APLICACIONES DE LA FUNCIÓN LINEAL Los costos en una empresa Cuando queremos saber cuánto vale fabricar nuestro producto o vender nuestro servicio, debemos averiguar cuánto gastamos en todos los materiales, mano de obra y demás recursos utilizados para ello. A cada recurso utilizado en el proceso de producción y ventas va asociado un costo. “Costo es el valor en dinero de todo lo que se usa para producir y vender un bien o un servicio”. Así por ejemplo tenemos el costo de las materias primas, el costo de la mano de obra, los gastos generales, entre otros. Importancia de los costos El buen cálculo de los costos es indispensable para la buena marcha de la empresa. Conocer cuáles son los costos totales en que incurre la empresa nos sirve, entre otras cosas, para: –
Saber cuál es el precio que debemos vender lo producido.
–
Saber cuántos productos se deben vender para no perder.
Clasificación de los costos Debido a que en las empresas los volúmenes de producción no son constantes, por lo general, los costos se clasifican en dos categorías: Costos fijos y Costos variables. Costos variables Son aquellos que cambian cuando varía el nivel de producción. A mayores niveles de producción, mayores serán los costos variables. La mano de obra y los gastos en materia prima son dos ejemplos de este tipo de costos. Los costos variables dependen de la cantidad de artículos producidos. Para calcularlos debemos multiplicar el costo unitario de producción por la cantidad de artículos producidos. Costos fijos Son aquellos que no cambian ante los cambios del volumen de producción. Si el pago del alquiler y el sueldo del personal administrativo permanecen constantes, ellos son considerados como parte de este tipo de costos. El costo total es la suma de los costos variables y los costos fijos. -1-
Función Costo total lineal Aunque no toda función de costo total es lineal, estas suelen presentarse en las operaciones de las pequeñas empresas. Supóngase que una empresa tiene costos fijos por CF soles y le cuesta k soles producir cada artículo que ella fabrica (costo unitario de producción). Si representamos con C el costo total y con q el número de unidades producidas del artículo, decimos que C es función lineal de q y está dada por: C (q ) = k q + CF Costo total = (Costo unitario de producción)(Número unidades producidas) + Costos Fijos
Ejemplo 1 Un pequeño empresario textil sabe que le cuesta 10 soles confeccionar cada polo y además debe asumir costos fijos mensuales de 1800 soles. Si q representa la cantidad de polos producidos por el pequeño empresario mensualmente, a. b. c. d.
Exprese el costo total C como una función lineal de q . Calcule el costo total de confeccionar 30 polos. Calcule e interprete C (50) . Grafique la función C (q ) .
Resolución Del enunciado tenemos:
“le cuesta 10 soles confeccionar cada polo”
⇒ costo unitario de producción = 10 soles ⇒ k = 10 Del enunciado tenemos:
“debe asumir costos fijos mensuales de 1800 soles”
⇒ CF = 1800 Parte a. Si C representa el costo total (en soles), este es función lineal de la cantidad q de polos producidos y está dada por:
C (q ) = k q + CF C (q ) = 10 q + 1800
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Respuesta
Parte b. El costo de confeccionar 30 polos se puede calcular evaluando la función Costo total C (q ) = 10 q + 1800 , para q = 30 , es decir: C (30 ) = 10 (30 ) + 1800 C (30 ) = 300 + 1800
C (30) = 2100 Respuesta Luego, el costo de confeccionar 30 polos es de 2100 soles. Parte c. Nos piden C (50) :
C (50) =10 (50) + 1800 C (50 ) = 500 + 1800 C (50 ) = 2300
Interpretación: “El costo de confeccionar 50 polos es de 2300 soles”. Parte d. Sabemos que la gráfica de una función lineal es una línea recta. En el caso de la función C (q ) =10 q + 1800 su gráfica presenta pendiente positiva ( a = 10 ), por lo que se trata de una recta oblicua en subida. Además ella intercepta al eje vertical en 1800 ( b = 1800 ). Por otro lado, dado que q representa la cantidad de polos producidos y esta variable no puede ser negativa, tomaremos solo aquella porción de la recta ubicada en el primer cuadrante, tal como se muestra a continuación: C
C(q) = 10q+1800
1800
0
q
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Función Ingreso lineal Los ingresos de una empresa son obtenidos por la venta de sus artículos (o la prestación de un servicio). Se calculan multiplicando el precio unitario de venta de cada artículo por la cantidad de artículos vendidos. Supóngase que una empresa vende a p soles cada uno de los artículos que ella fabrica (precio unitario de venta). Si representamos con I el ingreso y con q el número de unidades vendidas del artículo, decimos que I es función lineal de q y está dada por: I (q ) = p q Ingreso = (Precio unitario de venta)(Número unidades vendidas)
Ejemplo 2 Un fabricante de muebles vende mesas de comedor por 70 dólares cada una. Si q representa la cantidad de mesas vendidas por el fabricante, a. b. c. d.
