01 Repaso Calculo Matricial

01 – Repaso de análisis estructural matricial

Diego Andrés Alvarez Marín Profesor Asociado Universidad acional de !olom"ia #ede Manizales

!ontenido ●

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#oluci$n al sistema de ecuaciones q%Ka&f  !onceptos "ásicos del análisis matricial de estructuras de "arras

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!erc'as

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Marcos

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(tapas "ásicas del análisis de un sistema de "arras

!ontenido ●

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#oluci$n al sistema de ecuaciones q%Ka&f  !onceptos "ásicos del análisis matricial de estructuras de "arras

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!erc'as

●

Marcos

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(tapas "ásicas del análisis de un sistema de "arras

(l método de los elementos finitos (s una técnica aproximada   de integrales)

numérica para la soluci$n ecuaciones diferenciales e

(n el ám"ito del análisis estructural *estructuras+ geotecnia+ pavimentos, es un poderoso método para la estimación  estimación   de los esfuerzos+ deformaciones - desplazamientos de una estructura "a.o la acci$n de un con.unto de cargas)

/istoria del método de los (s ●

123&1245 !ollar+ Duncan5 primer artículo so"re análisis matricial de estructuras

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1325 Ric'ard !ourant !ouran t *e6 7or8 7or8 Universit-,5 primer artículo matemático

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1935 Arg-ris5 desarrolla el concepto de ensam"la.e matricial

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19:5 ;urner+ ;urner+ !loug'+ Martin+ ;opp ;opp *
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195 ;urner5 presenta un artículo so"re el método matricial de la rigidez+ tal - como lo conocemos 'o1:05 !loug' *) 1:95 ?a A#A invierte 3(: U#D *20(: U#D de 'o-, para el desarrollo del soft6are A#;RA

●

1:95 #e empieza a aplicar a otros campos de la ingeniería

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1:@5 ien8ie6icz *#6ansea,5 primer li"ro so"re (s

●

1@05 #e empieza a desarrollar el soft6are A#7#

#oluci$n al sistema de ecuaciones

#oluci$n al sistema de ecuaciones

Resolviendo ●

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!'oles8Métodos ue tienen en cuenta las matrices ralas *matrices sparse,) Muc'os de estos métodos son iterativos5  –

PARDC#E 'ttp5FF666)pardiso&pro.ect)orgF

 –

Método del gradiente con.ugado

 –

!omando linsolve de MA;?A<

 –

!omando G de MA;?A<

 –

'ttp5FF666)mat'com)comFcorpdirFtec'info)mdirFH0@)'tml

Anc'o de "anda ?a numeraci$n de los nodos de"e 'acerse de modo tal ue el anc'o de "anda sea tan peueIo como sea posi"le) (Bisten algoritmos especializados ue 'acen esta la"or *como el algoritmo invertido de !ut'ill& McJee,) (n algunos programas de elementos finitos se puede 'acer clic8 en un comando ue renumera los

(nsam"la.e matricial

(.emplo 1)1 EIate

!oordenadas locales - glo"ales Matrices ?aK - Ka? LaG barra 1

H

2

LaG(e, nudo local)

nudo local

nudo global

1

1

H

2

1

H

H

2

1

2

H

3

nudo local

barra (e)

1

H

1

1

2

H

H

2

2

2

3

GaL(e, nudo global) nudo global

barra (e)

1

H

2

3

1

1

B

H

B

H

B

1

H

B

2

B

B

1

H

#oluci$n en MA;?A< 1FH

#oluci$n en MA;?A< HFH

!erc'as

(.emplo 11)2 Uri"e (scamilla

Resultados

Matriz de rigidez de un elemento prismático sometido en sus eBtremos a carga aBial+ fleBi$n - cortante

Matriz de transformaci$n

Algunas fuerzas nodales euivalentes

uerzas nodales euivalentes

!álculo de fuerzas nodales euivalentes

E"teniendo5

(.emplo 11)H2 Uri"e (scamilla

Mirar soluci$n en la secci$n c$digo de la LCJC

Ejemplo: idx para la barra 2:

idx

R$tula a la derec'a del elemento5

er programa5 c1_K_elemento_empotrado_rodillom

R$tula a la izuierda del elemento5

R$tulas interiores a un p$rtico

(O(MP?E

(lemento de "arra 2D 

a *e,

(lemento de "arra 2D

Matriz de transformaci$n de *e, coordenadas T 

;omado de ?iuQue8+ p114

B+-+z % e.es locales

+7+ % e.es glo"ales

$rmula de rotaci$n de Rodrigues

(tapas "ásicas del análisis de un sistema de "arras ●

Etapa de preproceso5  –

definici$n de geometría del pro"lema

 –

definici$n de las propiedades del material

 –

definici$n de las condiciones de carga

 –

definici$n de la malla de elementos finitos *numeraci$n local - glo"al de los grados de li"ertad+ de los nodos - de los elementos,

(tapas "ásicas del análisis de un sistema de "arras ●

Etapa de c!lculo  –

 –

!álculo de las matrices de rigidez K *e, - los vectores de fuerza nodales f *e, de cada elemento del sistema (nsam"la.e de la matriz de rigidez glo"al K  - vector de fuerzas glo"al f 

(tapas "ásicas del análisis de un sistema de "arras ●

Etapa de c!lculo  –

#oluci$n del sistema de ecuaciones

 –

para calcular los desplazamientos en los nudo a *!'oles8-+ métodos especiales ue mane.an matrices ralas,