000, p2 = 4.0. Estos datos se encuentran sobre una línea recta; es decir, (8000, 2.5) i (14000, 4.0) deben satisfacer la ecuación: y y1
luego: p 2.5
2.5
y1 y 2 x1 x 2
4. 0
8000 14000
(x
(x x1 )
8000)
ó
p p1
p1 p 2 x1 x 2
( x x1 )
p = 0.00025x + 0.5, cuya gráfica se encuentra en
la figura 5.
x 14000
Fig. 5 8000
p
0.5 2.5
4.0
EJERCICIOS
1.
(Ingresos) Cierto pozo de petróleo rinde 400 barriles de petróleo crudo al mes que puede venderse a $15 por barril. (a) Establezca una función que exprese el ingreso total proveniente del pozo durante los próximos x meses. (b) ¿ A cuánto ascenderán los ingresos provenientes del pozo durante los próximos seis meses ?
2.
(Negocios) Durante las vacaciones universitarias, un grupo de estudiantes arman bicicletas en un garaje adaptado. El costo del alquiler del garaje es de S/. 600 por las vacaciones. Los materiales necesarios para armar una bicicleta cuestan S/. 25. (a) Exprese los gastos totales del grupo como una función del número de bicicletas armadas. (b) Suponga que los estudiantes venden las bicicletas a S/.175 cada una.¿ Cuántos deben vender para cubrir los gastos ? ¿ Cuántos deben vender para obtener una utilidad de S/. 450 ?
3. (Costos) Una flota de taxis tiene 30 automóviles cada uno de los cuales recorre aproximadamente 200 km. al día i gasta en promedio un galón cada 15 km.. Si el precio de la gasolina es de siete soles por galón, establezca una función que expresa la cantidad de dinero que la compañía de taxis puede calcular para gastos de gasolina durante los siguientes x días. 4. (Costo de vehículo) El departamento de policía de una ciudad pequeña estudia la compra de un carro patrullero adicional. Los analistas de la policía estiman que el costo del carro, completamente equipado, es de $ 18000. Han estimado también un costo de operación promedio de $ 0.40 por km. (a) Determínese la función matemática que represente el costo total de obtención i operación del carro, en términos del número de kilómetros x que se le maneje. (b) ¿ Cuál es el costo total proyectado si se maneja el carro durante 50000 km. en su vida útil ? (c) ¿ Si se le maneja durante 100000 km. ? 5. (Manufacturas ) Al manufacturar un producto, una firma incurre en costos de dos tipos. Incurrió en costos fijos anuales de S/. 100000, sin importar el número de unidades producidas. Además, cada unidad producida ocasiona a la firma S/.5. C es igual al costo anual total en soles, i x es igual al número de unidades producidas durante un año. (a) Determine la función C = f (x) que exprese el costo anual, como dependiente del número de unidades producidas durante un año. (b) ¿ Qué es f (20000) ? ¿ Qué representa f (20000) ? (c) Establezca el dominio restringido de la función si la capacidad máxima de producción es de 50000 unidades por año.
6.
(Sueldo semanal) A un vendedor se la paga en forma semanal sobre una base de comisión. La comisión sobre cada unidad vendida es de S/. 5. Si las ventas semanales son de 20 unidades ó más, ello le reditúa una gratificación de S/. 25. Si y es igual al sueldo por semana en soles, i x es igual al número de unidades vendidas durante la semana, determine la función y = f (x)
7.
(Ahorros) Un museo de historia natural cobra por la entrada de grupos de acuerdo con la siguiente política. A los grupos de menos de 50 personas se les cobra una tarifa de $1.50 por persona mientras que a los grupos de 50 personas o más se les cobra una tarifa reducida de $ 1 por persona. (a) Exprese la suma que se ha de cobrar a un grupo por su entrada al museo como una función del tamaño del grupo. (b) Represente gráficamente la función. (c) ¿Para cuáles valores de la variable independiente tiene esta función una interpretación práctica ? (d) ¿ Cuánto dinero ahorrará un grupo de 49 personas en los costos de entrada si puede conseguir un miembro adicional ?
8.
(Costos) Una firma que produce un solo producto está interesada en determinar la función que exprese el costo total anual y como función del número de unidades producidas x. Los contadores indican que los gastos fijos al año son de 50000 soles. Han estimado también que los costos en materia prima para cada unidad producida son de 5.50 soles, i los costos por mano de obra por unidad son 1.50 soles en el departamento de ensamblaje, 0.75 en el local de acabado, i de 1.25 en el departamento de empaque i embarque. Halle la función de costo total.
9.
(Negocios) Una empresa vende un sólo producto a razón de 65 soles por unidad. Los costos variables por unidad son de 20 soles por materiales i 27.50 soles por mano de obra. Los costos fijos anuales son de 100000 soles. Constrúyase la función de utilidad establecida en términos de x, el número de unidades producidas i vendidas. ¿ Qué utilidad se obtiene si las ventas anuales son de 20000 unidades ?
