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Energía mecánica
Clase 3
3 Conservación de la cantidad de movimiento. Sistemas con masa variable
Temas
Conservación de la cantidad de movimiento. Movimiento de un objeto con masa variable. Integración numérica. Cohete. Ejercicios
Centro de masa de un sistema de muchas partículas En la clase (1) vimos que la tercera ley impone una gran restricción al movimiento del CM de un sistem sistemaa de partíc partícula ulas, s, relaci relaciona onada da con la conser conservac vación ión de la cantida cantidad d de movimi movimient ento. o. Para Para el análisis análisis formal de esta restricción, restricción, se distinguen distinguen dos tipos de interaccione interacciones: s: las internas, internas, entre pares de partículas del sistema y las interacciones externas entre partículas del sistema y partículas del medio Para la ‘i-esim ‘i-esima’ a’ partíc partícula ula del sistema, sistema, la ecuaci ecuación ón de Newton Newton impone impone que la result resultant antee de las fuerzas fuerzas internas internas ‘f i ’ más la result resultant antee de las fuerzas fuerzas extern externas as ‘Fi ’ sea proporci proporciona onall a la aceleración de la partícula
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÷” ÷ ” d ÷p” d v” d m v” ÷ ” = ÅÅÅÅÅÅÅÅ Å ÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ Å ÅÅÅÅÅÅÅ Å ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ Huna ecuación para cada partícula del sistemaL m a m d t d t d t
f i + F i =
i
i
i
i
i
i
i
(3.1)
Figure 3.1. Sistema de 4 partículas con interacciones internas y externas (resaltadas de un gas de partículas interactuantes). Las flechas negras (con lineas enteras), representan fuerzas internas; las flechas rojas (con lineas de puntos) representan las fuerzas externas. Notar que las fuerzas internas son todas pares de interacción, mientras que las en fuerzas externas no. La reacción de las fuerzas externas está en el medio. Las fuerzas internas pueden ser atractivas o repulsivas.
La figura (3.1) muestra un gas de partículas, se indica la interacción de cuatro de ellas mostrando las fuerzas internas y externas que actuan sobre cada una de ellas. La resultante de las fuerzas internas sobre cada partícula, no estan dibujadas para no complicar el esquema y se deben imaginar como la suma de lo tres vectores fuerza (en negro, con lineas enteras) que actuan sobre cada partícula. Los vectores en rojo, con linea de puntos, representan la resultante de las fuerzas externas sobre cada una de las cuatro particulas. Por ejemplo, el enjambre de partículas podría ser una galaxia lejana (un puntito visto desde un el telescopio normal) Analizar simultaneamente el detalle de tantas fuerzas y partículas es muy complejo y cuando las partículas son muchas no se logra ni con las computadoras más potentes. Por suerte, se puede hacer una descripción global, más sencilla del movimiento del sistema. Un forma de hacer la descripción glabal es recurriendo al movimiento del CM del sistema. Se procede calculando la resultante de todas las fuerzas que actuan sobre el sistema, sumando la expresión (3.1) sobre las ‘N’ partículas del sistema (i=1,2,3,...N) d ÷p” ÷ ” ÷ ” ‚ f + ‚ F = ‚ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅd ‚ p÷” i
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i
i
d t
d t
(3.2)
i
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Notar que la suma sobre todas las patrículas (por ejemplo, en nuestra galaxia hay 200 mil millones de estrellas). A pesar de su aspecto amenazante, esta última ecuación se puede simplificar muchisimo. En efecto, es fácil darse cuenta que: (a) la suma sobre las fuerzas internas es la suma de todos los pares de acción y reacción entre las partículas del sistema. Como en cada par de interacción, las fuerzas tienen igual intensidad y dirección pero sentido opuesto, se cancelan entre sí y la resultante de todas las fuerzas internas del sistema es nula. (b) la resultante de las cantidades de movimiento de cada partícula del sistema, ‘ p i ’, está relacionada con la velocidad y la posisición del CM
⁄÷”
m v” ÷ ” ” = M ÅÅÅÅÅÅÅÅ m v ‚ ‚ ‚ M ÅÅÅÅÅÅÅ = M V ÷ ” fl ÷” d d V ÷ ” ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ‚ p = M ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ d t d t i
pi =
i
i
i
sis
sis
cm
sis
(3.3)
cm
sis
i
Aqui, simbolizamos la masa total del sistema como ‘M sis ’ y con ‘Fext ’ a la resultante de las fuerzas externas que actuan sobre el sistema. Estas consideraciones (ec. 3.3) permiten rescribir la ec.(3.2) como
÷”
÷” F
ext
d V cm = M sis ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ d t
(3.4)
Es inmediato ver que ‘Vcm ’ es la derivada temporal de ‘R cm ’
” ” d m d ÷” m v m d r ÷ ” ‚ ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅ = ‚ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ‚ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ”r = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ R M M d t d t M d t
V cm =
i
i
i
i
i
i
sis
sis
cm
(3.5)
sis
Combinando las ecs. (3.4) y (3.5) resulta una ecuación con el mismo formato que la ecuación de Newton.
