Matemática - Módulo 1 TEORIA DOS CONJUNTOS
1. Considerações iniciais O capítulo que se inicia trata de um assunto que, via- de-regra, é abordado em um plano secundário dentro dos temas que norteiam o ensino médio. Entretanto, para o vestibular do ITA é necessário o conhecimento mais profundo do tema, principalmente principalmente no que tange às propriedades em breve indicadas e aos conceitos de complementar e diferença . Embora seja possível resolver todos os exercícios relativos à Teoria dos Conjuntos apenas com noções intuitivas, um dos objetivos desse material é iniciar o aluno em uma linguagem matemática mais elaborada e elegante. Com isso, é possível estabelecer uma base sólida para o melhor entendimento dos capítulos subseqüentes e para a resolução dos exercícios.
Feito o parêntese inicial, o ponto de partida da Teoria dos Conjuntos é admitir que conjunto e elemento de um conjunto são conceitos primitivos(aceitamos como conhecidos sem definição), e não conceitos definidos. Para esclarecer a diferença entre os dois: na geometria euclidiana, os conceitos ponto , reta e plano são primitivos; a partir deles, são definidos os demais conceitos (circunferência, segmento de reta, polígono, etc...). Observações : 1) o conceito primitivo elemento de um conjunto deve ser levado ao pé da
letra, ou seja, não se discute se x é elemento ou não, mas sim se x é elemento de determinado conjunto ou não.
2) Um conjunto pode ser representado por uma letra maiúscula de nosso
alfabeto; ou por uma lista ordenada de todos os elementos desse conjunto (com ou sem repetição) entre chaves;ou pela forma: { x U : A(x) }, em que A(x) é uma propriedade cuja finalidade é selecionar elementos de U; ou ainda pela representação gráfica proposta pelo matemático John Venn(1834-1923) , conforme expresso abaixo:
Verde Vermelho Violeta
= { Verde, Vermelho, Violeta } = conjunto das cores cujos nomes se iniciam pela letra V .
3) Existe um conjunto sem elementos denominado CONJUNTO VAZIO,
indicado por { } ou ou . Essa observação consiste em em um postulado( = axioma; é uma proposição aceita como verdadeira sem demonstração, ao contrário dos chamados teoremas).
2. SUBCONJUNTOS B se, e somente se, todo elemento 2.1.Def.: dizemos que A é subconjunto de B se, de A é elemento de B , isto é:
x
U, x
A
x
B. Neste caso, diz-se
que A está contido em B ou B contém A ( B
A ). O conjunto U,
denominado CONJUNTO UNIVERSO, é fixo e contém todos os conjuntos que possam ser envolvidos.
Convém atentar que, se existir ao menos um elemento de A que não pertença a B, ter-se-á A A
B
x
U:x
B. Em outras palavras, temos que
A
x
B.
2.2.Propriedades e observações importantes 1)
A, temos A
A ( inclusive
2)
A, temos
A;
!!! )
propriedade reflexiva;
3) Se A tem n elementos, então o número de subconjuntos de A é 2n. Esse é um exercício de Análise Combinatória elementar, tente fazê-lo! 4) A
BeA
B
A=B
propriedade anti-simétrica;
5) Atentar para a diferença entre pertinência e inclusão: enquanto um elemento pertence a um conjunto conjunto,, um subconju subconjunto nto está está contido contido em um conjunto (mesmo que a esse subconjunto pertença pertença apenas um elemento!). elemento!).
3. UNIÃO ou REUNIÃO 3.1.Def: Denomina-se União de A com B ao conjunto dos elementos que
pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B. Assim, escrevemos A
B = { x
U : x
A
x
B }. Essa simples definição traz consigo
algumas propriedades interessantes: interessantes: 1) A
B=B
A (propriedades (propriedade s comutativa comutati va da União)
5.1.Def.:Dados dois conjuntos A e B, chamamos
diferença entre A e B ao
conjunto dos elementos de A que não são elementos de B (veja figura
B={x
acima), isto é: A
U:x
A
x
B }.