10. (Costos en ingeniería) Supóngase que un cargador frontal es adquirido por una firma a un costo de 30000 dólares i con una vida útil de 10 años. El contador le asigna 3000 dólares al año como el costo de depreciación del cargador. Si V es el valor en libros de un activo i t es el tiempo medido desde la fecha de adquisición, encuentre la función V = f (t). 11. En el problema anterior, supóngase que el cargador adquirido tiene un valor de reventa de 1500 dólares, determine la función V = f (t) 12. (Aviación comercial) Una línea aérea expresa que está empleando la depreciación en línea recta en uno de sus “747” . El costo inicial de compra fue de 5’500 ,000 dólares. Los registros de la compañía indican que después del primer año, el valor en libros del avión era de 4’950,000 dólares. Después del tercer año, el valor fue de 3’850,000, i
después del sexto año el valor fue de 2’200,000 dólares. Supóngase qu e no hay valor de recuperación. (a) ¿ Están empleando la depreciación en línea recta ? (b) Si es así, ¿ Cuál es la función V = f (t) ? (c) ¿ Cuándo estará el “747” completamente depreciado ? 13. (Depreciación) Una empresa compra maquinaria por S/. 150000. Se espera que la vida útil de la maquinaria sea de 12 años con valor de desecho (recuperación) cero. Determine la cantidad de depreciación por año i una fórmula para el valor depreciado después de x años. 14. (Depreciación) Una empresa compró maquinaria nueva por $ 15000, si se deprecia linealmente en $ 750 al año i se tiene un valor de desperdicio de $ 2250, ¿ Por cuánto tiempo estará la maquinaria en uso ? ¿ Cuál es el valor V de la maquinaria después de t años de uso, i después de 6 años de uso ? 15. (Producción e inversiones) El administrador de cierta empresa no invierte dinero en fabricar un nuevo producto a menos que reciba un 15 % de rédito de sus costos fijos. La empresa puede vender todo lo que produce a un precio de S/. 10 por unidad. El costo variable por unidad es de S/. 6 i los costos fijos son de S/. 40000. ¿ Cuántas unidades deberá producir i vender de modo que obtenga el rédito requerido ? 16. (Relación de demanda) Un súbito aumento en el costo de la plata obligó a una compañía fabricante de rollos fotográficos a incrementar el precio del rollo para 20 exposiciones de $ 2.25 a $ 2.50. Como resultado de las ventas mensuales cayeron de 3 a 2.6 millones de rollos. (a) Encuentre la relación lineal que describa el precio p en dólares en términos de las ventas mensuales x expresadas en millones de rollos. (b) ¿ Qué hubiese sucedido con las ventas si la compañía baja su precio a $ 2.00 por rollo, suponiendo que la relación lineal deducida aún se aplica ? 17. (Manufacturas) Una firma produce tres productos, los cuales se vende en 10, 15 i 8.5 dólares respectivamente. Las necesidades de mano de obra para cada producto son de 2.5, 3.5 i 2.0 horas por unidad, respectivamente. Supóngase que los costos por mano de obra son de $ 3 por hora i que los costos fijos anuales son de $ 50000. (a) Constrúyase una función conjunta de ingresos totales para las ventas de los tres productos. (b) Hállese una función de costo total anual para la producción de los tres productos. (c) Determínese la función utilidad para los tres productos. (d) ¿Cuál es la utilidad anual si se venden 20000, 10000 i 30000 unidades respectivamente, de los tres productos?
ANALISIS DE EQUILIBRIO Una forma alterna de ver el análisis de equilibrio es en términos de “contribución a la utilidad”. Cuando el precio p con que se vende excede al co sto variable por unidad v, entonces la diferencia p – v recibe el nombre de Contribución por utilidad . Como
R(x) = C(x), entonces xp = F + vx implica que x (p – v) = F; es decir, x 0 Nivel de producción =
F
p
v
, luego:
costo fijo contribución a la utilidad
Ejemplo 1. Una empresa elabora un producto que vende a un precio de 150 soles por unidad. El costo variable por unidad se estima en 130 soles, i los costos fijos en 250000 soles. (a) Encuentre el nivel de producción de equilibrio. (b) Calcule el costo i los ingresos totales en el punto de equilibrio. (c) ¿Cuál será la utilidad si la demanda es de 7500 unidades? Solución: (a) La función de ingreso está representada por la ecuación R(x) = 150x, i la función de costo por la ecuación C(x) = 250000 + 130x. Para hallar el punto de equilibrio hacemos que R(x) = C(x); esto es, 150x = 250000 + 130x, de donde x = 12500. Luego la empresa debe vender x0 = 12500 unidades, con ello no habrá ganancia ni pérdida.
(b) El costo en el punto de equilibrio viene dado por: C(12500) = 250000 + 130(12500) = 1875000 soles; que es igual naturalmente al ingreso R(12500) = 150(12500) = 1875000 soles. La empresa no obtendrá ganancia ni pérdida cuando obtenga como ingresos 1875000 soles. (c)
La utilidad está expresada en la función U(x) = R(x) – C(x) = 20x – 250000. Si la demanda es 7500 unidades, entonces la utilidad es U(7500) = 20(7500) – 250000 = – 100000; lo que quiere decir, vendiendo la empresa 7500 unidades tiene una pérdida de 100000 soles. Véase la fig. (10) C(x)
y = R(x)
R(x)
C(x) 3600
y = C(x)
1875000
CB
2000
– 100000
CA 1200
250000
7500
Fig. 10
x
12500
3200
x
Fig. 11
Ejemplo 2. Los costos fijos de un proceso de manufactura son S/. 5000 anuales. Los ingresos por unidad son S/. 4.00. Cuando se fabrican 3000 unidades o menos, los costos variables pueden mantenerse a S/. 2.00 por unidad, pero cuando el volumen aumenta
sobre este nivel, se requiere de tiempo extra lo que lo eleva a S/. 2.40 por unidad. Encuentre: (a) El punto de equilibrio. (b) La utilidad en 4000 unidades. Solución: Del enunciado podemos establecer que el costo fijo F = 5000, el ingreso R(x) = xp, donde p = 4 i v = 2 es el costo variable por unidad cuando x 3000. (a) De la ecuación xo = F (p – v) se tiene xo = 5000 (4 – 2) = 2500 unidades. (b) De la ecuación R(x) = xp, obtenemos el ingreso para 4000 unidades: R(4000) = (4000)(4) = 16000 soles. El costo viene dado por C(x) = 5000 + 2(3000) + 2.40(4000 – 3000) = 13400; donde el 1er. sumando es el costo fijo, el 2do. es el costo variable para los 3000 primeros artículos, i el 3ro. es el costo variable para los 1000 artículos restantes. Por lo que U = R – C = 16000 – 13400 = 2600 soles.