÷” F
÷”
ext
d 2 Rcm = M sis ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ d t 2
(3.6)
÷”
÷”
Es decir, que hay un punto en el espacio (ubicado en R cm ), típico del sistema y de su distribución de masas, que se mueve con velocidad ‘ V cm ’ y se acelera como si fuera una partícula puntual con la masa de todo el sistema, M sis , bajo la acción de la resultante de las fuerzas externas ‘F ext ’. Esta misma ecuación, para un sistema de dos partículas, la hallamos en la primera clase (ver ec.1.14 c)
÷”
Ejemplo
¿Que puede decir del movimiento global de una granada que estalla en el aire? El estallido es el resultado de fuerzas internas, de modo que antes y después de la exploción, el CM del sistema se moverá como si fuese una cuerpo puntual (con la masa de la granada), sometido a la resultante de las fuerzas externas (en este caso el peso de la granada), es decir, la trayectoria del CM es la de un tiro parabólico. Al estallar, todas las partes salen disparadas en direcciones diversas. Sin embargo, foto des las esquirlas, tomada en diversos instante, mostraría que el CM de las esquirlas continua sobre la trayectoria parabólica inicial. Esto se
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ilustra en la figura (3.2), donde se han superpuesto, al dibujo de la trayectoria, la posisicion de las esquirlas en tres instantes de tiempo diferentes.
Figure 3.2. Se muestra la trayectoria del CM de una granada. La trayectoria es la de una masa puntual con peso. También se superponen las fotografias instantaneas de la posición de los restos (esquirlas) después de la explosión. Notar como en cada una de las fotos las esquirlas ‘rodean’ a un punto imaginario sobre la trayectoria, donde está ubicado el CM en ese instante
Condición para la conservación de la cantidad de movimiento del sistema La ecuación (3.6) es fundamental para analizar muchos sistemas en los que las fuerzas externas son nulas o se cancelan. En esos casos la aceleración del CM es nula.
÷”
÷”
d 2 Rcm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ = acm = 0 fl d t 2
(3.7) ÷V ” = cte Hresultante de fuerzas externas nula L ÷” Notar que V cm es proporcional a la resultante de las cantidades de movimiento del sistema ‚ p÷” = M V ÷ ” = cte (3.8) cm
i
cm
cm
de modo que la expresión (3.7) es equivalente a afirmar que: La resultante de los momentos del sistema es nula si y solo si la resultante de las fuerzas externas es nula Ejemplo: rebote elástico contra una pared
”
Consideremos colisión entre dos partículas que se mueven en un plano (estilo mesa de billar, con partículas puntuales y de masas diferentes. La partícula de masa m y velocidad v , colisiona contra otra, de masa M, en reposo. Para simplificar, suponemos que no hay perdida de energía (las partículas, no se rompen, ni se aboyan, ni se calientan, etc ). Este tipo de interacción entre dos partículas es interesante porque se puede obtener información independientemmente de los detalles especificos de la interacción. Por ejemplo, en la clase anterior vimos que si las masas son iguales las partículas después del choque se alejan con velocidades a 90°. Ahora queremos averiguar que ocurre si M>>m. Para analizar la situación desde la perspectiva más sencilla, sólo consideraremos el movimiento en una sola dimension. El caso limite cuando Mض, es el de la colisión elástica de una masa pequeña contra una pared (paredª partícula de masa infinita). En este caso extremo, la experiencia nos dice que la masa pequeña rebota y la pared permanece en reposo.
