REVISÃO Nome Nome do(a) revisor(a)
ILUSTRAÇÕES Nome do(a) ilustrad ilustrador(a) or(a) RTE R P A A A RT TEE DE C APA
Juliana Anjos Daniela Dani ela Ja Jacinto cinto Beatri Bea trizz Lim Lima a Brun Br unaa Ha Hase sega gawa wa do doss Sa Sant ntos os P A FOTOGRAFIA DE C APA
Nome do(a) fotógrafo(a) MAGEM DE C APA P A IMAGEM
Fragme ragmento nto de Marc Chagall Chagall (1887-198 (1887-1985) 5) Obra “Soli “Solitude” tude”
DIAGRAMAÇÃO Nome do(a) diagrama diagramador(a) dor(a)
Copyright© Jorge Carvalho Brandão 8454/1 – 100 – 180 – 2017 O conteúdo desta obra é de responsabilidade do(s) Autor(es), proprietário(s) do Direito Autoral.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Brandão, Jorge Fundamentos de cálculo diferencial e integral : para quem não gosta, mas precisa / Jorge Brandão. -São Paulo : Scortecci, 2017. ISBN: 978-85-366-4962-7 1. Cálculo diferencial 2. Cálculo integral 3. Estudantes com deciência visual 4. Matemática Estudo e ensino I. Título. 17-00816
CDD-510.7
Índices para catálogo sistemá sistemático: tico: 1. Estudantes com deciência visual : Aprendizagem de matemática : Matemática : Estudo e ensino 510.7
Rua Deputado Lacerda Franco, 107 São Paulo - SP - CEP 05418-000 Telefone: (11) 3032-1179 www.scortecci.com.br
Livraria Asabeça Telefone: (11) 3031-3956 www.asabeca.com.br
Caríssimo leitorsee lêprezada leitora, pode ser perigoso, com efeito, quando um livro, umalerrevista, entre outros meios escritos, na verdade repetem-se os processos mentais de quem escreveu. Assim sendo, quando é que a leitura passa a ser algo construtivo para o(a) leitor(a)? Quando aquilo que se lê não é ponto de chegada e sim ponto de partida para o ato de pensar, haja vista a leitura dos pensamentos dos outros servir de base para o(a) leitor(a) conseguir ter os próprios pensamentos (COSTA, CASCINO e SAVIANI, 2000). A leitura feita com os olhos pode apreciar e associar gravuras ao texto, o que nem sempre ocorre com aqueles que leem o tato. um professor de Matemática deve trabalhar De com que forma este campo do saber em sala de aula quando existem discentes com deficiência visual ou que possuem dificuldades de aprendizagem neste campo do saber? Ora, analisando a expressão “estudante com deficiência visual”, excluindo-se “deficiência visual” fica “estudante” e, por conseguinte, têm direitos e deveres iguais
aos demais. Logo, o docente pode trabalhar conforme planejou sua atividade. É claro, com adequações. Mesmo raciocínio vale para você, nobre leitor(a). Este ma você terial foi pensado no método passo a passo onde dedicando até 60 minutos para ler, compreender e se exercitar, você entenderá a “essência” do Cálculo Diferencial e Integral com uma
variável. Ou seja, cada lição é composta de até sete passos, da 1ª à 5ª LIÇÃO1 visando entender a construção do saber. A 1 Até
a 5ª lição temos o Cálculo Diferencial. Da 6ª lição em diante temos o Cálculo Integral ~ 5 ~
partir da 6ª Lição, a qual esperamos que os procedimentos tenham sido bem assimilados até então, recomendamos dedicação de tempo de, no mínimo, 60 minutos. Exemplificando: A Matemática está associada aos números... então só há matemática se ocorrer a existência de números? Acompanhem, caríssimos leitores, o seguinte exemplo: Conjugar o verbo cantar. Primeira pergunta natural a ser feita é: em qual tempo verbal? Pois bem, caso seja no presente do indicativo temos: EU CANT O TU CANT AS ... Caso seja no pretérito, fica: EU CANT EI TU CANT ASTE ... o verbo cantar é um verbo primeira conjugação porqueOra, termina em AR. Além disso, é umdeverbo regular. Verbos regulares são verbos que não possuem alteração no radical, no caso CANT. Percebam que há uma relação direta entre os sujeitos, que possuem suas características, e as desinências (terminações). A relação entre esses conjuntos, conjunto dos sujeitos e o conjunto das desinências, é dada pela existência do radical CANT. Como os sujeitos influenciam (DOMINAM) as desinências, podemos indicar tal conjunto como o DOMÍNIO da função "conjugar o verbo cantar". As desinências refletem, reagem a este domínio, isto é, elas representam CONTRADOMÍNIO. Ao conjunto das desinências de um tempo verbal específico chamamos de IMAGEM... Eis um exemplo de adequação. Aprender matemática (e qualquer outra área do saber) consiste em aprender seus conceitos. Por exemplo: leite em pó é
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leite, se uma criança conceitua leite como líquido de cor branca que saem das mamas dos mamíferos?
Lev Semenovich Pontryagin (1908 –1 988) nasceu em Moscou em 1908 e ficou cego aos 14 anos em virtude de uma explosão. Foi auxiliado em seus estudos principalmente pelo apoio recebido de sua mãe, Tatyana Andreevna, que lia para Pontryagin. Muito embora fosse leiga na Matemática, Tatyana descre via com um linguajar próprio a partir das aparências dos símbolos matemáticos. Por exemplo: para indicar que um conjunto A está contido em um conjunto B, notação A B, ela fazia referência do tipo A cauda B (EVES, 2002). A importância da citação de Pontryagin não é só sua capacidade matemática. Seu esforço o tornou um brilhante professor nas áreas de Topologia e Equações Diferenciais. Destaca-se a participação de sua mãe como um apoio em seus estudos, “transcrevendo” textos. Na Economia, o estudo da inflação ou nas medidas e instrumentos para medir a taxa de desemprego – fenômenos que sofrem variação só com o tempo, nas quais se usam as Equações Diferenciais Ordinárias, temos uma certa influência dele. Em relação ao Saunderson, Nicholas Saunderson (1682 – 1739), com aproximadamente um ano de idade perdeu a visão através de varíola, todavia, este ocorrido não o impediu de adquirir um conhecimento de latim e grego, bem como estudar matemática. Amigos liam para ele. Destaca-se a máquina que ele desenvolveu. A mesma máquina era útil tanto para realização dos cálculos algébricos quanto para a descrição de figuras retilíneas, podendo ser comparada a um “pré-geoplano”.
~ 7 ~
A máquina consistia em um quadrado, dividido em quatro partes iguais por meio de linhas perpendiculares aos lados, de modo que ele ofereça os nove pontos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. O quadrado é perfurado por nove orifícios capazes de receber alfinetes de duas espécies todos do mesmo comprimento e da mesma grossura, mas uns com a cabeça um pouco mais grossa do que outros. Os alfinetes de cabeça grande situam-se sempre no centro do quadrado; os de cabeça pequena, sempre nos lados exceto em um único caso, o do zero. O zero é assinalado por um alfinete de cabeça grande, colocado no centro do pequeno quadrado, sem que haja qualquer outro alfinete nos lados. O algarismo “1” é representado por um alfinete de cabeça pequena, colocado no centro do quadrado, sem que haja qualquer outro alfinete nos lados.
Algarismo 0
1
2
3
Representação
Algarismo 5
6
Representação
7
8
~ 8 ~
4
9
Figura 1 – Adaptando números de Saunderson, conforme Diderot (2007)
O representa alfinete de cabeça pequena e indica alfinete de cabeça grande O algarismo “2” é indicado por um alfinete de cabeça grande, situado no centro do quadrado, e por um alfinete de cabeça pequena, situado em um dos lados do ponto “1”. O alg a- rismo “3” é representado por um alfinete de cabeça grande, situado no centro do quadrado, e por um alfinete de cabeça pequena, situado num dos lados do ponto “2”. Indica-se o algarismo “4” por um alfinete de cabeça grande, situado no centro do quadrado, e por um alfinete de cabeça pequena, situado no centro do quadrado, e por um alfinete de cabeça pequena, situado num dos lados do ponto “3”. O algarismo “5”, por um alfinete de cabeça grande, situado no centro do quadrado, e por um alfinete de cabeça pequena, colocado em um dos lados do ponto “4”. O algarismo “6” é representado por um alfinete de cabeça grande, situado no centro do quadrado, e por um alfinete de cabeça pequena, situado num dos lados do ponto “5”. O algarismo “7”, por um alfinete de cabeça grande, colocado no centro do quadrado, e por um alfinete de cabeça pequena, colocado num dos lados do ponto “6”. O algarismo “8”, por um alfinete de cabeça grande, colocado no centro do quadrado, e por um alfinete de cabeça pequena, colocado num dos lados do ponto “7”. E o algarismo “9”, por um alfinete de cabeça grande, colocado no centro do quadrado, e por um alfinete de cabeça pequena, colocado num dos lados do quadrado do ponto “8”. ~ 9 ~
O material apresentado por Saunderson pode ser considerado um precursor das celas Braille. Não obstante, a forma como confeccionava figuras planas, utilizando seu material ele estava introduzindo, de modo inconsciente, o hoje utilizado geoplano. A gravura abaixo indica a representação de um trapézio segundo usos de Saunderson.
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Figura 02 – Representação de um trapézio
Os pontos pretos representam alfinetes e os zeros são espaços vazios. Entre colchetes tem- se uma “cela” do esquema de Saunderson. Com o tato ele caracterizava as figuras. Quando as figuras eram grandes ou com maior riquezas de detalhes, ele colocava apenas nos extremos (vértices) alfinetes e estes eram unidos por barbantes. E um terceiro matemático cego é Bernard Morin. Ele nasceu em 1931 em Shangai, onde o seu pai trabalhava para um banco. Morin desenvolveu glaucoma bem cedo e foi levado para a França para tratamento médico. Ele voltou a Shangai, mas, por ocasião do rompimento das retinas ficou completamente cego aos seis anos de idade. Depois que ficou cego, Morin retornou para a França sendo educado em escolas para cegos até a idade de quinze ~ 10 ~
anos, quando entrou no ensino regular. Estudou no Centre National de la Recherche Scientifique (França) como pesquisador em 1957. Concluiu a sua tese de Ph.D. na área da teoria da singularidade em 1972. A grande notoriedade de Morin está no fato de ser um dos (poucos) matemáticos que demonstrou a possibilidade da “eversão da esfera”, um problema na área de Topologia Mat emática. As citações desses matemáticos servem para indicar que a Matemática pode ser apreendida por pessoas com necessidades especiais, e que a participação ativa da família e de amigos (e dos professores especialistas) é de grande importância para uma aprendizagem significativa.
Iniciando...
Saber operações numéricas é base para desenvolver uma matemática bem estruturada. Por exemplo: i. Sabemos que -1 = (-1)³, pois (-1).(-1).(-1) = -1. ii. Podemos reescrever (-1)³ como (-1)6/2, haja vista 3 = 6/2. iii. De ab/c ser interpretada como a raiz de ordem “c” de “a” elevado a “b”, segue -se que (-1)6/2 é a raiz quadrada de “menos um” elevado à sexta potência. iv. Como (-1)6 = 1, ficamos com a raiz quadrada de um. v. Ora, raiz quadrada de um é um, daí, -1 = 1??? Simplificando em símbolos:
1 =⏟ (1) =⏟ (1) =⏟
(1) =⏟ √1 =⏟ 1
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Logo, como 1 ≠ -1, segue-se que há um erro. Onde? Desta feita, este material objetiva utilizar de forma coerente operações envolvendo limites, derivadas e integrais.
Resumindo...
Como há um erro na “justificativa” de -1 = 1, segue-se que é necessário compreender as operações numéricas atreladas. Mesmo artifício vale para aplicações: como garantir que o cálculo está certo ou que erro cometido foi prejudicial ao todo do problema? Deste modo, apresentamos esse livro: contém aplicações seguidas das discussões de alguns dos principais erros observados nas resoluções de exercícios. Breve resumo é apresentado. TODAVIA, o foco é entender o que está sendo usado. ntoine-de Ou seja, dado que o “essencial é invisível aos olhos” ( A Saint-Exupery: O Pequeno Príncipe), segue-se que esta obra procura dialogar com leitor(a) a resolução e interpretação de situações, usando o mínimo de figuras/imagens.
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Sumário
1ª. LIÇÃO – Revisando principais tópicos do ensino médio ............. 15 2ª. LIÇÃO – Limites: da vivência prática à teoria................................. 52 3ª. LIÇÃO – Limites II: número de euler e aplicações .... .................... 87 4ª. LIÇÃO – Derivadas: denição...........................................................95 5ª. LIÇÃO – Derivadas II: aplicações ..................................................107 6ª. LIÇÃO – Antiderivação… ...............................................................126 7ª. LIÇÃO – Integrais indenidas: vivenciando as regras .................136 8ª. LIÇÃO – Integrais denidas: áreas e volumes sólidos de revolução. Por quê? ............................................................................142 9ª. LIÇÃO – Interagindo com técnicas de integração ......................150 10ª. LIÇÃO – Novos desaos… novas técnicas de integração . ... .... 157 11ª. LIÇÃO – Integrais impróprias… para que servem? ...................163 12ª. LIÇÃO – Vivenciando diversas aplicações...................................168
Referências ...........................................................................................179
1º. P Passo: Pas assso: o:
Operaçõe Oper Operações ações numérica numé numéricas ricas s básicas... básicas...
Retornando ao desafio inicial... inicial... onde está está o erro no desen volvimento dos argumentos abaixo? i. Sabemos que -1 = (-1)³, pois (-1).(-1).(-1) = -1. 6/2
ii. Podemos Podemos reescrever reescrever (-1)³ como (-1) (-1) , haja haja vist vistaa 3 = 6/2 6/2.. nterpre rpreta tad da como omo a raiz raiz de ord ordem “c” de “a” “a” iii. De ab/c ser inte 6/2 eleva ele vado do a “b”, “b”, segu seguee-se que (-1) é a raiz quadrada de “menos “menos um” ele eleva vado do à sexta sexta potênci potência. a. 6 iv. Como (-1) = 1, 1, fica ficamo moss com com a raiz raiz quad quadra rada da de um. um. v. Ora, Ora, raiz raiz quadra quadrada da de um um é um, um, daí, daí, -1 = 1??? 1??? Resumind Resumindo o em símbolos: símbolos:
1 =⏟ (1) =⏟ (1) =⏟
(1) =⏟ √1 =⏟ 1
segue-se -se que que há um erro. erro. Onde? Onde? Logo, Logo, como como 1 ≠ -1, segue Para Para come começa çarr a argu argume ment ntar ar,, consi conside dere re o jogo jogo dos dos quat quatro ro- - quatro...
Podemos Podemos escrever escrever de 0 a 9 usando usando quatro quatro número númeross 4 e os sinais:
~ 15 ~
Da adiçã adição: o: + Da subtra subtração ção:: Da multiplica multiplicação: ção: * Da divi divisã são: o: / e Parênteses: ( ).
Por exempl exemplo, o, 0 = 4 + 4 – 4 – 4 ou (4 – 4)/(4 4)/(4 + 4) ou ou també também m (4 – 4)*4 4)*4/4 /4.. Per Perce ceba ba que que há há mais mais de uma uma mane maneir iraa de escr escrev ever er um número inteiro dado (entre zero e nove, incluindo extremos). A import importânc ância ia deste deste jogo jogo está está no uso coeren coerente te dos par parênênteses e das operações. operações. Por exemplo, 4 + 4/4 não é o mesmo que (4 + 4)/4. No primeiro caso, caso, inicialmente calculamos a divisão de 4 por 4 e o resultado é acrescentado de de 4, perceba uso dos parênteses (4 + 4/4 = 4 + 1 = 5). No segundo caso, resolvemos primeiro os parênteses, 4 + 4 = 8.Assim O mresult ressendo, ultado ado escrever é divid di vidido ido por 4.QUATRO Nest NesteeRO caso, caso, a respost res aé dois. Assi esc rever, , usando QUAT quatros quatr osposta os números meros de de 0 a 9.
Antes de olhar olhar uma uma resposta resposta dada, dada, quebre quebre um um pouco pouco a cabeça... 1 = (4 + 4)/(4 + 4) 2 = 4*4/(4 + 4) 3 = (4 + 4 + 4)/4 4 = 4 + (4 – 4)/4 5 = (4*4 + 4)/4 6 = (4 + 4)/4 + 4 7 = 4 + 4 – 4/4 8 = 4*4/4 + 4 9 = 4 + 4 + 4/4 Caríss Caríssimo imo leitor leitor e prez prezada ada leitor leitora, a, você vocêss podem podem fornec fornecer er de outra maneira maneira os valores valores indicados? indicados? (...)
~ 16 ~
Algumas propriedades básicas (que são mais utilizadas no Cálculo Cálculo Diferenci Diferencial al e Integral Integral e que apresenta apresentam m maior índice índice de erros): i. No produto de dois números com sinais contrários, o resultado é um número negativo. Exemplo: (+3) x (-4) (-4) = -12. -12. ii.
iii.
iv.
(ac)b = ac.ab . Exemplo: Exemplo: (2.4)³ (2.4)³ = 2³.4³
desde que a ≠ 0. Exemplo: = 2 = a
√a = a desde que... (argumentaremos um pouco
mais adiante!) v v..
Sendo Sendo “a” “a” e “b” “b” reai reais, s, (a + b)² b)²
= a² + 2ab 2ab + b². b². n Cuidado!!! (a ( a + b) ≠ a + b . n
n
+ IIdem: dem: + Na dúvida... faça testes numéricos. 5 i.
√ √ √ Por exemplo, √9+16 √9 + √16 √25 =
3+4=7
Em se tratando de frações: + = , onde “a”,
“b”, “b”, “c” “c” e “d” “d” são são núm númer eros os reai reaiss e send sendo o b e d não não nulo nulos. s. Cuidado!!!
= + = + . Há discentes que
“cortam” “cortam” o b...
= Se isso fosse verdadeiro, então = 10? Mesma recomendação... NÃO PODEMOS TER =
, 0
O módulo... || = 2 , < 0. Exem xemplos plos:: |7| |7| = 7 e |-3 |-3,4 ,4|| = 3,4 3,4.
ii.
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a. |u| < a significa todos os valores de “u” entre “-a” e “a”. |u| > a significa todos os valores de “u” menores que “-a” ou maiores que “a”. Exemplos: |u|<3-3 4 u < -4 ou u > 4 Na dúvida... teste valores numéricos. Imagine u = -5. Logo | u | = 5. Como – 5 < - 4, segue-se que u < -4. Exemplos:
(1). Se x + 1/x = 3, qual o valor de x² + 1/x²? Solução:
Temos a “tendência” de transformar x + 1/x = 3 em uma equação do segundo grau, resolvê-la e, por fim, substituir em x² + 1/x². Não está errada tal linha de raciocínio! Tentem. Apresentamos a seguinte ideia:
² = ², é claro, sendo b
./
= ² = ./ , com x ≠ 0. não nulo. Motivação: ² ²
Para facilitar “visualização”, considere y = 1/x. Assim, x + y = 3 e queremos x² + y². Se queremos o quadrado... algo nos impede de elevar ambos os membros da igualdade x + y = 3 ao quadrado? Vamos tentar: (x + y)² = (3)² Desenvolvendo, x² + 2xy + y² = 9. Como y = 1/x, segue-se que xy = 1 (por quê?). Desta fei ta, organizando: ²+2. (1) + = 9. Ou seja, trocamos xy ² por 1 e y² por 1/x². Por fim, x² + 1/x² = 9 – 2 = 7. (2). Se x + 1/x = 3, qual o valor de x³ + 1/x³?
~ 18 ~
Solução: Como a ideia de elevar ao quadrado “deu certo”, vamos
elevar ambos os membros da igualdade ao cubo. Para tanto, recordar: (a + b)³ = (a + b)².(a + b) – compare com 5³ = 5*5*5 = 5²*5. (a + b)³ = (a² + 2ab + b²)(a + b) – desenvolvendo (a + b)² (a + b)³ = (a² + 2ab + b²).a + (a² + 2ab + b²).b – usando a distributividade: p(r + s) = p.r + p.s. Neste caso, é como se p fosse a ex pressão a² + 2ab + b². (a + b)³ = a³ + 2a²b + b²a + a²b + 2ab² + b³ (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Assim, (x + 1/x)³ = 3³ Desenvolvendo:
( ) + 3( )².
1
1
1
(* + 3(). (* + (*
= 27
+ 3 + = 27 Equivalendo a ³ + 3 + 3 + = 27. Usamos o se guinte fato: = = . Ou seja, se p > q, deixamos Organizando, ³ + 3 ²
expressão no numerador. No caso de p < q, a expressão fica no denominador. Assim, de x + 1/x = 3, temos 3(x + 1/x) = 3(3) = 9. Por quê? Porque apareceu 3x + 3/x no desenvolvimento de (x + 1/x)³. Logo, x³ + 1/x³ = 27 – 9 = 18. Reflita, nobre estudante, sobre as “passagens” realizadas.
Os próximos exemplos envolvem módulo. Motivo: há aplicações onde precisamos determinar um intervalo (para mais de uma variável, região plano ou espacial) para realização da aplicação (nas engenharias, chamamos de condição de contorno). ~ 19 ~
(3). Quais valores de x tornam verdadeira a desigualdade
1| < 3?
|2
Solução: Sabemos que | u | < 3 - 3 < u < 3. Assim, supor u = 2x – 1. Dai, - 3 < 2x – 1 < 3.
queremos apenas o “x”, vamosMotivo: isolar. Inicialmente, somarComo “1” a cada membro da desigualdade. há o “-1”. E a – a = 0. Deste modo, -3 + 1 < 2x – 1 + 1 < 3 + 1. Que equivale a -2 < 2x < 4. Por fim, dividir ambos os membros da desigualdade por 2, o coeficiente do x. Consequentemente: -1 < x < 2.
(4). Quais valores de x tornam verdadeira a desigualdade |2
11| < 3?
Solução: Sabemos que | u | < 3 - 3 < u < 3. Assim, supor u = 2 – 11x. Daí, - 3 < 2 – 11x < 3. Replicando raciocínio anterior, subtrairemos 2 de cada membro da desigualdade ( percebam que realizamos a operação inversa!). Portanto: – 3 – 2 < 2 – 11x – 2 < 3 – 2 – 5 < – 11x < 1. Por fim, dividir ambos os membros da desigualdade por “ -11”.
ATENÇÃO! Dividir por “–11” equivale a multiplicar por “– 1/11”. SEMPRE que multiplicamos uma desigualdade por um valor negativo, ela INVERTE o sinal. Em símbolos: ã < , < , ã > , De volta ao problema, >
> { < > . ~ 20 ~
Agora é sua vez... Estes exercícios serão resolvidos, direta ou indiretamente nos próximos passos ou serão comentados no final desta lição. Recomendamos que tentem, reflitam nas etapas que devem ser seguidas. 1. Como se lê: (a + b)²? 2. Como se lê: a + b²? 3. Onde está o erro no desenvolvimento do 1 = -1, apresentado no início deste tópico? 4.
Assim como =
=
√ √
= 1, segue-se que qual-
quer número dividido por ele mesmo é igual a “1”. 5. Uma criança argumentou que se tem uma laranja e não vai dividir com ninguém, então sobra a laranja. Idem se forem duas ou três laranjas... Escreveu, para ilustrar seus
pensamentos, os seguintes símbolos: = 1; = 2;… E agora? Podemos argumentar que 1 dividido por 0 é igual a 1?
2º. Passo:
Função Polinomial do 1º Grau
A função polinomial do primeiro grau é do tipo f(x) = ax + b, onde a e b são reais, com a ≠ 0. A variável x é a variável real independente. Podemos indicar y = f(x) como a variável dependente. Qual seu domínio? Antes de abordar mais detalhes, apresento uma ilustração realizada com um grupo de crianças cegas, entre oito e onze anos de idade. Formar fileira de quadrados com palitos... Fizemos um quadrado com um palito de lado. Em seguida, acrescentamos mais três palitos para formar um segundo quadrado. Solicitamos que um aluno fizesse o mesmo...
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Figura 03 – fileira de quadrados
Pedimos que ele dissesse quantos palitos foram utilizados para compor a fileira com três quadrados, depois com quatro e depois com cinco. Ele contou e respondeu, respectivamente, 10, 13 e 16 palitos. Solicitamos que fornecesse a quantidade de palitos para formar seis, sete e dez quadrados. Para os dois primeiros não demorou em responder: 19 e 22. Mas, para dez quadrados enfileirados, não soube responder.
Nobre leitor(a), verifique as contas! Será que de fato são necessários 19 palitos para o sexto quadrado? Tente “por construção”, sétimo quadrado. isto é, forme o sexto quadrado... depois o Indagamos como havia encontrado os valores 19 e 22. Segundo ele “basta somar três palitos, pois estou colocando três palitos”. Solicitamos que desconstruísse a figura e refizesse obser vando outra maneira de formar a figura. Desta vez ele conseguiu responder a quantidade de palitos para formar dez quadrados enfileirados, para tanto, foi fazendo contas com os dedos e dizendo em voz baixa com quantos quadrados ele estava: Com cinco quadrados eu tenho 16 palitos; Com seis quadrados, eu tenho 16 mais três que fornece 19; Para sete quadrados... 19 mais três fornece 22; Para ter oito quadrados... 22 mais três resulta 25; 25 mais três resulta 28, e eu fico com nove quadrados; 31 palitos é a resposta, pois é 28 mais três.
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Fizemos uma intervenção... segurando nas mãos dele separamos o primeiro quadrado como sendo um palito mais três palitos. Para o segundo quadrado, colocávamos mais três palitos, assim, para formar o segundo quadrado nós precisávamos de um palito mais dois grupos de três palitos.
Figura 04 – construção da fileira de quadrados
Para o terceiro quadrado, seriam necessários três grupos de três palitos e um palito que se encontrava no canto da mesa. Perguntamos se ele estava entendendo o que estávamos fazendo. Ele respondeu que sim. Por sua vez, quando solicitado para dizer como seria a construção para o próximo quadrado, ele ficou calado. ideia prática o número de palitos, y,Neste comoexemplo, sendo a aexpressão y =é1escrever + 3x, onde x é a quantidade de quadrados.
Os exemplos a seguir podem ser encontrados, direta ou indiretamente, nos nossos livros de referência. “A poluição atmosférica em grandes cidades aumenta durante andamento de um dia. Em certa ocasião, a concentração de poluentes no ar, às 08:00 h, era de 15 partículas, em cada milhão de partículas, e, às 12:00 h, era de 60 partículas, em cada milhão de partículas. Admitindo que a varia ção de poluentes no ar durante o dia é linear em relação ao tempo, qual o número de partículas poluentes no ar em cada milhão de partículas, às 16:00 h?”
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Solução:
Quando a variação for LINEAR, significa dizer que faremos uso da função y = ax + b. Nosso problema é, inicialmente, determinar “a” e “b”. Considere x o tempo (aqui em horas) e y a quantidade de partículas, em cada milhão de partículas, em determinada hora. Da informação obtida na segunda linha “ (...) às 08:00 h, era de 15 partículas, em cada milhão de partículas ...”, temos: x =8ey=15. Na terceira linha, “às 12:00 h, era de 60”, assim: x = 12 e y = 60. Substituindo em y = ax + b tais informações, temos: (1) 15 = 8a + b (2) 60 = 12a + b Há diversas formas de resolver, uma delas é isolar b em (1) e substituir em (2). – 8a Assim, 15+ Daí, 60 b==12a b = 12a + (15 – 8a) = 15 + 4a. Organizando, 60 = 15 + 4a 4a = 60 – 15 = 45 a = 45/4 = 11,25. Por fim, b = 15 – 8a = 15 – 8(45/4) = 15 – 90 = -75. Logo, y = 11,25x – 75. Por fim, às 16:00 h, isto é, x = 16 y = 11,25.(16) – 75 = 105. EXEMPLO II: A tabela a seguir indica a variação da temperatura da água com a profundidade, em relação ao nível do mar. Profundidade (m) o Temperatura ( C)
0 30
100 26
200 20
500 12
1000 4
Admitindo LINEARIDADE entre duas medições consecutivas, qual a temperatura estimada aos 140 m de profundidade? ~ 24 ~
Solução: Interessante salientar é: “como é construída a tabela?”