B. Evaluando dos alternativas. Sean dos procesos 1 i 2, con costos fijos F1 i F2 , i con costos variables v1 i v2 respectivamente. El análisis de equilibrio puede ser usado para determinar a qué volumen x es costeable cambiar de un proceso al otro si es que conviene. El punto de equilibrio xo está dado por las ecuaciones de costo: F1 + v1 xo = F2 + v2 xo , de donde x0 = (F1 – F2) (v2 – v1). Si xo es positivo, entonces: F1 F2 i v1 v2. Este es el caso típico que surge del uso de una máquina automática más cara, la cual a su vez ahorra mano de obra directa. Si F1 F2 i v1 v2 las líneas de costo divergirán i el proceso 1 nunca será justificado económicamente. Ejemplo 3. Una fábrica tiene dos máquinas con los siguientes datos:
COSTOS FIJOS. $ COSTOS VARIABLES POR UNIDAD. $ Encuentre:
MAQUINA A 1200
MAQUINA B 2000
0.75
0.50
(a) El punto de equilibrio. (b) El costo de producción en el punto de equilibrio.
Solución: El costo de la máquina A es CA = 1200 + 0.75x , i el costo de la máquina B es CB = 2000 + 0.50x. (a) De la ecuación xo = (F1 – F2) (v2 – v1) obtenemos xo = (2000 – 1200) (0.75 – 0.50) = 3200. Luego la cantidad de equilibrio se encuentra en 3200 unidades. Ver figura 11
Quiere decir, si la fábrica recibe un pedido de q 3200 unidades usará la máquina A, i si recibe un pedido para fabricar q 3200 unidades usará la máquina B.
(b) El costo de producir xo = 3200 unidades, lo obtenemos de CA o también de CB: CA (3200) = 1200 + 0.75 (3200) = 3600; CB (3200) = 2000 + 0.50 (3200) = 3600.
Puntos de equilibrio de mercado. Si el precio de cierto artículo es demasiado alto, los consumidores no lo adquirirán, mientras que si es demasiado bajo, los proveedores no lo venderán. En un mercado competitivo, cuando la cantidad demandada i ofertada sólo depende del precio, siempre existe una tendencia del precio a ajustarse por si mismo, de modo que la cantidad demandada por los consumidores iguale la cantidad que los proveedores estén dispuestos a ofrecer. Se dice que el punto de equilibrio de mercado ocurre cuando ambas cantidades son iguales. Gráficamente esto corresponde al punto de intersección de las curvas de demanda i oferta. Algebraicamente, el precio de equilibrio p o i la cantidad de equilibrio xo se determina resolviendo el sistema de ecuaciones de demanda i oferta. Ejemplo 4. Encuentre el punto de equilibrio de mercado entre la:
(a) Demanda: 4p + x = 50, oferta: 6p – 5x = 10 (b) Oferta: x = p – 5, demanda: 4x = 12 – 3p Solución: (a) Resolviendo el sistema
4p + x = 50 se tiene: p = 10, x = 10. Esto significa o o 6p – 5x = 10
que el precio de equilibrio es po = 10 soles, i la cantidad de equilibrio xo = 10 unidades. x = p – 5 4x = 12 – 3p
(b) Análogamente, al resolver el sistema
se obtiene el equilibrio
de mercado po = 32 7, x0 = – 3 7. Puesto que la cantidad x no puede ser negativa, el equilibrio de mercado ocurre en x = 0. Esto es, ningún bien se está produciendo i vendiendo; es decir, la demanda es insuficiente. Véase la figura x x 12. (0,700)
3
oferta
demanda 4
5 32 , 3 7 7
demanda
p
xo
– 5
(33,150) (8,0)
Fig. 12
oferta
po (42,0)
p
Fig. 13
Ejemplo 5. Un comerciante puede vender 200 unidades de cierto artículo al día a 30 soles por unidad i 250 unidades a 27 soles por unidad. La ecuación de la oferta para tal artículo es 6p = x + 48. Encuentre el precio i la cantidad de equilibrio. Solución: Primeramente hallemos la ecuación de la demanda, supuesto que ella es lineal. Cuando x1 = 200, p1 = 30; i cuando x2 = 250, p2 = 27. Se tiene dos puntos sobre la recta, de modo que su ecuación debe ser de la forma: x – x1 = m (p – p1), donde la pendiente m = (x1 – x2) (p1 – p2) = (200 – 250) (30 – 27) = – 50 3. Luego la ecuación es x – 200 = ( – 50 3)(x – 30); es decir, 50p + 3x = 2100 representa la ecuación de la demanda. Resolviendo el sistema lineal 2x2:
6p = x + 48 50p = – 3x + 2100 se tiene: el punto de equilibrio p0 = 33, i la cantidad de equilibrio x 0 = 150. Con este resultado el comerciante no gana ni pierde. Véase la figura 13. Por conveniencia al igual que en el ejemplo 4, se han intercambiado los soles i la cantidad; es decir, en el eje horizontal está p (en soles) i en el eje vertical está la cantidad x (número de unidades)
