Visoka škola za primijenjene i pravne nauke
Banja Luka
Predmet:
„ Kvantitativne metode“ Seminarski rad:
TEMA: „KAMATNI RAČUN“
Mentor:
Student:
dr Aleksa Macanović
Ţeljan Veselić Indeks 94/2010 Banja Luka, 2011. 0
SADRŢAJ: 1. Uvod...........................................................................................................................................2 2. Procentni raĉun.........................................................................................................................3 2.1. Procentni raĉun od sto........................................................................................................3 2.2. Procentni raĉun više od sto i niţe od sto (100)......................................................... ........3 2.3. Promilni raĉun .....................................................................................................................4 2.4. Prost interesni raĉun...........................................................................................................5 2.4.1. Interesni raĉun od sto....................................................................................................5 2.4.2. Interesni raĉun više od sto i niţe od sto.......................................................................7 2.4.3. Izraĉunavanje interesa na više suma...........................................................................8 3. Srednji rok plaćanja..................................................................................................................9 4. Eskontovanje............................................................................................................................10 5. Komercijalni eskont.................................................................................................................10 6. Racionalni eskont.....................................................................................................................10 7. Jednakost efekata.....................................................................................................................11 8. Sloţeni interesni raĉun............................................................................................................11 8.1. Dekurzivno raĉunanje vremena.........................................................................................11 9. Faktor akumulacije..................................................................................................................12 9.1. Izraĉunavanje krajnje vrijednosti kapitala......................................................................12 10. Generalizacija faktora akumulacije......................................................................................13 11. Konformna (ekvivalentna) stopa...........................................................................................14 12. Eskontni faktor.......................................................................................................................15 13. Faktor dodajnih uloga............................................................................................................15 14. Ulaganje
poĉetkom obraĉunskog perioda............................................................................16 15. Ulaganje krajem obraĉunskog perioda................................................................................17 16. Ulaganje je ĉešće (r jeĊe) od kapitalisanja............................................................................18 17. Faktor aktuelizacije dekurzivnih uloga................................................................................19 18. Faktor aktuelizacije anticipativnih uloga.............................................................................19 19. Zajmovi....................................................................................................................................20 19.1.1. Amortizacija zajma jednakim anuitetima.................................................................20 19.1.1.1.Zakon 19.1.1.1. Zakon otplata........................................................................................................21 19.1.1.2. Izraĉunavanje bilo koje otplate pomoću prve otplate i obrnuto......................23 19.1.1.3. Izraĉunavanje otplaćenog dijela duga i ostatka duga.......................................23 19.1.1.4. Anuiteti jednaki i ĉešći od kapitalisanja.............................................................24 19.1.1.5. Anuiteti jednaki i rjeĊi o d kapitalisanja.............................................................25 19.1.2. Amortizacija zajma jednakim otplatama..................................................................26 19.1.3. Amortizacija zajma promjenjivim anuitetima..........................................................27 19.1.4. Amortizacija zajma zaokruţenim anuitetima...........................................................27 19.1.5. Konverzija zajma.........................................................................................................28 20. Literatura................................................................................................................................29 1
SADRŢAJ: 1. Uvod...........................................................................................................................................2 2. Procentni raĉun.........................................................................................................................3 2.1. Procentni raĉun od sto........................................................................................................3 2.2. Procentni raĉun više od sto i niţe od sto (100)......................................................... ........3 2.3. Promilni raĉun .....................................................................................................................4 2.4. Prost interesni raĉun...........................................................................................................5 2.4.1. Interesni raĉun od sto....................................................................................................5 2.4.2. Interesni raĉun više od sto i niţe od sto.......................................................................7 2.4.3. Izraĉunavanje interesa na više suma...........................................................................8 3. Srednji rok plaćanja..................................................................................................................9 4. Eskontovanje............................................................................................................................10 5. Komercijalni eskont.................................................................................................................10 6. Racionalni eskont.....................................................................................................................10 7. Jednakost efekata.....................................................................................................................11 8. Sloţeni interesni raĉun............................................................................................................11 8.1. Dekurzivno raĉunanje vremena.........................................................................................11 9. Faktor akumulacije..................................................................................................................12 9.1. Izraĉunavanje krajnje vrijednosti kapitala......................................................................12 10. Generalizacija faktora akumulacije......................................................................................13 11. Konformna (ekvivalentna) stopa...........................................................................................14 12. Eskontni faktor.......................................................................................................................15 13. Faktor dodajnih uloga............................................................................................................15 14. Ulaganje
poĉetkom obraĉunskog perioda............................................................................16 15. Ulaganje krajem obraĉunskog perioda................................................................................17 16. Ulaganje je ĉešće (r jeĊe) od kapitalisanja............................................................................18 17. Faktor aktuelizacije dekurzivnih uloga................................................................................19 18. Faktor aktuelizacije anticipativnih uloga.............................................................................19 19. Zajmovi....................................................................................................................................20 19.1.1. Amortizacija zajma jednakim anuitetima.................................................................20 19.1.1.1.Zakon 19.1.1.1. Zakon otplata........................................................................................................21 19.1.1.2. Izraĉunavanje bilo koje otplate pomoću prve otplate i obrnuto......................23 19.1.1.3. Izraĉunavanje otplaćenog dijela duga i ostatka duga.......................................23 19.1.1.4. Anuiteti jednaki i ĉešći od kapitalisanja.............................................................24 19.1.1.5. Anuiteti jednaki i rjeĊi o d kapitalisanja.............................................................25 19.1.2. Amortizacija zajma jednakim otplatama..................................................................26 19.1.3. Amortizacija zajma promjenjivim anuitetima..........................................................27 19.1.4. Amortizacija zajma zaokruţenim anuitetima...........................................................27 19.1.5. Konverzija zajma.........................................................................................................28 20. Literatura................................................................................................................................29 1
1. UVOD
Prema definiciji, kamata je cijena kapitala koji se posuĎuje na neki odreĎeni vremenski period. U poslovnoj praksi, predmet kamatnog računa je obračun (računanje) cijene kapitala. Kamate se računaju u procentu od kapitala u istim novčanim jedinicama na koje glasi kapital ili biti jednostavan (ili (ili prost) i sloţen, zavisno od toga da li se i na glavnica. Kamatni račun moţe biti kamate računaju kamate. Kod prostog kamatnog računa dospjele kamate se ne kapitališu, a kod sloţenog kamatnog računa to je pravilo. Dospjele kamate se pribrajaju kapitalu, tako da u novom vremenskom periodu nose kamate zajedno sa glavnicom.