Uma maneira está associada a determinar intervalos, no caso de profundidade, com mesmo tamanho. Pode ser tamanho de 1 m em 1 m e analisa-se a temperatura, ou de 5 m em 5 m... é claro que, com uma maior quantidade de observações, melhor a aproximação da realidade. Os dados da tabela e, com a informação da linearidade entre duas medições consecutivas, permite-nos (lembrar que “essencial seja invisível aos olhos”, logo não faremos figuras!!!): Seja x a profundidade (em metros) e considere y a temperatura (em oC) para determinada profundidade. Como queremos a temperatura para a profundidade de 140 m, interessa-nos o intervalo entre as medições que são anteriores e posteriores a tal valor. Ou seja, x = 140 está entre 100 e 500. Ora, quando x = 100, segue-se que y = 26. (*) Quando x = 500, temos y = 20. (**) Sendo podemos De (*),linear, 26 = 100a + b. admitir y = ax + b. De (**), 20 = 500a + b. Isolando “b” em (*), temos: b = 26 – 100a Substituindo em (**), temos: 20 = 500a + (26 – 100a) Por conseguinte, 400a + 26 Organizando, 20 – 26 = 400a a = – 6/400 = – 0,015 Assim, voltando para (*), b = 26 – 100a = 26 – 100.(0,015) = 27,5 Daí, y = – 0,015x + 27,5, desde que x esteja entre 100 e 500, isto é, 100 ≤ x ≤ 500 (e 20 ≤ y ≤ 26). Pois, para outros valores, há outras expressões. Enfim, para x = 140, y = – 0,015.(140) + 27,5 = 25,4 RESUMO...
Percebemos nestes dois exemplos que, se a > 0 a função é crescente (os valores de y aumentam quando os valores de x
~ 25 ~
aumentam) aumentam) e, caso caso a < 0, a função função é decrescente decrescente,, isto isto é, os os valores res de y dimi diminu nuem em quan quando do os de x aum aumen enta tam. m. Agora Agora é sua vez. vez... .. Qual Qual a tem tempe pera ratu tura ra quan quando do a pro profu fund ndid idad ade e for for de 800 m? Lemb Lembrre-s e-se, 800 800 está está entr entre e 500 500 e 1000 000, log logo, o, y deve eve estar entre 4 e 12.
3º. P Passo: Pas assso: o:
Função Funçã Função Polinomi Polinomial al do do 2º Grau
Ante Antess de gerar gerar uma uma expres expressão são para para função função polin polinomi omial al do segund segundo o grau grau,, vamo vamoss reso resolve lverr o “ago “agora ra é sua sua vez” vez” do 1º passo. passo..... conv conver erse semo moss um pouco: pouco: quai quaiss difi dificu culd ldad ades es vo você cê teve teve?? Enun Enunci ciaado da questã questão? o? Operaç Operações ões matemá matemátic tica? a? Se não teve teve dificu dificulda ldades des,, vamos vamos à soluçã solução: o: n, co com m ≠ 0 (e não y = ax + Linearidade y = mx + n, b? Tant Tanto o faz faz o uso uso das das letra letras, s, o impo importa rtante nte é fica ficarr claro claro que que há um valor valor atrelado à variável variável independente independente – isto é, um número não nulo nulo que multiplic multiplicaa x – acresc acrescido ido (ou (ou subtraí subtraído) do) de de um tertermo independente). o Prof Profun undi dida dade de 500 500 m e temp tempera eratu tura ra 12 C x = 500 e y = 12. Daí, Daí, (i) (i) 12 = 50 500m 0m + n Profun Profundid didad adee 1000 1000 m e temper temperatu atura ra 4 oC x = 1000 e y = 4. Daí (ii) 4 = 1000m + n Mesma Mesma estrat estratégi égia, a, “m” “m” ocupan ocupando do lugar lugar do “b”. “b”. De (i), n = 12 – 500m 500m.. Em Em (ii (ii), ), 4 = 10 1000 00m m + (12 (12 – 500m) = 500m + 12. Organizando Organizando,, 4 – 12 = 500m m = – 8/500 = – 0,016. Voltando Voltando para para (i), n = 12 – 50 500m 0m = 12 – 500.( – 0,016 ,016)) = 12 + 8 = 20. Expressão: y = – 0,016x 0,016x + 20, 20, com com 500 ≤ x ≤ 1000 1000 (e (e 4 ≤ y ≤ 12). 12). Por Por fim, fim, y = – 0,01 0 ,016. 6.(8 (800 00)) + 20 = 7,2 7,2 ~ 26 ~
Considere Considere a seguinte seguinte situação situação para para introduçã introduçãoo da função função do 2º grau... dura durant nte e uma uma cris crise e atre atrela lada da à grip gripe e das das aves aves,, algun algunss pro produt dutores ores foram foram acon aconselh selhados ados a constr constru uir seus seus aviá aviários rios em grand grandes es galpõe galpõess refrig refrigera erados dos (...). (...). Nos galpõe galpões, s, cada cada aviár aviário io de um pro produ duto torr espe especí cífi fico co era era cons constr truí uído do no form format ato o reta retanngula gularr usan usando do tela telass de aram arames es com com 20 m. Desc Descon onsi side dera rand ndo oa altu altura ra das das tela telas, s, quai quaiss deve devem m ser ser as medi medida dass do retâ retâng ngul ulo o de modo modo que sua área área seja seja a maior maior possív possível? el? Vamos Vamos “trad “traduz uzir ir”” para para a matem matemáti ática. ca. A expressão “for formato ato reta retan ngular lar usan sando tela telass de araara-
está associada ao perímetro. Com efeito, a tela está está conto contorna rnando ndo o aviár aviário io (se (se fosse fosse mai maiss de uma vez, vez, dever deveria ia ser informado informado no contexto contexto do problema). problema). Ou Ou seja, indican indicando do por x e z as medida medidass dos lado ladoss do retân retângul gulo, o, segue segue-se -se que 2x + 2z = 20. 20. Ou Ou seja seja,, (*) (*) x + z = 10. 10. A área de um retâ retâng ngul uloo é (**) (**) Área Área = xz. xz. Note Note que que ela ela é uma função função de duas variáveis variáveis.. Como ainda não sabemos sabemos trabatrabames com 20 m”
lhar lhar (de vamos maneir maneiraatornar sign iva)função ) com de funçõe funuma çõessúnica com variável. mais mais de uma variável, torsignifi narificat a cativa área De (*), (*), z = 10 – x. Em (**), (**), Área Área = x(10 x(10 – x) = – x² x ² + 10x. 10x. ATENÇÃO!!! Sendo área de um retângul retângulo, o, x, medida de um dos dos lados, lados, não pode pode ser negat negativo ivo.. Assim, Assim, x > 0. Pelo Pelo mesmo mesmo motiv motivoo z > 0. Como Como z = 10 – x, segu seguee-se se que que 10 – x > 0 x < 10. Assim Assim,, área área = f(x) f(x) = 10x 10x – x² desde que 0 < x < 10. Paremos um pouco pouco (já (já que o foco foco é MAIOR área). Uma função função polino polinomia miall do segu segundo ndo grau grau é do tipo tipo f(x) =
com a, b e c reais reais e a ≠ 0. Como Como o foco foco deste deste ax² + bx + c, com
material são as aplicações, aplicações, vamos direto ao quadro quadro resumo: Se o valor de de “a” “a” for... for...
POSITIVO NEGATIVO
O gráfico gráfico é do tipo... tipo...
~ 27 ~
E no VÉRTICE.. VÉRTICE.... Temos Temos MENOR MENOR valor valor Temos Temos MAIOR valor valor
Suas Suas raíz raízes es,, ou valo valore ress que que anul anulam am f(x) f(x),, são são = ±√
. Caso Caso não não recorde recorde ou queira queira entende entenderr a demonstrademonstração, favor favor acessar acessar site da editora. editora. No vértice, o gráfico tem simetria... = = =
De volta ao problema problema da gripe gripe das aves, aves, f(x) = –x² + 10x. 10x. Ou seja seja,, re repare pare que que a = –1, b = 10 e c = 0. Sendo a < 0, te temos MAIOR valor. Entendendo, queremos o x v. Daí, = =
() = 5
Logo, Logo, z = 10 – x = 10 – 5 = 5 . Concluímos Concluímos que que o retângulo retângulo de maior área com com perímetro perímetro constan constante te (dado) (dado) é um quadrado quadrado.. EXEM EXEMPL PLO O II – Caso Caso um dos dos lado ladoss do aviá aviári rioo foss fossee uma uma long longa a
parede parede Solução: retilínea retilínea... ... quais quais as medidas medidas do do retângulo retângulo de maior maior área?
Neste caso, seja x as medidas medidas dos lados perpendicula perpendiculares res à parede parede e conside considere re z a medida medida do do lado lado parale paralelo lo à pare parede. de. Assim Assim,, z + 2x = 20 (pois (pois não não será usad usadaa tela tela na na pared parede). e). Área rea = xz = x(20 – 2x) = –2x² + 20x, com 0 < x < 10 (mesmo domínio?). Maior área... x v = –20/2( –2) = 5... e z = 20 – 2x = 20 – 2.(5 2.(5)) = 10. 10. Vamos dialogar... dialogar... descreva descreva o passo a passo deste exemplo, exemplo, comparando com as etapas indicadas no Exemplo I. EXEMP EXEMPL EXEMPLO LO O III – O exemp exemplo lo a seguir seguir está atrela atrelado do às aplic aplicaçõ ações es do Cálculo Cálculo para Economi Economiaa (Leithold (Leithold é principal principal referencial referencial usado, usado, mas tal exempl exemploo pode pode ser encon encontra trado do nos nos demais demais livros livros aqui indica indicado dos). s).
~ 28 ~
Função Demanda É a função que a todo preço p associa
a demanda ou procura de mercado ao preço p é denominada função demanda ou função procura de mercado da utilidade no período considerado. A representação gráfica desta função constitui a curva de demanda ou de procura da utilidade. A quantidade procurada (demanda) de uma mercadoria é função (em geral LINEAR) do preço: q = f(p). Se Linear, q = f(p) = ap + b. Função Custo Total Considere q a quantidade produzida
de um produto (em vez do x tradicional). O custo total depende de q e de custos fixos (como encargos). O Custo Total (dado por C T ) é a soma desses custos, C T = CF + q.C v onde CF é o custo fixo e C v é o custo variável atrelado à quantidade produzida. Admitindo que sejam vendidas q unidades do produto, o ganho (ou receita) de vendas depende de q e a função que relaciona receita com quantidade é chamada Função Receita Total
função (denotada por R). Na demandada. maioria das vezes, o preço unitárioreceita (p) varia com a quantidade A receita total pode ser expressa através da função R = q.p Por fim, a função lucro total (L) é a diferença entre a função receita e a função custo total, L = R - C T Aplicação: O dono de uma tapiocaria verificou que, quando o preço unitário de cada tapioca era de R$ 10,00 o número de tapiocas vendidas era 150 por semana. Verificou também que, quando preço passava para R$ 8,00, a quantidade vendida era de 200 unidades. Considere o custo de uma tapioca de R$ 6,00. Determine: A. A função demanda; B. A função Receita; C. A função Lucro; D. Qual é a quantidade vendida que maximiza o lucro semanal. E. Qual o lucro máximo da tapiocaria? F. Qual o preço que maximiza o lucro? ~ 29 ~
Solução:
Função DEMANDA. Temos q = f(p) = ap + b, onde “a” e “b” são reais, e a ≠ 0. Da informação “preço R$ 10,00 com venda (demanda) de 150”, temos: 150 = 10a + b (1). Idem para “preço passava para R$ 8,00, a quantidade ve ndida era de 200” implica 200 = 8a + b (2). Assim, de (1) b = 150 – 10a Substituindo em (2), 200 = 8a + (150 – 10a) = –2a + 150. Organizando, 200 – 150 = –2a –2a = 50 a = –25 Assim, b = 150 – 10( –25) = 150 + 250 = 400. Por conseguinte, q = –25p + 400. Ou 25p = 400 – q p = –0,04q + 16
Função RECEITA (em função de q... mas pode ser em função de p...) R = pq = q( –0,04q + 16) = –0,04q² + 16q Função L = R –LUCRO C T = –0,04q² + 16q – 6q Obs.: 6q é o custo de R$ 6,00 de cada tapioca. Assim, L = –0,04q² + 10q Maximização do LUCRO Como L = aq² + bq + c (lembre-se, podemos usar q em vez de x...). Como a < 0, tem-se MAIOR. Observe que, neste caso, a = –0,04, b = 10 e c = 0. E o maior está no vértice: = = = 125
(,)
Lucro MÁXIMO Basta substituir na fórmula do lucro o “q” que maximiza.
Ou seja, L = –0,04q² + 10q = –0,04(125)² + 10.(125) = –625 + 1250 = 625. ~ 30 ~
Lembre-se... lucro por semana! Preço que maximiza lucro: p = – 0,04q + 16 = – 0,04(125) + 16 = – 5 + 16 = 11
O que podemos inferir? Agora é sua vez... Um laboratório testou a ação de uma droga em uma amostra de 720 frangos. Constatou-se que a lei de sobrevi vência do lote de frangos era dada pela relação V(x) = ax² + b, onde V(x) é o número de elementos vivos no tempo x (meses). Sabendo-se que o último frango morreu quando x = 12 meses após o início da experiência, qual a quantidade de frangos que ainda estavam vivos no 10 mês?
4º. Passo:
Função Exponencial
Comecemos com o “ agora
é sua vez”...
Para iniciar resolução, reflita: Qual sua idade, em anos, no ano que você nasceu? ... A minha era zero... E a sua também! Assim, quando no enunciado fala-se que INICIALMEN TE havia 720 frangos, segue-se que V(0) = 720. Deste modo, V(0) = a(0)² + b = b .: b = 720. Se o último morreu no 12º mês... então V(12) = 0. Desta feita, V(12) = a(12)² + 720 = 0 a.144 = – 720 a = – 5. Por conseguinte, V(x) = – 5x² + 720. Por fim, V(10) = – 5.(10)² + 720 = 220.
~ 31 ~
Para introduzir o assunto função exponencial, considere a seguinte atividade: Segredo das matrizes As tabelas, ou matrizes, que serão apresentadas, indicam um jogo (podem ser adaptadas para pessoas com deficiência visual...). Antes, vale ressaltar que todo e qualquer número natural pode ser decomposto como somas de potências do número 2. 1. Lembremos que: 1 = 20; 2 = 21; 4 = 22; 8 = 23; 16 = 24. E, generalizando, 2 n = 2 x 2 x ... x 2 (produto do 2 por ele mesmo n-vezes, sendo n um número natural). Assim, para escrever um número natural qualquer como soma de potências de base 2, basta inicialmente observar qual a potência mais próxima do número, sendo menor que este. Acompanhe os exemplos: a. Número 9. Como 9 > 8, vamos retirar este número. Daí, temos que 9 – 8 = 1. Sendo 1 = 2 0, segue-se que 9 = 1 + 8 (20 + 23). b. Número 23. Temos que 2 5 = 32 > 23. Como 2 4 = 16 < 23, fazemos a diferença entre 23 e 16. 23 – 16 = 7. Agora, temos o número 7. Percebemos que 7 < 8 (= 2 3), bem como 7 > 4 (= 22 ). Daí, fazendo a diferença, 7 – 4 = 3. Notemos que 3 > 2 (= 2 1 ). Realizamos a diferença entre 3 e 2, 3 – 2 = 1. Assim, “reconstruímos” 23 = 16 + 4 + 2 + 1 (soma dos números retirados). Exemplos gerais: a) 81 81 – 64 = 17 81 = 6 4 + 1 6 + 1 . ~ 32 ~
17 – 16 = 1
b) 62
62 – 3 2 = 3 0 14 – 8 = 6 6 – 4 = 2
30 – 1 6 = 1 4
62 = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 . Como podemos “explorar” matematicamente matematicamente o segredo segredo das matrizes?
Potências de de base dois. dois. Você, caro leitor ou prezada lei-
tora, ppedir ode dar dque ar uma folha de papel paao pelmeio. para Vale uma uma lembrar criança criança (ou (que ou pessoa) epode dobre a folha dobrar é igual a multiplicar. multiplicar. Realizan Realizando do três dobras, dobras, por exemplo, plo, tere teremo moss 2 x 2 x 2 = 8 retâ retâng ngul ulos os.. Continue seguindo a “lei “lei de formação formação”. ”. Para Para a tercei terceira ra dobra, deixe o papel dobrado no tamanho do menor retângulo retângulo e dobre-o ao meio. Abrir e contar para verificar que existem oito retângulos. Observe que a área de cada retângulo pequeno é igua iguall a áre áreaa do do pap papel el (retâ (retâng ngul uloo gran grande de)) div divid idid idaa por por W = 2n, onde n é o número de dobras. Outra utilidade matemática desta brincadeira: figuras semelhantes. Perceba uma situação-problema: quantas cerâmicas de 20cm por 30cm são necessárias para cobrir um piso de 8m por 12m? Neste exemplo, o piso é como se fosse o papel. As cerâmicas podem ser comparadas às dobras. Assim, quantas dobras são necessárias? Da observaçã observaçãoo anterior, anterior, Área Papel Papel (Área Piso) Piso) = Área reretângulo pequeno (cerâmica) x W(número de cerâmicas). Logo, × Número de cerâmicas = = × = 1600.
.
Lemb Lembre re-s -see que que 1 m = 100 100 cm.. cm.... daí, daí, 8m 8m = 800c 800cm m e 12m 12m = 1.20 1.200c 0cm m Agora, observe as seguintes tabelas:
01
05
09
15
Tabe Tabela la A
07
13
11
03
~ 33 ~
02
14
15
07
Tabe Tabela la B
03
10
11
06
05
04
06
13
Tabe Tabela la C
07
14
12
15
09
08
15
10
Tabe Tabela la D
11
13
14
12
Vamos adivinhar números pensados? Nas tabelas acima estão dispostos números de 01 a 15. Escolha um número de, 01 a 15, 15, e escr escreva eva em um pedaço pedaço de papel papel à parte parte (para (para gara garanti ntirr credibilidade!). Em quais tabelas se encontra o número? Obser ve atentamente... Caso você diga que o número está nas tabelas C e D, o número número em questão questão é o número número 12. Caso Caso esteja esteja apenas apenas em B, o número é o 02. Qual Qual o segred segredo? o? Você lembra que todo e qualquer qualquer número natural pode ser decomposto decomposto em em uma soma de potências potências de de base dois... dois... pois pois bem, bem, neste neste caso caso,, o maio maiorr núm númer ero o é 15 e 15 15 = 1 + 2 + 4 + 8 (quatro números e quatro tabelas). 01
05
09
15
Tabe Tabela la A
07
13
11
03
02
14
15
07
Tabe Tabela la B
03
10
11
06
~ 34 ~
04
05
06
13
Tabe Tabela la C
07
14
12
15
08
09
15
10
Tabe Tabela la D
11
13
14
12
Repare Repare que estes estes números números foram colocados colocados no canto canto superi superior or esquer esquerdo do de cada cada tabela tabela.. Mas você você pode pode colo colocar car em qualquer qualquer posição posição de de sua preferênci preferência. a. Como Como é que as as tabelas tabelas foram sendo sendo completada completadas? s? Com raciocíni raciocínio o inverso inverso às atividaatividades anteriores...
Núme Número ro 1, fica fica na tabe tabela la A; Núme Número ro 2, fica fica na tabe tabela la B; Número Número 3 = 1 + 2, fica nas tabela tabelass A e B; Núme Número ro 4, fica fica na tabe tabela la C; Número Número 5 = 1 + 4, fica nas tabela tabelass A e C; Número 6 = 2 + 4, fica fica nas tabelas B e C; ... Núme Número ro 8, fica fica na tabe tabela la D; Núme Número ro 16, 16, fic ficaa na tabe tabela la E; Número 18 = 2 + 16, 16, fica nas tabelas B e E; Número 21 = 1 + 4 + 16, fica nas tabelas A, A, C e E.
Está Está clar claraa a idei ideia? a? Em qu quai aiss tabe tabela lass deve devemo moss colo coloca carr o número número 13? 13? Como Como 13 é igua iguall a 1 + 4 +8, +8, deve deve ser ser coloca colocado do nas nas tabelas A, C e D. Caso queiramos números maiores, como devemos proceder? der? Bem, Bem, a próxim próximaa potênc potência ia de base base dois dois maior maior que 8 é 16, a próxima próxima maior maior que 16 16 é 32, 32, e assim assim sucessiva sucessivamente mente.. No caso de querermos seis tabelas, como 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63. Fazemo Fazemoss uma uma seis seis tabel tabelaa e o núme número ro a ser escolh escolhido ido deve deve estar estar entre 01 e 63.
~ 35 ~
Quantas linhas e colunas devemos ter? Bem, na tabela A devem ser colocados todos os números ímpares... Entre 01 e 31, incluindo os extremos, há 16 números. Daí optamos, por estética, em quatro linha e quatro colunas. Podiam ter sido duas linhas e oito colunas (compare com jogo dos pontinhos para saber número de linhas e de colunas). Entre 01 e 63, incluindo os extremos, há quantos números? São eles, 01, 03, 05, ..., 59, 61 e 63. Logo, são 32 os números. Podemos formar tabelas com quatro linhas e oito colunas (ou uma escolha sua, tente...)
Assim, formamos “aleatoriamente” Já não vamos construir tabelas para uma escolha entre 01 e 123, incluindo os extremos. Todavia, ao fazer as sete tabelas, se uma pessoa disser que o número escolhido está nas tabelas A, C e G, garanto que o número em questão é 69. Com efeito... 0
A 1=2; B 2 = 21; C 4 = 22; D 8 = 23; E 16 = 24; F 32 = 25; G 64 = 26; “Basta” somar... A (1) + C (4) + G (64 ) = 69.
No exemplo apresentado trabalhamos com 2x, sendo x um número natural. Outros exemplos estão relacionados diretamente com a função exponencial, como é o caso do Montante (M ou Cn ) de uma capital inicial (C) aplicado durante n períodos a uma taxa i (correspondente ao período, isto é, se período mensal ataxa é mensal, etc), no sistema de juros compostos. Com efeito, supondo aplicação mensal, com taxa i(mensal). Após um período, C1 = C + iC. ~ 36 ~
Após dois períodos, C2 = C1 + iC1. Após três períodos, C3 = C2 + iC2 ... Após n períodos, Cn = Cn-1 + iCn-1 Organizando a escrita em função de C, i e n, temos (por percepção): C = C + iC = C(1 + i) C12 = C1 + iC1 = C1(1 + i), substituindo C1 por C(1 + i), temos que C2 = C(1 + i)(1 + i). Se, para facilitar “visualização” x = 1 + i, então (1 + i)(1 + i) = x.x = x². Por conseguinte, C 2 = C(1 + i)². Analogamente seguem demais construções, até: Cn = C(1 + i)n
No caso da taxa conhecida, seja k = 1 + i, daí, temos k ... Por sua vez, podemos trabalhar com subunidades de períodos, entendendo, você pode fazer uma aplicação com n
taxa anual sendo a capitalização mensal... Definimos... : tal que f(x) = kx, com k > 0 e k ≠ 1. Exemplos:
1) 2)
Sejam f(x) = 2x e g(x) = (2/3)x. Complete a tabela: x= f(x) = g(x) =
3)
-10
-5 -5
-1
0
1
5
10
Generalizando... o que podemos concluir em relação à
função f(x) = kx no caso de x ser muito grande, por exemplo 100 ou 1000 para: (a) k > 1 e (b) 0 < k < 1? 4) Qual deve ser valor de x tal que f(x) = 3 x s eja igual a 0,037037... ~ 37 ~
Resolvendo...
1)
Basta substituir os valores de x. Para f(x) quando x
./
for 5, f(5) = 25 = 32. Idem para g(-5) =
. Lembrando que a -1 = 1/a.
. /
= = =
2) Note que: 1 < k, ao serem multiplicados ambos os membros da desigualdade por k, temos: k < k². Repetindo raciocínio, k² < k³. fazendo-o sucessivamente, a expressão aumenta. Logo, se x for muito grande (em breve apresentaremos um símbolo e um conjunto de aplicações para tal situação), k x também é muito grande (k > 1). Agora, sendo 0 < k < 1 0 < k² < k 0 < k³ < k² (repetindo ideia de multiplicar, sucessivamente, ambos os membros da desigualdade por k). Logo, x muito grande implica k x cada vez mais próximo de zero. Faça o teste com calculadora... 3) Temos uma dízima periódica 0,037037... Como é repetição a cada três termos, basta dividir por 999. Com efeito, se fosse 0,kkk... Supor y = 0,kkk... Daí, 10y = k,kkk... (lembre-se, são infinitos ks após vírgula). Assim, 10y – y = k,kkk... – 0,kkk... 9y = k .: y = k/9. Por exemplo, 0,222... = 2/9. Se fosse 0,ababab... Considere u = 0,ababab... Como são dois que se repetem, 100u = ab,abab... Fazendo a diferença: 100u – u = ab,abab... – 0,abab... Por conseguinte, 99u = ab u = ab/99 Exemplo, 0,313131... = 31/99 – use uma calculadora para verificar! Por fim, 0,037037 … = . Simplificando, 37/999 = 1/27 = 1/3³ = 3 -3
~ 38 ~
Logo, f(x) = 3 x = 3-3 x = – 3 Agora é sua vez... Uma planta tem a seguinte característica: a cada dia que passa a área de superfície de um lago por ela ocupada dobra. Se em 53 dias toda a superfície do lago será ocupada por esta planta, quantos dias são necessários para cobrir metade do lago?
5º. Passo:
Função Exponencial x Função Logarítmica
Desta vez não iniciaremos resolvendo o desafio do último passo. Motivo: apresentaremos a inversa da função exponencial. Como questão norteadora, considere a seguinte situação: Estimava-se que a população da Terra cresceria exponencialmente, isto é, a
taxa de crescimento populacional é proporcional à popula- kx
ção presente em dado instante, conforme a função P(x) = Be ,
onde B é a população inicialmente observada, k é chamada constante de proporcionalidade e x é o tempo (em anos). Qual seria a população da Terra em 2025, conforme tal modelo, se em 1975 havia cerca de 4 bilhões de habitantes, e, em 2000, essa era de 6 bilhões? Este problema será resolvido no assunto “derivação”. Está aqui apresentado porque “ser proporcional a” não significa ser sempre uma variação linear (como em regras de três). O número “e” também será trabalhado, com maiores riquezas de detalhes, em tópicos futuros. O importante é, por enquanto, observar a existência de outras funções do tipo f(x) = k x, desde que k... Considere o problema: Aplicando um capital C a uma taxa de juros de 10% ao mês, após quantos meses esse capital dobrará? De Cn = C(1 + i)n queremos saber o valor de n tal que C n = n 2C (dobrar valor do capital...). Ou seja, 2C = C(1 + 0,1) . Lembrar n i = 10% = 10/100 = 0,1. Assim, 2 = 1,1. Como obter n?