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choque frontal elástico con pared :
v = -v£1
9v =v = 0 2
£ 2
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particula de masa m pared
La cantidad de movimiento antes y después del choque es: Pini = p1 + p2 = m v1 + 0 Pfin = p£1 + p£2 = -m v1 + 0
Sorprendentemente, este ejemplo estaría indicando que, aun en ausencia de fuerzas externas, en el sistema masa/pared, la cantidad de movimiento del sistema no se conservaría. Para comprender lo que ocurre, conviene partir de una masa M grande y calcular las velocidades después de la colisión (usando para ello las leyes de conservacion de energía y cantidad de movimiento). Finalmente, deberemos tomar el límite M ض sobre las expresiones resultantes. Debe cumplirse
HL HL HL HL H L
H L Hconservación de energíaL H conservación de PL
1 1 1 2 ÅÅÅÅÅ m v1 2 = ÅÅÅÅÅ m v£1 + ÅÅÅÅÅ M V 2£ 2 2 2 £ £ m v1 = m v1 + M V 2
2
(3.9)
Como las condiciones del problema son tan sencillas, es suficiente con estas dos ecuaciones de conservación hallar las dos incognitas de la colisión: hay que despejar v 1£ y V£2 del sistema de ecs.(3.9). No es un sistema lineal debido a que conservación de la energía es cuadratica en las velocidades pero igual es resoluble. Reordenando las ecuaciones de conservacion resulta
H1L Hv L - Hv L = M ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ HV L m H2L v - v = M ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ V m 1
£ 2 1
2
£ 1
1
£ 2 2
£ 2
Dividiendo miembro a miembro, se pasa a un sistema lineal facil de resolver
H1L ê H2L H2L
v1 + v£1 = V 2£ M v1 - v£1 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ V 2£ m
Sumando y restando las expresiones se pueden despejar las incognitas. Reordenando queda m V 2£ = 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ v1 M + m M - m v£1 = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ v1 M + m
(3.10)
Recordar que la ec.(3.10) es el resultado los vínculos impuestos por las leyes de conservación y valen para cualquier M y m. En particular, las condiciones de conservación, en una colisión elastica contra una partícula de masa infinita, se obtiene haciendo M ض. Como se espera de la experiencia cotidiana, queda V 2£ øøö 0 M ض
v£1 øøö -v£1 M ض
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Ejemplo: péndulo balístico
Se dispara horizontalmente una bala contra un bloque suspendido de una cuerda. Este dispositivo se denomina péndulo balístico y se usa para determinar la velocidad de la bala midiendo el ángulo que se desvía el péndulo después de que la bala se haya incrustado en él. Supondremos que el bloque es una masa puntual suspendido de una cuerda inextensible y sin peso. De la conservación de la cantidad de movimiento, obtenemos la velocidad V B inmediatamente después del choque, del sistema formado por el péndulo y la bala incrustada en él.
Figure 3.3. Proyectil que se incrusta en el bloque
Si M es la masa del bloque, m la masa de la bala y ‘u’ su velocidad, la conservacion de ‘P’ en del sistema bala / péndulo se satisface porque no hay fuerzas externas en la dirección del movimiento (naturalmente están el peso y la tensión del hilo pero estas fuerzas actuan en la dirección Y). La velocidad (inicial) del bloque con el proyectil incrustado es consecuencia directa de la conservación de ‘P’.
H
L
m m u = m + M v B fl v B = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ u m + M
(3.11)
Consideremos el caso sencillo en que el proyectil tiene inicilmente poca velocidad y el ángulo máximo de desviación del péndulo no supera los 90º
Figure 3.4. El bloque con la bala se mueve como un péndulo que parte de la posición de equilibrio con la velocidad inicial dada por u m/(m+M).
Como el movimiento del péndulo está sometido al peso que es una fuerza conservativa y a la tensión que no realiza trabajo, se puede usar el vínculo de la conservación de energia entre el momento inicial y el instante en que alcanza la altura máxima que alcanza (v final =0)
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H
L
H
L H
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H LL
1 ÅÅÅÅÅ m + M v B 2 = m g h = m + M g R - R Cos q max 2 fl se evalua u
Movimiento de un objeto con masa variable En lo que sigue analizaramos un ejemplo sencillo de muchas partículas que interaccionan entre sí. Como en este caso no hay fuerzas externas (en la dirección del movimiento), se conserva la cantidad de movimiento, es decir, vale la ec.(3.8). La figura (3.5) ilustra un tanque instantes antes de disparar un proyectil. El sistema es el del tanque con todo lo que contiene. Después del disparo, el mismo sistema tiene dos partes diferenciadas: la bala (en el aire) y el resto del tanque (sin la bala).