Primjena kamatnog računa je vrlo rasprostranjena u poslovnoj praksi. Ovaj račun se koristi kod:
svih kreditnih poslova,
štednih uloga, tekućih računa, potrošačkih kredita,
kupovina i prodaje hartija od vrijednosti,
lombardnog poslovanja,
hipotekarnih zajmova,
ugovornog plaćanja, ...
2
2. PROCENTNI RAĈUN 2.1.
Procentni raĉun od sto
Procentni račun je račun proporcija. Ako posmatramo neku c jelinu koju ćemo nazvati " glavnica" i označiti sa G i neki njen dio koji ćemo označiti sa P i zvati " procentni iznos", pogodno je znati koliki je dio procentnog iznosa u sto dijelova glavnice. Taj broj se naziva " procentna stopa" i označava se sa p. Dakle, osnovna proporcija procentnog računa je: G : P = 100 : P ili ekvivalentno G · p = 100 · P ,
odakle moţemo dobiti sl jedeće tri jednakosti:
koje se koriste za izračunavanje glavnice, procentne stope i procentnog iznosa , ako su poznate redom: procentni iznos i procentna stopa; procentni iznos i glavnica i procentna stopa. Primer:
Izračunati: a) glavnicu G ako je P = 25 i p = 4% b) procentnu stopu ako je G = 250 i P = 50 c) procentni iznos P ako je G = 300 i p = 6% a) c)
2.2.
b)
Procentni raĉun više od sto i niţe od sto (100)
U praktičnim zadacima vezanim za procentni račun ne pojavljuju se obavezno samo veličine definisane na početku, već se mogu pojaviti i: glavnica uvećana (umanjena) za procentni iznos G+P (G -P) zajedno sa procentnom stopom, a da treba izračunati P ili G. Polazeći od relacije i dodajući lijevoj i desnoj strani ove relacije 100 · G odnosno P · p dobijamo:
odnosno
tj.
odnosno
tj. dobijamo proporcije
odnosno
koje se zovu proporcije procentnog računa više od sto (100).
3
Odavde moţemo dobiti:
Analogno, polazeći od relacije dobijamo proporcije:
i oduzimajući l ijevoj i desnoj strani 100 · G, odnosno P · p,
(G - P) : (100 - p) = G : 100 odnosno (G - P) : (100 - p) = P : p koje se zovu proporcije procentnog računa niže od sto (100). Iz njih se dobije:
Primjer: Cijena robe povećana je prvi put za 10% , pa zatim za 10% , pa je zatim smanjena za 20%. Poslije smanjenja cijena, roba se prodaje za 10,68 din. Naći početnu c ijenu. sniţenje je za 20% , pa je cijena bila prije sniţenja Cijena robe poslij e sniţenja iznosi
Ova cijena je nastala poslije drugog poskupljenja od 10%, dakle
,
pa je
Ova cijena je nastala poslij e poskupljenja početne c ijene G0 za prvo povećanje od 10% pa imamo:
Dakle, početna cijena je bila 10 dinara. 2.3.
Promilni raĉun
Potpuno analogno u pojedinim situacijama u praksi se koristi analogan račun procentnom računu promilni račun. Osnovna proporcija promilnog računa je sl jedeća proporcija: G : P = 1000 : p
,
gdje su
G – glavnica P – promilni iznos p – promilna stopa
Obrasci u primeni su potpuno analogni kao kod procentnog računa.
4
2.4. Prost interesni raĉun 2.4.1.
Interesni raĉun od sto
U poslovnom svijetu normalna je pojava pozajmljivanje novca ili roba (što se opet izraţava novcem), tj. kreditiranje. Sama rij eč kredit je latinskog porekla, credere, što znači dati na zajam, v jerovati, uzdati se. Kredit je, dakle, povj erenje u duţnika da će tu obavezu izmiriti. Naknada koju duţnik plaća povjeriocu kredita za uslugu pozajmljivanja zove se interes ili kamata. Interes se ugovara izmeĎu povj erioca i duţnika i to tako što se duţnik obavezuje da će za svaku godinu (ili neki drugi rok) platiti povj eriocu odreĎeni broj dinara na svakih 100 dinara pozajmljene sume. Pozajmljena suma na koju se računa interes se zove kapital ili glavnica - obiljeţava se sa K . Kamata (interes) koja se plaća na svakih sto dinara pozajmljene sume za jednu godinu zove se interesna stopa i obilj eţava se sa p (to je danas procenat). Kamata ili interes koja se plaća na c ijelu sumu K za odreĎeno vreme obeleţava se sa i. Broj godina obilj eţava se sa g. Broj meseci obiljeţava se sa m. Broj dana obiljeţava se sa d .