~ 39 ~
Aí, torna-se necessária a inversa da função exponencial2... Onde: = = log Ou seja, x, outrora aplicado, fica isolado e y, antes isolado, fica aplicado. A base k... permanece base. Quando k = 10, escrevemos simplesmente logy. Alguns exemplos: Se a = log100 e b = log1000, então quantoSevale soma: a é+porque b? a =a log100 10a = 100. Como 100 = 10², temos 10a = 10² e, por conseguinte, a = 2. Por analogia (verifiquem!) b = 3. Logo, segue-se que a + b = 5. Como estamos trabalhando com potências... a + b = log10 5 = log10².10³... Propriedades principais:
(1) No produto de potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes: = . Como o – logaritmo é a inversa, segue-se que logA + logB = logAB isto é, ao somar dois logaritmos de mesma base, o resultado é o logaritmo do produto de Apor B. (2) De / = tem-se o equivalente logA – logB = logA/B (3) log = e log1 = 0 Alguns exercícios: 1ª. Questão Qual valor de x tal que 2 = 1,1 x ? Solução x Aplicando “log”a em ambos os (3), membros igualdade:Assim, log2 = log(1,1) . Usando propriedade log2 =dax.log1,1.
com base em calculadoras, temos: =
2
,
, ,
7,34
Deixaremos para você, nobre leitor(a), a investigação do domínio da função logarítmica... Usaremos linguagem informal para melhor compreensão, toda via, não “facilitaremos” no rigor matemático
~ 40 ~
2ª. Questão
Em Química, o pH de uma solução é definido como o logaritmo de- + cimal do inverso da respectiva concentração de H 3 O que o . Sabendo-se + cérebro humano contém um líquido cuja concentração de H 3 O 10 -8 é 4,8. mol/l. Qual será o pH desse líquido? Solução
Aplicação direta do conceito:
log
. / = 7,31
= log . / = ,
,
3ª. Questão
A escala Ritcher foi inicialmente destinada a estudar apenas os sismos com srcem numa área específica do sul da Califórnia cujos sismo- gramas eram recolhidos por sismógrafos de torção do tipo Wood-Anderson. Utilizando valores facilmente medidos sobre o registo gráfico do sismógrafo o valor é calculado usando a seguinte equação:
Onde:
³ = 41,62 5
A = amplitude das ondas sísmicas, em milímetros, medida diretamente no sismograma.
x = tempo, em segundos, desde o início do trem de ondas P (primárias) até à chegada das ondas S (secundárias). M = magnitude arbitrária, mas constante, aplicável a sismos que libertem a mesma quantidade de energia. Qual a magnitude de um terremoto se A = 10 6 e x = 3 (de-
safio: procurar as magnitudes dos maiores terremotos registrados!) Solução:
Aplicação direta:
= . / = . / = 7,22 ³ ,
~ 41 ~
³. ,
4ª. Questão -kt Q = Q 0 .e representa a taxa de decaimento de uma substância ra dioativa. Calcule a meia-vida de uma substância radioativa que se desinte gra a uma taxa de 5% (k = 0,05) ao ano. (Meia-vida é o tempo que deve decorrer para que, em certo momento, metade dos átomos de uma substância radioativa se desintegre) Solução: -.0,05t Pela “meia- vida” Q = Qo/2. Assim, Qo/2 = Q0 .e Observação: o logaritmo de base “e” é chamado logaritmo natural e é indicado por “ln”.
De volta ao problema: ½ = e-0,05t . Pela definição de logaritmo, –0 ,05t = ln(1/2) ./ (,) Daí, = = = 13,86
,
,
Agora é sua vez... Se P(x) = Bekx, com P(0) = 4 e P(25) = 6, qual o valor de P(50)? – este é o problema inicial deste tópico. 6º. Passo:
Funções trigonométricas
Você lembra o que é um triângulo retângulo? Desenhe um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c. Seja x ângulo oposto ao cateto de medida b
Relações: Teor. Pitágoras: a²=b²+c² sen(x) = b/a e cos(x) = c/a Rel. fund. Trigonometria: sen²(x) + cos²(x) = 1 Tg²(x) + 1 = sec²(x) (#) Ctg²(x) + 1 = csc²(x) (##)
~ 42 ~
Notas:
tangente de x, = , também usamos tagx , também indicada cotangente de x, = por ctgx secante de x, =
co-secante de x, = , também denotada por cossecx (#) é obtida dividindo sen²(x) + cos²(x) = 1, membro a membro, por cos²(x). (##) é obtida dividindo sen²(x) + cos²(x) = 1, membro a membro, por sen²(x).
( ± ) = ()cos() ± ()cos() cos( ± ) = cos( ) cos() ( )()
Obs.: No CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO o eixo dos “x” corresponde ao eixo dos cossenos e o eixo dos “y” ao eixo
dos senos. Onde ficam a secante, a tangente? Considere figura, sendo Ѳ o ângulo (para evitar confusão com o x e o y usados anteriormente). Descrevendo a figura: imagine um prato plástico circular. Traçar dois diâmetros (segmentos de reta que passam pelo centro do prato) que sejam perpendiculares entre si. A partir do centro considere um segmento como eixo X e o outro como eixo Y. O ângulo, lembrando, é dado no sentido anti-horário. Faça uma marcação qualquer na borda do prato. Chamar P tal ponto. Sendo circunferência de raio unitário (por quê?), segue-se figura:
~ 43 ~
por qual motivo? Vamos investigar? Obs2.: Daí, as demais...
Principais Ângulos: Interessante relembrar como são obtidos. Entendendo. Dada uma folha no formato de um quadrado, onde sabemos que todos os lados possuem a mesma medida e todos os ângulos internos também, e iguais a 90º, unindo-se dois vértices opostos, geramos um triângulo retângulo e isósceles, cujos ângulos agudos valem, cada um, 45º. Se L é a medida de cada lado, a hipotenusa, por Pitágoras, vale √ 2 ... 30º e 60º estão atrelados ao juntar dois vértices de um triângulo equilátero... Ângulo (grau e radianos) o =0 0
Seno 0
30º = π/6 45º = π/4 60º = π/3
90º = π/2
1
Cosseno 1
Tangente 0
1
√ 3
√ 3
2
2
3
√ 2
√ 2
2
√ 3
2 1
2
2
0
1 √ 3
Não existe!
Aplicações: Encontre, se possível: sen(120º); cos(75º); tg(3π/2).
Obs.: Há várias maneiras! Apresentamos uma! É interessante re-
ver outras...
~ 44 ~
Solução:
Para sen(120º) podemos pensar em 120º = 30º + 90º ou 60º + 60º ou 150º - 30º (Ops! Não determinamos, ainda, o 150º!!!). (120 ) = (90 + 30 ) Consideremos: Desenvolvendo,
) + (30 )(90 ) √ (90Pela) cos(30 tabela, substituindo valores, (120 ) = 1 + √ 0=
Para cos(75 ) = cos(45 + 30 ) = ra cos(75 ) = cos (45 + 30 ) = cos (45 ) cos(30 ) (45 ) (30 )
Daí, cos(75 ) =
√ √ √ = √√
Por fim, caso queira, como π = 180º, segue-se que 3π/2 = (3/2).(180º) = 270º. Ou seja, no círculo trigonométrico estamos sob o eixo dos “y”, que corresponde ao eixo dos seno, abaixo da srcem. ./ = = = ) Assim, ( ã . / (...) A função seno associa a cada número real x o seu seno, f(x) = senx. Tem sinal positivo nos 1º e 2º quadrantes, e é negativo nos 3º e 4º quadrantes.
. /
Como, em módulo, o maior valor que assume é um, segue-se que sua imagem é [-1, 1], ao passo que não há restrições em seu domínio. O gráfico da função seno é representado pelo intervalo denominado senóide Oportunamente faremos esboço de gráficos. Assim sendo, focaremos aplicações no assunto “derivadas”, principalme nte as “equações de ondas”. ~ 45 ~
No tópico anterior abordamos a inversa da exponencial. Pois bem, quem é a inversa da função seno? Lembrando que uma função f, em determinado domínio, SÓ possui inversa se, e somente se, f for bijetora, por este moti vo nem todas as funções trigonométricas possuem inversas em seus domínios de definição. TODAVIA, podemos trabalhar com subconjuntos dos respectivos domínios para gerar novas função que possuam inversas. Restringiremos o domínio da função f(x) = sen(x), com domínio no intervalo [ π/2,π/2] e imagem no intervalo [ 1,1]. Por qual motivo? Quando iniciarmos o tópico sobre esboço de gráficos melhor entenderemos. Desta feita, a função inversa de f, denominada por f -1 (x) = arcsen(x) é assim definida: arco cujo seno , denotada por f -1 :[ 1,1] [ π/2,π/2]
Traduzindo... quem é o arcsen(1/2)? A ideia básica é
saber qual o PRIMEIRO ângulo cujo seno vale ½. No caso 30º. Determine: (a) arctg(1); (b) arcsec(√2 ) e (c) arccos(0).
Solução:
Para arccos(0). Qual o primeiro ângulo cujo cosseno vale zero? Resposta: 90º ou π/2. Logo, arccos(0) = 0. Em relação ao
arctg(1), qual o primeiro ângulo cuja tangente vale 1? Resposta: 45º ou π/4. Por fim, para arcsec(√2 ), devemos saber qual primei ro ângulo cuja secante vale √2. Isto é, = √2 = √2 =
√
=
√
. Ou seja, o primeiro ângulo cujo cosse-
no é √2/2 é 45º ou π/4 Agora é sua vez.... √
Determine: (a) arctg(√); (b) arcsen( ) e (c) arccos(1/2).
~ 46 ~
7º. Passo:
Exercícios...
Exercícios... Primeiro tente resolver, em seguida, degustar a solução, pois o saber tem que ter sabor . Isto é, compreender a “essência”. (1)
Como se lê: (a + b)²? E, como se lê: a + b²?
(2) Onde estádeste o erro no desenvolvimento do 1 = apresentado no início tópico? (3)
Assim como =
=
√ √
1,
= 1, segue-se que qual-
quer número dividido por ele mesmo é igual a “1”. (4) Uma criança argumentou que se tem uma laranja e não vai dividir com ninguém, então sobra a laranja. Idem se forem duas ou três laranjas... Escreveu, para ilustrar seus pen
samentos, os seguintes símbolos: = 1; = 2;… E agora? Po demos argumentar que 1 dividido por 0 é igual a 1? (5) Qual o valor de x tal |3x – 5| > 7? (6) Determine o maior valor de f(x) = 4 – 9x². (7) Se f(x) = 2x, qual valor de f(-3)? Quem é x tal que f(x) = 128? (8) Seja f(x) com a seguinte lei de formação: f(a + b) = f(a).f(b), para quaisquer “a” e “b” reais. Sabendo que f(1) = 3, encontre f(10). (9) Se uma planta tem a seguinte característica: a cada dia que passa a área de superfície de um lago por ela ocupada dobra. Se em 53 dias toda a superfície do lago será ocupada por esta planta, quantos dias são necessários para cobrir metade do lago? kx
lor de (10) P(50)?Se P(x) = Be , com P(0) = 4 e P(25) = 6, qual o va(11) Qual valor de arcsen(1)? (12) Qual o cos(105º)? (13) Escreva f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) em função de suas raízes x1 e x2.
~ 47 ~
Soluções... 1ª. Questão:
Chamando c de a + b, então a + b ao quadrado é igual a c ao quadrado, ou quadrado de lado c. Assim (a + b)² é quadrado da soma de “a” com “b” e a + b² é lida como a soma de “a” com o quadrado de “b”. Pode parecer sem sentido esta questão, mas o foco está na interpretação geométrica.
Entendendo: a = a x 1 pode ser comparada com um re-
tângulo de área “a” e lados com medidas iguais a “a” e “1”. 2ª. Questão: Só faz sentido 3ª. Questão: “3”. Por quê?
⁄
=
√ se a > 0. Logo...
Quanto vale 12 dividido por 4? Resposta
Porque 3 x 4 = 12. Ou seja, = = × . Se b ≠ 0, tudo tranquilo! Todavia, se b = 0, segue-se que 0 x c = 0, qualquer que seja c. Desta feita, se a ≠ 0, segue-se que é IM
POSSÍVEL . Enfim, respondendo ao problema,
= 1
se
a ≠ 0.
Em
outras palavras, como não posso determinar o valor de “a” em a x 0 = 0, segue-se que há uma INDETERMINAÇÃO. Verifique! 0x2=0; 0x½=0, 0x0=0...
Finalmente, qualquer número dividido por ele mesmo é
igual a “1” desde que o número seja DIFERENTE de ZERO! 4ª. Questão: Vide a 3ª. 5ª. Questão: Sabemos
que | u | > a u < a o u u > a .
– 5. Daí: Assim, consideremos = 3x 3x < 3x – 5 < 7u 5 – 7 x < 2/3
3x – 5 > 7 3 x > 7 + 5 3x > 12 x > 4.
6ª. Questão: O maior valor está no vértice.
~ 48 ~
Lembre-se, comparando f(x) = ax² + bx + c, com a expressão f(x) = 4 – 9x², segue-se: a = 9, b = 0 e c = 4. Logo, = 0 e o y v = f(x v ) = f(0) = 4. = () 7ª. Questão: Substituir x por 3: f(3) = 2-3 = ½³ = 1/8. Para saber o valor de x tal que f(x) = 128, vamos “fatorar”
o 128, encontramos 128 = 2 7. Assim, 2x = 27 x = 7. 8ª. Questão: O objetivo desta questão é instigar a “construção do problema”. Queremos f(10) e conhecemos f(1). Há a
informação f(a + b) = f(a).f(b). Algo nos impede de supor a = 1 E b = 1? Por quê? Porque é a única informação que dispomos. Assim, f(1 + 1) = f(1).f(1) f(2) = [f(1)]² = 3² = 9. Legal, temos f(2). Agora, vamos “construir” o f(3).
Como 3 = 1 + 2, f(3) =f(1 + 2) = f(1).f(2) = 3.3² =3³ = 27. 4
Interessante, f(4) = f(3 + 1) = f(3).f(1) = 3³.3 = 3 . ... Ou seja, f(1) = 31, f(2) = 32, f(3) = 33... Podemos intuir (na verdade, o ideal é induzir matematicamente, mas este procedimento, INDUÇÃO FINITA, será evitado nesta obra, pois o foco é a compreensão da essência... em outras palavras, Cálculo para quem não gosta, mas precisa ) que f(10) = 310 9ª. Questão: Vamos
supor que inicialmente a área seja x. Assim, no segundo dia a área será 2.x. Terceiro dia = 2(2x) = 4x – dobra a nova área... compare com o material “segredo das matrizes” que usamos para motivação da função exponencial. Quarto dia = 2(4x)= 8x ... interessante, “x” está fixa ao passo que há variação no coefici-
ente, que são múltiplos (no caso, potências do 2). 1º dia Área ocupada = 1.x = 20x (lembre-se, 20 = 1) 2º dia Área ocupada = 2.x = 2 1x 3º dia Área ocupada = 4.x = 2²x 4º dia Área ocupada = 8.x = 2³x
~ 49 ~
Podemos perceber que o expoente do “2” para um determinado dia “n” é igual a “n – 1”. Confere? Assim, f(n) = 2n – 1x, onde f(n) representa a área ocupada no “n-ésimo” dia. Área toda ocupada em 53 dias... f(53) = 252x. Quantos dias tinha a metade, isto é, quem é n tal que f(n) 52 = (2 x)/2 = 251x? Assim, 2n – 1x = 251x 2n – 1 = 251 n – 1 = 5 1 n = 52 Há outras maneiras de argumentar esta questão... 50k
10ª. Questão: P(50) = Be
. Falta descobrir quem são B e k. De P(0) = 4 4 = B e = Be0 = B.1 = B .: B = 4. De P(25) = 6 6 = 4 e25k 6/4 = e25k e25k = 1,5 25k = ln(1,5)... Podemos desenvolver... mas queremos e 50k = e2.(25k) = (e25k )². Assim, P(50) = 4.(1,5)² = 9. 0.k
11ª. Questão: Queremos saber qual o primeiro ângulo cujo seno é 1. No caso, 90º ou π/2. Deste modo, arcsen(1) = π/2. 12ª. Questão:
conhecidos), temos:
Como 105º = 60º + 45º (usando ângulos
cos(105 ) = cos(60 + 45 ) = cos(60 ) cos(45 ) (60 )(45 )
Consultando tabela (o ideal, é ter tais valores cravados em sua mente) cos(105 )
1 √2 √3 √2 √2 √6 √2 = 2 2 2 2 = 4 (1 √3) 4
13ª Questão:
siderar =
Se x 1 e x2 são as raízes, então podemos con-
√ + √ , = ² 4 = 2 2 ~ 50 ~
Reparemos que, manipulando-as:
+ √ 2 √ + = 2 + 2 = 2 = = × = √ × + √ = ² √ + √ (√ )² 2 2 4²
Atenção ao uso dos sinais... ( )x( ) = (+) e ( )x(+) = ( )... como = ² 4
² ( 4 ) 4 × = = = = 4² 4²
Ou
seja,
( + )
() = ² + + = .² + + / =
Ainda não está muito simplificada a escrita, embora já tenhamos resolvido o problema. Vamos simplificar mais... Provaremos que f(x) = ax² + bx + c = a(x – x1)(x – x2). Para tanto, basta desenvolver o lado direito da igualdade:
( )( ) = [( ) ( )] = [² ( + ) + ]
Finalmente:
( )( ) = ( + ) = ² + +
= ( )
~ 51 ~
1º. Passo:
Introdução ao assunto...
Imagine que um trecho de uma montanha russa 3 seja aproximado pela função f(t) = sen(t), onde t é o tempo e f(t) é a distância percorrida. A velocidade média, entre dois instantes ( ) ( )
consecutivos t 2 e t 1 é:
.
Se = então
( ) ( )
=
( ) ( )
Se
0 (isto é, supondo um intervalo de tempo muito pequeno ) temos que o quociente se aproxima de 0 dividido por 0, isto é: ( ) ( )
. Melhorando a escrita, se t 1 = 0, então f(t 1 )
= sen(0) = 0 e temos:
.
Paremos momentaneamente com esta função. Complete as tabelas dadas em relação à função () = ²
. Por qual motivo este quociente? Em breve veremos aplicações envolvendo vertedouros de açudes (foco na razão
3
Não só montanha russa, há estradas brasileiras, entre subidas e descidas que também podem aproximar-se da referida situação.
~ 52 ~
entre o volume de água que passa em determinado tempo) ou fluxo sanguíneo na artéria ou intensidade de corrente elétrica em um instante... Não queremos pressionar... aliás, pressão é a relação entre uma determinada força e sua área de distribuição.
Ok em relação à função do no numerador? Mas, por qual motivo o “1”. Está sendo usado como uma unidade. Entende ndo, sua idade, em ano, no ano que você nasceu era zero. Toda via, você é alguém (deveras importante para sua família, vale ressaltar) é uma unidade! Deixando um pouco de lado o pensamento filosófico, note que x não pode ser igual a um senão zera o denominador. Todavia, x = 1 também zera o numerador. E 0/0 é forma indeterminada. E o que são formas indeterminadas? São expressões que podem assumir quaisquer valores. Por exemplo, sabemos que 12 / 4 = 3 porque 12 = 4 x 3. Bem, se 0/0 = n, segue-se que o zero do numerador será o produto do zero do denominador pelo n. Assim, 0 = 0.n. Todavia, qualquer número multiplicado por zero dá... ZERO! Assim, vamos considerar valores próximos de um para as tabelas dadas. Entretanto, se x 1, segue-se que ou x < 1 ou que x > 1. Logo, vamos nos aproximar por ambos os lados. Valores próximos de “1”, sendo menores que este. X 0,5 0,9 0,95 0,99 F(x)
Para facilitar a expressão podemos reescrever o numerador em função de suas raízes (pois “1” é raiz!). Para tanto, f(x) = ax² + bx + c fica na forma f(x) = a(x – x1)(x – x 2). Vide 13ª
questão da lição passada. 2x² + 3x – 5 = 2(x – x1 )(x – x2 ), sendo x1 = 1, segue-se que, do produto das raízes ( poderia ser da soma!) x1.x2 = -5/2 x2 = -5/2.
~ 53 ~
Assim, 2x² + 3x – 5 = 2(x – 1)(x + 5/2) = (x – 1)(2x + 5) – favor verificar! ²
= 2x + 5. Reescrevendo o quociente: () = Ou seja, basta multiplicar cada valor por 2 e, em seguida, acrescentar 5. X F(x)
Valores próximos de “1”, sendo maiores que este. 1,5 1,1 1,05
1,01
Completando, primeiro vamos tentar antes de conferir... Valores próximos de “1”, sendo menores que este. X 0,5 0,9 0,95 0,99 6,00 6,80 6,90 6,98 F(x)
E Valores próximos de “1”, sendo maiores que este. X 1,5 1,1 1,05 1,01 F(x) 8,00 7,20 7,10 7,02
Podemos concluir que, quanto mais próximo de “1” estiver x, mais próximo de “7” está f(x). Também percebemos que: Se x = 0,5, então a diferença 1 – x será igual a “0,5”. Se x = 0,9, então a diferença 1 – x será igual a “0,1”. Se x = 0,95, então a diferença 1 – x será igual a “0,05”. Se x = 0,99, então a diferença 1 – x será igual a “0,01”. Também... Se x = 1,5, então a diferença 1 – x será igual a “– 0,5”. Se x = 1,1, então a diferença 1 – x será igual a “– 0,1”. Se x = 1,05, então a diferença 1 – x será igual a “– 0,05”. Se x = 1,01, então a diferença 1 – x será igual a “– 0,01”.
~ 54 ~
Vamos recordar a função módulo. A interpretação geométrica dela é a distância da srcem até x. Assim sendo, é conveni x, x 0 ente reescrever: f ( x ) x, x 0 Traduzindo... a importância do módulo é deixar tudo positivo (o que se entende por este tudo ? Reflita). Note que: | 1 – x | = 0,5, se x = 1,5 ou se x = 0,5. | 1 – x | = 0,1, se x = 1,1 ou se x = 0,9. | 1 – x | = 0,05, se x = 1,05 ou se x = 0,95. | 1 – x | = 0,01, se x = 1,01 ou se x = 0,99.
Bem como: | 7 – f(x) | = 1,0, se x = 1,5 ou se x = 0,5. | 7 – f(x) | = 0,2, se x = 1,1 ou se x = 0,9. | 7 – f(x) | = 0,1, se x = 1,05 ou se x = 0,95. | 7 – f(x) | = 0,02, se x = 1,01 ou se x = 0,99.
Ou seja, para esta função dada notamos que, para um dado intervalo de x, o módulo da diferença entre “7” e “f(x)” é o dobro do módulo da diferença entre “1” e “x”... Definição: Seja uma função f definida em um intervalo aberto que contém o ponto “a”, exceto possivelmente no próprio ponto “a”, e seja “L” um número real. Então:
lim () =
significa > 0 > 0 0 < | |
< ⇒ | ( ) | < Interpretação: ao indicar |u| < v, isto significa que – v < u < v . ~ 55 ~
– Ou seja, | x – a | < d implica d < x – a < d. Somando “a” em cada membro da desigualdade, a – d < x < a + d. Isto é, temos uma variação no intervalo ]a – d, a + d[. Traduzindo: Dada a existência de um intervalo no eixo x, em torno de “a”, há um intervalo no eixo y em torno de “L”.
Próximo passo aprofundaremos mais a interpretação desta definição... Agora é sua vez... Complete as tabelas sendo () =
²
Valores próximos de “1”, sendo menores que este. X 0,5 0,9 0,95 0,99 F(x)
E X F(x)
Valores próximos de “1”, sendo maiores que este. 1,5 1,1 1,1 1,05
2º. Passo:
Exercícios...
Iniciaremos ²
1,01
indicando
que
sendo
() =
unção está cada vez mais próxima de “17”
quando x se aproxima de “1” e notamos que, para um dado intervalo de x, o módulo da diferença entre “17” e “f(x)” é cinco vezes o módulo da diferença entre “1” e “x”... Tal conclusão é retirada das tabelas... mas sempre precisaremos de tabelas para tratar de tais aproximações? Não. Para tanto, temos resultados. Não é obrigatório “decorar” apenas entender o passo a passo das demonstrações. Com efeito, durante as argumentações ~ 56 ~
atreladas à justificativa (ou demonstração) de cada teorema, podemos estabelecer estratégias para a resolução de situações problemas.
(1). Se f(x) tem um limite quando x tende para a, então o limite é único. Prova: Suponha que possam haver dois valores para o limite, L e M. Queremos chegar em uma contradição!
Supor que L < M e vamos escolher =
. Não obs-
tante, considerar os intervalos abertos (L – , L + ) e (M – , M + ). Como =
estes dois intervalos não se interceptam.
Pela definição de limite, existe um tal que, sempre que x está no intervalo aberto (a - , a + ) e x ≠ a, então f(x) está no intervalo aberto (L – , L + ). Analogamente, existe um tal que, sempre que x está no intervalo aberto (a - , a + ) e x ≠ a, então f(x) está no inte r valo aberto (M – , M + ). Supondo ainda < , se escolhermos um x que esteja simultaneamente nos intervalos (a - , a + ) e (a - , a + ), então f(x) estará simultaneamente em (L – , L + ) e (M – , M + ), contrariando o fato de que esses dois intervalos não se interceptam. Logo, a suposição inicial é falsa! (2). Se existem ambos os limites () e (), então: I. [ () + ()] = () + () II. [ () ()] = () () ~ 57 ~
III.
[ () ÷ ()] = () ÷ () desde que ()
Prova: Suponhamos que () = () =
Item (I): Pela definição de limite, devemos mostrar que, para todo > 0, existe um > 0; 0 < | x – a | < então | [f(x) + g(x)] – (L + M) | < Uma estratégia recorrente na matemática é “partir” de onde quer e- mos “chegar”
Comecemos por escrever | [f(x) + g(x)] – (L + M) | = | [f(x) – L] + [g(x) – M] | Utilizando a desigualdade triangular | b + c | < | b | + | c | segue-se que: | [f(x) – L] + [g(x) – M] | < | f(x) – L| + |g(x) – M|. Na definição de limite temos “qualquer”. A ideia é, quanto menor o tamanho do intervalo, melhor! Assim, () = fica se 0 < | x – a | < então | f(x) – L | < /2 (*) E, () = fica se 0 < | x – a | < então | g(x) – M | < /2 (**)
Seja o menor dos números , então, 0 < | x – a | < implica que as duas desigualdades anteriores são verdadeiras (*) e (**). Por conseguinte, | [f(x) – L] + [g(x) – M] | < /2 + /2 = .
~ 58 ~
Item (II): Inicialmente, suponha que se h(x) é uma função tal que () = então, [ () ()] = () = fica se 0 < | x – a | < então | f(x) – L | < 1 (supondo = 1) (***) De novo, saindo de onde queremos chegar... | f(x) | = | f(x) + L – L |, pois 0 + u = u e podemos pensar em 0 = L – L. | f(x) + L – L | < | f(x) + L | + | L |, pela desigualdade triangular. | f(x) + L | + | L | < 1 + |L|, pela suposição (***)
Assim, se 0 < | x – a | < então | f(x).h(x) | < (1 + |L|).|h(x)|. Como () = , segue-se que para todo > 0, existe um > 0 tal que se 0 < | x – a | < então | h(x) – 0| < . ||
Se for o menor dos números , então, sempre que 0 < | x – a | < segue-se que | f(x).h(x) | < (1 + |L|). = ||
Agora, façamos a demonstração: Considere f(x).g(x) – LM = f(x).g(x) – M.f(x) + M.f(x) – LM Assim, f(x).g(x) – LM = f(x).[g(x) – M] + M.[f(x) – L]. Como () = equivale a [() ] = segue-se resultado com h(x) = g(x) – M.
Item (III): Basta mostrar que
()
~ 59 ~
=
Note que
( ) |() | = | .() | =
() =
Como tal que se
0<| x – a | <
|() ||.|( )|
segue-se que existe um
|
> 0
então | g(x) – M| < | |.