Figure 3.5. Consevación de la cantidad de movimiento. Como no hay fuerzas externas en la dirección de movimiento , al quemar la pólvora, el proyectil se dispara con sierta una cantidad de movimiento. El tanque, con su masa y la del resto de las balas, adquiere la misma cantidad de movimiento pero con sentido opuesto.
Cuando se dispara la bala (con una cantidad de movimiento ‘pb ’), el resto del tanque debe retroceder, cambiando su cantidad de movimiento en DT , en sentido contrario a la bala.
÷”
÷”
(3.12)
D T = - pb
Después de cada disparo, el tanque aumenta la cantidad de movimiento, acumulando la velocidad que gana con cada disparo. Simultaneamente después de cada disparo pierde masa. Se trata de un sistema con masa varaible. El objetivo de este ejercicio es conocer la velocidad del tanque después de ‘n’ disparos. Suponemos que todas las balas tienen la misma masa ‘ dm’. Para avanzar en el análisis, conviene recordar la ley de composión de velocidades (ver ec. 1.2) que describe la velocidad del mismo objeto (la bala en este, caso) observado desde tierra (sistema en reposo ) y desde el tanque (sistema movil £ )
” ÷” ”
£
v=+v
”
”
(3.13)
Un observador desde tierra verá que bala tiene una velocidad, v , diferente de v £ (observación dede £ ) porque el tanque se esta moviendo con en el momento del disparo.
÷”
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El mecanismo de lanzamiento es idéntico en cada disparo, de manera que la velocidad del proyectil respecto del tanque no cambia de tiro a tiro. Es decir, en el sistema £ la velocidad del proyectil (v£ ) es la misma en cada lanzamiento. Visto desde el terreno (sistema en reposo ) cada lanzamiento de bala (hacia la izquierda) impulsa al tanque hacia la derecha. Este punto es fundamental en en nuestro desarrollo y se explica facilmente con la conservacion de la cantidad de movimiento por la ausencia de fuerzas externas en la dirección de movimiento. Con el disparo el sistema se separa en dos componentes: la bala y el resto del tanque. Como uno de los componentes adquiere velocidad a la izquierda el otro debe adquirir velocidad hacia la derecha para balancear la cantidad total de movimiento. En consecuencia, el tanque aumenta su velocidad ‘V’ en una cantidad que simbolizamos con dV.
÷” ÷” ÷ ” = V ÷ ” + d V ÷ ” fl V
V ö V + d V disparo
n+1
n
(3.14)
n
Notar el agregado (importante) del subindice ‘n’ que indica el numero de disparos efectuados. Podemos pensar que inicialmente, antes del primer disparo, el tanque estaba en reposo. Es decir,
÷”
÷”
V n=0 = V 0 = 0
Cada disparo es importante pues modifica la velocidad del tanque que es lo que nos interesa evaluar. Sin embargo, cada proyectil solo interesa por su efecto sobre el tanque. Una vez evaluado dV, nos desentendemos del proyectil y repetimos el mismo analisis con el siguiente. La velocidad del tanque debida al disparo anterior pues será la condicion inicial de velocidad en el disparo siguiente. Conservación de la cantidad de movimiento
A diferencia de otros ejemplos estudiados en física general, el movil (es decir el tanque) pierde masa durante el desplazamiento. Cuando se enciende la mecha, la polvora quema muy rápidamente y los gases calientes se expanden con tanta violencia que expulsan la bala con gran velocidad. La perdida de masa, por la polvora quemada que es expulsada con la bala se desprecia en este analisis. La ecuación de Newton para el CM del sistema es:
÷” F
÷”
ext
fl
d Pcm = 0 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ d t
÷P”
cm
=
÷P”
(3.15)
cm
´¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨¨ ¨¨ ≠ ¨¨¨ ¨ ¨¨¨ Æ
´¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨¨¨¨ ≠ ¨¨¨ ¨¨¨¨ ¨Æ
pre-disparo
post-disparo
Como veremos, el análisis cuidadoso de la ec.(3.15) permite conocer la velocidad acumulada que adquiere el tanque por efecto de los disparos. Consideremos el estado del sistema después de los primeros ‘n’ disparos. Con el siguiente disparo, la bala de masa dm, al alejarse hacia la izquierda, se lleva una cantidad de movimiento: dm v. Para conservar el impulso total, el resto del tanque (de masa total disminuida ‘M n+1 = Mn – dm’) debe moverse hacia la derecha con una velocidad ‘V n+1 ’. Matematicamente expresamos estos conceptos con