Inače, broj dana po m jesecima moţe da se izračunava po kalendaru ili da se pretpostavi da svaki mjesec ima po trideset (30) dana. U prvom slučaju se računa da godina ima 365 dana, a u drugom 360. Ovo se uvijek dogovara izmeĎu duţnika i poverioca kapitala. Osnovne proporcije prostog interesnog računa su vrlo slične osnovnim proporcijama procentnog računa – jedina razlika je u tome što ovde imamo i faktor vremena, jer veličina interesa zavisi od vremena na koji je novac dat. Te proporcije su: K : i = 100 : pg K : i = 1200 : pm K : i = 36000 : pd K : i = 36500 : pd
g - broj godina m - broj meseci d - broj dana, godina ima 360 dana d - broj dana, godina ima 365 dana
Iz ovih relacija mogu se lako dobiti sljedeće relacije: K p d = 100 i K p m = 1200 i K p d = 36000 i K p d = 365 i
odakle se lako dobijaju nepoznate veličine za: K;p;g; (m, d); i ako su date redom ( p, g, i); (K, g, i); (K, p, i); (K, p, g). (p - je kamatna stopa – uvijek na godišnjem nivou ). U pojedinim izračunavanjima se koriste i veličine kamatnog broja K br =K d i kamatnih ključeva
Iz prethodnih relacija sa ovim veličinama lako se dobijaju izrazi
odnosno
5
Veza izmeĎu ovih interesa (ako se godina računa 360 ili 365 dana) data je relacijom
koja se lako dokazuje polazeći od njihovih definicija. Primjeri:
Izračunati: a) b) c) d) e)
12% kamatu na sumu od 2000 dinara za 6 godina 8% kamatu na sumu od 5000 za 9 mjeseci 15% kamatu na sumu od 9000 od 1. maja do 10. juna
kapital koji će se za 3 godine uz 10% kamatnu stopu don ijeti kamate 300 din. vrijeme kada je vraćen zajam od 60000 dinara dat 1. septembra ako je isplaćena kamata od 120 dinara sa interesnom stopom od 6% (godina ima 360 dana).
Rješenja: a) dato je p = 12%, K = 2000 din, g = 6 godina, pa je
b) Dato je p = 8%, K = 5000 din, m = 9, pa je
c) Dato je p = 15%, K = 9000 din, d = 40, ako godinu računamo za 360 i m jesec 30 dana i imamo d = 41 , ako godinu računamo na 365 dana i m jesece po kalendaru. - u prvom slučaju je:
-
u drugom slučaju je:
-
imamo i slučaj kada m jesece radimo po kalendaru, a broj dana u godini 360:
d) Dato je g = 3, p = 10%, i = 300 din., K = ?
e) Dato je K = 60000 din., i = 120 din., p = 6%
Dakle, uz pretpostavku da godina ima 360 dana novac je vraćen 12. septembra. 6
2.4.2.
Interesni raĉun više od sto i niţe od sto (100)
Interesni račun više od sto (100) se primj enjuje kada je dat kapital uvećan za interes, tj. kada je dato K + i , a interesni račun niţe od sto kada imamo dat kapital umanjen za interes K - i. Potpuno analogno kao u slučaju procentnog računa više i niţe od sto sa – za račun niţe od sto:
i
i
i
i
za vrijeme dato u godinama
(1)
za vrijeme dato u mjesecima
(2)
za vrijeme dato u danima, godina ima 360 dana
(3)
za vrijeme dato u danima, godina ima 365 dana
(4)
Iz ovih relacija se lako računaju poznatih, gdje na primer iz (1) imamo:
Iz (2) imamo:
Iz (3) imamo:
Iz (4) imamo:
nepoznate veličine koje se pojavljuju u ovakvim zadacima, iz
Primjeri: (1) Po
odbitku interesa sa godišnjom interesnom stopom 12% za 5 m jeseci duţnik je vratio 3.800 din. Izračunati koliki je dug i koliki je interes? Rješenje: Dato je K - i = 3.800, p = 12%, m = 5
Dakle, dug je 3.800+200 = 4.000 7
Do istog rezultata se moţe doći i prim jenom obrasca
a onda je i = K - (K - i) = 4.000 - 3.800 = 200 (2) Zajedno
sa kamatom uz interesnu stopu na godišnjem nivou od 15% duţnik je posle 4 m jeseca vratio 4.200 din. Izračunati koliki je bio dug i kol iki je interes? Rješenje: Dato je K + i = 4.200, p = 15%, m = 4
Dakle, na ime interesa duţnik je platio 200 din. 2.4.3.
Izraĉunavanje interesa na više suma
više suma na zajam na različito vr ijeme sa istom ili različitom da izračunamo interes na ukupan dati novac izvršimo jednostavno sabiranje pojedinačnih interesa za svaku sumu, dakle: Ako je vlasnik kapitala dao kamatnom stopom, tada ako hoćemo
(1) Date sume su K 1 , K 2 , ... K n Vrijeme na koje su date g1 , g2 , ...gn Kamatna stopa ista za sve p ista za sve
(2) Date sume su Vrijeme na koje su date Kamatne stope su
K 1 , K 2 , ... K n g1 , g2 , ... gn p1 , p2 , ... pn
Analogni obrasci se mogu dati i za vrijeme dato u mjesecima - danima. Primer: Banka je dala 10.000 dinara sa kamatnom stopom od 15% na 4 mj eseca duţniku A, 15.000 dinara sa kamatnom stopom 12% na 3 mj eseca duţniku B i 40.000 dinara sa kamatnom stopom od 10% na 6 mjeseci duţniku C. Naći interes koji će banka dobiti. K1=10.000 m1=4 p1=15
K2=15.000 m2=3 p2=12
K3=40.000 m3=6 p3=10
8
3. SREDNJI ROK PLAĆANJA
Ukoliko je neko pozajmio novac na više m jesta, u planiranju izmirenja obaveza nastalih pozajmicama, potrebno je ponekad izračunati srednji rok plaćanja svih tih obaveza. Pri tome računamo u tri različita slučaja. - I sluĉaj: Obaveze i kamatne stope su jednake, a vrijeme je različito, dakle, imamo n istih obaveza, sa istom kamatnom stopom, a sa vremenima d 1 , d 2 , ... d n u trenutku računanja i srednje vr ijeme je aritmetička
sredina:
II sluĉaj: Obaveze su različite, vremena različita, a kamatne stope iste, dakle, imamo n obaveza K 1 , K 2 , ..., K n sa vremenom d 1 , d 2 , ..., d n i ista kamatna stopa, pa je srednje vrij eme ponderisana aritmetička -
sredina:
-
III sluĉaj1: Obaveze su različite, vremena različita, različite kamatne stope, tj. imamo obaveze K 1 , K 2 , ..., K n
sa vremenom d 1 , d 2 , ..., d n i kamatnim stopama ponderisana aritmetička sredina:
respektivno p1 , p2 , ..., pn pa je opet srednje vrijeme
Primjer:
Duţnik je u obavezi da plati sl jedeće fakture sa plativošću u danima i kamatna stopa za svako plaćanje je dato u tabeli: Kk dk pk
10.000 15 8
12.000 20 15
15.000 25 12
20.000 30 8
25.000 20 10
Duţnik ţeli da plati c ijeli dug odjednom, sumom iznosa na fakturama. Kada to moţe da učini? Rešenje: To je moguće učiniti na dan srednjeg vremena plaćanja , kada se izravnaju plaćene i neplaćene
∑ ∑ obaveze2.
dana.