Motivação:
|M| = |g(x) + [M – g(x)]| < |g(x)| + |M – g(x)| < |g(x)| + |M|/2 Organizando, |M| < |g(x)| + |M|/2 |M|/2 < |g(x)| ou ( ) < |
|
||
Assim,
( ) | ||²
|...
|() | =
|() ||.|( )|
| <
(3). “Teorema do Sanduíche” Seja f(x) < h(x) < g(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente para o próprio a. Se
() = = (), ã () = Prova:
Para todo > 0, existe um > 0 tal que se 0 < | x – a | < então | f(x) – L| < bem como existe um > 0; se 0 < | x – a | < então | g(x) – L| < . Se for o menor dos
números , então, sempre que 0 < | x – a | < ambas as desigualdades anteriores que envolvem são verdadeiras, isto é, - < f(x) – L < e, por conseguinte – < g(x) – L < Consequentemente, se 0 < | x – a | < , então L – < f(x) e g(x) < L + . Como f(x) < h(x) < g(x), se 0 < | x – a | < , então
~ 60 ~
L – < h(x) < L + que equivale a |h(x) – L| < Obs.: só existe o limite no ponto se existirem e forem iguais os limites laterais. Limites laterais? Sim, é o ato de aproximar-se de x = a por valores pela direita (ou maiores que a) ou pela esquerda (ou menores que a).
Em símbolos: Limite pela direita: lim x
a
Limite pela esquerda: lim x
f ( x )
Resultados: ( + ) =
<
a
f ( x )
+
Para todo > 0, existe um > 0 tal que se 0 < | x – a | então |(bx + c) – (ab + c)| = |bx – ab| = |b|.|x – a|.
Ou seja, basta considerar
= /|b|.
Se a > 0 e n é um inteiro positivo, ou se a < 0 e n é um inteiro positivo ímpar, então √ = √
Sejam a > 0 e n um inteiro positivo. Mostraremos que, > 0, existe um > 0; se 0 < | x – a | < então | √ √ | < . Ou equivalentemente, se – < x – a < e x ≠ a, então, segue-se que < √ √ < .
Vamos “mexer” onde queremos chegar...
< √ √ < √ < √ < √ + ( √ ) < < ( √ + ) ( √ ) < < ( √ + ) ~ 61 ~
0( √ ) 1 < < ( √ + )
se denota o menor dos dois últimos números positivos dados por e + , então, segue-se
( √ ) ( √ ) que sempre que – < < a desigualdade se verifica e o teorema está demonstrado para este caso. Traduzindo... estamos tão próximos do valor indicado que, se substituirmos a variável pelo valor indicado o erro entre o valor aproximado e o valor real praticamente é zero. Logo, basta substituir a variável pelo valor indicado.
A título de curiosidade (não se assustem!) Usando a definição de limites, prove que: (2 ² + 4 +
5) = 35
Devemos mostrar que
> 0 >0;0< | 3| < |(2 + 4 + 5) 35| <
A ideia prática é saber onde queremos chegar... (dada a tese, “m e xer” para fazer aparecer a hipótese. Ou seja, 2x² + 4x – 30 = 2(x² + 2x – 15) = 2(x – 3)(x + 5). Assim, 0<| 3| < 2| 3| | + 5| < 2| + 5| (*)
0 < | 3| < | 3| < 1 1 < 3<1 3 1 < 3+3 < 1+3 Suponha que 1(Por qual motivo?) Deste modo,
Isto é, 2 < x < 4 que equivale (para fazer aparecer módulo) a 5 + 2 < 5 + x < 5 + 4... 7 < x + 5 < 9 ~ 62 ~
Assim sendo, em virtude do intervalo que devemos obter (por quê?), em (*), 0 < | 3| < 2| 3| | + 5| < 2| + 5| <2 9 .
2 1, 3.
Por fim, seja = Ufa! Exemplos:
² 3²
9 1 + ² 10 1+3² ² 25 =⏟ 5² 25 = 0 lim 5 5 5 0 lim
= ⏞
=
Repetindo, “basta substituir a variável pelo valor a qual ela tende”. Quando aparecer a indeterminação 0/0, devemos mexer com a expressão e, só então, aplicar o limite.
lim ²
25 = lim ( 5)( + 5) = lim ( + 5) =5+5 5 = 10
5
Calcule os limites laterais da função indicada: 0 se x 1 01. f (x) ; 1 se x 1
x 2 1 2 x 2 e x 1; 02. g ( x ) 1 x se x se x 1 2 03. p(x) x 21 se x 1 ou x 1; 1 x se 1 x 1
x 2 se 2 x 0 04. P(x) x se 0 x 1 ; 1 se 1 x 2
~ 63 ~
Solução... 01). No caso, a = 1. lim x a f ( x ) limx
1
1 1 Tender para ‘1’ pela direita sign i-
fica que a função está definida para valores maiores que ‘1’. Ou seja, f(x) = 1. Analogamente... lim x a f ( x ) limx 1 0 0
lim x
1
03).
lim x
1
lim x
1
lim x
1
f ( x ) lim x
1
f ( x ) lim x
1
f ( x ) lim x
1
f ( x ) lim x
1
( x 2 1) 0 (1 x 2 ) 0
(1 x 2 ) 0 ( x 2 1) 0
Nota: independentemente de ser pela direita ou pela esquerda, “basta” substituir a variável pelo valor a qual ela tende. Agora é sua vez... Encontre os limites:
² + ³ ) ²
² ) ) ) 3º. Passo:
√
Limites infinitos e no infinito
Iniciamos respondendo as questões do passo anterior... Basta substituir a variável pelo valor a qual tende. Caso encontremos 0/0, usar simplificação ou produtos notáveis. Lembrar: ao trocar a variável pelo valor a qual tende, a expressão “lim” desaparece.
~ 64 ~
4 ² = 4 (2)² = 0 () Item (b): lim = = = ² () Item (a): lim
Item (c): lim
√ = .
Vamos pensar da seguinte forma. Se a = √ e b = 2, pois não podemos pensar separadamente cada expressão (numerador ou denominador), segue-se, então que a² = x e b² = 4. De a² b² = (a – b)(a + b)... 1 1 √ 2 √ 2 = lim = lim = 4 (√ 2)(√ + 2) √ + 2 4 lim
Item (d): lim
³ = ²
De a³ b³ = (a – b)(a² + ab + b²), temos, comparando “a” com “x” e “b” com “1”: x³ 1 = (x – 1)(x² + x + 1). Por – analogia, de a² b² = (a b)(a + b), segue-se que x² 1 = ( x – 1)(x + 1). Lembrando que se x 1 (isto é, se x se aproxima de “1’, então x é diferente de “1”. Ou seja: x ≠ 1 x – 1 ≠ 0 .
³ ()( ) Assim: lim ² = lim ()() = lim =
Notamos a necessidade da divisão de polinômios (ou produtos notáveis) quando, no cálculo de limites, encontrarmos 0/0. Mas o que acontece quando x se aproximar de um valor muito grande se número? o denominador se aproximar de 0 e o denominador de ou outro
~ 65 ~
Considere a função y = 1/x. Com x diferente de zero. Ela tem grande importância porque qualquer polinômio pode ser reescrito em termos dela. Por exemplo: p(x) = x³ + 3x² + 2x. Vamosdacolocar em evidência x³. Isto é,por dividir membro direito igualdade por x³ (e omultiplicar ele omesmo, desde que x ≠ 0). Assim, 3
p ( x ) x (
x 3 3
x
3x 2 3
x
2 x 3 2 1 1 ) x 3 (1 2 ) x 3 [1 3 2 ( ) 2 ] 3 x
x
x
x
x
. Algumas considerações sobre o “infinito”: , n 0 n , n 0
, n 0 0, n 0 n n
Por quê? Discuta com seus colegas... antes, compare com a seguinte ideia: se alguém não vive 130 anos, viverá 130 + 10? Ou o produto de 130 por 10? 13010?
~ 66 ~
Vamos completar as tabelas:
Quando x decresce indefinidamente, isto é, x X
10
10
100
10
1.000
10
100.000
10
Y = 1/x
X Y ==11/x /x
10 100 1.000 Quando 10 x cresce indefinidamente, 10 10 isto é, x
100.000 10
Quando x se aproxima de zero por valores menores que zero, isto é, x 0X Y ==11/x /x
10
100
10
1.000
10
10
100.000
10
Quando x se aproxima de zero por valores maiores que zero, isto é, x 0+ -10
X Y=1/x
-100
10
-1.000
10
1
lim x
Percebemos que: lim x
lim x
x
1 0
0
10
0 lim x
-100.000
10
1 x
x
1
x
Resultado importante: k 0 se a constante k for diferente de zero e (*) lim x x n
n > 0.
~ 67 ~
Traduzindo... qual o inverso de algo muito grande? Algo muito pequeno (no caso, zero). E o inverso de algo muito pequeno? Algo muito grande positivamente (se a aproximação de 0 for por valores maiores que ele) OU algo muito grande negativamente (se a aproximação de 0 for por valores menores que ele). Exemplos: O que ocorre nos extremos do domínio da
função f(x) = e da função g(x) = A importância desta ² ² função g é seu gráfico. Muito parecido com o gráfico da curva normal (Estatística). Iniciemos com a função g(x). Como x² + 1 > 0 para qualquer valor de x, pois x² > 0 e x² = 0 se, e somente se, x = 0. Desta feita, seu domínio são todos os reais ou, em termos de intervalos: ] - ∞, + ∞[
Assim, lim ² = 0 = l im ² . Com efeito, algo muito grande (positiva ou negativamente) ao quadrado ainda é “muito grande”. Somado com “1”, continua muito grande. E, o inverso de algo muito grande é muito pequeno... ou zero. Já para o domínio de f(x), x² 1 ≠ 0 x ≠ 1 e x ≠ 1. Desta feita, o domínio é: ]∞, 1[ ] 1, 1[ ]1, + ∞[. Assim os limites são: (1) lim
1
²
1
=0
(4) lim ² 1 1 =
(2) lim
1
²
1
= + (3) lim
(5) lim ² 1 1 = +
1
²
1
=
(6) lim ² 1 1 = 0
Justificativa: (1) E (6) indica o inverso de algo “muito grande” (2) Formalmente: Se x se aproxima de “1” por meio de valores menores do que ele, então x < 1. Precisamos gerar
~ 68 ~
x² 1 (expressão do denominador ) . Uma ideia: elevar ambos os membros da desigualdade ao quadrado. ATENÇÃO! Pensando em números: sabemos que – 2 < 1, todavia, (2)² > (1)². Assim, x < 1 x² > 1 e, por conseguinte, x² 1 > 0. Logo, denominador está próximo de zero por valores maiores que zero. Por fim, temos o inverso de algo muito pequeno (que é positivo), logo o + ∞ resultado é algo muito grande positivamente. Ou seja INFORMALMENTE, mas mantendo um pouco de rigor: Fornecer um número próximo (ideia de limite) de “1”, por sua vez, que seja menor que “ 1” (limite pela esquerda). Por exemplo: “ 2”. Substituir no denominar e analisar o sinal (se é + ou – ). De x² 1, com x = 2, temos (2)² 1 = 3 > 0 . . .
A partir de agora, usaremos a estratégia informal. Ela é garantida em virtude da continuidade da função.
Fornecer próximo (ideia de limite) de. “1”, (3) por sua vez, queum sejanúmero maior que “ 1” (limite pela direita) Por exemplo: “0”. Substituir no denominar e analisar o sinal (se é + ou – ). De x² 1, com x = 0, temos (0)² 1 = – 1 < 0 (4)
Fornecer um número próximo (ideia de limite) de “+1”, por sua vez, que seja menor que “+1” (limite pela esque rda). Por exemplo: “0”. Substituir no denominar e analisar o sinal ( s e é + o u – ). De x² 1, com x = 0, temos (0)² 1 = – 1 < 0 (5) Fornecer um número próximo (ideia de limite) de “+1”, por sua vez, que seja maior que “+1” (limite pela direita). Por exemplo: “2”. Substituir no denominar e analisar o sinal (se é + ou – ). De x² 1, com x = 2, temos (2)² 1 = 3 > 0 Agora é sua vez... Encontre os limites:
~ 69 ~
² + ³ ) ²
) ² ) )
√
4º. Passo:
Fixando raciocínio.
Iniciaremos resolvendo limites anteriores. Item (a):
lim 4 ² = . Com efeito, 4 – ()² = 4 = … Item (b):
lim ² =
lim
= lim
=
=0
. Colocamos o x² do denominador em evidência. Por quê? k Porque sabemos que lim x 0 Simplificamos “x” do n x numerador com um dos “x²” do denominador. Por fim, reutilizamos o resultado da linha anterior, com k = 3. ²()
()
()()
.
Item (c): √
√
lim = = . Com efeito, x 4- signi-
fica x < 4, por conseguinte, x – 4 < 0. Item (d):
³ = = +. Fornecer um número próxi² mo (ideia de limite) de “+1”, por sua vez, que seja maior que “+1” (limite pela direita). Por exemplo: “2”. Substituir no denomi-
lim
~ 70 ~
nar e analisar o sinal (se é + ou – ).E, x² 1, com x = 2, fica (2)² 1= 3>0
(...) Já que estamos trabalhando com valores muito grandes para a variável independente (x), convém estabelecer alguns resultados, no caso de quociente de funções polinomiais. , n m p( x ) a lim n , n m x q ( x ) b m 0 , n m
+
com p(x) = anxn + ... + a 0 e q(x) = b mxm + ... + b 0. Observação: não é ao mesmo tempo que x ou x . A escrita indica que tanto faz um ou outro limite. Com efeito,
+ + + ± + lim + + . + + + / = lim ± ( + + + *
Usando lim x
k x n
0,
segue-se que “sobra” lim . ±
Analisando caso a caso:
Se n > m
lim = = lim ± ±
, depende do “sinal” do quociente entre os coeficientes. = lim = Se n = m lim +
±
~ 71 ~
±
Se n < m
lim
±
lim
±
= lim
±
=
=0
Exemplos: ²
lim
²
lim
limx
²
lim
² ³
Desafio: Para 2 x 1
= lim
ax 2
bx 3
que
()
=+
=
=0 valores
de
a
e
b
tem-se:
1?
Solução: Primeiramente, vamos supor a 0. Por quê? Para garantir que o grau do denominador seja ‘2’. Assim sendo, vamos dividir numerador e denominador por x². 2 x 1 2 x 1
lim x
2
ax
bx 3
2
2
lim x
x 2 ax bx 3
limx
x
a
x 2
b x
1 x 2
3
0 a
0
x 2
Como é dito no enunciado que o limite é igual a ‘1’, segue-se que su- por a 0 não é verdadeiro. Logo, a = 0. Mesmo raciocínio... supor b 0. 2 x 1 1 2 2 x 1 x lim x 2 2 1 b 2 lim x lim x x bx 3 3 b bx 3 b
b
x
Resp.: a = 0 e b = 2. ~ 72 ~
x
ERRO4: Não considerar a hipótese. Ou seja: (1) a variável tende para “infinito” e a função é um quociente de polinômios.
Logo, resposta é (2) zero se grau do denominador for maior que grau do numerador, (3) ± infinito se grau do denominador for menor que grau do numerador e (4) será uma constante não nula se forem iguais. (5) “1” é constante não nula, logo graus iguais...
√².
Desafio 2: lim
Cuidado! Não é quociente de polinômios! Primeiro, precisamos analisar “trabalhar” com a raiz quadrada. Assim,
= lim 3 = lim 3 = lim 3 = 3 √ ² 1 ²(1 1) 1 1 √ ² 1 1 lim
3
Usamos, após colocar o x² em evidência, o fato de que a raiz do produto (de ‘coisas’ positivas) ser o produto das raízes. Em seguida, como x , segue-se que ² = x. O “x” do numerador foi simplificado com o “x” do denominador e , por fim, usamos 1/x² 0 (pois x ).
√
Agora é sua vez... Calcule os limites:
² () ² √ ² ³ + ³ ( ) ( ) ³ + √² ( )
4
Aos poucos estaremos apresentando os principais erros realizados por discentes de diversas áreas (como engenharias e economia) que foram obser vados durante 20 anos de magistério.
~ 73 ~
5º. Passo:
Limites de funções trigonométricas
Iniciando pelo “agora é sua vez”... Itens (1) e (3) valem, respectivamente, 0 e 6/11, com base no grau...
Item (2): Siga mesmas argumentações na solução do exemplo.
= lim 3² = lim 3² √ ² 1 1 √ 1 1 ² ²(1 ) 3 = lim 1 = 1 lim
3 ²
Item (4): Cuidado! Definição de módulo... Vamos recordar adafunção A interpretação geométrica dela é a distância srcem módulo. até x. Assim sendo, é conveni x, x 0 ² = | |. Ou ente reescrever: f ( x ) | x | e, x x , 0
√ significa que x < 0. seja, x 3 3 3 lim = lim = lim √ ² 1 ²(1 1) 1 1 √ ² 3 = lim = 3 1 1 ² = || = ... Ou seja, neste caso, √
(...)
~ 74 ~
Observou-se que os limites que envolvem funções trigonométricas passam, direta ou indiretamente, pelo: senx limx 0 1 x
Tal limite é considerado o limite fundamental da trigonometria. Pesquise o motivo deste resultado. Exemplos: tgx (1)
a ) lim x
0
( 3)
lim x
0
lim x
x senx 1
0
( 7)
0
2
sen x
x (1 cos x )
( 8)
0
cos x x
1 1 1
1 cos x 1 cos x (6 ) lim x 0 1 cos x x 2
x
2
lim x
1
x cos x 1 cos x (5) b ) lim x 0 lim x 2
senx 1
( 4)
senx ( 2) cos x lim x x
0
1 cos2 x x 2 (1 cos x )
(9 ) 2 lim x 0 ( senx ) 2 1 1 1 1 1 cos x 2 2 x
Entendendo as “passagens”: (1) Já que dá 0/0, escrever a tg(x) como a razão entre sen(x) e cos(x). (2) Foi utilizada a divisão de frações. (3) Organizamos expressão para aparecer sen(x)/x. (4) Quando x 0 temos que cos(x) 1. (5) De sen²x + cos²x = 1, temos que sen²x = 1 – cos²x =
(6) (7) (8) (9) (10)
– cosx)(1 (1 + cosx), pois a² - b² = (a – b)(a + b). Ideia anterior. Substituição prevista em (5). Fizemos aparecer sen(x)/x Idem (4).
Exercícios:
~ 75 ~
1). Usando as ideias dos exemplos, calcule: x
a ) lim x
0
b ) lim x
0
tg ( x )
1 cos x
x
Resp.: (a) “1”. Com efeito, tg(x) = sen(x)/cos(x) Daí, x/tg(x) = x/[sen(x)/cos(x)] Organizando pela divisão de frações…
limite é válido para x/sen(x). Infelizmente, há discentes que só seguem uma linha de raciocínio. ERRO:
(b) Já que temos um limite o qual dá 0/0 e envolve função trigo- nométrica, segue-se que devemos fazer aparecer sen(x)/x – eis a principal causa de ERRO . Operar limite trigonométrico sem uso do limite funda- mental... Da relação fundamental da trigonometria, sen²x + cos²x = 1, se- gue-se que sen²x = 1 – cos²x. Pelos produtos notáveis, já que 1 = 1², temos: sen²x = (1 – cosx)(1 + cosx) ² 1 1 + = lim 1 + (1 + ) 0 lim = 1 =0 1 + 1+1
lim
2). Calcule: a) limx ( 1 senx )
b) limv 0 (1 senv )
Solução: Basta trocar a variável pelo valor a qual tende. Logo, (a) 1 + sen = 1 + 0 = 1 e (b) 1, pois sen(0) = 0.. ~ 76 ~
Interessante... Assim como podemos ter pessoas com mesmo peso e alturas distintas, segue-se que podemos ter funções distintas com mesmo valor no cálculo de um limite. Foi o que ocorreu com as funções da questão anterior. Considere, dada a expressão do item (a), u = x – , a diferença entre a variável e o valor a Por qualconseguinte, ela tende. 1 + senx = 1 + sen(u + ) = 1 + (sen(u)cos( ) + sen( )cos(u)) = 1 – sen(u), que é a expressão do item (b), se trocarmos u por v. Isto ocorre com outras funções. Seja f(x) = 2x + 3. Se x 4, en tão f(x) 11. g(u) = 2u + 11 tende para 11 quando u 0. Com efeito, a função g(u) é obtida por meio da relação u = x – 4. Mais adiante faremos uso desta ideia.
3). Fazendo a mudança u = x – a, onde ‘a’ é o valor a qua l tende o limite, resolva os itens (b) e (c) conforme o exemplo (a). Repare que em cada caso temos 0/0: a ) lim
1 senx x
2
x
u x
2
x u
2
sen ( x ) sen ( u
sen ( a b ) sen ( a ) cos(b ) sen ( b ) cos(a )
Usando a fórmula do seno da soma: sen ( u
lim
x
2
) sen ( u ) cos( ) sen ( ) cos(u ) cos(u ) 2 2 2 1 senx 1 cos(u ) 1 1 limu 0 0
x
u
Agora é sua vez...
~ 77 ~
2
0
2
2
)
b) lim x c ) lim x
tgx
x cos x 1
( x )2
tg (a b )
tg (a ) tg (b )
1 tg (a )tg (b ) cos(a b ) cos(a ) cos(b ) sen ( a ) sen ( b )
Apoio:
Resp.:(b) “ 1” 1 ” e (c) “½”.
Observação:
0 0
é forma indeterminada. Assim sendo, se
no cálculo de limites obter tal expressão, você deve retirar um ou ambos os zeros. Como? Bem... Se função do tipo p(x)/q(x), SEM envolver trigonomé
e denominador tricas, valor odividir qual anumerador variável x está tendendo. por x – a, onde “a” é o Se função do tipo p(x)/q(x), COM funções trigonométricas, usar o limite fundamental da trigonometria: senu 1. limu 0 u
Alguns resultados úteis: m² – n² = (m – n)(m + n) E m³ – n³ = (m – n)(m² + mn
+ n²)
u 1 . Obs.: Se a 0 1 cos u u 2 2 variável não tender para zero mude de variável... em vez de “x a” faça “u 0” considerando “u = x – a”, que equivale a “x = u + a”
limu
0
cos u 1
0 E limu
~ 78 ~
6º. Passo:
Continuidade e exercícios
Fixando conteúdos anteriores... lim x
cos x 1 ( x ) 2
Seja u = x – π. Assim cos(x) = cos(u + π ) = cos(u)cos( π ) – sen(u)sen( π ). Como cos( π ) = 1 e sen(π ) = 0, segue-se que cos(x) = cosu. Assim, o limite fica:
1 + 1 1 1 + 1 + lim = lim = lim ( )² ² ² 1 ² = lim ²(1 + )
Da relação fundamental da trigonometria e organizando,
² 1 ² = lim ²(1 + ) ²(1 + ) 1 1 1 = lim 1 + . / = 1 + 0 = 2 lim
(...)
Definição de continuidade (em um ponto)5:
Uma função f(x) é contínua em um número c se satisfaz as seguintes condições: i. É definida f(c) ii. Existe lim () iii. lim () = ( ) São contínuas todas as funções polinomiais.
Exemplos:
1). Encontre os valores das constantes a e/ou b, para que a função ): dada seja contínua em ( ,
5
Será contínua em um intervalo se for contínua em todos os pontos deste. ~ 79 ~
a 2 x se x 1 a). f (x) 2 ; x 2 se x 1 x a se x 2 b). h(x) ax 2 b se 2 x 2; b x se x 2 Resposta: Façamos o item (b). Se x 2-, então o limite pela esquerda fica – 2 – a. Se x + 2 , então o limite pela direita fica 4a + b. Assim, 4a + b = – a – 2. 5a + b = -2 (*) Se x 2-, então o limite pela esquerda fica 4a + b. Se x + 2 , então o limite pela direita fica b 2. Assim, 4a + b = b – 2. Ou seja, a = 1/2. Daí, em (*) b = 2 – 5a = 2 – 5(1/2) = 2 + 5/2 = 1/2. 2). A população (em milhares) de uma colônia de bactérias, t minutos após a introdução de uma toxina é dada pela função:
t 2 7, t 5 f (t ) 8t 72, t 5 Explique por que a população deve ser de 10000 bactérias em al gum momento entre t = 1 e t = 7. Resposta: Porque é contínua a função, basta fazer t 5 - e depois t + 5 ERRO: principais observados nesta aplicação é o fato deUm nãodos considerar f(t)erros = 10. Com efeito, unidades de milhares.
Nos exercícios abaixo, verifique se a função dada é contínua no valor indicado:
~ 80 ~
1 se 3). h(x) 1 se 2 x 4 4). m(x) x 2 3 Respostas:
x0 , c 0; x0 se x 2 , c 2; se x 2
a Devemos verificar se lim x f ( x) f (a ) . Na questão 3) Quando x 0 - temos que f(x) -1, pois é constante a função. + Quando x 0 temos que f(x) 1, pois é constante a função. Sendo diferentes os limites laterais, não existe o limite no ponto. Por conseguinte, a função não é contínua em x = 0. ERRO: Discentes confundem o “se” com o “que”. Isto é, tentam verificar o que não está coerente.
Na questão 4)
4 lim x 2)( x 2) . 2 ( x x 2 x 2 limx 2 ( x 2) 4 f ( 2) 3 2
lim x 2 x
Logo, não é contínua em x = 2. Caso fosse redefinida em x = 2, para f(x) = 4, então seria contínua neste valor. ERRO: Não lembrar dos produtos notáveis: a² b² = (a – b)(a + b) Agora é sua vez...
Um pouco diferente do habitual, pois apresentamos já os procedimentos... Nos exercícios a seguir, verifique se a função dada é contínua no valor indicado: Lembre-se, verificar se lim x f (a ) , quando x a. a f ( x) Para x < a ou x > a, limites laterais. x se x 1 01. j(x) 1 se x 1, c 1; ~ 81 ~
Resp.: Sim
x 2 4 se x 2 , c 2; 02. m( x) x 2 3 se x 2 Resp.: Não x 2 1 se x 2 03. F(x ) , c 2; 3x 2 se x 2 Resp.: Sim | x 1 | se x 1, c 1; 04. G(x) 1 se x 1 Resp.: Sim x 1 se x 0 05. N(x) 1 x se 0 x 1, c 0 e c 1; x2 1 se x 1 Resp.: Não, em c = 0 e sim em c = 1. 3x 21 se x 0 06. p(x) 1 x se 0 x 2 c 0 e c 2 x 2 se x 2 Resp.: Sim em c = 0 e não em c = 2 07.
( x )2 , x P ( x ) 1 cos x , c ; 1, x
Resp.: Não.
Desafio: A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma distância r do centro do
{ <
planeta é: F(r) =
onde M é a massa da
²
Terra, R é seu raio e G é a constante gravitacional. F é uma função contínua de r?
~ 82 ~
7º. Passo:
Exercícios gerais de revisão das duas primeiras lições
1ª. Questão: A conta de água de uma determinada região
é assim composta: Para consumos até 10 m³, paga-se uma taxa de R$ 15,00. Para consumos que excedam os 10 m³ e não sejam superiores a 20m³, paga-se R$ 5,00 por cada m³ que excede os 10 m³ iniciais. Para consumos superiores a 20 m³, paga-se R$ 10,00 por cada m³ que excede os 20 m³. Seja x o consumo em m³ e y o valor a ser pago em reais. a) Expresse y em termos de x. b) Verifique se a função é contínua em seu domínio 2ª. Questão: As curvas com equações y =
são √²² | |
curvas ponta bala . (a) Encontre chamadas, c > 0, quando o domínio. (b) O com que ocorre x sedeaproxima dos extremos do domínio? 3ª. Questão: Após acionado o flash de uma câmera, a ba-
teria imediatamente começa a recarregar o capacitor do flash, que armazena uma carga elétrica dada por Q(t) = Q 0(1 – e-t/a). (a) Quanto tempo leva para a carga chegar à metade (isto é, quem é t para Q(t) = Qo/2?). (b) O que acontece quando t for muito grande?
onde m
4ª. Questão: Na teoria da relatividade, a massa de uma
partícula com velocidade v é m =
² ²
o
é a massa da
partícula no repouso e c é a velocidade da luz no vácuo. (a) Encontre o domínio. (b) O que ocorre quando v se aproxima dos extremos do domínio?