Impuestos especiales i puntos de equilibrio de mercado. Consideremos el efecto de un impuesto adicional sobre el punto de equilibrio de mercado, debido a que el gobierno grava con impuestos adicionales para ciertos artículos con el propósito de obtener más ingresos, o dar más subsidios a los productores a fin de que sean accesibles estos artículos a los consumidores a precios razonables. Supóngase que: (a) La cantidad demandada por los consumidores sólo depende del precio; es decir, la ecuación de demanda no cambia. (b) La cantidad ofrecida por los proveedores está determinada por el precio recibido por ellos. Si p denota el precio aceptado por unidad por el proveedor i si con t denotamos el impuesto por unidad, entonces la cantidad pagada por unidad por el consumidor es p1 = p + t . Ejemplo 6. A un precio de S/. 50 por kgr., la demanda de cierto artículo es de 4500 kgr., mientras que la oferta es de 3300 kgr. Si el precio se incrementa en S/.10 por kgr., la demanda i la oferta serán de 4400 i 4200 kgr. respectivamente. (a) Suponiendo linealidad, determine las leyes de la oferta i la demanda. (b) Encuentre el precio i la cantidad de equilibrio. (c) Si se grava con un impuesto adicional de S/.2 por kgr. al proveedor, determine el incremento en el precio de equilibrio i la disminución en la cantidad de equilibrio. (d) ¿Qué subsidio deberá darse al proveedor por kgr. de modo que la cantidad de equilibrio se incremente en 55 kgr.?
Solución: (a) Según el enunciado del problema se tiene: cuando p1 = 50 soles / kgr. la demanda x1 = 4500 kgr. ; i cuando el precio aumenta en 10 soles: p2 = 60, la demanda es x2 = 4400 kgr. Luego la ecuación de la demanda será de la forma: x – x1 = m(p – p1), donde x x1 4400 4500 m= 2 , o lo que es lo mismo: x – 4500 = (p – 50). Simplificando se 60 50 p 2 p1
tiene x + 10p = 5000. Análogamente, la ecuación de la oferta viene dada por x – 3300 4200 3300 = (p – 50) o lo que es lo mismo: x – 90p = – 1200. 60 50 (b) Para el punto de equilibrio del mercado, resolvemos el sistema de ecuaciones lineales 2 2: x + 10p = 5000 x – 90p = – 1200
Obteniéndose po = 62 soles por kgr., xo = 4380 kgr. (c) Cuando se fija un impuesto de 2 soles por Kgr., sea p’ el precio del mercado. De este precio p’ pagado por el consumidor, 2 van al gobierno, de modo que el proveedor obtiene p’ – 2 . El precio aceptado por el proveedor aún está dado por la ecuación de oferta x’– 90(p’– 2) = – 1200, o lo que es lo mismo x’– 90p’ = –1380, donde x’ es la cantidad ofrecida en el nuevo punto de equilibrio. Por otra parte, la ecuación de la demanda permanece inalterada , luego cambiando p por p’ i x por x’ se tiene x’ + 10p’ = 5000. Resolviendo el sistema: x’ + 10p’ = 5000 x’ – 90p’ = – 1380 se obtiene el precio i la cantidad de equilibrio después que se ha fijado un impuesto de S/. 2, son p’ = 63.80 i x’ = 4362. Po r tanto, el incremento en el precio es p’– p = 63.80 – 62 = 1.80 soles. La disminución en la cantidad de la demanda es x – x’ = 4380 – 4362 = 18 kgr. (d) Sea t el subsidio por kgr. para elevar el punto de equilibrio de la demanda de 4380 a x” = 4380 + 55 = 4435. La ecuación de la oferta x – 90p = – 1200 conforme a un subsidio de t, ahora toma la forma x”– 90(p”+ t) = –1200, donde p” = p – t es el precio del mercado i p es el precio recibido por los proveedores. La ecuación de la demanda x + 10p = 5000 permanece sin cambio, sólo tendremos que cambiar x por x” i p por p”, lo que resulta x” + 10p” = 5000. Desde que x” = 4435, entonces obtenemos 5000 4435 p” = = 56.5. Reemplazando p” = 56.5 i x” = 4435 en la ecuación de la 10 oferta x”– 90(p”+ t) = – 1200 se obtiene el valor de t = 6.11 soles.
EJERCICIOS
1.
(Equilibrio) Una compañía tiene costos fijos de S/.2500 i producir 200 unidades son de S/.3300.
los costos totales por
(a) Suponiendo linealidad, escriba la ecuación costo – producción. (b) Si cada artículo producido se vende a S/. 5.25, encuentre el punto de equilibrio. (c) ¿Cuántas unidades deberá producir i vender de modo que resulte una utilidad de S/. 200? 2.