1
Napomena: III slučaj je najopštiji i prva dva se sadrţe u njemu. Napomena: Ovdje se u " izravnavanju" roka plaćanja podrazumjeva da duţnik ne plaća kamatu na obaveze koje je
2
isplatio poslije isteka roka plaćanja i da ne traţi kamatu na sredstva za obaveze uplaćena prije roka, kao i to da su te kamate iste i za duţnika i za poverioca. 9
4. ESKONTOVANJE
Plaćanja u platnom prometu izmeĎu privrednih subjekata mogu biti: a) na dan dospjele obaveze b) posle dospjele obaveze - kasnije c) prije dospjele obaveze – ranije o o
o
u slučaju a - plaća se tačno onoliko koliko je obaveza - njena nominalna vrednost. u slučaju b - plaća se interes na zakašnjenje. Obračunava se od dana dosp jeća do dana plaćanja dodaje se nominalnoj vrednosti. u slučaju c obračunava se interes na ranije plaćenu obavezu i oduzima od nominalne vrednosti.
i
Interes u ovim situacijama se zove eksont, a njegov obračun eskontovanje. 5. KOMERCIJALNI ESKONT
Eskont računat interesnim računom od sto na nominalnoj vrijednosti nekog efekta (mjenica, kredit,...) za vrijeme od dana eskontovanja do dana dospeća , zove se komercijalni eskont i obiljeţava se sa E k . Ako obilj eţimo sa K n nominalnu vrijednost eskonta sa danom dospj eća t = n, sa K 0 eskontovanu vrijednost efekta u vremenu t = 0, n je broj dana do dospjeća efekta, a p je eskontna stopa, tada je:
i
Dakle, K 0 eskontovana vrijednost, a ona je umanjena vrijednost za eskont od dana eskontovanja do dana dospeća. Eskontovana vr ijednost se zove sadašnja vr ijednost efekta.
6. RACIONALNI ESKONT
Nije teško primjetiti da za računanje eskontovane vr ijednosti u komercijalnom eskontu radimo sa računom od sto, a da nam je nominalna vrij ednost veća (ili manja) od prave sadašnje eskontovane. Dakle, komercijalni eskont je eskont sa izvj esnom greškom. Zbog toga uvodimo pojam racionalnog eskonta. Racionalni eskont je interes aktuelne racionalne vrij ednosti. Obeleţimo sa: K 0 K n n p E r
tada je:
odavde je:
- aktuelnu racionalnu vrijednost efekta - nominalnu vrijednost efekta - broj dana - interesnu stopu - racionalni eskont
10
7.
JEDNAKOST EFEKATA
Kaţe se da su dva efekta jednaka u odreĎenom trenutku , ako eskontovana istom stopom u tom trenutku imaju istu komercijalnu ili istu racionalnu aktuelnu vrijednost. Epoha (dan, mjesec, godina) kada su kapitali jednaki zove se datum ekvivalencije dva kapitala. Neka data dva efekta sa nominalnim vrijednostima K n i K n' imaju n i n' dana respektivno, pa su komercijalne eskontovane vrijednosti
kako se zahtjeva K o= K 0' to će biti za
Dakle, jednakost nastaje za one n i n' koji zadovoljavaju prethodnu jednakost. Ako isti postupak provedemo za racionalne eskontovane vrijednosti, postići za n i n' koji zadovoljavaju
dobijamo da će se jednakost
i vaţi stav da dva kapitala ne mogu biti istovremeno jednaka u komercijalnom i racionalnom eskontu.
8.
SLOŢENI INTERESNI RAĈUN
8.1.
Dekurzivno raĉunanje vremena
Pod sloţenim interesnim računom se podrazum jeva računanje kamate na neki kapital u odreĎenom periodu, dodavanjem kapitalu tako da zajedno sa početnim kapitalom nadalje donosi kamatu. Ovo obračunavanje i dodavanje interesa kapitalu zove se kapitalisanje i moţe biti: godišnje polugodišnje tromesečno mesečno
skraćeno ( p.a.) (per semestre) skraćeno ( p.s.) (per quartale) skraćeno ( p.q.) (per mensem) skraćeno ( p.m.) (per annum)
U praksi je najčešće godišnje i polugodišnje. Računanje i odobravanje kamate na kraju odreĎenog vremenskog perioda zove se dekurzivno računanje interesa i uz kamatnu stopu se obilj eţava sa d .
Pored ovakvog računanja kamata postoji i računanje kamata na početku svakog predstojećeg perioda (tako banke daju zajmove) i zove se anticipativno računanje interesa koje obilj eţavamo sa slovom a uz interesnu stopu.
11
9. FAKTOR AKUMULACIJE
9.1.