~ 83 ~
5ª. Questão: Um importante resultado sobre limites é o teorema do confronto, ou do sanduíche. A ideia básica é que, em um intervalo, Se f(x) < g(x) < h(x) e lim x a f ( x) L lim x a h ( x )
Então lim x a g ( x) L Mesmo que esta função g(x) não seja uma função usual ou conhecida. Use este resultado para calcular limx g ( x ) sabendo que
para todo x > 1, (x – 1)² < (x² – 1)g(x) < (x + 1)². 6ª Questão: Calcule lim n
1 n n 2 1 2 3 ... n
7ª Questão: A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma distância r do centro do plane-
{ <
ta é: F(r) =
onde M é a massa da Terra, R é
²
seu raio e G é a constante gravitacional. F é uma função contínua de r?
SOLUÇÃO… primeiro vamos tentar resolver! Lembrar de rever passo a passo caso haja alguma dúvida. 1ª Questão: Item (a): Y = 15 se 0 x 10 Y = 15 + 5(x – 10) = 5x – 35 se 10 < x 20 Y = 5x – 35 + 10(x – 20) = 15x – 235 se 20 < x Item (b): Sim.
~ 84 ~
2ª Questão: Domínio: c² – x² > 0. Por conseguinte – c < x < c. Todavia, c > 0 por hipótese. Logo, 0 < x < c. Assim,
lim
= = 0. E, lim || = = + √² ² √² ² | |
3ª Questão: Q(t) = Q0(1 – e-t/a) = Qo/2 1 – e-t/a = 1/2 -t/a = ½. -t/a = ln(1/2). Ou seja, t = (-a)ln(1/2) = e = – ln2. Lembrando que ln1 = 0. (ln2)a. Usando ln1/2 = ln1 – ln2 Para t muito grande...
1 ( 1 * = lim
/
t/a
Com efeito, e > 1. Logo, e > 1. Assim, o inverso de algo muito grande é muito pequeno, ou seja, zero. 4ª. Questão: Podemos perceber que é idêntica à 2ª Ques-
tão...
–
x >da1desigualdade x² > 1 por x² x² – 1. 5ª Questão: vamos dividir ambos osComo membros 1 > 0. Assim, Assim, ( x 1) 2 ( x 1) 2 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) ) ) x x g ( g ( x 2 1 x 2 1 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) x 1 x 1 x ) g ( x 1 x 1 Seja f(x) a função à esquerda e h(x) a função à direita de g(x). Note que lim x f ( x) lim x h ( x ) 1 . Chegamos neste re- sultado dividindo tanto o numerador quanto o denominador de cada uma das funções por x e utilizando o resultado (*). Logo, o limite procurado é 1. ERRO: Má compreensão do enunciado!
6ª Questão: Notemos que o denominador é a soma dos n primeiros termos de uma Progressão Aritmética de primeiro ~ 85 ~
termo “1” e razão “1”. Assim, dado que a referida soma é ( )
1 + + ² 1 + + ² 1 = lim = =2 1⁄ (1 + ) ² 2 2 2+ 2 lim
7ª Questão: Basta verificar se os limites laterais são iguais
quando r R - (a variável r se aproxima de R por valores menores que ele) e r R + (a variável r se aproxima de R por valores maiores que ele).
~ 86 ~
1º. Passo:
Conceituando Conceituando “e”. “e”.
O número de EULER: é definido como e =
limn
1 (1 ) n ≈ 2,7 sendo n um número natural. Este resuln
tado pode ser estendido para qualquer número 1 x real x (indo para ∞” ou “+ ∞”). Isto é, e = lim x (1 ) x Há forte relação com a Matemática Financeira. Isto é, M = C(1 + i)n representa o montante M após n períodos que um capital C, investido a uma taxa i, relativa a este período n (se o período é mensal, a taxa é mensal, se o período é diário, a taxa é diária, etc.). Quando a capitalização é contínua, temos M = C.ein. Para chegar neste valor, procede-se da seguinte maneira, sendo n anual e i taxa anual. Se n for mensal, o novo período é multiplicado por 12 e a taxa correspondente é dividida por 12. Passando a considerar n diário, o novo n será n x 12 x 30, e a taxa, que está dividida por 12, i/12, fica dividida por 30, ou seja, i/(12 x 30). “
~ 87 ~
Passando a considerar valores a cada minuto, a cada i segundo, etc. temos M = C (1 )nk . k Calcule o limite quando k tende para o infinito da função M e verifique que M = C.ein Sugestão:
Uma forma “genérica” do número ‘e’ é obtida mudando de variável. Seja y = 1/x. Assim, x implica que y 0. Por conseguinte, 1
1
y . limx ) lim y (1 0 (1 y ) x
x
i , seja y = i/k. Logo, em C ( 1 )nk sendo que k k Daí, i
i
lim k ) C. lim k ) C. lim y C (1 (1 0 (1 y ) nk
k
nk
n
k
in
in y C.lim y C.e 0 (1 y )
1
k x ) e k . Para fixar... limx (1 x Com efeito, sendo u = k/x, temos x = k/u e x implica em u 0. k
k
1
lim x ) limu 0 (1 u ) u limu 0 [(1 u ) u ]k e k (1 x
x
Fixando: a) limu 0 (1 u )
3
1
u
) x b) lim x (1 x
resp.: e resp.: e3
~ 88 ~
i y
c) lim x (
x 1
) x x 1
resp.: e2
Sugestão: em (x + 1)/(x – 1), divida numerador e denominador por x...
Lembrar, que 1 – 3/x, por exemplo, pode ser reescrito como 1 + (3)/x – que é ERRO frequente!
4
Item (c): lim
5
= lim
./ = = ² 5 = . /
4
Aplicação: Durante uma epidemia de dengue, o número
de pessoas que adoeceram, num certo bairro, após t dias é dado por L(t) =
100.000 1 19.900e 0,8t
Determine a quantidade máxima de indivíduos atingidos pela doença ao longo do tempo. Resp.: 100.000 Com efeito, “ao longo do tempo” pode ser interpretado como t ∞. -0,8t 0,8t Por conseguinte, e = 1/e pode ser entendida como o inverso de algo muito grande... ln( x ) lim x 0 Limites importantes:
lim x ln( x ) Para percebê-los, complete as tabelas, lembrando que ln(x) x = log e (logaritmo de x na base e), bem como ln(ek ) = k
Primeiro para x X Ln(x)
1
e 1 Ln(e ) = 1
25
e
2.500
e
25.000.000
e
Agora, faça para x 0+ X Ln(x)
-1
e
-50
e
~ 89 ~
-5.000
e
-5.000.000
e
Um resultado importante: limh
e h 1
1 , com efeito, h se u = eh – 1, temos eh = u + 1, de onde h = ln(u + 1). Note que h 0 implica u 0 também (por quê?). Daí,
h
limh
e
1 (i )
0
limu
limu
0
limu
0
ln(u 1) 1
0
h ( iv )
1
( ii )
u
ln(1 u )
( v ) 1
u
0
limu
1 ln(u 1)
u
ln limu 0 (1 u )
1
u
0
ln(u 1) 1
1
( iii )
u
1 1 ln e
Agora é sua vez... 1. Explique as etapas do cálculo do limite anterior. Encontre
2.
2º. Passo:
sendo a > 0.
Aplicações diversas envolvendo limites
Iniciamos resolvendo o “agora é sua vez” do tópico anterior. A importância do limite apresentado está em aplicações que envolvem derivadas (próxima lição). As argumentações das etapas serão indicadas na resolução do limite. Repare que sendo a > 0, em particular e (número de Euler) > 0. Replicar a ideia. Ou seja, considere y = a x – 1. Por quê? Porque continuamos com variável tendendo para 0. Isto é, x 0 implica y 0 (verificar!). Pela definição de logaritmo, ou seja, a x = 1 + y (1 + ) = T log odavia, nosso modus operandi é usar traba o “ln”. Assim, lharemos com a seguinte propriedade dos logaritmos: =
=
– propriedade da mudança de base.
Desta feita, = log (1 + ) =
~ 90 ~
()
=
ln(1 + ).
Manter o foco... gerar “e”...
limx
1
lim
(1 )
x
1 x
lim y 0 (1
= lim
y ) y . Assim sendo,
. ()
Usaremos b.lnc = lncb,
motivada pelo expoente “1/y” da forma genérica do “e”. Como k = 1/(1/k), é claro, se k não nulo, podemos dividir numerador e denominador da expressão por y... que é equivalente a indicar y = 1/(1/y). Assim, lim fica: ()
= lim
ln(1 + )
= lim
1
1
ln(1 + )
= lim
1
ln(1 + )⁄
Lembrando de quem é “e”: lim
= () ⁄
= 1 …
lim
(...)
APLICAÇÕES APLICAÇÕES (MAIS US USUAIS) UAIS) 1). A equação de uma reta que passa pelos pontos A(xa, y a ) e B(xb, y b ) é dada por y – ya = m(x – xa), onde m é a declividade (ou inclinação da reta ou coeficiente angular) e é dada por . Quando deixamos A fixo e fazemos B se aproximar de
A, a reta passa a ser tangente. Isto é, m = lim . En
contre a equação da reta tangenteno à curva y= x² x+=x,0.no ponto em que x = 1. (b) y = sen(2x), ponto(a)em que 2). Definimos a velocidade instantânea em t = a da equa()()
ção de espaço x(t) como: v inst. = lim . Encontre a velocidade de uma partícula que se move de acordo com x(t) = 3cos(2t). ~ 91 ~
3). Definimos a aceleração instantânea em t = a da equação de velocidade instantânea v(t) como: ainst. = ()() lim . Encontre-a se v(t) = ² Na próxima lição apresentaremos um procedimento mais rápido, por hora... Tentem resolver com base no que já foi “saboreado”, apreendido. Soluções: (1). Repare que é dado xa. Para encontrar ya basta calcular f(xa ). Item (a): Como xa = 1, segue-que ya = f(xa ) = f(1) = 1² + 1 = 2.
= lim ² + 2
= ⏟
= lim
1
lim
( 1)( + 2)
1
çã í…
= lim ( + 2) = 3
Obs.: ou dividir polinômios ou, no caso, escrever em função das raízes. Assim, equação da reta é y – 2 = 3(x – 1)... Item (b): Como xa = 0, segue-que ya = f(xa ) = f(0) = sen(2.0) = 0. (2)
= lim
= lim
=2
⏞
() = . Com efeito, basta fazer t = kx e observar quex 0 implica t 0. (*) Usamos o seguinte resultado:
~ 92 ~
Ou
() () = lim =
lim
seja,
() =
lim
(2). Aplicação direta da fórmula:
() () = lim 3cos(2) 3(2) lim
Simplificar a escrita. Inicialmente colocar o “3” em ev idência, em seguida, fazer a mudança de variável u = t – a. Por quê? Porque há limite trigonométrico e precisamos usar resultados, a saber: cos u 1 senu e limu 0 1 limu 0 0
u
u
cos(2) cos(2)cos(2) (2)(2) cos(2 ) = 3 lim cos(2)cos(2) cos(2) (2)(2 ) 7 3 lim 6 (2) (2)7 cos(2) 1 3 lim 6 cos(2) = 3[0 cos(2 ) 2cos(2 )] 3 lim
cos(2 + 2 )
Reorganizando,
Que equivale a
Usamos resultados... Logo: -6cos(2a) -6cos(2a)
()() 3). Substituindo: lim = lim ²
~ 93 ~
²
Desenvolvendo a diferença de frações no numerador:
lim
()() ( )( )
² ()()()
Pela divisão de frações: lim
( )() ( )()()
Reorganizando numerador: lim
Usando soma de frações, evidenciando “t – a” no nume-
rador de cada uma:
( ) ( ) lim [( )( + 1)( + 1) + ( )( + 1)( + 1)] Simplificando: 1 + lim [ ] = 1 ²
( + 1)( + 1)
+ 1)( + 1)
(
~ 94 ~
+ 1)
(
1º. Passo:
Conceituação e regras
Definição: () =
()()
( )()
= Deste modo, a inclinação de uma reta tangente a uma curva dada, a velocidade instantânea, a aceleração instantânea são exemplos de derivadas. Mais adiante outras aplicações serão apresentadas. Regras de derivação: 1). Se f(x) = c xn, então f ’(x) = cn xn constante. Ex.: f(x) = 2x³ f ‘(x) = 23x 3 – 1 = 6x²
– 1
, sendo c uma
2). Se f(x) = g(h(x)), então f’(x) = g’(h(x)) h(x). Ex.: f(x) = (ax + b) n, neste caso, a função de “dentro” ou h(x) é ax + b e a de “fora” ou g(x) é u n (a de fora é obtida ‘pondo a mão’ sobre o que está dentro dos parênteses). Assim, g(u) = u n g’(u) = nun – 1 e g’(h(x)) = n[h(x)]n – 1 = n(ax + b)n – 1. E quem é h’(x)? Bem, vamos lembrar a definição de derivada...
~ 95 ~
h ' ( x ) limt
limt
h ( x t ) h ( x ) 0
t ax at b ax b
limt
0
t
at
limt 0 a a 0 t t Por fim, g’(h(x)) = an(ax + b)n - 1 Ex. numérico: [(8x + 11)9 ]’ = 8.9.( 8x + 11)9 – 1 = 72(8x + 9) 8
0
limt
[a ( x t ) b ] [ax b ]
3). Se f(x) = senx, então f ’(x) = cosx 4). Se f(x) = cosx, então f ’(x) = senx 5). Se f(x) = tgx, então f ’(x) = sec²x 6). Se f(x) = cotgx, então f ’(x) = cosec²x 7). Se f(x) = secx, então f ’(x) = secxtgx 8). Se f(x) = cosecx, então f ’(x) = cosecxcotgx 9). Se f(x) = lnx, então f ’(x) =1/x 10). Se f(x) = g(x) h(x), então f ’(x) = g’(x) h’(x) 11). Se f(x) = g(x)h(x), então f ’(x) = g’(x)h(x) + g(x)h’(x) 12). Se f(x) = g(x)/h(x), então f ’(x) = [g’(x)h(x) g(x)h’(x)]/[h(x)]² Deduzindo algumas das regras de derivação 6: ***Derivada do produto: f(x) = g(x).h(x)
6
Direta ou indiretamente já foram deduzidas a partir das atividades feitas em lições passadas. Para melhor fixação, justificar cada passagem.
~ 96 ~
f ( x u ) f ( x ) (1)
limu
0
limu
0
limu
0
u g ( x u )h ( x u ) g ( x ) h ( x ) ( 2 ) u g ( x u )h ( x u ) [ g ( x ) h ( x u ) g ( x ) h ( x u )] g ( x ) h ( x ) ( 3)
u g ( x u )h ( x u ) g ( x ) h ( x u ) g ( x ) h ( x u ) g ( x ) h ( x ) ( 4 ) limu 0 [ ] u u (5) g ( x u ) g ( x ) h ( x u ) g ( x ) limu 0 [ h ( x u ) g ( x )] u u g ' ( x ). h ( x ) g ( x ). h ' ( x )
***Derivada de
f(x) = sen(x)
f ( x h ) f ( x )
limh
0
h sen ( x ) cos(h ) sen ( h ) cos( x ) sen ( x )
limh
0
h
h
( 2)
limh 0 [ sen ( x )
limh
sen ( x h ) sen ( x ) (1)
cos(h ) 1
h
0
cos( x )
sen ( h ) h
( 3)
]
sen ( x ). 0 cos( x ). 1 cos( x ) ***Derivada de
limh
0
f(x) = ex
f ( x h ) f ( x ) (1) limh h
***Derivada de
e x
0
h
h
f(x) = ln(x)
~ 97 ~
e x ( 2)
e h 1 x limh 0 e e h x
lim h
lim h
lim h
f ( x h ) f ( x ) 0 h 1 x h ( 2) ln( ) 0 h x 1
0
h
ln(1
1
limh
ln( x h ) ln( x ) (1) 0 h
( 3)
h ) lim h
0
ln(1
1
x
h )
1 ( 4) h
1
ln e x
x
1
x
Agora gora é sua suave vez.. z.... Deduzir as derivadas da tgx; secx eregra eregra do quociente. 2º. Passo:
Exercitando...
EXERCÍCIOS (com respostas mais adiante...) 01). Derive, após obter as funções: A) Considere um círculo de raio igual a x cm, se um quadrado está inscrito neste círculo, determine a área A do quadrado em função de x. B) Dado um pedaço de papelão quadrado com 12 cm de lado, tira-se de cada canto do papelão, quadrados com x cm de lados e os bordos são dobrados de modo que forme uma caixa sem tampa. Determine o volume V da caixa em função de x, indicando o domínio.
02). A temperatura T, em graus centígrados, do forno de uma padaria varia, a partir do momento em que é ligado, de acordo com a equação: T
a) b) c) d)
180m 26 . m 1
A que temperatura está o forno quando é ligado? Como evolui a temperatura com o tempo? Para que valor vai tender a estabilizar a temperatura? Qual é a taxa de aquecimento do forno no momento em que é ligado? E aos 10 minutos? E ao fim de uma hora? ~ 98 ~
Nos exercícios a seguir, calcule as derivadas primeira e segunda da função dada, usando fórmulas de derivação: x3; 03). a( x) 04). cx( )x 5x 2 3 1;
05). e(x) 13 x
06). f ( x)
07). s(x)
1 x
x;
x 2 15 ;
x ; x2
08). w(x) = sen²(x) 09). R(x) = tg(x) – cotg(x) 10). H(t) sen2 t ; 2 11). U(x) = ln(x² + 1)
Respostas: (entender e refazer organizando ideias formalmente) 1ª. Questão A). Ao inscrever um quadrado em uma circunferência, a diagonal do quadrado será o diâmetro da circunferência. Assim, se k indicar o lado do quadrado, sua diagonal será k 2. E o diâmetro é 2x. Como queremos a área, A = k². Ora, k 2 = 2x 2k² = 4x² k² = 2x² A = 2x² A’ = 4x. ERRO: Confundir “inscrição” com “circunscrição” de figuras.
B). Em relação ao volume, 0 < x < 6, pois não faz sentido medida negativa (para esta aplicação!). Daí, como o volume de uma caixa é o produto das medidas (largura x altura x comprimento), temos V = x.(12 – 2x).(12 – 2x) = 144x – 48x² + 4x³. Portanto, V’ será igual a 144 – 96x + 12x².
~ 99 ~
ERRO: Não
determinar o domínio de maneira satisfatória.
2ª. Questão
(a). Qual a sua idade no ano que você nasceu? Seguindo esta ideia, quando é ligado, o tempo é zero. ERRO consiste em não fazer tal consideração.
o
LogoPerceba T(0) = que 26T(m) C. é do tipo quociente de funções po(b). linomiais. Não perceber isto é caracterizar é ERRO. (c). Estabiliza-se com m muito grande, isto é, m . ERRO consiste em não associar “muito grande” ou “extrema
mente grande” com infinito. Logo, lembrando que o grau do
numerador é igual ao grau do denominador, o resultado do limite é 180/1 = 180. (d). É só calcular a derivada em cada um dos valores. ERRO é não associar a derivação. ERRO frequente nas questões a seguir foi a não obser vância das regras de derivação. Por exemplo, 1/x derivar como
1/(x)’... 3ª. Questão A’(x) = 3x² e A’’(x) = 6x 4
4ª. Questão C’(x) = 5x – 6x² e C”(x) = 20x³ 12x.
2
5ª. Questão e(x)
+1e
-5
= x – 3 – x – 1 + x e’(x) = 3x – 4 + x
-3
e”(x) = 12x – 2x 6ª. Questão:
Perceba que f(x) = g(h(x)), onde g(u) = u5 e
h(x) = x² 1.
Sendo f ’(x) = g’(h(x)).h’(x), então f ’(x) = 5(x² 1)4.2x =
10x.(x² 1)4.
~ 100 ~
Já para o cálculo da derivada segunda, usaremos regra do produto e regra da cadeia. f”(x) = [10x]’.(x² 1)4 + 10x.[(x² 1)4]’. Daí, f”(x) = 10.(x² 1)4 + 10x.4.(x² 1)3.2x Por conseguinte, temos: 10(x² 1)4 + 80x².(x² 1)³ (pode desenvolver, se quiser!) 7ª. Questão: ( x )'.( x 2) x.( x 2)' 1.( x 2) x . 1 2 s ' ( x ) ( x 2)2 ( x 2)2 ( x 2) 2 s ' ( x ) 2.( x 2)
2
s" ( x ) (2).(2).( x 2)
3
4( x 2)
3
8ª. Questão: W(x) = (senx)² w’(x) = 2.(senx).cosx (re-
gra da cadeia). Pode ser visto como sen(2x). Daí, w”(x) = cos(2x).2 (no vamente regra da cadeia) 9ª. Questão: R’(x) = sec²x – (csc²x) = sec²x + csc²x
Regra da cadeia será usada para o cálculo da derivada segunda. R”(x) = 2.secx.(secx.tgx) + 2cscx.( cscx.ctgx) = 2sec²x.tgx – 2csc²x.ctgx 10ª. Questão: Atenção: sen²(t/2) = [sen(t/2)]².
Assim, H’(t) = 2.sen(t/2).cos(t/2).1/2. De sen(2u) = 2sen(u)cos(u), podemos perceber que H’(t) = sen(t)/2. Logo, H”(t) = cos(t)/2. 11ª. Questão: U’(x) = 2x/(x² + 1).
Não esquecer que (lnu)’ = (1/u).u’ = u’/u. U”(x) = [(2x)’.(x² + 1) – 2x.(x² + 1)’]/(x² + 1)² U’’(x) = [2.(x² + 1) – 2x.(2x)]/(x² + 1)² Por conseguinte, u” = (1 2x²)/(x² + 1)² ~ 101 ~
Agora é sua vez... 12). Uma das aplicações das derivadas é a obtenção da equação de retas tangentes a determinadas curvas em um ponto. Obter a equação da reta tangente a cada uma das curvas abaixo no ponto P indicado: a) y = x² + 2x + 1, P(1, 4) b) y = x/(x² + 1), P(0, 0) c) y² + x² = 1, P(1, 0) d) x² - y² = 1, P(-1, 0) e) y = tg(1 – x²), em x = 1 f) y = ln(x² + 1), em x = 1 obs.: y – y p = g’(xp ).(x – x p ) é a equação da reta tangente à curva y = g(x) no ponto (xp, y p )
3º. Passo:
Mais Exercícios...
Se f(x) = [g(x)]n f’(x) = n[g(x)]n – 1.g’(x) Assim, se y = f(x), então (y³)’ = 3y².y’.
Traduzindo... Derivar normalmente cada expressão e
usar x’ se for função de x, z’ se for função de z, etc... Você usará esta ideia nos itens (c) e (d). Do agora é sua vez: 12). Uma das aplicações das derivadas é a obtenção da equação de retas tangentes a determinadas curvas em um ponto. Obter a equação da reta tangente a cada uma das curvas abaixo no ponto P indicado: a) y = x² + 2x + 1, P(1, 4) b) y = x/(x² + 1), P(0, 0) c) y² + x² = 1, P(1, 0) d) x² y² = 1, P(1, 0) ~ 102 ~
e) y = tg(1 – x²), em x = 1 f) y = ln(x² + 1), em x = 1 obs.: y – y p = g’(xp ).(x – x p ) é a equação da reta tangente à curva y = g(x) no ponto (xp, y p ) Solução: A equação da reta tangente em (x , y ) é dada por p p y – y p = f ’(x p).(x – x p).
(a). y’ = 2x + 2. Daí, f ’(1) = 4 y – 4 = 4(x – 1) y = 4x. (b). y’ = [(x)’.(x² + 1) – x.(x² + 1)’]/(x² + 1)² = [1.(x² + 1) – x.(2x)]/(x² + 1)² por conseguinte, y’ = (1 x²)/(x² + 1)². Daí, f ’(0) = 1 y – 0 = 1(x – 0) y = x . (c). (x² + y²)’ = (1)’ 2x + 2y.y’ = 0 y’ = x/y. Note que não existe y’ quando y for 0. A interpretação geométrica é uma reta perpendicular ao eixo x. No caso, x = 1. (d). (x² y²)’ = (1)’ 2x 2y.y’ = 0 y’ = x/y. Note que não existe y’ quando y for 0. A interpretação geométrica é uma reta perpendicular ao eixo x. No caso, x = 1. (e). y’ = sec²(1 – x²).(2x), lembrar da regra da cadeia. Em x = 1, temos que o valor da derivada será f ’(1) = sec²(1 – 1²).(2.1) = sec²(0).( 2) = 2. Pois, como sec(0) = 1/cos(0), temos que sec(0) = 1/1 = 1. E quem é o y p? Ora, sendo x = 1, f(1) = tg(1 – 1²) = tg(0) = 0. Por conseguinte, y – 0 = 2(x – 1) y = 2 x – 2. (f ) . y’ = 2x/(x² + 1). Não esquecer que (lnu)’ = (1/u).u’ = u’/u. ~ 103 ~
f ’(1) = 1. Para o cálculo do y p , f(1) = ln(1 + 1²) = ln2. Assim, y – ln2 = 1(x – 1) y = x – 1 + ln2.
APLICAÇÕES APLICAÇÕES DIVE DIVERSAS RSAS 13ª Questão Em Economia, a função custo marginal é a derivada da função custo total associada à produção de um bem, e na qual x representa a quantidade produzida. Determinar a função custo marginal em relação às seguintes funções custo total (CT): a) CT = 2x + 100 b) CT = (4x + 24) 1/2 + 30
Solução (a). (CT)’ = 2 (b ). (CT)’ = [(4x + 24)1/2 ]’ + (30)’ = (1/2).(4x + 24)- ½.(4) = 2.(4x + 24)- ½
14ª (a). Questão Seja uma função real g derivável e f(x) = g[5 + ln(x² + 1)]. Determine o valor de f ’(1) sabendo que g’(5 + ln2) = 2. (b). Seja f uma função derivável e g(x) = f(e2x ). Calcule g´(0) sendo f ’(1) = 2
Solução
Item (a): Objetivo deste tipo de questão é analisar a interpretação do discente. F’(x) = g’(5 + ln(x² + 1)).[5 + ln(x² + 1)]’, estamos usando a regra da cadeia. F’(x) = g’(5 + ln(x² + 1)).[2x/(x² + 1)], lembrando que (lnu)’ = u’/u. F”(1) = g’(5 + ln(1² + 1)).[2.1/(1² + 1)] = g’(5 + ln2).1 =2. Item (b): g’(x) = f ’(e2x ).(e2x )’ = f ’(e2x ).(e2x).2 g’(0) = f ’(e2.0 ).(e2.0).2 = f ’(1).1.2 = 4
~ 104 ~
15ª Questão
Uma partícula move-se ao longo de uma reta de acordo com a equa- ção de movimento, s = 5 – 4cos²t, onde s metros é a distância orientada da partícula desde a srcem em t segundos. Se v (m/s) e a (m/s²) são, respecti- vamente, a velocidade e a aceleração da partícula, encontre v e a. Lembre-se: v = ds/dt e a = dv/dt. Solução: A velocidade é: s’ = (5 – 4cos²t)’ = 4.2.(cost).sent = 4sen(2t), sendo usado o fato que sen(2t) = 2.sent.cost. E a aceleração é v’ = ( 4).cos(2t).2 = 8cos(2t). Atenção: (cos²x)’ = (cosx.cosx)’ = (cosx)’.(cosx) + (cosx).(cosx)’ = 2.(cosx)’.cosx = 2senx.cosx = sen(2x) Ou, considere f(x) = cos²x = (cosx)² Perceba que f(x) = g(h(x)), Onde g( ) = ( )² (ou g(u) = u², sendo “u” variável de apoio). E h(x) = cosx. Como f’(x) = g’(h(x)).h’(x) Segue-se que g’(u) = 2u g’(h(x)) = 2h(x) = 2cosx. Sendo h’(x) = senx, segue-se que (cos²x)’ = 2cosx.senx 16ª. Questão
Se a função de demanda de um bem é dada por p = (a – bx) 1/2 , onde p é o preço, x a quantidade demandada e a e b são constantes positi- p dx vas, demonstrar que a elasticidade de demanda, E x , dada por: , x dp decresce com o aumento de x e que E x = 1 quando o valor de x for igual a 2a/b. Solução: Atenção!