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÷P”
” H L ÷” ÷ ” = dm v” + H M - dmLI÷ ” + d M fl M cm
´¨¨¨¨¨¨¨¨ ¨¨¨¨ ¨≠¨¨¨¨¨¨¨¨ ¨¨¨Æ
ª
÷”
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M n n
´¨¨¨¨¨¨¨¨ ¨¨¨¨ ¨≠¨¨¨¨¨¨¨¨ ¨¨ ¨Æ
= dm vn + M n - dm
pre-disparo n+1
pre-disparo n+1 n n
n
n+1
´¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨ ¨¨¨¨¨¨¨¨ ¨¨ ¨≠¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨ ¨¨ ¨¨¨¨¨¨¨Æ
post-disparo n+1
n
n
(3.16)
n
Las ecuación (3.16) representa la información que se puede obtener del sistema Tanque-Bala usando conservación de la cantidad de movimiento ec. (3.15). A partir de este punto, tendremos que hilvanar matematicamente este resultados previos para obtener la información buscada que, en este caso, es la velocidad del tanque en función del número de disparos. Un observador desde tierra verá que la misma bala tiene una velocidad, v£ , diferente de v porque el tanque se esta moviendo con en el momento del disparo. La relación entre la velocidad del proyectil visto desde tierra ( v ) y desde el tanque ( v£ ) es un caso particular de la transformación de velocidades debido a un cambio de sistema de referencia (ver ec.3.13) El siguiente cuadro resume los símbolos usados
÷”” ÷” v” = + v” £ ÷ ” = V ÷ ” + d V ÷ ” V v£
velocidad de un proyectil visto desde £ (el tanque) velocidad del tanque, antes del disparo, visto desde (el tanque) n velocidad de un proyectil visto desde (tierra) velocidad del tanque despues del disparo (desde ) n n n+1 masa de proyectil dm N0 número inicial de proyectiles M0 masa del tanque vacio de proyectiles M n = M 0 + (N0 -n) dm masa del tanque después de n disparos En lo que sigue retomamos la ecuación de conservación del impulso (ver ec.Equation 3.16). Reordenado y despejando el termino con el incremento de la velocidad del tanque resulta.
H M - dmL d V ÷ ” = dm IV ÷ ” - v” M n
n
n
(3.17)
n
El lado derecho se reduce usando la ecuacion de composición de velocidades (ver ec. 3.13). Operando queda
÷” ÷” fl V
”
£
d V n = - M ÅÅÅÅÅÅÅÅd-d Åm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ v m n+1
÷”
n
”
(3.18)
£
= V n - M ÅÅÅÅÅÅÅÅd-d Åm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ v m n
Notar que v£ es independiente de ‘n’. Esto es así porque es la velocidad de disparo del cañon, vista desde el tanque mismo. Esa magnitud está determinada por el fabricante del tanque y no depende del número de disparos previos La expresión anterior se puede reescribir como La ec.(3.15) es, prácticamente, la aceleración del tanque. Posteriormente consideraremos el límite en que ‘dm’ tiende a cero (en vez de balas, los proyectiles son pueden ser moléculas de aire, como en el caso de un globo cuando se pincha). El ejemplo del tanque puede, aun, dar más ugo. Notar que cada cambio de velocidad del tanque ocurre en el instante en que se dispara la bala y que entre dos disparos sucesivos la velocidad es constante. Integracion numérica
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La siguiente figura muestra como varía la velocidad del tanque con cada disparo. El cálculo de la velocidad después de cada disparo se puede realizar con lapiz y papel o, por ej., usando Mathematica
Figure 3.6. Velocidad del tanque en función del número de disparos
En el ejemplo del dibujo se supuso que inicialmente la velocidad del tanque es nula, que tiene N0=10 balas, la masa de cada bala es dm=1Kg, que la masa del tanque sin balas es M0 = 2.5 Kg y que la velocidad del proyectil (visto desde el tanque es de 500 m/s). Los valores númericos están exagerados para que el grafico muestre facilmente el perfil de escalones Para calcular la velocidad del tanque después de n disparos, recurrimos, iteradamente a las ec.(3.18), que rescribimos aqui:
÷”
÷” ” ÷ ” - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ” = H ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅLÅÅÅÅÅÅÅÅ v ÷ ” = 0 Hcondición inicialL n+1
dm = n - M ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ v -dm
£
n
n
dm M 0 - N 0 -n-1 dm
£
(3.19)
0
Después de cada disparo, la velocidad del tanque es igual a la velocidad anterior más el cambio de velocidad. El cálculo de la velocidad después del primer disparo se obtiene reemplazando n=0 en la ec.(3.19). Las unidades se omiten por sencilles.