Exprese el Ingreso del fabricante I como una función lineal de q . Calcule el Ingreso obtenido por la venta de 40 mesas. Calcule e interprete I (64) . Grafique la función I (q ) .
Resolución Del enunciado tenemos:
“vende mesas de comedor por 70 dólares cada una” ⇒ precio unitario de venta = 70 dólares ⇒ p = 70
Parte a. Si I representa el ingreso (en dólares), este es función lineal de la cantidad q de mesas vendidas y está dada por:
I (q ) = p q I (q ) = 70 q
Respuesta
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Parte b. El ingreso obtenido por la venta de 40 mesas se puede calcular evaluando la función Ingreso I (q ) = 70 q , para q = 40 , es decir: I (40 ) = 70 (40 ) I (40 ) = 2800 Respuesta Luego, el Ingreso obtenido por la venta de 40 mesas es de 2800 soles. Parte c. Nos piden I (64) :
I (64) = 70 (64) I (64) = 4480
Interpretación: “El Ingreso obtenido por la venta de 64 mesas es de 4480 soles”. Parte d. La gráfica de la función lineal I (q ) = 70 q presenta pendiente positiva ( a = 70 ), por lo que se trata de una recta oblicua en subida. Además ella intercepta al eje vertical en el origen ( b = 0 ). Por otro lado, dado que q representa la cantidad de mesas vendidas y esta variable no puede ser negativa, tomaremos solo aquella porción de la recta ubicada en el primer cuadrante, tal como se muestra a continuación: I
I(q) = 70q
0
q
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Función Utilidad lineal La utilidad obtenida por una empresa debida a la producción y venta de un determinado artículo se calcula restando el Costos Totales del Ingreso. Sean I el Ingreso, C el Costo total y q el número de unidades producidas y vendidas de un determinado artículo, tal que I (q ) y C (q ) son funciones lineales de q , entonces U es función lineal de q y está dada por:
U (q ) = I (q ) − C (q ) Utilidad = Ingreso – Costo total
Ejemplo 3 Una compañía que fabrica dispositivos electrónicos introduce un nuevo producto en el mercado. Durante el primer año los costos fijos de la nueva corrida de producción son de $14000 y el costo de producir cada unidad es de $2.5. Se determina que durante el primer año el precio unitario de venta será de $6.5, si se producen y venden q unidades durante el primer año: a. b. c. d.
Exprese el Costo total de la compañía C como una función lineal de q . Exprese el Ingreso de la compañía I como una función lineal de q . Exprese la Utilidad de la compañía U como una función lineal de q . Grafique la función U (q ) .
Resolución Parte a. Del enunciado: “el costo de producir cada unidad es de $2.5” ⇒ costo unitario de producción = 2.5 dólares ⇒ k = 2.5 “los costos fijos de la nueva corrida de producción son de $14000” ⇒ CF = 14000 Luego, la función costo total está dada por:
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C (q ) = 2.5 q + 14000
Parte b. Del enunciado: “el precio unitario de venta será de $6.5” ⇒ precio unitario de venta = 6.5 dólares ⇒ p = 6.5
I (q ) = 6.5 q
Luego, la función Ingreso está dada por: Parte c.