~ 105 ~
Não esquecer que
dp dx
1 dx
. Assim, p’ (ou dp/dx) é (1/2).(a
dp
– bx)-1/2.( b). E x
p
1
x dp
x ( b )(a bx )
dx
Desta feita,
2 p bx
(a bx )
1
p
1
1
2
2 2
2
2 p
bx
Por hipótese, Ex = 1. Daí, 2p² = bx 2(a – bx) = bx 2a = bx x = 2a/b. ERRO: Não usar a regra da cadeia de maneira coerente. 17ª. Questão O processo usado para se aumentar um capital é denominado forma ção de capital. Se este processo é considerado como sendo contínuo ao longo do tempo, o capital pode ser expresso como uma função do tempo k(t), e a taxa de formação de capital é, então, dada por k’(t). A taxa de formação de capital no instante t é igual à taxa de fluxo de investimento líquido no instante t, denotada por I(t). Determine I(t) se K(t) = 5t² + 7 Solução:
I(t) = K’(t) = 10t. ERRO: Muitos não acreditam que a resposta é tão direta... possivelmente falta de leitura e compreensão do enunciado
~ 106 ~
1º. Passo:
Problemas de Otimização (maximizar ou minimizar)
Quando queremos um valor de máximo estamos interessados no valor x = c tal que f’(c) = 0 e f’’(c) < 0. Será de mínimo quando f’(c) = 0 e f’’(c) > 0. ter pontos críticos tais que não Observação: Podemos exista f’(x). Tais casos não serão aqui abordados, pois o intuito é
a aplicação. A função da derivada primeira é estar associada ao crescimento (intervalos onde f’(x) > 0) ou decrescimento (intervalos onde f’(x ) < 0) de uma função. A derivada segunda está relacionada com a concavidade: para cima “ ⋃” (f’’(x) > 0) ou para baixo “⋂” (f’’(x) < 0). 7
Atividades :
1). Com uma folha de papelão quadrada de lado 15 cm, cortando-se partes quadradas nos cantos e dobrando-as, deseja-se construir uma caixa aberta, do tipo de uma caixa de sapatos. O volume máximo que pode ter uma caixa assim construída é um valor... 7
O teste para saber se é máximo ou mínimo fica por conta do(a) leitor(a). É uma forma de fixação do conteúdo. ~ 107 ~
Solução:
O volume, de domínio 0 < x < 7,5, pois não faz sentido medida negativa (para esta aplicação!). Daí, como o volume de uma caixa é o produto das medidas (largura x altura x comprimento), temos V = x.(15 – 2x).(15 – 2x) = 225x – 60x² + 4x³. Portanto, V’ será igual a 225 – 120x + 12x². Queremos x tal que v’ = 0. Daí b b 2 4ac (120) (120) 2 4(12)(225) x 2a 2(12) 120 60 7,5 24 2,5
Logo, x = 2,5 (pois 7,5 não pertence ao domínio da função) ERRO: Trabalhar com valor fora do domínio. 2).o Um vendido latas cilíndricas volume 400ml. Calcular raio refrigerante da base de émodo queem o material gasto nadeembalagem seja o mínimo possível. Solução:
V = R²H = 400. A área total é 2A base + Alateral. Daí, A = 2R² + 2RH. Como queremos o raio, isolar H na expressão do volume. Assim, H = 400/R². Organizando, a área será 2 R² + 2R(400/R²) = 2R² + -1 800.R . Daí, queremos R tal que A’ = 0. Assim, A’ = 4R - 800.R-2 = 0 R =
3
200 4
ERRO: Fórmulas de área e volume.
3). Seja p = 2 + 100/(x + 5) a curva de demanda de determinado bem (p = preço, x = quantidade demandada). Verificar se no seu domínio a curva é estritamente decrescente e tem concavidade voltada para baixo. ~ 108 ~
Solução: Será decrescente para valores tais que p’ < 0. A concav idade será voltada para baixo (CPB) nos valores em que p” < 0.
Perceba que p = 2 + 100(x + 5) -1. Daí p’ = 100(x + 5)-2, que é sempre negativa. Já p” = 200(x + 5)-3 será sempre positiva. ERRO: Não usar todas as hipóteses.
4). Verificar em quais intervalos do domínio de cada uma das funções abaixo a função é crescente, e em quais tem concavidade voltada para cima: a) p = 0,5ln(20/x) b) p = (a – bx)², com a > 0 e b > 0. Solução:
(a). p’ = 0,5
(20 / x )' 20 / x
0,5
20
x 2
20
0,5 x
.
x
Como x > 0 p’ < 0. Para facilitar derivação, perceba que p’ = -0,5x-1 p” = 0,5x-2 > 0. (b). p’ = 2(a – bx)(b) p’ > 0 se 2b(a – bx) > 0 a – bx < 0 (dividindo tudo por 2b) daí, a < bx x > a/b. Por analogia, p’ < 0 x < a/b. Em relação ao p”, note que p’ vale 2ab + 2b²x. Logo, p” = 2b² > 0. 5). Determine a altura do cone de maior volume que pode ser gerado pela rotação de um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 2 cm em torno de um dos catetos. Solução:
Sejam x e y os catetos, sendo x o raio e y a altura quando obtemos o cone via rotação em torno do cateto de lado y. Logo, x² + y² = 4. O volume do cone será x²y/3.
~ 109 ~
Organizando, V = (4 – y²)y/3 = (/3)(4y – y³) V’ = (/3).(4 – 3y²). Queremos y tal que V’ = 0. De onde concluímos que y =
2 3 3
.
6). Se a velocidade de uma onda de comprimento L, em águas pro fundas, é dada por: L B v M B L Onde M e B são constantes positivas, qual é o comprimento de onda que minimiza a velocidade? Solução: 1 1 2
1
1
1 1 1 v M ( L BL ) v ' M ( L BL 1 ) 2 ( BL 2 ) B B 2 B
M (
1
1 B
BL 2 )
1 1 2
2( L BL )
B
1
v ' 0 B BL
2
0 L B
7). A taxa aeróbica de uma pessoa com x anos de idade é dada por: 110(ln x 2) A( x ) x Sendo x 11. Em que idade a pessoa tem capacidade aeróbica máxima? Solução: A' ( x ) 110
(ln x 2)' x (ln x 2) ( x )' x 2
( 1 ) x (ln x 2) 1
110 x
x 2
110
3 ln x x 2
A' ( x ) 0 3 ln x 0 ln x 3 x e 3
21
Obs.: Não confundir lnx – 2 com ln(x – 2).
~ 110 ~
8). Para se fazer uma circunferência e um quadrado cortou-se um fio de arame, com 100cm de comprimento, em dois bocados. De que maneira deve ser cortado o fio de modo que a área total (círculo +quadrado) seja mínima? Solução: Atotal = R² + x². Pelo comprimento, 100 = 2 R + 4x. Vamos isolar x. Assim sendo, x = 25 R/2.
Daí, Atotal = R² + x² = R² + (25 - R/2)². Queremos R tal que A’ = 0. Desta feita, derivando temos A’ = 2 R + 2(25 R/2).( /2) = 2 R (25 R/2) = 0 Portanto, R = 50/(4 + ) que vale aproximadamente 7 (sete). E x fica em torne de 11,5.
2º. Passo:
Aplicações Diversas; Taxas Relacionadas e Regras de L´Hopital (I)
1). A função y = A sen(kx), com A > 0, e sua derivada segunda y’’ satisfazem identicamente a igualdade y’’ + 4y = 0. O valor da derivada primeira y’, para x igual a 0, é 12. Calcular as constantes A e k. Solução Temos que y’ = A.cos(kx).k = Ak.cos(kx). De y’(0) = 12, segue-se que 12 = Ak.cos(0). De ondeAk = 12. Como A > 0, segue-se que k > 0. E quem é k? Usar a outra hipótese. Dado que y” + 4y = 0 -Ak²sen(kx) + 4Asen(kx) = 0 Asen(kx)(4 – k²) = 0. Como k > 0, k² = 4, de onde k =
2. Daí, A = 6.
ERRO: Não usar todas as hipóteses.
2). Uma caixa d´água tem o formato de um cone circular reto invertido com 120 cm de diâmetro e 150 cm de altura. Uma torneira enche essa caixa à razão de 1000 π mm³/seg. Determinando a taxa de variação da altura no instante em que a água está a 90 cm de altura, obtemos um valor... ~ 111 ~
Solução
Uma relação que será utilizada nesta e em outras questões R R dado é: . H H dado Procurem fazer uma figura para ilustrar tal situação. Como Rdado = 6 0 e Hdado = 150, segue-se que R = 2H/5.
2 O volume do cone é: R H .
3
Para este caso, V
R H
3
(
2
2 H 2 ) H 4H 3 5 3 75
Derivar ambas as variáveis em relação ao tempo. 4 H 3 4 2 3 H H ' (V )' ( )' 1.V ' 75 75
4 1 (90) 2 H ' H ' cm / seg 25 1296
ERRO: Derivação implícita, sendo ambas as variáveis funções do tempo (taxa relacionada). A “essência” é derivar ambos os membros da igualdade normalmente, acrescentando a respectiva derivada.
3). A altura de um cone circular reto é 15 cm e aumenta na razão de 0,2 cm/min. O raio da base é 10 cm. Qual a taxa de variação do vo- lume quando a altura for de 20 cm? Solução
Dado H’ = 0,2 cm/min. Como R dado = 10 e Hdado = 15, segue-se que R = 2H/3. Queremos V’. Derivar ambas as variá veis em relação ao tempo. (V )' (
4 H 3 4 4 160 3 2 3 H H ' V ' cm / min )' 1.V ' (20) 2 (0,2) V ' 27 27 9 9
ERRO: Mesmo da anterior.
~ 112 ~
REGRAS DE L’HOPITAL (1º Caso)
Se no cálculo de limites aparecer 0/0 ou /, “basta” derivar numerador e denominador simultaneamente: lim x
a
f ( x ) g ( x )
f ' (a ) g ' (a )
Caso particular... 0 x . Neste caso, lembrar que 4 x 5 = 20. Também temos que 4 (1/5) = 20. Ou seja, 1/(1/5) = 5. Isto é, ab = a/(1/b). 1). Usando L’Hopital, calcule:
a) lim
x 1
b) lim
x 2
1
x 2 4 x 3 ln x
e 3 x c) lim x senx x
x 0 x d) lim( x e )
1
x
x 0
2). Um circuito elétrico tem resistência de R ohms, uma indutância de L henrys e uma força eletromotriz de E volts. Considere E, R e L positivos. Se I amperes é a corrente no circuito t segundos após este ter sido ligado, então E I (1 e Rt / L ) R calculando o limite de I quando R tende para ZERO pela direita, obtemos...
3). Calcule limn
1 n n 2 1 2 3 ... n
1ª. Questão ERRO: Confundir regra com a regra do quociente.
~ 113 ~
Item (a)
x 2 1
lim
x 2 4 x 3 Item (b)
x 1
lim
x 1
2 x 2 x 4
1
1 ln x
x x lim 3e 3 x
1
x lim e 3 x lim 3 xe 3 x 0 Item (c) lim x s enx y x senx ln y senx . ln x lim (ln y ) lim senx . ln x x
x 0
x 0
x 0
1 ln x lim x 0 1
lim
x 0
lim (ln y )
L "' Hopital
x 0
x 0
x
( cos x )
cos x
lim
x 0
1
sen 2 x
x ( cos x )
sen 2 x
senx senx senx
lim
x
0 (1)
1
0 ln( lim y ) 0 lim y e 0 x 0
x 0
1
Item (d) lim( x e x )
1
x
x 0
y ( x e x )
1
x
ln y ln( x e x )
1 e x L ' Hopital x 1 x x e y x e lim(ln ) lim ln( ) lim x 0 x 0 x 0 x 1
1
x
1 x ln( x e ) x
2 lim(ln y )
x 0
ln(lim y ) 2 lim y e 2 x 0
x 0
2ª. Questão ERRO: Exceto R, demais letras à direita são constantes. L ' Hopital
lim R
0
I lim R
E (e
lim R
0
0
Rt / L
1
E (1 e Rt / L ) R
) (t / L)
~ 114 ~
Et / L
3ª. Questão
Note que temos a soma dos termos de uma Progressão Aritmética: 1 + 2 + ... + n = (1 + n).n/2 = (n² + n)/2 1 n n 2 1 n n 2 L " Hopital limn limn 2 n n 1 2 3 ... n
limn
2n 1 1 n 2
3º. Passo:
2
L " Hopital
limn
2 1
2
2
Funções Hiperbólicas
Motivação: Se um campo eletrostático E agir em um dielétrico polar líquido ou gasoso, o momento de dipolo resultante P por unida
de de volume é: ( ) = O que acontece quando E se aproxima de zero (positivamente)? Definição:
1.
Seno Hiperbólico: () =
2. Cosseno Hiperbólico: () = Pela “motivação”, temos a razão entre o cosh(x) e o senh(x) – basta dividir numerador e denominador por 2. Podemos definir como “cotangente hiperbólica” – idem às definições das trigonométricas. ~ 115 ~
APLIACAÇÕES: 1ª. Questão: Após determinar domínio de cada função, encontre as derivadas de: a) arccosx b) arccotgx -1 c) argcoshx (ou cosh x) d) argsechx SOL.:
Item A Se y = arccosx, então cosy = x e seu domínio é 0 ≤ x ≤ π Derivando implicitamente em relação à variável x, temos: seny.y’ = 1
Por conseguinte,
=
Todavia, a relação entre y e x é cosy = x. Ora, da relação fundamental da trigonometria, sen²y + cos²y = 1, temos que =
1
²
=
1
²
√ Assim sendo, √
Lembrar que a raiz negativa não estamos usando por ocasião do domínio. =
=
²
Item B Para y = arccotgx. Segue-se que cotgy = x. Com 0 < x < π Derivando implicitamente em relação à variável x, temos: cosec²y.y’ = 1 Da relação fundamental da trigonometria, sen²y + cos²y =
1, temos que, ao dividir ambos os membros da igualdade por sen²y, a relação: 1 + cotg²y = cosec²y. Assim, = =
²
Item C
~ 116 ~
Sendo y = argcoshx segue-se que coshy = x. Seu domínio éx>1 Derivando implicitamente em relação à variável x, temos: senhy.y’ = 1 Ora, a relação que há entre senhy e coshy é: cosh²y – senh²y = 1 (basta elevar ao quadrado cada função e fazer a diferença!) Desta feita, Item D
√ √ =
=
²
=
²
Dado que y = argsechx, segue-se que sechy = x. Domínio: 0 < x < 1. Derivando implicitamente em relação à variável x, temos: sechy.tghy.y’ = 1 De cosh²x – senh²x = 1, temos, ao dividir ambos os membros da igualdade por cosh²x: 1 – tgh²x = sech²x 1
=
1
1
√ √ .
=
.
1
²
=
1
²
ERRO:
Inobservância das definições. Ressalta-se também dificuldades nas operações... com feito, há necessidade de um “ciclo” no uso das relações trigonométricas (que são atreladas a um circulo trigonométrico. Ciclo = fechado!) 2ª. Questão: Se uma onda de comprimento L se move à velocidade v em um corpo de água com profundidade d, então
( * =
2
2
em que g é a aceleração da gravidade. Por qual motivo em águas pro fundas temos a aproximação: =
~ 117 ~
SOL.: Águas profundas... interpretar como d ∞ (ERRO frequente é esquecer esse detalhe!). Vamos, por conseguinte, calcular: lim ()
Onde “a” é uma constante positiva.
Ora, tal limite equivale a: lim () = l im + Nas “manipulações” de tghx, trocamos „x‟ por „ad‟
Reorganizando, usando o fato de a -b = 1/ab, temos: 1
lim = lim 1 + +
Realizando a soma de frações: 1 1 lim = lim 1 +1 + Simplificando,
1 1 lim = lim + 1 +1
Agora, como temos uma indeterminação (infinito/infinito), usaremos L‟Hopital
1 lim + 1
.
= ⏞
lim
2
2
~ 118 ~
=1
Logo, segue-se resultado. 3ª. Questão: Calcule
SOL.: Inicialmente, organizar a expressão
lim =
lim
2
Reorganizando, usando o fato de a-b = 1/ab, bem como realizando diferença de frações temos:
lim
2
1 2 = lim
Pela divisão de frações:
2 1 lim
1 = lim 2
Agora, como temos uma to/infinito), usaremos L’Hopital
1 lim 2 4º. Passo:
= ⏞
indeterminação 2
(infini-
1 lim = 2. 2 2
Esboço de gráficos
Só agora estamos apresentando esboço de gráficos em virtude das regras de L’Hopital e os tipos de função envolvidas. Antes, porém, faremos um resumão das principais regras de derivação:
~ 119 ~
( )() = () = lim Principais derivadas: ( )() lim (1) Se f(x) = g(x) ± h(x) f ’(x) = g’(x) ± h’(x)
(2)
Se f(x) = g(x).h(x) f ’(x) = g’(x).h(x) + g(x).h’(x)
(3)
() ().() ().() Se () = () ( ) = ²()
(4)
Se f(x) = g[h(x)] f ’(x) = g’[h(x)].h’(x)
(5)
Se f(x) = axn f ’(x) = n.a.xn – 1
(6) Se f(x) = sen(kx) f ’(x) = k.cos(kx) e f(x) = cos(kx) f ’(x) = - k.sen(kx) (7) Se p(x) = tg(kx) p’(x) = k.sec²(kx) e p(x) = cotg(kx) p’(x) = - k.cosec²(kx) (8) Se p(x) = sec(kx) p’(x) = k.sec(kx).tg(kx) e p(x) = cosec(kx) p’(x) = - k.cosec(kx).cotg(kx) ²² (10) Se p(x) = arcsen(kx), então () = √ ²² (11) Se p(x) = arcsec(kx), então ( ) = √ ²²
(9)
Se p(x) = arctg(kx), então () =
(12) Se p(x) = ekx, então p’(x) = k.ekx e p(x) = ln(x) p’(x) = 1/x Fazer um esboço do gráfico de: (a) f(x) = e-x²; (b) g(x) = e (c) h(x) = ² ² Os quatro passos básicos para esboço de gráficos: i. Obter domínio da função. ~ 120 ~
ii. Analisar o que ocorre com a função nos extremos de seu domínio. iii. Identificar intervalos onde cresce ou decresce a função. iv. Identificar tipo de concavidade em intervalos. Item (a)
Podemos reescrever () = ². Como não há restrições no domínio, segue-se que Domínio = ] , +[. Detalhe: f(x) > 0 para qualquer x no domínio. Por quê? O que ocorre nos extremos com a função? Ora, basta fa
zer x + bem como x - . Assim, lim± ² = 0 Para intervalos de crescimento ou decrescimento, analisar a derivada primeira (função crescente em intervalos onde f’(x) > 0 e função decrescente em intervalos tais que f’(x) < 0). Assim,
() = 1² = ² () = ² ( ) = 2 .
Por comodidade (por qual motivo?) fazemos inicialmente f’(x) = 0. Daí, x = 0 (favor verificar as contas!). Se x < 0 Note que f’(x) > 0, pois -2x > 0 (e > 0). Logo: crescente!
Se x > 0 Note que f’(x) < 0, pois -2x < 0 (e > 0). Logo: decrescente! Para o tipo de concavidade... (em dado intervalo): para cima se f’’(x) > 0 e para baixo se f’’(x) < 0. Assim, () = 2 () = ( 2) +
(2). ( )
~ 121 ~
Desenvolvendo, () = (2) + (2) ( ) (2) = (2) (1 2 ). Daí, f’’(x) = 0 1 2 = 0
Por conseguinte:
= = ± √
Se < √ (-2).(1 – 2x²) > 0 Concavidade para cima . Supor x = -3. √ √ Se < < ( -2).(1 – 2x²) < 0 Concavidade pa ra baixo. Supor x = 0 √ Se < ( -2).(1 – 2x²) > 0 Concavidade para cima. Supor x = 3. 8
Assim, CONCLUAM... (o essencial é invisível aos olhos...). Dica: Vide curva normal da Estatística... Ou seja... não apresentamos o gráfico, só a essência dos mesmos! Item (b) Como não há restrições no domínio, segue-se que Domínio = ] , +[. Com efeito, nos reais, x² + 1 > 0. Assim, g(x) > 0 para qualquer x no domínio. O que ocorre nos extremos com a função? Ora, basta fa zer x + bem como x - . Assim, lim± =0 ² Crescimento x Decrescimento
() = (1) (1 + ) 1 (1 + ) = 0 (1 + ) 2 = 2 (1 + ) (1 + )² (1 + )²
8
Lembram da estratégia de atribuir valores em dado intervalo... aqui ela se aplica!!!
~ 122 ~
inicialmente Por comodidade (por qual motivo?) fazemos g’(x) = 0. Daí, x = 0 (favor verificar as contas!). Se x < 0 Note que g’(x) > 0, pois -2x > 0. Logo: crescente! Se x > 0 Note que g’(x) < 0, pois -2x < 0 Logo: decrescente! CONCAVIDADE...
(2) (1 + ) (2). [(1 + ) ] = [(1 + )]²
()
Atenção à regra da cadeia (derivada da função composta)
()
(2) (1 + ) + 2 2 (1 + ) 2 = (1 + )
Colocando (1 + x²) em evidência e, em seguida, simplificando-o com um dos quatro (1 + x²) do denominador, temos:
()
(2) (1 + ) + 8² 6² 2 = = (1 + ) ( 1 + )
Daí, g’’(x) = 0 6 2 = 0 =
= ± √
Por conseguinte: √
Se < 6x² - 2 > 0 Concavidade para cima. Su- por o valor x = -3. √
√
Se < < 6x² - 2 < 0 Concavidade para baixo. Supor x = 0 Se
√
< 6x² - 2 > 0
Concavidade para cima. Supor
x = 3. Concluir... ~ 123 ~
Item (c) Como há restrições no domínio, pois caso o denominador zere, isto é, 1 – x² = 0 x = 1 ou x = -1. Segue-se que Domínio da função é igual a: ] , [ ] , [ ] + [. Reveja assunto limites infinitos e no infinito. Há um exemplo muito parecido... Mas, se de fato aprendeu, não precisa!
lim
O que 1 ocorre nos extremos 1 com a função?
=0 lim = 1 ² 1 ² 1 1 lim = + lim = 1 ² 1 ²
lim
1
= + 1 ² 1 lim =0 1 ²
Crescimento x Decrescimento (1) (1 ) 1 (1 ) 0 (1 ) (2 ) 2 = = ( ) = (1 ) (1 )² (1 )²
Notamos que h’(x) = 0 desde que x = 0. Notar, também, que o denominador é sempre positivo no domínio. Se x < 0 Note que h’(x) <0, pois 2x < 0. Logo: decrescente! Se x > 0 Note que h’(x) > 0, pois 2x > 0 Logo: crescente! CONCAVIDADE...
(2) (1 ) (2). [(1 )] ( ) = [(1 )]²
Atenção à regra da cadeia (derivada da função composta)
(2) (1 ) 2 2 (1 ) (2) ( ) = (1 )
~ 124 ~
Colocando (1 – x²) em evidência e, em seguida, simplificando-o com um dos quatro (1 – x²) do denominador, temos: ) ( ) ( 2 1 + 8² 6² 2 = ( ) = (1 ) (1 ) √ Daí, h’’(x) = 0 6 2 = 0 = = ±
Por conseguinte, com o cuidado das restrições do domínio, com efeito, (1 – x²)³ pode assumir valores negativos. Intervalo
Supor
Numerador é
Denominador é
Logo h’’(x)
Se x < -1
x = -2
Positivo
Negativo
() e C/P/B
x= -0,5
Positivo
Positivo
(+) e C/P/C
x=0
Negativo
Positivo
() e C/P/B
x = 0,5
Positivo
Positivo
(+) e C/P/C
x=2
Positivo
Negativo
() e C/P/B
Se
1 < <
Se
Se
√
√
<<
<<1
Se 1 < x
√
√
( ) significa sinal negativo de h’’(x) e (+) significa sinal positivo de h’’(x) C/P/B = Concavidade para baixo e C/P/C = Concavidade para cima Concluir... Neste caso, apresentamos gráfico (verifiquem 9 )
9
Podem ser usados softwares ou sites, tais como www.somatematica.com.br; www.wolpranalpha.com, etc.
~ 125 ~
Relembrar regras de derivação... considerando integral como antiderivada Principais integrais: Não obstante usar resultados anteriores... (considere k inteiro e positivo e “a” e “b”...)
(1)
∫∫ { ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (
+ )
=
(3) (4)
=
(7)
1,
)
ln|
+
+
+ |+
=
(
) cos(
)
=
(5) ( ) sen( ) = e como fica para cos(ax)cos(bx)? (6)
(
1,
=
(2)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
+
=
~ 126 ~
+
+
(8)
∫ ∫ = + ∫ = ( ) +
(9) e como fica para e axcosbx? (10)
| + ∫∫ == . . /+/ + = | ²
e
²
Oportunamente as fórmulas desconhecidas serão deduzidas. Por enquanto, justificaremos algumas. Já sabemos que (senx)’ = cosx. Por sua vez, a derivada de senx + π ou de senx + π/2 também é cosx. Desta feita, a antiderivada do cosx é a família de funções do tipo senx + C (acrescidas de uma constante). Ou seja, = + Por analogia, = + . Agora, seja a = . Como (cosx)’ =
∫ ∫ ∫ ∫
senx, considere a seguinte mudança de variável para facilitar visualização de regras u = cosx. Derivando ambos os membros da igualdade em relação à variável x (lembrar da derivação implícita):
= = = = = + Voltando para a variável x, ∫ = ln|| + = ln|| + Para ∫( + ) com n ≠ 1. E, é claro, a ≠ 0. ~ 127 ~
∫
= + , com n ≠ 1. Com efei Afirmo que to, basta derivar o lado direito da igualdade... Integral, por enquanto, é antiderivação... Desta feita, na ( + ) podemos considerar u = ax + b (função de dentro da composição). Assim, u’ = du/dx = a du = adx. = 1 = 1 + ( + ) = +1 1 ( + ) = + +1
∫
No tocante às aplicações. = = = + Pois a integral de dx é x + C* (já que (x + C*)’ ∫= 1).()Isto é, podemos integrar AMBOS os membros de uma igualdade. Alguns exercícios resolvidos para fixação de conhecimentos.
1 ª. QUESTÃO Se a função de consumo é dada por y = f(x), onde y é o consumo nacional total e x é a renda nacional total, então a tendência marginal ao consumo é igual a derivada do consumo com relação a x. Supondo x = y + s, onde s é a poupança, a tendência ds dy 1 (por quê?). marginal à poupança é dx dx a) Se a tendência marginal ao consumo (em bilhões de dy 0,2 . Quando a renda é igual a zero, o dólares) é 0,7 dx x consumo é de 8 bilhões de dólares. Ache a função de consumo. b) A tendência marginal a poupança é 1/3. Quando a renda é igual a zero, o consumo é de 11 bilhões de dólares. Ache a função de consumo.
~ 128 ~
SOLUÇÃO: Vamos justificar a fórmula... Sendo x = y + s, derivando em relação à variável x... (x)’ = (y + s)’ = (y)’ + (s)’ Daí, 1 = y’ + s’. Ou, s’ = 1 – y’. Item a)
1
dy 0,7 0,2 dy (0,7 0,2 )dx (0,7 0,2 x 2 )dx dx x x 1 2
y 0,7 x 0,4 x C 8 C
2ª. QUESTÃO A velocidade de uma partícula em M.H.S. é dada por v(t) = 4.cos(t + /6). Qual é a equação horária,s(t), dado que s(0) = 2?