÷ ” = ÷ ” - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ” H ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅLÅÅÅÅÅÅÅÅ v 1 ` ` 0 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ I- 500 iM = 43.4783 i 2.5 + 10 - 1 1
0
£
dm M 0 - N 0 -n-1 dm
El cálculo de la velocidad después del segundo disparo se obtiene reemplazando n=1 en la ec.(3.19) y así sicesivamente:
÷ ” = ÷ ” - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ” H ÅÅÅÅÅÅÅÅÅLÅÅÅÅÅÅÅÅÅ v ÷ ” = ÷ ” - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ” H ÅÅÅÅÅÅÅÅÅLÅÅÅÅÅÅÅÅÅ v 2
1
dm M 0 - N 0 -2 dm
£
3
2
dm M 0 - N 0 -3 dm
£
HL ` = 143.729 HiL ` = 91.0973 i
.... etc Con estos valores numéricos se puede graficar la velocidad del tanque en función del tiempo o, lo que es equivalente en función del número de tiros (ver figura 3.6 ). En el gráfico se observa que cada incremento de velocidad es mayor que el inmediato anterior. El aumento de la magnitud de cada salto de velocidad, se debe a que la masa del tanque, después de cada dispar, se reduce en la masa de la bala. De este modo, la misma acción de disparar la bala, actuando sobre
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un tanque cada vez menos masivo, hace que el cambio de velocidad sea, cada vez, más notable. Despues de 10 tiros el tanque se queda sin balas y continua con velocidad constante ( º891m/s, según la figura) Cohete
El resultado conceptual del ejemplo anterior, ec.(3.18), se obtuvo a partir de la conservación de la cantidad de movimiento (ec.3.16). La propuesta, ahora, es usar la misma ec.(3.18) , pero suponiendo que en vez de balas de tanque se dispara un flujo de moléculas. De esta forma, estaremos evaluando el cambio de velocidad de un tanque que dispara, por ejemplo, aire comprimido por una tobera. Este sistema se llama cohete. Si la cantidad de gas (o líquido) que se dispara por unidad de tiempo es constante, la masa expulsada sera proporcional al tiempo transcurrido. La constante de proporcionalidad, que llamaremos ‘ m’, tiene unidades de masa/tiempo y mide el masa de moleculas que sale por la tobera del cohete, por unidad de tiempo. Si el cohete tuviera un acelerador, cuando el astronauta pisara el aceleradrador se incrementa m. dm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = m dt fl dm = m dt
la masa expulsada es t
mexp =
‡ m d t = m t 0
La masa del cohete es la carcasa, M 0 , más la masa inicial del combustible, M c , menos la masa expulsada. En el cohete el combustible se enciende y los gases calientes salen a alta velocidad por la tobera. En este caso, la masa expulsada es la masa del combustible quemado. La masa que al queda cohete, al tiempo ‘t’, es
HL
M t = M 0 + M c - m t
(3.20)
La aceleración del cohete se evalua a partir de la ec.(3.18), dm d = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ v£ M t - dm
HL
(3.21)
Al dividir por dt (en el limite dØ0) el lado derecho de la igualdad es la aceleración del cohete
ê
d dm dt m m ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ v£ = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ v£ ö - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ v£ dt M t - dm M t - m dt M t
HL
HL
HL
(3.22)
Finalmente resulta:
÷ ”Ht L = - ÅÅÅÅÅÅÅÅ mÅÅÅÅÅÅÅÅ v” M Ht L
£
(3.23)
”
Multiplicando la expresión anterior por la masa del cohete en el instante ‘t’ se obtiene una £ ecuación que recuerda la ec. de Newton por su forma y la cantidad – m v se suele llamar fuerza retropropulsora.