(Equilibrio) Las ecuaciones de oferta i demanda para cierto producto son 2p – x = 10 i p = 800 (x + 370), en donde p es el precio por unidad en miles de soles i x es el número de unidades vendidas al mes. (a) Encuentre el punto de equilibrio. (b) Determine el ingreso total recibido por el fabricante en el punto de equilibrio.
3.
(Equilibrio) Supóngase que el costo total diario (en soles) de producir x tableros de circuito está dado por C(x) = 300 + 2.5x. (c) Si cada tablero de circuito se vende a S/. 4, ¿cuál es el punto de equilibrio? (b) Si el precio de venta se incrementa a S/. 5 por tablero, ¿cuál es el nuevo punto de equilibrio? (c) Si se sabe que al menos 150 tableros de circuito pueden venderse a la semana, ¿qué precio debe fijarse con el objeto de garantizar que no haya pérdidas?.
4.
(Análisis de punto de equilibrio) El costo variable de producir cierto artículo es de 90 céntimos por unidad i los costos fijos son de S/. 240 al día. El artículo se vende por S/. 1.20 cada uno. ¿Cuántos artículos deberá producir i vender para garantizar que no haya ganancias ni pérdidas?
5.
(Punto de equilibrio i ganancias) Un distribuidor de automóviles tiene costos fijos de $ 110000 al año (cubriendo salarios, equipos, intereses, alquileres, etc.) El distribuidor le compra al fabricante 500 automóviles al año a un precio de $ 8500 cada uno. Estos automóviles se venden al público al precio de $ 10000., de los cuales $ 500 es la comisión del vendedor. En las dos últimas semanas del año, a todos los automóviles que no han sido vendidos se les reduce el precio a $ 8500, de los cuales $ 300 son para el vendedor. (a) Desarrolle una expresión para U, las utilidades anuales, en términos de n, el número de automóviles vendidos al precio completo durante el año. Suponga que todos los automóviles restantes se venden en el “remate” de fin de año. (b) ¿Cuál es el valor de equilibrio para n? (c) Suponiendo que se invirtieron $ 1300000, ¿cuál es el valor de n que corresponde a una ganancia del 20 % sobre la inversión?
6.
(Decisiones sobre producción) Una empresa puede elaborar sus productos empleando dos métodos. El costo de producir x unidades por el 1er. método es (10x + 20000)
soles, mientras que por el 2do. método cuestan (15x + 9000) soles. La empresa puede vender todo lo que produce a 30 soles cada artículo. ¿Cuál método de producción deberá utilizar la administración de la empresa si las ventas proyectadas son de: (a) 800 unidades? (b) 2500 unidades? (c) 1500 unidades? 7.
(Demanda i oferta) No existe demanda para una nueva marca de cámaras de video si el precio por cámara es de $ 1700 o más. Por cada disminución de $ 100 en el precio, la demanda se incrementa en 200 unidades. El fabricante no está dispuesto a considerar un precio unitario de $ 500 o menos i ofrecerá 1400 cámaras al precio de $ 850 cada una. Determine las ecuaciones de oferta i demanda, suponiendo que son lineales. ¿Cuál es el precio i la cantidad de equilibrio
8.
(Subsidio i punto de equilibrio de mercado) La ley de la demanda para cierto artículo 4 es 5p + 2x = 200 i la ley de la oferta es p = x + 10. 5 (a) Determine el precio i la cantidad de equilibrio. (b) Encuentre el precio i la cantidad de equilibrio después que se ha fijado un impuesto de 6 por unidad. Determine el incremento en el precio i la disminución en la cantidad demandada. ¿Qué subsidio provocará que la cantidad demandada se incremente en 2 unidades?
9.
(Punto de equilibrio de mercado) Un comerciante puede vender 200 unidades de cierto artículo al día a $ 30 por unidad i 250 unidades a $ 27 por unidad. La ecuación de la oferta para tal artículo es 6p = x + 48. (a) Determine la ecuación de la demanda para el artículo, suponiendo que es lineal. (b) Encuentre el precio i la cantidad de equilibrio. (c) Determine el precio i la cantidad de equilibrio si se ha fijado un impuesto de $ 3.40 sobre el artículo. ¿Cuál es el incremento en el precio i la disminución en la cantidad demandada? (d) ¿Qué subsidio por unidad incrementaría la demanda en 24 unidades? (e) ¿Con qué impuesto adicional por unidad debe gravarse el artículo de modo que el precio de equilibrio por unidad se incremente en $ 1.08?