Izraĉunavanje krajnje vrijednosti kapitala
Vrijednost kapitala koja se daje pod interes zove se sadašnja vrednost i obilj eţava se sa K . Vrijednost kapitala poslij e odreĎenog broja u n periodu na kojem je kapitalisan, zove se krajnja vrijednost i obiljeţava se sa K n. Izračunajmo K n uz pretpostavku da je K dinara dato uz kamatnu stopu p i sa godišnjim kapitalisanjem. Poslije prve godine imamo interes:
koju dodajemo na početni kapital i dobijamo:
Na kraju druge godine imamo interes:
koji dodajemo na K 1 i dobijamo:
Na isti način dobijamo da je:
i uopšte
sa r i zove se interesni činilac, pa posljednja jednačina postaje K n = Kr n pri čemu r n predstavlja krajnju vrij ednost jedne novčane jedinice date pod interes sa kamatnom stopom p godišnje na dekurzivno kapitalisanje od n godina, i naziva se faktor akumulacije. U slučaju da se kapitalisanje vrši m puta godišnje sa godišnjom kamatom od p procenata, tada se procenat umanjuje m puta, a stepen se uvećava m puta. Dakle, jednačina računanja kapitala posle n godina Izraz
se obiljeţava
3
ima oblik :
Ovakve stope na kraći period od jedne godine zovu se proporcionalne stope. 3
Napomena: Zbog prilično komplikovanog računavanja vrijednosti, u praksi u ba nkarskim poslovima, gdje su ovi računi česti, za ovaj račun se ne koriste logaritmi i logaritamske tablice, već tablica I interesa na interes koja sadrţi
krajnje vrijednosti jednog dinara na kraju 1, 2, ..., n godine uz dati procenat.
12
Primjer: Pronaći sumu na
koju naraste 5000 dinara pri a) godišnje, b) polugodišnjem i kapitalisanju sa godišnjom stopom od 4% na 5 godina. Rješenje:
Dakle:
c) tromjesečnom
pri godišnjem kapitalisanju sa kamatom od p%. Ako se se zamjenjuje sa kapitalisanje vrši m puta godišnje sa stopom p% godišnje , tada se vrijednosti kapitala na kraju n-te godine računa na sl jedeći način: i
10. GENERALIZACIJA FAKTORA AKUMULACIJE
U primjeru iz prethodnog poglavlja se vidi da ako kapitalisanje vršimo češće , tada dobijamo veće sume novca na kraju. Šta bi bilo ako bi kapitalisanje vršili neprekidno?
Polazeći od formule:
̅
tada bi se m neograničeno uvećavalo! Imali bi, dakle:
odnosno: 13
roj
̅ * + * + ̅
se zove dekurzivni interesni činilac, a
se zove faktor akumulacije poslije n godina pri
neprekidnom ukamaćivanju.
11. KONFORMNA (EKVIVALENTNA) STOPA Iz prethodnih poglavlja smo vidj eli da se uvećanjem broja kapitalisanja povećava krajnja vrij ednost kapitala i da je ona najveća pri neprekidnom kapitalisanju. Prirodno je postaviti pitanje kako se moţe vršiti kapitalisanje više puta (na primer m puta) u toku godine i da se isplati ista količina novca kao pri godišnjem kapitalisanju? Odgovor na ovo pitanje: ista količina novca pri godišnjem i češćem
kapitalisanju će se postići pomoću ekvivalentne kamatne stope. Neka je: i - godišnja kamatna stopa im - ekvivalentna kamatna stopa za m kapitalisanja godišnje. Neka je prema prethodnom zahtjevu kapital isti na kraju n-te godine:
odakle je
odnosno posle korjenovanja lijeve i desne strane
odnosno
a odatle
tako, na primer, ako je kapitalisanje polugodišnje sa kamatnom stopom od 6% tada je ekvivalentna kamatna stopa:
Očigledno, ova stopa je nešto niţa nego proporcionalna koja bi u ovom slučaju bila 3%. Ovo vaţi i u opštem slučaju što se lako dokazuje koristeći se binarnim obrascem. Polazeći od relacije: i rastavljajući desnu stranu po binarnom obrascu imamo:
odavde je
odnosno
.
Dakle, proporcionalna stopa je veća od ekvivalentne. 14
12. ESKONTNI FAKTOR
Iz jednačine
̅
odnosno odnosno
godina pri dekurzivnom godišnjem, m puta u godini i neprekidnom kapitalisanju sa godišnjom kamatnom stopom p. U primjenama je trebalo rj ešavati i obrnut problem: koliko treba uloţiti novca u sadašnjem trenutku , da bi poslije n godina dobili ţeljenu svotu novca K n, odnosno K mn odnosno u zavisnosti od vrste kapitalisanja. Jasno, ovo se lako rj ešava i imamo: dobijamo krajnju vrijednost kapitala poslije n
̅
̅
odnosno
odnosno
Dakle, početna vr ijednost koju treba uloţiti se dobija kada faktorom akumulacije, odnosno ako se ţeljena vr ijednost pomnoţi sa akumulacije koji se zove još i eskontni faktor.
se ţeljena vr ijednost podjeli sa recipročnom vr ijednošću faktora
Radi lakšeg računanja i eskontni faktor se zadaje tablično (za praktični račun lakše je mnoţiti nego dijeliti) i data je tablica II.
Primjer:
Koliko treba uloţiti novca danas da bi posle 10 godina sa kamatnom stopom 8% uz godišnje kapitalisanje primili 5.000 din.?
13.