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H L ÷ ”Ht L = -m v”
M t
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£
(3.24)
La expresión anterior es correcta pero no es la expresión de la segunda ley pués el sistema no tiene masa constante Notar que si se hubiera derivado matemáticamente la cantidad de movimiento del sistema se tendría
÷”
A H L ÷ ”H LE H L ÷ ”H L H L H L ÷ ”Ht L + M Ht L Ht L ÷ ” HMAL !!L M Ht L Ht L = m Ht L
d F ext = 0 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ M t t d t d M t = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ t + M t t = - m d t fl
(3.25)
Si comparamos la expresión correcta (ec. 3.24), con la derivada ingenua de la cantidad de movimiento (ec. 3.25 ) se ve que ambas expresiones no son iguales. Cuando el sistema tiene masa variable la derivada temporal de la cantidad de movimiento debe tomar en cuenta la cantidad de movimiento del sistema (con menos masa) y la cantidad de movimiento de la masa expulsada. La expresión (ec. 3.25 ) no considera la masa expulsada y por lo tanto la derivada no puede igualarse a cero La velocidad del tanque en función del tiempo se obtiene integrando la aceleración (3.23)
÷” m ” d Ht L ÷ ” Ht L = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ v d t M Ht L m d t ÷” fl ‡ d Ht L = ‡ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ v” d t = - m v” ‡ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ M Ht L M Ht L fl d t M + M - m t ÷ ”Ht L = – m v” ‡ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = -v” LnJ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ N
£
£
t
£
0
£
0
£
M 0 + M c - m t
(3.26)
c
M 0 + M c
Queda como ejercicio para el verificar la última integración Nota para pensar
En el ejemplo del tanque, la velocidad (del tanque) se obtuvo sumando el incremento de velocidad producido por cada disparo, ec.(3.14). En el caso del cohete, la suma numérica se reemplazo por una integral, ec.(3.26). Este cambio se debe a que las móleculas que dispara el cohete se suceden con intervalos de tiempo ‘dt’ muy pequeños y la sumatoria del ejemplo numérico se puede reemplazar por una integral. La expresión ( 3.23) es correcta mientras haya combustible, es decir, mientras m t < Mc . Cuando t > Mc la fuerza de retropropulción (ver ec. 3.24) desaparece y la velocidad del cohete queda constante, igual a la alcanzada cuando se terminó el chorro de gas. Resumiendo, si no hay fuerzas externas (g=0), la velocidad del cohete se puede expresar como:
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Mecánica Clásica
Apuntes
Energía mecánica
0
÷ ” = 9 -v” LnI M -v” LnI ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ M
£ £
t § 0
ê
M 0 + M c -m t ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ M 0 + M c
0 § t § M c m
M 0 M 0 + M c
t > M c m
ê
Clase 3
(3.27)
La siguiente figura permite comparar la velocidad del tanque (escalones) y la del cohete (curva suave). Para hacer que ambos movimientos sean equiparables se consideró que el tanque dispara una bala por segundo (es decir mtanque = mcohete =1Kg/s). El resto de las magnitudes es la misma que en el caso del tanque: como el tanque tiene 10 balas de 1Kg cada una, usamos M c =10Kg. Por último, como la masa del tanque es de 2.5Kg consideramos M 0 =2.5Kg. Con estos datos la velocidad se calcula usando las ecs. (3.27):
Figure 3.7. Velocidad del cohete y comparación con la de un cañón en condiciones de retropropulsión similares
Ejercicios
(a) Calcular cual debe ser, en la masa total del cohete, el porcentaje de cumbustible necesario para que la velocidad final del cohete sea el doble de la del gas expulsado (visto desde el cohete) (b) Mostrar que la pérdida de líquido en el sistema de la figura (7) no altera la velocidad del vagón
Figure 3.8. Vagón con agua. El vagón tiene un orificio el piso por donde pierde líquido. A pesar de que varia la masa del movil, la velocidad del vagón no cambia. La clave para interpretar este resultado esta en reconocer que la masa de agua que se pierde parte del vagón con velocidad nula en la dirección vertical
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