10. (Punto de equilibrio de mercado) Si para cierto producto, el precio por unidad es de S/. 4, los consumidores comprarán 10000 unidades por mes. Luego, si el precio por unidad es de S/. 5 los consumidores comprarían 9000 unidades por mes. Con base en ello: (a) Suponiendo que la curva de demanda es una línea recta, encuentre su solución. (b) La ecuación de la oferta para este producto es:
x , si 0 x 6000 2000
3.2 + p=
x 5 + , si 6000 x
5000
Encuentre el punto de equilibrio i la cantidad total gastada por los consumidores en ese producto con el precio de equilibrio. 11. (Múltiples puntos de equilibrio de mercado) Para un artículo en particular la relación de oferta es: 6p , si 0 p 1 x= 6 , si p 1 p
i la relación de demanda es x + 2p = 7. Encuentre los puntos de equilibrio de mercado. Dibuje las gráficas. 12. (Múltiples puntos de equilibrio de mercado) Un proveedor monopólico de cierto artículo está obligado a surtir una cantidad suficiente para garantizar un ingreso constante. Por ello, la relación de oferta tiene la forma xp = 5 i la relación de demanda 3x + 4p = 30. Encuentre los puntos de equilibrio de mercado. 13. (Negocios) La administración de un centro cívico está negociando un contrato con un grupo musical. El conjunto musical exige unos honorarios de 25000 soles más el 37.5 % de las entradas. Los promotores pretenden cobrar 8 soles por boleto por la presentación. (a) Determine el número de boletos que se deben vender a fin de lograr el equilibrio. (b) Si los promotores esperan obtener una utilidad de 20000 soles, ¿cuántos boletos se deben vender?. 14. (Ingeniería) Un grupo de ingenieros está interesado en formar una compañía para producir detectores de humo. Están en una etapa de diseño i estiman que los costos variables por unidad, incluyendo mano de obra, materia prima i costos de mercado, son de 22.50 dólares. Los costos fijos asociados con la formación, operación i administración de la compañía, i la adquisición de equipos i maquinaria, hacen un total de 250000 dólares. Estiman que el precio de venta será de 30 dólares por detector. (a) Hállese el número de detectores de humo que se deben vender a fin de que la firma esté en equilibrio con la inversión. (b) Los datos preliminares de mercado indican que la firma puede esperar unas ventas de aproximadamente 30000 detectores de humo durante la vida del proyecto si se les fija a los detectores un precio de 30 dólares. Determine las utilidades esperadas en este nivel de producción. 15. (Equilibrio) Un editor tiene un costo fijo de 90000 soles en relación con la producción de un libro de matemáticas de nivel universitario. La contribución a la utilidad i al costo fijo de cada libro es de 2.50 soles. (a) Halle el número de libros que se debe vender, a fin de lograr el equilibrio. (b) ¿Cuál es la utilidad esperada si se venden 30000 libros?
16. (Planta química) Un producto químico casero consta de 4 partes del ingrediente Q i 1 parte del ingrediente P. Los costos fijos, los costos variables i los ingresos se muestran en el cuadro siguiente. Encuentre el punto de equilibrio de la planta.
Artículo
P
Costos fijos F, $ por año Costos variables v, $ por año Ingresos r, $ por galón
Q
12000 15 21
4000 6 10
17. (Toma de decisiones) Un fabricante enfrenta la decisión de hacer o comprar. Puede comprar un artículo por S/. 4.50 cada uno; necesita 3000 anuales. También puede hacer el artículo mediante una inversión fija en herramientas, etc. de S/. 9000 i un costo variable de mano de obra i materiales de S/. 2 cada uno. (a) ¿Debe él fabricar o comprar? (b) ¿Cuál es el volumen de equilibrio? 18. (Estrategias) Basados en los datos del cuadro siguiente, idée un plan de selección de maquinaria, dependiendo de las cantidades de producción. (Sugerencia, grafique las funciones de costos para así poder ver las relaciones de equilibrio)
CUADRO Máquina A B C D
Costo fijo en $ 5000 10000 13000 18000
Costo variable c/u $ 6.00 4.00 2.50 1.25
19. (Ingeniería) Un yacimiento minero contiene 15 millones de toneladas i puede ser comprado en 12 millones de dólares más regalías de 20 dólares por tonelada. Hay un costo adicional de fundición de 40 dólares por tonelada. Cuando se refina, el metal se vende a 50 centavos la libra. Encuentre el grado de equilibrio del mineral. 20. (Ingeniería) Una fábrica recibe un pedido por 100000 tableros de circuito. Con el equipo actual cuesta fabricar cada uno 80 centavos i hay un 6% de artículos defectuosos. Sin embargo, la fábrica puede instalar controles especiales, los cuales, aunados a su costo de desarrollo le costarían $ 18000. Sus costos variables por artículo descenderían a 60 centavos, pero el proceso podría ser menos confiable, ¿cuánto menos confiable puede ser el proceso antes de que la fábrica rechace los controles especiales? (Punto de equilibrio) Hállese el punto de equilibrio entre las funciones de oferta demanda correspondiente a los dos ejemplos anteriores.