FAKTOR DODAJNIH ULOGA
U prethodnom
razmatranju sloţenog kamatnog računa izračunavali smo krajnju vr ijednost kapitala za dati početni kapital dekurzivno na n godina sa kamatnom stopom od p procenata ili obrnuto, izračunavali smo koliki kapital treba uloţiti da bi imali odreĎenu krajnju vr ijednost poslije n godina. Dakle, uvijek jedan ulog. Sada ćemo posmatrati situacije kada imamo ne jedan , već više uloga, koji mogu biti u istim vremenskim intervalima, kao i u različitim, zatim isti ili različiti po veličini. 15
14. ULAGANJE POĈETKOM OBRAĈUNSKOG PERIODA
Pretpostavimo da na početku svake godine ulaţemo K dinara i neka banka na kraju svake godine vrši kamaćenje sa p% kamatnom stopom. Kojom ćemo sumom raspolagati na kraju n -te godine? Očigledno ćemo imati sledeću situaciju: Prva uloţena suma posne n-te godine je postala
Druga uloţena suma donosi Treća uloţene suma postaje Zadnji ulog postaje
Dakle, na kraju n-te godine imamo
Napomena 1: Zadnja relacija se moţe dobiti i na sl jedeći način:
i poslije mnoţenja sa r imamo: a odavde
što daje
odnosno
je očigledno zbir iz I tablice od 1 do n za odreĎeni procenat, a koji se takoĎe zadaje tabelarno, tablica III, tj. vaţi: Napomena 2: Izraz
i naš osnovni izraz se računa na sledeći način:
Primjer:
Neko ulaţe početkom svake godine 10.000 dinara. Koliko će imati u banci na kraju iste godine , ako se na ime interesa na interes računa po 4% uz godišnje dekurzivno kapitalisanje? Ovde je K=10.000, p=4%, r=1,04, n=5, S5=? Dakle,
16
15. ULAGANJE KRAJEM
OBRAĈUNSKOG PERIODA
Ako se krajem svake godine ulaţe K dinara sa p% (pa) d interesa na interes pri godišnjem kapitalisanju koliko ćemo imati novca posle n godina? Analizirajmo: n-1 Uloţenih K dinara na kraju prve godine posle n godina postaje Kr n-2 , drugi ulog od K dinara na kraju je Kr n-3 , treći ulog daje Kr i tako dalje poslednji ulog od K dinara se ne kapitališe.
Dakle, poslije n godina imamo:
enimo tabličnim izrazom moţemo računati edeći način: Isto tako, izmeĎu edeće veze: mnoţenjem l Napomena 1: Ako izraz i na slj
zamj
, tada
)
mogu da se uspostave slj
Uz
Isto tako i
ijeve i desne strane sa r dobijamo:
Napomena 2: Za slučajeve kapitalisanja češćih nego što su godišnja kapitalisanja pri ovom računu sa tablicom III umesto koristi ako je broj kapitalisanja m na godišnjeg nivou, a godišnja kamatna stopa iznosi p (n je naravno broj godina).
17
16. ULAGANJE JE ĈEŠĆE (RJEĐE) OD KAPITALISANJA
U slučajevima kada su ulaganja neravnomerno rasporeĎena i različita po veličini, a računaju se na odreĎeni broj godina, tada moţemo postupiti na sl jedeći način: Poslije svakog ulaganja kapital se preračunava na krajnji datum te godine i poslij e se izvrši uobičajeni postupak računa godine za godinu. Ako je ulaganje rj eĎe od kapitalisanja , tada se kapitalisanje vrši sa odgovarajućom kamatnom stopom (m je broj kapitalisanja) za m-n period.
Primer:
Ulagano je početkom svakog polugodišta po 10.000 dinara u banku koja plaća 6% kamate i vrši godišnje kapitalisanje u trajanju od 5 godina. Koliko novca će biti posle tog perioda? Na kraju prve godine kada se vrši kapitalisanje ćemo imati kapitalisanje za prvi ulog za cijelu godinu, a za drugi kapitalisanje za pola godine, tj.
Dakle, na kraju svake godine će biti novog novca K 1=21.000 dinara, odnosno imaćemo:
Napomena: Ukoliko, na primj er,
u banku ulaţemo početkom svakog od m perioda u toku jedne godine po K dinara sa godišnjom kamatnom stopom p , onda ćemo na kraju godine imati ulog od:
Zaista, prvi ulog se kapitališe u potpunosti i na k raju imamo:
Drugi ulog će postati:
Treći ulog će postati: ... m-ti ulog će postati:
18
( )
I zbir
17. FAKTOR AKTUELIZACIJE DEKURZIVNIH ULOGA
Neka krajem prve, druge, ..., n-te godine ulaţemo K 1, K2, ..., Kn dinara uz godišnje kapitalisanje sa kamatnom stopom p procenata. Postavlja se pitanje: Koliko novca bi trebalo uloţiti početkom prve godine da na kraju n-te godine uz iste uslove imamo isti kapital?
odakle je
Ako je k 1 = k 2 =...= k n tada je
pri tome se
zove faktor aktuelizacije 4.
Danas, faktor aktuelizacije je vrij ednost
ulaganja na početku prve godine - ekvivalentna ulaganjima od po jedne novčane jedinice krajem prve, ..., n -te godine.
Napomena: Radi lakšeg računa u praksi se koristi tablica za izraz
4
to je tablica IV, dakle,
Faktor aktuelizacij e zove se još i diskontovana vrijednost.
19
18. FAKTOR AKTUELIZACIJE ANTICIPATIVNIH ULOGA
Analogno kao u prethodnom slučaju, neka početkom prve, druge, ..., n -te godine ulaţemo k 1, k 2,...,k n dinara uz godišnje kapitalisanje sa kamatnom stopom od p% moţemo postaviti pitanje: Koliko bi trebalo uloţiti početkom prve godine da bi na kraju n -te godine uz iste uslove imali isti kapital? novca
Nepoznati kapital bi, dakle, bio dakle,
i ove vrijednosti se,
ako je k 1=k 2=...k n tada je
i morao bi biti isto kao i
slično kao i prethodn e računa ju primjenom tablice IV, tj. vaţi: jer je
19.
i on bi na kraju n-te godine bio
.
ZAJMOVI
I pored toga što se u ekonomskoj nauci u praksi ponekad pravi razlika izmeĎu zajma i kredita5, ovdje ne pravimo razliku izmeĎu ove dvije kategorije, jer suštinske razlike i nema. Dakle, kredit ili zajam predstavlja privredno pravni pojam, tj. duţničko – povjerenički odnos, zasnovan na ugovoru o uslovima za sticanje prava raspolaganja novcem (ili nekim drugim vrijednostima) od strane povj erioca prema duţniku. Sama r iječ kredit potiče od latinske reči " credo", što znači v jerujem (imam povjerenje). Interesi povjerioca (odnosno zajmodavca) su najčešće kamata, ali pored toga interes moţe biti i odreĎeni ekonomski razvoj, instrument ekonomske politike , ako je povjerilac veća firma prema manjoj ili drţava prema nekoj radnoj organizaciji. Zajmovi najčešće sluţe za investicione svrhe i po
pravilu se odobravaju jednokratno u odreĎenoj visini, a duţnici ih otplaćuju u godišnjim otplatnim iznosima koji se zovu anuiteti. U anuitetima se sadrţe otplate glavnice i isplate kamate. Anuiteti su najčešće jednaki, a mogu biti i različiti, a na p rimer da otplate glavnice budu jednake. Isplaćivanje zajma se u ekonomskoj praksi zove amortizacija zajma.