Conocidas las funciones Costo total e Ingreso podemos encontrar la función Utilidad según: U (q ) = I (q ) − C (q ) U (q ) = 6.5q − (2.5q + 14000 )
U (q ) = 6.5q − 2.5q − 14000 U (q ) = 4q − 14000 Parte d. La gráfica de la función U (q ) = 4q − 14000 presenta pendiente positiva ( a = 4 ), por lo que se trata de una recta oblicua en subida; intercepta al eje vertical en -14000 ( b = −14000 ) y dado que q representa es una variable positiva, la gráfica de U (q ) es aquella porción de recta ubicada en el primer y cuarto cuadrante, tal como se muestra a continuación: U U(q) = 4q-14000
0 q
-14000
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Análisis del equilibrio Tomando como referencia las funciones Ingreso
I (q ) = 6.5q
y Costo total
C (q ) = 2.5q + 14000 obtenidas en el ejemplo 3, hemos construido la siguiente tabla:
q 2000 3500 4800
I (q ) = 6.5q 13000 22750 31200
C (q ) = 2.5q + 14000 19000 22750 26000
U (q ) = I (q ) − C (q ) − 6000 0 5200
Observamos que:
Para el nivel q = 2000 el Ingreso de la empresa es $13000 y el costo total es $19000 . Esto muestra que la venta de 2000 unidades genera un Ingreso menor que el Costo total de producirlos, por lo que la Utilidad es negativa (pérdida). Para el nivel q = 4800 el Ingreso de la empresa es $ 31200 y el costo total es $ 26000 . Esto muestra que la venta de 4800 unidades genera un Ingreso mayor que el Costo total de producirlos, por lo que la Utilidad es positiva (ganancia). Para el nivel q = 3500 el Ingreso de la empresa es $ 22750 y el costo total es $ 22750 . Esto muestra que la venta de 3500 unidades genera un Ingreso igual que el Costo total de producirlos, por lo que la Utilidad es nula y por tanto no hay ganancia ni pérdida. El nivel de producción en el que la empresa no tiene ganancias ni pérdidas es el nivel de equilibrio. En este nivel el Ingreso es igual al Costo total por lo que se puede encontrar resolviendo la ecuación: I (q ) = C (q ) Así tenemos en este caso:
I (q ) = C (q )
6.5q = 2.5q + 14000 6.5q − 2.5q = 14000 4q = 14000 q=
14000 4
Luego qe = 3500 -8-
Gráficamente el nivel de equilibrio q e = 3500 es el valor de q que corresponde al
punto de corte (punto de intersección) de las gráficas del Ingreso I (q ) y Costo
total C (q ) .
Para aquellos valores positivos de q menores que q e = 3500 el Ingreso será menor que el Costo total y por tanto la empresa tendrá perdidas. Para aquellos valores de q mayores que q e = 3500 el Ingreso será mayor que el Costo total y por tanto la empresa tendrá ganancias.
Ejercicios propuestos Pregunta 1
Los costos fijos mensuales de la empresa ABC ascienden a s/12336 y se sabe que les cuesta s/26 producir cada artículo. Si q representa la cantidad de artículos producidos por la empresa mensualmente, a. b. c. d.
Exprese el costo total C como una función lineal de q . Calcule el costo total de producir 1000 artículos. Calcule e interprete C (1800 ) . Grafique la función C (q ) .
Pregunta 2
Si la empresa ABC vende a un precio de s/34 cada artículo y q representa la cantidad de artículos vendidos por la empresa mensualmente, a. Exprese el Ingreso I como una función lineal de q . -9-
b. Calcule el Ingreso obtenido por la venta de 1000 artículos. c. Calcule e interprete I (1800 ) . d. Grafique la función I (q ) .
Pregunta 3 Tomando como referencia la información de las preguntas 1 y 2, responda Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda: a. b. c. d. e.
Para el nivel q = 1000 la empresa ABC obtiene ganancias Para el nivel q = 1800 la empresa ABC obtiene ganancias El nivel de equilibrio es q = 1542 Para q = 1700 el Ingreso es menor que el Costo total Cuando q > 1542 la utilidad de la empresa es positiva
______ ______ ______ ______ ______
Pregunta 4 Un micro empresario tiene unos costos fijos de s/ 2700, le cuesta s/6 confeccionar cada artículo y los vende a s/ 15 cada uno. Si q representa la cantidad de artículos producidos y vendidos por el empresario. Exprese: a. El Costo total C como una función lineal de q .
b. El Ingreso I como una función lineal de q . c. La Utilidad U como una función lineal de q .