i
Solución: El punto de equilibrio queda determinado al establecer q o = qd, donde qo i qd representan la cantidad ofertada i demandada respectivamente:
2p2 – 5000 = 4p2 – 400p + 10000 Simplificando resulta p2 – 200p + 7500 = 0. La solución obtenemos aplicando la fórmula 200 40000 30000 , de donde p1 = 150 i p2 = 50. Rechazamos el valor 2 de p = 150 (Diga ¿por qué?), se admite sólo p = 50. En consecuencia el equilibrio de mercado ocurre cuando el precio es de p = 50 soles, la cantidad ofrecida i demandada es q = 0 unidades. Véase la figura 23. cuadrática: p
q
curva de demanda
curva de oferta
(50, 0)
Fig. 23
p
Ejemplo 9. (Distancia óptima) Supóngase que existen tres ciudades A1, A2, A 3 situadas en una misma recta (podrían ser ciudades en una carretera costera) i a una distancia de 15, 25, 40 km. respectivamente medidos desde un punto de referencia, tal como se expone en la figura 24. 0 A1 A2 A3 B
15 25 40 Fig. 24 Las autoridades locales acuerdan construir un centro médico de emergencia de verano, de modo que se encuentre lo más cerca posible a cada ciudad, así como también tener en cuenta el tamaño de la población, Cuánto mayor sea la ciudad, más cercano debería estar el servicio. Suponiendo que A1, A2 i A3 tienen una población de 10000, 8000, i 15000 habitantes respectivamente; decidir en qué punto construir el servicio. (Médicos, ambulancias, etc.) Solución: El criterio a aplicar para seleccionar el lugar es minimizar la suma de los productos del número de habitantes de la ciudad por el cuadrado de la distancia de la ciudad al servicio. Es decir:
Minimizar:
S = p1d12 p 2 d 22 p 3d 32
donde pi son las poblaciones, di las distancias del servicio médico a las ciudades Ai respectivamente, para i = 1, 2, 3. La población respectiva es de 10, 8, i 15 miles de habitantes. Sea x la distancia del origen (punto de referencia) O al servicio; es decir, supóngase que el servicio se ubica en el punto B (véase la figura 24). Si x i denota la distancia del origen a la ciudad Ai, entonces di = x – xi, donde x1 = 15, x2 = 25, x3 = 40; entonces: S = 10(x – 15)2 + 8(x – 25)2 + 15 (x – 40)2 Simplificando se tiene S = 33x2 – 1900x + 31250. Podemos ver que esta función es cuadrática con a = 33 0, b = – 1900, c = 31250. La parábola es cóncava hacia arriba i el ( 1900) mínimo se encuentra en el vértice x = – b (2a) = = 28.79. por tanto el 2(33)
servicio de emergencia debe situarse según la figura a 28.79 km. del origen, ó, a 3.79 km. a la derecha de la ciudad A2. Ejemplo 10. (Renta óptima) El propietario de un edificio de apartamentos puede alquilar todas las 60 habitaciones si fija un alquiler de 120 soles al mes por habitación. Si el alquiler se incrementa en 5 soles, dos de las habitaciones quedarán vacías sin posibilidad alguna de alquilarse. Determine: (a) El ingreso en función del número de habitaciones desocupadas. (b) El ingreso en función del número de habitaciones ocupadas. (c) El ingreso en función del alquiler mensual. (d) El alquiler que maximiza el ingreso mensual. Solución: (a) Si alquila las 60 habitaciones, i siendo el alquiler mensual de cada una 120 soles, el ingreso es I = (60)(120) = 7200 soles. Si fija el alquiler en 125 soles alquila 58 habitaciones, luego el ingreso será de I = (58)(125) = 7250 soles. Si fija el alquiler en 130 soles, el número de habitaciones alquiladas es 56 i el ingreso será de I = (56)(130) = 7280 soles. Procediendo de esta manera, supóngase que x es el número de habitaciones desocupadas. Ya que el ingreso viene dado por:
I = (n° de habitaciones) (alquiler de cada una) Entonces I (x) = (60 – 2x) (120 + 5x); esto es, I (x) = – 10x2 + 60x + 7200 (b) El número de habitaciones alquiladas es 60 – 2x. Llámese y = 60 – 2x, luego 60 y 60 y x , ahora el ingreso viene dado por I(y) = y120 + 5( ) ; es decir: 2 2 I(y) = ( – 5/2)y2 + 270y (c) El precio del alquiler de cada habitación es de 120 + 5x = p soles, luego x Reemplazando en I(x) se tiene I(p) = – 10 (
p 120 5
)2 + 60(
p 120 5
.
p 120 ) + 7200. 5
Simplificando resulta I(p) = ( – 4/10)p2 + 108p. (d) Cualquiera de las ecuaciones dadas anteriormente representa una parábola. De la parte (c): I(p) = ( – 4/10)p2 + 108p, con a = – 4/10 0, b = 108, c = 0 se tiene una parábola cóncava hacia abajo alcanzando un máximo en el vértice p = – (b)/2a = – 108/(2( – 4/10)) = 135. En consecuencia, el propietario del edificio si quiere obtener el ingreso máximo 135 120 debe alquilar con x = = 3; es decir, con 60 – 2(3) = 54 habitaciones, a un 5 precio de 135 soles cada una, obteniendo como ingreso I(135) = ( – 4/10)(135)2 + 108(135) = 7290 soles. EJERCICIOS
1.
(Decisión sobre fijación de precios) La demanda mensual x de cierto artículo al precio de p soles por unidad está dada por la relación x = 1350 – 45p. El costo de la mano de obra i del material con que se fabrica este producto es de $ 5 por unidad i los costos fijos son de $ 2000 al mes. ¿Qué precio por unidad p deberá fijarse al consumidor con el objeto de obtener una utilidad máxima mensual?
2.
(Optimización) Un granjero tiene 200 metros de cerca con la cual puede delimitar un terreno rectangular. Un lado del terreno puede aprovechar una cerca ya existente. ¿Cuál es el área máxima que puede cercarse? Cerca existente
x
x y
3.
(Costos) Un fabricante ha encontrado que el costo de producción de sus primeras n unidades es C(n) = 3n2 + n + 9 soles. (a) ¿Cuál es el costo de fabricación de las primeras 20 unidades? (b) ¿Cuál es el costo de fabricación de la vigésima unidad?
4.
(Ingreso máximo) El ingreso mensual por concepto de la venta de x unidades de cierto artículo está dado por R(x) = 12x – 0.01x2 soles. Determine el número de unidades que deben venderse cada mes con el propósito de maximizar el ingreso. ¿Cuál es el correspondiente ingreso máximo?.
5.