SOLUÇÃO: V = ds/dt .: ds = v.dt .: s = 4.cos(t + /6)dt = 4.cos(t + /6)dt = 4. (1/ ).sen(t + /6) + C = 4sen(t + /6) + C.: s(0) = 2 .: 2 = 4sen(/6) + C .: C = 0.
3ª. QUESTÃO Calcule as integrais: e x dx a ) 1 3e x b ) cot gxdx
SOLUÇÃO: (a). Seja u = 1 + 3ex. Daí, du/dx = 3e x du = 3ex.dx. Assim, du
1 2
1 1 2
1 2 2 2 3 1 u du 1 c u c 1 3e x c x 1 3 1 3 3 u 3 1 3e 2 e x dx
u
~ 129 ~
supor u = senx. Por conse∫ = ∫ guinte, u’ = du/dx = cosx. Assim, ∫ = ∫ = ln|| + = ln|| + (b).
4ª. QUESTÃO Se dy/dx = xy, qual a função y = f(x)?
SOLUÇÃO:
integrando ambos os = ² ² = , membros da igualdade: lny = x²/2 + C = Separando as variáveis,
onde B = eC
5ª. QUESTÃO Calcule: a) (9 +
∫
√)
√ + + √ / ∫ . ∫ ² d)∫ . + √ + / b) c)
SOLUÇÃO: a) (9t t 2
1 2
3 / 2
)dt 9
3 2
t 3
3
1 2
t 1 / 2
(1 / 2)
C 3t 3 2t 1 / 2 C
5 2
1
5
1 x 2 2 2 b) ( x 3 )dx 1 3 5 C 2 x 15 x C 2 2 c)
x
x
senxdx ( du )
cos
cos2 x (cos x ) 2 u cos x du senxdx
1
u
(1)
1
1
u
cos x
C C
C sec x C
~ 130 ~
2
x
2
u
u 2 du
1
d) ( 1 e t t 2 t 1 )dt 1 e t t 2
2
3/ 2
1 t 2t 3 / 2 ln t C e ln t C 3 2 3 2
Mais exercícios resolvidos
Entretanto, recomendamos refazer exercícios até aqui vistos para um melhor PRINCIPAIS entendimento. ERROS – REGRAS DE INTEGRAÇÃO
01.
3x
2
2x 1 dx;
SOLUÇÃO: Usaremos o fato da integral da soma (e/ou diferença) ser a soma (e/ou diferença) das integrais. Assim, 3x²dx – 2xdx – dx Agora, usaremos o seguinte resultado: c.f(x)dx = c. f(x)dx, onde c é constante. Por conseguinte, 3x²dx – 2xdx – dx. Dado que xndx = xn + 1/(n + 1) + C, se n –1, Temos: 3.x³/3 – 2.x²/2 – x + C (todas as constantes juntas ainda formam constante...) Resp.: x³ – x² – x + C 1 02. x 3 dx ; x SOLUÇÃO: Notemos que 1/x3 = x-3. De [f(x) g(x)dx 1 = xn +g(x)]dx /(n +=1) f(x)dx + C, se n xndx 1, bem como Segue-se: xdx x-3dx = x²/2 + 1/2x² + C
03. x 2 3 x 2 1 dx ; SOLUÇÃO: ~ 131 ~
Fazendo uso das argumentações até aqui apresentadas, temos, não esquecendo que xn.xp = xn + p: x 8 / 31 3 11 / 3 2 2/3 8/3 x C . 1 ( 1 ) x x dx x dx x C x 8 1 11 3 19
04. (2x 3) dx; SOLUÇÃO: Já que [(ax + b)p ]’ = p(ax + b)p – 1.a = ap(ax + b)p – 1 são números reais e “a” diferente de zero. Com efeito, se u = ax + b. derivando ambos os membros da igualdade em relação à variável x, temos: du = adx, daí, up(du/a) = (1/a). updu ... (integração conhecida! Retornar, após integrar, para variável x). 1 (2 x 3)20 19 C Assim, (2 x 3) dx
05.
2
20
1 x2 dx;
SOLUÇÃO: 1 (2 x 1)3 / 2 (2 x 1) dx 2 3 / 2 C ... 1/ 2
2 ; 06. x 1 2x dx
SOLUÇÃO: A ideia é imaginar a função “de dentro” da composição como nova variável. Seja v = 1 – 2x² .: dv = 4xdx, ou, de maneira equivalente, xdx = dv/4
~ 132 ~
1 v 3 / 2 x 1 2 x dx (1 2 x ²) xdx v (dv / 4) 4 3 / 2 C 2
1/ 2
1/ 2
Como a variável de partida é x... retornar para ela: Assim: – (1 – 2x²)3/2/6 + C
07.
xdx ; 3x 2 1
SOLUÇÃO: Novamente a ideia é imaginar a função “de dentro” da composição como nova variável. Seja k = 3x² - 1 .: dk = 6xdx, ou, de maneira equivalente, xdx = dk/6 xdx 1 k 1/ 2 1 / 2 1 / 2 (3 x ² 1) xdx k (dk / 6) C 2 6 1 / 2 3x 1
13 (3 x ² 1)1 / 2 C
08.
dx ; 2 x 4x 4
SOLUÇÃO:
Notemos que x² – 4x + 4 = (x – 2)². Daí, (x – 2)-2dx = C + 1/(2 – x)
09. x 3 x x 1dx ; SOLUÇÃO: Reorganizando a integral:
x 3 x x 1dx x1 / 2 x1 / 2 . x 1dx ( x 3 / 2 1)1/ 3 x1 / 2 dx 3
Agora, faremos mudança de variável: v = x 3/2 – 1 .: dv = 3/2x1/2dx.
~ 133 ~
Assim, a integral fica: v1/3(2/3)dv = ... = ½.(x3/2 – 1)4/3 + C
10.
(x 1) x
dx1 ;
SOLUÇÃO: Inicialmente, desenvolver a soma: x 1dx x 1dx A xintegral do “+” não oferece resistência, com à direita
efeito, é só escrever (x – 1)1/2 Para a da esquerda... Seja u = x – 1 a expressão “de dentro” da composição. Derivando, du = dx e x = u + 1. Assim, x(x – 1)1/2dx = (u + 1)u1/2du = u3/2du + u1/2du...
11.
x 5 dx 3
1 x
3
;
SOLUÇÃO: Seja u = 1 + x³. Daí, derivando em relação à variável x, temos: du = 3x²dx. Assim, ³.² ∫ ( )/ = ( /
∫
()/ ∫ / = / )
∫ ( 1) =
∫
Resolvendo as integrais e retornando para a variável x, temos: /
(1 + ³) 5
/
(1 + ³) 2
~ 134 ~
+
2 ; 12. x cosx dx
SOLUÇÃO:
Seja u = x². Daí, du = 2xdx e a integral fica: ∫cos(x²)xdx = ∫cos(u).du/2 = ´.sen(u) + C Voltando para a variável x... sen(x²)/2 + C
13.
dx
1 cos
2
SOLUÇÃO:
x
;
Notemos que a integral equivale a ∫dx/sen²x = ∫cosec²xdx
= cotgx + C
14.
sen x dx; 1 sen2 x
SOLUÇÃO:
Reescrevendo, temos: ∫senxdx/cos²x Opções: Seja v = cosx. Daí, dv = senxdx. Por conseguinte, ∫dv/v² = ∫v-2dv = v-1 + C = secx + C Reescrever: ∫
15.
sen x x
=
∫ . = +
dx;
SOLUÇÃO: Não esquecer! Visualizar a composição e tentar considerar uma variável de apoio (mudança de variável). Assim sendo, seja m = √ = x1/2. Por conseguinte, dm = ½.x-1/2dx. Ou, de maneira equivalente, 2dm = dx/x 1/2. Desta feita, a integral fica: ∫sen(m).2dm = 2.( cosm) + C = 2cos(x1/2) + C ~ 135 ~
Nesta lição, apresentamos algumas aplicações envolvendo Equações Diferenciais Separáveis, isto é, devemos isolar em cada uma das equações em cada membro da igualdade uma variável com diferencial correspondente.
1ª. QUESTÃO A Lei de Newton para o resfriamento de um objeto diz que a taxa de a qual um corpo perde calor é proporcional à diferença entre a temperatura (T) e a temperatura do meio ambiente (Tm ). Isto é,
= ( )
Sendo k constante de proporcionalidade. Quando um bolo é removido de um forno, sua tempera0
0
tura é medida como 300 C.0 Após 3 minutos, é 200 C. Se a temperatura ambiente é de 30 C, após quanto tempo a temperatura do bolo será de 40 0C?
Solução:
Resolvendo a equação temos:
= ∫ = ∫
Entendendo:
~ 136 ~
* Inicialmente, isolamos as variáveis. variáveis. * Em seguida, seguida, integram integramos os ambos ambos os membros membros da igualdade. igualdade. Assim ssim:: ln| ln| T – T m | = k t + C o u, eq equivalentemente, = + Isto é, usamos usamos a definiç definição: ão: lna = b a = eb Podemo Podemoss desenv desenvolv olver er um pouco pouco mais: mais: ekt + C = ekt.eC T Agora, = 30 é só substituir valores: m
Para t = 0, T = 300 Para 300 (lem (lembr brar ar:: qua quall sua sua idad idadee no no ano ano de seu seu nasnascimento?) Parra t = 3, T = 200 Pa E, E, t = 40 T = ?
2ª. QUESTÃO Supo Suponh nhaa que que a gram gramas as de de um elem elemen ento to quí quími mico co A seja sejam m combin combinada adass com b grama grama de um elemen elemento to químic químico o B. se existi existi-rem M parte partess de A e N partes partes de B forma formadas das no comp composto osto,, e X(t) é o número de gramas do elemento químico C formado, então... = ( )( ) Onde = a(M + N)/M e = b(M + N)/N N)/N e k é cons cons-tante. Um composto composto C é formado formado quando quando dois elemento elementoss químicos micos A e B são combin combinado ados. s. Para Para cada cada grama grama de A, 4 gram gramas as de B são utilizados. utilizados. Em 10 minutos, 30 gramas gramas de C são formados. Se Se inicial inicialmente mente há 50 gramas gramas de de A e 32 grama gramass de B, B, determin terminee a quanti quantidad dadee de C em um tempo tempo t.t.
Solução:
Temos:
( )( )( )
≠ β , pois se forem = . Supondo α
iguais, já sabemos resolver. A integral integral da direita direita da igualdade igualdade não oferece oferece resistência resistência.. Surge Surge uma uma pergun pergunta: ta: é poss possíve ívell separ separar ar o produt produtoo como como uma uma soma soma,, porque, isoladamente, cada integral é conhecida? ~ 137 ~
Sim, com com efeito, efeito, podemos podemos usar: ( )
(
)
+
Onde Onde p e q são são cons consta tant ntes es.. Por Por quê? quê? Poi Pois, s, se se fosse fossem m poli polinô nômi mios os com com grau grau maio maiorr ou igu igual a um, pode poderí ríam amos os divi dividi dirr e, ao usar sar a iden identi tida dade de de polinômios, seus coeficientes seriam identicamente nulos. nulos. Ah! De (a – b) = -(b – a), reescrevemos: (a – x)(b – x) = [-(x – a)][-(x – b ) ] = (x ( x – a)(x – b)... b). .. só só para para faci facilit litar ar uso de sinais sinais..
Pela Pela soma soma de fra fraçõ ções: es:
(
)(
(
)
(
)
)(
(
)
)
Denominado Denominadores res são idênticos, idênticos, logo, numeradore numeradoress também também devem ser: ( + ) +( 1 ) Lembrar que 0X + 1 = 1. 1. Assim, Coef Coefic icie ient ntes es de “x”: “x”: 0 = p + q
(eq1)
Coeficientes de “x 0 ” (ou (o u term te rmo o s in i n depe de pend nden ente tes) s):: 1 = p β – qα
(eq2) De (eq1) (eq1):: p = q Substi Substitui tuindo ndo em (eq2): (eq2): 1 = ( q)β – – qα 1 = q(β – α)
5 4 ∫ ∫ =
Por Por fim, fim,
Assim,
(
=
)(
)
=
Pass Passan ando do para para fora fora da inte integr gral al a cons consta tant ntee e usan usando do resu result ltad ados os dos dos logaritmos, logaritmos, a saber: lnA – lnB = lnA/B, temos: 1 1 = ( )( )
| |
Agora é só igualar e resolver o problema. ~ 138 ~
3ª. QUESTÃO Se v(t) = (1 + cosht) 1/2, encont encontre re uma uma express expressão ão para para a: a) aceleração e b) equação horária.
Solução: Como Como a(t) a(t) = v’(t), v’(t), segue segue-se, -se, pel pelaa regr regraa da cade cadeia ia,, que: que: 1/2 – 1 a(t) = ½.(1 + cosht) .(1 + cosht) cosht)’’ = senht/ senht/2(1 2(1 + cosht) cosht) 1/2 Já, para deslocamen to, , como to como v(t) v(t) = s’(t s’(t), ), segue- se se que que s(t s(t)) = ∫v(t ∫v(t)d )dt.t. Repa Repare rem m que não não é int inter eres essa sant ntee con consiside dera rarr u = 1 + cosh coshtt (fun (funçã çãoo de “de “den-
tro” da composiçã composição). o). Com Com efeito, efeito, du = senht.dt. senht.dt. Assim, vamos pensar no “simples”.
∫
Pela Pela defini definição ção de cosht: cosht: ( ) =
dt
1+
Usan Usando do o fato fato de que que e-t = 1/et bem bem como como soma soma de fraçõ frações, es, segu seguee-se: se: ( )=
1+
+
1
=
1+
( )²+1
2 =
2
2
+ ( )²+1 2
Agora, como numerador e denominador são ambos positivos, usare- moss o fato mo fato de que que a raiz raiz do do quoc quocie ient ntee é o quoc quocie ient ntee das das raí raízes zes.. Além Além deste deste t fat fato, o, notar notar que que o nume numera rado dorr é um um prod produt utoo notá notáve vel, l, a sabe saberr (e + 1)². Deste modo:
√ √ ∫⁄ √ ( * ( )=
+1
=
2
2 2
(
+
)
Não esquecendo que a b /a c = a b – c . Pelo Pelo fat fato da inte integr gral al da da soma soma ser ser
=
a soma das integ integrai raiss e sendo sendo
2 1 2 2
1 2
+ , temos:
+ …
Interessant Interessante... e... quem são expressões expressões para cosh(x/2) cosh(x/2) e senh(x/2 senh(x/2)... )... ~ 139 ~
4ª. QUESTÃO Experimentos mostraram que a taxa à qual um elemento radioativo decai (medindo o número de núcleos que se transformaram por unidade de tempo) é proporcional ao número y(t) de núcleos radioativos presentes no instante t. A constante de proporcionalidade é chamada de constante de decaimento. A. Escreva e resolva uma equação diferencial que descreva o decaimento radioativo, considerando a condição inicial y(0) = y0. B. Meia vida de um elemento radioativo é o tempo necessário para que metade dos núcleos radioativos inicialmente presentes em uma amostra tenha decaído. As pessoas que fazem datação por carbono 14 usam um valor de 5.700 anos para sua meia vida Determine a idade de uma amostra em que 10% dos núcleos radioativos srcinais presentes já decaíram.
Solução:
Pelo enunciado:
= , sendo k constante de proporcionalidade (no caso, é negativa porque está diminuindo a quantidade...). Isolando variáveis e resolvendo, chegamos em (compare com primeira aplicação): ln|y| = kt + C y = e kt .e C . C Para t = 0... y(0) = e0 .e .: y 0 = eC.
~
Para item (b): Meia-vida: y = ½.y 0 .: y = y 0 . e kt ½.y 0 = y 0 . e5700.k Daí, é com vocês... (com efeito: 5700k = ln1/2 = ln2...)
5ª. QUESTÃO Uma célula esférica tem volume v e área de superfície s. Um modelo simples de crescimento celular antes da mitose admite que a taxa de crescimento (dv/dt) é proporcional à área da superfície da célula. Encontre um modelo matemático para equação diferencial e o resolva.
Solução: ~ 140 ~
~ Organizando, = , sendo “a” constante de proporcionalidade (a > 0, pois “crescimento”) ³e s = 4π x ², onde Ora, sabemos que = x = x(t) é o raio Pelo enunciado,
(variável).
Como no problema não há indicação (explícita) do uso do raio, vamos relacionar v e s.
= √ = - quem é a constante positiva b? = = 4² = 4². = - quem é a Daí, /
Assim,
/
/
constante positiva k? Por fim,
= ∫ = ∫ = + 2 1 + ( 3) + = ( ) = ( * /
Organizando,
/
(
Finalmente,
)
3
Vários outros modelos seguem essa estratégia: separar variáveis. Não separar variáveis é Cálculo II.
~ 141 ~
O sangue que atravessa uma artéria, ou água que escoa em uma tubulação de esgoto ou o ferro usado em colunas de construções... são cilindros. Cilindros (esferas e cones) são sólidos de revolução, isto é, obtidos pela rotação em torno de um eixo. Neste tópico trabalharemos com integrais definidas. Para resolver, basta usar o Teorema Fundamental do Cálculo:
∫ () = () () onde g’(x) = f(x). Sob quais condições? () = () () = [()] Uma interpretação para ∫ ( ) pode ser área,
supondo f(x) ≥ 0, da região compreendida entre as retas vert icais x = a e x = b, acima do eixo dos x e abaixo da função (contínua) y = f(x).
~ 142 ~
Fazendo-se uma região plana girar em torno de uma reta do plano, o sólido resultante é chamado sólido de revolução. A reta em torno da qual se processa a revolução é chamado eixo de revolução. Seja f contínua em [a, b]. O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos de
∫ . =
f, de x = a, x = b e do eixo x é dado por: = [ ( )]² Caso a rotação seja dada em torno do eixo y, temos:
∫ ()
Aplicações: Deduzir, via integração: (a) volume de um cone circular reto de altura H e raio da base R e (b) volume de uma esfera. Antes, porém, observar as questões resolvidas abaixo:
1ª. QUESTÃO
Um barril com altura h e raio máximo R é construído pela rotação ao redor do eixo x da parábola y = R – cx²,
, onde c é
uma constante positiva Encontre seu volume aproximado.
Solução: Rotação em torno do eixo x:
/ / /² = /( )²
Desenvolvendo o integrando:
/ / /( )² = /( 2 + ²) Usando o fato que a integral da soma é a soma das integrais, bem como que a integral de uma constante ao multiplicar
~ 143 ~
uma função fica o produto da constante pela integral da função, temos:
/ / ² ∫/ 2∫ + ² ∫/ Como temos a integral de xn, para ‘n’ diferente de ‘-1’, temos:
³ 4² 2 + ² 5 /
3
Agora, é só concluir...
5
/
2ª. QUESTÃO Deduzir volume de um tronco de cone via integração.
Solução: Procure imaginar a região. Usaremos rotação em torno do eixo x. Experimente rotacionar em torno do eixo y. Sejam A e B os raios das bases menor e maior, respecti vamente. Considere H a altura. A reta em questão (que está inclinada em relação ao eixo x), que é da nossa função f(x) = ax + b, passa pelos pontos (0, A) e (H, B) – Dúvidas? Passando em (0, A) A = a.0 + b b = A Passando em (H, B) B = a.H + A a = (B – A)/H Logo, Como,
Segue-se,
+ () = = ∫ [ ()]²
~ 144 ~
= [ + ]² = [() (0)] () = 6(² )² ² + 2 + ²7 ² + ² )² ³ () = ( + 2 ² 3 2 ()² () = ² 3 + 2 2 + 2 + ( ) + ² ( )= + 3 ( + + ) 3 De onde,
Desconsiderando a constante...
Como g(0) = 0, segue-se que
Organizando, e multiplicando por “pi”...
3ª. QUESTÃO Uma empresa possui um número muito grande de automóveis para serem usados pelos funcionários. Os registros do tempo em que cada carro se encontra fora de serviço para reparos são tomados como elemento básico para decidir quando um carro deve ser vendido. A função de frequência para o número total de dias em que um carro se encontra fora de serviço, antes que seu conserto se torne dispendioso e em condições de ser vendido é: f(x) = 0,2e – 0,2x , x > 0. Ache a probabilidade para que um carro esteja fora de serviço por mais de 30 dias. Isto é, 1
Solução: Basta usar expressão:
~ 145 ~
∫ ()
1 ( ) = 1 0,2 , = 1 0,2[(30) (0)]
∫ = + . ,
Onde, ( ) =
,
,
+ (30) Assim, 1 0,2[∫ (0)] = 1 + ( ) = 0,24% Lembrar:
=
Onde foi parar C? Em integrais definidas, elas são
simplificadas. 4ª. QUESTÃO Sob certas condições econômicas, o ganho total do consumidor é representado pela área debaixo da curva de demanda e acima da reta y = y 0 . Esta área é designada por Marshall como excedente do consumidor e é calculada por (sendo y = f(x) função de demanda):
x 0
Excedente do consumidor = f ( x ) dx x 0 y 0 . 0
Se a função de demanda é y = 32 – 4x – x², ache o excedente do consumidor se x 0 = 3.
Solução:
Sendo x0 = 3, segue-se que y 0 = 32 – 4(3) – (3)² = 11. Assim,
∫(32 4 ) 33 =
33 = (96
18 9) 33 = 36
³ 032 4 1
5ª. QUESTÃO Sob certas condições, o ganho total do produtor é representado pela área acima da curva de oferta e abaixo da reta y = y0 (preço de mercado). Tal ganho é conhecido como excedente do produtor. Esta área é calculada pela expressão:
~ 146 ~
Excedente do produtor = x 0. y0 -
x 0
0
f ( x ) dx .
Onde x 0 é a oferta de mercado correspondente ao preço y0 . Se a função de oferta é y = (x + 2) 2 e o preço y0 = 25, ache o excedente do produtor.
Solução: De yo = 25, segue-se 25 = (x + 2)² Assim,
x = 3.
( + 2) 125 8 3 25 ( + 2) = 75 6 7 = 75 [ ] = 36 3 3 3 6ª. QUESTÃO Calcule a área entre as funções y = x² e y = |x|. Esboçe a situa ção.
Solução: O esboço da situação não será apresentado. Fica como exercício extra... Que podemos até usar ideia de simetria!
Problemas que envolvem áreas entre curvas consistem em obter os pontos de interseções entre elas. Dados dois pontos consecutivos, analisar qual função está acima e qual função está abaixo. Assim,
= ∫ () ∫ () = ∫[ () ()]
Como queremos área entre curvas, precisamos encontrar as interseções dessas. Se x < 0, então g(x) = |x| = x. Daí, x² = x x = 1 ou x = 0. Notar que, no intervalo de “1” a “0”, g(x) assume valores maiores que f(x). ³ 1 1 1 ( ) = = = 0 + = 2 3 2 3 6 Se x > 0, então g(x) = x. Por conseguinte, x² = x x = 0 ou x = 1. Notar que, também no intervalo de “0” a “1”, g(x) assume valores maiores que f(x).
6 7 [ ( *]
~ 147 ~
∫ 6 7 =
(
)
=
³ 3
2
Logo, basta somar as áreas.
=
[( *] 1 2
1 3
=
1 6
7ª. QUESTÃO Encontre o volume do sólido de revolução, gerado quando a região limitada pela curva x y a e os eixos coordenados, gira em torno do eixo Y.
Solução:
√ √ √ √ √
Ser limitada pelos eixos coordenados... Quando x = 0 y = a. E, quando y = 0 x = a. + = implica
=
=
2
+
. Por que elevamos ambos os membros ao quadrado? Porque, pela expressão do volume em torno do eixo y, precisamos de f(x).
=
∫
( )
=
∫ (
2
√
+
*
Desenvolvendo expressão de dentro da integral e integrando,
³ ² ∫ ( 2√ + ²* = √ + = = ³
Agora, finalmente, deduzir volume de uma esfera de raio R. Uma esfera é obtida pela rotação de uma semicircunferência em torno de um de seus diâmetros. Algo nos impede de supor um diâmetro sobre o eixo x? Não. Podemos também supor que o centro desta semicircunferência esteja na srcem do sistema de coordenadas cartesianas. Sabemos que a equação de uma circunferência de centro (xc, yc ) e raio R é dada por: (x – xc)² + (y – yc)² = R². Estando na srcem, ficamos com x² + y² = R². Podemos, também, usar
~ 148 ~
simetria. Isto é, considerar só a região do primeiro quadrante e, em seguida, multiplicar por “2”. Como esta atividade é de fixação, usaremos as duas fórmulas para volume, lembrando que 0 < x < R . Lembrando que devemos obter, sem a simetria 2πR²/3. 2πR²/3. De x² + y² = R² y² = R² – x² ou
= √ ² ² = (² ²) /
Rotação eixo x:
³ ³ = [ ()]² = ( )² = 6² 7 = Rotação eixo y:
=
() =
²)
( ²
Como há composição, seja u = R ²
/
². Daí,
=
2 = ∫ ( ) = ∫ = + = ( ) + . Logo, na integral, /
.
Aplicando limites de integração e fazendo a diferença, chegamos no resultado. Verificar!
~ 149 ~
OBSERVAÇÃO: São apresentadas uma maneira de solução para cada questão (que serve de motivação). Estratégias diferentes podem (e devem) ser utilizadas. 1ª. QUESTÃO Considere v(x) a velocidade de uma partícula. Encontre a(x) e s(x) nos seguintes casos: a) V(x) = eaxsen(bx) b) V(x) = eaxcos(bx) c) V(x) = arctg(kx) Solução: Lembrando: a(x) = v’(x). Assim, respectivamente temos: Para v(x) = e axsen(bx). Note que v(x) = p(x).q(x), sendo p(x) = e ax e q(x) = sen(bx). Por conseguinte, v’(x) = p’(x).q(x) + p(x).q’(x). Todavia, tanto p(x) quanto q(x) são funções compostas. Ou seja, p(x) = eax = f(g(x)) onde f(u) = eu e g(x) = ax. Dado que p’(x) = f’(g(x)).g’(x), segue-se que p’(x) = aeax. E, q(x) = i(j(x)), sendo i(z) = senz e j(x) = bx. Daí, q’(x) = bcos(bx). Logo, [eaxsen(bx)]’ = aeaxsen(bx) + beaxcos(bx)
~ 150 ~
Por analogia, [eaxcos(bx)]’ = aeaxcos(bx) – beaxsen(bx) E, no caso de v(x) = arctg(kx), segue-se que v’(x) =
()²
Relembrando... [f + g]’ = f’ + g’ Assim, considere:ax ax [e sen(bx)]’ = ae sen(bx) + beaxcos(bx) [eaxcos(bx)]’ = aeaxcos(bx) – beaxsen(bx) Para “eliminar”, por exemplo, eaxsen(bx), fazemos o seguinte procedimento: Imagine, caso não visualize, y = e axsen(bx) e z = eaxcos(bx). Daí, tem-se: (y)’ = ay + bz (z)’ = by + az Que b(y)’ equivale = aby + (pelo b²z método da adição – lembram?) a(z)’ = aby + a²z Somando, (a² + b)²z = a(z)’ + b(y)’ Por analogia, a(y)’ = a²y + abz b(z )’ = b²y abz Somando, (a² + b)²y = a(y)’ – b(z)’ Integrando ambos os membros da igualdade, usando o fato que a integral da soma é a soma das integrais e organizando, temos:
cos() = [() + cos cos(()] + ∫ cos( ² + ² Repetindo raciocínio (é claro, subtraindo...) ∫ sen( sen() = cos(()] + ² + ² [() cos
~ 151 ~
Por fim, no caso da
() Usaremos integração por partes... ∫udv = uv - ∫vdu Considere u = arctg(kx) e dv = dx.