5.2.Propriedades 1) (A
B)
A
2) (A
B)
(B
3) A 4) A
=A (A
A) =
e
B) = A
-A= B
6.COMPLEMENTARIDADE 6.1.Def.: Dados dois conjuntos A e X
com A
X (atenção!!), denomina- se
complementar de A em relação a X ao conjunto:
CXA = { x
X: x
A }.Verificar as diferenças entre complementaridade e
diferença!
Obs.: se o conjunto X não for especificado, infere-se que X = U e neste caso é usual indicar o complemento de A por
6.2.Propriedades importantíssimas! 1) A
AC =
_ A
ou AC.
2) A
AC = U
3) (AC)C = A 4) A
BC = A
B
5) (A
B)C = AC
BC
6) (A
B)C = AC
BC
7) B
A
A
(relações de Morgan prove!)
B = CAB
8) ( )C = U
9) A
BC = A
A
B=
7.PRODUTO CARTESIANO E RELAÇÃO 7.1.Def.: Dados os conjuntos A e B, chamamos produto cartesiano de A por B ao conjunto de todos os pares ordenados (x;y) em que x e y pertencem , respectivamente, respectivamente, a A e B: A X B = { (x;y) : x
A
y
B }.
7.2.Observações e propriedades 1) Se A =
ou B =
, por convenção tem-se A X B =
2) para o produto cartesiano não existe comutação, ou seja, A X B pode não ser igual a B X A. Entretanto, esta operação possui propriedades
distributivas : i) A X (B
C) = (A X B)
(A X C)
ii) A X (B
C) = (A X B)
(A X C)
B) X C = (A X C)
(B X C)
iii) (A
7.3.Def.: Dados os conjuntos A e B, denomina- se
relação de A em B a
qualquer subconjunto de A X B. As mais importantes relações são as chamadas FUNÇÕES, mas este é um assunto para o capítulo seguinte. Antes disso, alguns exercícios:
8.Questões do ITA de 1969 a 2001
R o conjunto dos números reais e C um subconjunto de R. Definimos SUPREMO de C(sup(C)) como sendo o número real L
1- (ITA-1969) Sejam
satisfazendo às seguintes condições: condições: i) L é maior ou igual a qualquer número pertencente a C;
ii) Dado um número número real L < L, existe sempre sempre um número x de C tal que x>L. Seja C o conjunto dos números naturais menores do que 11. Uma das afirmações abaixo, relativas ao conjunto C, é verdadeira. verdadeira. Assinale-a. a) L = 9 b) L = 10 c) L = 11 d) L = 12 e) não existe sup(C) 2- (ITA-1974) Sejam A, B e C conjuntos contidos num mesmo conjunto U.
Seja x um elemento de U. Seja CBA = { x
U:x
Bex
A }, então
iguall a: a: CC(A B) é igua a) CCA
CCB
b) CCA
CCB
c) CAB
d) e) nda 3- (ITA-1985) Seja X um conjunto não vazio e sejam A e B dois subconjuntos de X. Define-se AC = { x
X:x
A}e A
as sentenças:
B=
1. A
A
2. Se X = R; A = {x B={x
R ; x2
C={x
R; x
BC
B
AC;
R; x3 1 = 0} ;
1=0}; 1 = 0 },
então A = C = B. 3. A 4. A
=A B
A
BC
Podemos afirmar que está(ão) correta(s): a) As sentenças 1 e 3. b) As sentenças 1, 2 e 4 .
B = {x
A:x
B}.
Dadas
c) As sentenças 3 e 4 . d) As sentenças 2, 3 e 4. e) Apenas a sentença 2. 4- (ITA-1987) Sejam F e G dois subconjuntos não vazios de R. Assinale a alternativa correta: F, então necessariamente F = F
G.
a) Se F
GeG
b) Se F
G é o conjunto vazio, então necessariamente necessariamente F = R .
c) Se F
GeG
d) Se F
G = F, então necessariamente necessariamente G
e) Se F
GeG
F, então F
G=F
R, então (F
G)
G. F.
G = R.