Pregunta 5 Un artesano puede vender sus productos a $3.5 cada uno. Se sabe que le cuesta $1.5 producir cada artículo y mantiene unos costos fijos de $400. Calcule: a. b. c. d.
El Costo total de producir 300 artículos. El Ingreso obtenido por la venta de 300 artículos. Si se producen y venden 300 artículos, ¿cuál es la Utilidad? El nivel de equilibrio.
Pregunta 6 En un taller de carpintería se ofrecen reposteros (estándar) para cocina a un precio de s/1800 la unidad. Se sabe que los costos fijos mensuales del taller son de s/6300 y que el costo de producción de cada repostero es de s/. 750. Si x representa la cantidad de reposteros producidos y vendidos por la compañía durante un mes: a. Exprese el Costo total C como función de x . b. Exprese el Ingreso I como función de x .
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c. Grafique, en un mismo sistema bidimensional, las funciones Costo total e Ingreso total. d. Encuentre e interprete el punto de corte de dichas gráficas. Pregunta 7 Un pequeño empresario textil ofrece polos estampados de temporada a un precio de 35 soles cada uno. Sabe que le cuesta 10 soles producir cada polo y que además debe asumir costos fijos de 1800 soles. Si x representa la cantidad de polos producidos y vendidos por el pequeño empresario durante una temporada encuentre el nivel de equilibrio del empresario. Pregunta 8 Un fabricante encuentra que la ecuación C = 0.008q + 40 permite expresar su Costo total de producción (C), en miles de soles, como una función de la cantidad de artículos producidos (q). a) Calcule e interprete el valor de C cuando q = 5000 b) ¿Cuál es el costo total de producir 12000 unidades del artículo? c) Calcule e interprete el valor de C cuando q = 0
Pregunta 9 La Utilidad (U) de un fabricante, expresada en dólares, es función del número de artículos producidos y vendidos (q) y viene dada por la función U (q ) = 5q − 60000 ; a. ¿Cuál es la Utilidad del fabricante si produce y vende 18000 artículos? b. ¿Cuál es la Utilidad del fabricante si produce y vende 11000 artículos? c. ¿Cómo interpreta el valor de U cuándo q = 12000 ?
Pregunta 10 La siguiente figura muestra la gráfica del costo total (C) contra el número de hornos con tostador (x) producidos por un fabricante de pequeños aparatos domésticos:
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C (en dólares)
6600 6000
4200
3000
x (en unidades) 0
500
200
600
a. Completar la siguiente tabla: 600 x 0 200 C 6000
b. ¿Cuál es el costo fijo del fabricante? c. ¿Cuál sería el costo total de fabricar 700 hornos? Pregunta 11 La siguiente figura muestra la gráfica del Ingreso (I) contra el número de artículos (q) vendidos por una empresa que comercializa autopartes. I (en miles de soles)
7000
4200
2800
q (en unidades) 0
200
300
500
a. ¿Cuál es el ingreso de la empresa obtenido al vender 300 artículos? b. Cuando q = 500 , ¿cuál es el valor de I? -12-
c. ¿Cuál es la pendiente de la recta de Ingreso? d. Escriba la ecuación que exprese el Ingreso como una función de la cantidad de artículos vendidos por la empresa. Pregunta 12 La siguiente figura muestra las gráficas de las funciones Costo total C(q) e Ingreso I(q) obtenidas por un fabricante a partir de la producción y venta de “q” unidades de un determinado artículo: Ingreso Costo total 160
124
100
P
76
60
40
0
20
50
80
a) Determine el costo total, el ingreso y la utilidad debido a la producción y venta de 20 artículos. b) Determine la utilidad debido a la producción y venta de 80 artículos. c) ¿Cuántos artículos se deben producir y vender para no ganar ni perder? d) ¿Cuál es el costo fijo del fabricante? e) ¿Cuál es el costo unitario de producción? f) ¿Cuál es el precio de venta de cada artículo?
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