Daí, du = ()² e v = x (desconsideramos cons tante porque...) Assim,
() = . () 1 +()² Para segunda integral, seja w = 1 + k²x² .: dw = 2.kx.dx
1 2 1 + ()² = = 12 ln|| = 12 ln |1 + | Organizando, () = . () 12 ln|1 + | +
2ª. QUESTÃO Resolva, sendo n e m números inteiros e positivos, nos seguintes casos:
(a) m = n e (b) m ≠ n:
∫ . /. /dx . /. /dx b) Solução: Vamos∫deduzir as integrais de: () cos() ()() Sabemos que: i. ( + ) = + ii. ( ) = a)
~ 152 ~
+
( + )= iii. ( )= iv. Daí, Somando (I) com (II), temos:
1 = [ 2
( + ) + ( )]
Somando (III) com (IV), temos:
1 = [ 2
( + ) + ( )]
Fazendo (IV) – (III), segue-se:
1 = [ 2
( ) ( + )]
Ou seja, preparamos as integrais, considerando u = ax e v = bx
1 () cos( cos() = [( + ) + ( )] 2
Sabemos que
∫ = +
cos() = 0 + 1 + ∫ () cos( E, ∫ ()sen(bx) = ∫ [( ) ( + ) ] (
Assim,
Sabemos que Assim,
)
(
)
+ ∫ =
∫ ()sen(bx) = 0
(
)
(
)
1+
No caso do problema, considere a = 2πm/k e b = 2πn/k, por conseguinte: Soma: a + b = 2(m + n)π/k Diferença: a – b = 2(m - n)π/k Para os casos de m = n - usamos a relação fundamental da trigo²( ) nometria: sen²u + cos²u = 1 em conjunto com cos2u = cos²u –
∫
~ 153 ~
sen²u. Motivo: relacionar sen²u (ou cos²u) – expressão desconhecida, com cos2u, a qual é conhecida a integral. Daí, cos2u = 1 – 2sen²u. Ou seja, sen²u = (1 – cos2u)/2 (1 ² = 2 ) = Deste modo,
. / +
∫ ∫
seja u = ax. Assim, ²( ) ∫ ²() = 1 ² = 21 ( 22* + 2 + = 2 4 Seja () = 2 42 +
Por conseguinte, em du = a.dx
G(0) = C
+ = () + = +C Logo g(k)– g(0) = k/2 G(k) =
Nota: sen(2πm) está no eixo dos cossenos… por isso vale 0. Para item “b” no caso de m = n, segue-se:
() cos() = 12 2() cos() 1 1 = (2 ) = cos(2 ) + 2 4
Pelos argumentos anteriores, quando x = k... cos(2ax) = 1,
em particular, x =– 0, segue-se Logo, g(k) g(0) = 0 mesmo resultado!
Agora, m ≠ n
∫ . /. / = – pois ficamos no
eixo dos cossenos...
~ 154 ~
∫ . /. / = pois ficamos no
eixo dos cossenos e... 3ª. QUESTÃO
Calcular o volume V da região obtida pela rotação em torno do eixo y da função f(x) = e-x , desde x = 0 até x = ln2.
Solução:
Esta questão visa fixação das técnicas de integração.
= () No caso, = ∫
Da derivada do produto temos a integração por partes:
= Vamos deduzir ∫ . Seja u = x e considere dv =
ekxdx. Caso não faças tal escolha, a segunda integral ficará mais trabalhosa (verifiquem!). Assim: De u = x, segue-se que du = dx. De dv = e kxdx, segue-se que v = (1/k) e kx (a constante é desconsiderada...) Substituindo,
= ⏞ 1 1 = 1 1 +
∫ = ( ) + Assim, = 2 = 2[ ( + 1)] ∫ Concluir as operações, lembrando que = = Organizando,
( )
1/ .
~ 155 ~
4ª. QUESTÃO Seja f uma função suave (f e sua derivada f’ são contínuas) em [a,b]. O comprimento de arco do gráfico de f de A(a,f(a)) à B(b,f(b)) é dado por:
= 1 + [ ()]²
Encontre o comprimento do arco da curva 8y = x 4 + 2x -2 do ponto onde x = 1 ao ponto x = 2.
Solução:
O objetivo desta questão é mostrar que a escrita, quanto mais simplificada for, mais detalhes comunica/informa. Conforme expressão, devemos realizar os seguintes procedimentos: i. Obter a derivada ii. Elevar ao quadrado Somar “1” iii. iv. Extrair raiz quadrada v. Integrar.
. ERRO comum, é de= ³ (i). = + senvolver esta soma. Não precisa, com efeito, é mais acessível mexer com soma do que com produto.
. / = 2 ./. / + = +
(ii). ( ) =
(iii). ( ) + 1 = + + = = . + / , “bas-
ta” comparar.
(iv)
… 0 1
e
(v ):
= ∫ √ 1 + [ ()] = ∫ . + / =
Concluir!
Viva a cada dia como se fosse o último... uma dia você acerta! Até lá, viva com intensidade, respeitando os limites e valorizando as potencialidades de cada um... só assim, 1 + 1 > 2.
~ 156 ~
Este tópico trás aintegração por substituição trigonométrica. Apresenta outras técnicas a partir do tipo de função. Considere:
x
dx 2
x 3
;
Solução.: Ou recordamos as derivadas das funções trigonométricas inversas para esta integral ou vamos recordar a técnica de integração conhecida como substituição trigonométrica: Integrando
√ ²² + ²
Faça
Pois
Não esquecendo que
.au = b.tgx
.(au)² = b².tg²x .a²u² + b² = b².sec²x
.du = (b/a).sec²x.dx
√ ² ²
.au = b.secx
√ ² ²²
.au = b.senx
.(au)² = b².sec²x .a²u² – b² = b².tg²x .(au)² = b².sen²x .b² – a²u² = b².cos²x
~ 157 ~
.du = (b/a).secx.tgx.dx
.du = (b/a).sec²x.dx
√ de onde dz = √3 . . ² 3 = √3. Por conseguinte, Fazendo as devidas substituições na integral, temos: . . 1 √3 ( * + = + = √√33 3 . √3 √3 √3 Assim, seja x = 3
Mais questões para fixação de ideias 2).
dx e
2x
;
1
Solução:
Notemos que e2x = (ex)². Assim, seja u = ex, por conseguinte, du = e xdx Desta feita, e2x – 1 = u² 1. = ( ) + Logo, = =
∫
∫
.
∫
.
²
Lembremos que k = k.1 = k.(u/u), desde que u não seja igual a zero. Assim, multiplicamos tanto o numerador quanto o denominador por ex. 3).
dx
x nx;
Solução:
Dado que (lnx)’ = 1/x, fazendo u = lnx, com du = dx/x, temos:
∫du/u = ln|u| + C = ln|lnx| + C
4).
e x dx ; e x 1
Solução:
Façamos v = e x + 1, daí, dv = e xdx. 1/2 dv = 2(ex + 1)1/2 + C ~ 158 ~
Por conseguinte, ∫v -
5).
e
x x2
dx;
Solução:
Consideremos v = x². -v e + C = e-x² + C 6).
cosh e x
ex
Assim, dv = 2xdx e temos ∫e -v dv =
dx;
Solução:
Conforme observamos, há composição. Assim, seja v =e-x Por conseguinte, dv = e-xdx = dx/ex. Logo, ficamos com: ∫coshv(dv) = senh(v) + C = senh(e-x) + C dx 7).
x senh 2 nx ; Solução:
Consideremos v = lnx (pois está “dentro” dacomposição). Daí, dv = dx/x.
Assim, ∫dv/senh²v = ∫cosech²vdv = cotgh(v) + C = cotgh(lnx) + C... Neste caso, podemos até desenvolver um pouco mais! 8). ∫
³
Solução:
Inicialmente, consideremos x ≠ 1 (por quê?) Como o numerador tem grau maior que o denominador, vamos dividir polinômios. Obs.: Caso precisemos, podemos usar a soma de integrais. Neste caso em particular, lembrar produtos notáveis: x³ + 1 = x³ + 1³. ~ 159 ~
Como a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²), segue-se que x³ + 1 = (x + 1)(x² x + 1). Por conseguinte, (x³ + 1)/(x + 1) = x² x + 1. Logo a integral fica: ∫( x² x + 1)dx = x³/3 – x²/2 + x + C
2
n 2x
x(1 nx) dx; Solução: 9).
Aparecendo lnx no integrando e x no denominador... fazemos z = lnx e dz = dx/x. ²
. Assim a integral fica: ∫ Estratégias: i. Dividir polinômios. ii. Mexer com a expressão: notemos que 2 – z² = 1 + (1 – z²) = – 1Daí, + ( 21 – z² z)(1 z).dividido por 1 + z equivale a: ao+ser 2 ² 1 + (1 )(1 + ) 1 = = + 1 1+ 1+ 1+
Comparemos o resultado obtido em cada uma das estratégias... é o mesmo! Assim, a integral resulta em ln|1 + z| + z – z²/2 + C = ln|1 + lnx| + lnx – (lnx)²/2 + C 10).
x
2
x 1 dx; 2x 2
Solução:
²
Notemos que x² 2 x + 2 = x ² 2 x + 1 + 1 = ( x – 1)² + 1. Fazendo z = x – 1, temos que dz = dx. Daí, ∫ ² = ∫ () = ∫ = ∫ ² +
2 ∫
~ 160 ~
Obs.: Acrescentaremos “C” só no final... A integral da direita do “+” é 2.arctgz = 2.arctg(x – 1). Já a da esquerda, se u = z² + 1, então du = 2zdz e ficamos
com ∫du/2u = ´.ln|u|
Voltando para z: ½.ln|z² + 1| - o módulo pode ser retirado... por qual motivo?
Por Voltando para x: ½.ln|(x – 1)² + 1| = ½.ln|x² fim, ½.ln|x² 2x + 2| + 2.arctg(x – 1) + C 2x + 2| 11).
dx
2e
2 x
1
;
Solução: Vamos desenvolver...
=
2
=
2
1
(
)²
2
(
)²
( )²
=
2
( )²
Diante da composição mais interna, seja u = e x, por conseguinte, du = exdx. Assim,
∫
²
Faremos agora substituição trigonométrica: u = Com efeito, 2 – u² = 2 – 2sen²v = 2cos²v. Além disso, du = 2. Por conseguinte,
∫ √ √ . √ / .
=
.
+
2.
.
√ √ ∫ . √ / =
+ =
~ 161 ~
+
=
12).
dx 6
5
x x
;
Solução: Como há raiz quadrada e raiz sexta e o m.m.c. entre “2” e “6” é “6”, seja x = z 6. 5
Por conseguinte, dx = 6z dz. Daí, ( ) √ = ³ = 6
∫ / ²
= 6 ∫ .1 + ∫ ∫ ²² = 6( + ) +
Lembrando que fizemos divisão de polinômios, ou, de maneira equivalente, reescrevemos o numerador como z² +1 – 1. Voltando para a variável x... 6 + .
( √ √ )
~ 162 ~
Integrais impróprias são integrais sendo que um dos limites de integração é ∞ ou +∞ ou quando há valores de descontinuidade da função dentro do limite de integração. Várias são suas aplicações, conforme apresentadas em breve. Como estratégia: fazer mudança para tornar a integral definida! Exemplos: no caso abaixo:
∫ = lim ∫
ou como
Motivação:
Astrônomos usam uma técnica chamada estereografia estelar para determinar a densidade de estrelas em um aglomerado estelar a partir da densidade (bidimensional) observada, que pode ser analisada a partir de fotografia. Suponha que em um aglomerado esférico de raio R a densidade de estrelas dependa somente da distância x do centro do aglomerado. Se a densidade estelar aparente for dada por y(a), onde “a” é a distâ ncia planar observada do centro do aglomerado e f(x) é a densidade real, então pode ser mostrado que: 2 ( )= ( )
√
Ache a densidade aparente se a densidade real for f(x) = (R – x)²/2. ~ 163 ~
Solução: ERRO: NÃO CONSIDERAR INTEGRAL IMPRÓRIA, porque x > a.
∫ √ . Notem que é uma integral (
Queremos:
)²
imprópria. Com efeito, o domínio tem que satisfazer: x² a² > 0. Ou seja, x < a (desconsiderado!!!) ou x > a Desta feita, “excluímos” o valor de “a” substituindo -o por “b”. A s- sim, a integral fica própria. O resultado final será em função de b. Por fim, basta fazer b a por valores maiores que “a”:
( ) =
( )² lim ² ²
Inicialmente, resolver a integral indefinida. Estratégias: ou desenvolver o produto notável e, em seguida, usar o fato de que a integral da soma é a soma das integrais, ou substituição trigonométrica. Lembrando que, por ser integral definida, as constantes em cada caso serão desconsideradas (Por quê?) Neste segundo caso, seja x = a.sect. Daí, x² a² = a²sec²t – a² = a²(sec²t – 1) = a².tg²t. E, dx = a.sect.tgt.dt Por conseguinte, ( )² ( ²)²² =
Simplificando e desenvolvendo, temos:
²
(
2
+
)
∫ 2 ∫ ³ = 2² Caso II: ( + | + |)
Usando o fato de que a integral da soma é a soma das integrais, e, para melhor compreensão , isolando cada integral a ser calculada, temos: Caso I: ² ² = ²
~ 164 ~
∫ ∫ Caso III:
³
²
²
=
³
(1 +
)
²
Neste caso, usamos o fato de uma das sec²t ser 1 + tg²t, pelo motivo de conhecermos a derivada de tgt. Daí, ³( ² + ( )² ² )= ³ ³
. / ∫ ∫ √ ( | |* +
Fizemos a seguinte substituição “mental” u = tgt .: du = sec²tdt, fi- cando com a integral de u²... Agora, retornar para variável x: Como x = a.sect, temos sect. = x/a e, de sec²t = 1 + tg²t, temos, considerando a raiz positiva (por quê?):
=
²
² ²
1=
1=
²
²
Logo, cada caso fica:
²
Caso I:
= ²
²
Caso II:
² ²
²
²
²
+
5 4 ,
Caso III ³
²
1+
=
²
. / ²
²
²
² 1+
²
²
Optamos por não desenvolver mais, antes de aplicar limites de inte- gração, por crermos que fica mais fácil a visualização de alguns “cortes”!
∫
( ) = ( ) ( ), ( ) = ( ) , bem De como, fazendo b aproximar-se de a por valores maiores que a, isto é “b a + ” temos que b² a² 0. Não esquecendo que ln1 = 0. Por conseguinte,
4 5 ²
²
+
+
3
~ 165 ~
²
+
²
²
Ou seja, reorganizando:
√ 4 5 | √ | ²
4
²
3 +2 3
+
²
²
²
2ª. Questão
Encontre o comprimento de arco de (a) x 2/3 + y 2/3 = 1 de (0, 1) a (1, 0).
∫ √
Solução:
1 + [ ( )] Como = , segue-se: i. x2/3 + y2/3 = 1. Derivando ambos os membros da / / igualdade em relação à variável x, +
4 5 √ ∫ √ ∫ ∫ =0
/
=
, é claro, desde que y seja diferente
/
de zero! ii.
( )² =
/
=
potências. iii. 1 + ( )² = 1 +
/
/
/
=
/
=
, usando propriedades das /
/
=
/
/
, desde que
x ≠ 0.
iv.
1 + ( )² =
v.
=
1 + [ ( )]
/
/
=
/
=
=
/
lim
vi.
lim
/
/
0 1 ∫
gral imprópria. 3ª. Questão:
Calcule
= lim
0
.
Solução:
~ 166 ~
= 3/2 – inte/
1
= lim = lim[] = lim [ + 1] = 1 4ª. Questão: Quando queremos calcular a área da superfície de um sólido de revolução em um intervalo [a, b], com f(x) ≥ 0, usamos:
( ) 1 + [ ( )]² . ∫a área de: (A) √ um cone circular reto. (B) uma esfera Deduza =2
Solução:
Faremos item (b). Usaremos simetria considerando x² + y² = R², com x ≥ 0 e y ≥ 0. O resultado final será multiplicado por dois. Vide a dedu ção do volume da esfera.
= 2 () 1 + [ ()]² =⏞ 2 2 √ ² ² () Onde (*) tem os seguintes procedimentos: i. Derivação implícita: (x² + y²)‟ = (R²)‟ 2x + 2y.y‟ = 0 y‟ = x /y. (y‟)² = x²/y² ii.
² ²² = ² ² ² desde que y ≠ 0. √ 1 + [ ()]² = ²² = iv. ( ) 1 + [ ( )] = v. 0. 1 + [ ( )] = desde que y ≠ √ √ iii.
1 + [ ( )] = 1 + ² =
Ora, y ≠ 0 se, e somente se, x ≠ R.
= = 4 lim = 4 lim[ ] = 4 lim[] = 4² ~ 167 ~
Nesta última etapa, faremos uma revisão geral daquilo que aprendemos. Alguma novidade será inserida. 1ª. Questão: Fazer um esboço do gráfico de ( ) = , > 0. Solução: Apresentaremos o segundo caso das Regras L’Hopital.
Só podemos usar diretamente se tivermos ± . Lembrando que para esboçar o gráfico de uma função precisamos realizar os seguintes procedimentos: (1) Encontrar seu domínio; (2) Analisar o que ocorre com a função nos extremos de seu domínio; (3) Determinar intervalos de crescimento ou decrescimento e (4) Intervalos com concavidade para cima ou para baixo. (1) Domínio: ]0,+ [.
= também (2) Extremos: (pois algomuito muitogrande, grande, positivamente, elevado a outro valor só pode resultar em algo muitíssimo grande).
Já, = que é indeterminação! Com efeito, se k > 0, segue-se que 0k = 0 e k0 = 1. É indeterminação porque não é possível determinar a priori qual valor da expressão. ~ 168 ~
E agora? Diretamente não podemos usar L’Hopital. T emos uma potência! Por sua vez, há uma função que transforma potência em produto (e do produto já sabemos gerar quociente)... Seja z = x x. Assim, aplicando “ln” em ambos os membros da igualdade, temos: lnz = lnx x = x.lnx. Ou, de maneira equiva-
.
lente,
= Assim, = = (*.
Por conseguinte, basta calcular lim = lim = lim = 0. Usamos inicialmente divisão de frações (1/x) por (-1/x²), simplificamos e chegamos ao resultado. Favor verificar contas!
⏞
Deste modo, = =0 . Cuidado! Tivemos um exemplo tal que 0 = 1. Em breve faremos outros exercícios que resultarão em valoresdistintos do “1”.
(3) Intervalos onde função cresce ou decresce. Precisamos analisar a derivada primeira. Usaremos ( ) = . Lembrar que (eu )’ = eu.u’ se u = u(x). ( ) = ( ) = Assim, [( ) + ( )] = (1 + ). + Daí, ( ) = 1 Fazendo f’(x) = 0, segue-se que 1 + lnx = 0 lnx = – 1 x = e-1. Se 0 < x < e-1 supor x = e-2 , daí, 1 + lnx = 1 + lne-2 = 1 – 2 = –1. Logo, a função é decrescente neste intervalo. Obs.: eu > 0 qualquer u... Se x > e-1 supor x = 1, daí, 1 + lnx = 1 + ln1 = 1 + 0 = 1. Logo, a função é crescente neste intervalo.
0 1
~ 169 ~
(4) Concavidade está associada a derivada segunda. ) Como ( ) = (1 + ( ) = ( ) (1 + ) + Segue-se que
(1 + )
() = (1 + )
Desenvolvendo,
(1 + ) +
0
1
) + . Organizando, ( ) = (1 + Notar que f’’(x) > 0 para x > 0. Ou seja, concavidade sempre para cima. Por fim, favor construir o gráfico... dica: para parte de uma parábola. 2ª. Questão Calcule (1
Solução:
).
Repare que, ao ela tende, obtemos 0 . substituirmos a variável pelo valor a qual Também é indeterminação. Por quê? Reescrevendo o limite, (1 ) = || ∞
Ou seja, calcular
poente de “e”.
Assim,
ln|1 | que será o ex
| ln|1 | = |
Lembrando: tgx = 1/(1/tgx) = 1/cotgx. Portanto,
() || ( ) ⏞ ⏞ = = = ²
~ 170 ~
Usando
mais
uma
vez
a
regra
de
L’Hopital:
() ( )( ) ( ) ()( )( ) = = Daí,
Finalmente, no limite, temos: e
∞
.
0.
3ª. Questão: Calcule as integrais:
∫ ∫ √ 9 ² + 6 ∫ √ 9 ² + 6 + 2 ∫ ∫∫ √
a)
²
b) c) d)
²
e)
²
f)
²
Solução:
UMA Solução: Item (a):
∫
²
Note que podemos reescrever a integral explicitando composição: / ./
² Seja q = 1 – 1/x = 1 – x .: dq = x dx -1
-2
. / ² = * = = + + /
/
/
~ 171 ~
Organizando e voltando...
4 1 5
1
/
( *
+
Para as integrais dos itens (b) e (c), vamos mexer na “e ssência”:
9x² + 6x = (3x)² + 2.(3x).1 9x² + 6x = (3x)² + 2.(3x).1 + 1² 1² 9x² + 6x = (3x + 1)² 1. Assim,
∫ √ ² + = ∫ √ ( + )
Ou faz mudança inicial para visualizar substituição ou vai “direto”: secy = 3x + 1. Com efeito, (3x + 1)² 1 = sec²y – 1 = tg²y. Não obstante, derivando x em relação y, dx = (1/3)secy.tgy.dy Assim,
∫√ ( + ) = ∫ . . . = ∫ . ² Organizando, secy.tg²y = secy.(sec²y – 1) = sec³y – secy. Já sabemos,
∫ = ln| + | +
1 = ( . 2 Agora, é só organizar. ³
∫
+ln|
+
|) +
∫ √ ² + + = ∫√ [ ( + ) ] + = ∫√ ( + ) + ~ 172 ~
Ou faz mudança inicial para visualizar substituição ou vai “direto”: 3x + 1 = tgy Com efeito, (3x + 1)² + 1 = tg²y + 1 = sec²y. Não obstante, derivando x em relação y, dx = (1/3)sec²y.dy Assim,
∫√ ...( + ) + = ∫ . ². = ∫ ³. Para as integrais dos itens (d) e (e), vamos mexer na “essência”: 25x² + 20x = (5x)² + 2.(5x).2 = (5x)² + 2.(5x).2 + 2² 2² = (5x + 2)² 4. Assim, 25x² + 20x + 5 = (5x + 2)² 4 + 5 = (5x + 2)² +1 25x² + 20x + 3 = (5x + 2)² 4 + 3 = (5x + 2)² 1. Fazendo z = 5x + 2... dz = 5dx Daí, (1/5)arctgz + C e (1/5)argtghz + C (é só organizar!)
+ ∫ = ∫ ∫ +√ √ ² √ ² ²
Para a primeira faça u = 1 – x². Para a segunda, considere z = arcsenx...
∫ √ ² = ∫( ²) = = √ ² + /
∫ ² + √ ² = ∫ = = Outra ideia, considere x = senb – motivada a mudança pela raiz quadrada do denominador. 1 – x² = 1 – sen²b = cos²b. E, dx = cosb.db ~ 173 ~
Não obstante, b = arcsenx
+ = ∫ ∫ +√ 1 ² ² + = ∫( + ) = + 2
Voltando... segue resultado! 4ª. Questão Obter área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo x de
² + ² = 1 com y > 0 e 0 < a < b. ² ²
Solução: Sabemos que a área de superfície de revolução é dada por:
∫ () 1 + [ ()]²
2
Podemos optar por derivar explícita ou implicitamente. Note que b²x² + a²y² = a²b² é expressão equivalente (mais fácil de ser manipulada) Derivando em relação à variável x, 2b²x + 2a²y.y’ = 0 .:
=
² ² ²² Assim, 1 + (y’)² = 1 + . / = 1 + = ² ² ² ²² √²² + ( )² = ² = ² Deste modo, √ 1 4
4
De Vamos a y² ,+segue-se b x². que a²y² = a²b² - b²x². b²x²mexer + a²y²com = a²b² Assim, a4y² = a²(a²y²) = a²(a²b² b²x²) = b²(a4 a²x²). Por conseguinte, a4y² + b4x² = b²(a4 a²x²) + b4x² = b²[a4 + (b² a²)x²] Logo,
~ 174 ~
√ ² + ² = √ ( ) + ()² ² ² Considerando c² = b² a². Organizamos para visualizar constante mais (+) variável ao quadrado...
() 1 + [ ()]² = 2[() (0)] ∫
2
Onde,
() =
∫ 1 + ()² =
( ) + ( )² √ ∫ ²
Organizando,
() = ² ∫ ( ) + ()² como dispomos de tabelas, subsHá uma raiz quadrada... tituição trigonométrica. Seja cx = a²tgq. Com efeito, a4 + (cx)² = a4 +a4tg²q = a4sec²q E,
( ) + ()²= ² = ² Não obstante,
Assim,
Fica,
= ² = ² ² ( ) = ² ∫ ( ) + ()² ~ 175 ~
∫ ∫ [ ] √ ²
²
²
=
+
|
²
³
Ou seja,
²
1 ( 2
.
|)
+
Desconsiderando constante... (alguém recorda o motivo?) Retornando para variável x, sabendo que: 1.
(
=
2. Ou seja,
)
[
]²
²
=
√ √ ( + ( )=
( ) + ( )² . ²
² 2
( ) + ( )² + ²
+
Percebam que g(0) = 0 v(erifiquem! Não esquecendo que ln1 = 0...)
√ √ √ √ √ √ √ √ Finalmente, 2 [ ( )
²
(0)] =
( ) +( ²
² ² ( ) +( ²
+
)²
)²
.
+
Isto é,
²
²
²(
+
)
²
²
.
²
²+
²(
+
)
²
+
²
Lembrar que c² = b² a², logo, b² = a² + c²
√ [ √ | √ |] ²
²
²
.
²
²+
~ 176 ~
+
²
²
²
5ª. Questão
Muitos problemas nas engenharias estão atrelados às equações diferenciais. Uma estratégia para resolução é usar a Transformada de Laplace, a qual é definida como a integral (quando converge):
{ ()} = ()
t ≥ 0(a)e “s” é parâmetro Com Encontre: L{1}; (b) L{t}a eser (c)determinado. L{sent}. Solução: Item (a)
1 {1} = (1) = lim = lim [ ] lim 0 1 = + = lim 0 1 Note que se s < 0, então bs
∞ e o limite diverge. As-
sim, seja s > 0. E, bs 0. Por conseguinte:
Item (b), com s > 0 pelos mesmos argumentos do item anterior.
1 1 {} = ()= lim = lim [ ( + *]
Com efeito,
∫ . / =
+ , com k = s.
Organizando o limite, recordando que [ ( )] = ( ) lim
1
[
+
(
1
= lim
1
1 + 1 *] lim[ =(1²
1 = ²
+
1
+
( )
1
* ] ²
Entendendo: reorganizamos o produto, transformando-o em um quociente para fazer uso de L‟Hopital.
~ 177 ~
Item (c)
{} = ∫ () = lim ∫ = lim [() (0)]
Como esta integral é um pouco mais cheia de detalhes, dado que
( )+ = + ∫No caso, a = s.
Assim, desconsiderando constante em virtude da integral definida.
() = ² + 1 [() ] pois sen0 = 0 e cos0 = 1. Daí, g(0) = E, [( ) ]=0 lim ( ) = lim ² + 1 Se h(x) é limitada (no caso, o seguinte resultado: Usando ²
funções trigonométricas seno e cosseno são limitadas) e p(x) 0 (no caso, tende para zero, com s > 0 ), então h(x).p(x) 0 Logo, L{sent} = 1/(1 + s²)
~ 178 ~
2007. ANTON, H. et al. Cálculo 1. 8ª Ed. Porto Alegre: Bookman, BARBOSA, C. Cálculo diferencial e integral I. Fortaleza: Realce, 2007. LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica 1. 3ª Ed. Rio de Janeiro: Harbra, 2003. LIMA, E. L. Curso de análise 1. 13ª Ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2011. MALTA, I; PESCO, S; LOPES, H. Cálculo a uma variável: derivada e integral. V.2. 1ª. Rio de Janeiro: Elsevier, 2015. STEWART, J. Cálculo 1. 6ª Ed. São Paulo: Cengage, 2010.
~ 179 ~