5- (ITA-1988) Sejam A, B e C subconjuntos dos números reais. Então: a) (A
B)C = AC
BC
b) (A
B)C = AC
BC
B, então AC
c) Se A d) (A e) A
B) (B
BC
CC = (AC
C)C
C)C = (A
(BC
BC)
C)C
CC)
(A
6- (ITA-1989) Sejam A, B e C subconjuntos não vazios de R. Dadas as igualdades abaixo: 1. (A
B) X C = (A X C)
(B X C)
2. (A
B) X C = (A X B)
(B X C)
3. (A
B)
4. A 5. (A
(B B)
A
(B
A)
B
C) = (A
B)
(A
(B
C) = (A
C)
C)
(A
B)
Podemos afirmar que: a) 2 e 4 são verdadeiras b) 1 e 5 são verdadeiras c) 3 e 4 são verdadeiras d) 1 e 4 são verdadeiras e) 1 e 3 são verdadeiras 7- (ITA-1995) Seja o conjunto:
A
(-1)n n!
sen
n!
6
;n N
Qual o conjunto abaixo é tal que sua intersecção com A é o próprio A? a) (- , -2]
)
[2,
b) (- , -2]
c) [-2, 2] d) [-2, 0] e) [0,2) 8- (ITA-199 (ITA-1995;qu 5;questão estão convid convidada ada ) Visto que, para todo x a desigualdade xn > n(x n
1en
N, vale
1), temos como conseqüência conseqüência que, para para 0 < x < 1 e
N, tem-se:
a) xn - 1 < [n(x + 1)]-1 b) xn - 1 < [(n + 1)(1 + x)]-1 c) xn - 1 < [n2(1 - x)]-1
d) xn - 1 < [(n + 1)(1 e) xn - 1 < [n(1
x)]-1
x)]-1
9- (ITA-1996) Sejam A e B subconjuntos não vazios de R, e considere as seguintes afirmações: i) (A
B)C
ii) (A
BC)C = B
iii) [(AC
AC)C =
(B
B)
AC
(B
A)]C = A
Sobre essas afirmações podemos garantir que: a) apenas a afirmação (i) é verdadeira. b) apenas a afirmação (ii) é verdadeira. c) apenas a afirmação (iii) é verdadeira. d) todas as afirmações são verdadeiras. e) apenas as afirmações (i) e (iii) são verdadeiras.
10- (ITA-1999) Sejam E, F, G e H subconjuntos não vazios de R. Considere as afirmações: (i) Se (E X G)
(F X H), então E
FeG
(ii) Se (E X G)
(F X H), então (E X G)
(iii) Se (E X G)
(F X H) = (F X H), então (E X G)
Então: a) Apenas a afirmação (i) é verdadeira. b) Apenas a afirmação (ii) é verdadeira.
H. (F X H) = F X H. (F X H).
c) Apenas as afirmações (ii) e (iii) são verdadeiras. d) Apenas as afirmações (i) e (ii) são verdadeiras. e) Todas as afirmações são verdadeiras.
11- (ITA-2000) Denotemos por n(X) o número de elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que n(A
C) = 9, n(A
B
C) = 11 e n(A
B
B) = 8, n(B
C) = 10, n(A
C) = 2. Então n(A)+n(B)+n(C) é igual
a: a) 11 b) 14 c) 15 d) 18 e) 25
12- (ITA-2001) Sejam X, Y e Z subconjuntos próprios de R, não vazios. Com respeito às afirmações: (I) X
{[Y
(II) Se Z
(X
Y )C ]
X então ( Z
(III) Se ( X
Y )C
( XC
[X
Y)
Z então ZC
[X X.
temos que: a) apenas (I) é verdadeira. b) apenas (I) e (II) são verdadeiras. c) apenas (I) e (III) são verdadeiras. d) apenas (II) e (III) são verdadeiras. e) todas são verdadeiras.
GABARITO 01 - B 02 - B 03 - A 04 - C 05 - E 06 - D
( ZC
YC)C ] } = X Y)]=X
Y
07 - C 08 - E 09 - A 10 - E 11 - D 12 - B