19.1.1. Amortizacija zajma jednakim anuitetima
Pretpostavljamo da je duţnik uzeo od pov jerioca K dinara početkom godine koje treba da otplati sa jednakim godišnjim anuitetima a. Pri tome je kamata p procenat, a ukamaćivanje je sloţeno i vrši se godišnje. Koliki je anuitet a? Dug će očigledno posl ije godinu dana prije otplate prve dve rate iznositi:
Poslije otplate prve rate dug iznosi Prije isplate druge rate dug postaje (zbog kamata)
i uplatom druge rate dug se smanjuje za a i iznosi Ovaj
5
račun nastavljamo i posle n -te godine i isplate n-te rate imamo:
Riječ kredit se upotrebljava za kratkoročne bankarske poslove, a riječ zajam se upotrebljava za dugoročne kredite. 20
jer je po pretpostavci isplatom zadnje n-te rate dug isplaćen. Ako je 1 + i = r
tj.
odnosno
anuitetni faktor ili faktor povraćaja koji je dat tablicom V, a
tada imamo:
pri čemu se
zove
koja je očigledno povezana sa tablicom IV,
tj. vaţi
.
U slučaju da se anuiteti povećaju m puta godišnje i n puta se vrši kapitalisanje , tada se analognim računom dobija veza:
Primjer: Zajam od 1.000.000 dinara amortizuje se jednakim anuitetima u toku 5 godina uz 12% kamatnu
stopu ako je obračun kamate na kraju godine. Izračunati anuitet ako se: a) anuitet plaća i kapitalisanje vrši godišnje b) anuitet plaća i kapitalisanje vrši polugodišnje c) anuitet plaća i kapitalisanje vrši tromesečno d) anuitet plaća i kapitalisanje vrši mesečno.
Rješenje: a) b) c) d)
19.1.1.1. Zakon otplata
Ako zajam otplaćujemo jednakim anuitetima tada sa svakim anuitetom plaćamo prispelu kamatu na dug u tom trenutku i dajemo otplatu - smanjujemo dug. Dakle, anuitet
Pri ovakvom načinu otplaćivanja zajma je očigledno da se sa vremenom otplate povećavaju , a prispele kamate smanjuju. Pregled otplata i interesa se vrši po odreĎenom planu koji se zove amotizacioni plan. Izloţimo ga pretpostavljajući da se zajam od K dinara amortizuje sa n jednakih godišnjih anuiteta sa p% kamatnih stopa i godišnjim dekurzivnim kapitalisanjem. 21
Prema prethodno izračunatom imamo daje: i pri tom imamo:
za prvu godinu zajam je
za drugu godinu zajam je
za n-tu godinu zajam je
, interes
, i otplata
, interes
, i otplata
, interes
, i otplata
pri čemu je posl jednja otplata jednaka ostatku duga, tj. Pregledno ovaj plan se daje tabelom: period
otplaćivanja 1 2 3 ... n-1 n
iznos duga
...
interes
...
anuitet a a a ... a a
otplate
...
Očigledno da u ovom planu mora biti:
Primjer: Napravimo amortizacioni plan iz prethodnog primjera a): K=1.000.000, n=3, p=12%, a=416.350 dinara. Godine otplate 1 2 3
Iznos duga
Interes
Otplata
UKUPNO: 1.000.000
22
19.1.1.2. Izraĉunavanje
bilo koje otplate pomoću prve otplate i obrnuto
Iz amortizacionog plana moţemo odmah vid jeti da je:
Analogno dobijamo:
i nastavljajući do kraja
Imajući u vidu da je vr ijednost
data u prvoj tablici
, imamo da je
k=2,..., n
k
Obratno, ako znamo b , dobijamo b1 na sljedeći način:
k=2,..., n
19.1.1.3. Izraĉunavanje
otplaćenog dijela duga i ostatka duga posle c prvih plaćenih anuiteta
lako izračunavaju iz amortizacionog plana. Naime, otplaćeni dug O c posle c plaćenih anuiteta je zbir prvih otplata, dakle: Ove vrijednosti se
Ostatak duga
naravno, predstavlja razliku izmeĎu duga K n otplaćenog dijela Oc:
i pod istim uslovima (godišnje kapitali sanje i godišnji anuitet) moţe se izračunati da je:
23
19.1.1.4. Anuiteti su jednaki i ĉešći od kapitalisanja
Neka je kapitalisanje godišnje, p procenat kamatne stope, anuitet na zajam od K dinara se isplaćuje m puta godišnje, a broj godina za koje treba otplatiti zajam neka je n. Koliki je anuitet? Anuiteti uplaćeni m puta godišnje se očigledno moraju shvatiti kao ulozi dati pod istim uslovima k ao što je i uzeti zajam, dakle, na kraju godine iznos anuiteta je: a zajam je postao
.
i neotplaćena suma sa kojom se ulazi u drugu godinu je
Analogno dobijamo:
...