(Costos) En cierta fábrica, el costo total de fabricación de n artículos durante el trabajo de producción es (3n2 + n + 9) soles. Supóngase que al medio día ya se han producido 40 artículos i que durante la tarde se fabrican artículos adicionales a una razón de 10 por hora. Use x para denotar el número de horas de la tarde. (a) Exprese el costo total de fabricación, como una función de x. (b) ¿Cuánto se ha gastado en la producción hasta la 1.00 p.m.?
6.
(Ingreso i utilidad máxima) Una empresa tiene costos fijos mensuales de S/. 2000 i el costo variable por unidad de su producto es de S/. 25. (a) Determine la función de costo. (b) El ingreso I obtenido por vender x unidades está dado por I(x) = 60x – 0.01x2. ¿Cuántas unidades deben venderse al mes de modo que se maximice el ingreso?
7.
(Negocios) Una compañía de buses ha adoptado la siguiente política de precios para los grupos que deseen alquilar buses. A los grupos que contengan un máximo de 40 personas se les cobrará una suma fija de S/. 240 (4 veces S/. 60). En grupos que contengan entre 40 i 80 personas, cada una pagará S/. 60 menos 50 céntimos por cada persona que pase de las 40. La tarifa más baja de la compañía de S/. 40 por persona se ofrecerá a grupos que contengan 80 miembros o más. Exprese los ingresos de la compañía de buses como una función del tamaño del grupo.
8.
(Fijación del precio de un libro) Si un editor fija el precio de un libro en S/. 20 cada uno, venderá 10000 ejemplares. Por cada sol de incremento en el precio, las ventas bajan en 400 copias. ¿Qué precio debería fijar a cada libro de modo que el ingreso sea máximo?. ¿Cuál es el valor de este ingreso máximo?.
9.
(Decisión sobre fijación de alquileres) Bienes raíces orientales ha construido una nueva unidad de 40 departamentos para rentar. Se sabe por las investigaciones de mercado que si asigna una renta de $ 150 al mes, se ocuparán todos los departamentos. Por cada incremento de $ 5 en la renta, un departamento quedará vacío. ¿Qué renta mensual deberá asignar a cada departamento de modo que obtenga ingresos por rentas mensuales máximos?. Calcule este ingreso máximo.
10. (Equilibrio) Encuentre el equilibrio entre la oferta i la demanda, dada las funciones qo = 0.5p2 – 200 i qd = p2 – 100p + 2500 respectivamente. 11. (Ingresos) La función de demanda de un producto está dada por q = f(p) = 4500 – 2.5p, donde q está dado en unidades i p en soles. Determine la función de ingreso total. Si es cuadrática, dar la concavidad i la ordenada en el origen. ¿Cuál es el ingreso total si el precio unitario es de 20 soles? 12. (Ingresos) Exprese la función de ingreso total en función de q, para la función del ejercicio anterior. 13. (Demanda) La función demanda qd = f(p) para cierto producto es cuadrática. Los siguientes puntos pertenecen a la función: (10, 6400), (20, 3600), (30, 1600). Determine la ecuación de la función de demanda. ¿Cuál será la cantidad demandada si el precio de mercado es de 40 soles?. 14. (Equilibrio) Las funciones de oferta i demanda de un producto son qo = 5p2 – 4500 i qd = 4p2 – 400p + 10000 respectivamente. Determine el punto de equilibrio de mercado en precio i en cantidad.
15. (Ingresos) Un fabricante puede vender x unidades de su producto a un precio de p por unidad, en donde 2p + 0.05x = 8. Como una función de la cantidad x demandada en el mercado, el ingreso I está dado por I = 4x – 0.025x2. ¿En qué forma depende I del precio p?. 16. (Ingreso máximo) La función de demanda de un determinado producto es q = f(p)= 120000 – 3p, donde q es igual a la cantidad demandada i p es el precio en soles. (a) Determine la función cuadrática de ingreso total R = g(p). (b) ¿Qué tipo de concavidad tiene la función de ingreso total?. (c) ¿Cuánto vale la ordenada en el origen?. ¿Cuál es la intersección con el eje horizontal? (d) ¿Para qué precio el ingreso total será máximo?. (e) ¿Cuál es el ingreso total máximo?. 17. (Publicidad i ventas) El número y de unidades vendidas cada semana de cierto producto depende de la cantidad x (en soles) gastada en publicidad, i está dada por y = 70 + 150x - 0.3x2.. ¿Cuánto deberían gastar a la semana en publicidad con el objeto de obtener un volumen de ventas máximo?. ¿Cuál es este volumen de ventas máximo?. 18. (Equilibrio) Hallar el precio i la cantidad de equilibrio para las ecuaciones de oferta i demanda siguientes: x2 + 5x – y + 1 = 0, 2x2 + y – 9 = 0 respectivamente. (x representa la cantidad i y el precio) 19. (Utilidad máxima) Los costos fijos mensuales de una empresa por su producto son de S/. 200 i el costo variable por unidad es de S/. 0.70. La empresa puede vender x unidades a un precio de S/. p por unidad en donde 2p = 5 – 0.01x. ¿Cuántas unidades deberán venderse i producirse al mes de modo que obtenga: (a) Ingresos máximos. (b) Utilidad máxima. 20. (Precios) Un fabricante puede vender x unidades de su producto a p soles por unidad, con x i p relacionada por x2 + p2 + 200x + 150p = 49400. Dibuje la curva de demanda. ¿Cuál es el precio más alto por encima del cual no hay posibilidad de ventas?.