Iz ovih relacija dobijamo (zamjenom prethodne u narednoj):
...
označivši
imamo
odakle je
Primjer: Kupac je kupio automobil na kredit. Cijena automobila je 200.000 dinara, kamata je 10%, kapitalisanje je godišnje, a kredit se otplaćuje na 36 jednakih mesečnih rata. Kolik i su anuiteti? Rješenje:
24
19.1.1.5. Anuiteti jednaki i rjeĊi od kapitalisanja
Ovaj slučaj ćemo objasniti na prim jeru gdje se na zajam od K dinara sa p procenata godišnje kamate vrši kapitalisanje m puta godišnje, a anuiteti se plaćaju godišnje n godina. Dakle, zajam na kraju prve godine postaje posle m kapitalisanja sa proporcionalnom stopom
⁄
i kada posmatramo prvi anuitet dobijamo startnu vrijednost za drugu godinu (vrijednost na kraju prve godine):
analogno
i na kraju
tj. sa n-tom otplatom zajam je otplaćen. Zamjenjujući prethodni izraz u narednom
dobijamo:
i tako dalje do kraja:
sabirajući
imamo jednakost
odnosno
odakle je
Dakle, ako računamo pomoću t ablice
je izračunata vr ijednost anuiteta. 25
19.1.2. Amortizacija zajma jednakim otplatama
Zajam se moţe otplaćivati i sa jednakim otplatama od n dijelova, s tim da se anuiteti dobijaju tako što se na vr ijednost doda izračunati interes u trenutku isplate anuiteta. Dakle, neka je uzet zajam od K dinara na n-godina sa p procenata kamatne stope i jednakim otplatama. Koliki su godišnji anuiteti? Anuiteti se mogu lako računati na sl jedeći način: Prvo,
sa dugom
i anuitet
. Dakle, u drugu godinu ulazimo
i drugi anuitet je:
U treću godinu se ulazi sa dugom
i treći anuitet je:
nastavljajući analogno zaključujemo da je k -ti anuitet
i zadnji anuitet je
sa kojim je otplaćen dug.
Ako se pravi amortizacioni plan zajma u koloni otplata imamo iste vrijednosti, a anuiteti se dobijaju kad se na ove vrij ednosti dodaju interesi na odgovarajući iznos duga. Primjer: Kredit od 2.700 dinara je uzet po godišnjoj kamatnoj stopi od 12% , na 12 tromesečnih anuiteta sa jednakim isplatama. Napraviti plan amortizacije. Rješen je:
Otplata je dakle 2.700 : 12 = 225 din. Kada doĎe vr
ijeme prve isplate, na kredit valja platiti interes
dinara (kamata je proporcionalna) pa je prvi anuitet, dakle, 225 + 81 = 306 dinara.
Dakle, preostali dio duga je 2.475 dinara, na koji se daje otplata posle slj edeća
iznosi 225+P2 a
tri m jeseca koja
din. pa je anuitet 299,25 dinara ili pregledno u tabeli: 26
period otplate
poĉetni iznos duga
interes
anuitet
otplata
krajnji iznos duga
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2.700 2.470 2.250 2.025 1.800 1.575 1.350 1.125 900 675 450 225 -
81 74,25 67,50 60,75 54,00 47,25 40,50 33,75 27,00 20,25 13,50 6,75 526,50
306 299,25 292,50 285,75 279,00 272,25 265,50 258,75 252,00 245,25 238,50 231,75 3.226,50
225 225 225 225 225 225 225 225 225 225 225 225 2.700
2.475 2.250 2.025 1.800 1.575 1.350 1.125 900 675 450 225 0 -
∑
19.1.3. Amortizacija zajma promjenjivim anuitetima
Isplata zajma na ovaj način se vrši izradom amortizacionog plana , s tim što anuitet u svakom koraku mora biti veći od interesa i zadnji anuitet mora svesti dug na nulu. 19.1.4. Amortizacija zajma zaokruţenin anuitetima
Amortizacija zajma u ovoj situaciji je vrlo slična amortizaciji zajma sa jednakim anuitetima , sa tom razlikom što se anuiteti zaokruţe na neku odreĎenu vr ijednost i na taj način se napravi amortizacioni plan, a u posljednjem periodu izračunavamo zadnji interes i dodamo na ostatak duga. Dakle, zadnji anuitet nije isti kao ostali, već je zbir posl jednjeg interesa in i posljednjeg ostatka duga K n (koji je jednak ostalim) i zove se još i anuitetni ostatak. Primjer:
Zajam od 8.000 dinara amortizuje se godišnjim anuitetima koji su u visini od 35% od veličine godišnje kapitalisanje. Napraviti plan amortizacije
zajma sa kamatnom stopom od 5% dekurzivno, uz zajma i odrediti posljednji anuitet. Rješenje:
Kako anuiteti treba da budu 35% od veličine zajma to je tablice IV imamo
odavde je
. Iz
Ove vrijednosti se ne nalaze u koloni procenta 5, već je 3 < n < 4. Dakle, zajam se amortizuje 4 godine. Tri puta se plaća po 2.800, a posljednje godine ostatak. Prikaţimo to amortizacionim planom :
period otplate 1 2 3 4
∑
poĉetni
iznos duga
8.000 5.600 3.080 434 -
interes
anuitet
otplata
krajnji iznos duga
400 280 154 21,7 855,7
2.800 2.800 2.800 455,7 8.895,7
2.400 2.520 2.646 434 8.000
5.600 3.080 434 0 27
19.1.5. Konverzija zajma Konverzija zajma je svaka promj ena uslova otplaćivanja zajma. Do konverzije najčešće dolazi na prijedlog duţnika, a moţe biti predviĎena i ugovorom o zajmu i često je nametnuta i prom jenama na
trţištu novca. Matematički gledano, konverzija zajma predstavlja novi zajam sa novim uslovima, pri čemu je veličina tog novog zajma ostatak duga sa prispjelom kamatom do tog trenutka za koju se pravi novi amortizacioni plan sa novim uslovima. Primjer:
Zajam od 100.000 dinara otplaćuje se 25 godina godišnjim anuitetima uz interes od 6% (pa) d i godišnje kapitalisanje. Posl ije 15 godina plaćenih anuiteta , interes je smanjen na 4% (pa) d i rok je produţen za 5 godina. Izračunati novi anuitet. Prvo treba izračunati prvobitni anuitet i otplaćeni deo duga sa 15 rata :
ostatak duga posle 15 godina je din.
Novi anuitet je:
din.
28
